V246.XGP[TEX,DEK]3 - www.SailDart.org

perm filename V246.XGP[TEX,DEK]3 blob sn#392811 filedate 1978-11-04 generic text, type T, neo UTF8
/LMAR=50/TMAR=50/RMAR=4095/BMAR=1/PMAR=0/XLINE=0/FONT#0=NGR13/USETI=0001102*TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX*

␈β	←␈↓ α6␈εαSECTION␈α4.6␈αof␈αTHE␈αAR␈α⎇T␈αOF␈αCOMPUTER␈αPR␈α␈OGRAMMING
␈β

␈↓ β%␈ε⊗⎇␈εα␈α1978␈αAddison↑Wesley␈αPublishing␈αCompan␈α␈y,␈αInc.
␈β⊃L␈↓ ε2␈ε∧0
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6␈ε∞␈↓ πBP␈α␈OL␈α}YNOMIA␈α␈L␈α	ARIT␈α␈HMET␈α␈IC␈↓ 
v␈εα387
␈βα(␈↓ ↓H␈ε≥4␈α␈.6.␈α
P␈α↓OL␈α|YNOMIAL␈α
ARITHME␈α␈TIC
␈βαi␈↓ ↓H␈εαT␈↓ βg␈εαw␈α␈e␈απhav␈α␈e␈αλbeen␈απstudying␈απapply␈απin␈απa␈αλnatural␈απway␈απto␈απman␈α␈y␈απdi{eren␈α␈t
␈βαn␈↓ ↓b␈ε∧HE␈αεTE␈α↓CHN␈α␈I␈α↓Q␈α␈U␈α↓ES
␈ββ∀␈↓ ↓H␈εαtypes␈α⊂of␈α⊃mathematical␈α⊂quan␈α␈tities,␈α∩not␈α⊃simply␈α⊂to␈α⊃n␈α␈um␈α␈bers.␈α~In␈α⊂this␈α⊃section␈α⊂w␈α␈e
␈ββ?␈↓ ↓H␈εαshall␈α
deal␈α
with␈α
polynomials,␈αwhich␈α
are␈αthe␈α
next␈α
step␈α
up␈αfrom␈α
n␈α␈um␈α␈bers.␈αFormally
␈ββj␈↓ ↓H␈εαspeaking,␈αa␈ε∂␈αpolynomial␈αo␈α␈v␈α␈er␈↓ ¬␈ελS␈↓ ¬.␈εαis␈αan␈αexpression␈αof␈αthe␈αform
␈β∧6␈↓ ¬v␈εn
␈β∧<␈↓ ∧D␈ελu␈↓ ∧Z␈εα(␈↓ ∧f␈ελx␈↓ ∧x␈εα)␈α
=␈↓ ¬<␈ελu␈↓ ¬c␈ελx␈↓ ε∂␈εα+␈↓ ε;␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εm␈εα+␈↓ π→␈ελu␈↓ π<␈ελx␈↓ πW␈εα+␈↓ λβ␈ελu␈↓ λ&␈εα,␈↓ α␈εα(1)
␈β∧I␈↓ ¬Q␈εn␈↓ π.␈ε¬1␈↓ λ_␈ε¬0
␈β¬
␈↓ ↓H␈εαwhere␈αthe␈α\coe}cien␈α␈ts"␈↓ ∧E␈ελu␈↓ ∧k␈εα,␈↓ ¬↓␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬1␈εα,␈↓ ¬F␈ελu␈↓ ¬i␈εα,␈↓ ¬␈␈ελu␈↓ ε-␈εαare␈αelemen␈α␈ts␈αof␈αsome␈αalgebraic␈αsystem␈↓ ␈ελS␈↓ "␈εα,
␈β¬≠␈↓ ∧Y␈εn␈↓ ¬[␈ε¬1␈↓ ε∪␈ε¬0
␈β¬9␈↓ ↓H␈εαand␈α
the␈α
\variable"␈↓ βu␈ελx␈↓ ∧∩␈εαmay␈α
be␈αregarded␈α
as␈αa␈α
formal␈α
sym␈α␈bol␈αwith␈α
an␈α
indeterminate
␈β¬d␈↓ ↓H␈εαmeaning.␈αWe␈α	will␈α
assume␈α
that␈α	the␈α
algebraic␈α
system␈↓ πl␈ελS␈↓ λ␈εαis␈α
a␈ε∂␈α	comm␈α␈utativ␈α␈e␈α
ring␈α	with
␈βε∂␈↓ ↓H␈ε∂iden␈α␈tity␈↓ αD␈εα;␈α
this␈αmeans␈α
that␈↓ ∧←␈ελS␈↓ ¬α␈εαadmits␈αthe␈α
operations␈α
of␈α
addition,␈α
subtraction,␈αand
␈βε:␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiplication,␈αsatisfying␈αthe␈αcustomary␈αproperties:␈αAddition␈αand␈αm␈α␈ultiplication
␈βεe␈↓ ↓H␈εαare␈α∞associativ␈α␈e␈α∞and␈α∞comm␈α␈utativ␈α␈e␈α∞binary␈α∂operations␈α∞de|ned␈α∞on␈↓ 	4␈ελS␈↓ 	J␈εα,␈α∂where␈α∞m␈α␈ulti-
␈βπ⊃␈↓ ↓H␈εαplication␈α∂distributes␈α⊂o␈α␈v␈α␈er␈α∂addition;␈α⊃and␈α⊂subtraction␈α∂is␈α⊂the␈α∂in␈α␈v␈α␈erse␈α⊂of␈α∂addition.
␈βπ<␈↓ ↓H␈εαThere␈αis␈α
an␈α
additiv␈α␈e␈α
iden␈α␈tity␈αelemen␈α␈t␈α
0␈α
such␈α
that␈↓ πb␈ελa␈↓ π|␈εα+␈αλ0␈α=␈↓ λu␈ελa␈↓ 	π␈εα,␈α
and␈α
a␈αm␈α␈ultiplica-
␈βπg␈↓ ↓H␈εαtiv␈α␈e␈α⊂iden␈α␈tity␈α⊃elemen␈α␈t␈α⊃1␈α⊃such␈α⊃that␈↓ ¬v␈ελa␈↓ ε∪␈ε⊗↓␈εα␈α1␈α∩=␈↓ πα␈ελa␈↓ π∀␈εα,␈α∩for␈α⊃all␈↓ λ#␈ελa␈↓ λF␈εαin␈↓ λu␈ελS␈↓ 	␈εα.␈α≠The␈α⊂polynomial
␈βλ
␈↓ ↓l␈εn␈↓ ↓}␈ε¬+␈↓ α≠␈εm␈↓ βX␈εn␈↓ βj␈ε¬+1␈↓ ∧y␈εn
␈βλ∩␈↓ ↓H␈εα0␈↓ ↓Z␈ελx␈↓ α8␈εα+␈↓ α←␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ β␈εα+␈α∧0␈↓ βF␈ελx␈↓ ∧→␈εα+␈↓ ∧@␈ελu␈↓ ∧f␈ελx␈↓ ¬∞␈εα+␈↓ ¬5␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬b␈εα+␈↓ ε	␈ελu␈↓ ε,␈ελx␈↓ εB␈εα+␈↓ εi␈ελu␈↓ π∃␈εαis␈αλregarded␈αλas␈α	the␈αλsame␈αλpolynomial
␈βλ ␈↓ ∧T␈εn␈↓ ε≡␈ε¬1␈↓ ε}␈ε¬0
␈βλ=␈↓ ↓H␈εαas␈α(1),␈αalthough␈αits␈αexpression␈αis␈αformally␈αdi{eren␈α␈t.
␈βλi␈↓ α␈εαWe␈α⊂say␈α∂that␈α⊂(1)␈α⊂is␈α∂a␈α⊂polynomial␈α⊂of␈ε∂␈α∂degree␈↓ πG␈ελn␈↓ πl␈εαand␈ε∂␈α⊂leading␈α⊂coe}cien␈α␈t␈↓ 
`␈ελu␈↓ ⊗␈εαif
␈βλv␈↓ 
u␈εn
␈β	∀␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓x␈ε⊗≤␈εα␈α
0;␈αand␈αin␈αthis␈αcase␈αw␈α␈e␈αwrite
␈β	!␈↓ ↓\␈εn
␈β	e␈↓ ∧c␈εαdeg␈↓ ¬→␈εα(␈↓ ¬%␈ελu␈↓ ¬:␈εα)␈α
=␈↓ ¬}␈ελn␈↓ ε∀␈εα,␈↓ εl␈ελ#␈↓ ε{␈εα(␈↓ ππ␈ελu␈↓ π≥␈εα)␈α
=␈↓ πa␈ελu␈↓ λπ␈εα.␈↓ α␈εα(2)
␈β	s␈↓ πu␈εn
␈β
7␈↓ ↓H␈εαBy␈αcon␈α␈v␈α␈en␈α␈tion,␈αw␈α␈e␈αalso␈αset
␈βλ␈↓ ∧W␈εαdeg␈↓ ¬
␈εα(0)␈α
=␈ε⊗␈α
␈1␈εα,␈↓ π∂␈ελ#␈↓ π∨␈εα(0)␈α
=␈α
0,␈↓ α␈εα(3)
␈βZ␈↓ ↓H␈εαwhere␈α∞\0"␈α∞denotes␈α∞the␈α∞zero␈α∞polynomial␈α∞whose␈α∂coe}cien␈α␈ts␈α∞are␈α∞all␈α∞zero.␈α∩We␈α∞say
␈β¬␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓]␈εα(␈↓ ↓i␈ελx␈↓ ↓|␈εα)␈αis␈αa␈ε∂␈αmonic␈αpolynomial␈↓ ∧z␈εαif␈↓ ¬≤␈ελ#␈↓ ¬+␈εα(␈↓ ¬7␈ελu␈↓ ¬M␈εα)␈α
=␈α
1.
␈β0␈↓ α␈εαArithmetic␈α
on␈α
polynomials␈α∞consists␈α
primarily␈α
of␈α
addition,␈α∞subtraction,␈α
and
␈β[␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiplication;␈α	in␈α	some␈αλcases,␈α	further␈α	operations␈αλsuch␈α	as␈αλdivision,␈α	exponen␈α␈tiation,
␈β
π␈↓ ↓H␈εαfactoring,␈αλand␈απtaking␈απthe␈αλgreatest␈απcommon␈απdivisor␈απare␈αλimportan␈α␈t.␈α
The␈απprocesses␈απof
␈β
2␈↓ ↓H␈εαaddition,␈α
subtraction,␈α
and␈α
m␈α␈ultiplication␈α
are␈α
de|ned␈α
in␈α
a␈α	natural␈α
way,␈αas␈α	though
␈β
]␈↓ ↓H␈εαthe␈αλvariable␈↓ β	␈ελx␈↓ β%␈εαw␈α␈ere␈αλan␈α	elemen␈α␈t␈α	of␈↓ ¬K␈ελS␈↓ ¬b␈εα:␈α
Addition␈α	and␈α	subtraction␈αλare␈α	done␈α	by␈αλadding
␈β∞λ␈↓ ↓H␈εαor␈απsubtracting␈απthe␈απcoe}cien␈α␈ts␈απof␈αλlik␈α␈e␈απpo␈α␈w␈α␈ers␈απof␈↓ π␈ελx␈↓ π≡␈εα.␈α
Multiplication␈αλis␈απdone␈απby␈απthe␈απrule
␈β∞T␈↓ β≥␈εr␈↓ ¬&␈εs␈↓ λ∪␈εr␈↓ λ!␈ε¬+␈↓ λ>␈εs
␈β∞Z␈↓ α\␈εα(␈↓ αh␈ελu␈↓ β
␈ελx␈↓ β2␈εα+␈↓ β↑␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧⊂␈εα+␈↓ ∧<␈ελu␈↓ ∧←␈εα)(␈↓ ∧w␈ελv␈↓ ¬∪␈ελx␈↓ ¬:␈εα+␈↓ ¬f␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε_␈εα+␈↓ εD␈ελv␈↓ εb␈εα)␈α
=␈α
(␈↓ π2␈ελw␈↓ λ↓␈ελx␈↓ λR␈εα+␈↓ λ}␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	0␈εα+␈↓ 	\␈ελw␈↓ 
α␈εα),
␈β∞g␈↓ α|␈εr␈↓ ∧P␈ε¬0␈↓ ¬π␈εs␈↓ εT␈ε¬0␈↓ πJ␈εr␈↓ πX␈ε¬+␈↓ πt␈εs␈↓ 	t␈ε¬0
␈β∂+␈↓ ↓H␈εαwhere
␈β∂V␈↓ β[␈ελw␈↓ ∧␈εα=␈↓ ∧9␈ελu␈↓ ∧\␈ελv␈↓ ¬β␈εα+␈↓ ¬/␈ελu␈↓ ¬R␈ελv␈↓ ε#␈εα+␈↓ εO␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π↓␈εα+␈↓ π-␈ελu␈↓ π{␈ελv␈↓ λ"␈εα+␈↓ λN␈ελu␈↓ λq␈ελv␈↓ 	∂␈εα.␈↓ α␈εα(4)
␈β∂d␈↓ βs␈εk␈↓ ∧N␈ε¬0␈↓ ∧l␈εk␈↓ ¬C␈ε¬1␈↓ ¬a␈εk␈↓ ¬p␈ε→␈␈ε¬1␈↓ πB␈εk␈↓ πP␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λ␈ε¬1␈↓ λb␈εk␈↓ 	↓␈ε¬0
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εαIn␈αthe␈αlatter␈αform␈α␈ula␈↓ ∧→␈ελu␈↓ ∧E␈εαor␈↓ ∧q␈ελv␈↓ ¬~␈εαare␈αtreated␈αas␈αzero␈αif␈↓ πl␈ελi␈↓ λ∧␈εα>␈↓ λ2␈ελr␈↓ λM␈εαor␈↓ λy␈ελj␈↓ 	∀␈εα>␈↓ 	B␈ελs␈↓ 	Q␈εα.
␈β⊂&␈↓ ∧-␈εi␈↓ ¬␈εj
␈β⊂D␈↓ α␈εαThe␈α	algebraic␈α	system␈↓ ∧\␈ελS␈↓ ∧|␈εαis␈αλusually␈α	the␈α	set␈α	of␈α	in␈α␈tegers,␈α	or␈α	the␈α	rational␈αλn␈α␈um␈α␈bers;
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαor␈α∞it␈α∞may␈α∞itself␈α∞be␈α∞a␈α∞set␈α∞of␈α∞polynomials␈α∞(in␈α∞variables␈α∞other␈α∞than␈↓ 	R␈ελx␈↓ 	e␈εα);␈α∂in␈α∞the␈α∞lat-
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαter␈αsituation␈α(1)␈αis␈αa␈ε∂␈αm␈α␈ultivariate␈εα␈αpolynomial,␈αa␈αpolynomial␈αin␈αsev␈α␈eral␈αvariables.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα388␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
}4.6
␈βα(␈↓ ↓H␈εαAnother␈α
importan␈α␈t␈α∞case␈α
occurs␈α
when␈α∞the␈α
algebraic␈α∞system␈↓ λn␈ελS␈↓ 	∩␈εαconsists␈α∞of␈α
the␈α
in-
␈βαS␈↓ ↓H␈εαtegers␈α
0,␈α1,␈↓ α{␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β+␈εα,␈↓ β@␈ελm␈↓ βe␈ε⊗␈␈εα␈αε1,␈α
with␈αaddition,␈α
subtraction,␈αand␈α
m␈α␈ultiplication␈α
performed
␈βα}␈↓ ↓H␈εαmod␈↓ α~␈ελm␈↓ αG␈εα(cf.␈α∞Eq.␈α∞4.3.2↑11);␈α∂this␈α∂is␈α∞called␈ε∂␈α∞polynomial␈α∞arithmetic␈α∞modulo␈↓ 
3␈ελm␈↓ 
R␈ε∂.␈εα␈α∩The
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαspecial␈αcase␈α
of␈αpolynomial␈α
arithmetic␈αmodulo␈α2,␈α
when␈α
each␈αof␈αthe␈α
coe}cien␈α␈ts␈αis
␈ββU␈↓ ↓H␈εα0␈αor␈α1,␈αis␈αespecially␈αimportan␈α␈t.
␈β∧β␈↓ α␈εαThe␈α∂reader␈α∂should␈α∂note␈α∂the␈α∂similarity␈α∂bet␈α␈w␈α␈een␈α∂polynomial␈α∂arithmetic␈α∞and
␈β∧.␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiple-precision␈α⊂arithmetic␈α⊃(Section␈α⊃4.3.1),␈α∩where␈α⊂the␈α⊃radix␈↓ 	5␈ελb␈↓ 	T␈εαis␈α⊂substituted
␈β∧T␈↓ λ∪␈εk
␈β∧Y␈↓ ↓H␈εαfor␈↓ ↓⎇␈ελx␈↓ α⊂␈εα.␈αThe␈α
chief␈α	di{erence␈α
is␈α	that␈α
the␈α	coe}cien␈α␈t␈↓ π-␈ελu␈↓ πY␈εαof␈↓ λ↓␈ελx␈↓ λ+␈εαin␈α
polynomial␈α	arithmetic
␈β∧g␈↓ πA␈εk
␈β¬¬␈↓ ↓H␈εαbears␈α	little␈α	or␈α	no␈α	essen␈α␈tial␈α	relation␈α
to␈α	its␈α	neigh␈α␈boring␈α	coe}cien␈α␈ts␈↓ 	&␈ελu␈↓ 	t␈εα,␈α
so␈α	the␈α	idea
␈β¬∩␈↓ 	;␈εk␈↓ 	I␈ε→ε␈ε¬1
␈β¬0␈↓ ↓H␈εαof␈α	\carrying"␈α	from␈α
one␈α	place␈α	to␈α
the␈α	next␈α	is␈α
absen␈α␈t.␈αIn␈α	fact,␈α
polynomial␈α	arithmetic
␈β¬[␈↓ ↓H␈εαmodulo␈↓ αK␈ελb␈↓ αi␈εαis␈α⊂essen␈α␈tially␈α∂iden␈α␈tical␈α⊂to␈α∂m␈α␈ultiple-precision␈α⊂arithmetic␈α∂with␈α⊂radix␈↓ ∀␈ελb␈↓ "␈εα,
␈βεε␈↓ ↓H␈εαex␈α␈cept␈αλthat␈αλall␈αλcarries␈αλare␈αλsuppressed.␈αFor␈αλexample,␈α	compare␈αλthe␈αλm␈α␈ultiplication␈αλof
␈βε1␈↓ ↓H␈εα(1101␈↓ α≤␈εα)␈↓ α>␈εαby␈α	(1011␈↓ βC␈εα)␈↓ βe␈εαin␈α	the␈αλbinary␈αλn␈α␈um␈α␈ber␈αλsystem␈α	with␈αλthe␈αλanalogous␈αλm␈α␈ultiplication
␈βε?␈↓ α(␈ε¬2␈↓ βO␈ε¬2
␈βεX␈↓ α∧␈ε¬3␈↓ αZ␈ε¬2␈↓ ∧↓␈ε¬3
␈βε]␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓r␈ελx␈↓ α≠␈εα+␈↓ αG␈ελx␈↓ αp␈εα+␈αλ1␈αby␈↓ βn␈ελx␈↓ ∧↔␈εα+␈↓ ∧C␈ελx␈↓ ∧↑␈εα+␈αλ1␈αmodulo␈α2:
␈βπ>␈↓ αg␈εαBinary␈αsyst␈↓ ∧≠␈εαem␈↓ π1␈εαPolynomials␈αm␈↓ 	→␈εαodulo␈α2
␈βπq␈↓ βS␈εα1101␈↓ λQ␈εα1101
␈βλ≤␈↓ β'␈ε⊗α␈εα␈αλ1011␈↓ λ%␈ε⊗α␈εα␈αλ1011
␈βλA␈↓ β∨␈∧λAβ∨α⎇␈↓ λ≥␈∧λAλ≥α⎇
␈βλM␈↓ βS␈εα1101␈↓ λQ␈εα1101
␈βλx␈↓ βA␈εα1101␈↓ λ?␈εα1101
␈β	$␈↓ β≥␈εα1101␈↓ λ≠␈εα1101
␈β	I␈↓ β≥␈∧	Iβ≥α}␈↓ λ≠␈∧	Iλ≠α}
␈β	U␈↓ β␈εα10001111␈↓ λ≠␈εα1111111
␈β
4␈↓ ↓H␈εαThe␈α	product␈αλof␈α	these␈α	polynomials␈α	modulo␈α	2␈α	is␈α	obtained␈α	by␈α	suppressing␈α	all␈αλcarries,
␈β
Z␈↓ α]␈ε¬6␈↓ β(␈ε¬5␈↓ βs␈ε¬4␈↓ ∧>␈ε¬3␈↓ ¬	␈ε¬2
␈β
←␈↓ ↓H␈εαand␈αλit␈αλis␈↓ αJ␈ελx␈↓ αn␈εα+␈↓ β∃␈ελx␈↓ β:␈εα+␈↓ β`␈ελx␈↓ ∧¬␈εα+␈↓ ∧,␈ελx␈↓ ∧P␈εα+␈↓ ∧w␈ελx␈↓ ¬≠␈εα+␈↓ ¬B␈ελx␈↓ ¬W␈εα+␈αβ1.␈αIf␈αλw␈α␈e␈α	had␈αλm␈α␈ultiplied␈αλthe␈αλsame␈αλpolynomials
␈β␈↓ ↓H␈εαo␈α␈v␈α␈er␈αthe␈αin␈α␈tegers,␈αwithout␈αtaking␈αresidues␈αmodulo␈α2,␈αthe␈αresult␈αw␈α␈ould␈αhav␈α␈e␈αbeen
␈β1␈↓ ↓Z␈ε¬6␈↓ α/␈ε¬5␈↓ β∧␈ε¬4␈↓ βk␈ε¬3␈↓ ∧?␈ε¬2
␈β6␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓q␈εα+␈↓ α≤␈ελx␈↓ αE␈εα+␈↓ αq␈ελx␈↓ β~␈εα+␈αλ3␈↓ βX␈ελx␈↓ ∧↓␈εα+␈↓ ∧-␈ελx␈↓ ∧V␈εα+␈↓ ¬↓␈ελx␈↓ ¬≤␈εα+␈αλ1;␈αagain␈αcarries␈αare␈αsuppressed,␈αbut␈αin␈αthis␈αcase
␈βa␈↓ ↓H␈εαthe␈αcoe}cien␈α␈ts␈αcan␈αget␈αarbitrarily␈αlarge.
␈β∂␈↓ α␈εαIn␈α∞view␈α
of␈α∞this␈α∞strong␈α∞analogy␈α
with␈α∞m␈α␈ultiple-precision␈α∞arithmetic,␈α∞it␈α∞is␈α
un-
␈β:␈↓ ↓H␈εαnecessary␈αto␈α
discuss␈αpolynomial␈α
addition,␈α
subtraction,␈αand␈α
m␈α␈ultiplication␈αm␈α␈uch
␈βf␈↓ ↓H␈εαfurther␈απin␈αλthis␈αλsection.␈αHo␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈αλw␈α␈e␈αλshould␈αλpoin␈α␈t␈αλout␈απsome␈αλfactors␈αλthat␈αλoften␈απmak␈α␈e
␈β
⊃␈↓ ↓H␈εαpolynomial␈αarithmetic␈αsomewhat␈αdi{eren␈α␈t␈αfrom␈αm␈α␈ultiple-precision␈αarithmetic␈αin
␈β
<␈↓ ↓H␈εαpractice:␈α∞There␈α
is␈α
often␈α∞a␈α
tendency␈α
to␈α
hav␈α␈e␈α
a␈α∞large␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
zero␈α
coe}cien␈α␈ts,
␈β
g␈↓ ↓H␈εαand␈α	polynomials␈α
of␈α
h␈α␈uge␈α	degrees,␈α
so␈α
special␈α
forms␈α	of␈α
represen␈α␈tation␈α
are␈α	desirable;
␈β∞∩␈↓ ↓H␈εαthis␈αsituation␈αis␈αconsidered␈αin␈αSection␈α2.2.4.␈αFurthermore,␈αarithmetic␈αon␈αpolyno-
␈β∞>␈↓ ↓H␈εαmials␈α	in␈α	sev␈α␈eral␈α	variables␈α	leads␈α	to␈α	routines␈α
that␈α	are␈α	best␈α	understood␈α	in␈α	a␈α	recursiv␈α␈e
␈β∞i␈↓ ↓H␈εαframew␈α␈ork;␈αthis␈αsituation␈αis␈αdiscussed␈αin␈αChapter␈α8.
␈β∂↔␈↓ α␈εαAlthough␈α⊃the␈α⊃techniques␈α⊃of␈α⊃polynomial␈α∩addition,␈α∩subtraction,␈α∩and␈α⊃m␈α␈ulti-
␈β∂B␈↓ ↓H␈εαplication␈α∞are␈α∂comparativ␈α␈ely␈α∂straigh␈α␈tforward,␈α∂there␈α∂are␈α∂sev␈α␈eral␈α∂other␈α∞importan␈α␈t
␈β∂m␈↓ ↓H␈εαaspects␈α	of␈α	polynomial␈α	arithmetic␈α	that␈α	deserv␈α␈e␈αλspecial␈α	examination.␈αThe␈α	follo␈α␈wing
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εαsubsections␈α
therefore␈αdiscuss␈ε∂␈αdivision␈εα␈αof␈αpolynomials,␈αwith␈αassociated␈α
techniques
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαsuch␈α	as␈α
|nding␈α	greatest␈α
common␈α
divisors␈α	and␈α
factoring.␈αWe␈α
shall␈α	also␈α
discuss␈α	the
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαproblem␈αof␈αe}cien␈α␈t␈ε∂␈αevaluation␈εα␈αof␈αpolynomials,␈αi.e.,␈αthe␈αtask␈αof␈α|nding␈αthe␈αvalue
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓r␈ελu␈↓ απ␈εα(␈↓ α∪␈ελx␈↓ α&␈εα)␈αwhen␈↓ β≤␈ελx␈↓ β;␈εαis␈αa␈αgiv␈α␈en␈αelemen␈α␈t␈αof␈↓ ε␈ελS␈↓ ε"␈εα,␈αusing␈αas␈αfew␈αoperations␈αas␈αpossible.␈αThe
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.1␈ε∞␈↓ π:DIV␈α␈ISION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα389
␈βα#␈↓ ∧p␈εn
␈βα(␈↓ ↓H␈εαspecial␈αcase␈αof␈αevaluating␈↓ ∧]␈ελx␈↓ ¬
␈εαrapidly␈αwhen␈↓ εe␈ελn␈↓ πε␈εαis␈αlarge␈αis␈αquite␈αimportan␈α␈t␈α
by␈αitself,
␈βαS␈↓ ↓H␈εαso␈αit␈αis␈αdiscussed␈αin␈αdetail␈αin␈αSection␈α4.6.3.
␈ββ↓␈↓ α␈εαThe␈α
|rst␈α
major␈α
set␈α
of␈α
computer␈α
subroutines␈α
for␈α
doing␈α
polynomial␈α
arithmetic
␈ββ,␈↓ ↓H␈εαwas␈α
the␈α
ALP␈α⎇AK␈α
system␈α[W.␈α
S.␈α
Bro␈α␈wn,␈αJ.␈α
P.␈α
Hyde,␈αand␈α
B.␈α
A.␈αTague,␈ε∂␈α
Bell␈α
System
␈ββW␈↓ ↓H␈ε∂Tech.␈α∞J.␈ε∩␈α∂42␈εα␈α∂(1963),␈α∂2081↑2119;␈ε∩␈α⊃43␈εα␈α∞(1964),␈α⊂785↑804,␈α∂1547↑1562].␈α∃Another␈α∞early
␈β∧α␈↓ ↓H␈εαlandmark␈α∞in␈α∞this␈α∞|eld␈α∞was␈α∞the␈α∞PM␈α∞system␈α∞of␈α∞George␈α
Collins␈α∞[␈ε∂CA␈α␈CM␈ε∩␈α∞9␈εα␈α∞(1966),
␈β∧-␈↓ ↓H␈εα578↑589];␈αsee␈αalso␈αC.␈αL.␈αHam␈α␈blin,␈ε∂␈αComp.␈αJ.␈ε∩␈α10␈εα␈α(1967),␈α168↑171.
␈β¬H␈↓ ↓H␈ε≥E␈α␈XERCI␈α↓SE␈α␈S
␈βε≡␈↓ 
[␈εε2
␈βε#␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβ[␈ε	10␈↓ α;␈εβ]␈α⊗If␈αλw␈α␈e␈αλa␈α␈re␈αλd␈α␈oing␈απp␈α␈olyn␈α␈omial␈αλa␈α␈rithme␈α␈ti␈α↓c␈απmod␈α␈ulo␈απ10␈α␈,␈α	wha␈α␈t␈αλis␈αλ7␈↓ 	≠␈ε	x␈↓ 	0␈εβ+␈αβ2␈απmin␈α␈u␈α␈s␈↓ 
J␈ε	x␈↓ 
k␈εβ+␈αβ3␈α␈?
␈βεF␈↓ αg␈εε2␈↓ ∧|␈εε2
␈βεJ␈↓ ↓H␈εβWh␈α␈at␈αis␈α6␈↓ αV␈ε	x␈↓ α{␈εβ+␈↓ β$␈ε	x␈↓ β=␈εβ+␈αλ3␈α
ti␈α↓m␈α␈es␈α5␈↓ ∧k␈ε	x␈↓ ¬⊂␈εβ+␈αλ2?
␈βπ¬␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβ[␈ε	17␈↓ α;␈εβ]␈α⊗True␈α∂o␈α␈r␈α∂f␈α↓a␈α␈lse:␈α"(a␈α␈)␈α⊂Th␈α␈e␈α∂pro␈α␈du␈α␈ct␈α∂of␈α∂mon␈α␈ic␈α∂po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials␈α∂i␈α↓s␈α∂mo␈α␈nic.␈α!(b)␈α∂The
␈βπ-␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rod␈α␈uct␈α
of␈α
po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials␈αo␈α␈f␈αres␈α␈pectiv␈α}e␈αd␈α␈egre␈α␈es␈↓ εV␈ε	m␈↓ ε⎇␈εβan␈α␈d␈↓ π=␈ε	n␈↓ π\␈εβh␈α␈as␈α
deg␈α␈ree␈↓ λ⎇␈ε	m␈↓ 	!␈εβ+␈↓ 	I␈ε	n␈↓ 	]␈εβ.␈α_(c)␈α
The␈α
sum
␈βπT␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αpoly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈ls␈αof␈αrespe␈α␈ctiv␈α␈e␈αd␈α␈egree␈α␈s␈↓ ¬]␈ε	m␈↓ εε␈εβa␈α␈nd␈↓ εF␈ε	n␈↓ εf␈εβh␈α␈as␈αd␈α␈egree␈↓ λλ␈εβmax␈↓ λG␈εβ(␈↓ λR␈ε	m␈↓ λp␈εβ,␈↓ λ}␈ε	n␈↓ 	∪␈εβ).
␈βλ∂␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗If␈α	eac␈α␈h␈α	of␈α	th␈α␈e␈α	coe␈α␈}cien␈α␈t␈α␈s␈↓ ¬a␈ε	u␈↓ ε↓␈εβ,␈↓ ε∀␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ε@␈εβ,␈↓ εS␈ε	u␈↓ εr␈εβ,␈↓ π¬␈ε	v␈↓ π∨␈εβ,␈↓ π2␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ π↑␈εβ,␈↓ πq␈ε	v␈↓ λ∃␈εβi␈α↓n␈αλ(4)␈α	is␈α	an␈α	in␈α}teger␈α	sa␈α␈tisf␈α↓y␈α␈ing
␈βλ→␈↓ ¬u␈εr␈↓ εf␈εε0␈↓ π∀␈εs␈↓ λ␈εε0
␈βλ6␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈απcon␈α␈dition␈α␈s␈ε↔␈αλj␈↓ β"␈ε	u␈↓ β@␈ε↔j␈α	∀␈↓ β⎇␈ε	m␈↓ ∧&␈εβ,␈ε↔␈αλj␈↓ ∧@␈ε	v␈↓ ∧[␈ε↔j␈α
∀␈↓ ¬_␈ε	m␈↓ ¬A␈εβ,␈α	wh␈α␈at␈απis␈αλth␈α␈e␈απmax␈α␈i␈α↓m␈α}um␈απab␈α␈solut␈α␈e␈αλv␈α␈alue␈απo␈α␈f␈αλth␈α␈e␈αλp␈α␈rod␈α␈uc␈α␈t
␈βλA␈↓ β5␈εi␈↓ ∧→␈εε1␈↓ ∧O␈εj␈↓ ¬5␈εε2
␈βλ↑␈↓ ↓H␈εβc␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈ts␈↓ αo␈ε	w␈↓ β∩␈εβ?
␈βλi␈↓ β¬␈εk
␈β	∃␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β	→␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβ[␈ε	21␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Can␈αthe␈αm␈α␈ultiplication␈αof␈αp␈α␈olyn␈α␈omials␈αmo␈α␈du␈α␈lo␈α2␈αb␈α␈e␈αfacilitated␈αby␈αusing␈αthe
␈β	@␈↓ ↓H␈εβo␈α␈rdin␈α␈ary␈α∞arith␈α␈metic␈α∞op␈α␈eration␈α␈s␈α∞on␈α∞a␈α∞b␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈α
comp␈α␈ute␈α␈r,␈α⊂if␈α∞coe}␈α␈ci␈α↓e␈α␈n␈α␈ts␈α∞are␈α∞p␈α␈ack␈α}ed␈α∞in␈α␈to
␈β	h␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omp␈α␈uter␈αw␈α␈o␈α␈rds?
␈β
∨␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β
#␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβ[␈ε	M21␈↓ αX␈εβ]␈α⊗S␈α␈ho␈α␈w␈αho␈α}w␈αto␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓y␈αt␈α␈w␈α␈o␈αp␈α␈olyn␈α␈omials␈αof␈αd␈α␈eg␈α␈ree␈ε↔␈α∀␈↓ λx␈ε	n␈↓ 	␈εβ,␈αm␈α␈odu␈α␈lo␈α2␈α␈,␈αwith␈αan
␈β
F␈↓ ¬9␈εεlg␈↓ ¬Q␈εε3
␈β
J␈↓ ↓H␈εβe␈α␈x␈α␈ecu␈α␈tion␈απtime␈αλp␈α␈rop␈α␈ortion␈α␈al␈αλto␈↓ ¬α␈ε	O␈↓ ¬~␈εβ(␈↓ ¬%␈ε	n␈↓ ¬↑␈εβ)␈αλwh␈α␈en␈↓ εD␈ε	n␈↓ ε`␈εβis␈αλlarg␈α␈e,␈α	b␈α␈y␈απad␈α␈aptin␈α␈g␈αλKa␈α␈ratsu␈α␈ba␈α␈'␈α↓s␈απmeth␈α␈od
␈β
r␈↓ ↓H␈εβ(cf.␈αS␈α␈ection␈α4␈α␈.3.3).
␈βε␈↓ ↓H␈ε≥4␈α␈.6.1.␈α
Div␈α↓ision␈α∞o␈α␈f␈α∞Polyn␈α↓o␈α␈m␈α↓ials
␈βO␈↓ ↓H␈εαIt␈αλis␈αλpossible␈αλto␈α	divide␈αλone␈αλpolynomial␈α	by␈αλanother␈αλin␈αλessen␈α␈tially␈α	the␈αλsame␈αλway␈αλthat
␈βz␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈απdivide␈απone␈απm␈α␈ultiple-precision␈απin␈α␈teger␈απby␈αλanother,␈αλwhen␈απarithmetic␈απis␈απbeing␈απdone
␈β
&␈↓ ↓H␈εαon␈αpolynomials␈α
o␈α␈v␈α␈er␈αa␈α
\|eld."␈α
A␈α|eld␈↓ ε"␈ελS␈↓ εE␈εαis␈αa␈αcomm␈α␈utativ␈α␈e␈α
ring␈αwith␈α
iden␈α␈tity,␈αin
␈β
Q␈↓ ↓H␈εαwhich␈α	exact␈α
division␈α	is␈α	possible␈α
as␈α	w␈α␈ell␈α
as␈α	the␈α
operations␈α	of␈α	addition,␈α
subtraction,
␈β
|␈↓ ↓H␈εαand␈α
m␈α␈ultiplication;␈αthis␈αmeans␈αas␈α
usual␈αthat␈α
whenev␈α␈er␈↓ λ∨␈ελu␈↓ λ?␈εαand␈↓ 	∧␈ελv␈↓ 	!␈εαare␈αelemen␈α␈ts␈αof␈↓ ⊗␈ελS
␈β∞'␈↓ ↓H␈εαand␈↓ α∞␈ελv␈↓ α,␈ε⊗≤␈εα␈α0,␈α
there␈α
is␈αan␈α
elemen␈α␈t␈↓ ¬?␈ελw␈↓ ¬f␈εαin␈↓ ε⊃␈ελS␈↓ ε4␈εαsuch␈α
that␈↓ πV␈ελu␈↓ πw␈εα=␈↓ λ&␈ελv␈↓ λ9␈ελw␈↓ λT␈εα.␈α∞The␈α
most␈αimportan␈α␈t
␈β∞R␈↓ ↓H␈εα|elds␈αof␈αcoe}cien␈α␈ts␈αthat␈αarise␈αin␈αapplications␈αare
␈β∂⊃␈↓ ↓b␈εαa)␈↓ α␈εαthe␈αrational␈αn␈α␈um␈α␈bers␈α(represen␈α␈ted␈αas␈αfractions,␈αsee␈αSection␈α4.5.1);
␈β∂>␈↓ ↓`␈εαb)␈↓ α␈εαthe␈α∞real␈α∂or␈α∞complex␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈α∂(represen␈α␈ted␈α∞within␈α∞a␈α∂computer␈α∞by␈α∞means␈α∞of
␈β∂i␈↓ α␈εα⎇oating-poin␈α␈t␈αappro␈α␈ximations;␈αsee␈αSection␈α4.2);
␈β⊂↔␈↓ ↓d␈εαc)␈↓ α␈εαthe␈α
in␈α␈tegers␈α
modulo␈↓ ∧Q␈ελp␈↓ ∧q␈εαwhere␈↓ ¬Y␈ελp␈↓ ¬y␈εαis␈αprime␈α
(with␈α
division␈α
implemen␈α␈ted␈α
as␈αsug-
␈β⊂B␈↓ α␈εαgested␈αin␈αex␈α␈ercise␈α4.5.2↑15);
␈β⊂o␈↓ ↓`␈εαd)␈↓ α␈εα\rational␈α	functions"␈αλo␈α␈v␈α␈er␈αλa␈α	|eld␈αλ(namely,␈α
quotien␈α␈ts␈αλof␈α	t␈α␈w␈α␈o␈αλpolynomials␈αλwhose
␈β⊃~␈↓ α␈εαcoe}cien␈α␈ts␈αare␈αin␈αthat␈α|eld,␈αthe␈αdenominator␈αbeing␈αmonic).
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα390␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.1
␈βα(␈↓ ↓H␈εαOf␈α	special␈α	importance␈α	is␈α	the␈α	|eld␈α	of␈α	in␈α␈tegers␈α	modulo␈α	2,␈α	when␈α	the␈α	t␈α␈w␈α␈o␈α	values␈α	0␈α	and
␈βαS␈↓ ↓H␈εα1␈αare␈αthe␈αonly␈αelemen␈α␈ts␈αof␈αthe␈α|eld.␈αPolynomials␈αo␈α␈v␈α␈er␈αthis␈α|eld␈α(namely␈αpolyno-
␈βα}␈↓ ↓H␈εαmials␈α
modulo␈α
2)␈α
hav␈α␈e␈α∞man␈α␈y␈α
analogies␈α
to␈α
in␈α␈tegers␈α∞expressed␈α
in␈α
binary␈α
notation;
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαand␈α
rational␈αfunctions␈αo␈α␈v␈α␈er␈α
this␈α|eld␈αhav␈α␈e␈αstriking␈α
analogies␈αto␈αrational␈α
n␈α␈um␈α␈bers
␈ββU␈↓ ↓H␈εαwhose␈αn␈α␈umerator␈αand␈αdenominator␈αare␈αrepresen␈α␈ted␈αin␈αbinary␈αnotation.
␈β∧↓␈↓ α␈εαGiv␈α␈en␈απt␈α␈w␈α␈o␈αλpolynomials␈↓ ∧s␈ελu␈↓ ¬	␈εα(␈↓ ¬∃␈ελx␈↓ ¬'␈εα)␈αλand␈↓ ¬|␈ελv␈↓ ε∂␈εα(␈↓ ε≠␈ελx␈↓ ε.␈εα)␈απo␈α␈v␈α␈er␈απa␈απ|eld,␈α	with␈↓ λE␈ελv␈↓ λX␈εα(␈↓ λd␈ελx␈↓ λw␈εα)␈ε⊗␈α
≤␈εα␈α
0,␈αλw␈α␈e␈απcan␈απdivide
␈β∧,␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓]␈εα(␈↓ ↓i␈ελx␈↓ ↓|␈εα)␈α∞by␈↓ αL␈ελv␈↓ α←␈εα(␈↓ αk␈ελx␈↓ α⎇␈εα)␈α∞to␈α∞obtain␈α∞a␈α∞quotien␈α␈t␈α∞polynomial␈↓ π"␈ελq␈↓ π2␈εα(␈↓ π>␈ελx␈↓ πQ␈εα)␈α∞and␈α∞a␈α∞remainder␈α
polynomial
␈β∧W␈↓ ↓H␈ελr␈↓ ↓W␈εα(␈↓ ↓c␈ελx␈↓ ↓v␈εα)␈αsatisfying␈αthe␈αconditions
␈β¬/␈↓ βQ␈ελu␈↓ βg␈εα(␈↓ βs␈ελx␈↓ ∧¬␈εα)␈α
=␈↓ ∧I␈ελq␈↓ ∧Z␈εα(␈↓ ∧f␈ελx␈↓ ∧x␈εα)␈ε⊗␈αλ↓␈↓ ¬≡␈ελv␈↓ ¬1␈εα(␈↓ ¬=␈ελx␈↓ ¬P␈εα)␈αλ+␈↓ ε⊂␈ελr␈↓ ε ␈εα(␈↓ ε,␈ελx␈↓ ε>␈εα),␈↓ π"␈εαdeg␈↓ πX␈εα(␈↓ πd␈ελr␈↓ πt␈εα)␈α
<␈↓ λ8␈εαdeg␈↓ λn␈εα(␈↓ λz␈ελv␈↓ 	
␈εα).␈↓ α␈εα(1)
␈β¬h␈↓ 	,␈ε↓␈␈↓ 
?␈ε↓↓
␈βελ␈↓ ↓H␈εαIt␈α
is␈α
easy␈α∞to␈α
see␈α∞that␈α
there␈α∞is␈α
at␈α
most␈α∞one␈α
pair␈α∞of␈α
polynomials␈↓ 	:␈ελq␈↓ 	J␈εα(␈↓ 	V␈ελx␈↓ 	h␈εα),␈↓ 
∧␈ελr␈↓ 
∀␈εα(␈↓ 
 ␈ελx␈↓ 
3␈εα)␈↓ 
Z␈εαsatis-
␈βε∪␈↓ π!␈ε↓␈␈↓ λK␈ε↓↓␈↓ 	-␈ε↓␈␈↓ 
W␈ε↓↓
␈βε3␈↓ ↓H␈εαfying␈α
these␈α
relations;␈α∞for␈α
if␈α
(1)␈α
holds␈α
for␈α∞both␈↓ π/␈ελq␈↓ πJ␈εα(␈↓ πV␈ελx␈↓ πi␈εα),␈↓ λ¬␈ελr␈↓ λ ␈εα(␈↓ λ,␈ελx␈↓ λ?␈εα)␈↓ λf␈εαand␈↓ 	;␈ελq␈↓ 	W␈εα(␈↓ 	c␈ελx␈↓ 	u␈εα),␈↓ 
⊃␈ελr␈↓ 
,␈εα(␈↓ 
8␈ελx␈↓ 
K␈εα)␈↓ 
r␈εαand
␈βε@␈↓ π<␈ε¬1␈↓ λ∩␈ε¬1␈↓ 	H␈ε¬2␈↓ 
≡␈ε¬2
␈βε↑␈↓ ↓H␈εαfor␈α∞the␈α∞same␈α∞polynomials␈↓ ∧h␈ελu␈↓ ∧}␈εα(␈↓ ¬
␈ελx␈↓ ¬≤␈εα),␈↓ ¬8␈ελv␈↓ ¬K␈εα(␈↓ ¬W␈ελx␈↓ ¬j␈εα),␈α∂then␈↓ εc␈ελq␈↓ ε}␈εα(␈↓ π
␈ελx␈↓ π≥␈εα)␈↓ π)␈ελv␈↓ π<␈εα(␈↓ πH␈ελx␈↓ πZ␈εα)␈α
+␈↓ λ≥␈ελr␈↓ λ8␈εα(␈↓ λD␈ελx␈↓ λW␈εα)␈α∞=␈↓ 	"␈ελq␈↓ 	=␈εα(␈↓ 	I␈ελx␈↓ 	\␈εα)␈↓ 	h␈ελv␈↓ 	{␈εα(␈↓ 
π␈ελx␈↓ 
~␈εα)␈α	+␈↓ 
\␈ελr␈↓ 
x␈εα(␈↓ ∧␈ελx␈↓ ⊗␈εα),
␈βεj␈↓ ↓y␈ε↓␈␈↓ βN␈ε↓↓
␈βεk␈↓ εp␈ε¬1␈↓ λ*␈ε¬1␈↓ 	/␈ε¬2␈↓ 
i␈ε¬2
␈βπ	␈↓ ↓H␈εαso␈↓ απ␈ελq␈↓ α"␈εα(␈↓ α.␈ελx␈↓ αA␈εα)␈ε⊗␈α␈␈↓ βλ␈ελq␈↓ β#␈εα(␈↓ β/␈ελx␈↓ βB␈εα)␈↓ β\␈ελv␈↓ βo␈εα(␈↓ β{␈ελx␈↓ ∧∞␈εα)␈α∩=␈↓ ∧c␈ελr␈↓ ∧}␈εα(␈↓ ¬
␈ελx␈↓ ¬≥␈εα)␈ε⊗␈α␈␈↓ ¬d␈ελr␈↓ ¬␈␈εα(␈↓ ε␈ελx␈↓ ε≡␈εα).␈α≠No␈α␈w␈α⊃if␈↓ πN␈ελq␈↓ πj␈εα(␈↓ πv␈ελx␈↓ λ	␈εα)␈ε⊗␈α␈␈↓ λO␈ελq␈↓ λk␈εα(␈↓ λw␈ελx␈↓ 	
␈εα)␈α⊃is␈α⊃nonzero,␈α∩then
␈βπ∃␈↓ ↓}␈ε↓␈␈↓ β'␈ε↓↓
␈βπ↔␈↓ α∀␈ε¬1␈↓ β∃␈ε¬2␈↓ ∧p␈ε¬2␈↓ ¬p␈ε¬1␈↓ π[␈ε¬1␈↓ λ\␈ε¬2
␈βπ4␈↓ ↓H␈εαdeg␈↓ α␈εα(␈↓ α_␈ελq␈↓ α6␈ε⊗␈␈↓ α]␈ελq␈↓ αx␈εα)␈ε⊗␈α∧↓␈↓ β∃␈ελv␈↓ β?␈εα=␈↓ βm␈εαdeg␈↓ ∧#␈εα(␈↓ ∧/␈ελq␈↓ ∧N␈ε⊗␈␈↓ ∧u␈ελq␈↓ ¬⊂␈εα)␈αβ+␈↓ ¬F␈εαdeg␈↓ ¬|␈εα(␈↓ ελ␈ελv␈↓ ε≠␈εα)␈ε⊗␈α
∃␈↓ ε←␈εαdeg␈↓ π∃␈εα(␈↓ π!␈ελv␈↓ π4␈εα)␈α
>␈↓ πx␈εαdeg␈↓ λ.␈εα(␈↓ λ:␈ελr␈↓ λX␈ε⊗␈␈↓ λ␈␈ελr␈↓ 	~␈εα),␈α	a␈αλcon␈α␈tradiction;
␈βπB␈↓ α%␈ε¬1␈↓ αj␈ε¬2␈↓ ∧<␈ε¬1␈↓ ¬α␈ε¬2␈↓ λG␈ε¬2␈↓ 	␈ε¬1
␈βπ`␈↓ ↓H␈εαhence␈↓ α,␈ελq␈↓ αG␈εα(␈↓ αS␈ελx␈↓ αf␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ β&␈ελq␈↓ βA␈εα(␈↓ βM␈ελx␈↓ β`␈εα)␈α
=␈α
0␈αand␈↓ ¬λ␈ελr␈↓ ¬#␈εα(␈↓ ¬/␈ελx␈↓ ¬B␈εα)␈α
=␈α
0.
␈βπm␈↓ α9␈ε¬1␈↓ β3␈ε¬2␈↓ ¬∃␈ε¬1
␈βλ␈↓ α␈εαThe␈αfollo␈α␈wing␈αalgorithm,␈αwhich␈αis␈αessen␈α␈tially␈αthe␈αsame␈αas␈αAlgorithm␈α4.3.1D
␈βλ7␈↓ ↓H␈εαfor␈αm␈α␈ultiple-precision␈αdivision␈αbut␈αwithout␈αan␈α␈y␈αconcerns␈αof␈αcarries,␈αmay␈αbe␈αused
␈βλb␈↓ ↓H␈εαto␈αdetermine␈↓ β≤␈ελq␈↓ β,␈εα(␈↓ β8␈ελx␈↓ βK␈εα)␈αand␈↓ ∧)␈ελr␈↓ ∧8␈εα(␈↓ ∧D␈ελx␈↓ ∧W␈εα):
␈β	'␈↓ ↓H␈ε∩Algorithm␈αD.␈εα␈α(␈ε∂Division␈αof␈αpolynomials␈αo␈α␈v␈α␈er␈αa␈α|eld␈↓ π`␈εα)␈ε∩.␈εα␈α→Giv␈α␈en␈αpolynomials
␈β	y␈↓ βf␈εm␈↓ λ!␈εn
␈β	␈␈↓ α,␈ελu␈↓ αB␈εα(␈↓ αN␈ελx␈↓ αa␈εα)␈α
=␈↓ β%␈ελu␈↓ βS␈ελx␈↓ ∧λ␈εα+␈↓ ∧4␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧f␈εα+␈↓ ¬∩␈ελu␈↓ ¬5␈ελx␈↓ ¬P␈εα+␈↓ ¬|␈ελu␈↓ ε∨␈εα,␈↓ εw␈ελv␈↓ π	␈εα(␈↓ π∃␈ελx␈↓ π(␈εα)␈α
=␈↓ πl␈ελv␈↓ λ∞␈ελx␈↓ λ;␈εα+␈↓ λg␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	→␈εα+␈↓ 	E␈ελv␈↓ 	c␈ελx␈↓ 	}␈εα+␈↓ 
*␈ελv
␈β

␈↓ β9␈εm␈↓ ¬'␈ε¬1␈↓ ε⊂␈ε¬0␈↓ π|␈εn␈↓ 	T␈ε¬1␈↓ 
9␈ε¬0
␈β
X␈↓ ↓H␈εαo␈α␈v␈α␈er␈αλa␈αλ|eld␈↓ αv␈ελS␈↓ β␈εα,␈α	where␈↓ ∧β␈ελv␈↓ ∧.␈ε⊗≤␈εα␈α
0␈αλand␈↓ ¬8␈ελm␈↓ ¬b␈ε⊗∃␈↓ ε⊂␈ελn␈↓ ε0␈ε⊗∃␈εα␈α
0,␈αλthis␈αλalgorithm␈αλ|nds␈αλthe␈αλpolynomials
␈β
e␈↓ ∧∩␈εn
␈β*␈↓ ∧$␈εm␈↓ ∧>␈ε→␈␈↓ ∧[␈εn␈↓ λA␈εn␈↓ λS␈ε→␈␈ε¬1
␈β0␈↓ αI␈ελq␈↓ αY␈εα(␈↓ αe␈ελx␈↓ αw␈εα)␈α
=␈↓ β;␈ελq␈↓ ∧⊃␈ελx␈↓ ∧u␈εα+␈↓ ¬!␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬S␈εα+␈↓ ¬␈␈ελq␈↓ ε~␈εα,␈↓ εr␈ελr␈↓ πα␈εα(␈↓ π∞␈ελx␈↓ π ␈εα)␈α
=␈↓ πd␈ελr␈↓ λ.␈ελx␈↓ 	ε␈εα+␈↓ 	2␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	d␈εα+␈↓ 
⊂␈ελr
␈β=␈↓ βH␈εm␈↓ βb␈ε→␈␈↓ β␈␈εn␈↓ ε␈ε¬0␈↓ πq␈εn␈↓ λβ␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 
≥␈ε¬0
␈βλ␈↓ ↓H␈εαo␈α␈v␈α␈er␈↓ α⊗␈ελS␈↓ α8␈εαthat␈αsatisfy␈α(1).
␈βA␈↓ ↓H␈ε∩D1.␈↓ α␈εα[Iterate␈α∂on␈↓ βA␈ελk␈↓ βS␈εα.]␈α≡Do␈α∂step␈α∞D2␈α∂for␈↓ ελ␈ελk␈↓ ε(␈εα=␈↓ εZ␈ελm␈↓ π∧␈ε⊗␈␈↓ π2␈ελn␈↓ πG␈εα,␈↓ πa␈ελm␈↓ λ
␈ε⊗␈␈↓ λ8␈ελn␈↓ λW␈ε⊗␈␈εα␈α
1,␈↓ 	0␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	`␈εα,␈α⊂0;␈α⊂then␈α∞the
␈βl␈↓ α␈εαalgorithm␈αterminates␈αwith␈α(␈↓ ¬@␈ελr␈↓ ε
␈εα,␈↓ ε~␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εJ␈εα,␈↓ εZ␈ελr␈↓ εu␈εα)␈ε⊗␈α
 ␈εα␈α
(␈↓ πE␈ελu␈↓ λ↔␈εα,␈↓ λ'␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λW␈εα,␈↓ λg␈ελu␈↓ 	
␈εα).
␈βy␈↓ ¬M␈εn␈↓ ¬←␈ε→␈␈ε¬1␈↓ εg␈ε¬0␈↓ πZ␈εn␈↓ πl␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ λ{␈ε¬0
␈β
$␈↓ ↓H␈ε∩D2.␈↓ α␈εα[Division␈α⊃loop.]␈α!Set␈↓ ∧c␈ελq␈↓ ¬⊃␈ε⊗ ␈↓ ¬G␈ελu␈↓ ε_␈εα/␈↓ ε*␈ελv␈↓ εL␈εα,␈α∩and␈α⊃then␈α⊂set␈↓ λF␈ελu␈↓ λz␈ε⊗ ␈↓ 	0␈ελu␈↓ 	]␈ε⊗␈␈↓ 
␈ελq␈↓ 
'␈ελv␈↓ ␈εαfor
␈β
2␈↓ ∧p␈εk␈↓ ¬[␈εn␈↓ ¬m␈ε¬+␈↓ ε
␈εk␈↓ ε:␈εn␈↓ λ[␈εj␈↓ 	D␈εj␈↓ 
→␈εk␈↓ 
7␈εj␈↓ 
D␈ε→␈␈↓ 
a␈εk
␈β
P␈↓ α␈ελj␈↓ α&␈εα=␈↓ αT␈ελn␈↓ αo␈εα+␈↓ β↔␈ελk␈↓ β.␈ε⊗␈␈εα␈α∧1,␈↓ β|␈ελn␈↓ ∧⊗␈εα+␈↓ ∧?␈ελk␈↓ ∧U␈ε⊗␈␈εα␈α¬2,␈↓ ¬$␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬T␈εα,␈↓ ¬h␈ελk␈↓ ¬y␈εα.␈α∪(The␈α
latter␈α	operation␈α
amoun␈α␈ts␈α	to␈α	replacing
␈β
v␈↓ ∧/␈εk
␈β
{␈↓ α␈ελu␈↓ α"␈εα(␈↓ α.␈ελx␈↓ α@␈εα)␈αby␈↓ β␈ελu␈↓ β"␈εα(␈↓ β.␈ελx␈↓ βA␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ∧↓␈ελq␈↓ ∧≤␈ελx␈↓ ∧>␈ελv␈↓ ∧Q␈εα(␈↓ ∧]␈ελx␈↓ ∧o␈εα),␈αa␈αpolynomial␈αof␈αdegree␈α<␈↓ λ1␈ελn␈↓ λO␈εα+␈↓ λ{␈ελk␈↓ 	
␈εα.)
␈β∞␈↓ 	J␈∧∞	J≠∂
␈β∞λ␈↓ ∧∞␈εk
␈β∞@␈↓ α␈εαAn␈αexample␈α
of␈αAlgorithm␈α
D␈αappears␈α
belo␈α␈w␈αin␈α
(5).␈αThe␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈αof␈α
arithmetic
␈β∞k␈↓ ↓H␈εαoperations␈α∂is␈α⊂essen␈α␈tially␈α∂proportional␈α⊂to␈↓ εR␈ελn␈↓ εh␈εα(␈↓ εt␈ελm␈↓ π≡␈ε⊗␈␈↓ πM␈ελn␈↓ πm␈εα+␈α
1).␈α↔For␈α∂some␈α⊂reason␈α∂this
␈β∂⊗␈↓ ↓H␈εαprocedure␈αhas␈αbecome␈α
kno␈α␈wn␈αas␈α
\syn␈α␈thetic␈αdivision"␈αof␈α
polynomials.␈α
Note␈αthat
␈β∂B␈↓ ↓H␈εαexplicit␈αdivision␈αof␈αcoe}cien␈α␈ts␈αis␈αdone␈αonly␈αat␈αthe␈αbeginning␈αof␈αstep␈αD2,␈αand␈αthe
␈β∂m␈↓ ↓H␈εαdivisor␈α
is␈αalways␈↓ βS␈ελv␈↓ βu␈εα;␈αth␈α␈us␈αif␈↓ ∧x␈ελv␈↓ ¬␈εα(␈↓ ¬↔␈ελx␈↓ ¬*␈εα)␈α
is␈αa␈α
monic␈αpolynomial␈α
(with␈↓ λ⎇␈ελv␈↓ 	)␈εα=␈α
1),␈α
there␈αis␈α
no
␈β∂z␈↓ βc␈εn␈↓ 	
␈εn
␈β⊂_␈↓ ↓H␈εαactual␈α
division␈αat␈α
all.␈α∂If␈α
m␈α␈ultiplication␈α
is␈α
easier␈α
to␈α
perform␈α
than␈α
division␈α
it␈αwill
␈β⊂C␈↓ ↓H␈εαbe␈α
preferable␈αto␈α
compute␈α1/␈↓ ∧|␈ελv␈↓ ¬(␈εαat␈α
the␈αbeginning␈α
of␈αthe␈α
algorithm␈αand␈α
to␈α
m␈α␈ultiply
␈β⊂Q␈↓ ¬␈εn
␈β⊂n␈↓ ↓H␈εαby␈αthis␈αquan␈α␈tity␈αin␈αstep␈αD2.
␈β⊃~␈↓ α␈εαWe␈αshall␈αoccasionally␈αwrite␈↓ ¬D␈ελu␈↓ ¬Z␈εα(␈↓ ¬f␈ελx␈↓ ¬x␈εα)␈↓ ε
␈εαmod␈↓ εT␈ελv␈↓ εg␈εα(␈↓ εs␈ελx␈↓ πε␈εα)␈αfor␈αthe␈αremainder␈↓ 	>␈ελr␈↓ 	N␈εα(␈↓ 	Z␈ελx␈↓ 	m␈εα)␈αin␈α(1).
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.1␈ε∞␈↓ π:DIV␈α␈ISION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα391
␈βα(␈↓ ↓H␈ε∩Unique␈α
factorization␈α
domains.␈εα␈α≤If␈α
w␈α␈e␈α
restrict␈α∞consideration␈α
to␈α
polynomials␈α
o␈α␈v␈α␈er
␈βαS␈↓ ↓H␈εαa␈α|eld,␈α
w␈α␈e␈αare␈α
not␈αcoming␈α
to␈α
grips␈αwith␈α
man␈α␈y␈αimportan␈α␈t␈α
cases,␈αsuch␈α
as␈αpolyno-
␈βα}␈↓ ↓H␈εαmials␈αo␈α␈v␈α␈er␈αthe␈αin␈α␈tegers␈αor␈αpolynomials␈αin␈αsev␈α␈eral␈αvariables.␈αLet␈αus␈αtherefore␈αno␈α␈w
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαconsider␈αthe␈αmore␈αgeneral␈αsituation␈αthat␈αthe␈αalgebraic␈αsystem␈↓ 	∃␈ελS␈↓ 	7␈εαof␈αcoe}cien␈α␈ts␈αis
␈ββU␈↓ ↓H␈εαa␈ε∂␈α∞unique␈α∂factorization␈α∞domain␈εα,␈α∂not␈α∂necessarily␈α∞a␈α∂|eld.␈α∀This␈α∞means␈α∂that␈↓ 
O␈ελS␈↓ 
t␈εαis␈α∞a
␈β∧␈↓ ↓H␈εαcomm␈α␈utativ␈α␈e␈αring␈αwith␈αiden␈α␈tity,␈αand␈αthat
␈β∧4␈↓ ↓j␈εαi)␈↓ α␈ελu␈↓ α"␈ελv␈↓ α>␈ε⊗≤␈εα␈α
0,␈αwhenev␈α␈er␈↓ ∧3␈ελu␈↓ ∧U␈εαand␈↓ ¬≠␈ελv␈↓ ¬:␈εαare␈αnonzero␈αelemen␈α␈ts␈αof␈↓ λ9␈ελS␈↓ λO␈εα;
␈β∧`␈↓ ↓`␈εαii)␈↓ α␈εαev␈α␈ery␈α⊂nonzero␈α∂elemen␈α␈t␈↓ ¬α␈ελu␈↓ ¬(␈εαof␈↓ ¬U␈ελS␈↓ ¬{␈εαis␈α∂either␈α⊂a␈α∂\unit"␈α⊂or␈α∂has␈α⊂a␈α∂\unique"␈α∂repre-
␈β¬␈↓ α␈εαsen␈α␈tation␈αof␈αthe␈αform
␈β¬Z␈↓ ¬ ␈ελu␈↓ ¬@␈εα=␈↓ ¬n␈ελp␈↓ ε∀␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εD␈ελp␈↓ ε←␈εα,␈↓ π7␈ελt␈↓ πN␈ε⊗∃␈εα␈α
1,␈↓ α␈εα(2)
␈β¬g␈↓ ¬␈␈ε¬1␈↓ εU␈εt
␈βε)␈↓ α␈εαwhere␈↓ αt␈ελp␈↓ β∪␈εα,␈↓ β)␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βY␈εα,␈↓ βo␈ελp␈↓ ∧↔␈εαare␈α\primes."
␈βε7␈↓ β¬␈ε¬1␈↓ ∧␈εt
␈βε↑␈↓ ↓H␈εαHere␈α∞a␈α
\unit"␈↓ β/␈ελu␈↓ βS␈εαis␈α∞an␈α∞elemen␈α␈t␈α
that␈α∞has␈α∞a␈α∞reciprocal,␈α∞i.e.,␈α∂an␈α∞elemen␈α␈t␈α∞such␈α
that
␈βπ	␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓]␈ελv␈↓ ↓␈␈εα=␈α∞1␈α∂for␈α∞some␈↓ βi␈ελv␈↓ ∧
␈εαin␈↓ ∧7␈ελS␈↓ ∧M␈εα;␈α⊂and␈α∂a␈α∂\prime"␈↓ ε]␈ελp␈↓ ε}␈εαis␈α∂a␈α∂non␈α␈unit␈α∞elemen␈α␈t␈α∂such␈α∂that␈α∞the
␈βπ4␈↓ ↓H␈εαequation␈↓ αX␈ελp␈↓ αu␈εα=␈↓ β#␈ελq␈↓ β3␈ελr␈↓ βM␈εαcan␈αbe␈αtrue␈α
only␈αif␈αeither␈↓ ε[␈ελq␈↓ εv␈εαor␈↓ π!␈ελr␈↓ π;␈εαis␈αa␈αunit.␈αThe␈αrepresen␈α␈tation␈α
(2)
␈βπ←␈↓ ↓H␈εαis␈α
to␈α
be␈α
unique␈α∞in␈α
the␈α
sense␈α
that␈α
if␈↓ ¬{␈ελp␈↓ ε ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εP␈ελp␈↓ εx␈εα=␈↓ π(␈ελq␈↓ πI␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πy␈ελq␈↓ λ∩␈εα,␈α∞where␈α
all␈α
the␈↓ 
ε␈ελp␈↓ 
_␈εα's␈α
and␈↓ ∧␈ελq␈↓ ∀␈εα's
␈βπm␈↓ ε␈ε¬1␈↓ εa␈εt␈↓ π5␈ε¬1␈↓ λε␈εs
␈βλ␈↓ ↓H␈εαare␈αprimes,␈αthen␈↓ βT␈ελs␈↓ βn␈εα=␈↓ ∧≤␈ελt␈↓ ∧5␈εαand␈αthere␈α
is␈αa␈αperm␈α␈utation␈↓ πg␈ελ→␈↓ λ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ<␈ελ→␈↓ λd␈εαsuch␈αthat␈↓ 
¬␈ελp␈↓ 
.␈εα=␈↓ 
]␈ελa␈↓ 
|␈ελq␈↓ "␈εα,
␈βλ_␈↓ πx␈ε¬1␈↓ λM␈εt␈↓ 
⊗␈ε¬1␈↓ 
m␈ε¬1␈↓ 	␈ε→
␈βλ!␈↓ ↔␈επ1
␈βλ6␈↓ ↓H␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ↓x␈εα,␈↓ α␈ελp␈↓ α2␈εα=␈↓ α`␈ελa␈↓ α{␈ελq␈↓ β)␈εαfor␈α
some␈α
units␈↓ ¬∂␈ελa␈↓ ¬/␈εα,␈↓ ¬C␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬s␈εα,␈↓ επ␈ελa␈↓ ε#␈εα.␈αIn␈α
other␈α
w␈α␈ords,␈α
factorization␈α
in␈α␈to␈α
primes
␈βλC␈↓ α≥␈εt␈↓ αp␈εt␈↓ βλ␈ε→␈↓ ¬ ␈ε¬1␈↓ ε_␈εt
␈βλL␈↓ β⊗␈ε
t
␈βλa␈↓ ↓H␈εαis␈αunique,␈αex␈α␈cept␈αfor␈αunit␈αm␈α␈ultiples␈αand␈αex␈α␈cept␈αfor␈αthe␈αorder␈αof␈αthe␈αfactors.
␈β	␈↓ α␈εαAn␈α␈y␈α
|eld␈αis␈α
a␈α
unique␈αfactorization␈α
domain,␈αin␈α
which␈α
each␈αnonzero␈α
elemen␈α␈t␈α
is
␈β	7␈↓ ↓H␈εαa␈α
unit␈αand␈αthere␈α
are␈αno␈αprimes.␈αThe␈αin␈α␈tegers␈αform␈α
a␈αunique␈αfactorization␈α
domain
␈β	c␈↓ ↓H␈εαin␈αwhich␈αthe␈αunits␈αare␈α+1␈αand␈ε⊗␈α␈␈εα1,␈αand␈αthe␈αprimes␈αare␈ε⊗␈αε␈εα2,␈ε⊗␈αε␈εα3,␈ε⊗␈αε␈εα5,␈ε⊗␈αε␈εα7,␈ε⊗␈αε␈εα11,
␈β
∞␈↓ ↓H␈εαetc.␈αThe␈α	case␈α
that␈↓ βg␈ελS␈↓ ∧π␈εαis␈α	the␈α
set␈α	of␈α
all␈α	in␈α␈tegers␈α
is␈α	of␈α
principal␈α	importance,␈α
because␈α	it
␈β
9␈↓ ↓H␈εαis␈αoften␈αpreferable␈αto␈αw␈α␈ork␈αwith␈αin␈α␈teger␈αcoe}cien␈α␈ts␈αinstead␈αof␈αarbitrary␈αrational
␈β
d␈↓ ↓H␈εαcoe}cien␈α␈ts.
␈β∂␈↓ α␈εαOne␈αof␈αthe␈αk␈α␈ey␈αfacts␈αabout␈αpolynomials␈α(see␈αex␈α␈ercise␈α10)␈αis␈αthat␈ε∂␈αthe␈αpolyno-
␈β;␈↓ ↓H␈ε∂mials␈α∂o␈α␈v␈α␈er␈α∞a␈α∂unique␈α∂factorization␈α∂domain␈α∂form␈α∂a␈α∂unique␈α∂factorization␈α∞domain.
␈βf␈↓ ↓H␈εαA␈α⊃polynomial␈α⊂that␈α⊃is␈α⊃\prime"␈α⊃in␈α⊃this␈α⊃domain␈α⊃is␈α⊃usually␈α⊃called␈α⊃an␈ε∂␈α⊂irreducible
␈β⊃␈↓ ↓H␈ε∂polynomial.␈εα␈αBy␈αusing␈αthe␈α
unique␈αfactorization␈αtheorem␈α
repeatedly,␈αw␈α␈e␈αcan␈α
pro␈α␈v␈α␈e
␈β<␈↓ ↓H␈εαthat␈α
m␈α␈ultivariate␈α
polynomials␈α
o␈α␈v␈α␈er␈α
the␈αin␈α␈tegers,␈α
or␈α
o␈α␈v␈α␈er␈α
an␈α␈y␈α|eld,␈α
in␈α
an␈α␈y␈α
n␈α␈um␈α␈ber
␈βg␈↓ ↓H␈εαof␈α	variables,␈αcan␈α	be␈α
uniquely␈α
factored␈α
in␈α␈to␈α
irreducible␈α	polynomials.␈αFor␈α	example,
␈β

␈↓ ¬@␈ε¬3␈↓ εI␈ε¬2␈↓ πS␈ε¬2␈↓ 	↓␈ε¬2
␈β
∪␈↓ ↓H␈εαthe␈αm␈α␈ultivariate␈αpolynomial␈α90␈↓ ¬.␈ελx␈↓ ¬U␈ε⊗␈␈εα␈απ120␈↓ ε6␈ελx␈↓ εW␈ελy␈↓ εr␈εα+␈απ18␈↓ πA␈ελx␈↓ πb␈ελy␈↓ πv␈ελz␈↓ λ␈ε⊗␈␈εα␈αε24␈↓ λZ␈ελx␈↓ λm␈ελy␈↓ 	∂␈ελz␈↓ 	)␈εαo␈α␈v␈α␈er␈αthe␈αin␈α␈tegers
␈β
>␈↓ ↓H␈εαis␈α⊂the␈α⊂product␈α⊃of␈α⊂|v␈α␈e␈α⊃irreducible␈α⊂polynomials␈α⊃2␈ε⊗␈α↓␈εα␈α
3␈ε⊗␈α↓␈↓ λ→␈ελx␈↓ λ7␈ε⊗↓␈εα␈α(3␈↓ λj␈ελx␈↓ 	λ␈ε⊗␈␈εα␈α4␈↓ 	I␈ελy␈↓ 	]␈εα)␈ε⊗␈α↓␈εα␈α(5␈↓ 
'␈ελx␈↓ 
D␈εα+␈↓ 
s␈ελy␈↓ π␈ελz␈↓ ⊗␈εα).
␈β
i␈↓ ↓H␈εαThe␈α
same␈αpolynomial,␈α
as␈αa␈α
polynomial␈αo␈α␈v␈α␈er␈α
the␈αrationals,␈αis␈α
the␈α
product␈αof␈α
three
␈β∞∀␈↓ ↓H␈εαirreducible␈αpolynomials␈α(6␈↓ ∧↑␈ελx␈↓ ∧q␈εα)␈ε⊗␈απ↓␈εα␈απ(3␈↓ ¬3␈ελx␈↓ ¬M␈ε⊗␈␈εα␈απ4␈↓ ε
␈ελy␈↓ ε≡␈εα)␈ε⊗␈απ↓␈εα␈απ(5␈↓ ε`␈ελx␈↓ εz␈εα+␈↓ π%␈ελy␈↓ π9␈ελz␈↓ πH␈εα);␈αthis␈αfactorization␈αcan␈αalso␈αbe
␈β∞<␈↓ ¬+␈ε¬1
␈β∞?␈↓ ↓H␈εαwritten␈↓ αE␈ελx␈↓ α←␈ε⊗↓␈εα␈αλ(90␈↓ β!␈ελx␈↓ β;␈ε⊗␈␈εα␈απ120␈↓ ∧≤␈ελy␈↓ ∧1␈εα)␈ε⊗␈απ↓␈εα␈απ(␈↓ ∧a␈ελx␈↓ ∧|␈εα+␈↓ ¬=␈ελy␈↓ ¬Q␈ελz␈↓ ¬`␈εα)␈αand␈αin␈αin|nitely␈αman␈α␈y␈αother␈αways,␈αalthough
␈β∞P␈↓ ¬+␈∧∞P¬+α∂
␈β∞R␈↓ ¬+␈ε¬5
␈β∞k␈↓ ↓H␈εαthe␈αfactorization␈αis␈αessen␈α␈tially␈αunique.
␈β∂⊗␈↓ α␈εαAs␈α⊂usual,␈α⊃w␈α␈e␈α⊂say␈α⊂that␈↓ ¬␈ελu␈↓ ¬⊗␈εα(␈↓ ¬"␈ελx␈↓ ¬5␈εα)␈α⊂is␈α⊂a␈α⊂m␈α␈ultiple␈α⊂of␈↓ πZ␈ελv␈↓ πm␈εα(␈↓ πy␈ελx␈↓ λ␈εα),␈α⊃and␈↓ λ⎇␈ελv␈↓ 	∂␈εα(␈↓ 	≠␈ελx␈↓ 	.␈εα)␈α⊂is␈α⊂a␈α⊂divisor␈α⊂of
␈β∂A␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓]␈εα(␈↓ ↓i␈ελx␈↓ ↓|␈εα),␈α∂if␈↓ αF␈ελu␈↓ α\␈εα(␈↓ αh␈ελx␈↓ α{␈εα)␈α∞=␈↓ βG␈ελv␈↓ βZ␈εα(␈↓ βf␈ελx␈↓ βy␈εα)␈↓ ∧¬␈ελq␈↓ ∧∃␈εα(␈↓ ∧!␈ελx␈↓ ∧4␈εα)␈α∞for␈α∂some␈α∂polynomial␈↓ π"␈ελq␈↓ π2␈εα(␈↓ π>␈ελx␈↓ πQ␈εα).␈α∀If␈α∂w␈α␈e␈α∞hav␈α␈e␈α∂an␈α∂algorithm␈α∞to
␈β∂l␈↓ ↓H␈εαtell␈αwhether␈αor␈α
not␈↓ β⎇␈ελu␈↓ ∧∨␈εαis␈αa␈αm␈α␈ultiple␈α
of␈↓ ε→␈ελv␈↓ ε8␈εαfor␈αarbitrary␈α
elemen␈α␈ts␈↓ 	≡␈ελu␈↓ 	@␈εαand␈↓ 
ε␈ελv␈↓ 
#␈ε⊗≤␈εα␈α0␈αof␈αa
␈β⊂↔␈↓ ↓H␈εαunique␈αλfactorization␈αλdomain␈↓ ¬α␈ελS␈↓ ¬→␈εα,␈α	and␈αλto␈αλdetermine␈↓ π:␈ελw␈↓ π]␈εαif␈↓ π|␈ελu␈↓ λ≠␈εα=␈↓ λI␈ελv␈↓ λ←␈ε⊗↓␈↓ λl␈ελw␈↓ 	π␈εα,␈α	then␈αλAlgorithm␈αλD
␈β⊂C␈↓ ↓H␈εαgiv␈α␈es␈αus␈α
a␈αmethod␈α
to␈αtell␈α
whether␈αor␈α
not␈↓ εT␈ελu␈↓ εi␈εα(␈↓ εu␈ελx␈↓ πλ␈εα)␈α
is␈αa␈α
m␈α␈ultiple␈αof␈↓ 	≤␈ελv␈↓ 	/␈εα(␈↓ 	;␈ελx␈↓ 	M␈εα)␈α
for␈αarbitrary
␈β⊂n␈↓ ↓H␈εαpolynomials␈↓ β∂␈ελu␈↓ β$␈εα(␈↓ β0␈ελx␈↓ βC␈εα)␈αand␈↓ ∧∨␈ελv␈↓ ∧2␈εα(␈↓ ∧>␈ελx␈↓ ∧Q␈εα)␈ε⊗␈α
≤␈εα␈α
0␈αo␈α␈v␈α␈er␈↓ ¬␈␈ελS␈↓ ε∃␈εα.␈αFor␈αif␈↓ π∂␈ελu␈↓ π%␈εα(␈↓ π1␈ελx␈↓ πC␈εα)␈αis␈αa␈αm␈α␈ultiple␈αof␈↓ 	P␈ελv␈↓ 	b␈εα(␈↓ 	n␈ελx␈↓ 
↓␈εα),␈αit␈αis␈αeasy
␈β⊃→␈↓ ↓H␈εαto␈α
see␈α∞that␈↓ β↓␈ελu␈↓ β`␈εαm␈α␈ust␈α∞be␈α∞a␈α∞m␈α␈ultiple␈α∞of␈↓ εG␈ελv␈↓ εw␈εαeach␈α
time␈α∞w␈α␈e␈α∞get␈α∞to␈α
step␈α∞D2,␈α∞hence
␈β⊃&␈↓ β∃␈εn␈↓ β'␈ε¬+␈↓ βD␈εk␈↓ εW␈εn
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα392␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.1
␈βα&␈↓ ↓H␈εαthe␈αquotien␈α␈t␈↓ β⊃␈ελu␈↓ β'␈εα(␈↓ β3␈ελx␈↓ βF␈εα)/␈↓ βd␈ελv␈↓ βw␈εα(␈↓ ∧β␈ελx␈↓ ∧⊗␈εα)␈αwill␈αbe␈αfound.␈α_(Applying␈αthis␈αobservation␈αrepeatedly,␈αw␈α␈e
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαobtain␈αan␈αalgorithm␈αthat␈αdecides␈αif␈αa␈αgiv␈α␈en␈αpolynomial␈αo␈α␈v␈α␈er␈↓ λu␈ελS␈↓ 	␈εα,␈αin␈αan␈α␈y␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαvariables,␈α∞is␈α∞a␈α∞m␈α␈ultiple␈α
of␈α∞another␈α∞giv␈α␈en␈α∞polynomial␈α∞o␈α␈v␈α␈er␈↓ λ↑␈ελS␈↓ λu␈εα,␈α∞and␈α∞the␈α
algorithm
␈ββ(␈↓ ↓H␈εαwill␈α|nd␈αthe␈αquotien␈α␈t␈αwhen␈αit␈αexists.)
␈ββT␈↓ α␈εαA␈απset␈αεof␈απelemen␈α␈ts␈αεof␈απa␈απunique␈αεfactorization␈απdomain␈αεis␈απsaid␈απto␈αεbe␈ε∂␈απrelativ␈α␈ely␈αεprime
␈ββ␈␈↓ ↓H␈εαif␈α	no␈α	prime␈α	of␈α	that␈α	unique␈α
factorization␈α	domain␈α	divides␈α	all␈α	of␈α	them.␈αA␈α	polynomial
␈β∧*␈↓ ↓H␈εαo␈α␈v␈α␈er␈αa␈αunique␈αfactorization␈α
domain␈αis␈αcalled␈ε∂␈αprimitiv␈α␈e␈εα␈α
if␈αits␈αcoe}cien␈α␈ts␈αare␈αrela-
␈β∧U␈↓ ↓H␈εαtiv␈α␈ely␈αprime.␈α⊗(This␈αconcept␈αshould␈αnot␈αbe␈αconfused␈αwith␈αthe␈αquite␈αdi{eren␈α␈t␈α
idea
␈β¬↓␈↓ ↓H␈εαof␈α\primitiv␈α␈e␈αpolynomials␈αmodulo␈↓ ¬g␈ελp␈↓ ¬y␈εα"␈α
discussed␈αin␈αSection␈α3.2.2.)␈α→The␈αfollo␈α␈wing
␈β¬,␈↓ ↓H␈εαfact␈αis␈αof␈αprime␈αimportance:
␈β¬r␈↓ ↓H␈ε∩Lemma␈αλG␈εα␈α	(Gauss's␈α	Lemma)␈ε∩.␈ε∂␈α⊃The␈αλproduct␈α	of␈α	primitiv␈α␈e␈αλpolynomials␈α	o␈α␈v␈α␈er␈α	a␈αλunique
␈βε≥␈↓ ↓H␈ε∂factorization␈αdomain␈αis␈αprimitiv␈α␈e.
␈βεd␈↓ ∧C␈εm␈↓ λ→␈εn
␈βεi␈↓ ↓H␈ε∂Proof.␈εα␈α≠Let␈↓ β¬␈ελu␈↓ β~␈εα(␈↓ β&␈ελx␈↓ β9␈εα)␈α=␈↓ ∧α␈ελu␈↓ ∧0␈ελx␈↓ ∧f␈εα+␈↓ ¬∪␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬F␈εα+␈↓ ¬s␈ελu␈↓ ε#␈εαand␈↓ εj␈ελv␈↓ ε⎇␈εα(␈↓ π	␈ελx␈↓ π≤␈εα)␈α=␈↓ πd␈ελv␈↓ λε␈ελx␈↓ λ4␈εα+␈↓ λa␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	∀␈εα+␈↓ 	A␈ελv␈↓ 	l␈εαbe␈α
primitiv␈α␈e
␈βεv␈↓ ∧⊗␈εm␈↓ επ␈ε¬0␈↓ πt␈εn␈↓ 	P␈ε¬0
␈βπ∀␈↓ ↓H␈εαpolynomials.␈α∃If␈↓ βK␈ελp␈↓ βl␈εαis␈α⊂an␈α␈y␈α∂prime␈α∂of␈α∂the␈α⊂domain,␈α⊂w␈α␈e␈α∂m␈α␈ust␈α∂sho␈α␈w␈α∂that␈↓ 
∧␈ελp␈↓ 
%␈εαdoes␈α∂not
␈βπ?␈↓ ↓H␈εαdivide␈α∞all␈α∞the␈α∞coe}cien␈α␈ts␈α∞of␈↓ ¬
␈ελu␈↓ ¬#␈εα(␈↓ ¬/␈ελx␈↓ ¬A␈εα)␈↓ ¬M␈ελv␈↓ ¬`␈εα(␈↓ ¬l␈ελx␈↓ ¬␈␈εα).␈α∩By␈α∞assumption,␈α∂there␈α∞is␈α∞an␈α∞index␈↓ 
H␈ελj␈↓ 
f␈εαsuch
␈βπj␈↓ ↓H␈εαthat␈↓ α↔␈ελu␈↓ αF␈εαis␈α
not␈α
divisible␈α∞by␈↓ ∧q␈ελp␈↓ ¬β␈εα,␈α∞and␈α
an␈α
index␈↓ εx␈ελk␈↓ π↔␈εαsuch␈α
that␈↓ λ:␈ελv␈↓ λe␈εαis␈α
not␈α∞divisible␈α
by␈↓ ⊂␈ελp␈↓ "␈εα.
␈βπx␈↓ α+␈εj␈↓ λI␈εk
␈βλ⊂␈↓ 	∃␈εj␈↓ 	"␈ε¬+␈↓ 	?␈εk
␈βλ⊗␈↓ ↓H␈εαLet␈↓ α␈ελj␈↓ α+␈εαand␈↓ αs␈ελk␈↓ β∀␈εαbe␈α∞as␈α∞small␈α∂as␈α∞possible;␈α⊂then␈α∞the␈α∂coe}cien␈α␈t␈α∞of␈↓ 	α␈ελx␈↓ 	\␈εαin␈↓ 
λ␈ελu␈↓ 
≡␈εα(␈↓ 
*␈ελx␈↓ 
<␈εα)␈↓ 
H␈ελv␈↓ 
[␈εα(␈↓ 
g␈ελx␈↓ 
z␈εα)␈α∞is
␈βλA␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓i␈ελv␈↓ α⊂␈εα+␈↓ α;␈ελu␈↓ βλ␈ελv␈↓ βZ␈εα+␈↓ ∧ε␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧7␈εα+␈↓ ∧c␈ελu␈↓ ¬0␈ελv␈↓ ¬V␈εα+␈↓ εα␈ελu␈↓ εO␈ελv␈↓ π ␈εα+␈↓ πL␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π}␈εα+␈↓ λ*␈ελu␈↓ λM␈ελv␈↓ 	∃␈εα,␈αand␈αthis␈αis␈αnot␈αa
␈βλN␈↓ ↓\␈εj␈↓ ↓y␈εk␈↓ αP␈εj␈↓ α]␈ε¬+1␈↓ β_␈εk␈↓ β'␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ ∧x␈εj␈↓ ¬¬␈ε¬+␈↓ ¬"␈εk␈↓ ¬@␈ε¬0␈↓ ε↔␈εj␈↓ ε$␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ε←␈εk␈↓ εm␈ε¬+1␈↓ λ>␈ε¬0␈↓ λ]␈εk␈↓ λk␈ε¬+␈↓ 	λ␈εj
␈βλl␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiple␈αof␈↓ α␈␈ελp␈↓ β≥␈εα(since␈αits␈α|rst␈αterm␈αisn't,␈αbut␈αall␈αof␈αits␈αother␈αterms␈αare).
␈βλq␈↓ 
-␈∧λq
-≠∂
␈β	2␈↓ α␈εαIf␈α∞a␈α
nonzero␈α∞polynomial␈↓ ¬∀␈ελu␈↓ ¬*␈εα(␈↓ ¬6␈ελx␈↓ ¬I␈εα)␈α
o␈α␈v␈α␈er␈↓ ε2␈ελS␈↓ εV␈εαis␈α
not␈α∞primitiv␈α␈e,␈α∞w␈α␈e␈α
can␈α∞write␈↓ 
;␈ελu␈↓ 
Q␈εα(␈↓ 
]␈ελx␈↓ 
p␈εα)␈α=
␈β	↑␈↓ ↓H␈ελp␈↓ ↓n␈ε⊗↓␈↓ ↓}␈ελu␈↓ α!␈εα(␈↓ α-␈ελx␈↓ α@␈εα),␈αwhere␈↓ βH␈ελp␈↓ βr␈εαis␈αa␈αprime␈αof␈↓ ¬@␈ελS␈↓ ¬a␈εαdividing␈αall␈α
the␈αcoe}cien␈α␈ts␈αof␈↓ 	6␈ελu␈↓ 	L␈εα(␈↓ 	X␈ελx␈↓ 	j␈εα),␈αand␈α
where
␈β	k␈↓ ↓Y␈ε¬1␈↓ α∪␈ε¬1␈↓ βY␈ε¬1
␈β
	␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓k␈εα(␈↓ ↓w␈ελx␈↓ α	␈εα)␈α
is␈αanother␈αnonzero␈α
polynomial␈αo␈α␈v␈α␈er␈↓ εY␈ελS␈↓ εp␈εα.␈α
All␈αof␈αthe␈α
coe}cien␈α␈ts␈αof␈↓ 
	␈ελu␈↓ 
,␈εα(␈↓ 
8␈ελx␈↓ 
K␈εα)␈αhav␈α␈e
␈β
⊗␈↓ ↓\␈ε¬1␈↓ 
≡␈ε¬1
␈β
4␈↓ ↓H␈εαone␈α∞less␈α∂prime␈α∞factor␈α∂than␈α∞the␈α∞corresponding␈α∂coe}cien␈α␈ts␈α∞of␈↓ 	π␈ελu␈↓ 	≥␈εα(␈↓ 	)␈ελx␈↓ 	;␈εα).␈α∀No␈α␈w␈α∞if␈↓ 
←␈ελu␈↓ α␈εα(␈↓ ∞␈ελx␈↓  ␈εα)
␈β
A␈↓ 
s␈ε¬1
␈β
←␈↓ ↓H␈εαis␈α⊂not␈α⊂primitiv␈α␈e,␈α⊃w␈α␈e␈α⊂can␈α⊂write␈↓ ¬=␈ελu␈↓ ¬`␈εα(␈↓ ¬l␈ελx␈↓ ¬␈␈εα)␈α⊃=␈↓ εP␈ελp␈↓ ε{␈ε⊗↓␈↓ π∂␈ελu␈↓ π2␈εα(␈↓ π>␈ελx␈↓ πQ␈εα),␈α⊃etc.,␈α⊃and␈α⊂this␈α⊂process␈α⊂m␈α␈ust
␈β
m␈↓ ¬R␈ε¬1␈↓ εa␈ε¬2␈↓ π$␈ε¬2
␈β
␈↓ ↓H␈εαultimately␈αterminate␈α
in␈α
a␈αrepresen␈α␈tation␈↓ εP␈ελu␈↓ εf␈εα(␈↓ εr␈ελx␈↓ π¬␈εα)␈α=␈↓ πK␈ελc␈↓ πa␈ε⊗↓␈↓ πt␈ελu␈↓ λ↔␈εα(␈↓ λ#␈ελx␈↓ λ6␈εα),␈α
where␈↓ 	A␈ελc␈↓ 	\␈εαis␈α
an␈αelemen␈α␈t
␈β_␈↓ λλ␈εk
␈β6␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓r␈ελS␈↓ α∀␈εαand␈↓ αZ␈ελu␈↓ α⎇␈εα(␈↓ β	␈ελx␈↓ β≤␈εα)␈αis␈αprimitiv␈α␈e.␈αIn␈αfact,␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αlemma:
␈βC␈↓ αn␈εk
␈β|␈↓ ↓H␈ε∩Lemma␈αH.␈ε∂␈α~An␈α␈y␈αnonzero␈αpolynomial␈↓ ε⊗␈ελu␈↓ ε+␈εα(␈↓ ε7␈ελx␈↓ εJ␈εα)␈ε∂␈α
o␈α␈v␈α␈er␈αa␈αunique␈α
factorization␈αdomain␈↓ ⊗␈ελS
␈β'␈↓ ↓H␈ε∂can␈αbe␈αfactored␈αin␈αthe␈αform␈↓ ¬␈ελu␈↓ ¬⊗␈εα(␈↓ ¬"␈ελx␈↓ ¬5␈εα)␈α
=␈↓ ¬y␈ελc␈↓ ε∞␈ε⊗↓␈↓ ε∨␈ελv␈↓ ε2␈εα(␈↓ ε>␈ελx␈↓ εQ␈εα)␈ε∂,␈αwhere␈↓ πZ␈ελc␈↓ πs␈ε∂is␈αin␈↓ λ@␈ελS␈↓ λb␈ε∂and␈↓ 	'␈ελv␈↓ 	:␈εα(␈↓ 	F␈ελx␈↓ 	Y␈εα)␈ε∂␈αis␈αprimitiv␈α␈e.
␈βR␈↓ ↓H␈ε∂Furthermore,␈αthis␈αrepresen␈α␈tation␈α
is␈αunique,␈α
in␈αthe␈αsense␈α
that␈αif␈↓ 	0␈ελu␈↓ 	P␈εα=␈↓ 	␈␈ελc␈↓ 
#␈ε⊗↓␈↓ 
5␈ελv␈↓ 
S␈εα(␈↓ 
←␈ελx␈↓ 
r␈εα)␈α
=
␈β`␈↓ 
␈ε¬1␈↓ 
E␈ε¬1
␈β}␈↓ ↓H␈ελc␈↓ ↓k␈ε⊗↓␈↓ ↓⎇␈ελv␈↓ α≠␈εα(␈↓ α'␈ελx␈↓ α:␈εα)␈ε∂,␈αthen␈↓ β.␈ελc␈↓ βS␈εα=␈↓ ∧↓␈ελa␈↓ ∧∪␈ελc␈↓ ∧;␈ε∂and␈↓ ¬↓␈ελv␈↓ ¬∨␈εα(␈↓ ¬+␈ελx␈↓ ¬>␈εα)␈α
=␈↓ εα␈ελa␈↓ ε∀␈ελv␈↓ ε2␈εα(␈↓ ε>␈ελx␈↓ εQ␈εα)␈ε∂␈αwhere␈↓ πQ␈ελa␈↓ πn␈ε∂is␈αa␈αunit␈αof␈↓ 	&␈ελS␈↓ 	=␈ε∂.
␈β
␈↓ ↓U␈ε¬2␈↓ α
␈ε¬2␈↓ β;␈ε¬1␈↓ ∧ ␈ε¬2␈↓ ¬⊂␈ε¬2␈↓ ε#␈ε¬1
␈β
I␈↓ ↓H␈ε∂Proof.␈εα␈α∀We␈α	hav␈α␈e␈α
sho␈α␈wn␈α
that␈α
such␈α	a␈α
represen␈α␈tation␈α
exists,␈α
and␈α
so␈α
only␈α
the␈α	unique-
␈β
t␈↓ ↓H␈εαness␈αneeds␈αto␈αbe␈αpro␈α␈v␈α␈ed.␈αAssume␈αthat␈↓ ε≡␈ελc␈↓ ε@␈ε⊗↓␈↓ εQ␈ελv␈↓ εo␈εα(␈↓ ε{␈ελx␈↓ π∞␈εα)␈α
=␈↓ πR␈ελc␈↓ πt␈ε⊗↓␈↓ λ¬␈ελv␈↓ λ#␈εα(␈↓ λ/␈ελx␈↓ λB␈εα),␈αwhere␈↓ 	J␈ελv␈↓ 	h␈εα(␈↓ 	t␈ελx␈↓ 
π␈εα)␈αand␈↓ 
c␈ελv␈↓ α␈εα(␈↓ ∞␈ελx␈↓  ␈εα)
␈β∞α␈↓ ε+␈ε¬1␈↓ εa␈ε¬1␈↓ π←␈ε¬2␈↓ λ∃␈ε¬2␈↓ 	Z␈ε¬1␈↓ 
s␈ε¬2
␈β∞∨␈↓ ↓H␈εαare␈αprimitiv␈α␈e␈αand␈↓ βc␈ελc␈↓ ∧
␈εαis␈αnot␈αa␈αunit␈αm␈α␈ultiple␈αof␈↓ π␈ελc␈↓ π'␈εα.␈αBy␈αunique␈αfactorization␈αthere␈αis
␈β∞-␈↓ βp␈ε¬1␈↓ π_␈ε¬2
␈β∞E␈↓ π␈εk
␈β∞K␈↓ ↓H␈εαa␈α
prime␈↓ αI␈ελp␈↓ αf␈εαof␈↓ β∂␈ελS␈↓ β0␈εαand␈α
an␈αexponen␈α␈t␈↓ ¬>␈ελk␈↓ ¬[␈εαsuch␈αthat␈↓ εx␈ελp␈↓ π$␈εαdivides␈α
one␈αof␈ε⊗␈αf␈↓ 	_␈ελc␈↓ 	3␈εα,␈↓ 	C␈ελc␈↓ 	↑␈ε⊗g␈εα␈αbut␈αnot␈α
the
␈β∞X␈↓ 	%␈ε¬1␈↓ 	P␈ε¬2
␈β∞q␈↓ αz␈εk␈↓ ε?␈εk
␈β∞v␈↓ ↓H␈εαother,␈αλsay␈↓ αh␈ελp␈↓ β⊃␈εαdivides␈↓ ∧ε␈ελc␈↓ ∧*␈εαbut␈απnot␈↓ ¬#␈ελc␈↓ ¬?␈εα.␈α
Then␈↓ ε-␈ελp␈↓ εV␈εαdivides␈απall␈αλof␈αλthe␈αλcoe}cien␈α␈ts␈αλof␈↓ 
/␈ελc␈↓ 
M␈ε⊗↓␈↓ 
Y␈ελv␈↓ 
x␈εα(␈↓ ∧␈ελx␈↓ ⊗␈εα),
␈β∂β␈↓ ∧∪␈ε¬1␈↓ ¬0␈ε¬2␈↓ 
<␈ε¬2␈↓ 
i␈ε¬2
␈β∂!␈↓ ↓H␈εαso␈↓ ↓t␈ελp␈↓ α∪␈εαdivides␈αall␈αthe␈α
coe}cien␈α␈ts␈αof␈↓ ¬↑␈ελv␈↓ ¬|␈εα(␈↓ ελ␈ελx␈↓ ε≠␈εα),␈αcon␈α␈tradicting␈αthe␈α
assumption␈αthat␈↓ 
c␈ελv␈↓ α␈εα(␈↓ ∞␈ελx␈↓  ␈εα)
␈β∂.␈↓ ¬m␈ε¬2␈↓ 
s␈ε¬2
␈β∂L␈↓ ↓H␈εαis␈αprimitiv␈α␈e.␈αHence␈↓ βz␈ελc␈↓ ∧ ␈εα=␈↓ ∧N␈ελa␈↓ ∧←␈ελc␈↓ ∧{␈εα,␈αwhere␈↓ ¬x␈ελa␈↓ ε⊗␈εαis␈αa␈αunit;␈αand␈α0␈α
=␈↓ λ=␈ελa␈↓ λO␈ελc␈↓ λr␈ε⊗↓␈↓ 	∧␈ελv␈↓ 	"␈εα(␈↓ 	.␈ελx␈↓ 	A␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ 
↓␈ελc␈↓ 
$␈ε⊗↓␈↓ 
5␈ελv␈↓ 
T␈εα(␈↓ 
`␈ελx␈↓ 
r␈εα)␈α
=
␈β∂X␈↓ ↓⎇␈ε↓␈␈↓ βc␈ε↓↓
␈β∂Z␈↓ ∧π␈ε¬1␈↓ ∧l␈ε¬2␈↓ λ\␈ε¬2␈↓ 	∀␈ε¬1␈↓ 
∞␈ε¬2␈↓ 
E␈ε¬2
␈β∂w␈↓ ↓H␈ελc␈↓ ↓k␈ε⊗↓␈↓ α␈ελa␈↓ α≥␈ελv␈↓ α;␈εα(␈↓ αG␈ελx␈↓ αZ␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ β~␈ελv␈↓ β8␈εα(␈↓ βD␈ελx␈↓ βW␈εα)␈↓ β⎇␈εαimplies␈αthat␈↓ ¬E␈ελa␈↓ ¬W␈ελv␈↓ ¬u␈εα(␈↓ ε↓␈ελx␈↓ ε∀␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ εT␈ελv␈↓ εr␈εα(␈↓ ε}␈ελx␈↓ π⊃␈εα)␈α
=␈α
0.
␈β∂|␈↓ λ_␈∧∂|λ_≠∂
␈β⊂¬␈↓ ↓U␈ε¬2␈↓ α-␈ε¬1␈↓ β*␈ε¬2␈↓ ¬g␈ε¬1␈↓ εc␈ε¬2
␈β⊂>␈↓ α␈εαTherefore␈αw␈α␈e␈αmay␈αwrite␈αan␈α␈y␈αnonzero␈αpolynomial␈↓ λ⊗␈ελu␈↓ λ,␈εα(␈↓ λ8␈ελx␈↓ λJ␈εα)␈αas
␈β⊂w␈↓ π≤␈ε↓␈␈↓ πk␈ε↓↓
␈β⊃↔␈↓ ∧q␈ελu␈↓ ¬π␈εα(␈↓ ¬∪␈ελx␈↓ ¬&␈εα)␈α
=␈↓ ¬j␈εαcon␈α␈t␈↓ ε-␈εα(␈↓ ε9␈ελu␈↓ εN␈εα)␈ε⊗␈αλ↓␈↓ εt␈εαpp␈↓ π*␈ελu␈↓ π@␈εα(␈↓ πL␈ελx␈↓ π←␈εα)␈↓ πy␈εα,␈↓ α␈εα(3)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.1␈ε∞␈↓ π:DIV␈α␈ISION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα393
␈βαβ␈↓ λb␈ε↓␈␈↓ 	0␈ε↓↓
␈βα#␈↓ ↓H␈εαwhere␈αλcon␈α␈t(␈↓ α{␈ελu␈↓ β⊃␈εα),␈αλthe␈α	\con␈α␈ten␈α␈t"␈αλof␈↓ ¬0␈ελu␈↓ ¬F␈εα,␈α	is␈αλan␈αλelemen␈α␈t␈αλof␈↓ πN␈ελS␈↓ πe␈εα,␈α	and␈αλpp␈↓ λp␈ελu␈↓ 	ε␈εα(␈↓ 	∩␈ελx␈↓ 	$␈εα)␈↓ 	>␈εα,␈α	the␈αλ\primitiv␈α␈e
␈βαN␈↓ ↓H␈εαpart"␈αof␈↓ αQ␈ελu␈↓ αg␈εα(␈↓ αs␈ελx␈↓ β¬␈εα),␈αis␈αa␈αprimitiv␈α␈e␈αpolynomial␈αo␈α␈v␈α␈er␈↓ π
␈ελS␈↓ π ␈εα.␈αWhen␈↓ λ≡␈ελu␈↓ λ4␈εα(␈↓ λ@␈ελx␈↓ λR␈εα)␈α
=␈α
0,␈αit␈αis␈αcon␈α␈v␈α␈enien␈α␈t
␈βαY␈↓ ∧9␈ε↓␈␈↓ ¬λ␈ε↓↓
␈βαy␈↓ ↓H␈εαto␈α∞de|ne␈↓ αa␈εαcon␈α␈t␈↓ β$␈εα(␈↓ β0␈ελu␈↓ βE␈εα)␈α∞=␈↓ ∧⊃␈εαpp␈↓ ∧G␈ελu␈↓ ∧]␈εα(␈↓ ∧i␈ελx␈↓ ∧|␈εα)␈↓ ¬$␈εα=␈α∞0.␈α∪Com␈α␈bining␈α∂Lemmas␈α∞G␈α∂and␈α∞H␈α∂giv␈α␈es␈α∞us␈α∞the
␈ββ$␈↓ ↓H␈εαrelations
␈ββO␈↓ ∧Y␈εαcon␈α␈t␈↓ ¬≤␈εα(␈↓ ¬(␈ελu␈↓ ¬F␈ε⊗↓␈↓ ¬X␈ελv␈↓ ¬k␈εα)␈↓ ε↓␈εα=␈↓ ε/␈ελa␈↓ εG␈εαcon␈α␈t␈↓ π
␈εα(␈↓ π⊗␈ελu␈↓ π+␈εα)␈↓ π=␈εαcon␈α␈t␈↓ λ␈εα(␈↓ λ␈ελv␈↓ λ∨␈εα),
␈ββ[␈↓ ∧C␈ε↓␈␈↓ ¬i␈ε↓↓␈↓ εk␈ε↓␈␈↓ π:␈ε↓↓␈↓ πv␈ε↓␈␈↓ λA␈ε↓↓
␈ββf␈↓ α␈εα(4)
␈ββz␈↓ ∧≠␈εαpp␈↓ ∧Q␈ελu␈↓ ∧g␈εα(␈↓ ∧s␈ελx␈↓ ¬¬␈εα)␈ε⊗␈αλ↓␈↓ ¬+␈ελv␈↓ ¬>␈εα(␈↓ ¬J␈ελx␈↓ ¬]␈εα)␈↓ ε↓␈εα=␈↓ ε/␈ελb␈↓ εC␈εαpp␈↓ εy␈ελu␈↓ π∂␈εα(␈↓ π≠␈ελx␈↓ π.␈εα)␈↓ πN␈εαpp␈↓ λ∧␈ελv␈↓ λ⊗␈εα(␈↓ λ"␈ελx␈↓ λ5␈εα)␈↓ λO␈εα,
␈β∧I␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α4␈ελa␈↓ αU␈εαand␈↓ β∨␈ελb␈↓ β=␈εαare␈α⊂units,␈α⊃depending␈α⊂on␈↓ εL␈ελu␈↓ εq␈εαand␈↓ π;␈ελv␈↓ πN␈εα,␈α⊃with␈↓ λ?␈ελa␈↓ λQ␈ελb␈↓ λp␈εα=␈α⊂1.␈α_When␈α⊂w␈α␈e␈α∂are
␈β∧t␈↓ ↓H␈εαw␈α␈orking␈αwith␈αpolynomials␈αo␈α␈v␈α␈er␈αthe␈αin␈α␈tegers,␈αthe␈αonly␈αunits␈αare␈α+1␈αand␈ε⊗␈α␈␈εα1,␈αand
␈β¬␈↓ ¬⊂␈ε↓␈␈↓ ¬↑␈ε↓↓
␈β¬∨␈↓ ↓H␈εαit␈α	is␈α	con␈α␈v␈α␈en␈α␈tional␈α
to␈α	de|ne␈α
pp␈↓ ¬≡␈ελu␈↓ ¬3␈εα(␈↓ ¬?␈ελx␈↓ ¬R␈εα)␈↓ ¬v␈εαso␈α	that␈α	its␈α
leading␈α	coe}cien␈α␈t␈α
is␈α	positiv␈α␈e;␈α
then
␈β¬J␈↓ ↓H␈εα(4)␈αis␈αtrue␈αwith␈↓ β=␈ελa␈↓ βX␈εα=␈↓ ∧ε␈ελb␈↓ ∧∨␈εα=␈α
1.␈αWhen␈αw␈α␈orking␈αwith␈αpolynomials␈αo␈α␈v␈α␈er␈αa␈α|eld␈αw␈α␈e␈αmay
␈β¬V␈↓ ¬5␈ε↓␈␈↓ εβ␈ε↓↓
␈β¬v␈↓ ↓H␈εαtak␈α␈e␈αcon␈α␈t(␈↓ αf␈ελu␈↓ α{␈εα)␈α=␈↓ β@␈ελ#␈↓ βO␈εα(␈↓ β[␈ελu␈↓ βq␈εα),␈αso␈αthat␈αpp␈↓ ¬C␈ελu␈↓ ¬Y␈εα(␈↓ ¬e␈ελx␈↓ ¬w␈εα)␈↓ ε≡␈εαis␈αmonic;␈αin␈αthis␈αcase␈αagain␈α(4)␈αholds␈αwith
␈βε!␈↓ ↓H␈ελa␈↓ ↓d␈εα=␈↓ α∩␈ελb␈↓ α*␈εα=␈α
1,␈αfor␈αall␈↓ βj␈ελu␈↓ ∧␈εα(␈↓ ∧␈ελx␈↓ ∧≡␈εα)␈αand␈↓ ∧|␈ελv␈↓ ¬∂␈εα(␈↓ ¬≠␈ελx␈↓ ¬.␈εα).
␈βεP␈↓ α␈εαFor␈α	example,␈α
if␈α	w␈α␈e␈α	are␈α	dealing␈α	with␈α	polynomials␈α	o␈α␈v␈α␈er␈α	the␈α	in␈α␈tegers,␈α
let␈↓ 
>␈ελu␈↓ 
T␈εα(␈↓ 
`␈ελx␈↓ 
r␈εα)␈α
=
␈βεv␈↓ α"␈ε¬2
␈βε{␈↓ ↓H␈ε⊗␈␈εα26␈↓ α⊂␈ελx␈↓ α9␈εα+␈αλ39␈αand␈↓ β[␈ελv␈↓ βn␈εα(␈↓ βz␈ελx␈↓ ∧␈εα)␈α
=␈α
21␈↓ ∧t␈ελx␈↓ ¬∂␈εα+␈αλ14.␈αThen
␈βπ?␈↓ εj␈ε↓␈␈↓ π8␈ε↓↓
␈βπY␈↓ λ#␈ε¬2
␈βπ↑␈↓ α`␈εαcon␈α␈t␈↓ β#␈εα(␈↓ β/␈ελu␈↓ βD␈εα)␈↓ βZ␈εα=␈ε⊗␈α
␈␈εα13,
␈βπ←␈↓ εB␈εαpp␈↓ εx␈ελu␈↓ π
␈εα(␈↓ π→␈ελx␈↓ π,␈εα)␈↓ πP␈εα=␈α
2␈↓ λ⊂␈ελx␈↓ λ9␈ε⊗␈␈εα␈αλ3,
␈βπu␈↓ εm␈ε↓␈␈↓ π8␈ε↓↓
␈βλ∀␈↓ αb␈εαcon␈α␈t␈↓ β%␈εα(␈↓ β1␈ελv␈↓ βD␈εα)␈↓ βZ␈εα=␈α
+7,
␈βλ∃␈↓ εE␈εαpp␈↓ ε{␈ελv␈↓ π
␈εα(␈↓ π→␈ελx␈↓ π,␈εα)␈↓ πP␈εα=␈α
3␈↓ λ⊂␈ελx␈↓ λ+␈εα+␈αλ2,
␈βλ+␈↓ ε∩␈ε↓␈␈↓ π8␈ε↓↓
␈βλE␈↓ λ#␈ε¬3␈↓ 	
␈ε¬2
␈βλJ␈↓ α3␈εαcon␈α␈t␈↓ αv␈εα(␈↓ βα␈ελu␈↓ β∨␈ε⊗↓␈↓ β1␈ελv␈↓ βD␈εα)␈↓ βZ␈εα=␈ε⊗␈α
␈␈εα91,
␈βλK␈↓ ¬j␈εαpp␈↓ ε ␈ελu␈↓ ε6␈εα(␈↓ εB␈ελx␈↓ εU␈εα)␈ε⊗␈αλ↓␈↓ ε{␈ελv␈↓ π
␈εα(␈↓ π→␈ελx␈↓ π,␈εα)␈↓ πP␈εα=␈α
6␈↓ λ⊂␈ελx␈↓ λ9␈εα+␈αλ4␈↓ λw␈ελx␈↓ 	!␈ε⊗␈␈εα␈αλ9␈↓ 	←␈ελx␈↓ 	y␈ε⊗␈␈εα␈αλ6.
␈β	↑␈↓ ↓H␈ε∩Greatest␈α
common␈α
divisors.␈εα␈α≤When␈α
there␈α∞is␈α
unique␈α
factorization,␈α∞it␈α
mak␈α␈es␈α
sense
␈β
	␈↓ ↓H␈εαto␈α⊃speak␈α⊃of␈α⊃a␈α⊃\greatest␈α⊃common␈α⊃divisor"␈α⊃of␈α⊃t␈α␈w␈α␈o␈α⊃elemen␈α␈ts;␈α∪this␈α⊃is␈α⊃a␈α⊃common
␈β
4␈↓ ↓H␈εαdivisor␈α	that␈α
is␈α	divisible␈α
by␈α
as␈α	man␈α␈y␈α
primes␈α	as␈α
possible.␈α∪(Cf.␈α
Eq.␈α	4.5.2↑6.)␈α∀Since␈α	a
␈β
←␈↓ ↓H␈εαunique␈αfactorization␈αdomain␈αmay␈αhav␈α␈e␈αman␈α␈y␈αunits,␈αthere␈αis␈αa␈αcertain␈αamoun␈α␈t␈αof
␈β
␈↓ ↓H␈εαam␈α␈biguity␈αλin␈αλthis␈α	de|nition␈αλof␈αλgreatest␈αλcommon␈α	divisor;␈α	if␈↓ λF␈ελw␈↓ λj␈εαis␈αλa␈αλgreatest␈αλcommon
␈β6␈↓ ↓H␈εαdivisor␈α
of␈↓ αj␈ελu␈↓ β
␈εαand␈↓ βT␈ελv␈↓ βf␈εα,␈α∞so␈α
is␈↓ ∧P␈ελa␈↓ ∧k␈ε⊗↓␈↓ ∧⎇␈ελw␈↓ ¬_␈εα,␈α
when␈↓ ε∂␈ελa␈↓ ε-␈εαis␈α∞a␈α
unit.␈α∂Con␈α␈v␈α␈ersely,␈α
the␈α
assumption␈α
of
␈βa␈↓ ↓H␈εαunique␈α	factorization␈α
implies␈α	that␈α
if␈↓ ¬k␈ελw␈↓ ε≠␈εαand␈↓ ε←␈ελw␈↓ π∞␈εαare␈α
both␈α	greatest␈α
common␈α	advisors
␈βn␈↓ εβ␈ε¬1␈↓ εv␈ε¬2
␈β␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓r␈ελu␈↓ α∀␈εαand␈↓ αZ␈ελv␈↓ αm␈εα,␈αthen␈↓ βU␈ελw␈↓ ∧ε␈εα=␈↓ ∧4␈ελa␈↓ ∧N␈ε⊗↓␈↓ ∧a␈ελw␈↓ ¬∪␈εαfor␈αsome␈αunit␈↓ εr␈ελa␈↓ π∧␈εα.␈αTherefore␈αit␈α
does␈αnot␈αmak␈α␈e␈αsense,
␈β→␈↓ βm␈ε¬1␈↓ ∧x␈ε¬2
␈β7␈↓ ↓H␈εαin␈αgeneral,␈αto␈α
speak␈αof␈α
\the"␈αgreatest␈αcommon␈α
divisor␈αof␈↓ λP␈ελu␈↓ λr␈εαand␈↓ 	8␈ελv␈↓ 	K␈εα;␈αthere␈α
is␈αa␈αset
␈βb␈↓ ↓H␈εαof␈αgreatest␈αcommon␈αdivisors,␈αeach␈αone␈αbeing␈αa␈αunit␈αm␈α␈ultiple␈αof␈αthe␈αothers.
␈β
∩␈↓ α␈εαLet␈α∂us␈α∂no␈α␈w␈α∂consider␈α∂the␈α∂problem␈α∂of␈α∂|nding␈α∂a␈α∂greatest␈α∂common␈α∞divisor␈α∂of
␈β
=␈↓ ↓H␈εαt␈α␈w␈α␈o␈α∞giv␈α␈en␈α
polynomials␈α∞o␈α␈v␈α␈er␈α∞an␈α∞algebraic␈α∞system␈↓ πP␈ελS␈↓ πf␈εα.␈α∩If␈↓ λ(␈ελS␈↓ λL␈εαis␈α∞a␈α∞|eld,␈α∂the␈α
problem
␈β
h␈↓ ↓H␈εαis␈αrelativ␈α␈ely␈αsimple;␈αour␈αdivision␈αalgorithm,␈αAlgorithm␈αD␈↓ λ<␈εα,␈αcan␈αbe␈αextended␈αto␈αan
␈β∞∪␈↓ ↓H␈εαalgorithm␈α∞that␈α∂computes␈α∂greatest␈α∞common␈α∂divisors,␈α∂just␈α∂as␈α∂Euclid's␈α∞algorithm
␈β∞>␈↓ ↓H␈εα(Algorithm␈αλ4.5.2A)␈αλyields␈αλthe␈αλgreatest␈αλcommon␈αλdivisor␈αλof␈αλt␈α␈w␈α␈o␈αλgiv␈α␈en␈αλin␈α␈tegers␈αλbased
␈β∞J␈↓ λw␈ε↓␈␈↓ 
∪␈ε↓↓
␈β∞j␈↓ ↓H␈εαon␈α∞a␈α∂division␈α∂algorithm␈α∞for␈α∂in␈α␈tegers:␈α∩If␈↓ εB␈ελv␈↓ εU␈εα(␈↓ εa␈ελx␈↓ εt␈εα)␈α∞=␈α∂0,␈α∂then␈α∂gcd␈↓ 	¬␈ελu␈↓ 	≠␈εα(␈↓ 	'␈ελx␈↓ 	9␈εα),␈↓ 	U␈ελv␈↓ 	h␈εα(␈↓ 	t␈ελx␈↓ 
π␈εα)␈↓ 
/␈εα=␈↓ 
b␈ελu␈↓ 
x␈εα(␈↓ ∧␈ελx␈↓ ⊗␈εα);
␈β∞u␈↓ β≡␈ε↓␈␈↓ ∧:␈ε↓↓␈↓ ¬7␈ε↓␈␈↓ εM␈ε↓↓
␈β∂∃␈↓ ↓H␈εαotherwise␈↓ αh␈εαgcd␈↓ β,␈ελu␈↓ βB␈εα(␈↓ βN␈ελx␈↓ β`␈εα),␈↓ β|␈ελv␈↓ ∧∂␈εα(␈↓ ∧≠␈ελx␈↓ ∧.␈εα)␈↓ ∧S␈εα=␈↓ ¬↓␈εαgcd␈↓ ¬E␈ελv␈↓ ¬X␈εα(␈↓ ¬d␈ελx␈↓ ¬w␈εα),␈↓ ε∪␈ελr␈↓ ε#␈εα(␈↓ ε/␈ελx␈↓ εA␈εα)␈↓ ε[␈εα,␈α
where␈↓ πZ␈ελr␈↓ πj␈εα(␈↓ πv␈ελx␈↓ λ	␈εα)␈αis␈αgiv␈α␈en␈α
by␈α(1).␈α
This␈αpro-
␈β∂@␈↓ ↓H␈εαcedure␈αis␈αcalled␈αEuclid's␈αalgorithm␈αfor␈αpolynomials␈αo␈α␈v␈α␈er␈αa␈α|eld;␈αit␈αwas␈α|rst␈αused
␈β∂k␈↓ ↓H␈εαby␈α
Simon␈α
Stevin␈αin␈α
1585␈α
[␈ε∂Les␈α≥uvres␈α
math␈↓ εc␈ε∂∞␈↓ εd␈ε∂e␈↓ εt␈ε∂matiques␈α
de␈αSimon␈α
Stevin␈εα,␈αed.␈α
by␈α
A.
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈εαGirard,␈ε∩␈α1␈εα␈α(Leyden,␈α1634),␈α56].
␈β⊂A␈↓ π⊂␈ε¬8␈↓ π[␈ε¬6␈↓ λI␈ε¬4␈↓ 	8␈ε¬3␈↓ 
∀␈ε¬2
␈β⊂F␈↓ α␈εαFor␈αλexample,␈α	let␈αλus␈αλdetermine␈αλthe␈αλgcd␈αλof␈↓ ε⎇␈ελx␈↓ π!␈εα+␈↓ πH␈ελx␈↓ πl␈εα+␈αα10␈↓ λ6␈ελx␈↓ λZ␈εα+␈αβ10␈↓ 	%␈ελx␈↓ 	I␈εα+␈αβ8␈↓ 
α␈ελx␈↓ 
&␈εα+␈αα2␈↓ 
↑␈ελx␈↓ 
t␈εα+␈αα8
␈β⊂l␈↓ α.␈ε¬6␈↓ β
␈ε¬4␈↓ βe␈ε¬2
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαand␈απ3␈↓ α≠␈ελx␈↓ α?␈εα+␈αα5␈↓ αw␈ελx␈↓ β~␈εα+␈αβ9␈↓ βS␈ελx␈↓ βv␈εα+␈αα4␈↓ ∧.␈ελx␈↓ ∧C␈εα+␈αα8,␈α	mod␈αλ13,␈αλby␈αλusing␈απEuclid's␈αλalgorithm␈αλfor␈απpolynomials
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαo␈α␈v␈α␈er␈α
the␈α
in␈α␈tegers␈α
modulo␈α
13.␈αFirst,␈α
writing␈α
only␈α
the␈α
coe}cien␈α␈ts␈α
to␈α
sho␈α␈w␈α
the␈α
steps
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα394␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.1
␈βα(␈↓ ↓H␈εαof␈αAlgorithm␈αD␈↓ β:␈εα,␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈βαz␈↓ λ"␈εα9␈α∩0␈α∩7
␈ββ¬␈↓ ¬t␈ε↓↓
␈ββ∨␈↓ ¬t␈∧β∨¬tαβ	
␈ββ'␈↓ βx␈εα3␈α∩0␈α∩5␈α∩0␈α∩9␈α∩4␈α∩8
␈ββ)␈↓ ε∀␈εα1␈α∩0␈α∩1␈α∩0␈α∩10␈α∩10␈α$8␈α∩2␈α∩8
␈ββU␈↓ ε∀␈εα1␈α∩0␈α∩6␈α∩0␈α$3␈α∩10␈α$7
␈ββk␈↓ α␈εα(5)
␈ββz␈↓ ε∀␈∧βzε∀ααi
␈β∧ε␈↓ ε8␈εα0␈α∩8␈α∩0␈α$7␈α$0␈α$1␈α∩2␈α∩8
␈β∧1␈↓ ε\␈εα8␈α∩0␈α$9␈α$0␈α∩11␈α∩2␈α∩4
␈β∧W␈↓ ε\␈∧∧Wε\αα!
␈β∧c␈↓ π␈εα0␈α∩11␈α$0␈α$3␈α∩0␈α∩4
␈β¬-␈↓ ↓H␈εαand␈αhence
␈β¬x␈↓ ↓}␈ε¬8␈↓ αT␈ε¬6␈↓ βM␈ε¬4␈↓ ∧F␈ε¬3␈↓ ¬-␈ε¬2
␈β¬}␈↓ ↓l␈ελx␈↓ α∃␈εα+␈↓ αA␈ελx␈↓ αj␈εα+␈αλ10␈↓ β:␈ελx␈↓ βc␈εα+␈αλ10␈↓ ∧3␈ελx␈↓ ∧\␈εα+␈αλ8␈↓ ¬~␈ελx␈↓ ¬D␈εα+␈αλ2␈↓ εα␈ελx␈↓ ε≤␈εα+␈αλ8
␈βε*␈↓ ∧∪␈ε¬2␈↓ ¬%␈ε¬6␈↓ ε␈ε¬4␈↓ εs␈ε¬2␈↓ 	7␈ε¬4␈↓ 
≡␈ε¬2
␈βε0␈↓ β5␈εα=␈α
(9␈↓ ∧↓␈ελx␈↓ ∧*␈εα+␈αλ7)(3␈↓ ¬∩␈ελx␈↓ ¬;␈εα+␈αλ5␈↓ ¬y␈ελx␈↓ ε"␈εα+␈αλ9␈↓ ε`␈ελx␈↓ π	␈εα+␈αλ4␈↓ πG␈ελx␈↓ πb␈εα+␈αλ8)␈α∩+␈α∩(11␈↓ 	$␈ελx␈↓ 	M␈εα+␈αλ3␈↓ 
␈ελx␈↓ 
4␈εα+␈αλ4).
␈βπ↓␈↓ ↓H␈εαSimilarly,
␈βπK␈↓ α%␈ε¬6␈↓ β
␈ε¬4␈↓ βt␈ε¬2␈↓ ε
␈ε¬2␈↓ π-␈ε¬4␈↓ λ∀␈ε¬2
␈βπQ␈↓ α↓␈εα3␈↓ α∪␈ελx␈↓ α<␈εα+␈αλ5␈↓ αz␈ελx␈↓ β#␈εα+␈αλ9␈↓ βa␈ελx␈↓ ∧
␈εα+␈αλ4␈↓ ∧H␈ελx␈↓ ∧c␈εα+␈αλ8␈↓ ¬+␈εα=␈α
(5␈↓ ¬w␈ελx␈↓ ε ␈εα+␈αλ5)(11␈↓ π~␈ελx␈↓ πC␈εα+␈αλ3␈↓ λ↓␈ελx␈↓ λ+␈εα+␈αλ4)␈α∩+␈α∩(4␈↓ 	[␈ελx␈↓ 	u␈εα+␈αλ1);
␈βλ↓␈↓ β
␈ε¬4␈↓ βt␈ε¬2␈↓ ε
␈ε¬3␈↓ εq␈ε¬2
␈βλπ␈↓ αV␈εα11␈↓ αz␈ελx␈↓ β#␈εα+␈αλ3␈↓ βa␈ελx␈↓ ∧
␈εα+␈αλ4␈↓ ¬+␈εα=␈α
(6␈↓ ¬w␈ελx␈↓ ε ␈εα+␈αλ5␈↓ ε↑␈ελx␈↓ ππ␈εα+␈αλ6␈↓ πE␈ελx␈↓ π`␈εα+␈αλ5)(4␈↓ λH␈ελx␈↓ λc␈εα+␈αλ1)␈α∩+␈α∩12;
␈βλ=␈↓ ∧6␈εα4␈↓ ∧H␈ελx␈↓ ∧c␈εα+␈αλ1␈↓ ¬+␈εα=␈α
(9␈↓ ¬w␈ελx␈↓ ε∩␈εα+␈αλ12)␈ε⊗␈αλ↓␈εα␈αλ12␈α∩+␈α∩0.␈↓ α␈εα(6)
␈β	∞␈↓ ↓H␈εα(The␈α
equality␈αsign␈α
here␈αmeans␈α
congruence␈αmodulo␈α
13,␈αsince␈αall␈α
arithmetic␈αon␈α
the
␈β	9␈↓ ↓H␈εαcoe}cien␈α␈ts␈α	has␈α
been␈α	done␈α
mod␈α	13.)␈α∪This␈α
computation␈α	sho␈α␈ws␈α
that␈α	12␈α	is␈α
a␈α	greatest
␈β	d␈↓ ↓H␈εαcommon␈α∞divisor␈α∞of␈α∂the␈α∞t␈α␈w␈α␈o␈α∞original␈α∞polynomials.␈α∪No␈α␈w␈α∂an␈α␈y␈α∞nonzero␈α∞elemen␈α␈t␈α∞of
␈β
⊂␈↓ ↓H␈εαa␈α∂|eld␈α∂is␈α∂a␈α⊂unit␈α∂of␈α∂the␈α⊂domain␈α∂of␈α∂polynomials␈α∂o␈α␈v␈α␈er␈α⊂that␈α∂|eld,␈α⊂so␈α∂an␈α␈y␈α∂nonzero
␈β
;␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiple␈α∞of␈α∞a␈α∂greatest␈α∞common␈α∞divisor␈α∂is␈α∞also␈α∞a␈α∞greatest␈α∂common␈α∞divisor␈α∞(o␈α␈v␈α␈er
␈β
f␈↓ ↓H␈εαa␈α|eld).␈α
It␈αis␈α
therefore␈αcon␈α␈v␈α␈en␈α␈tional␈αin␈α
this␈αcase␈αto␈α
divide␈αthe␈αresult␈α
of␈αthe␈αalgo-
␈β⊃␈↓ ↓H␈εαrithm␈αby␈αits␈αleading␈αcoe}cien␈α␈t,␈αproducing␈αa␈ε∂␈αmonic␈εα␈αpolynomial␈αthat␈αis␈αcalled␈ε∂␈αthe
␈β<␈↓ ↓H␈εαgreatest␈α
common␈α
advisor␈α
of␈αthe␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
giv␈α␈en␈α
polynomials.␈αThe␈α
gcd␈α
computed␈α
in␈α
(6)
␈βh␈↓ ↓H␈εαis␈α	accordingly␈α	tak␈α␈en␈α
to␈α	be␈α
1,␈α
not␈α	12.␈αThe␈α
last␈α	step␈α	in␈α
(6)␈α	could␈α
hav␈α␈e␈α	been␈α	omitted,
␈βs␈↓ ∧d␈ε↓␈␈↓ ε␈ε↓↓
␈β∪␈↓ ↓H␈εαfor␈α
if␈α
deg(␈↓ α`␈ελv␈↓ αs␈εα)␈α
=␈α
0,␈αthen␈α
gcd␈↓ ∧r␈ελu␈↓ ¬λ␈εα(␈↓ ¬∀␈ελx␈↓ ¬'␈εα),␈↓ ¬C␈ελv␈↓ ¬U␈εα(␈↓ ¬a␈ελx␈↓ ¬t␈εα)␈↓ ε_␈εα=␈α
1,␈αno␈α
matter␈α
what␈αpolynomial␈α
is␈α
chosen
␈β>␈↓ ↓H␈εαfor␈↓ α␈ελu␈↓ α⊗␈εα(␈↓ α"␈ελx␈↓ α4␈εα).␈α
Ex␈α␈ercise␈α
4␈αdetermines␈αthe␈α
av␈α␈erage␈αrunning␈αtime␈α
for␈αEuclid's␈αalgorithm
␈βi␈↓ ↓H␈εαon␈αrandom␈αpolynomials␈αmodulo␈↓ ¬F␈ελp␈↓ ¬X␈εα.
␈β
∀␈↓ α␈εαLet␈αus␈αno␈α␈w␈αturn␈αto␈αthe␈αmore␈αgeneral␈αsituation␈αin␈αwhich␈αour␈αpolynomials␈αare
␈β
@␈↓ ↓H␈εαgiv␈α␈en␈α
o␈α␈v␈α␈er␈α∞a␈α∞unique␈α∞factorization␈α∞domain␈α
that␈α∞is␈α∞not␈α∞a␈α∞|eld.␈α⊃From␈α∞Eqs.␈α∞(4)␈α
w␈α␈e
␈β
k␈↓ ↓H␈εαcan␈αdeduce␈αthe␈αimportan␈α␈t␈αrelations
␈β∞~␈↓ ∧@␈ε↓␈␈↓ ¬U␈ε↓↓␈↓ ε|␈ε↓␈␈↓ λy␈ε↓↓
␈β∞:␈↓ β⎇␈εαcon␈α␈t␈↓ ∧N␈εαgcd␈↓ ¬∧␈εα(␈↓ ¬⊂␈ελu␈↓ ¬&␈εα,␈↓ ¬6␈ελv␈↓ ¬I␈εα)␈↓ ¬m␈εα=␈↓ ε≠␈ελa␈↓ ε4␈ε⊗↓␈↓ εF␈εαgcd␈↓ π
␈εαcon␈α␈t␈↓ πM␈εα(␈↓ πY␈ελu␈↓ πo␈εα),␈↓ λ␈εαcon␈α␈t␈↓ λN␈εα(␈↓ λZ␈ελv␈↓ λm␈εα)␈↓ 	π␈εα,
␈β∞P␈↓ βj␈ε↓␈␈↓ ¬U␈ε↓↓␈↓ εy␈ε↓␈␈↓ π/␈ε↓␈␈↓ π⎇␈ε↓↓␈↓ λ@␈ε↓␈␈↓ 	␈ε↓↓␈↓ 	~␈ε↓↓
␈β∞U␈↓ α␈εα(7)
␈β∞p␈↓ βB␈εαpp␈↓ βx␈εαgcd␈↓ ∧.␈εα(␈↓ ∧:␈ελu␈↓ ∧P␈εα(␈↓ ∧\␈ελx␈↓ ∧o␈εα),␈↓ ¬␈ελv␈↓ ¬≡␈εα(␈↓ ¬*␈ελx␈↓ ¬=␈εα))␈↓ ¬m␈εα=␈↓ ε≠␈ελb␈↓ ε1␈ε⊗↓␈↓ εC␈εαgcd␈↓ ππ␈εαpp␈↓ π=␈ελu␈↓ πS␈εα(␈↓ π←␈ελx␈↓ πq␈εα)␈↓ λ␈εα,␈↓ λ≠␈ελp␈↓ λ.␈ελp␈↓ λN␈ελv␈↓ λa␈εα(␈↓ λm␈ελx␈↓ 	␈εα)␈↓ 	(␈εα,
␈β∂$␈↓ ¬Z␈ε↓␈␈↓ εv␈ε↓↓
␈β∂D␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α0␈ελa␈↓ αN␈εαand␈↓ β∀␈ελb␈↓ β/␈εαare␈αunits.␈α
Here␈↓ ¬$␈εαgcd␈↓ ¬h␈ελu␈↓ ¬}␈εα(␈↓ ε
␈ελx␈↓ ε≥␈εα),␈↓ ε9␈ελv␈↓ εL␈εα(␈↓ εX␈ελx␈↓ εj␈εα)␈↓ π⊃␈εαdenotes␈αan␈α␈y␈αparticular␈αpolynomial
␈β∂o␈↓ ↓H␈εαin␈↓ ↓t␈ελx␈↓ α⊗␈εαthat␈α∞is␈α∂a␈α∂greatest␈α∞common␈α∂divisor␈α∞of␈↓ εp␈ελu␈↓ πε␈εα(␈↓ π∩␈ελx␈↓ π$␈εα)␈α∂and␈↓ λλ␈ελv␈↓ λ≠␈εα(␈↓ λ'␈ελx␈↓ λ9␈εα).␈α∀Equations␈α∂(7)␈α∞reduce
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαthe␈α
problem␈αof␈α|nding␈αgreatest␈αcommon␈α
divisors␈αof␈αarbitrary␈αpolynomials␈αto␈α
the
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαproblem␈αof␈α|nding␈αgreatest␈αcommon␈αdivisors␈αof␈ε∂␈αprimitiv␈α␈e␈εα␈αpolynomials.
␈β⊂q␈↓ α␈εαAlgorithm␈αD␈αfor␈αdivision␈αof␈αpolynomials␈αo␈α␈v␈α␈er␈αa␈α|eld␈αcan␈αbe␈αgeneralized␈αto␈αa
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαpseudo-division␈αof␈αpolynomials␈αo␈α␈v␈α␈er␈αan␈α␈y␈αalgebraic␈αsystem␈αthat␈α
is␈αa␈αcomm␈α␈utativ␈α␈e
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.1␈ε∞␈↓ π:DIV␈α␈ISION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα395
␈βα(␈↓ ↓H␈εαring␈α
with␈α∞iden␈α␈tity.␈α⊂We␈α
can␈α∞observ␈α␈e␈α
that␈α∞Algorithm␈α
D␈α∞requires␈α
explicit␈α
division
␈βαS␈↓ ↓H␈εαonly␈αλby␈↓ αD␈ελ#␈↓ αS␈εα(␈↓ α←␈ελv␈↓ αr␈εα),␈α	the␈α	leading␈αλcoe}cien␈α␈t␈αλof␈↓ ε∞␈ελv␈↓ ε ␈εα(␈↓ ε,␈ελx␈↓ ε?␈εα),␈α	and␈α	that␈αλstep␈αλD2␈αλis␈α	carried␈αλout␈αλexactly
␈βα}␈↓ ↓H␈ελm␈↓ ↓o␈ε⊗␈␈↓ α≤␈ελn␈↓ α9␈εα+␈α	1␈αtimes;␈αth␈α␈us␈αif␈↓ ∧←␈ελu␈↓ ∧u␈εα(␈↓ ¬↓␈ελx␈↓ ¬∀␈εα)␈αand␈↓ ¬r␈ελv␈↓ ε¬␈εα(␈↓ ε⊃␈ελx␈↓ ε$␈εα)␈αstart␈αwith␈α
in␈α␈teger␈αcoe}cien␈α␈ts,␈αand␈αif␈αw␈α␈e
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαare␈αw␈α␈orking␈αo␈α␈v␈α␈er␈αthe␈αrational␈αn␈α␈um␈α␈bers,␈αthen␈αthe␈αonly␈αdenominators␈αthat␈αappear
␈ββP␈↓ λβ␈εm␈↓ λ≥␈ε→␈␈↓ λ:␈εn␈↓ λL␈ε¬+1
␈ββU␈↓ ↓H␈εαin␈αthe␈αcoe}cien␈α␈ts␈αof␈↓ ∧∞␈ελq␈↓ ∧≡␈εα(␈↓ ∧*␈ελx␈↓ ∧<␈εα)␈αand␈↓ ¬~␈ελr␈↓ ¬*␈εα(␈↓ ¬6␈ελx␈↓ ¬H␈εα)␈αare␈αdivisors␈αof␈↓ πI␈ελ#␈↓ πX␈εα(␈↓ πd␈ελv␈↓ πw␈εα)␈↓ λw␈εα.␈αThis␈αsuggests␈αthat
␈β∧␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αcan␈αalways␈α|nd␈αpolynomials␈↓ ¬E␈ελq␈↓ ¬U␈εα(␈↓ ¬a␈ελx␈↓ ¬t␈εα)␈αand␈↓ εR␈ελr␈↓ εa␈εα(␈↓ εm␈ελx␈↓ π␈εα)␈αsuch␈αthat
␈β∧R␈↓ βg␈εm␈↓ ∧↓␈ε→␈␈↓ ∧≥␈εn␈↓ ∧/␈ε¬+1
␈β∧X␈↓ β-␈ελ#␈↓ β<␈εα(␈↓ βH␈ελv␈↓ β[␈εα)␈↓ ∧Z␈ελu␈↓ ∧p␈εα(␈↓ ∧|␈ελx␈↓ ¬∂␈εα)␈α
=␈↓ ¬S␈ελq␈↓ ¬c␈εα(␈↓ ¬o␈ελx␈↓ εα␈εα)␈↓ ε∞␈ελv␈↓ ε!␈εα(␈↓ ε-␈ελx␈↓ ε?␈εα)␈αλ+␈↓ ε␈␈ελr␈↓ π∂␈εα(␈↓ π≠␈ελx␈↓ π.␈εα),␈↓ λ∩␈εαdeg␈↓ λH␈εα(␈↓ λT␈ελr␈↓ λd␈εα)␈α
<␈↓ 	(␈ελn␈↓ 	=␈εα,␈↓ α␈εα(8)
␈β¬1␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α3␈ελm␈↓ αb␈εα=␈↓ β⊗␈εαdeg␈↓ βL␈εα(␈↓ βX␈ελu␈↓ βn␈εα)␈α∂and␈↓ ∧S␈ελn␈↓ ∧x␈εα=␈↓ ¬,␈εαdeg␈↓ ¬b␈εα(␈↓ ¬n␈ελv␈↓ ε↓␈εα),␈α⊂for␈α∂an␈α␈y␈α⊂polynomials␈↓ λv␈ελu␈↓ 	␈εα(␈↓ 	_␈ελx␈↓ 	+␈εα)␈α∂and␈↓ 
∂␈ελv␈↓ 
"␈εα(␈↓ 
.␈ελx␈↓ 
A␈εα)␈ε⊗␈α⊂≤␈εα␈α∂0,
␈β¬\␈↓ ↓H␈εαpro␈α␈vided␈αthat␈↓ β+␈ελm␈↓ βT␈ε⊗∃␈↓ ∧α␈ελn␈↓ ∧_␈εα.
␈βε"␈↓ ↓H␈ε∩Algorithm␈αR␈εα␈α(␈ε∂Pseudo-division␈αof␈αpolynomials␈↓ π
␈εα)␈ε∩.␈εα␈α→Giv␈α␈en␈αpolynomials
␈βεt␈↓ βU␈εm␈↓ λ⊂␈εn
␈βεz␈↓ α≠␈ελu␈↓ α1␈εα(␈↓ α=␈ελx␈↓ αP␈εα)␈α
=␈↓ β∀␈ελu␈↓ βB␈ελx␈↓ βw␈εα+␈↓ ∧#␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧U␈εα+␈↓ ¬↓␈ελu␈↓ ¬$␈ελx␈↓ ¬?␈εα+␈↓ ¬k␈ελu␈↓ ε∞␈εα,␈↓ εf␈ελv␈↓ εx␈εα(␈↓ π∧␈ελx␈↓ π↔␈εα)␈α
=␈↓ π[␈ελv␈↓ π⎇␈ελx␈↓ λ*␈εα+␈↓ λV␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	λ␈εα+␈↓ 	4␈ελv␈↓ 	R␈εα(␈↓ 	↑␈ελx␈↓ 	q␈εα)␈αλ+␈↓ 
1␈ελv␈↓ 
O␈εα,
␈βππ␈↓ β(␈εm␈↓ ¬⊗␈ε¬1␈↓ ¬␈␈ε¬0␈↓ πk␈εn␈↓ 	C␈ε¬1␈↓ 
@␈ε¬0
␈βπR␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α6␈ελv␈↓ αm␈ε⊗≤␈εα␈α∀0␈α∪and␈↓ ∧⊗␈ελm␈↓ ∧K␈ε⊗∃␈↓ ¬∧␈ελn␈↓ ¬.␈ε⊗∃␈εα␈α∃0,␈α∀this␈α∩algorithm␈α∪|nds␈α∩polynomials␈↓ 
9␈ελq␈↓ 
I␈εα(␈↓ 
U␈ελx␈↓ 
h␈εα)␈α∀=
␈βπ`␈↓ αF␈εn
␈βπx␈↓ α0␈εm␈↓ αJ␈ε→␈␈↓ αg␈εn␈↓ εG␈εn␈↓ εY␈ε→␈␈ε¬1
␈βπ}␈↓ ↓H␈ελq␈↓ α≥␈ελx␈↓ β↓␈εα+␈↓ β-␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ β←␈εα+␈↓ ∧␈ελq␈↓ ∧2␈εαand␈↓ ∧x␈ελr␈↓ ¬λ␈εα(␈↓ ¬∀␈ελx␈↓ ¬'␈εα)␈α
=␈↓ ¬k␈ελr␈↓ ε5␈ελx␈↓ π␈εα+␈↓ π8␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πj␈εα+␈↓ λ⊗␈ελr␈↓ λ>␈εαsatisfying␈α(8).
␈βλ␈↓ ↓U␈εm␈↓ ↓o␈ε→␈␈↓ α␈εn␈↓ ∧_␈ε¬0␈↓ ¬w␈εn␈↓ ε	␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λ#␈ε¬0
␈βλ6␈↓ ↓I␈ε∩R1.␈↓ α␈εα[Iterate␈α∂on␈↓ βA␈ελk␈↓ βS␈εα.]␈α≡Do␈α∂step␈α∂R2␈α∞for␈↓ επ␈ελk␈↓ ε'␈εα=␈↓ εZ␈ελm␈↓ πβ␈ε⊗␈␈↓ π1␈ελn␈↓ πG␈εα,␈↓ π`␈ελm␈↓ λ
␈ε⊗␈␈↓ λ8␈ελn␈↓ λW␈ε⊗␈␈εα␈α
1,␈↓ 	0␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	`␈εα,␈α⊂0;␈α⊂then␈α∞the
␈βλa␈↓ α␈εαalgorithm␈αterminates␈αwith␈α(␈↓ ¬@␈ελr␈↓ ε
␈εα,␈↓ ε~␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εJ␈εα,␈↓ εZ␈ελr␈↓ εu␈εα)␈α
=␈α
(␈↓ πE␈ελu␈↓ λ↔␈εα,␈↓ λ'␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λW␈εα,␈↓ λg␈ελu␈↓ 	
␈εα).
␈βλo␈↓ ¬M␈εn␈↓ ¬←␈ε→␈␈ε¬1␈↓ εg␈ε¬0␈↓ πZ␈εn␈↓ πl␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ λ{␈ε¬0
␈β	∃␈↓ εZ␈εk
␈β	~␈↓ ↓I␈ε∩R2.␈↓ α␈εα[Multiplication␈α	loop.]␈α∪Set␈↓ ¬"␈ελq␈↓ ¬G␈ε⊗ ␈↓ ¬u␈ελu␈↓ εG␈ελv␈↓ εl␈εα,␈α
and␈α	then␈α
set␈↓ λH␈ελu␈↓ λt␈ε⊗ ␈↓ 	"␈ελv␈↓ 	C␈ελu␈↓ 	j␈ε⊗␈␈↓ 
∩␈ελu␈↓ 
d␈ελv
␈β	'␈↓ ¬/␈εk␈↓ ε
␈εn␈↓ ε≤␈ε¬+␈↓ ε9␈εk␈↓ λ]␈εj␈↓ 	2␈εn␈↓ 	X␈εj␈↓ 
'␈εn␈↓ 
9␈ε¬+␈↓ 
V␈εk␈↓ 
t␈εj␈↓ ↓␈ε→␈␈↓ ≡␈εk
␈β	,␈↓ εZ␈εn
␈β	E␈↓ α␈εαfor␈↓ α@␈ελj␈↓ α[␈εα=␈↓ β	␈ελn␈↓ β"␈εα+␈↓ βI␈ελk␈↓ β↑␈ε⊗␈␈εα␈αβ1,␈↓ ∧*␈ελn␈↓ ∧C␈εα+␈↓ ∧j␈ελk␈↓ ∧␈␈ε⊗␈␈εα␈αβ2,␈↓ ¬K␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬{␈εα,␈α
0.␈α⊂(When␈↓ π+␈ελj␈↓ πF␈εα<␈↓ πt␈ελk␈↓ λ∞␈εαthis␈αλmeans␈α	that␈↓ 
¬␈ελu␈↓ 
1␈ε⊗ ␈↓ 
←␈ελv␈↓ ↓␈ελu␈↓ "␈εα,
␈β	S␈↓ 
~␈εj␈↓ 
o␈εn␈↓ ∃␈εj
␈β	p␈↓ α␈εαsince␈α
w␈α␈e␈αtreat␈↓ βs␈ελv␈↓ ∧.␈εα,␈↓ ∧D␈ελv␈↓ ∧␈␈εα,␈↓ ¬⊗␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬L␈εαas␈α
zero.␈α
These␈α
m␈α␈ultiplications␈αcould␈α
hav␈α␈e␈αbeen
␈β	}␈↓ ∧α␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ∧T␈ε→␈␈ε¬2
␈β
↔␈↓ 	Z␈εm␈↓ 	t␈ε→␈␈↓ 
⊂␈εn␈↓ 
"␈ε→␈␈↓ 
?␈εt
␈β
≤␈↓ α␈εαav␈α␈oided␈α
if␈α∞w␈α␈e␈α
had␈α∞started␈α
the␈α∞algorithm␈α
by␈α
replacing␈↓ λe␈ελu␈↓ 	⊃␈εαby␈↓ 	G␈ελv␈↓ 
J␈ελu␈↓ 
i␈εα,␈α
for
␈β
)␈↓ λy␈εt␈↓ 
↑␈εt
␈β
.␈↓ 	Z␈εn
␈β
G␈↓ α␈εα0␈ε⊗␈α
∀␈↓ αV␈ελt␈↓ αm␈εα<␈↓ β≠␈ελm␈↓ βC␈ε⊗␈␈↓ βo␈ελn␈↓ ∧∧␈εα.)
␈β
L␈↓ ∧B␈∧
L∧B≠∂
␈β␈↓ α␈εαAn␈α	example␈α	calculation␈α
appears␈α	belo␈α␈w␈α	in␈α	(10).␈αIt␈α	is␈α
easy␈α	to␈α	pro␈α␈v␈α␈e␈α	the␈α	validity
␈β8␈↓ ↓H␈εαof␈αAlgorithm␈α
R␈α
by␈α
induction␈α
on␈↓ ¬P␈ελm␈↓ ¬x␈ε⊗␈␈↓ ε%␈ελn␈↓ ε:␈εα,␈α
since␈α
each␈α
ex␈α␈ecution␈α
of␈α
step␈α
R2␈αessen-
␈β↑␈↓ ε2␈εk
␈βc␈↓ ↓H␈εαtially␈α
replaces␈↓ β0␈ελu␈↓ βF␈εα(␈↓ βR␈ελx␈↓ βd␈εα)␈α∞by␈↓ ∧3␈ελ#␈↓ ∧B␈εα(␈↓ ∧N␈ελv␈↓ ∧a␈εα)␈↓ ∧m␈ελu␈↓ ¬α␈εα(␈↓ ¬∞␈ελx␈↓ ¬!␈εα)␈ε⊗␈α	␈␈↓ ¬c␈ελ#␈↓ ¬r␈εα(␈↓ ¬}␈ελu␈↓ ε∀␈εα)␈↓ ε ␈ελx␈↓ εA␈ελv␈↓ εT␈εα(␈↓ ε`␈ελx␈↓ εr␈εα),␈α∞where␈↓ π␈␈ελk␈↓ λ≥␈εα=␈↓ λM␈εαdeg␈↓ 	β␈εα(␈↓ 	∂␈ελu␈↓ 	%␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ 	f␈εαdeg␈↓ 
≤␈εα(␈↓ 
(␈ελv␈↓ 
;␈εα).␈α∂Note
␈β∞␈↓ ↓H␈εαthat␈α
no␈α
division␈α∞whatev␈α␈er␈α
is␈α
used␈α∞in␈α
this␈α
algorithm;␈α∞the␈α∞coe}cien␈α␈ts␈α
of␈↓ 
*␈ελq␈↓ 
:␈εα(␈↓ 
F␈ελx␈↓ 
Y␈εα)␈α
and
␈β9␈↓ ↓H␈ελr␈↓ ↓W␈εα(␈↓ ↓c␈ελx␈↓ ↓v␈εα)␈α∞are␈α
themselv␈α␈es␈α∞certain␈α∞polynomial␈α
functions␈α∞of␈α∞the␈α
coe}cien␈α␈ts␈α∞of␈↓ 
$␈ελu␈↓ 
:␈εα(␈↓ 
F␈ελx␈↓ 
Y␈εα)␈α
and
␈βd␈↓ ↓H␈ελv␈↓ ↓Z␈εα(␈↓ ↓f␈ελx␈↓ ↓y␈εα).␈α⊂If␈↓ αD␈ελv␈↓ αr␈εα=␈α1,␈α
the␈α∞algorithm␈α
is␈α
iden␈α␈tical␈α
to␈α∞Algorithm␈α
D␈↓ λ↑␈εα.␈α⊂If␈↓ 	≥␈ελu␈↓ 	2␈εα(␈↓ 	>␈ελx␈↓ 	Q␈εα)␈α
and␈↓ 
2␈ελv␈↓ 
D␈εα(␈↓ 
P␈ελx␈↓ 
c␈εα)␈α
are
␈βr␈↓ αT␈εn
␈β
⊂␈↓ ↓H␈εαpolynomials␈α
o␈α␈v␈α␈er␈αa␈αunique␈α
factorization␈αdomain,␈αw␈α␈e␈α
can␈αpro␈α␈v␈α␈e␈αas␈α
before␈αthat␈α
the
␈β
;␈↓ ↓H␈εαpolynomials␈↓ β⊃␈ελq␈↓ β!␈εα(␈↓ β-␈ελx␈↓ β@␈εα)␈α∞and␈↓ ∧!␈ελr␈↓ ∧1␈εα(␈↓ ∧=␈ελx␈↓ ∧P␈εα)␈α
are␈α∞unique;␈α∞therefore␈α∞another␈α
way␈α∞to␈α
do␈α∞the␈α
pseudo-
␈β
a␈↓ 	s␈εm␈↓ 

␈ε→␈␈↓ 
)␈εn␈↓ 
;␈ε¬+1
␈β
f␈↓ ↓H␈εαdivision␈αo␈α␈v␈α␈er␈αa␈αunique␈αfactorizarion␈αdomain␈αis␈αto␈αm␈α␈ultiply␈↓ λ`␈ελu␈↓ λu␈εα(␈↓ 	↓␈ελx␈↓ 	∀␈εα)␈αby␈↓ 	`␈ελv␈↓ 
r␈εαand
␈β
x␈↓ 	s␈εn
␈β∞⊃␈↓ ↓H␈εαapply␈αAlgorithm␈αD␈↓ βt␈εα,␈αkno␈α␈wing␈αthat␈αall␈αthe␈αquotien␈α␈ts␈αin␈αstep␈αD2␈αwill␈αexist.
␈β∞=␈↓ α␈εαAlgorithm␈α⊂R␈α∂can␈α⊂be␈α∂extended␈α⊂to␈α∂a␈α⊂\generalized␈α∂Euclidean␈α⊂algorithm"␈α∂for
␈β∞h␈↓ ↓H␈εαprimitiv␈α␈e␈αpolynomials␈αo␈α␈v␈α␈er␈αa␈αunique␈αfactorization␈αdomain,␈αin␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αway:
␈β∂∪␈↓ ↓H␈εαLet␈↓ αλ␈ελu␈↓ α≥␈εα(␈↓ α)␈ελx␈↓ α<␈εα)␈α
and␈↓ β⊗␈ελv␈↓ β)␈εα(␈↓ β5␈ελx␈↓ βH␈εα)␈α
be␈α
primitiv␈α␈e␈α
polynomials␈α
with␈↓ π;␈εαdeg␈↓ πq␈εα(␈↓ π⎇␈ελu␈↓ λ∪␈εα)␈ε⊗␈α
∃␈↓ λW␈εαdeg␈↓ 	
␈εα(␈↓ 	→␈ελv␈↓ 	,␈εα),␈α
and␈α
determine
␈β∂∨␈↓ πf␈ε↓␈␈↓ 	α␈ε↓↓␈↓ 	}␈ε↓␈␈↓ ∀␈ε↓↓
␈β∂?␈↓ ↓H␈ελr␈↓ ↓W␈εα(␈↓ ↓c␈ελx␈↓ ↓v␈εα)␈απsatisfying␈αε(8)␈απby␈αεmeans␈αεof␈απAlgorithm␈αεR.␈απNo␈α␈w␈↓ π0␈εαgcd␈↓ πt␈ελu␈↓ λ
␈εα(␈↓ λ⊗␈ελx␈↓ λ)␈εα),␈↓ λE␈ελv␈↓ λX␈εα(␈↓ λd␈ελx␈↓ λv␈εα)␈↓ 	~␈εα=␈↓ 	H␈εαgcd␈↓ 
␈ελv␈↓ 
∨␈εα(␈↓ 
+␈ελx␈↓ 
>␈εα),␈↓ 
Z␈ελr␈↓ 
j␈εα(␈↓ 
v␈ελx␈↓ λ␈εα)␈↓ "␈εα:
␈β∂j␈↓ ↓H␈εαFor␈αan␈α␈y␈αcommon␈α
divisor␈αof␈↓ ¬α␈ελu␈↓ ¬_␈εα(␈↓ ¬$␈ελx␈↓ ¬7␈εα)␈αand␈↓ ε∃␈ελv␈↓ ε(␈εα(␈↓ ε4␈ελx␈↓ εG␈εα)␈αdivides␈↓ πZ␈ελv␈↓ πl␈εα(␈↓ πx␈ελx␈↓ λ␈εα)␈α
and␈↓ λj␈ελr␈↓ λz␈εα(␈↓ 	ε␈ελx␈↓ 	→␈εα);␈αcon␈α␈v␈α␈ersely,␈αan␈α␈y
␈β⊂⊂␈↓ π	␈εm␈↓ π#␈ε→␈␈↓ π@␈εn␈↓ πR␈ε¬+1
␈β⊂∃␈↓ ↓H␈εαcommon␈α
divisor␈α
of␈↓ β{␈ελv␈↓ ∧∞␈εα(␈↓ ∧~␈ελx␈↓ ∧-␈εα)␈α
and␈↓ ¬
␈ελr␈↓ ¬≤␈εα(␈↓ ¬(␈ελx␈↓ ¬;␈εα)␈α
divides␈↓ εO␈ελ#␈↓ ε←␈εα(␈↓ εk␈ελv␈↓ ε⎇␈εα)␈↓ π⎇␈ελu␈↓ λ∪␈εα(␈↓ λ∨␈ελx␈↓ λ2␈εα),␈α
and␈α
it␈α
m␈α␈ust␈α
be␈α
primi-
␈β⊂!␈↓ α⊃␈ε↓␈␈↓ ∧{␈ε↓↓
␈β⊂@␈↓ ↓H␈εαtiv␈α␈e␈↓ α∨␈εαsince␈↓ αy␈ελv␈↓ β␈εα(␈↓ β_␈ελx␈↓ β+␈εα)␈α∞is␈α∂primitiv␈α␈e␈↓ ¬↔␈εαso␈α∞it␈α∂divides␈↓ εh␈ελu␈↓ ε}␈εα(␈↓ π
␈ελx␈↓ π≥␈εα).␈α∪If␈↓ πl␈ελr␈↓ π|␈εα(␈↓ λλ␈ελx␈↓ λ≠␈εα)␈α∞=␈α∞0,␈α∂w␈α␈e␈α∞therefore␈α∞hav␈α␈e
␈β⊂L␈↓ ↓}␈ε↓␈␈↓ β~␈ε↓↓␈↓ 	Z␈ε↓␈␈↓ 
p␈ε↓↓
␈β⊂k␈↓ ↓H␈εαgcd␈↓ α␈ελu␈↓ α!␈εα(␈↓ α-␈ελx␈↓ α@␈εα),␈↓ α\␈ελv␈↓ αo␈εα(␈↓ α{␈ελx␈↓ β∞␈εα)␈↓ β2␈εα=␈↓ β`␈ελv␈↓ βs␈εα(␈↓ β␈␈ελx␈↓ ∧∩␈εα);␈αon␈αthe␈αother␈αhand␈αif␈↓ ε␈␈ελr␈↓ π∞␈εα(␈↓ π~␈ελx␈↓ π-␈εα)␈ε⊗␈α
≤␈εα␈α0,␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈↓ 	$␈εαgcd␈↓ 	h␈ελv␈↓ 	{␈εα(␈↓ 
π␈ελx␈↓ 
~␈εα),␈↓ 
6␈ελr␈↓ 
E␈εα(␈↓ 
Q␈ελx␈↓ 
d␈εα)␈↓ λ␈εα=
␈β⊂w␈↓ ↓}␈ε↓␈␈↓ β↓␈ε↓␈␈↓ βV␈ε↓↓␈↓ βd␈ε↓↓
␈β⊃↔␈↓ ↓H␈εαgcd␈↓ α␈ελv␈↓ α≡␈εα(␈↓ α*␈ελx␈↓ α=␈εα),␈↓ αY␈εαpp␈↓ β∂␈εα(␈↓ β≠␈ελr␈↓ β+␈εα(␈↓ β7␈ελx␈↓ βJ␈εα)␈↓ β}␈εαsince␈↓ ∧V␈ελv␈↓ ∧i␈εα(␈↓ ∧u␈ελx␈↓ ¬π␈εα)␈αis␈αprimitiv␈α␈e,␈αso␈αthe␈αprocess␈αcan␈αbe␈αiterated.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα396␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.1
␈βα&␈↓ ↓H␈ε∩Algorithm␈αλE␈εα␈α	(␈ε∂Generalized␈αλEuclidean␈α	algorithm␈εα)␈ε∩.␈εα␈α⊃Giv␈α␈en␈α	nonzero␈αλpolynomials␈↓ 
l␈ελu␈↓ α␈εα(␈↓ ∞␈ελx␈↓  ␈εα)
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαand␈↓ α	␈ελv␈↓ α≤␈εα(␈↓ α(␈ελx␈↓ α;␈εα)␈αλo␈α␈v␈α␈er␈αλa␈αλunique␈απfactorization␈αλdomain␈↓ εl␈ελS␈↓ πα␈εα,␈α	this␈αλalgorithm␈αλcalculates␈αλa␈απgreatest
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαcommon␈αdivisor␈αof␈↓ βy␈ελu␈↓ ∧∞␈εα(␈↓ ∧~␈ελx␈↓ ∧-␈εα)␈αand␈↓ ¬␈ελv␈↓ ¬∨␈εα(␈↓ ¬+␈ελx␈↓ ¬=␈εα).␈α
We␈α
assume␈αthat␈αauxiliary␈α
algorithms␈αexist␈αto
␈ββ(␈↓ ↓H␈εαcalculate␈α
greatest␈α
common␈α∞divisors␈α
of␈α∞elemen␈α␈ts␈α
of␈↓ πj␈ελS␈↓ λ↓␈εα,␈α
and␈α∞to␈α
divide␈↓ 	z␈ελa␈↓ 
~␈εαby␈↓ 
O␈ελb␈↓ 
k␈εαin␈↓ ⊗␈ελS
␈ββS␈↓ ↓H␈εαwhen␈↓ α&␈ελb␈↓ α>␈ε⊗≤␈εα␈α
0␈αand␈↓ βP␈ελa␈↓ βn␈εαis␈αa␈αm␈α␈ultiple␈αof␈↓ ¬g␈ελb␈↓ ¬u␈εα.
␈ββc␈↓ ε←␈ε↓␈␈↓ λ[␈ε↓↓
␈β∧β␈↓ ↓L␈ε∩E1.␈↓ α␈εα[Reduce␈α⊂to␈α⊂primitiv␈α␈e.]␈α!Set␈↓ ¬O␈ελd␈↓ ¬t␈ε⊗ ␈↓ ε)␈εαgcd␈↓ εm␈εαcon␈α␈t␈↓ π0␈εα(␈↓ π<␈ελu␈↓ πQ␈εα),␈↓ πm␈εαcon␈α␈t␈↓ λ0␈εα(␈↓ λ<␈ελv␈↓ λO␈εα)␈↓ λi␈εα,␈α⊃using␈α⊂the␈α⊂assumed
␈β∧∞␈↓ 	␈ε↓␈
␈β∧.␈↓ α␈εαalgorithm␈α
for␈α
calculating␈α
greatest␈α
common␈αdivisors␈α
in␈↓ λW␈ελS␈↓ λm␈εα.␈↓ 	~␈εαNote␈α
that␈α
con␈α␈t(␈↓ ␈ελu␈↓  ␈εα)
␈β∧9␈↓ 	↓␈ε↓↓
␈β∧Y␈↓ α␈εαis␈α∞a␈α∞greatest␈α∂common␈α∞divisor␈α∞of␈α∞the␈α∂coe}cien␈α␈ts␈α∞of␈↓ λ7␈ελu␈↓ λM␈εα(␈↓ λY␈ελx␈↓ λk␈εα).␈↓ 	-␈εαReplace␈↓ 
6␈ελu␈↓ 
K␈εα(␈↓ 
W␈ελx␈↓ 
j␈εα)␈α∞by
␈β∧e␈↓ ε'␈ε↓␈␈↓ εu␈ε↓↓␈↓ 
I␈ε↓␈␈↓ ∀␈ε↓↓
␈β¬∧␈↓ α␈εαthe␈α	polynomial␈↓ β}␈ελu␈↓ ∧∪␈εα(␈↓ ∧∨␈ελx␈↓ ∧2␈εα)/␈↓ ∧V␈εαcon␈α␈t␈↓ ¬→␈εα(␈↓ ¬%␈ελu␈↓ ¬;␈εα)␈α
=␈↓ ¬␈␈εαpp␈↓ ε5␈ελu␈↓ εK␈εα(␈↓ εW␈ελx␈↓ εi␈εα)␈↓ πβ␈εα;␈α
similarly,␈α
replace␈↓ 	*␈ελv␈↓ 	<␈εα(␈↓ 	H␈ελx␈↓ 	[␈εα)␈α	by␈↓ 
!␈εαpp␈↓ 
W␈ελv␈↓ 
j␈εα(␈↓ 
v␈ελx␈↓ λ␈εα)␈↓ "␈εα.
␈β¬∀␈↓ λk␈ε↓␈
␈β¬4␈↓ ↓L␈ε∩E2.␈↓ α␈εα[Pseudo-division.]␈α~Calculate␈↓ ¬Z␈ελr␈↓ ¬j␈εα(␈↓ ¬v␈ελx␈↓ ε	␈εα)␈αusing␈α
Algorithm␈αR.␈↓ λy␈εαIt␈α
is␈αunnecessary␈αto
␈β¬?␈↓ εd␈ε↓↓
␈β¬←␈↓ α␈εαcalculate␈α
the␈α
quotien␈α␈t␈α
polynomial␈↓ ε∨␈ελq␈↓ ε/␈εα(␈↓ ε;␈ελx␈↓ εN␈εα).␈↓ πε␈εαIf␈↓ π(␈ελr␈↓ π8␈εα(␈↓ πD␈ελx␈↓ πW␈εα)␈α
=␈α
0,␈α
go␈α
to␈α
E4.␈αIf␈α
deg(␈↓ 
=␈ελr␈↓ 
L␈εα)␈α
=␈α
0,
␈βε
␈↓ α␈εαreplace␈↓ βε␈ελv␈↓ β→␈εα(␈↓ β%␈ελx␈↓ β8␈εα)␈αby␈αthe␈αconstan␈α␈t␈αpolynomial␈α\1"␈αand␈αgo␈αto␈αE4.
␈βε~␈↓ 
L␈ε↓␈␈↓ ∀␈ε↓↓
␈βε9␈↓ ↓L␈ε∩E3.␈↓ α␈εα[Mak␈α␈e␈αεremainder␈αεprimitiv␈α␈e.]␈αReplace␈↓ εE␈ελu␈↓ ε[␈εα(␈↓ εg␈ελx␈↓ εy␈εα)␈απby␈↓ π:␈ελv␈↓ πM␈εα(␈↓ πY␈ελx␈↓ πk␈εα)␈απand␈αεreplace␈↓ 	2␈ελv␈↓ 	E␈εα(␈↓ 	Q␈ελx␈↓ 	c␈εα)␈απby␈↓ 
$␈εαpp␈↓ 
Z␈ελr␈↓ 
j␈εα(␈↓ 
v␈ελx␈↓ λ␈εα)␈↓ "␈εα.
␈βεe␈↓ α␈εαGo␈α
back␈αto␈α
step␈α
E2.␈α~(This␈α
is␈αthe␈α
\Euclidean␈α
step,"␈αanalogous␈α
to␈α
the␈αother
␈βπ⊂␈↓ α␈εαinstances␈αof␈αEuclid's␈αalgorithm␈αthat␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αseen.)
␈βπ?␈↓ ↓L␈ε∩E4.␈↓ α␈εα[Attach␈αεthe␈απcon␈α␈ten␈α␈t.]␈αThe␈αεalgorithm␈απterminates,␈απwith␈↓ λ<␈ελd␈↓ λP␈ε⊗↓␈↓ λ[␈ελv␈↓ λn␈εα(␈↓ λz␈ελx␈↓ 	
␈εα)␈αεas␈αεthe␈απansw␈α␈er.
␈βπD␈↓ ~␈∧πD~≠∂
␈βπs␈↓ α␈εαAs␈αλan␈απexample␈αλof␈απAlgorithm␈αλE␈↓ ¬X␈εα,␈αλlet␈απus␈αλcalculate␈απthe␈αλgreatest␈απcommon␈αλdivisor␈απof
␈βλ%␈↓ ∧←␈ε¬8␈↓ ¬4␈ε¬6␈↓ ε≠␈ε¬4␈↓ πα␈ε¬3␈↓ πi␈ε¬2
␈βλ+␈↓ βS␈ελu␈↓ βi␈εα(␈↓ βu␈ελx␈↓ ∧λ␈εα)␈↓ ∧≡␈εα=␈↓ ∧L␈ελx␈↓ ∧u␈εα+␈↓ ¬!␈ελx␈↓ ¬J␈ε⊗␈␈εα␈αλ3␈↓ ελ␈ελx␈↓ ε1␈ε⊗␈␈εα␈αλ3␈↓ εo␈ελx␈↓ π→␈εα+␈αλ8␈↓ πW␈ελx␈↓ λ␈εα+␈αλ2␈↓ λ>␈ελx␈↓ λY␈ε⊗␈␈εα␈αλ5,
␈βλD␈↓ α␈εα(9)
␈βλ[␈↓ ∧q␈ε¬6␈↓ ¬X␈ε¬4␈↓ ε?␈ε¬2
␈βλa␈↓ βV␈ελv␈↓ βi␈εα(␈↓ βu␈ελx␈↓ ∧λ␈εα)␈↓ ∧≡␈εα=␈α
3␈↓ ∧↑␈ελx␈↓ ¬π␈εα+␈αλ5␈↓ ¬E␈ελx␈↓ ¬n␈ε⊗␈␈εα␈αλ4␈↓ ε,␈ελx␈↓ εU␈ε⊗␈␈εα␈αλ9␈↓ π∪␈ελx␈↓ π.␈εα+␈αλ21,
␈β	∃␈↓ ↓H␈εαo␈α␈v␈α␈er␈α∞the␈α∂in␈α␈tegers.␈α∪These␈α∂polynomials␈α∞are␈α∂primitiv␈α␈e,␈α∂so␈α∞step␈α∂E1␈α∞sets␈↓ 
	␈ελd␈↓ 
+␈ε⊗ ␈εα␈α∞1.␈α∪In
␈β	@␈↓ ↓H␈εαstep␈αE2␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αthe␈αpseudo-division
␈β	z␈↓ λj␈εα1␈α$0␈↓ 	V␈ε⊗␈␈εα6
␈β
¬␈↓ ¬>␈ε↓↓
␈β
∨␈↓ ¬>␈∧
∨¬>α∧O
␈β
'␈↓ αh␈εα3␈α∩0␈α∩5␈α∩0␈↓ βx␈ε⊗␈␈εα4␈↓ ∧@␈ε⊗␈␈εα9␈↓ ¬λ␈εα21
␈β
)␈↓ ¬↑␈εα1␈α∩0␈↓ ε\1␈α∩0␈↓ π6␈ε⊗␈␈εα3␈↓ π}␈ε⊗␈␈εα3␈↓ λX␈εα8␈α$2␈↓ 	V␈ε⊗␈␈εα5
␈β
U␈↓ ¬↑␈εα3␈α∩0␈↓ ε\3␈α∩0␈↓ π6␈ε⊗␈␈εα9␈↓ π}␈ε⊗␈␈εα9␈↓ λF␈εα24␈α$6␈↓ 	D␈ε⊗␈␈εα15
␈β␈↓ ¬↑␈εα3␈α∩0␈↓ ε\5␈α∩0␈↓ π6␈ε⊗␈␈εα4␈↓ π}␈ε⊗␈␈εα9␈↓ λF␈εα21
␈β&␈↓ ¬↑␈∧&¬↑α∧/
␈β1␈↓ εα␈εα0␈↓ ε8␈ε⊗␈␈εα2␈↓ π␈εα0␈↓ π6␈ε⊗␈␈εα5␈↓ λ"␈εα0␈α$3␈α$6␈↓ 	D␈ε⊗␈␈εα15
␈βY␈↓ 
p␈εα(10)
␈β]␈↓ εα␈εα0␈↓ ε8␈ε⊗␈␈εα6␈↓ π␈εα0␈↓ π$␈ε⊗␈␈εα15␈↓ λ"␈εα0␈α$9␈α∩18␈↓ 	D␈ε⊗␈␈εα45
␈βλ␈↓ εα␈εα0␈↓ ε\0␈α∩0␈↓ πZ0␈α60␈α$0␈α$0␈↓ 	z0
␈β-␈↓ εα␈∧-εαα∧
␈β9␈↓ ε8␈ε⊗␈␈εα6␈↓ π␈εα0␈↓ π$␈ε⊗␈␈εα15␈↓ λ"␈εα0␈α$9␈α∩18␈↓ 	D␈ε⊗␈␈εα45
␈βd␈↓ ε&␈ε⊗␈␈εα18␈↓ π␈εα0␈↓ π$␈ε⊗␈␈εα45␈↓ λ"␈εα0␈α∩27␈α∩54␈↓ 	2␈ε⊗␈␈εα135
␈β
∂␈↓ ε&␈ε⊗␈␈εα18␈↓ π␈εα0␈↓ π$␈ε⊗␈␈εα30␈↓ λ"␈εα0␈α∩24␈α∩54␈↓ 	2␈ε⊗␈␈εα126
␈β
5␈↓ ε&␈∧
5ε&αβg
␈β
@␈↓ π$␈ε⊗␈␈εα15␈↓ λ"␈εα0␈α$3␈α$0␈↓ 	V␈ε⊗␈␈εα9
␈β
t␈↓ ¬⊂␈ε¬2␈↓ ¬1␈ε¬2␈↓ ε1␈ε¬1␈↓ πh␈ε¬0
␈β
y␈↓ ↓H␈εαHere␈αthe␈αquotien␈α␈t␈↓ βg␈ελq␈↓ βw␈εα(␈↓ ∧β␈ελx␈↓ ∧⊗␈εα)␈αis␈α1␈ε⊗␈αλ↓␈↓ ∧}␈εα3␈↓ ¬≡␈ελx␈↓ ¬G␈εα+␈αλ0␈ε⊗␈αλ↓␈↓ ε∨␈εα3␈↓ ε@␈ελx␈↓ εZ␈εα+␈↓ πε␈ε⊗␈␈εα6␈↓ πD␈ε⊗↓␈↓ πV␈εα3␈↓ πw␈εα;␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈β∞,␈↓ ¬Y␈ε¬2␈↓ πh␈ε¬4␈↓ λO␈ε¬2
␈β∞2␈↓ β:␈εα27␈↓ β↑␈ελu␈↓ βt␈εα(␈↓ ∧␈ελx␈↓ ∧∪␈εα)␈α∀=␈↓ ∧k␈ελv␈↓ ∧⎇␈εα(␈↓ ¬	␈ελx␈↓ ¬≤␈εα)(9␈↓ ¬F␈ελx␈↓ ¬o␈ε⊗␈␈εα␈αλ6)␈α∩+␈α∩(␈ε⊗␈␈εα15␈↓ πU␈ελx␈↓ π␈␈εα+␈αλ3␈↓ λ=␈ελx␈↓ λf␈ε⊗␈␈εα␈αλ9).␈↓ 
p␈εα(11)
␈β∞K␈↓ π?␈ε↓␈␈↓ λλ␈ε↓↓
␈β∞f␈↓ λs␈ε¬4␈↓ 	A␈ε¬2
␈β∞k␈↓ ↓H␈εαNo␈α␈w␈α	step␈α	E3␈α
replaces␈↓ ∧~␈ελu␈↓ ∧0␈εα(␈↓ ∧<␈ελx␈↓ ∧N␈εα)␈α
by␈↓ ¬∃␈ελv␈↓ ¬(␈εα(␈↓ ¬4␈ελx␈↓ ¬G␈εα)␈α	and␈↓ ε∨␈ελv␈↓ ε2␈εα(␈↓ ε>␈ελx␈↓ εQ␈εα)␈α	by␈↓ π↔␈εαpp␈↓ πM␈ελr␈↓ π]␈εα(␈↓ πi␈ελx␈↓ π|␈εα)␈↓ λ ␈εα=␈α
5␈↓ λ`␈ελx␈↓ 	ε␈ε⊗␈␈↓ 	.␈ελx␈↓ 	T␈εα+␈α∧3.␈αThe␈α	sub-
␈β∂⊗␈↓ ↓H␈εαsequen␈α␈t␈αcalculation␈αmay␈αbe␈αsummarized␈αas␈αfollo␈α␈ws,␈αwriting␈αonly␈αthe␈αcoe}cien␈α␈ts:
␈β∂I␈↓ αn␈ελu␈↓ β∧␈εα(␈↓ β⊂␈ελx␈↓ β#␈εα)␈↓ ε	␈ελv␈↓ ε≤␈εα(␈↓ ε(␈ελx␈↓ ε:␈εα)␈↓ λs␈ελr␈↓ 	β␈εα(␈↓ 	∂␈ελx␈↓ 	"␈εα)
␈β⊂β␈↓ ↓H␈εα1,␈αε0,␈αε1,␈αε0,␈ε⊗␈αε␈␈εα3,␈ε⊗␈αε␈␈εα3,␈αε8,␈αε2,␈ε⊗␈αε␈␈εα5␈↓ ¬␈εα3,␈αε0,␈αε5,␈αε0,␈ε⊗␈αε␈␈εα4,␈ε⊗␈αε␈␈εα9,␈αε21␈↓ λ4␈ε⊗␈␈εα15,␈αε0,␈αε3,␈αε0,␈ε⊗␈αε␈␈εα9
␈β⊂5␈↓ α≡␈εα3,␈αε0,␈αε5,␈αε0,␈ε⊗␈αε␈␈εα4,␈ε⊗␈αε␈␈εα9,␈αε21␈↓ εε␈εα5,␈αε0,␈ε⊗␈αε␈␈εα1,␈αε0,␈αε3␈↓ πz␈ε⊗␈␈εα585,␈ε⊗␈αε␈␈εα1125,␈αε2205
␈β⊂h␈↓ β_␈εα5,␈αε0,␈ε⊗␈αε␈␈εα1,␈αε0,␈αε3␈↓ ε∀␈εα13,␈αε25,␈ε⊗␈αε␈␈εα49␈↓ λ≤␈ε⊗␈␈εα233150,␈αε307500
␈β⊃~␈↓ β&␈εα13,␈αε25,␈ε⊗␈αε␈␈εα49␈↓ ε␈εα4663,␈ε⊗␈αε␈␈εα6150␈↓ 	ε␈εα143193869␈↓ 
p␈εα(12)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.1␈ε∞␈↓ π:DIV␈α␈ISION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα397
␈βα(␈↓ α␈εαIt␈αλis␈α	instructiv␈α␈e␈αλto␈αλcompare␈αλthis␈α	calculation␈αλwith␈αλthe␈α	computation␈αλof␈αλthe␈αλsame
␈βαS␈↓ ↓H␈εαgreatest␈αcommon␈αdivisor␈αo␈α␈v␈α␈er␈αthe␈ε∂␈αrational␈↓ εb␈εαn␈α␈um␈α␈bers,␈αinstead␈αof␈αo␈α␈v␈α␈er␈αthe␈αin␈α␈tegers,
␈βα}␈↓ ↓H␈εαby␈α∞using␈α
Euclid's␈α∞algorithm␈α∞for␈α∞polynomials␈α∞o␈α␈v␈α␈er␈α∞a␈α∞|eld␈α∞as␈α∞described␈α∞earlier␈α
in
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαthis␈αsection.␈αThe␈αfollo␈α␈wing␈αsurprisingly␈αcomplicated␈αsequence␈αof␈αresults␈αoccurs:
␈ββ↑␈↓ ∧Z␈ελu␈↓ ∧o␈εα(␈↓ ∧{␈ελx␈↓ ¬∞␈εα)␈↓ πt␈ελv␈↓ λπ␈εα(␈↓ λ∪␈ελx␈↓ λ&␈εα)
␈β∧≠␈↓ βE␈εα1,␈αε0,␈αε1,␈αε0,␈ε⊗␈αε␈␈εα3,␈ε⊗␈αε␈␈εα3,␈αε8,␈αε2,␈αε5␈↓ εw␈εα3,␈αε0,␈αε5,␈αε0,␈ε⊗␈αε␈␈εα4,␈ε⊗␈αε␈␈εα9,␈αε21
␈β∧N␈↓ πh␈ε¬5␈↓ λ0␈ε¬1␈↓ 	≥␈ε¬1
␈β∧Q␈↓ βw␈εα3,␈αε0,␈αε5,␈αε0,␈ε⊗␈αε␈␈εα4,␈ε⊗␈αε␈␈εα9,␈αε21␈↓ π@␈ε⊗␈␈↓ πz␈εα,␈αε0,␈↓ λC␈εα,␈αε0,␈ε⊗␈αε␈
␈β∧a␈↓ πh␈∧∧aπhα∂␈↓ λ0␈∧∧aλ0α∂␈↓ 	≥␈∧∧a	≥α∂
␈β∧d␈↓ πh␈ε¬9␈↓ λ0␈ε¬9␈↓ 	≥␈ε¬3
␈β¬∧␈↓ ∧h␈ε¬5␈↓ ¬0␈ε¬1␈↓ ε≥␈ε¬1␈↓ πw␈ε¬117␈↓ 	␈ε¬44␈α↓1
␈β¬π␈↓ ∧@␈ε⊗␈␈↓ ∧z␈εα,␈αε0,␈↓ ¬C␈εα,␈αε0,␈ε⊗␈αε␈␈↓ πO␈ε⊗␈␈↓ λ&␈εα,␈ε⊗␈αε␈␈εα9,
␈β¬↔␈↓ ∧h␈∧¬↔∧hα∂␈↓ ¬0␈∧¬↔¬0α∂␈↓ ε≥␈∧¬↔ε≥α∂␈↓ πw␈∧¬↔πwα,␈↓ 	␈∧¬↔	α,
␈β¬~␈↓ ∧h␈ε¬9␈↓ ¬0␈ε¬9␈↓ ε≥␈ε¬3␈↓ π}␈ε¬25␈↓ 	π␈ε¬25
␈β¬:␈↓ ∧w␈ε¬117␈↓ ε␈ε¬44␈α↓1␈↓ πB␈ε¬2␈α↓331␈α↓50␈↓ λU␈ε¬102␈α↓50␈α↓0
␈β¬=␈↓ ∧O␈ε⊗␈␈↓ ¬&␈εα,␈ε⊗␈αε␈␈εα9,␈↓ λ≥␈εα,␈ε⊗␈αε␈
␈β¬M␈↓ ∧w␈∧¬M∧wα,␈↓ ε␈∧¬Mεα,␈↓ πB␈∧¬MπBαW␈↓ λU␈∧¬MλUαW
␈β¬P␈↓ ∧}␈ε¬25␈↓ επ␈ε¬25␈↓ πI␈ε¬1␈α↓97␈α↓73␈↓ λc␈ε¬65␈α↓91
␈β¬p␈↓ ∧B␈ε¬2␈α↓331␈α↓50␈↓ ¬U␈ε¬102␈α↓50␈α↓0␈↓ λ≠␈ε¬12␈α↓88␈α↓744␈α↓82␈α↓1
␈β¬s␈↓ ¬≥␈εα,␈ε⊗␈αε␈␈↓ πs␈ε⊗␈␈↓ 
p␈εα(13)
␈βεβ␈↓ ∧B␈∧εβ∧BαW␈↓ ¬U␈∧εβ¬UαW␈↓ λ≠␈∧εβλ≠α↓⊂
␈βεε␈↓ ∧I␈ε¬1␈α↓97␈α↓73␈↓ ¬c␈ε¬65␈α↓91␈↓ λ"␈ε¬5␈α↓435␈α↓89␈α↓225
␈βε-␈↓ α␈εαTo␈αλimpro␈α␈v␈α␈e␈απthat␈αλalgorithm,␈αλw␈α␈e␈αλcan␈απreduce␈↓ π∃␈ελu␈↓ π*␈εα(␈↓ π6␈ελx␈↓ πI␈εα)␈αλand␈↓ λ≡␈ελv␈↓ λ1␈εα(␈↓ λ=␈ελx␈↓ λP␈εα)␈απto␈αλmonic␈απpolynomials
␈βεX␈↓ ↓H␈εαat␈α
each␈α∞step,␈α∞since␈α∞this␈α∞remo␈α␈v␈α␈es␈α
\unit"␈α∞factors␈α∞that␈α
mak␈α␈e␈α∞the␈α∞coe}cien␈α␈ts␈α
more
␈βπβ␈↓ ↓H␈εαcomplicated␈αthan␈αnecessary;␈αthis␈αis␈αactually␈αAlgorithm␈αE␈αo␈α␈v␈α␈er␈αthe␈αrationals:
␈βπ7␈↓ ∧Z␈ελu␈↓ ∧o␈εα(␈↓ ∧{␈ελx␈↓ ¬∞␈εα)␈↓ πt␈ελv␈↓ λπ␈εα(␈↓ λ∪␈ελx␈↓ λ&␈εα)
␈βπt␈↓ βE␈εα1,␈αε0,␈αε1,␈αε0,␈ε⊗␈αε␈␈εα3,␈ε⊗␈αε␈␈εα3,␈αε8,␈αε2,␈αε5␈↓ εw␈εα3,␈αε0,␈αε5,␈αε0,␈ε⊗␈αε␈␈εα4,␈ε⊗␈αε␈␈εα9,␈αε21
␈βλ'␈↓ ∧H␈ε¬5␈↓ ¬5␈ε¬4␈↓ λT␈ε¬1␈↓ 	≥␈ε¬3
␈βλ*␈↓ ∧␈εα1,␈αε0,␈↓ ∧[␈εα,␈αε0,␈ε⊗␈αε␈␈↓ ¬G␈εα,␈ε⊗␈αε␈␈εα3,␈αε7␈↓ πh␈εα1,␈αε0,␈ε⊗␈αε␈␈↓ λg␈εα,␈αε0,
␈βλ;␈↓ ∧H␈∧λ;∧Hα∂␈↓ ¬5␈∧λ;¬5α∂␈↓ λT␈∧λ;λTα∂␈↓ 	≥␈∧λ;	≥α∂
␈βλ=␈↓ ∧H␈ε¬3␈↓ ¬5␈ε¬3␈↓ λT␈ε¬5␈↓ 	≥␈ε¬5
␈βλ]␈↓ ¬T␈ε¬1␈↓ ε≥␈ε¬3␈↓ λ5␈ε¬2␈α↓5␈↓ 	∞␈ε¬4␈α↓9
␈βλ`␈↓ ∧h␈εα1,␈αε0,␈ε⊗␈αε␈␈↓ ¬g␈εα,␈αε0,␈↓ λ∂␈εα1,␈↓ λV␈εα,␈ε⊗␈αε␈
␈βλq␈↓ ¬T␈∧λq¬Tα∂␈↓ ε≥␈∧λqε≥α∂␈↓ λ5␈∧λqλ5α≥␈↓ 	∞␈∧λq	∞α≥
␈βλs␈↓ ¬T␈ε¬5␈↓ ε≥␈ε¬5␈↓ λ5␈ε¬1␈α↓3␈↓ 	∞␈ε¬1␈α↓3
␈β	∪␈↓ ¬5␈ε¬2␈α↓5␈↓ ε∞␈ε¬4␈α↓9␈↓ λq␈ε¬6␈α↓15␈α↓0
␈β	⊗␈↓ ¬∂␈εα1,␈↓ ¬V␈εα,␈ε⊗␈αε␈␈↓ λ'␈εα1,␈ε⊗␈αε␈
␈β	'␈↓ ¬5␈∧	'¬5α≥␈↓ ε∞␈∧	'ε∞α≥␈↓ λq␈∧	'λqα:
␈β	)␈↓ ¬5␈ε¬1␈α↓3␈↓ ε∞␈ε¬1␈α↓3␈↓ λq␈ε¬4␈α↓66␈α↓3
␈β	I␈↓ ¬q␈ε¬6␈α↓15␈α↓0
␈β	L␈↓ ¬'␈εα1,␈ε⊗␈αε␈␈↓ 	≥␈εα1␈↓ 
p␈εα(14)
␈β	]␈↓ ¬q␈∧	]¬qα:
␈β	←␈↓ ¬q␈ε¬4␈α↓66␈α↓3
␈β
ε␈↓ α␈εαIn␈αboth␈α(13)␈αand␈α(14)␈αthe␈αsequence␈αof␈αpolynomials␈αis␈αessen␈α␈tially␈αthe␈αsame␈αas
␈β
1␈↓ ↓H␈εα(12),␈α
which␈α
was␈αobtained␈α
by␈α
Algorithm␈α
E␈αo␈α␈v␈α␈er␈α
the␈α
in␈α␈tegers;␈αthe␈α
only␈α
di{erence␈α
is
␈β
]␈↓ ↓H␈εαthat␈α	the␈α
polynomials␈α	hav␈α␈e␈α
been␈α	m␈α␈ultiplied␈α
by␈α	certain␈α
rational␈α	n␈α␈um␈α␈bers.␈αWhether
␈ββ␈↓ αx␈ε¬4␈↓ βN␈ε¬2␈↓ ¬*␈ε¬4␈↓ ε↔␈ε¬2␈↓ π=␈ε¬4␈↓ λ)␈ε¬2
␈β∧␈↓ ¬¬␈ε¬5␈↓ ¬q␈ε¬1␈↓ ε↑␈ε¬1␈↓ λ∧␈ε¬1␈↓ λp␈ε¬3
␈βλ␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈α
5␈↓ αe␈ελx␈↓ β∂␈ε⊗␈␈↓ β;␈ελx␈↓ βe␈εα+␈αλ3␈α
or␈ε⊗␈α
␈␈↓ ¬↔␈ελx␈↓ ¬A␈εα+␈↓ ε∧␈ελx␈↓ ε-␈ε⊗␈␈↓ ε⎇␈εαor␈↓ π*␈ελx␈↓ πS␈ε⊗␈␈↓ λ⊗␈ελx␈↓ λ@␈εα+␈↓ 	β␈εα,␈α
the␈αcomputations
␈β_␈↓ ¬¬␈∧_¬¬α∂␈↓ ¬q␈∧_¬qα∂␈↓ ε↑␈∧_ε↑α∂␈↓ λ∧␈∧_λ∧α∂␈↓ λp␈∧_λpα∂
␈β≠␈↓ ¬¬␈ε¬9␈↓ ¬q␈ε¬9␈↓ ε↑␈ε¬3␈↓ λ∧␈ε¬5␈↓ λp␈ε¬5
␈β3␈↓ ↓H␈εαare␈αessen␈α␈tially␈αthe␈αsame.␈αBut␈αeither␈αalgorithm␈αusing␈αrational␈αarithmetic␈αwill␈αrun
␈β↑␈↓ ↓H␈εαnoticeably␈αslo␈α␈w␈α␈er␈αthan␈αthe␈αall-in␈α␈teger␈αAlgorithm␈αE␈↓ πa␈εα,␈αsince␈αrational␈αarithmetic␈αre-
␈β	␈↓ ↓H␈εαquires␈αλman␈α␈y␈α	more␈α	evaluations␈αλof␈α	gcd's␈α	of␈αλin␈α␈tegers␈α	within␈α	each␈αλstep.␈αTherefore␈α	it␈αλis
␈β5␈↓ ↓H␈εαde|nitely␈απpreferable␈απto␈αλuse␈απthe␈αλall-in␈α␈teger␈απalgorithm␈απinstead␈αλof␈απrational␈απarithmetic,
␈β`␈↓ ↓H␈εαwhen␈αthe␈αgcd␈αof␈αpolynomials␈αwith␈αin␈α␈teger␈αor␈αrational␈αcoe}cien␈α␈ts␈αis␈αdesired.
␈β
␈↓ α␈εαIt␈α
is␈α	also␈α
instructiv␈α␈e␈α	to␈α
compare␈α	the␈α
abo␈α␈v␈α␈e␈α
calculations␈α	with␈α
(6)␈α	abo␈α␈v␈α␈e,␈α
where
␈β
6␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈α
determined␈α∞the␈α∞gcd␈α∞of␈α∞the␈α∞same␈α
polynomials␈↓ πQ␈ελu␈↓ πg␈εα(␈↓ πs␈ελx␈↓ λε␈εα)␈α∞and␈↓ λg␈ελv␈↓ λz␈εα(␈↓ 	ε␈ελx␈↓ 	→␈εα)␈α∞modulo␈α∞13␈α
with
␈β
a␈↓ ↓H␈εαconsiderably␈α⊂less␈α⊃labor.␈α→Since␈↓ ¬9␈ελ#␈↓ ¬H␈εα(␈↓ ¬T␈ελu␈↓ ¬j␈εα)␈α⊂and␈↓ εQ␈ελ#␈↓ ε`␈εα(␈↓ εl␈ελv␈↓ ε␈␈εα)␈α⊂are␈α⊃not␈α⊂m␈α␈ultiples␈α⊃of␈α⊂13,␈α∩the␈α⊂fact
␈β
m␈↓ αM␈ε↓␈␈↓ βi␈ε↓↓
␈β∞
␈↓ ↓H␈εαthat␈↓ α↔␈εαgcd␈↓ α[␈ελu␈↓ αp␈εα(␈↓ α|␈ελx␈↓ β∂␈εα),␈↓ β+␈ελv␈↓ β>␈εα(␈↓ βJ␈ελx␈↓ β]␈εα)␈↓ ∧α␈εα=␈α1␈αmodulo␈α
13␈α
is␈α
su}cien␈α␈t␈α
to␈α
pro␈α␈v␈α␈e␈α
that␈↓ 	≡␈ελu␈↓ 	3␈εα(␈↓ 	?␈ελx␈↓ 	R␈εα)␈α
and␈↓ 
2␈ελv␈↓ 
E␈εα(␈↓ 
Q␈ελx␈↓ 
d␈εα)␈αare
␈β∞8␈↓ ↓H␈εαrelativ␈α␈ely␈αprime␈αo␈α␈v␈α␈er␈α
the␈αin␈α␈tegers␈α(and␈α
therefore␈αo␈α␈v␈α␈er␈αthe␈α
rational␈αn␈α␈um␈α␈bers);␈αw␈α␈e
␈β∞c␈↓ ↓H␈εαwill␈αreturn␈αto␈αthis␈αtime-saving␈αobservation␈αat␈αthe␈αclose␈αof␈αSection␈α4.6.2.
␈β∂↔␈↓ ↓H␈ε∩The␈α	subresultan␈α␈t␈α	algorithm.␈εα␈α∪An␈α	ingenious␈α	algorithm␈α	that␈α
is␈α	generally␈α	superior␈α	to
␈β∂B␈↓ ↓H␈εαAlgorithm␈απE␈↓ βπ␈εα,␈α	and␈αλthat␈απgiv␈α␈es␈αλus␈αλfurther␈αλinformation␈απabout␈αλAlgorithm␈αλE's␈απbehavior,
␈β∂m␈↓ ↓H␈εαwas␈αλdisco␈α␈v␈α␈ered␈αλby␈αλGeorge␈αλE.␈αλCollins␈αλ[␈ε∂JA␈α␈CM␈ε∩␈αλ14␈εα␈αλ(1967),␈αλ128↑142]␈αλand␈αλsubsequen␈α␈tly
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εαimpro␈α␈v␈α␈ed␈αby␈α
W.␈αS.␈αBro␈α␈wn␈α
and␈αJ.␈α
F.␈αTraub␈α
[␈ε∂JA␈α␈CM␈ε∩␈α18␈εα␈α
(1971),␈α505↑514;␈α
see␈αalso
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαW.␈α
S.␈α∞Bro␈α␈wn,␈ε∂␈α∞A␈α␈CM␈α∞Trans.␈α∞Math.␈α∞Soft␈α␈ware␈ε∩␈α
4␈εα␈α∞(1978),␈α∞237↑249].␈α∩This␈α
algorithm
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαav␈α␈oids␈αλthe␈αλcalculation␈α	of␈αλprimitiv␈α␈e␈α	part␈αλin␈αλstep␈α	E3,␈α	dividing␈αλinstead␈α	by␈αλan␈αλelemen␈α␈t
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓r␈ελS␈↓ α∀␈εαthat␈αis␈αkno␈α␈wn␈αto␈αbe␈αa␈αfactor␈αof␈↓ ε¬␈ελr␈↓ ε∃␈εα(␈↓ ε!␈ελx␈↓ ε3␈εα):
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα398␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.1
␈βα&␈↓ ↓H␈ε∩Algorithm␈αλC␈εα␈αλ(␈ε∂Greatest␈απcommon␈αλdivisor␈αλo␈α␈v␈α␈er␈αλa␈αλunique␈αλfactorization␈αλdomain␈εα)␈ε∩.␈εα␈α∂This
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαalgorithm␈αhas␈αthe␈αsame␈αinput␈αand␈αoutput␈αassumptions␈αas␈αAlgorithm␈αE␈↓ 
≤␈εα,␈αand␈αhas
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαthe␈α
advan␈α␈tage␈α
that␈αfew␈α␈er␈α
calculations␈αof␈α
greatest␈α
common␈αdivisors␈α
of␈α
coe}cien␈α␈ts
␈ββ(␈↓ ↓H␈εαare␈αneeded.
␈ββ=␈↓ 
$␈ε↓␈
␈ββ\␈↓ ↓H␈ε∩C1.␈↓ α␈εα[Reduce␈α
to␈αprimitiv␈α␈e.]␈α~As␈α
in␈αstep␈α
E1␈α
of␈αAlgorithm␈α
E␈↓ λQ␈εα,␈αset␈↓ 	 ␈ελd␈↓ 	?␈ε⊗ ␈↓ 	n␈εαgcd␈↓ 
2␈εαcon␈α␈t␈↓ 
u␈εα(␈↓ ↓␈ελu␈↓ ⊗␈εα),
␈ββh␈↓ αz␈ε↓↓␈↓ ∧S␈ε↓␈␈↓ ¬o␈ε↓↓␈↓ ε6␈ε↓␈␈↓ εl␈ε↓␈␈↓ π;␈ε↓↓␈↓ λ↓␈ε↓␈␈↓ λL␈ε↓↓␈↓ λZ␈ε↓↓
␈β∧π␈↓ α␈εαcon␈α␈t␈↓ αO␈εα(␈↓ α[␈ελv␈↓ αn␈εα)␈↓ βλ␈εα,␈α	and␈αλreplace␈↓ ∧a␈ελu␈↓ ∧w␈εα(␈↓ ¬β␈ελx␈↓ ¬⊗␈εα),␈↓ ¬2␈ελv␈↓ ¬E␈εα(␈↓ ¬Q␈ελx␈↓ ¬c␈εα)␈↓ εε␈εαby␈↓ εD␈εαpp␈↓ εz␈ελu␈↓ π⊂␈εα(␈↓ π≤␈ελx␈↓ π/␈εα)␈↓ πI␈εα,␈↓ πY␈εαpp␈↓ λ∂␈ελv␈↓ λ!␈εα(␈↓ λ-␈ελx␈↓ λ@␈εα)␈↓ λh␈εα.␈αAlso␈αλset␈↓ 	⎇␈ελg␈↓ 
→␈ε⊗ ␈↓ 
G␈ελh␈↓ 
b␈ε⊗ ␈εα␈α
1.
␈β∧<␈↓ ↓H␈ε∩C2.␈↓ α␈εα[Pseudo-division.]␈αSet␈↓ ∧c␈ελ∞␈↓ ∧}␈ε⊗ ␈↓ ¬,␈εαdeg␈↓ ¬b␈εα(␈↓ ¬n␈ελu␈↓ ε∧␈εα)␈ε⊗␈α↓␈␈↓ ε5␈εαdeg␈↓ εk␈εα(␈↓ εw␈ελv␈↓ π
␈εα).␈α
Calculate␈↓ λG␈ελr␈↓ λW␈εα(␈↓ λc␈ελx␈↓ λv␈εα)␈αεusing␈απAlgorithm␈αεR␈↓ "␈εα.
␈β∧g␈↓ α␈εαIf␈↓ α.␈ελr␈↓ α>␈εα(␈↓ αJ␈ελx␈↓ α]␈εα)␈α
=␈α
0,␈α
go␈α
to␈α
C4.␈αIf␈α
deg(␈↓ ¬G␈ελr␈↓ ¬W␈εα)␈α
=␈α
0,␈α
replace␈↓ π9␈ελv␈↓ πL␈εα(␈↓ πX␈ελx␈↓ πk␈εα)␈α
by␈α
the␈α
constan␈α␈t␈α
polynomial
␈β¬∩␈↓ α␈εα\1"␈αand␈αgo␈αto␈αC4.
␈β¬F␈↓ ↓H␈ε∩C3.␈↓ α␈εα[Adjust␈αremainder.]␈α~Replace␈α
the␈αpolynomial␈↓ πY␈ελu␈↓ πn␈εα(␈↓ πz␈ελx␈↓ λ
␈εα)␈α
by␈↓ λZ␈ελv␈↓ λm␈εα(␈↓ λy␈ελx␈↓ 	␈εα),␈αand␈αreplace␈↓ 
o␈ελv␈↓ α␈εα(␈↓ ∞␈ελx␈↓  ␈εα)
␈β¬R␈↓ βY␈ε↓␈␈↓ 
9␈ε↓↓
␈β¬l␈↓ β-␈ε∞␈↓ 
!␈ε∞
␈β¬q␈↓ α␈εαby␈↓ α>␈ελr␈↓ αM␈εα(␈↓ αY␈ελx␈↓ αl␈εα)/␈↓ β
␈ελg␈↓ β≠␈ελh␈↓ β;␈εα.␈↓ βg␈εαAt␈α	this␈α
poin␈α␈t␈α	all␈α
coe}cien␈α␈ts␈α
of␈↓ π@␈ελr␈↓ πP␈εα(␈↓ π\␈ελx␈↓ πo␈εα)␈α	are␈α
m␈α␈ultiples␈α	of␈↓ 	}␈ελg␈↓ 
∂␈ελh␈↓ 
/␈εα.␈↓ 
Z␈εαThen
␈β¬⎇␈↓ πQ␈ε↓␈
␈βε_␈↓ ∧<␈ε¬1␈ε→␈␈↓ ∧g␈ε∞␈↓ ¬ε␈ε∞
␈βε≥␈↓ α␈εαset␈↓ αD␈ελg␈↓ α←␈ε⊗ ␈↓ β
␈ελ#␈↓ β≤␈εα(␈↓ β(␈ελu␈↓ β>␈εα),␈↓ β`␈ελh␈↓ β|␈ε⊗ ␈↓ ∧*␈ελh␈↓ ∧u␈ελg␈↓ ¬ ␈εαand␈αreturn␈αto␈αC2.␈↓ π←␈εαThe␈αnew␈αvalue␈αof␈↓ 	⎇␈ελh␈↓ 
≠␈εαwill␈αbe␈αin
␈βε(␈↓ ¬Q␈ε↓↓
␈βεH␈↓ α␈εαthe␈αdomain␈↓ βJ␈ελS␈↓ β`␈εα,␈αev␈α␈en␈αif␈↓ ∧k␈ελ∞␈↓ ¬π␈εα>␈α
1.
␈βε]␈↓ 	b␈ε↓␈␈↓ 
-␈ε↓↓
␈βε|␈↓ ↓H␈ε∩C4.␈↓ α␈εα[Attach␈α⊂the␈α∂con␈α␈ten␈α␈t.]␈α The␈α⊂algorithm␈α∂terminates,␈α⊃with␈↓ 	π␈ελd␈↓ 	%␈ε⊗↓␈↓ 	:␈εαpp␈↓ 	p␈ελv␈↓ 
α␈εα(␈↓ 
∞␈ελx␈↓ 
!␈εα)␈↓ 
K␈εαas␈α∂the
␈βπ'␈↓ α␈εαansw␈α␈er.
␈βπ,␈↓ β)␈∧π,β)≠∂
␈βπe␈↓ α␈εαIf␈α⊃w␈α␈e␈α⊃apply␈α⊃this␈α⊃algorithm␈α⊃to␈α⊃the␈α⊃polynomials␈α⊂(9)␈α⊃considered␈α⊃earlier,␈α∩the
␈βλ⊂␈↓ ↓H␈εαfollo␈α␈wing␈αsequence␈αof␈αresults␈αis␈αobtained␈αat␈αthe␈αbeginning␈αof␈αstep␈αC2:
␈βλY␈↓ α\␈ελu␈↓ αr␈εα(␈↓ α}␈ελx␈↓ β⊃␈εα)␈↓ ¬w␈ελv␈↓ ε
␈εα(␈↓ ε⊗␈ελx␈↓ ε(␈εα)␈↓ λ1␈ελg␈↓ 	.␈ελh
␈β	⊗␈↓ ↓H␈εα1,␈αε0,␈αε1,␈αε0,␈ε⊗␈αε␈␈εα3,␈ε⊗␈αε␈␈εα3,␈αε8,␈αε2,␈αε5␈↓ ∧z␈εα3,␈αε0,␈αε5,␈αε0,␈ε⊗␈αε␈␈εα4,␈ε⊗␈αε␈␈εα9,␈αε21␈↓ λ0␈εα1␈↓ 	.␈εα1
␈β	L␈↓ ↓z␈εα3,␈αε0,␈αε5,␈αε0,␈ε⊗␈αε␈␈εα4,␈ε⊗␈αε␈␈εα9,␈αε21␈↓ ¬>␈ε⊗␈␈εα15,␈αε0,␈αε3,␈αε0,␈ε⊗␈αε␈␈εα9␈↓ λ0␈εα3␈↓ 	.␈εα9
␈β
α␈↓ α>␈ε⊗␈␈εα15,␈αε0,␈αε3,␈αε0,␈ε⊗␈αε␈␈εα9␈↓ ¬↑␈εα65,␈αε125,␈ε⊗␈αε␈␈εα245␈↓ πz␈ε⊗␈␈εα15␈↓ 	≤␈εα25
␈β
8␈↓ α↑␈εα65,␈αε125,␈ε⊗␈αε␈␈εα245␈↓ ¬\␈ε⊗␈␈εα9826,␈αε12300␈↓ λ≡␈εα65␈↓ 	
␈εα169␈↓ 
p␈εα(15)
␈βα␈↓ εm␈ε∞
␈βπ␈↓ ↓H␈εαAt␈αthe␈αconclusion␈αof␈αthe␈αalgorithm,␈↓ ¬}␈ελr␈↓ ε
␈εα(␈↓ ε→␈ελx␈↓ ε,␈εα)/␈↓ εJ␈ελg␈↓ ε[␈ελh␈↓ π¬␈εα=␈α
260708.
␈β2␈↓ α␈εαThe␈α	sequence␈α	of␈α	polynomials␈αλconsists␈α	of␈α	in␈α␈tegral␈α	m␈α␈ultiples␈α	of␈α	the␈αλpolynomials
␈β]␈↓ ↓H␈εαin␈απthe␈αλsequence␈απproduced␈αλby␈απAlgorithm␈αλE␈↓ ε=␈εα.␈αIn␈απspite␈αλof␈απthe␈αλfact␈απthat␈αλthe␈απpolynomials
␈βλ␈↓ ↓H␈εαare␈αnot␈α
reduced␈α
to␈α
primitiv␈α␈e␈αform,␈α
the␈α
coe}cien␈α␈ts␈α
are␈αk␈α␈ept␈α
to␈α
a␈α
reasonable␈αsize
␈β4␈↓ ↓H␈εαbecause␈αof␈αthe␈αreduction␈αfactor␈αin␈αstep␈αC3.
␈β←␈↓ α␈εαIn␈αorder␈αto␈αanalyze␈αAlgorithm␈αC␈αand␈αto␈αpro␈α␈v␈α␈e␈αthat␈αit␈αis␈αvalid,␈αlet␈αus␈αcall␈αthe
␈β
␈↓ ↓H␈εαsequence␈αof␈αpolynomials␈α
it␈αproduces␈↓ ε
␈ελu␈↓ ε,␈εα(␈↓ ε8␈ελx␈↓ εK␈εα),␈↓ εn␈ελu␈↓ π⊃␈εα(␈↓ π≥␈ελx␈↓ π/␈εα),␈↓ πR␈ελu␈↓ πu␈εα(␈↓ λ↓␈ελx␈↓ λ∀␈εα),␈↓ λ6␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λf␈εα,␈α
where␈↓ 	e␈ελu␈↓ 
λ␈εα(␈↓ 
∀␈ελx␈↓ 
'␈εα)␈α
=␈↓ 
l␈ελu␈↓ α␈εα(␈↓ ∞␈ελx␈↓  ␈εα)
␈β
↔␈↓ ε≡␈ε¬1␈↓ πα␈ε¬2␈↓ πg␈ε¬3␈↓ 	z␈ε¬1
␈β
5␈↓ ↓H␈εαand␈↓ α∂␈ελu␈↓ α2␈εα(␈↓ α>␈ελx␈↓ αQ␈εα)␈α=␈↓ β→␈ελv␈↓ β,␈εα(␈↓ β8␈ελx␈↓ βK␈εα).␈α⊂Let␈↓ ∧4␈ελ∞␈↓ ∧[␈εα=␈↓ ¬␈ελn␈↓ ¬6␈ε⊗␈␈↓ ¬c␈ελn␈↓ ε=␈εαfor␈↓ εw␈ελj␈↓ π∪␈ε⊗∃␈εα␈α
1,␈α
where␈↓ λW␈ελn␈↓ 	¬␈εα=␈↓ 	5␈εαdeg␈↓ 	k␈εα(␈↓ 	w␈ελu␈↓ 
→␈εα);␈α∞and␈α
let
␈β
C␈↓ α$␈ε¬2␈↓ ∧A␈εj␈↓ ¬ ␈εj␈↓ ¬x␈εj␈↓ ε¬␈ε¬+1␈↓ λk␈εj␈↓ 
␈εj
␈β
Z␈↓ ¬5␈ε¬1␈ε→␈α↓␈␈↓ ¬`␈ε∞␈↓ ε*␈ε∞
␈β
`␈↓ ↓H␈ελg␈↓ ↓n␈εα=␈↓ α≤␈ελh␈↓ αE␈εα=␈α
1,␈↓ β≠␈ελg␈↓ β@␈εα=␈↓ βn␈ελ#␈↓ β}␈εα(␈↓ ∧
␈ελu␈↓ ∧+␈εα),␈↓ ∧M␈ελh␈↓ ∧u␈εα=␈↓ ¬#␈ελh␈↓ ε→␈ελg␈↓ εn␈εαfor␈↓ π&␈ελj␈↓ πA␈ε⊗∃␈εα␈α
2.␈αThen␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈β
b␈↓ ¬l␈ε
j␈↓ ¬w␈ε≠␈␈επ1␈↓ ε5␈ε
j␈↓ εA␈ε≠␈␈επ␈α␈1
␈β
n␈↓ ↓V␈ε¬1␈↓ α-␈ε¬1␈↓ β)␈εj␈↓ ∧≡␈εj␈↓ ∧↑␈εj
␈β
t␈↓ ¬5␈εj␈↓ ¬B␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ε%␈εj
␈β∞1␈↓ βB␈ε∞␈↓ βX␈ε¬+1␈↓ ε␈␈ε∞
␈β∞7␈↓ β1␈ελg␈↓ ∧β␈ελu␈↓ ∧&␈εα(␈↓ ∧2␈ελx␈↓ ∧E␈εα)␈↓ ∧[␈εα=␈↓ ¬	␈ελu␈↓ ¬,␈εα(␈↓ ¬8␈ελx␈↓ ¬K␈εα)␈↓ ¬W␈ελq␈↓ ¬r␈εα(␈↓ ¬}␈ελx␈↓ ε⊃␈εα)␈αλ+␈↓ εQ␈ελg␈↓ εm␈ελh␈↓ π⊗␈ελu␈↓ π9␈εα(␈↓ πE␈ελx␈↓ πX␈εα),␈↓ λ<␈ελn␈↓ λh␈εα<␈↓ 	⊗␈ελn␈↓ 	9␈εα;
␈β∞:␈↓ βM␈επ1␈↓ π␈επ1
␈β∞E␈↓ ∧_␈ε¬1␈↓ ¬≡␈ε¬2␈↓ ¬d␈ε¬1␈↓ ε←␈ε¬1␈↓ π*␈ε¬3␈↓ λP␈ε¬3␈↓ 	+␈ε¬2
␈β∞I␈↓ βB␈ε¬2␈↓ ε␈␈ε¬1
␈β∞g␈↓ βB␈ε∞␈↓ βX␈ε¬+1␈↓ ε␈␈ε∞
␈β∞k␈↓ 
p␈εα(16)
␈β∞m␈↓ β1␈ελg␈↓ ∧β␈ελu␈↓ ∧&␈εα(␈↓ ∧2␈ελx␈↓ ∧E␈εα)␈↓ ∧[␈εα=␈↓ ¬	␈ελu␈↓ ¬,␈εα(␈↓ ¬8␈ελx␈↓ ¬K␈εα)␈↓ ¬W␈ελq␈↓ ¬r␈εα(␈↓ ¬}␈ελx␈↓ ε⊃␈εα)␈αλ+␈↓ εQ␈ελg␈↓ εm␈ελh␈↓ π⊗␈ελu␈↓ π9␈εα(␈↓ πE␈ελx␈↓ πX␈εα),␈↓ λ<␈ελn␈↓ λh␈εα<␈↓ 	⊗␈ελn␈↓ 	9␈εα;
␈β∞p␈↓ βM␈επ2␈↓ π␈επ2
␈β∞{␈↓ ∧_␈ε¬2␈↓ ¬≡␈ε¬3␈↓ ¬d␈ε¬2␈↓ ε←␈ε¬2␈↓ π*␈ε¬4␈↓ λP␈ε¬4␈↓ 	+␈ε¬3
␈β∞␈␈↓ βB␈ε¬3␈↓ ε␈␈ε¬2
␈β∂≥␈↓ βB␈ε∞␈↓ βX␈ε¬+1␈↓ ε␈␈ε∞
␈β∂#␈↓ β1␈ελg␈↓ ∧β␈ελu␈↓ ∧&␈εα(␈↓ ∧2␈ελx␈↓ ∧E␈εα)␈↓ ∧[␈εα=␈↓ ¬	␈ελu␈↓ ¬,␈εα(␈↓ ¬8␈ελx␈↓ ¬K␈εα)␈↓ ¬W␈ελq␈↓ ¬r␈εα(␈↓ ¬}␈ελx␈↓ ε⊃␈εα)␈αλ+␈↓ εQ␈ελg␈↓ εm␈ελh␈↓ π⊗␈ελu␈↓ π9␈εα(␈↓ πE␈ελx␈↓ πX␈εα),␈↓ λ<␈ελn␈↓ λh␈εα<␈↓ 	⊗␈ελn␈↓ 	9␈εα;
␈β∂&␈↓ βM␈επ3␈↓ π␈επ3
␈β∂1␈↓ ∧_␈ε¬3␈↓ ¬≡␈ε¬4␈↓ ¬d␈ε¬3␈↓ ε←␈ε¬3␈↓ π*␈ε¬5␈↓ λP␈ε¬5␈↓ 	+␈ε¬4
␈β∂5␈↓ βB␈ε¬4␈↓ ε␈␈ε¬3
␈β∂o␈↓ ↓H␈εαand␈αso␈αon.␈αThe␈αprocess␈αterminates␈αwhen␈↓ εF␈ελn␈↓ π≡␈εα=␈↓ πL␈εαdeg␈↓ λα␈εα(␈↓ λ∞␈ελu␈↓ λ]␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈εα␈α
0.␈αWe␈αm␈α␈ust␈αsho␈α␈w
␈β∂⎇␈↓ ε[␈εk␈↓ εi␈ε¬+1␈↓ λ#␈εk␈↓ λ1␈ε¬+1
␈β⊂∀␈↓ 
!␈ε∞
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαthat␈↓ α→␈ελu␈↓ α<␈εα(␈↓ αH␈ελx␈↓ α[␈εα),␈↓ β↓␈ελu␈↓ β$␈εα(␈↓ β0␈ελx␈↓ βB␈εα),␈↓ βh␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧_␈εα,␈α⊃hav␈α␈e␈α∂coe}cien␈α␈ts␈α∂in␈↓ εp␈ελS␈↓ ππ␈εα,␈α⊂i.e.,␈α⊂that␈α∂the␈α∂factors␈↓ 	t␈ελg␈↓ 
⊂␈ελh␈↓ 
G␈εαev␈α␈enly
␈β⊂≤␈↓ 
-␈ε
j
␈β⊂(␈↓ α-␈ε¬3␈↓ β∃␈ε¬4␈↓ 
α␈εj
␈β⊂.␈↓ 
!␈εj
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαdivide␈αthe␈α
remainders,␈αand␈α
w␈α␈e␈αm␈α␈ust␈αalso␈αsho␈α␈w␈αthat␈αthe␈↓ λ*␈ελh␈↓ λS␈εαvalues␈αall␈α
belong␈αto␈↓ ␈ελS␈↓ "␈εα.
␈β⊂S␈↓ λ;␈εj
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαThe␈α	proof␈α	is␈α
rather␈α	in␈α␈v␈α␈olv␈α␈ed,␈α
and␈α	it␈α	can␈α
be␈α	most␈α	easily␈α
understood␈α	by␈α	considering
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαan␈αexample.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.1␈ε∞␈↓ π:DIV␈α␈ISION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα399
␈βα≥␈↓ ¬{␈ε≥Ta␈α␈b␈α↓le␈α
1
␈βαR␈↓ ∧ ␈εβCOEFFICIE␈α↓N␈α␈T␈α↓S␈α
IN␈αALGO␈α␈RIT␈α↓HM␈α
C
␈ββ⊂␈↓ ∧D␈εβ(th␈α␈i␈α↓s␈αta␈α␈ble␈αis␈αbein␈α␈g␈αset␈αsep␈α␈arat␈α␈el␈α↓y␈α␈)
␈β
λ␈↓ α␈εαSuppose,␈α
as␈αλin␈α	(15),␈α
that␈↓ ¬
␈ελn␈↓ ¬7␈εα=␈α
8,␈↓ ε
␈ελn␈↓ ε7␈εα=␈α
6,␈↓ π␈ελn␈↓ π8␈εα=␈α
4,␈↓ λ␈ελn␈↓ λ8␈εα=␈α
2,␈↓ 	␈ελn␈↓ 	8␈εα=␈α
1,␈↓ 
␈ελn␈↓ 
9␈εα=␈α
0,␈α	so
␈β
⊗␈↓ ¬≡␈ε¬1␈↓ ε∨␈ε¬2␈↓ π∨␈ε¬3␈↓ λ ␈ε¬4␈↓ 	 ␈ε¬5␈↓ 
!␈ε¬6
␈β
.␈↓ λ␈␈ε¬8␈↓ 	n␈ε¬7
␈β
4␈↓ ↓H␈εαthat␈↓ α∀␈ελ∞␈↓ α9␈εα=␈↓ αg␈ελ∞␈↓ β␈εα=␈↓ β:␈ελ∞␈↓ β`␈εα=␈α
2,␈↓ ∧4␈ελ∞␈↓ ∧Y␈εα=␈↓ ¬π␈ελ∞␈↓ ¬-␈εα=␈α
1.␈αLet␈α
us␈α
write␈↓ πH␈ελu␈↓ πk␈εα(␈↓ πw␈ελx␈↓ λ	␈εα)␈α
=␈↓ λM␈ελa␈↓ λm␈ελx␈↓ 	∪␈εα+␈↓ 	<␈ελa␈↓ 	[␈ελx␈↓ 
α␈εα+␈↓ 
+␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 
Z␈εα+␈↓ β␈ελa␈↓ "␈εα,
␈β
A␈↓ α!␈ε¬1␈↓ αt␈ε¬2␈↓ βG␈ε¬3␈↓ ∧A␈ε¬4␈↓ ¬∀␈ε¬5␈↓ π\␈ε¬1␈↓ λ↑␈ε¬8␈↓ 	M␈ε¬7␈↓ ∀␈ε¬0
␈β
Z␈↓ ββ␈ε¬6␈↓ βw␈ε¬5
␈β
←␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓k␈εα(␈↓ ↓w␈ελx␈↓ α	␈εα)␈α∞=␈↓ αU␈ελb␈↓ αq␈ελx␈↓ β≠␈εα+␈↓ βI␈ελb␈↓ βd␈ελx␈↓ ∧∂␈εα+␈↓ ∧=␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧p␈εα+␈↓ ¬≡␈ελb␈↓ ¬9␈εα,␈↓ ¬a␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε⊃␈εα,␈↓ ε8␈ελu␈↓ ε[␈εα(␈↓ εg␈ελx␈↓ εz␈εα)␈α∞=␈↓ πF␈ελe␈↓ πa␈ελx␈↓ π⎇␈εα+␈↓ λ+␈ελe␈↓ λF␈εα,␈↓ λn␈ελu␈↓ 	⊃␈εα(␈↓ 	≥␈ελx␈↓ 	/␈εα)␈α∞=␈↓ 	{␈ελf␈↓ 
∃␈εα,␈α≥so␈α∞that
␈β
l␈↓ ↓\␈ε¬2␈↓ αb␈ε¬6␈↓ βV␈ε¬5␈↓ ¬+␈ε¬0␈↓ εM␈ε¬5␈↓ πS␈ε¬1␈↓ λ8␈ε¬0␈↓ 	α␈ε¬6␈↓ 
ε␈ε¬0
␈β∞¬␈↓ β+␈ε¬2␈↓ ∧3␈ε¬2␈↓ ∧b␈ε¬2␈↓ ¬q␈ε¬2␈↓ ε
␈ε¬2␈↓ ε<␈ε¬2
␈β∞
␈↓ ↓H␈ελh␈↓ ↓q␈εα=␈α
1,␈↓ αF␈ελh␈↓ αo␈εα=␈↓ β≥␈ελb␈↓ β9␈εα,␈↓ βN␈ελh␈↓ βw␈εα=␈↓ ∧%␈ελc␈↓ ∧B␈εα/␈↓ ∧T␈ελb␈↓ ∧q␈εα,␈↓ ¬¬␈ελh␈↓ ¬/␈εα=␈↓ ¬]␈ελd␈↓ ¬␈␈ελb␈↓ ε≤␈εα/␈↓ ε.␈ελc␈↓ εJ␈εα.␈αIn␈α
these␈αterms␈α
it␈α
is␈αhelpful␈α
to␈α
consider
␈β∞↔␈↓ ↓X␈ε¬1␈↓ αV␈ε¬2␈↓ β←␈ε¬3␈↓ ¬⊗␈ε¬4
␈β∞≤␈↓ β+␈ε¬6␈↓ ∧3␈ε¬4␈↓ ∧b␈ε¬6␈↓ ¬q␈ε¬2␈↓ ε
␈ε¬6␈↓ ε<␈ε¬4
␈β∞5␈↓ ↓H␈εαthe␈αarray␈α
sho␈α␈wn␈αin␈αTable␈α1.␈αFor␈αconcreteness,␈αlet␈αus␈αassume␈αthat␈αthe␈α
coe}cien␈α␈ts
␈β∞[␈↓ εn␈ε¬3
␈β∞`␈↓ ↓H␈εαof␈α
the␈αpolynomials␈α
are␈α
in␈α␈tegers.␈α∂We␈α
hav␈α␈e␈↓ ε`␈ελb␈↓ ε⎇␈ελu␈↓ π ␈εα(␈↓ π,␈ελx␈↓ π>␈εα)␈α=␈↓ λ¬␈ελu␈↓ λ(␈εα(␈↓ λ4␈ελx␈↓ λG␈εα)␈↓ λS␈ελq␈↓ λo␈εα(␈↓ λ{␈ελx␈↓ 	
␈εα)␈α	+␈↓ 	O␈ελu␈↓ 	q␈εα(␈↓ 	⎇␈ελx␈↓ 
⊂␈εα);␈α∞so␈α
if␈αw␈α␈e
␈β∞n␈↓ π⊃␈ε¬1␈↓ λ~␈ε¬2␈↓ λ`␈ε¬1␈↓ 	c␈ε¬3
␈β∞r␈↓ εn␈ε¬6
␈β∂ε␈↓ ∧∂␈ε¬3
␈β∂␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiply␈αro␈α␈w␈↓ β≤␈ελA␈↓ βM␈εαby␈↓ ∧␈ελb␈↓ ∧(␈εαand␈αsubtract␈αappropriate␈αm␈α␈ultiples␈αof␈αro␈α␈ws␈↓ 	R␈ελB␈↓ 	u␈εα,␈↓ 
␈ελB␈↓ 
.␈εα,␈αand␈↓ 	␈ελB
␈β∂↔␈↓ ↓H␈ε↓␈␈↓ εV␈ε↓↓
␈β∂→␈↓ β3␈ε¬5␈↓ 	g␈ε¬7␈↓ 
 ␈ε¬6␈↓ ≡␈ε¬5
␈β∂≥␈↓ ∧∂␈ε¬6
␈β∂7␈↓ ↓V␈εαcorresponding␈α∞to␈α∞the␈α∞coe}cien␈α␈ts␈α∂of␈↓ ε⊂␈ελq␈↓ ε+␈εα(␈↓ ε7␈ελx␈↓ εJ␈εα)␈↓ εr␈εαw␈α␈e␈α∂will␈α∞get␈α∞ro␈α␈w␈↓ λu␈ελC␈↓ 	≤␈εα.␈α∩Similarly,␈α∂if␈α∞w␈α␈e
␈β∂D␈↓ ε≥␈ε¬1␈↓ 	
␈ε¬5
␈β∂]␈↓ ∧∂␈ε¬3
␈β∂b␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiply␈αro␈α␈w␈↓ β≥␈ελA␈↓ βN␈εαby␈↓ ∧↓␈ελb␈↓ ∧)␈εαand␈αsubtract␈αm␈α␈ultiples␈αof␈αro␈α␈ws␈↓ λ∪␈ελB␈↓ λ6␈εα,␈↓ λL␈ελB␈↓ λo␈εα,␈αand␈↓ 	J␈ελB␈↓ 	n␈εα,␈αw␈α␈e␈αget␈αro␈α␈w
␈β∂o␈↓ β4␈ε¬4␈↓ λ(␈ε¬6␈↓ λa␈ε¬5␈↓ 	←␈ε¬4
␈β∂t␈↓ ∧∂␈ε¬6
␈β⊂λ␈↓ ¬-␈ε¬3␈↓ λ∃␈ε¬5
␈β⊂
␈↓ ↓H␈ελC␈↓ ↓n␈εα.␈αIn␈αa␈αsimilar␈αway,␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈↓ ¬∨␈ελc␈↓ ¬;␈ελu␈↓ ¬↑␈εα(␈↓ ¬j␈ελx␈↓ ¬⎇␈εα)␈α
=␈↓ εA␈ελu␈↓ εd␈εα(␈↓ εp␈ελx␈↓ πβ␈εα)␈↓ π∂␈ελq␈↓ π*␈εα(␈↓ π6␈ελx␈↓ πI␈εα)␈απ+␈↓ λπ␈ελb␈↓ λ$␈ελu␈↓ λG␈εα(␈↓ λS␈ελx␈↓ λe␈εα);␈αso␈αw␈α␈e␈αcan␈αm␈α␈ultiply
␈β⊂≠␈↓ ↓`␈ε¬4␈↓ ¬P␈ε¬2␈↓ εV␈ε¬3␈↓ π≤␈ε¬2␈↓ λ8␈ε¬4
␈β⊂∨␈↓ ¬-␈ε¬4␈↓ λ∃␈ε¬6
␈β⊂3␈↓ β␈ε¬3
␈β⊂8␈↓ ↓H␈εαro␈α␈w␈↓ α
␈ελB␈↓ α>␈εαby␈↓ αr␈ελc␈↓ β∂␈εα,␈α
subtract␈αin␈α␈teger␈α
m␈α␈ultiples␈α
of␈α
ro␈α␈ws␈↓ πF␈ελC␈↓ πm␈εα,␈↓ λ∧␈ελC␈↓ λ*␈εα,␈α
and␈↓ 	λ␈ελC␈↓ 	.␈εα,␈α
then␈α
divide␈αby
␈β⊂F␈↓ α"␈ε¬3␈↓ π↑␈ε¬5␈↓ λ≤␈ε¬4␈↓ 	 ␈ε¬3
␈β⊂J␈↓ β␈ε¬4
␈β⊂↑␈↓ ↓V␈ε¬5
␈β⊂d␈↓ ↓H␈ελb␈↓ ↓p␈εαto␈αobtain␈αro␈α␈w␈↓ βQ␈ελD␈↓ βy␈εα.
␈β⊂q␈↓ βj␈ε¬3
␈β⊂u␈↓ ↓V␈ε¬6
␈β⊃~␈↓ α␈εαIn␈α	order␈αλto␈α	pro␈α␈v␈α␈e␈αλthat␈↓ ∧a␈ελu␈↓ ¬∧␈εα(␈↓ ¬⊂␈ελx␈↓ ¬#␈εα)␈αλhas␈α	in␈α␈teger␈α	coe}cien␈α␈ts,␈α	let␈α	us␈αλconsider␈α	the␈αλmatrix
␈β⊃(␈↓ ∧v␈ε¬4
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα400␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.1
␈βαβ␈↓ ∧π␈ε↓0␈↓ λ6␈ε↓1
␈βα#␈↓ β>␈ελA␈↓ ∧%␈ελa␈↓ ∧W␈ελa␈↓ ¬λ␈ελa␈↓ ¬9␈ελa␈↓ ¬j␈ελa␈↓ ε≠␈ελa␈↓ εM␈ελa␈↓ ε}␈ελa␈↓ π/␈ελa␈↓ πg␈εα0␈↓ λ_␈εα0
␈βα1␈↓ βU␈ε¬2␈↓ ∧6␈ε¬8␈↓ ∧g␈ε¬7␈↓ ¬→␈ε¬6␈↓ ¬J␈ε¬5␈↓ ¬{␈ε¬4␈↓ ε,␈ε¬3␈↓ ε]␈ε¬2␈↓ π∞␈ε¬1␈↓ π@␈ε¬0
␈βαD␈↓ ∧π␈ε↓B␈↓ λ6␈ε↓C
␈βαO␈↓ β>␈ελA␈↓ ∧,␈εα0␈↓ ∧W␈ελa␈↓ ¬λ␈ελa␈↓ ¬9␈ελa␈↓ ¬j␈ελa␈↓ ε≠␈ελa␈↓ εM␈ελa␈↓ ε}␈ελa␈↓ π/␈ελa␈↓ π`␈ελa␈↓ λ_␈εα0
␈βαY␈↓ ∧π␈ε↓B␈↓ λ6␈ε↓C
␈βα\␈↓ βU␈ε¬1␈↓ ∧g␈ε¬8␈↓ ¬→␈ε¬7␈↓ ¬J␈ε¬6␈↓ ¬{␈ε¬5␈↓ ε,␈ε¬4␈↓ ε]␈ε¬3␈↓ π∞␈ε¬2␈↓ π@␈ε¬1␈↓ πq␈ε¬0
␈βαo␈↓ ∧π␈ε↓B␈↓ λ6␈ε↓C
␈βαz␈↓ β>␈ελA␈↓ ∧,␈εα0␈↓ ∧]␈εα0␈↓ ¬λ␈ελa␈↓ ¬9␈ελa␈↓ ¬j␈ελa␈↓ ε≠␈ελa␈↓ εM␈ελa␈↓ ε}␈ελa␈↓ π/␈ελa␈↓ π`␈ελa␈↓ λ⊃␈ελa
␈ββ¬␈↓ ∧π␈ε↓B␈↓ λ6␈ε↓C
␈ββπ␈↓ βU␈ε¬0␈↓ ¬→␈ε¬8␈↓ ¬J␈ε¬7␈↓ ¬{␈ε¬6␈↓ ε,␈ε¬5␈↓ ε]␈ε¬4␈↓ π∞␈ε¬3␈↓ π@␈ε¬2␈↓ πq␈ε¬1␈↓ λ"␈ε¬0
␈ββ~␈↓ ∧π␈ε↓B␈↓ λ6␈ε↓C
␈ββ%␈↓ β?␈ελB␈↓ ∧'␈ελb␈↓ ∧X␈ελb␈↓ ¬
␈ελb␈↓ ¬;␈ελb␈↓ ¬l␈ελb␈↓ ε≥␈ελb␈↓ εN␈ελb␈↓ π∧␈εα0␈↓ π5␈εα0␈↓ πg␈εα0␈↓ λ_␈εα0
␈ββ0␈↓ ∧π␈ε↓B␈↓ λ6␈ε↓C
␈ββ2␈↓ βT␈ε¬4␈↓ ∧4␈ε¬6␈↓ ∧e␈ε¬5␈↓ ¬↔␈ε¬4␈↓ ¬H␈ε¬3␈↓ ¬y␈ε¬2␈↓ ε*␈ε¬1␈↓ ε[␈ε¬0
␈ββ:␈↓ λX␈εα=␈↓ 	ε␈ελM␈↓ 	,␈εα.␈↓ 
p␈εα(17)
␈ββE␈↓ ∧π␈ε↓B␈↓ λ6␈ε↓C
␈ββP␈↓ β?␈ελB␈↓ ∧,␈εα0␈↓ ∧X␈ελb␈↓ ¬
␈ελb␈↓ ¬;␈ελb␈↓ ¬l␈ελb␈↓ ε≥␈ελb␈↓ εN␈ελb␈↓ π␈ελb␈↓ π5␈εα0␈↓ πg␈εα0␈↓ λ_␈εα0
␈ββ[␈↓ ∧π␈ε↓B␈↓ λ6␈ε↓C
␈ββ↑␈↓ βT␈ε¬3␈↓ ∧e␈ε¬6␈↓ ¬↔␈ε¬5␈↓ ¬H␈ε¬4␈↓ ¬y␈ε¬3␈↓ ε*␈ε¬2␈↓ ε[␈ε¬1␈↓ π
␈ε¬0
␈ββq␈↓ ∧π␈ε↓B␈↓ λ6␈ε↓C
␈ββ{␈↓ β?␈ελB␈↓ ∧,␈εα0␈↓ ∧]␈εα0␈↓ ¬
␈ελb␈↓ ¬;␈ελb␈↓ ¬l␈ελb␈↓ ε≥␈ελb␈↓ εN␈ελb␈↓ π␈ελb␈↓ π1␈ελb␈↓ πg␈εα0␈↓ λ_␈εα0
␈β∧ε␈↓ ∧π␈ε↓B␈↓ λ6␈ε↓C
␈β∧	␈↓ βT␈ε¬2␈↓ ¬↔␈ε¬6␈↓ ¬H␈ε¬5␈↓ ¬y␈ε¬4␈↓ ε*␈ε¬3␈↓ ε[␈ε¬2␈↓ π
␈ε¬1␈↓ π>␈ε¬0
␈β∧≤␈↓ ∧π␈ε↓@␈↓ λ6␈ε↓A
␈β∧'␈↓ β?␈ελB␈↓ ∧,␈εα0␈↓ ∧]␈εα0␈↓ ¬∞␈εα0␈↓ ¬;␈ελb␈↓ ¬l␈ελb␈↓ ε≥␈ελb␈↓ εN␈ελb␈↓ π␈ελb␈↓ π1␈ελb␈↓ πb␈ελb␈↓ λ_␈εα0
␈β∧4␈↓ βT␈ε¬1␈↓ ¬H␈ε¬6␈↓ ¬y␈ε¬5␈↓ ε*␈ε¬4␈↓ ε[␈ε¬3␈↓ π
␈ε¬2␈↓ π>␈ε¬1␈↓ πo␈ε¬0
␈β∧R␈↓ β?␈ελB␈↓ ∧,␈εα0␈↓ ∧]␈εα0␈↓ ¬∞␈εα0␈↓ ¬@␈εα0␈↓ ¬l␈ελb␈↓ ε≥␈ελb␈↓ εN␈ελb␈↓ π␈ελb␈↓ π1␈ελb␈↓ πb␈ελb␈↓ λ∪␈ελb
␈β∧←␈↓ βT␈ε¬0␈↓ ¬y␈ε¬6␈↓ ε*␈ε¬5␈↓ ε[␈ε¬4␈↓ π
␈ε¬3␈↓ π>␈ε¬2␈↓ πo␈ε¬1␈↓ λ ␈ε¬0
␈β¬∀␈↓ ↓H␈εαThe␈αindicated␈αro␈α␈w␈αoperations␈αand␈αa␈αperm␈α␈utation␈αof␈αro␈α␈ws␈αwill␈αtransform␈↓ 
9␈ελM␈↓ 
j␈εαin␈α␈to
␈β¬7␈↓ ∧∀␈ε↓0␈↓ λ%␈ε↓1
␈β¬X␈↓ βK␈ελB␈↓ ∧2␈ελb␈↓ ∧←␈ελb␈↓ ¬
␈ελb␈↓ ¬:␈ελb␈↓ ¬h␈ελb␈↓ ε∃␈ελb␈↓ εB␈ελb␈↓ εt␈εα0␈↓ π$␈εα0␈↓ πU␈εα0␈↓ λε␈εα0
␈β¬e␈↓ β`␈ε¬4␈↓ ∧?␈ε¬6␈↓ ∧l␈ε¬5␈↓ ¬~␈ε¬4␈↓ ¬G␈ε¬3␈↓ ¬u␈ε¬2␈↓ ε"␈ε¬1␈↓ εO␈ε¬0
␈β¬x␈↓ ∧∀␈ε↓B␈↓ λ%␈ε↓C
␈βεβ␈↓ βK␈ελB␈↓ ∧7␈εα0␈↓ ∧←␈ελb␈↓ ¬
␈ελb␈↓ ¬:␈ελb␈↓ ¬h␈ελb␈↓ ε∃␈ελb␈↓ εB␈ελb␈↓ εp␈ελb␈↓ π$␈εα0␈↓ πU␈εα0␈↓ λε␈εα0
␈βε∞␈↓ ∧∀␈ε↓B␈↓ λ%␈ε↓C
␈βε⊂␈↓ β`␈ε¬3␈↓ ∧l␈ε¬6␈↓ ¬~␈ε¬5␈↓ ¬G␈ε¬4␈↓ ¬u␈ε¬3␈↓ ε"␈ε¬2␈↓ εO␈ε¬1␈↓ ε⎇␈ε¬0
␈βε#␈↓ ∧∀␈ε↓B␈↓ λ%␈ε↓C
␈βε.␈↓ βK␈ελB␈↓ ∧7␈εα0␈↓ ∧d␈εα0␈↓ ¬
␈ελb␈↓ ¬:␈ελb␈↓ ¬h␈ελb␈↓ ε∃␈ελb␈↓ εB␈ελb␈↓ εp␈ελb␈↓ π∨␈ελb␈↓ πU␈εα0␈↓ λε␈εα0
␈βε9␈↓ ∧∀␈ε↓B␈↓ λ%␈ε↓C
␈βε<␈↓ β`␈ε¬2␈↓ ¬~␈ε¬6␈↓ ¬G␈ε¬5␈↓ ¬u␈ε¬4␈↓ ε"␈ε¬3␈↓ εO␈ε¬2␈↓ ε⎇␈ε¬1␈↓ π,␈ε¬0
␈βεO␈↓ ∧∀␈ε↓B␈↓ λ%␈ε↓C
␈βεY␈↓ βK␈ελB␈↓ ∧7␈εα0␈↓ ∧d␈εα0␈↓ ¬⊃␈εα0␈↓ ¬:␈ελb␈↓ ¬h␈ελb␈↓ ε∃␈ελb␈↓ εB␈ελb␈↓ εp␈ελb␈↓ π∨␈ελb␈↓ πP␈ελb␈↓ λε␈εα0
␈βεd␈↓ ∧∀␈ε↓B␈↓ λ%␈ε↓C
␈βεg␈↓ β`␈ε¬1␈↓ ¬G␈ε¬6␈↓ ¬u␈ε¬5␈↓ ε"␈ε¬4␈↓ εO␈ε¬3␈↓ ε⎇␈ε¬2␈↓ π,␈ε¬1␈↓ π]␈ε¬0
␈βεh␈↓ 	~␈ε→0
␈βεn␈↓ λG␈εα=␈↓ λu␈ελM␈↓ 	"␈εα.␈↓ 
p␈εα(18)
␈βεz␈↓ ∧∀␈ε↓B␈↓ λ%␈ε↓C
␈βπ¬␈↓ βK␈ελB␈↓ ∧7␈εα0␈↓ ∧d␈εα0␈↓ ¬⊃␈εα0␈↓ ¬?␈εα0␈↓ ¬h␈ελc␈↓ ε∃␈ελc␈↓ εB␈ελc␈↓ εp␈ελc␈↓ π∨␈ελc␈↓ πU␈εα0␈↓ λε␈εα0
␈βπ∂␈↓ ∧∀␈ε↓B␈↓ λ%␈ε↓C
␈βπ∩␈↓ β`␈ε¬0␈↓ ¬u␈ε¬4␈↓ ε"␈ε¬3␈↓ εO␈ε¬2␈↓ ε⎇␈ε¬1␈↓ π,␈ε¬0
␈βπ%␈↓ ∧∀␈ε↓B␈↓ λ%␈ε↓C
␈βπ0␈↓ βI␈ελC␈↓ ∧7␈εα0␈↓ ∧d␈εα0␈↓ ¬⊃␈εα0␈↓ ¬?␈εα0␈↓ ¬l␈εα0␈↓ ε∃␈ελc␈↓ εB␈ελc␈↓ εp␈ελc␈↓ π∨␈ελc␈↓ πP␈ελc␈↓ λε␈εα0
␈βπ;␈↓ ∧∀␈ε↓B␈↓ λ%␈ε↓C
␈βπ=␈↓ βa␈ε¬2␈↓ ε"␈ε¬4␈↓ εO␈ε¬3␈↓ ε⎇␈ε¬2␈↓ π,␈ε¬1␈↓ π]␈ε¬0
␈βπP␈↓ ∧∀␈ε↓@␈↓ λ%␈ε↓A
␈βπ[␈↓ βI␈ελC␈↓ ∧7␈εα0␈↓ ∧d␈εα0␈↓ ¬⊃␈εα0␈↓ ¬?␈εα0␈↓ ¬l␈εα0␈↓ ε~␈εα0␈↓ εB␈ελc␈↓ εp␈ελc␈↓ π∨␈ελc␈↓ πP␈ελc␈↓ λ↓␈ελc
␈βπh␈↓ βa␈ε¬1␈↓ εO␈ε¬4␈↓ ε⎇␈ε¬3␈↓ π,␈ε¬2␈↓ π]␈ε¬1␈↓ λ∞␈ε¬0
␈βλε␈↓ βI␈ελD␈↓ ∧7␈εα0␈↓ ∧d␈εα0␈↓ ¬⊃␈εα0␈↓ ¬?␈εα0␈↓ ¬l␈εα0␈↓ ε~␈εα0␈↓ εG␈εα0␈↓ εt␈εα0␈↓ π≥␈ελd␈↓ πN␈ελd␈↓ λ␈ελd
␈βλ∀␈↓ βb␈ε¬0␈↓ π.␈ε¬2␈↓ π←␈ε¬1␈↓ λ⊂␈ε¬0
␈βλE␈↓ ∧)␈ε→0
␈βλJ␈↓ ↓H␈εαBecause␈αof␈αthe␈αway␈↓ ∧∧␈ελM␈↓ ∧<␈εαhas␈αbeen␈αderiv␈α␈ed␈αfrom␈↓ π%␈ελM␈↓ πK␈εα,␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈β		␈↓ ∧≠␈ε¬3␈↓ ∧R␈ε¬3␈↓ ¬	␈ε¬3␈↓ ¬K␈ε¬3␈↓ ¬z␈ε¬5␈↓ λT␈ε→0
␈β	∂␈↓ ∧
␈ελb␈↓ ∧2␈ε⊗↓␈↓ ∧D␈ελb␈↓ ∧h␈ε⊗↓␈↓ ∧z␈ελb␈↓ ¬∨␈ε⊗↓␈εα␈αλ(␈↓ ¬=␈ελc␈↓ ¬Z␈εα/␈↓ ¬l␈ελb␈↓ ελ␈εα)␈ε⊗␈αλ↓␈↓ ε.␈εαdet␈↓ εf␈ελM␈↓ π≡␈εα=␈ε⊗␈α
ε␈↓ πv␈εαdet␈↓ λ.␈ελM␈↓ λ]␈εα,␈↓ 
p␈εα(19)
␈β	≥␈↓ π¬␈ε¬0
␈β	!␈↓ ∧≠␈ε¬6␈↓ ∧R␈ε¬6␈↓ ¬	␈ε¬6␈↓ ¬K␈ε¬4␈↓ ¬z␈ε¬6␈↓ λO␈ε¬0
␈β	O␈↓ β≥␈ε→0
␈β	T␈↓ ↓H␈εαif␈↓ ↓n␈ελM␈↓ α-␈εαand␈↓ αw␈ελM␈↓ β7␈εαrepresen␈α␈t␈α⊃an␈α␈y␈α⊃square␈α⊃matrices␈α⊂obtained␈α⊃by␈α⊃selecting␈α⊃eigh␈α␈t␈α⊂cor-
␈β	b␈↓ α
␈ε¬0
␈β	f␈↓ β_␈ε¬0
␈β	{␈↓ ε∧␈ε→0
␈β
␈↓ ↓H␈εαresponding␈α
columns␈α
from␈↓ ∧d␈ελM␈↓ ¬↔␈εαand␈↓ ¬↑␈ελM␈↓ ε␈εα.␈α⊂For␈α∞example,␈α
let␈α∞us␈α
select␈α∞the␈α
|rst␈α
sev␈α␈en
␈β
+␈↓ ↓H␈εαcolumns␈αand␈αthe␈αcolumn␈αcon␈α␈taining␈↓ ε¬␈ελd␈↓ ε$␈εα;␈αthen
␈β
8␈↓ ε∃␈ε¬1
␈β
N␈↓ ¬∀␈ε↓0␈↓ λ/␈ε↓1
␈β
o␈↓ ¬2␈ελa␈↓ ¬c␈ελa␈↓ ε∀␈ελa␈↓ εE␈ελa␈↓ εw␈ελa␈↓ π(␈ελa␈↓ πY␈ελa␈↓ λ⊃␈εα0
␈β
|␈↓ ¬C␈ε¬8␈↓ ¬t␈ε¬7␈↓ ε%␈ε¬6␈↓ εV␈ε¬5␈↓ ππ␈ε¬4␈↓ π9␈ε¬3␈↓ πj␈ε¬2
␈β∂␈↓ ¬∀␈ε↓B␈↓ λ/␈ε↓C
␈β~␈↓ ¬8␈εα0␈↓ ¬c␈ελa␈↓ ε∀␈ελa␈↓ εE␈ελa␈↓ εw␈ελa␈↓ π(␈ελa␈↓ πY␈ελa␈↓ λ
␈ελa
␈β%␈↓ ¬∀␈ε↓B␈↓ λ/␈ε↓C
␈β'␈↓ ¬t␈ε¬8␈↓ ε%␈ε¬7␈↓ εV␈ε¬6␈↓ ππ␈ε¬5␈↓ π9␈ε¬4␈↓ πj␈ε¬3␈↓ λ≠␈ε¬0
␈β:␈↓ ¬∀␈ε↓B␈↓ λ/␈ε↓C
␈βE␈↓ ¬8␈εα0␈↓ ¬j␈εα0␈↓ ε∀␈ελa␈↓ εE␈ελa␈↓ εw␈ελa␈↓ π(␈ελa␈↓ πY␈ελa␈↓ λ
␈ελa
␈βP␈↓ ¬∀␈ε↓B␈↓ λ/␈ε↓C
␈βR␈↓ ε%␈ε¬8␈↓ εV␈ε¬7␈↓ ππ␈ε¬6␈↓ π9␈ε¬5␈↓ πj␈ε¬4␈↓ λ≠␈ε¬1
␈βe␈↓ ¬∀␈ε↓B␈↓ λ/␈ε↓C
␈βp␈↓ ¬4␈ελb␈↓ ¬e␈ελb␈↓ ε⊗␈ελb␈↓ εG␈ελb␈↓ εx␈ελb␈↓ π*␈ελb␈↓ π[␈ελb␈↓ λ⊃␈εα0
␈β{␈↓ ¬∀␈ε↓B␈↓ λ/␈ε↓C
␈β}␈↓ ¬A␈ε¬6␈↓ ¬r␈ε¬5␈↓ ε#␈ε¬4␈↓ εT␈ε¬3␈↓ π¬␈ε¬2␈↓ π7␈ε¬1␈↓ πh␈ε¬0
␈β␈␈↓ αI␈ε¬3␈↓ α␈␈ε¬3␈↓ β6␈ε¬3␈↓ βy␈ε¬3␈↓ ∧'␈ε¬5␈↓ 	2␈ε¬4␈↓ 	h␈ε¬3
␈β¬␈↓ α:␈ελb␈↓ α←␈ε⊗↓␈↓ αq␈ελb␈↓ β⊗␈ε⊗↓␈↓ β(␈ελb␈↓ βM␈ε⊗↓␈εα␈αλ(␈↓ βk␈ελc␈↓ ∧π␈εα/␈↓ ∧→␈ελb␈↓ ∧6␈εα)␈ε⊗␈αλ↓␈↓ ∧\␈εαdet␈↓ λQ␈εα=␈ε⊗␈α
ε␈↓ 	#␈ελb␈↓ 	H␈ε⊗↓␈↓ 	Z␈ελc␈↓ 	␈␈ε⊗↓␈↓ 
⊃␈ελd␈↓ 
0␈εα.
␈β⊃␈↓ ¬∀␈ε↓B␈↓ λ/␈ε↓C
␈β∩␈↓ 
!␈ε¬1
␈β↔␈↓ αI␈ε¬6␈↓ α␈␈ε¬6␈↓ β6␈ε¬6␈↓ βy␈ε¬4␈↓ ∧'␈ε¬6␈↓ 	2␈ε¬6␈↓ 	h␈ε¬4
␈β≠␈↓ ¬8␈εα0␈↓ ¬e␈ελb␈↓ ε⊗␈ελb␈↓ εG␈ελb␈↓ εx␈ελb␈↓ π*␈ελb␈↓ π[␈ελb␈↓ λ⊃␈εα0
␈β&␈↓ ¬∀␈ε↓B␈↓ λ/␈ε↓C
␈β)␈↓ ¬r␈ε¬6␈↓ ε#␈ε¬5␈↓ εT␈ε¬4␈↓ π¬␈ε¬3␈↓ π7␈ε¬2␈↓ πh␈ε¬1
␈β<␈↓ ¬∀␈ε↓B␈↓ λ/␈ε↓C
␈βG␈↓ ¬8␈εα0␈↓ ¬j␈εα0␈↓ ε⊗␈ελb␈↓ εG␈ελb␈↓ εx␈ελb␈↓ π*␈ελb␈↓ π[␈ελb␈↓ λ⊃␈εα0
␈βQ␈↓ ¬∀␈ε↓B␈↓ λ/␈ε↓C
␈βT␈↓ ε#␈ε¬6␈↓ εT␈ε¬5␈↓ π¬␈ε¬4␈↓ π7␈ε¬3␈↓ πh␈ε¬2
␈βg␈↓ ¬∀␈ε↓@␈↓ λ/␈ε↓A
␈βr␈↓ ¬8␈εα0␈↓ ¬j␈εα0␈↓ ε≠␈εα0␈↓ εG␈ελb␈↓ εx␈ελb␈↓ π*␈ελb␈↓ π[␈ελb␈↓ λ␈ελb
␈β␈␈↓ εT␈ε¬6␈↓ π¬␈ε¬5␈↓ π7␈ε¬4␈↓ πh␈ε¬3␈↓ λ→␈ε¬0
␈β
≥␈↓ ¬8␈εα0␈↓ ¬j␈εα0␈↓ ε≠␈εα0␈↓ εL␈εα0␈↓ εx␈ελb␈↓ π*␈ελb␈↓ π[␈ελb␈↓ λ␈ελb
␈β
*␈↓ π¬␈ε¬6␈↓ π7␈ε¬5␈↓ πh␈ε¬4␈↓ λ→␈ε¬1
␈β
a␈↓ ↓H␈εαSince␈↓ α$␈ελb␈↓ α?␈ελc␈↓ αe␈ε⊗≤␈εα␈α
0,␈α
this␈αpro␈α␈v␈α␈es␈α
that␈↓ ¬8␈ελd␈↓ ¬b␈εαis␈α
an␈αin␈α␈teger.␈αSimilarly,␈↓ λX␈ελd␈↓ 	↓␈εαand␈↓ 	F␈ελd␈↓ 	o␈εαare␈α
in␈α␈tegers.
␈β
o␈↓ α1␈ε¬6␈↓ αL␈ε¬4␈↓ ¬I␈ε¬1␈↓ λi␈ε¬2␈↓ 	V␈ε¬0
␈β∞␈↓ α␈εαIn␈α⊂general,␈α⊃w␈α␈e␈α∂can␈α⊂sho␈α␈w␈α⊂that␈↓ ¬t␈ελu␈↓ εA␈εα(␈↓ εM␈ελx␈↓ ε`␈εα)␈α∂has␈α⊂in␈α␈teger␈α⊂coe}cien␈α␈ts␈α⊂in␈α⊂a␈α∂similar
␈β∞~␈↓ ελ␈εj␈↓ ε⊗␈ε¬+␈α␈1
␈β∞8␈↓ ↓H␈εαmanner.␈αIf␈α
w␈α␈e␈α	start␈α
with␈α
the␈α
matrix␈↓ ¬{␈ελM␈↓ ε*␈εαconsisting␈α
of␈α	ro␈α␈ws␈↓ λF␈ελA␈↓ 	>␈εαthrough␈↓ 
C␈ελA␈↓ 
r␈εαand
␈β∞E␈↓ λ]␈εn␈↓ λz␈ε→␈␈↓ 	↔␈εn␈↓ 
Z␈ε¬0
␈β∞N␈↓ λo␈επ2␈↓ 	(␈ε
j
␈β∞c␈↓ ↓H␈ελB␈↓ α<␈εαthrough␈↓ βA␈ελB␈↓ βe␈εα,␈α	and␈α
if␈α	w␈α␈e␈α	perform␈α	the␈α	ro␈α␈w␈α	operations␈α	indicated␈α	in␈α
Table␈α	1,␈α	w␈α␈e
␈β∞p␈↓ ↓]␈εn␈↓ ↓y␈ε→␈␈↓ α⊗␈εn␈↓ βV␈ε¬0
␈β∞y␈↓ ↓n␈επ1␈↓ α(␈ε
j
␈β∂	␈↓ ∧!␈ε→0
␈β∂∞␈↓ ↓H␈εαwill␈απobtain␈απa␈απmatrix␈↓ β|␈ελM␈↓ ∧/␈εαconsisting␈απin␈απsome␈απorder␈απof␈απro␈α␈ws␈↓ λ⊗␈ελB␈↓ 		␈εαthrough␈↓ 
␈ελB␈↓ "␈εα,
␈β∂≠␈↓ λ+␈εn␈↓ λH␈ε→␈␈↓ λe␈εn␈↓ 
!␈εn␈↓ 
=␈ε→␈␈↓ 
Z␈εn␈↓ 
w␈ε¬+1
␈β∂$␈↓ λ=␈επ1␈↓ λv␈ε
j␈↓ 
2␈επ3␈↓ 
l␈ε
j
␈β∂9␈↓ ↓H␈ελC␈↓ α>␈εαthrough␈↓ βB␈ελC␈↓ ∧\␈εα,␈↓ ∧v␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬&␈εα,␈↓ ¬?␈ελP␈↓ εU␈εαthrough␈↓ πY␈ελP␈↓ π|␈εα,␈↓ λ⊗␈ελQ␈↓ 	.␈εαthrough␈↓ 
2␈ελQ␈↓ 
Y␈εα,␈α∂and
␈β∂E␈↓ αi␈ε↓␈␈↓ λ≡␈ε↓↓
␈β∂G␈↓ ↓`␈εn␈↓ ↓|␈ε→␈␈↓ α→␈εn␈↓ βZ␈εn␈↓ βw␈ε→␈␈↓ ∧∀␈εn␈↓ ∧1␈ε¬+␈α␈1␈↓ ¬T␈εn␈↓ ε∪␈ε→␈␈↓ ε0␈εn␈↓ πn␈ε¬1␈↓ λ.␈εn␈↓ λm␈ε→␈␈↓ 		␈εn␈↓ 
J␈ε¬0
␈β∂O␈↓ ↓q␈επ2␈↓ α+␈ε
j␈↓ βl␈επ4␈↓ ∧%␈ε
j␈↓ ¬f␈ε
j␈↓ ¬q␈ε≠␈␈επ2␈↓ εA␈ε
j␈↓ λ?␈ε
j␈↓ λK␈ε≠␈␈επ␈α␈1␈↓ 	≠␈ε
j
␈β∂d␈↓ ↓H␈εα|nally␈↓ α6␈ελR␈↓ αw␈εαa␈αro␈α␈w␈αcon␈α␈taining␈αthe␈αcoe}cien␈α␈ts␈αof␈↓ π&␈ελu␈↓ πs␈εα(␈↓ π␈␈ελx␈↓ λ∩␈εα)␈↓ λ,␈εα.␈αExtracting␈αappropriate
␈β∂r␈↓ αO␈ε¬0␈↓ π;␈εj␈↓ πH␈ε¬+1
␈β⊂⊂␈↓ ↓H␈εαcolumns␈αsho␈α␈ws␈αthat
␈β⊂M␈↓ π≠␈ε∞␈↓ πT␈ε¬+␈α␈1␈↓ λi␈ε∞
␈β⊂N␈↓ ↓e␈ε∞␈↓ ↓{␈ε¬+1␈↓ αg␈ε∞␈↓ β	␈εn␈↓ β&␈ε→␈␈↓ βC␈εn␈↓ β`␈ε¬+␈α␈1␈↓ ∧(␈ε∞␈↓ ∧>␈ε¬+1␈↓ ¬*␈ε∞␈↓ ¬L␈εn␈↓ ¬i␈ε→␈␈↓ εε␈εn␈↓ ε#␈ε¬+1␈↓ 	-␈εn␈↓ 	J␈ε→␈␈↓ 	g␈εn␈↓ 
∧␈ε¬+1
␈β⊂U␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελg␈↓ α&␈εα/␈↓ α8␈ελg␈↓ αU␈ελh␈↓ α⎇␈εα)␈↓ ∧␈εα(␈↓ ∧↔␈ελg␈↓ ∧j␈εα/␈↓ ∧|␈ελg␈↓ ¬_␈ελh␈↓ ¬@␈εα)␈↓ εN␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε}␈εα(␈↓ π
␈ελg␈↓ π␈␈εα/␈↓ λ⊃␈ελg␈↓ λW␈ελh␈↓ 	!␈εα)␈↓ 
5␈εαdet␈↓ 
m␈ελM
␈β⊂V␈↓ π&␈ε
j␈↓ π2␈ε≠␈␈επ␈α␈1␈↓ λt␈ε
j␈↓ 	␈ε≠␈␈επ␈α␈1
␈β⊂W␈↓ ↓p␈επ1␈↓ αr␈επ1␈↓ β≠␈επ2␈↓ βT␈ε
j␈↓ ∧3␈επ2␈↓ ¬5␈επ2␈↓ ¬↑␈επ3␈↓ ε↔␈ε
j␈↓ 	?␈ε
j␈↓ 	y␈ε
j
␈β⊂b␈↓ αF␈ε¬1␈↓ ¬
␈ε¬2␈↓ λ∨␈εj␈↓ λ,␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ␈ε¬0
␈β⊂f␈↓ ↓e␈ε¬2␈↓ αg␈ε¬1␈↓ ∧(␈ε¬3␈↓ ¬*␈ε¬2
␈β⊂g␈↓ π⊗␈εj␈↓ λd␈εj␈↓ λq␈ε→␈␈ε¬1
␈β⊃␈↓ πx␈εn␈↓ λ7␈ε→␈␈↓ λS␈εn␈↓ 	↓␈εn␈↓ 	@␈ε→␈␈↓ 	]␈εn␈↓ 	z␈ε¬+1
␈β⊃
␈↓ ¬y␈εn␈↓ ε⊗␈ε→␈␈↓ ε3␈εn␈↓ εa␈εn␈↓ ε⎇␈ε→␈␈↓ π~␈εn
␈β⊃∪␈↓ ¬⊗␈εα=␈ε⊗␈α
ε␈↓ ¬h␈ελg␈↓ εO␈ελg␈↓ π7␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πg␈ελg␈↓ λp␈ελg␈↓ 
%␈ελr␈↓ 
<␈εα,␈α*(19)
␈β⊃∃␈↓ λ	␈ε
j␈↓ λ∃␈ε≠␈␈επ␈α␈2␈↓ λe␈ε
j␈↓ 	∪␈ε
j␈↓ 	≡␈ε≠␈␈επ1␈↓ 	n␈ε
j
␈β⊃⊗␈↓ ε␈επ1␈↓ εD␈επ3␈↓ εr␈επ2␈↓ π,␈επ4
␈β⊃!␈↓ 
2␈εt
␈β⊃%␈↓ ¬y␈ε¬2␈↓ εa␈ε¬3
␈β⊃&␈↓ πs␈εj␈↓ λ␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λ⎇␈εj
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.1␈ε∞␈↓ π:DIV␈α␈ISION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα401
␈βα%␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α1␈ελr␈↓ αV␈εαis␈α∞a␈α
giv␈α␈en␈α∞coe}cien␈α␈t␈α∞of␈↓ ¬P␈ελu␈↓ ε≥␈εα(␈↓ ε)␈ελx␈↓ ε<␈εα)␈α∞and␈↓ π≥␈ελM␈↓ πX␈εαis␈α∞a␈α
submatrix␈α∞of␈↓ 	w␈ελM␈↓ 
≤␈εα.␈α⊃The␈↓ β␈ελh␈↓ ∀␈εα's
␈βα2␈↓ α>␈εt␈↓ ¬e␈εj␈↓ ¬r␈ε¬+1␈↓ π<␈ε¬0
␈βαP␈↓ ↓H␈εαhav␈α␈e␈αbeen␈αchosen␈αv␈α␈ery␈αclev␈α␈erly␈αso␈αthat␈αthis␈αequation␈αsimpli|es␈αto
␈ββ∨␈↓ ¬K␈εαdet␈↓ εβ␈ελM␈↓ ε:␈εα=␈ε⊗␈α
ε␈↓ π∩␈ελr␈↓ 
p␈εα(20)
␈ββ,␈↓ ε"␈ε¬0␈↓ π∨␈εt
␈ββn␈↓ ↓H␈εα(see␈αex␈α␈ercise␈α
24).␈α∞Therefore␈ε∂␈αev␈α␈ery␈α
coe}cien␈α␈t␈αof␈↓ π4␈ελu␈↓ λ↓␈εα(␈↓ λ
␈ελx␈↓ λ ␈εα)␈ε∂␈αcan␈α
be␈αexpressed␈α
as␈αthe
␈ββ{␈↓ πH␈εj␈↓ πV␈ε¬+␈α␈1
␈β∧→␈↓ ↓H␈ε∂determinan␈α␈t␈α∂of␈α∂an␈εα␈α∂(␈↓ ∧∧␈ελn␈↓ ∧0␈εα+␈↓ ∧↑␈ελn␈↓ ¬␈ε⊗␈␈εα␈α
2␈↓ ¬K␈ελn␈↓ ¬w␈εα+␈α
2)␈ε⊗␈α
α␈εα␈α
(␈↓ ππ␈ελn␈↓ π4␈εα+␈↓ πb␈ελn␈↓ λ∂␈ε⊗␈␈εα␈α
2␈↓ λO␈ελn␈↓ λ{␈εα+␈α
2)␈ε∂␈α∞matrix␈α∂whose
␈β∧&␈↓ ∧_␈ε¬1␈↓ ∧s␈ε¬2␈↓ ¬`␈εj␈↓ π≤␈ε¬1␈↓ πv␈ε¬2␈↓ λc␈εj
␈β∧D␈↓ ↓H␈ε∂elemen␈α␈ts␈αare␈αcoe}cien␈α␈ts␈αof␈↓ ∧v␈ελu␈↓ ¬␈εα(␈↓ ¬↔␈ελx␈↓ ¬*␈εα)␈ε∂␈αand␈↓ ελ␈ελv␈↓ ε≠␈εα(␈↓ ε'␈ελx␈↓ ε:␈εα)␈ε∂.
␈β∧o␈↓ α␈εαIt␈αλremains␈αλto␈αλbe␈αλsho␈α␈wn␈αλthat␈απthe␈αλclev␈α␈erly-chosen␈↓ πe␈ελh␈↓ πw␈εα's␈αλalso␈αλare␈αλin␈α␈tegers.␈αA␈απsimilar
␈β¬~␈↓ ↓H␈εαtechnique␈αapplies:␈αLet's␈αlook,␈αfor␈αexample,␈αat␈αthe␈αmatrix
␈β¬H␈↓ ∧ ␈ε↓0␈↓ λ≡␈ε↓1
␈β¬h␈↓ βW␈ελA␈↓ ∧>␈ελa␈↓ ∧o␈ελa␈↓ ¬ ␈ελa␈↓ ¬R␈ελa␈↓ εβ␈ελa␈↓ ε4␈ελa␈↓ εe␈ελa␈↓ π⊗␈ελa␈↓ πG␈ελa␈↓ π␈␈εα0
␈β¬u␈↓ βn␈ε¬1␈↓ ∧O␈ε¬8␈↓ ¬␈ε¬7␈↓ ¬1␈ε¬6␈↓ ¬b␈ε¬5␈↓ ε∀␈ε¬4␈↓ εE␈ε¬3␈↓ εv␈ε¬2␈↓ π'␈ε¬1␈↓ πX␈ε¬0
␈βελ␈↓ ∧ ␈ε↓B␈↓ λ≡␈ε↓C
␈βε∪␈↓ βW␈ελA␈↓ ∧E␈εα0␈↓ ∧o␈ελa␈↓ ¬ ␈ελa␈↓ ¬R␈ελa␈↓ εβ␈ελa␈↓ ε4␈ελa␈↓ εe␈ελa␈↓ π⊗␈ελa␈↓ πG␈ελa␈↓ πy␈ελa
␈βε≡␈↓ ∧ ␈ε↓B␈↓ λ≡␈ε↓C
␈βε!␈↓ βn␈ε¬0␈↓ ¬␈ε¬8␈↓ ¬1␈ε¬7␈↓ ¬b␈ε¬6␈↓ ε∀␈ε¬5␈↓ εE␈ε¬4␈↓ εv␈ε¬3␈↓ π'␈ε¬2␈↓ πX␈ε¬1␈↓ λ	␈ε¬0
␈βε4␈↓ ∧ ␈ε↓B␈↓ λ≡␈ε↓C
␈βε>␈↓ βX␈ελB␈↓ ∧@␈ελb␈↓ ∧q␈ελb␈↓ ¬"␈ελb␈↓ ¬S␈ελb␈↓ ε¬␈ελb␈↓ ε6␈ελb␈↓ εg␈ελb␈↓ π≥␈εα0␈↓ πN␈εα0␈↓ π␈␈εα0
␈βεI␈↓ ∧ ␈ε↓B␈↓ λ≡␈ε↓C
␈βεL␈↓ βm␈ε¬3␈↓ ∧M␈ε¬6␈↓ ∧}␈ε¬5␈↓ ¬/␈ε¬4␈↓ ¬`␈ε¬3␈↓ ε∩␈ε¬2␈↓ εC␈ε¬1␈↓ εt␈ε¬0
␈βεS␈↓ λ@␈εα=␈↓ λn␈ελM␈↓ 	∪␈εα.␈↓ 
p␈εα(21)
␈βε←␈↓ ∧ ␈ε↓B␈↓ λ≡␈ε↓C
␈βεj␈↓ βX␈ελB␈↓ ∧E␈εα0␈↓ ∧q␈ελb␈↓ ¬"␈ελb␈↓ ¬S␈ελb␈↓ ε¬␈ελb␈↓ ε6␈ελb␈↓ εg␈ελb␈↓ π_␈ελb␈↓ πN␈εα0␈↓ π␈␈εα0
␈βεt␈↓ ∧ ␈ε↓B␈↓ λ≡␈ε↓C
␈βεw␈↓ βm␈ε¬2␈↓ ∧}␈ε¬6␈↓ ¬/␈ε¬5␈↓ ¬`␈ε¬4␈↓ ε∩␈ε¬3␈↓ εC␈ε¬2␈↓ εt␈ε¬1␈↓ π%␈ε¬0
␈βπ
␈↓ ∧ ␈ε↓@␈↓ λ≡␈ε↓A
␈βπ∃␈↓ βX␈ελB␈↓ ∧E␈εα0␈↓ ∧v␈εα0␈↓ ¬"␈ελb␈↓ ¬S␈ελb␈↓ ε¬␈ελb␈↓ ε6␈ελb␈↓ εg␈ελb␈↓ π_␈ελb␈↓ πI␈ελb␈↓ π␈␈εα0
␈βπ"␈↓ βm␈ε¬1␈↓ ¬/␈ε¬6␈↓ ¬`␈ε¬5␈↓ ε∩␈ε¬4␈↓ εC␈ε¬3␈↓ εt␈ε¬2␈↓ π%␈ε¬1␈↓ πV␈ε¬0
␈βπ@␈↓ βX␈ελB␈↓ ∧E␈εα0␈↓ ∧v␈εα0␈↓ ¬'␈εα0␈↓ ¬S␈ελb␈↓ ε¬␈ελb␈↓ ε6␈ελb␈↓ εg␈ελb␈↓ π_␈ελb␈↓ πI␈ελb␈↓ π{␈ελb
␈βπM␈↓ βm␈ε¬0␈↓ ¬`␈ε¬6␈↓ ε∩␈ε¬5␈↓ εC␈ε¬4␈↓ εt␈ε¬3␈↓ π%␈ε¬2␈↓ πV␈ε¬1␈↓ λλ␈ε¬0
␈βλ␈↓ ↓H␈εαRo␈α␈w␈αoperations␈αas␈αspeci|ed␈αin␈αTable␈α1,␈αand␈αperm␈α␈utation␈αof␈αro␈α␈ws,␈αleads␈αto
␈βλ9␈↓ ∧0␈ε↓0␈↓ λλ␈ε↓1
␈βλZ␈↓ βg␈ελB␈↓ ∧N␈ελb␈↓ ∧{␈ελb␈↓ ¬)␈ελb␈↓ ¬V␈ελb␈↓ εβ␈ελb␈↓ ε1␈ελb␈↓ ε↑␈ελb␈↓ π⊂␈εα0␈↓ π>␈εα0␈↓ πk␈εα0
␈βλg␈↓ β|␈ε¬3␈↓ ∧[␈ε¬6␈↓ ¬λ␈ε¬5␈↓ ¬6␈ε¬4␈↓ ¬c␈ε¬3␈↓ ε⊂␈ε¬2␈↓ ε>␈ε¬1␈↓ εk␈ε¬0
␈βλz␈↓ ∧0␈ε↓B␈↓ λλ␈ε↓C
␈β	¬␈↓ βg␈ελB␈↓ ∧S␈εα0␈↓ ∧{␈ελb␈↓ ¬)␈ελb␈↓ ¬V␈ελb␈↓ εβ␈ελb␈↓ ε1␈ελb␈↓ ε↑␈ελb␈↓ π␈ελb␈↓ π>␈εα0␈↓ πk␈εα0
␈β	⊂␈↓ ∧0␈ε↓B␈↓ λλ␈ε↓C
␈β	∩␈↓ β|␈ε¬2␈↓ ¬λ␈ε¬6␈↓ ¬6␈ε¬5␈↓ ¬c␈ε¬4␈↓ ε⊂␈ε¬3␈↓ ε>␈ε¬2␈↓ εk␈ε¬1␈↓ π→␈ε¬0
␈β	%␈↓ ∧0␈ε↓B␈↓ λλ␈ε↓C
␈β	0␈↓ βg␈ελB␈↓ ∧S␈εα0␈↓ ¬␈εα0␈↓ ¬)␈ελb␈↓ ¬V␈ελb␈↓ εβ␈ελb␈↓ ε1␈ελb␈↓ ε↑␈ελb␈↓ π␈ελb␈↓ π9␈ελb␈↓ πk␈εα0
␈β	;␈↓ ∧0␈ε↓B␈↓ λλ␈ε↓C
␈β	=␈↓ β|␈ε¬1␈↓ ¬6␈ε¬6␈↓ ¬c␈ε¬5␈↓ ε⊂␈ε¬4␈↓ ε>␈ε¬3␈↓ εk␈ε¬2␈↓ π→␈ε¬1␈↓ πF␈ε¬0
␈β	?␈↓ λ⎇␈ε→0
␈β	E␈↓ λ*␈εα=␈↓ λX␈ελM␈↓ 	¬␈εα;␈↓ 
p␈εα(22)
␈β	P␈↓ ∧0␈ε↓B␈↓ λλ␈ε↓C
␈β	[␈↓ βg␈ελB␈↓ ∧S␈εα0␈↓ ¬␈εα0␈↓ ¬-␈εα0␈↓ ¬V␈ελb␈↓ εβ␈ελb␈↓ ε1␈ελb␈↓ ε↑␈ελb␈↓ π␈ελb␈↓ π9␈ελb␈↓ πf␈ελb
␈β	f␈↓ ∧0␈ε↓B␈↓ λλ␈ε↓C
␈β	i␈↓ β|␈ε¬0␈↓ ¬c␈ε¬6␈↓ ε⊂␈ε¬5␈↓ ε>␈ε¬4␈↓ εk␈ε¬3␈↓ π→␈ε¬2␈↓ πF␈ε¬1␈↓ πs␈ε¬0
␈β	|␈↓ ∧0␈ε↓@␈↓ λλ␈ε↓A
␈β
ε␈↓ βe␈ελC␈↓ ∧S␈εα0␈↓ ¬␈εα0␈↓ ¬-␈εα0␈↓ ¬[␈εα0␈↓ εβ␈ελc␈↓ ε1␈ελc␈↓ ε↑␈ελc␈↓ π␈ελc␈↓ π9␈ελc␈↓ πk␈εα0
␈β
∀␈↓ β⎇␈ε¬1␈↓ ε⊂␈ε¬4␈↓ ε>␈ε¬3␈↓ εk␈ε¬2␈↓ π→␈ε¬1␈↓ πF␈ε¬0
␈β
2␈↓ βe␈ελC␈↓ ∧S␈εα0␈↓ ¬␈εα0␈↓ ¬-␈εα0␈↓ ¬[␈εα0␈↓ ελ␈εα0␈↓ ε1␈ελc␈↓ ε↑␈ελc␈↓ π␈ελc␈↓ π9␈ελc␈↓ πf␈ελc
␈β
?␈↓ β⎇␈ε¬0␈↓ ε>␈ε¬4␈↓ εk␈ε¬3␈↓ π→␈ε¬2␈↓ πF␈ε¬1␈↓ πs␈ε¬0
␈β
z␈↓ πE␈ε→0
␈β␈↓ ↓H␈εαhence␈αif␈α
w␈α␈e␈α
consider␈α
an␈α␈y␈α
submatrices␈↓ ε≡␈ελM␈↓ εY␈εαand␈↓ π∨␈ελM␈↓ π[␈εαobtained␈α
by␈α
selecting␈α
six␈αcor-
␈β
␈↓ ε=␈ε¬0
␈β⊃␈↓ π@␈ε¬0
␈β&␈↓ ¬Q␈ε→0
␈β+␈↓ ↓H␈εαresponding␈αcolumns␈αof␈↓ ∧4␈ελM␈↓ ∧e␈εαand␈↓ ¬+␈ελM␈↓ ¬d␈εαw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈βs␈↓ ∧Z␈ε¬3␈↓ ¬⊃␈ε¬3␈↓ ¬G␈ε¬3␈↓ λ∃␈ε→0
␈βz␈↓ ∧L␈ελb␈↓ ∧p␈ε⊗↓␈↓ ¬α␈ελb␈↓ ¬'␈ε⊗↓␈↓ ¬9␈ελb␈↓ ¬↑␈ε⊗↓␈↓ ¬p␈εαdet␈↓ ε(␈ελM␈↓ ε←␈εα=␈ε⊗␈α
ε␈↓ π7␈εαdet␈↓ πo␈ελM␈↓ λ≡␈εα.
␈βπ␈↓ εG␈ε¬0
␈β␈↓ ∧Z␈ε¬6␈↓ ¬⊃␈ε¬6␈↓ ¬G␈ε¬6␈↓ λ⊂␈ε¬0
␈βH␈↓ ↓H␈εαWhen␈↓ α3␈ελM␈↓ αq␈εαis␈α∂chosen␈α⊂to␈α⊂be␈α⊂the␈α∂|rst␈α⊂six␈α⊂columns␈α∂of␈↓ π|␈ελM␈↓ λ"␈εα,␈α⊃w␈α␈e␈α∂|nd␈α⊂that␈↓ 
∪␈εαdet␈↓ 
K␈ελM␈↓ λ␈εα=
␈βV␈↓ αR␈ε¬0␈↓ 
j␈ε¬0
␈βn␈↓ ↓z␈ε¬2␈↓ α)␈ε¬2
␈βs␈↓ ↓H␈ε⊗ε␈↓ ↓l␈ελc␈↓ αλ␈εα/␈↓ α~␈ελb␈↓ αA␈εα=␈ε⊗␈α
ε␈↓ β∪␈ελh␈↓ β2␈εα,␈αso␈↓ βt␈ελh␈↓ ∧∨␈εαis␈αan␈αin␈α␈teger.
␈β
↓␈↓ β$␈ε¬3␈↓ ∧¬␈ε¬3
␈β
¬␈↓ ↓z␈ε¬4␈↓ α)␈ε¬6
␈β
∨␈↓ α␈εαIn␈αgeneral,␈αto␈αsho␈α␈w␈αthat␈↓ ¬∞␈ελh␈↓ ¬7␈εαis␈αan␈αin␈α␈teger␈αfor␈↓ π:␈ελj␈↓ πT␈ε⊗∃␈εα␈α
3,␈αw␈α␈e␈αstart␈αwith␈αthe␈αmatrix
␈β
,␈↓ ¬∨␈εj
␈β
J␈↓ ↓H␈ελM␈↓ ↓z␈εαconsisting␈α
of␈α
ro␈α␈ws␈↓ ∧ ␈ελA␈↓ ¬F␈εαthrough␈↓ εO␈ελA␈↓ πα␈εαand␈↓ πI␈ελB␈↓ λl␈εαthrough␈↓ 	u␈ελB␈↓ 
→␈εα;␈α
then␈α
w␈α␈e
␈β
W␈↓ ∧7␈εn␈↓ ∧T␈ε→␈␈↓ ∧q␈εn␈↓ ¬∞␈ε→␈␈ε¬1␈↓ εf␈ε¬0␈↓ π↑␈εn␈↓ πz␈ε→␈␈↓ λ↔␈εn␈↓ λ4␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 

␈ε¬0
␈β
`␈↓ ∧I␈επ2␈↓ ¬α␈ε
j␈↓ πo␈επ1␈↓ λ)␈ε
j
␈β
p␈↓ 	N␈ε→0
␈β
u␈↓ ↓H␈εαperform␈α∂appropriate␈α∂ro␈α␈w␈α⊂operations␈α∂un␈α␈til␈α⊂obtaining␈α∂a␈α∂matrix␈↓ 	)␈ελM␈↓ 	e␈εαconsisting␈α∂of
␈β∞ ␈↓ ↓H␈εαro␈α␈ws␈↓ α≤␈ελB␈↓ β@␈εαthrough␈↓ ∧I␈ελB␈↓ ¬5␈εα,␈↓ ¬Z␈ελC␈↓ π↓␈εαthrough␈↓ λ
␈ελC␈↓ λy␈εα,␈↓ 	≡␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	N␈εα,␈↓ 	t␈ελP
␈β∞.␈↓ α1␈εn␈↓ αN␈ε→␈␈↓ αj␈εn␈↓ βπ␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ∧↑␈εn␈↓ ∧{␈ε→␈␈↓ ¬_␈εn␈↓ ¬r␈εn␈↓ ε∂␈ε¬+␈↓ ε,␈εn␈↓ εI␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ λ"␈εn␈↓ λ?␈ε→␈␈↓ λ\␈εn␈↓ 
	␈εn␈↓ 
G␈ε→␈␈↓ 
d␈εn␈↓ ↓␈ε→␈␈ε¬1
␈β∞6␈↓ αB␈επ1␈↓ α|␈ε
j␈↓ ∧p␈επ3␈↓ ¬)␈ε
j␈↓ ε∧␈επ2␈↓ ε=␈ε
j␈↓ λ4␈επ4␈↓ λm␈ε
j␈↓ 
~␈ε
j␈↓ 
&␈ε≠␈␈επ␈α␈2␈↓ 
v␈ε
j
␈β∞K␈↓ ↓H␈εαthrough␈↓ αS␈ελP␈↓ αw␈εα,␈↓ β ␈ελQ␈↓ ∧k␈εαthrough␈↓ ¬w␈ελQ␈↓ ε≥␈εα.␈α↔Letting␈↓ πB␈ελM␈↓ π␈␈εαbe␈α∂the␈α⊂|rst␈↓ 	A␈ελn␈↓ 	o␈εα+␈↓ 
≥␈ελn␈↓ 
J␈ε⊗␈␈εα␈α2␈↓ ␈ελn
␈β∞Y␈↓ αh␈ε¬0␈↓ β8␈εn␈↓ βw␈ε→␈␈↓ ∧∀␈εn␈↓ ∧1␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ ε∂␈ε¬0␈↓ πa␈ε¬0␈↓ 	V␈ε¬1␈↓ 
2␈ε¬2␈↓ ∨␈εj
␈β∞a␈↓ βJ␈ε
j␈↓ βU␈ε≠␈␈επ1␈↓ ∧%␈ε
j
␈β∞w␈↓ ↓H␈εαcolumns␈αof␈↓ α}␈ελM␈↓ β#␈εα,␈αw␈α␈e␈αobtain
␈β∂>␈↓ εi␈ε∞␈↓ π!␈ε¬+1␈↓ λ7␈ε∞
␈β∂?␈↓ α	␈ε∞␈↓ α∨␈ε¬+1␈↓ β␈ε∞␈↓ β-␈εn␈↓ βJ␈ε→␈␈↓ βg␈εn␈↓ ∧!␈ε∞␈↓ ∧7␈ε¬+1␈↓ ¬#␈ε∞␈↓ ¬E␈εn␈↓ ¬b␈ε→␈␈↓ ¬␈␈εn␈↓ λ{␈εn␈↓ 	_␈ε→␈␈↓ 	5␈εn
␈β∂E␈↓ ↓l␈εα(␈↓ ↓x␈ελg␈↓ αJ␈εα/␈↓ α\␈ελg␈↓ αy␈ελh␈↓ β!␈εα)␈↓ ∧∧␈εα(␈↓ ∧⊂␈ελg␈↓ ∧b␈εα/␈↓ ∧t␈ελg␈↓ ¬⊃␈ελh␈↓ ¬9␈εα)␈↓ ε≤␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εL␈εα(␈↓ εX␈ελg␈↓ πL␈εα/␈↓ π↑␈ελg␈↓ λ%␈ελh␈↓ λo␈εα)␈↓ 	X␈εαdet␈↓ 
⊂␈ελM
␈β∂G␈↓ εt␈ε
j␈↓ ε␈␈ε≠␈␈επ1␈↓ λB␈ε
j␈↓ λM␈ε≠␈␈επ1
␈β∂H␈↓ α∀␈επ1␈↓ β⊗␈επ1␈↓ β?␈επ2␈↓ βx␈ε
j␈↓ ∧,␈επ2␈↓ ¬.␈επ2␈↓ ¬W␈επ3␈↓ ε⊂␈ε
j␈↓ 	
␈ε
j␈↓ 	F␈ε
j
␈β∂S␈↓ αj␈ε¬1␈↓ ¬α␈ε¬2␈↓ πl␈εj␈↓ πz␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ 
/␈ε¬0
␈β∂W␈↓ α	␈ε¬2␈↓ β␈ε¬1␈↓ ∧!␈ε¬3␈↓ ¬#␈ε¬2
␈β∂X␈↓ εi␈εj␈↓ λ2␈εj␈↓ λ?␈ε→␈␈ε¬1
␈β∂t␈↓ λ:␈εn␈↓ λy␈ε→␈␈↓ 	⊗␈εn␈↓ 	D␈εn␈↓ 
β␈ε→␈␈↓ 
∨␈εn
␈β∂u␈↓ ε<␈εn␈↓ εX␈ε→␈␈↓ εu␈εn␈↓ π#␈εn␈↓ π@␈ε→␈␈↓ π]␈εn
␈β∂{␈↓ ¬Y␈εα=␈ε⊗␈α
ε␈↓ ε+␈ελg␈↓ π∩␈ελg␈↓ πy␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ)␈ελg␈↓ 	3␈ελg␈↓ 
<␈εα,␈α*(23)
␈β∂⎇␈↓ λL␈ε
j␈↓ λW␈ε≠␈␈επ2␈↓ 	'␈ε
j␈↓ 	U␈ε
j␈↓ 	a␈ε≠␈␈επ␈α␈1␈↓ 
1␈ε
j
␈β∂}␈↓ εM␈επ1␈↓ ππ␈επ3␈↓ π5␈επ2␈↓ πn␈επ4
␈β⊂
␈↓ ε<␈ε¬2␈↓ π#␈ε¬3
␈β⊂∞␈↓ λ6␈εj␈↓ λC␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 	?␈εj
␈β⊂J␈↓ ↓H␈εαan␈αequation␈αthat␈αneatly␈αsimpli|es␈αto
␈β⊃→␈↓ ¬E␈εαdet␈↓ ¬⎇␈ελM␈↓ ε5␈εα=␈ε⊗␈α
ε␈↓ ππ␈ελh␈↓ π%␈εα.␈↓ 
p␈εα(24)
␈β⊃&␈↓ ε≤␈ε¬0␈↓ π_␈εj
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα402␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.1
␈βα&␈↓ ↓H␈εα(This␈α
proof,␈αalthough␈α
stated␈αfor␈αthe␈α
domain␈αof␈α
in␈α␈tegers,␈αobviously␈α
applies␈αto␈α
an␈α␈y
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαunique␈αfactorization␈αdomain.)
␈βα␈␈↓ α␈εαIn␈α∂the␈α⊂process␈α∂of␈α∂v␈α␈erifying␈α⊂Algorithm␈α∂C␈↓ π∂␈εα,␈α⊂w␈α␈e␈α∂hav␈α␈e␈α⊂also␈α∂learned␈α∂that␈α∂ev␈α␈ery
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαelemen␈α␈t␈αλof␈↓ αo␈ελS␈↓ β
␈εαdealt␈α	with␈αλby␈αλthe␈αλalgorithm␈αλcan␈α	be␈αλexpressed␈αλas␈αλa␈αλdeterminan␈α␈t␈αλwhose
␈ββV␈↓ ↓H␈εαen␈α␈tries␈α
are␈α
the␈α
coe}cien␈α␈ts␈α
of␈α
the␈α
primitiv␈α␈e␈α
parts␈α
of␈α
the␈αoriginal␈α
polynomials.␈α∂A
␈β∧↓␈↓ ↓H␈εαw␈α␈ell-kno␈α␈wn␈αtheorem␈αof␈αHadamard␈α(see␈αex␈α␈ercise␈α15)␈αstates␈αthat
␈β∧[␈↓ ε∧␈ε↓Y␈↓ πλ␈ε↓X␈↓ λ≤␈ε¬1/␈α↓2
␈β∧d␈↓ εX␈ε↓∩␈↓ λε␈ε↓∪
␈β∧x␈↓ πm␈ε¬2
␈β∧}␈↓ ∧#␈ε⊗j␈↓ ∧3␈εαdet␈↓ ∧e␈εα(␈↓ ∧q␈ελa␈↓ ¬≠␈εα)␈ε⊗j␈α
∀␈↓ π[␈ελa␈↓ λG␈εα;␈↓ 
p␈εα(25)
␈β¬␈↓ ¬α␈εi␈↓ ¬
␈εj
␈β¬⊂␈↓ πm␈εi␈↓ πy␈εj
␈β¬/␈↓ ¬i␈ε¬1␈ε→∀␈↓ ε∀␈εi␈↓ ε∨␈ε→∀␈↓ ε<␈εn␈↓ εn␈ε¬1␈ε→∀␈↓ π→␈εj␈↓ π&␈ε→∀␈↓ πC␈εn
␈βε⊃␈↓ ↓H␈εαtherefore␈αan␈αupper␈αbound␈αfor␈αthe␈αmaxim␈α␈um␈αcoe}cien␈α␈t␈αappearing␈αin␈αthe␈αpolyno-
␈βε<␈↓ ↓H␈εαmials␈αcomputed␈αby␈αAlgorithm␈αC␈αis
␈βπ∀␈↓ ∧v␈εm␈↓ ¬⊂␈ε¬+␈↓ ¬-␈εn␈↓ ε<␈εn␈↓ εN␈ε¬/␈α↓2␈↓ π←␈εm␈↓ πy␈ε¬/2
␈βπ~␈↓ ∧U␈ελN␈↓ ¬?␈εα(␈↓ ¬K␈ελm␈↓ ¬r␈εα+␈αλ1␈↓ ε0␈εα)␈↓ εk␈εα(␈↓ εw␈ελn␈↓ π∃␈εα+␈αλ1␈↓ πS␈εα)␈↓ λ⊗␈εα,␈↓ 
p␈εα(26)
␈βπx␈↓ ↓H␈εαif␈α
all␈α
coe}cien␈α␈ts␈α
of␈α
the␈αgiv␈α␈en␈α
polynomials␈↓ εS␈ελu␈↓ εi␈εα(␈↓ εu␈ελx␈↓ πλ␈εα)␈α
and␈↓ πb␈ελv␈↓ πu␈εα(␈↓ λ↓␈ελx␈↓ λ∀␈εα)␈α
are␈α
bounded␈α
by␈↓ 
&␈ελN␈↓ 
R␈εαin␈α
ab-
␈βλ#␈↓ ↓H␈εαsolute␈α	value.␈αThis␈α
same␈α	upper␈α
bound␈α	applies␈α
to␈α	the␈α
coe}cien␈α␈ts␈α	of␈α
all␈α	polynomials
␈βλN␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓]␈εα(␈↓ ↓i␈ελx␈↓ ↓|␈εα)␈αand␈↓ αZ␈ελv␈↓ αm␈εα(␈↓ αy␈ελx␈↓ β␈εα)␈αcomputed␈αduring␈αthe␈α
ex␈α␈ecution␈αof␈αAlgorithm␈αE␈↓ 	
␈εα,␈αsince␈αthe␈αpolyno-
␈βλy␈↓ ↓H␈εαmials␈α
obtained␈α
in␈α
Algorithm␈α
E␈α
are␈α
always␈α
divisors␈αof␈α
the␈α
polynomials␈α
obtained
␈β	%␈↓ ↓H␈εαin␈αAlgorithm␈αC.
␈β	R␈↓ α␈εαThis␈α∞upper␈α∂bound␈α∞on␈α∞the␈α∞coe}cien␈α␈ts␈α∂is␈α∞extremely␈α∞gratifying,␈α∂because␈α∞it␈α∞is
␈β	}␈↓ ↓H␈εαm␈α␈uch␈α
better␈αthan␈αw␈α␈e␈αw␈α␈ould␈αordinarily␈αhav␈α␈e␈α
a␈αrigh␈α␈t␈αto␈αexpect.␈αFor␈α
example,␈αsup-
␈β
)␈↓ ↓H␈εαpose␈αλw␈α␈e␈α	w␈α␈ould␈α	perform␈α	Algorithm␈αλE␈α	or␈α	Algorithm␈α	C␈α	with␈ε∂␈αλno␈εα␈α	correction␈α	in␈α	step␈αλE3
␈β
T␈↓ ↓H␈εαor␈α	C3,␈α	just␈α
replacing␈↓ ∧∂␈ελv␈↓ ∧!␈εα(␈↓ ∧-␈ελx␈↓ ∧@␈εα)␈α	by␈↓ ¬ε␈ελr␈↓ ¬⊗␈εα(␈↓ ¬"␈ελx␈↓ ¬5␈εα).␈αThis␈α	is␈α	the␈α	simplest␈α	gcd␈α	algorithm,␈α
and␈α	it␈α	is␈α	the
␈β
␈␈↓ ↓H␈εαone␈αthat␈αtraditionally␈αappears␈αin␈αtextbooks␈αon␈αalgebra␈α(for␈αtheoretical␈αpurposes,
␈β*␈↓ ↓H␈εαnot␈αλin␈α␈tended␈αλfor␈α	practical␈αλcalculations).␈α⊃If␈αλw␈α␈e␈α	suppose␈αλthat␈↓ λV␈ελ∞␈↓ λ{␈εα=␈↓ 	)␈ελ∞␈↓ 	N␈εα=␈↓ 	|␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 
0␈εα=␈α
1,␈α	w␈α␈e
␈β8␈↓ λc␈ε¬1␈↓ 	6␈ε¬2
␈βP␈↓ πi␈ε¬3
␈βV␈↓ ↓H␈εα|nd␈α
that␈α
the␈αcoe}cien␈α␈ts␈α
of␈↓ ∧r␈ελu␈↓ ¬∃␈εα(␈↓ ¬!␈ελx␈↓ ¬4␈εα)␈αare␈α
bounded␈α
by␈↓ πH␈ελN␈↓ πx␈εα,␈α
the␈αcoe}cien␈α␈ts␈α
of␈↓ 
$␈ελu␈↓ 
G␈εα(␈↓ 
S␈ελx␈↓ 
f␈εα)␈α
are
␈βc␈↓ ¬π␈ε¬3␈↓ 
9␈ε¬4
␈β|␈↓ β/␈ε¬7␈↓ ε
␈ε¬7
␈β↓␈↓ ↓H␈εαbounded␈αby␈↓ β
␈ελN␈↓ β=␈εα,␈αthose␈αof␈↓ ∧[␈ελu␈↓ ∧}␈εα(␈↓ ¬
␈ελx␈↓ ¬≥␈εα)␈αby␈↓ ¬h␈ελN␈↓ ε→␈εα,␈↓ ε.␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε↑␈εα;␈αthe␈αcoe}cien␈α␈ts␈αof␈↓ 	⊃␈ελu␈↓ 	4␈εα(␈↓ 	@␈ελx␈↓ 	S␈εα)␈αare␈αbounded
␈β∞␈↓ ∧p␈ε¬5␈↓ 	%␈εk
␈β'␈↓ α≡␈εa
␈β,␈↓ ↓H␈εαby␈↓ ↓⎇␈ελN␈↓ α9␈εα,␈α
where␈↓ β9␈ελa␈↓ βd␈εα=␈α2␈↓ ∧&␈ελa␈↓ ∧y␈εα+␈↓ ¬&␈ελa␈↓ ¬p␈εα.␈α∂Th␈α␈us␈α
the␈α
upper␈α
bound,␈α
in␈α
place␈α
of␈α
(25)␈α
for
␈β/␈↓ α,␈ε
k
␈β9␈↓ βJ␈εk␈↓ ∧7␈εk␈↓ ∧E␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ¬6␈εk␈↓ ¬E␈ε→␈␈ε¬2
␈βW␈↓ ↓H␈ελm␈↓ ↓q␈εα=␈↓ α∨␈ελn␈↓ α=␈εα+␈αλ1,␈αw␈α␈ould␈αbe␈αappro␈α␈ximately
␈β
,␈↓ ε{␈ε
n
␈β
/␈↓ ε↓␈ε¬0␈α↓.5(2.4␈α↓14␈↓ εq␈ε¬)
␈β
5␈↓ ¬`␈ελN␈↓ π
␈εα,␈↓ 
p␈εα(27)
␈β∞∪␈↓ ↓H␈εαand␈α
experimen␈α␈ts␈αsho␈α␈w␈α
that␈αthe␈α
simple␈αalgorithm␈α
does␈αin␈α
fact␈α
hav␈α␈e␈αthis␈α
behavior;
␈β∞>␈↓ ↓H␈εαthe␈α⊂n␈α␈um␈α␈ber␈α⊃of␈α⊃digits␈α⊃in␈α⊃the␈α⊃coe}cien␈α␈ts␈α⊃gro␈α␈ws␈α⊂exponen␈α␈tially␈α⊃at␈α⊃each␈α⊃step!␈α~In
␈β∞i␈↓ ↓H␈εαAlgorithm␈α
E␈↓ β
␈εα,␈α∞by␈α
con␈α␈trast,␈α∞the␈α
gro␈α␈wth␈α
in␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
digits␈α
is␈α∞only␈α
sligh␈α␈tly␈α
more
␈β∂∃␈↓ ↓H␈εαthan␈αlinear␈αat␈αmost.
␈β∂B␈↓ α␈εαAnother␈αλbyproduct␈α	of␈αλour␈α	proof␈αλof␈α	Algorithm␈αλC␈α	is␈αλthe␈α	fact␈αλthat␈α	the␈αλdegrees␈αλof
␈β∂m␈↓ ↓H␈εαthe␈αλpolynomials␈α	will␈αλalmost␈αλalways␈α	decrease␈αλby␈α	1␈αλat␈α	each␈αλstep,␈α	so␈α	that␈αλthe␈αλn␈α␈um␈α␈ber
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εαof␈α
iterations␈α∞of␈α∞step␈α∞C2␈α∞(or␈α
E2)␈α∞will␈α∞usually␈α∞be␈α∞deg(␈↓ λ␈ελv␈↓ λ∩␈εα)␈α∞if␈α∞the␈α∞giv␈α␈en␈α
polynomials
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαare␈α
\random."␈αIn␈αorder␈αto␈αsee␈α
wh␈α␈y␈αthis␈αhappens,␈αnote␈αfor␈αexample␈αthat␈αw␈α␈e␈α
could
␈β⊂j␈↓ πJ␈ε→0
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαhav␈α␈e␈αchosen␈α
the␈α|rst␈α
eigh␈α␈t␈α
columns␈αof␈↓ ε,␈ελM␈↓ ε↑␈εαand␈↓ π$␈ελM␈↓ π↑␈εαin␈α(16)␈α
and␈α
(17),␈αand␈α
then␈αw␈α␈e
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαw␈α␈ould␈α
hav␈α␈e␈αfound␈αthat␈↓ ∧5␈ελu␈↓ ∧X␈εα(␈↓ ∧d␈ελx␈↓ ∧v␈εα)␈αhas␈αdegree␈α
less␈αthan␈α3␈αif␈α
and␈αonly␈αif␈↓ 	@␈ελd␈↓ 	i␈εα=␈α
0,␈αthat␈α
is,
␈β⊃(␈↓ ∧I␈ε¬4␈↓ 	P␈ε¬3
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.1␈ε∞␈↓ π:DIV␈α␈ISION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα403
␈βα(␈↓ ↓H␈εαif␈αand␈αonly␈αif
␈βα2␈↓ ∧R␈ε↓0␈↓ πn␈ε↓1
␈βαC␈↓ ∧p␈ελa␈↓ ¬!␈ελa␈↓ ¬S␈ελa␈↓ ε∧␈ελa␈↓ ε5␈ελa␈↓ εf␈ελa␈↓ π↔␈ελa␈↓ πI␈ελa
␈βαP␈↓ ¬↓␈ε¬8␈↓ ¬2␈ε¬7␈↓ ¬c␈ε¬6␈↓ ε∃␈ε¬5␈↓ εF␈ε¬4␈↓ εw␈ε¬3␈↓ π(␈ε¬2␈↓ πY␈ε¬1
␈βαn␈↓ ∧w␈εα0␈↓ ¬!␈ελa␈↓ ¬S␈ελa␈↓ ε∧␈ελa␈↓ ε5␈ελa␈↓ εf␈ελa␈↓ π↔␈ελa␈↓ πI␈ελa
␈βαr␈↓ ∧R␈ε↓B␈↓ πn␈ε↓C
␈βα{␈↓ ¬2␈ε¬8␈↓ ¬c␈ε¬7␈↓ ε∃␈ε¬6␈↓ εF␈ε¬5␈↓ εw␈ε¬4␈↓ π(␈ε¬3␈↓ πY␈ε¬2
␈ββλ␈↓ ∧R␈ε↓B␈↓ πn␈ε↓C
␈ββ→␈↓ ∧w␈εα0␈↓ ¬(␈εα0␈↓ ¬S␈ελa␈↓ ε∧␈ελa␈↓ ε5␈ελa␈↓ εf␈ελa␈↓ π↔␈ελa␈↓ πI␈ελa
␈ββ≡␈↓ ∧R␈ε↓B␈↓ πn␈ε↓C
␈ββ'␈↓ ¬c␈ε¬8␈↓ ε∃␈ε¬7␈↓ εF␈ε¬6␈↓ εw␈ε¬5␈↓ π(␈ε¬4␈↓ πY␈ε¬3
␈ββ3␈↓ ∧R␈ε↓B␈↓ πn␈ε↓C
␈ββD␈↓ ∧r␈ελb␈↓ ¬#␈ελb␈↓ ¬U␈ελb␈↓ εε␈ελb␈↓ ε7␈ελb␈↓ εh␈ελb␈↓ π→␈ελb␈↓ πO␈εα0
␈ββI␈↓ ∧R␈ε↓B␈↓ πn␈ε↓C
␈ββR␈↓ ∧␈␈ε¬6␈↓ ¬0␈ε¬5␈↓ ¬b␈ε¬4␈↓ ε∪␈ε¬3␈↓ εD␈ε¬2␈↓ εu␈ε¬1␈↓ π&␈ε¬0
␈ββ↑␈↓ ∧~␈εαdet␈↓ ∧R␈ε↓B␈↓ πn␈ε↓C␈↓ λ⊂␈εα=␈α
0.
␈ββp␈↓ ∧w␈εα0␈↓ ¬#␈ελb␈↓ ¬U␈ελb␈↓ εε␈ελb␈↓ ε7␈ελb␈↓ εh␈ελb␈↓ π→␈ελb␈↓ πJ␈ελb
␈ββt␈↓ ∧R␈ε↓B␈↓ πn␈ε↓C
␈ββ⎇␈↓ ¬0␈ε¬6␈↓ ¬b␈ε¬5␈↓ ε∪␈ε¬4␈↓ εD␈ε¬3␈↓ εu␈ε¬2␈↓ π&␈ε¬1␈↓ πW␈ε¬0
␈β∧
␈↓ ∧R␈ε↓B␈↓ πn␈ε↓C
␈β∧≠␈↓ ∧w␈εα0␈↓ ¬(␈εα0␈↓ ¬U␈ελb␈↓ εε␈ελb␈↓ ε7␈ελb␈↓ εh␈ελb␈↓ π→␈ελb␈↓ πJ␈ελb
␈β∧∨␈↓ ∧R␈ε↓B␈↓ πn␈ε↓C
␈β∧(␈↓ ¬b␈ε¬6␈↓ ε∪␈ε¬5␈↓ εD␈ε¬4␈↓ εu␈ε¬3␈↓ π&␈ε¬2␈↓ πW␈ε¬1
␈β∧5␈↓ ∧R␈ε↓@␈↓ πn␈ε↓A
␈β∧F␈↓ ∧w␈εα0␈↓ ¬(␈εα0␈↓ ¬Y␈εα0␈↓ εε␈ελb␈↓ ε7␈ελb␈↓ εh␈ελb␈↓ π→␈ελb␈↓ πJ␈ελb
␈β∧S␈↓ ε∪␈ε¬6␈↓ εD␈ε¬5␈↓ εu␈ε¬4␈↓ π&␈ε¬3␈↓ πW␈ε¬2
␈β∧q␈↓ ∧w␈εα0␈↓ ¬(␈εα0␈↓ ¬Y␈εα0␈↓ ε
␈εα0␈↓ ε7␈ελb␈↓ εh␈ελb␈↓ π→␈ελb␈↓ πJ␈ελb
␈β∧␈␈↓ εD␈ε¬6␈↓ εu␈ε¬5␈↓ π&␈ε¬4␈↓ πW␈ε¬3
␈β¬%␈↓ ↓H␈εαIn␈α
general,␈↓ αv␈ελ∞␈↓ β~␈εαwill␈α
be␈αgreater␈α
than␈α
1␈α
for␈↓ ε'␈ελj␈↓ εA␈εα>␈α
1␈α
if␈α
and␈α
only␈α
if␈α
a␈α
similar␈α
determinan␈α␈t
␈β¬2␈↓ ββ␈εj
␈β¬P␈↓ ↓H␈εαin␈αthe␈αcoe}cien␈α␈ts␈αof␈↓ ∧␈ελu␈↓ ∧!␈εα(␈↓ ∧-␈ελx␈↓ ∧?␈εα)␈αand␈↓ ¬≤␈ελv␈↓ ¬.␈εα(␈↓ ¬:␈ελx␈↓ ¬M␈εα)␈αis␈αzero.␈αSince␈αsuch␈αa␈αdeterminan␈α␈t␈αis␈αa␈αnonzero
␈β¬{␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultivariate␈α
polynomial␈α
in␈α
the␈α∞coe}cien␈α␈ts,␈α
it␈α
will␈α∞be␈α
nonzero␈α
\almost␈α
always,"
␈βε&␈↓ ↓H␈εαor␈α\with␈αprobability␈α
1."␈α~(See␈αex␈α␈ercise␈α
16␈αfor␈αa␈α
more␈αprecise␈α
form␈α␈ulation␈αof␈αthis
␈βεR␈↓ ↓H␈εαstatemen␈α␈t,␈αand␈αsee␈α
ex␈α␈ercise␈α4␈αfor␈αa␈α
related␈αproof.)␈α~The␈αexample␈αpolynomials␈αin
␈βε⎇␈↓ ↓H␈εα(15)␈αhav␈α␈e␈αboth␈↓ β9␈ελ∞␈↓ β`␈εαand␈↓ ∧&␈ελ∞␈↓ ∧M␈εαequal␈αto␈α2,␈αso␈αthey␈αare␈αex␈α␈ceptional␈αindeed.
␈βπ
␈↓ βF␈ε¬2␈↓ ∧3␈ε¬3
␈βπ(␈↓ α␈εαThe␈α⊂considerations␈α∂abo␈α␈v␈α␈e␈α⊂can␈α∂be␈α⊂used␈α⊂to␈α∂deriv␈α␈e␈α⊂the␈α∂w␈α␈ell-kno␈α␈wn␈α⊂fact␈α∂that
␈βπS␈↓ ↓H␈εαt␈α␈w␈α␈o␈αpolynomials␈αare␈α
relativ␈α␈ely␈αprime␈α
if␈αand␈αonly␈α
if␈αtheir␈α
\resultan␈α␈t"␈αis␈αnonzero;
␈βπ}␈↓ ↓H␈εαthe␈α∞resultan␈α␈t␈α∂is␈α∂a␈α∂determinan␈α␈t␈α∂having␈α∂the␈α∞form␈α∂of␈α∂ro␈α␈ws␈↓ λM␈ελA␈↓ 	↓␈εαthrough␈↓ 
␈ελA␈↓ 
@␈εαand␈↓ 	␈ελB
␈βλ
␈↓ ∧&␈ε↓␈
␈βλ␈↓ λd␈ε¬5␈↓ 
#␈ε¬0␈↓ ≡␈ε¬7
␈βλ*␈↓ ↓H␈εαthrough␈↓ αK␈ελB␈↓ αv␈εαin␈απTable␈απ1.␈↓ ∧4␈εαThis␈απis␈απ\Sylv␈α␈ester's␈αλdeterminan␈α␈t";␈α	see␈απex␈α␈ercise␈απ12.␈α
Further
␈βλ7␈↓ α`␈ε¬0
␈βλU␈↓ ↓H␈εαproperties␈α	of␈α
resultan␈α␈ts␈α	are␈α	discussed␈α
in␈α	B.␈α
L.␈α	van␈α
der␈α	Waerden,␈ε∂␈α
Modern␈α	Algebra␈εα,
␈βλ`␈↓ λR␈ε↓↓
␈β	␈↓ ↓H␈εαtr.␈απby␈αλFred␈απBlum␈αλ(New␈απYork:␈α
Ungar,␈α	1949),␈αλSections␈αλ27↑28.␈↓ λn␈εαFrom␈αλthe␈απstandpoin␈α␈t
␈β	+␈↓ ↓H␈εαdiscussed␈αλabo␈α␈v␈α␈e,␈αλw␈α␈e␈αλcould␈αλsay␈αλthat␈αλthe␈αλgcd␈απis␈αλ\almost␈αλalways"␈αλof␈αλdegree␈αλzero,␈αλsince
␈β	V␈↓ ↓H␈εαSylv␈α␈ester's␈αdeterminan␈α␈t␈αis␈αalmost␈αnev␈α␈er␈αzero.␈αBut␈αman␈α␈y␈αcalculations␈αof␈αpractical
␈β
α␈↓ ↓H␈εαin␈α␈terest␈α
w␈α␈ould␈α
nev␈α␈er␈αbe␈α
undertak␈α␈en␈α
if␈αthere␈α
w␈α␈eren't␈α
some␈αreasonable␈α
chance␈α
that
␈β
-␈↓ ↓H␈εαthe␈αgcd␈αw␈α␈ould␈αbe␈αa␈αpolynomial␈αof␈αpositiv␈α␈e␈αdegree.
␈β
X␈↓ α␈εαWe␈αcan␈αsee␈α
exactly␈αwhat␈αhappens␈αduring␈αAlgorithms␈α
E␈αand␈αC␈αwhen␈αthe␈α
gcd
␈ββ␈↓ ↓H␈εαis␈α⊂not␈α⊂1␈α⊂by␈α⊂considering␈↓ ∧N␈ελu␈↓ ∧d␈εα(␈↓ ∧p␈ελx␈↓ ¬α␈εα)␈α⊃=␈↓ ¬T␈ελw␈↓ ¬o␈εα(␈↓ ¬{␈ελx␈↓ ε
␈εα)␈↓ ε→␈ελu␈↓ ε<␈εα(␈↓ εH␈ελx␈↓ ε[␈εα)␈α⊂and␈↓ πA␈ελv␈↓ πT␈εα(␈↓ π`␈ελx␈↓ πs␈εα)␈α⊃=␈↓ λD␈ελw␈↓ λ←␈εα(␈↓ λk␈ελx␈↓ λ}␈εα)␈↓ 	
␈ελu␈↓ 	-␈εα(␈↓ 	9␈ελx␈↓ 	L␈εα),␈α⊃where␈↓ 
←␈ελu␈↓ α␈εα(␈↓ ∞␈ελx␈↓  ␈εα)
␈β⊃␈↓ ε.␈ε¬1␈↓ 	≡␈ε¬2␈↓ 
s␈ε¬1
␈β.␈↓ ↓H␈εαand␈↓ α⊃␈ελu␈↓ α4␈εα(␈↓ α@␈ελx␈↓ αR␈εα)␈α∂are␈α∂relativ␈α␈ely␈α∂prime␈α∂and␈↓ ε␈ελw␈↓ ε≠␈εα(␈↓ ε'␈ελx␈↓ ε:␈εα)␈α∂is␈α∂primitiv␈α␈e.␈α∃Then␈α∂if␈α∞the␈α∂polynomials
␈β<␈↓ α%␈ε¬2
␈βZ␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓k␈εα(␈↓ ↓w␈ελx␈↓ α	␈εα),␈↓ α)␈ελu␈↓ αL␈εα(␈↓ αX␈ελx␈↓ αk␈εα),␈↓ β␈ελu␈↓ β.␈εα(␈↓ β:␈ελx␈↓ βL␈εα),␈↓ βl␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧∨␈εαare␈α
obtained␈α	when␈α	Algorithm␈α	E␈α
w␈α␈orks␈α	on␈↓ 	#␈ελu␈↓ 	9␈εα(␈↓ 	E␈ελx␈↓ 	W␈εα)␈α
=␈↓ 
≠␈ελu␈↓ 
>␈εα(␈↓ 
J␈ελx␈↓ 
]␈εα)␈α	and
␈βg␈↓ ↓\␈ε¬1␈↓ α>␈ε¬2␈↓ β∨␈ε¬3␈↓ 
0␈ε¬1
␈β¬␈↓ ↓H␈ελv␈↓ ↓Z␈εα(␈↓ ↓f␈ελx␈↓ ↓y␈εα)␈α
=␈↓ α=␈ελu␈↓ α`␈εα(␈↓ αl␈ελx␈↓ α␈␈εα),␈αit␈αis␈αeasy␈αto␈αsho␈α␈w␈αthat␈αthe␈αsequence␈αobtained␈αfor␈↓ 	!␈ελu␈↓ 	6␈εα(␈↓ 	B␈ελx␈↓ 	U␈εα)␈α
=␈↓ 
→␈ελw␈↓ 
4␈εα(␈↓ 
@␈ελx␈↓ 
S␈εα)␈↓ 
←␈ελu␈↓ α␈εα(␈↓ ∞␈ελx␈↓  ␈εα)
␈β∩␈↓ αR␈ε¬2␈↓ 
s␈ε¬1
␈β0␈↓ ↓H␈εαand␈↓ α∂␈ελv␈↓ α!␈εα(␈↓ α-␈ελx␈↓ α@␈εα)␈α=␈↓ βλ␈ελw␈↓ β"␈εα(␈↓ β.␈ελx␈↓ βA␈εα)␈↓ βM␈ελu␈↓ βp␈εα(␈↓ β|␈ελx␈↓ ∧∂␈εα)␈α
is␈α
simply␈↓ ¬B␈ελw␈↓ ¬]␈εα(␈↓ ¬i␈ελx␈↓ ¬|␈εα)␈↓ ελ␈ελu␈↓ ε+␈εα(␈↓ ε7␈ελx␈↓ εI␈εα),␈↓ εm␈ελw␈↓ ππ␈εα(␈↓ π∪␈ελx␈↓ π&␈εα)␈↓ π2␈ελu␈↓ πU␈εα(␈↓ πa␈ελx␈↓ πt␈εα),␈↓ λ↔␈ελw␈↓ λ2␈εα(␈↓ λ>␈ελx␈↓ λQ␈εα)␈↓ λ]␈ελu␈↓ 	␈εα(␈↓ 	␈ελx␈↓ 	∨␈εα),␈↓ 	B␈ελw␈↓ 	]␈εα(␈↓ 	i␈ελx␈↓ 	{␈εα)␈↓ 
π␈ελu␈↓ 
*␈εα(␈↓ 
6␈ελx␈↓ 
I␈εα),␈↓ 
l␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ "␈εα.
␈β=␈↓ βb␈ε¬2␈↓ ε≤␈ε¬1␈↓ πG␈ε¬2␈↓ λq␈ε¬3␈↓ 
≤␈ε¬4
␈β[␈↓ ↓H␈εαWith␈α	Algorithm␈α	C␈α	the␈α	behavior␈α	is␈α	di{eren␈α␈t;␈α
if␈α	the␈α	polynomials␈↓ 	∩␈ελu␈↓ 	5␈εα(␈↓ 	A␈ελx␈↓ 	T␈εα),␈↓ 	s␈ελu␈↓ 
⊗␈εα(␈↓ 
"␈ελx␈↓ 
5␈εα),␈↓ 
U␈ελu␈↓ 
x␈εα(␈↓ ∧␈ελx␈↓ ⊗␈εα),
␈βi␈↓ 	'␈ε¬1␈↓ 
λ␈ε¬2␈↓ 
i␈ε¬3
␈β
ε␈↓ ↓H␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ↓⎇␈εαare␈αobtained␈αwhen␈αAlgorithm␈αC␈αis␈αapplied␈αto␈↓ πH␈ελu␈↓ π↑␈εα(␈↓ πj␈ελx␈↓ π⎇␈εα)␈α
=␈↓ λA␈ελu␈↓ λd␈εα(␈↓ λp␈ελx␈↓ 	α␈εα)␈αand␈↓ 	←␈ελv␈↓ 	r␈εα(␈↓ 	}␈ελx␈↓ 
⊃␈εα)␈α
=␈↓ 
U␈ελu␈↓ 
x␈εα(␈↓ ∧␈ελx␈↓ ⊗␈εα),
␈β
∀␈↓ λU␈ε¬1␈↓ 
i␈ε¬2
␈β
2␈↓ ↓H␈εαand␈α∞if␈α∂w␈α␈e␈α∂assume␈α∞that␈α∂deg(␈↓ ∧}␈ελu␈↓ ¬K␈εα)␈α∞=␈↓ ε_␈εαdeg␈↓ εN␈εα(␈↓ εZ␈ελu␈↓ ε|␈εα)␈ε⊗␈α	␈␈εα␈α
1␈α∂(which␈α∞is␈α∂almost␈α∂always␈α∞true
␈β
?␈↓ ¬∪␈εj␈↓ ¬ ␈ε¬+1␈↓ εn␈εj
␈β
]␈↓ ↓H␈εαwhen␈↓ α&␈ελj␈↓ α@␈εα>␈α
1),␈αthen␈αthe␈αsequence
␈β∞≤␈↓ ¬1␈ε¬2␈↓ ε|␈ε¬4␈↓ λG␈ε¬6
␈β∞"␈↓ αG␈ελw␈↓ αb␈εα(␈↓ αn␈ελx␈↓ β↓␈εα)␈↓ β
␈ελu␈↓ β0␈εα(␈↓ β<␈ελx␈↓ βO␈εα),␈↓ βu␈ελw␈↓ ∧⊂␈εα(␈↓ ∧≤␈ελx␈↓ ∧.␈εα)␈↓ ∧:␈ελu␈↓ ∧]␈εα(␈↓ ∧i␈ελx␈↓ ∧|␈εα),␈↓ ¬"␈ελ#␈↓ ¬@␈ελw␈↓ ¬Z␈εα(␈↓ ¬f␈ελx␈↓ ¬y␈εα)␈↓ ε¬␈ελu␈↓ ε(␈εα(␈↓ ε4␈ελx␈↓ εG␈εα),␈↓ εm␈ελ#␈↓ π
␈ελw␈↓ π%␈εα(␈↓ π1␈ελx␈↓ πD␈εα)␈↓ πP␈ελu␈↓ πs␈εα(␈↓ π␈␈ελx␈↓ λ∩␈εα),␈↓ λ8␈ελ#␈↓ λU␈ελw␈↓ λp␈εα(␈↓ λ|␈ελx␈↓ 	∂␈εα)␈↓ 	≠␈ελu␈↓ 	>␈εα(␈↓ 	J␈ελx␈↓ 	]␈εα),␈↓ 
β␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
p␈εα(28)
␈β∞/␈↓ β"␈ε¬1␈↓ ∧O␈ε¬2␈↓ ε~␈ε¬3␈↓ πe␈ε¬4␈↓ 	/␈ε¬5
␈β∞g␈↓ ↓H␈εαis␈α∩obtained␈α∪when␈α∪Algorithm␈α∩C␈α∪is␈α∩applied␈α∪to␈↓ π5␈ελu␈↓ πJ␈εα(␈↓ πV␈ελx␈↓ πi␈εα)␈α∃=␈↓ λC␈ελw␈↓ λ↑␈εα(␈↓ λj␈ελx␈↓ λ⎇␈εα)␈↓ 		␈ελu␈↓ 	,␈εα(␈↓ 	8␈ελx␈↓ 	K␈εα)␈α∩and␈↓ 
6␈ελv␈↓ 
I␈εα(␈↓ 
U␈ελx␈↓ 
g␈εα)␈α∃=
␈β∞t␈↓ 	≥␈ε¬1
␈β∂∩␈↓ ↓H␈ελw␈↓ ↓b␈εα(␈↓ ↓n␈ελx␈↓ α↓␈εα)␈↓ α
␈ελu␈↓ α0␈εα(␈↓ α<␈ελx␈↓ αO␈εα),␈α
where␈↓ β[␈ελ#␈↓ βu␈εα=␈↓ ∧%␈ελ#␈↓ ∧4␈εα(␈↓ ∧@␈ελw␈↓ ∧[␈εα).␈α~(See␈α
ex␈α␈ercise␈α
13.)␈α≠Ev␈α␈en␈α
though␈α
these␈αadditional␈↓ ⊃␈ελ#␈↓  ␈εα-
␈β∂∨␈↓ α"␈ε¬2
␈β∂=␈↓ ↓H␈εαfactors␈α
are␈α∞presen␈α␈t,␈α
Algorithm␈α∞C␈α
will␈α∞be␈α
superior␈α∞to␈α
Algorithm␈α∞E␈↓ 	R␈εα,␈α∞because␈α
it␈α
is
␈β∂h␈↓ ↓H␈εαeasier␈αto␈α
deal␈α
with␈α
sligh␈α␈tly␈α
larger␈αpolynomials␈α
than␈α
to␈α
calculate␈α
primitiv␈α␈e␈αparts
␈β⊂∀␈↓ ↓H␈εαrepeatedly.
␈β⊂F␈↓ α␈εαPolynomials␈α	remainder␈αλsequences␈α	such␈αλas␈α	those␈αλin␈α	Algorithm␈αλC␈α	and␈αλE␈α	are␈αλnot
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαuseful␈αmerely␈α
for␈α
|nding␈α
greatest␈α
common␈α
divisors;␈α
another␈α
importan␈α␈t␈αapplica-
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαtion␈αλis␈α	to␈α	the␈α	en␈α␈umeration␈α	of␈α	real␈αλroots,␈α
for␈α	a␈αλgiv␈α␈en␈α	polynomial␈α	in␈α	a␈α	giv␈α␈en␈αλin␈α␈terval,
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα404␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.1
␈βα&␈↓ ↓H␈εαaccording␈α
to␈α
the␈α
famous␈α
theorem␈α
of␈αJ.␈α
Sturm␈α
[␈ε∂M␈↓ π6␈ε∂∞␈↓ π7␈ε∂e␈↓ πG␈ε∂m.␈α
pr␈↓ λ~␈ε∂∞␈↓ λ≠␈ε∂e␈↓ λ+␈ε∂sen␈α␈tes␈α
par␈α
div␈α␈ers␈α
savan␈α␈ts
␈βαQ␈↓ ↓H␈ε∩6␈εα␈α	(Paris,␈α
1835),␈α
271↑318].␈αLet␈↓ ¬⊗␈ελu␈↓ ¬+␈εα(␈↓ ¬7␈ελx␈↓ ¬J␈εα)␈α
be␈α	a␈α
polynomial␈α	o␈α␈v␈α␈er␈α
the␈α	real␈α	n␈α␈um␈α␈bers,␈α
having
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαdistinct␈α
roots.␈α∩We␈α∞shall␈α∞see␈α
in␈α∞the␈α∞next␈α∞section␈α∞that␈α
this␈α∞is␈α∞the␈α∞same␈α∞as␈α
saying
␈ββλ␈↓ ↓}␈ε↓␈␈↓ β$␈ε↓↓
␈ββ#␈↓ αr␈ε→0␈↓ ¬_␈ε→0
␈ββ(␈↓ ↓H␈εαgcd␈↓ α␈ελu␈↓ α!␈εα(␈↓ α-␈ελx␈↓ α@␈εα),␈↓ α\␈ελu␈↓ αy␈εα(␈↓ β¬␈ελx␈↓ β_␈εα)␈↓ β>␈εα=␈α
1,␈α∞where␈↓ ¬α␈ελu␈↓ ¬∨␈εα(␈↓ ¬+␈ελx␈↓ ¬>␈εα)␈α
is␈α∞the␈α
derivativ␈α␈e␈α∞of␈↓ λ∩␈ελu␈↓ λ(␈εα(␈↓ λ4␈ελx␈↓ λG␈εα);␈α∞accordingly,␈α∞there␈α
is
␈ββN␈↓ 
p␈ε→0
␈ββS␈↓ ↓H␈εαa␈α
polynomial␈α
remainder␈α
sequence␈α
pro␈α␈ving␈α
that␈↓ π4␈ελu␈↓ πJ␈εα(␈↓ πV␈ελx␈↓ πi␈εα)␈α
is␈α
relativ␈α␈ely␈α
prime␈α
to␈↓ 
[␈ελu␈↓ 
x␈εα(␈↓ ∧␈ελx␈↓ ⊗␈εα).
␈ββy␈↓ ¬6␈ε→0
␈ββ}␈↓ ↓H␈εαWe␈αset␈↓ α?␈ελu␈↓ αb␈εα(␈↓ αn␈ελx␈↓ β␈εα)␈α
=␈↓ βD␈ελu␈↓ βZ␈εα(␈↓ βf␈ελx␈↓ βy␈εα),␈↓ ∧≠␈ελu␈↓ ∧>␈εα(␈↓ ∧J␈ελx␈↓ ∧\␈εα)␈α
=␈↓ ¬ ␈ελu␈↓ ¬=␈εα(␈↓ ¬I␈ελx␈↓ ¬\␈εα),␈αand␈α(follo␈α␈wing␈αSturm)␈αw␈α␈e␈αnegate␈αthe␈αsign␈αof
␈β∧␈↓ αS␈ε¬0␈↓ ∧/␈ε¬1
␈β∧)␈↓ ↓H␈εαall␈αremainders:
␈β∧S␈↓ ∧J␈ελc␈↓ ∧e␈ελu␈↓ ¬λ␈εα(␈↓ ¬∀␈ελx␈↓ ¬'␈εα)␈↓ ¬=␈εα=␈↓ ¬k␈ελu␈↓ ε∞␈εα(␈↓ ε~␈ελx␈↓ ε-␈εα)␈↓ ε9␈ελq␈↓ εT␈εα(␈↓ ε`␈ελx␈↓ εs␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ π3␈ελd␈↓ πR␈ελu␈↓ πu␈εα(␈↓ λ↓␈ελx␈↓ λ∀␈εα),
␈β∧a␈↓ ∧W␈ε¬1␈↓ ∧z␈ε¬0␈↓ ε␈ε¬1␈↓ εF␈ε¬1␈↓ πD␈ε¬1␈↓ πg␈ε¬2
␈β¬	␈↓ ∧J␈ελc␈↓ ∧e␈ελu␈↓ ¬λ␈εα(␈↓ ¬∀␈ελx␈↓ ¬'␈εα)␈↓ ¬=␈εα=␈↓ ¬k␈ελu␈↓ ε∞␈εα(␈↓ ε~␈ελx␈↓ ε-␈εα)␈↓ ε9␈ελq␈↓ εT␈εα(␈↓ ε`␈ελx␈↓ εs␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ π3␈ελd␈↓ πR␈ελu␈↓ πu␈εα(␈↓ λ↓␈ελx␈↓ λ∀␈εα),
␈β¬↔␈↓ ∧W␈ε¬2␈↓ ∧z␈ε¬1␈↓ ε␈ε¬2␈↓ εF␈ε¬2␈↓ πD␈ε¬2␈↓ πg␈ε¬3
␈β¬+␈↓ 
p␈εα(29)
␈β¬/␈↓ ¬O␈εα.
␈β¬>␈↓ ¬O␈εα.
␈β¬L␈↓ ¬O␈εα.
␈βεα␈↓ ∧≡␈ελc␈↓ ∧:␈ελu␈↓ ¬λ␈εα(␈↓ ¬∀␈ελx␈↓ ¬'␈εα)␈↓ ¬=␈εα=␈↓ ¬k␈ελu␈↓ ε∞␈εα(␈↓ ε~␈ελx␈↓ ε-␈εα)␈↓ ε9␈ελq␈↓ εT␈εα(␈↓ ε`␈ελx␈↓ εs␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ π3␈ελd␈↓ πS␈ελu␈↓ λ!␈εα(␈↓ λ-␈ελx␈↓ λ@␈εα),
␈βε∂␈↓ ∧+␈εk␈↓ ∧O␈εk␈↓ ∧]␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ε␈εk␈↓ εF␈εk␈↓ πD␈εk␈↓ πg␈εk␈↓ πv␈ε¬+␈α␈1
␈βεO␈↓ ↓H␈εαfor␈α∞some␈α∞positiv␈α␈e␈α∂constan␈α␈ts␈↓ ¬π␈ελc␈↓ ¬0␈εαand␈↓ ¬x␈ελd␈↓ ε⊗␈εα,␈α∂where␈α∂deg(␈↓ π\␈ελu␈↓ λ*␈εα)␈α∞=␈α∞0.␈α∪We␈α∂say␈α∞that␈α∞the
␈βε]␈↓ ¬∀␈εj␈↓ ε	␈εj␈↓ πp␈εk␈↓ π␈␈ε¬+1
␈βε{␈↓ ↓H␈ε∂variation␈↓ αd␈ελV␈↓ α}␈εα(␈↓ β
␈ελu␈↓ β∨␈εα,␈↓ β/␈ελa␈↓ βA␈εα)␈α∞of␈↓ ∧π␈ελu␈↓ ∧≥␈εα(␈↓ ∧)␈ελx␈↓ ∧;␈εα)␈α∞at␈↓ ¬β␈ελa␈↓ ¬#␈εαis␈α∞the␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α∞changes␈α∞of␈α∞sign␈α∞in␈α∞the␈α
sequence
␈βπ&␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓k␈εα(␈↓ ↓w␈ελa␈↓ αλ␈εα),␈↓ α.␈ελu␈↓ αQ␈εα(␈↓ α]␈ελa␈↓ αn␈εα),␈↓ β∀␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βD␈εα,␈↓ β]␈ελu␈↓ ∧+␈εα(␈↓ ∧7␈ελa␈↓ ∧I␈εα),␈α∂not␈α∞coun␈α␈ting␈α∂zeros.␈α∪For␈α∂example,␈α∂if␈α∞the␈α∂sequence␈α∞of
␈βπ3␈↓ ↓\␈ε¬0␈↓ αB␈ε¬1␈↓ βq␈εk␈↓ ∧␈ε¬+1
␈βπQ␈↓ ↓H␈εαsigns␈αis␈α0,␈α+,␈ε⊗␈α␈␈εα,␈ε⊗␈α␈␈εα,␈α0,␈α+,␈α+,␈ε⊗␈α␈␈εα␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈↓ εj␈ελV␈↓ π∧␈εα(␈↓ π⊂␈ελu␈↓ π&␈εα,␈↓ π6␈ελa␈↓ πH␈εα)␈α
=␈α
3.␈αSturm's␈αtheorem␈αasserts
␈βπ|␈↓ ↓H␈εαthat␈ε∂␈αthe␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
roots␈αof␈↓ ¬λ␈ελu␈↓ ¬≡␈εα(␈↓ ¬*␈ελx␈↓ ¬=␈εα)␈ε∂␈αin␈α
the␈α
in␈α␈terval␈↓ πE␈ελa␈↓ πb␈εα<␈↓ λ⊃␈ελx␈↓ λ/␈ε⊗∀␈↓ λ↑␈ελb␈↓ λy␈ε∂is␈↓ 	≡␈ελV␈↓ 	8␈εα(␈↓ 	D␈ελu␈↓ 	Z␈εα,␈↓ 	j␈ελa␈↓ 	{␈εα)␈ε⊗␈α	␈␈↓ 
<␈ελV␈↓ 
V␈εα(␈↓ 
b␈ελu␈↓ 
x␈εα,␈↓ λ␈ελb␈↓ ⊗␈εα);
␈βλ'␈↓ ↓H␈εαand␈αthe␈αproof␈αis␈αsurprisingly␈αshort␈α(see␈αex␈α␈ercise␈α22).
␈βλm␈↓ α␈εαAlthough␈α
Algorithms␈αC␈α
and␈α
E␈αare␈α
in␈α␈teresting,␈α
they␈αaren't␈α
the␈α
whole␈αstory.
␈β	_␈↓ ↓H␈εαImportan␈α␈t␈απalternativ␈α␈e␈αλways␈απto␈αλcalculate␈αλpolynomial␈απgcd's␈αλo␈α␈v␈α␈er␈αλthe␈απin␈α␈tegers␈αλare␈απdis-
␈β	C␈↓ ↓H␈εαcussed␈α	at␈α	the␈α
end␈α	of␈α	Section␈α
4.6.2.␈αThere␈α	is␈α	also␈α
a␈α	general␈α	determinan␈α␈t-evaluation
␈β	n␈↓ ↓H␈εαalgorithm␈αthat␈α
may␈α
be␈α
said␈α
to␈α
include␈αAlgorithm␈α
C␈α
as␈α
a␈α
special␈α
case;␈α
see␈α
E.␈αH.
␈β
→␈↓ ↓H␈εαBareiss,␈ε∂␈αMath.␈αComp.␈ε∩␈α22␈εα␈α(1968),␈α565↑578.
␈βH␈↓ ↓H␈ε≥E␈α␈XERCI␈α↓SE␈α␈S
␈β)␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβ[␈ε	10␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Com␈α␈pu␈α␈te␈α
the␈αpseu␈α␈do␈α␈-quo␈α␈tien␈α␈t␈↓ ε≥␈ε	q␈↓ ε,␈εβ(␈↓ ε7␈ε	x␈↓ εH␈εβ)␈α
an␈α␈d␈α
p␈α␈seud␈α␈o-rem␈α␈aind␈α␈er␈↓ 	1␈ε	r␈↓ 	@␈εβ(␈↓ 	K␈ε	x␈↓ 	\␈εβ),␈α∞n␈α␈amely␈α␈,␈α∞the
␈βM␈↓ ε&␈εε6␈↓ εq␈εε5␈↓ π=␈εε4␈↓ λ→␈εε3␈↓ λu␈εε2
␈βQ␈↓ ↓H␈εβp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈α
sa␈α␈tisf␈α↓y␈α␈ing␈α
(8␈α␈),␈αwhe␈α␈n␈↓ ¬%␈ε	u␈↓ ¬9␈εβ(␈↓ ¬D␈ε	x␈↓ ¬V␈εβ)␈α	=␈↓ ε∀␈ε	x␈↓ ε9␈εβ+␈↓ ε`␈ε	x␈↓ π∧␈ε↔␈␈↓ π+␈ε	x␈↓ πP␈εβ+␈αε2␈↓ λλ␈ε	x␈↓ λ,␈εβ+␈αε3␈↓ λd␈ε	x␈↓ 	λ␈ε↔␈␈↓ 	/␈ε	x␈↓ 	G␈εβ+␈αε2␈α
an␈α␈d␈↓ 
I␈ε	v␈↓ 
Z␈εβ(␈↓ 
e␈ε	x␈↓ 
w␈εβ)␈α	=
␈βu␈↓ ↓j␈εε3␈↓ αH␈εε2
␈βy␈↓ ↓H␈εβ2␈↓ ↓X␈ε	x␈↓ ↓}␈εβ+␈απ2␈↓ α7␈ε	x␈↓ α\␈ε↔␈␈↓ β¬␈ε	x␈↓ β≡␈εβ+␈αλ3␈α␈,␈αo␈α}v␈α␈er␈αth␈α␈e␈αin␈α␈teg␈α␈ers.
␈β
6␈↓ π>␈εε6␈↓ λλ␈εε5␈↓ λb␈εε4␈↓ 	<␈εε3␈↓ 
⊗␈εε2
␈β
:␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβ[␈ε	15␈↓ α;␈εβ]␈α⊗What␈α	is␈α	the␈α	grea␈α␈test␈α	com␈α␈mon␈α	d␈α␈ivisor␈α	of␈α	3␈↓ π-␈ε	x␈↓ πP␈εβ+␈↓ πv␈ε	x␈↓ λ→␈εβ+␈αε4␈↓ λQ␈ε	x␈↓ λt␈εβ+␈α¬4␈↓ 	+␈ε	x␈↓ 	N␈εβ+␈α¬3␈↓ 
¬␈ε	x␈↓ 
(␈εβ+␈α¬4␈↓ 
←␈ε	x␈↓ 
u␈εβ+␈αε2
␈β
↑␈↓ βj␈εε6␈↓ ∧I␈εε5␈↓ ¬'␈εε4␈↓ εε␈εε3␈↓ εe␈εε2
␈β
b␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
i␈α↓ts␈α\␈α␈rev␈α␈e␈α␈rse"␈α2␈↓ βY␈ε	x␈↓ β}␈εβ+␈αλ4␈↓ ∧7␈ε	x␈↓ ∧]␈εβ+␈απ3␈↓ ¬⊗␈ε	x␈↓ ¬;␈εβ+␈αλ4␈↓ ¬u␈ε	x␈↓ ε~␈εβ+␈αλ4␈↓ εS␈ε	x␈↓ εy␈εβ+␈↓ π!␈ε	x␈↓ π:␈εβ+␈αλ3,␈αmo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈α
7?
␈β∞∨␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∞#␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗S␈α␈ho␈α␈w␈αλth␈α␈at␈αλEu␈α␈cli␈α↓d␈α␈'s␈αλalgorith␈α␈m␈αλfor␈αλp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈αλo␈α}v␈α␈er␈αλa␈απ|eld␈↓ 	)␈ε	S␈↓ 	F␈εβca␈α␈n␈αλb␈α␈e␈αλex␈α␈tend␈α␈ed
␈β∞K␈↓ ↓H␈εβto␈α
|n␈α␈d␈αp␈α␈olyn␈α␈omials␈↓ βl␈ε	U␈↓ ∧π␈εβ(␈↓ ∧∩␈ε	x␈↓ ∧$␈εβ)␈αa␈α␈nd␈↓ ∧{␈ε	V␈↓ ¬∩␈εβ(␈↓ ¬≥␈ε	x␈↓ ¬/␈εβ)␈αo␈α␈v␈α}er␈↓ ε
␈ε	S␈↓ ε-␈εβsu␈α␈ch␈αt␈α␈hat
␈β∂"␈↓ π.␈εα(␈↓ λ=␈εα)
␈β∂%␈↓ ∧!␈ε	u␈↓ ∧6␈εβ(␈↓ ∧A␈ε	x␈↓ ∧R␈εβ)␈↓ ∧]␈ε	V␈↓ ∧u␈εβ(␈↓ ¬␈ε	x␈↓ ¬⊃␈εβ)␈αλ+␈↓ ¬M␈ε	U␈↓ ¬h␈εβ(␈↓ ¬s␈ε	x␈↓ ε∧␈εβ)␈↓ ε∂␈ε	v␈↓ ε!␈εβ(␈↓ ε,␈ε	x␈↓ ε=␈εβ)␈α
=␈↓ ε|␈εβgcd␈↓ π:␈ε	u␈↓ πN␈εβ(␈↓ πY␈ε	x␈↓ πk␈εβ),␈↓ λ∧␈ε	v␈↓ λ⊗␈εβ(␈↓ λ!␈ε	x␈↓ λ2␈εβ)␈↓ λI␈εβ.
␈β⊂␈↓ ↓H␈εβ(Cf.␈αλAlgor␈α␈i␈α↓th␈α␈m␈αλ4␈α␈.␈α↓5␈α␈.␈α↓2␈α␈X.␈α↓)␈α⊃Wh␈α␈at␈αλare␈απthe␈απdeg␈α␈rees␈αλo␈α␈f␈α	t␈α␈he␈αλp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈↓ λl␈ε	U␈↓ 	π␈εβ(␈↓ 	∩␈ε	x␈↓ 	#␈εβ)␈αλan␈α␈d␈↓ 	t␈ε	V␈↓ 
␈εβ(␈↓ 
↔␈ε	x␈↓ 
(␈εβ)␈αλtha␈α␈t␈αλare
␈β⊂'␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omp␈α␈uted␈α
b␈α␈y␈αt␈α␈his␈αex␈α␈ten␈α␈ded␈α
alg␈α␈orithm?␈α
P␈α↓ro␈α}v␈α␈e␈αt␈α␈hat␈α
i␈α↓f␈↓ πF␈ε	S␈↓ πe␈εβi␈α↓s␈α
the␈α
|eld␈α
of␈αr␈α␈ation␈α␈al␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ers,
␈β⊂K␈↓ β!␈εm␈↓ ¬1␈εn
␈β⊂O␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈αεi␈α↓f␈↓ α ␈ε	u␈↓ α4␈εβ(␈↓ α?␈ε	x␈↓ αQ␈εβ)␈α	=␈↓ β∂␈ε	x␈↓ β:␈ε↔␈␈εβ␈αβ1␈απa␈α␈nd␈↓ ∧2␈ε	v␈↓ ∧D␈εβ(␈↓ ∧O␈ε	x␈↓ ∧`␈εβ)␈α
=␈↓ ¬∨␈ε	x␈↓ ¬C␈ε↔␈␈εβ␈αβ1␈α␈,␈αλthen␈αεthe␈απex␈α␈ten␈α␈ded␈αεalgor␈α␈i␈α↓th␈α␈m␈απyield␈α␈s␈αλp␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈ls
␈β⊂r␈↓ 
→␈εε2␈α␈1
␈β⊂w␈↓ ↓H␈ε	U␈↓ ↓c␈εβ(␈↓ ↓n␈ε	x␈↓ ↓␈␈εβ)␈α
a␈α␈nd␈↓ αR␈ε	V␈↓ αj␈εβ(␈↓ αu␈ε	x␈↓ βπ␈εβ)␈α	h␈α␈avin␈α␈g␈ε⊂␈α	in␈α␈teg␈α␈er␈εβ␈α	coe␈α␈}cien␈α␈ts.␈α
Fi␈α↓n␈α␈d␈↓ εp␈ε	U␈↓ π␈εβ(␈↓ π⊗␈ε	x␈↓ π(␈εβ)␈α	a␈α␈nd␈↓ π{␈ε	V␈↓ λ∩␈εβ(␈↓ λ≥␈ε	x␈↓ λ/␈εβ)␈α	whe␈α␈n␈↓ 	_␈ε	u␈↓ 	,␈εβ(␈↓ 	7␈ε	x␈↓ 	I␈εβ)␈α	=␈↓ 
π␈ε	x␈↓ 
7␈ε↔␈␈εβ␈α¬1␈α	a␈α␈nd
␈β⊃~␈↓ αF␈εε1␈α␈3
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓Y␈εβ(␈↓ ↓d␈ε	x␈↓ ↓u␈εβ)␈α
=␈↓ α4␈ε	x␈↓ αf␈ε↔␈␈εβ␈αλ1.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.1␈ε∞␈↓ π:DIV␈α␈ISION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα405
␈βα&␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βα*␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβ[␈ε	M30␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β2␈ε	p␈↓ βL␈εβbe␈α	p␈α␈ri␈α↓m␈α␈e,␈α
an␈α␈d␈α	su␈α␈pp␈α␈ose␈α	th␈α␈at␈α	E␈α↓u␈α␈clid's␈α	algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈α	ap␈α␈plied␈α	to␈α	th␈α␈e␈α	po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈-
␈βαR␈↓ ↓H␈εβm␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈↓ α≤␈ε	u␈↓ α0␈εβ(␈↓ α;␈ε	x␈↓ αL␈εβ)␈α	a␈α␈nd␈↓ β≡␈ε	v␈↓ β/␈εβ(␈↓ β:␈ε	x␈↓ βL␈εβ)␈αλmo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ ∧S␈ε	p␈↓ ∧l␈εβy␈α␈i␈α↓e␈α␈l␈α↓d␈α␈s␈αλa␈αλsequ␈α␈enc␈α␈e␈α	o␈α␈f␈α	p␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈αλh␈α␈avin␈α␈g␈αλresp␈α␈ectiv␈α␈e␈αλd␈α␈egree␈α␈s
␈βαy␈↓ ↓H␈ε	m␈↓ ↓e␈εβ,␈↓ ↓v␈ε	n␈↓ α
␈εβ,␈↓ α~␈ε	n␈↓ α:␈εβ,␈↓ αK␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ αw␈εβ,␈↓ βλ␈ε	n␈↓ β%␈εβ,␈ε↔␈αλ␈1␈εβ,␈αλwh␈α␈ere␈↓ ∧e␈ε	m␈↓ ¬␈εβ=␈↓ ¬6␈εβd␈α␈eg␈↓ ¬h␈εβ(␈↓ ¬s␈ε	u␈↓ επ␈εβ),␈↓ ε#␈ε	n␈↓ ε@␈εβ=␈↓ εj␈εβdeg␈↓ π≤␈εβ(␈↓ π'␈ε	v␈↓ π9␈εβ),␈αλa␈α␈nd␈↓ λ⊃␈ε	n␈↓ λ7␈ε↔∃␈εβ␈α	0.␈α
Assu␈α␈me␈αεthat␈↓ 
>␈ε	m␈↓ 
e␈ε↔∃␈↓ ∂␈ε	n␈↓ #␈εβ.
␈ββ∧␈↓ α.␈εε1␈↓ β≠␈εt␈↓ λ$␈εt
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβIf␈↓ ↓e␈ε	u␈↓ ↓y␈εβ(␈↓ α∧␈ε	x␈↓ α⊗␈εβ)␈απan␈α␈d␈↓ αe␈ε	v␈↓ αw␈εβ(␈↓ βα␈ε	x␈↓ β∪␈εβ)␈αλa␈α␈re␈αλm␈α␈onic␈απpo␈α␈lyn␈α␈omials,␈αλi␈α↓n␈α␈de␈α␈pen␈α␈den␈α}tly␈απan␈α␈d␈απun␈α␈i␈α↓fo␈α␈rmly␈απdistribu␈α␈ted␈απo␈α␈v␈α}er␈απall
␈ββD␈↓ α⊃␈εm␈↓ α(␈εε+␈↓ αB␈εn
␈ββI␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈↓ α␈ε	p␈↓ α\␈εβpa␈α␈i␈α↓rs␈α
o␈α␈f␈αmo␈α␈nic␈α
po␈α␈lyn␈α␈omials␈α
ha␈α␈ving␈α
r␈α␈espec␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈α
de␈α␈grees␈↓ λf␈ε	m␈↓ 	
␈εβand␈↓ 	M␈ε	n␈↓ 	a␈εβ,␈αwha␈α␈t␈αa␈α␈re␈α
the
␈ββp␈↓ ↓H␈εβa␈α␈v␈α␈era␈α␈ge␈α	v␈α␈alues␈α	o␈α␈f␈α
th␈α␈e␈α	thre␈α␈e␈α	qua␈α␈n␈α␈tities␈↓ ¬i␈ε	t␈↓ ¬u␈εβ,␈↓ ελ␈ε	n␈↓ ε,␈εβ+␈↓ εS␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ε}␈εβ+␈↓ π%␈ε	n␈↓ πA␈εβ,␈α
(␈↓ π←␈ε	n␈↓ πx␈ε↔␈␈↓ λ≡␈ε	n␈↓ λ>␈εβ)␈↓ λI␈ε	n␈↓ λn␈εβ+␈↓ 	∀␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	@␈εβ+␈α¬(␈↓ 	q␈ε	n␈↓ 
8␈ε↔␈␈↓ 
←␈ε	n␈↓ 
{␈εβ)␈↓ ε␈ε	n␈↓ #␈εβ,
␈ββ{␈↓ ε≠␈εε1␈↓ π8␈εt␈↓ λ1␈εε1␈↓ λ\␈εε1␈↓ 
∧␈εt␈↓ 
∞␈ε~␈␈εε1␈↓ 
r␈εt␈↓ ~␈εt
␈β∧_␈↓ ↓H␈εβa␈α␈s␈α∞fun␈α␈ction␈α␈s␈α∞o␈α␈f␈↓ β/␈ε	m␈↓ βL␈εβ,␈↓ β[␈ε	n␈↓ βo␈εβ,␈α∂an␈α␈d␈↓ ∧J␈ε	p␈↓ ∧[␈εβ?␈α≡(These␈α
thre␈α␈e␈α∞qu␈α␈an␈α}titi␈α↓e␈α␈s␈α∞are␈α
the␈α
fun␈α␈da␈α␈men␈α}tal␈α∞fact␈α␈ors␈α∞in
␈β∧?␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α∂run␈α␈nin␈α␈g␈α⊂t␈α␈i␈α↓m␈α␈e␈α⊂o␈α␈f␈α⊂Eu␈α␈cl␈α↓id␈α␈'␈α↓s␈α∂alg␈α␈orithm␈α∂a␈α␈pp␈α␈l␈α↓ied␈α∂to␈α∂p␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈α∂mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ 	⎇␈ε	p␈↓ 
∞␈εβ,␈α⊂assu␈α␈ming
␈β∧g␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈α
division␈α
is␈α
don␈α␈e␈α
by␈α
Algorith␈α␈m␈α∞D␈α␈.␈α↓)␈α≡[␈ε⊂Hin␈α␈t:␈εβ␈α⊂Sh␈α␈o␈α␈w␈α∞t␈α␈hat␈↓ λ.␈ε	u␈↓ λB␈εβ(␈↓ λM␈ε	x␈↓ λ←␈εβ)␈↓ λo␈εβmod␈↓ 	4␈ε	v␈↓ 	E␈εβ(␈↓ 	P␈ε	x␈↓ 	b␈εβ)␈α
is␈α∞u␈α␈niformly
␈β¬∂␈↓ ↓H␈εβd␈α␈istribu␈α␈ted␈αa␈α␈nd␈αin␈α␈dep␈α␈en␈α␈den␈α}t␈αof␈↓ ¬∃␈ε	v␈↓ ¬'␈εβ(␈↓ ¬2␈ε	x␈↓ ¬C␈εβ).]
␈β¬I␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβ[␈ε	M22␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Wha␈α␈t␈α∂is␈α∂the␈α∂p␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈α∞that␈↓ ε6␈ε	u␈↓ εJ␈εβ(␈↓ εU␈ε	x␈↓ εf␈εβ)␈α∂an␈α␈d␈↓ πE␈ε	v␈↓ πV␈εβ(␈↓ πa␈ε	x␈↓ πs␈εβ)␈α∂a␈α␈re␈α∂relativ␈α}ely␈α∂p␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈α∂mod␈α␈ulo
␈β¬p␈↓ ↓H␈ε	p␈↓ ↓Y␈εβ,␈αif␈↓ α∞␈ε	u␈↓ α"␈εβ(␈↓ α-␈ε	x␈↓ α?␈εβ)␈αa␈α␈nd␈↓ β↔␈ε	v␈↓ β)␈εβ(␈↓ β4␈ε	x␈↓ βE␈εβ)␈αare␈αin␈α␈dep␈α␈en␈α␈den␈α}tl␈α↓y␈αan␈α␈d␈αu␈α␈nifor␈α␈mly␈αd␈α␈i␈α↓strib␈α␈uted␈αmo␈α␈nic␈αp␈α␈olyn␈α␈omials␈αo␈α␈f
␈βε_␈↓ ↓H␈εβd␈α␈egre␈α␈e␈↓ α/␈ε	n␈↓ αC␈εβ?
␈βεR␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβ[␈ε	M23␈↓ αX␈εβ]␈α⊗We␈αhav␈α}e␈α
s␈α␈een␈αtha␈α␈t␈α
Eu␈α␈cli␈α↓d␈α␈'s␈α
Algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈α4.5.2A␈αf␈α↓o␈α␈r␈α
in␈α␈t␈α␈egers␈αcan␈αb␈α␈e␈αdirectly
␈βεz␈↓ ↓H␈εβa␈α␈da␈α␈pted␈α¬to␈αεa␈α␈n␈αεa␈α␈lgorith␈α␈m␈αεfor␈αεth␈α␈e␈αεg␈α␈reatest␈α¬comm␈α␈on␈α¬diviso␈α␈r␈αεof␈αεp␈α␈olyn␈α␈omials.␈α	Can␈α¬the␈α¬\bin␈α␈ary
␈βπ!␈↓ ↓H␈εβg␈α␈cd␈α∞a␈α␈lgorith␈α␈m,"␈α∂Algo␈α␈rithm␈α∞4␈α␈.␈α↓5␈α␈.2B␈↓ ¬9␈εβ,␈α∂be␈α
ada␈α␈pte␈α␈d␈α∞in␈α∞a␈α␈n␈α∞a␈α␈na␈α␈l␈α↓o␈α␈gou␈α␈s␈α∞way␈α
to␈α∞a␈α␈n␈α∞a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm
␈βπI␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈αa␈α␈pp␈α␈l␈α↓ies␈αto␈α
poly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈ls?
␈βλβ␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβ[␈ε	M10␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Wha␈α␈t␈αλare␈αλth␈α␈e␈αλu␈α␈nits␈αλin␈αλth␈α␈e␈αλdo␈α␈main␈αλo␈α␈f␈αλall␈α	p␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈αλo␈α}v␈α␈er␈αλa␈απun␈α␈i␈α↓q␈α␈ue␈αλfa␈α␈ctoriza␈α␈-
␈βλ+␈↓ ↓H␈εβtio␈α␈n␈αdo␈α␈main␈↓ βα␈ε	S␈↓ β↔␈εβ?
␈βλa␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βλe␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβ[␈ε	M22␈↓ αX␈εβ]␈α⊗S␈α␈ho␈α␈w␈αtha␈α␈t␈α
if␈α
a␈αpo␈α␈lyn␈α␈omial␈α
with␈αin␈α␈teg␈α␈er␈α
c␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈ts␈α
is␈αi␈α↓rre␈α␈du␈α␈cible␈α
o␈α}v␈α␈er␈αthe
␈β	
␈↓ ↓H␈εβd␈α␈oma␈α␈in␈αof␈αin␈α}tegers,␈αit␈αis␈αi␈α↓rr␈α␈edu␈α␈cible␈αwh␈α␈en␈αc␈α␈onsid␈α␈ered␈αas␈αa␈αp␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈αo␈α␈v␈α␈er␈αthe␈α|␈α␈eld␈αo␈α␈f
␈β	4␈↓ ↓H␈εβra␈α␈tiona␈α␈l␈αn␈α}um␈α}bers.
␈β	o␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β9␈ε	u␈↓ βM␈εβ(␈↓ βX␈ε	x␈↓ βi␈εβ)␈α⊃a␈α␈nd␈↓ ∧J␈ε	v␈↓ ∧\␈εβ(␈↓ ∧g␈ε	x␈↓ ∧x␈εβ)␈α⊂be␈α⊂p␈α␈rimiti␈α↓v␈α}e␈α⊂po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials␈α⊂o␈α␈v␈α}er␈α⊂a␈α⊂u␈α␈niqu␈α␈e␈α⊂facto␈α␈ri␈α↓z␈α␈ation
␈β
⊗␈↓ ↓H␈εβd␈α␈oma␈α␈in␈↓ α?␈ε	S␈↓ αS␈εβ.␈α∞Pro␈α␈v␈α}e␈αth␈α␈at␈↓ ∧⊂␈ε	u␈↓ ∧$␈εβ(␈↓ ∧/␈ε	x␈↓ ∧@␈εβ)␈αan␈α␈d␈↓ ¬_␈ε	v␈↓ ¬*␈εβ(␈↓ ¬5␈ε	x␈↓ ¬F␈εβ)␈αare␈αrelativ␈α␈ely␈αprime␈αif␈αan␈α␈d␈αo␈α␈nly␈αi␈α↓f␈αthere␈αare␈αpoly␈α␈-
␈β
>␈↓ ↓H␈εβn␈α␈omia␈α␈l␈α↓s␈↓ αA␈ε	U␈↓ α\␈εβ(␈↓ αg␈ε	x␈↓ αy␈εβ)␈αa␈α␈nd␈↓ βO␈ε	V␈↓ βg␈εβ(␈↓ βr␈ε	x␈↓ ∧β␈εβ)␈αo␈α}v␈α␈er␈↓ ∧`␈ε	S␈↓ ∧␈␈εβsuch␈α
th␈α␈at␈↓ ε∩␈ε	u␈↓ ε&␈εβ(␈↓ ε1␈ε	x␈↓ εC␈εβ)␈↓ εN␈ε	V␈↓ εf␈εβ(␈↓ εq␈ε	x␈↓ πα␈εβ)␈απ+␈↓ π<␈ε	U␈↓ πW␈εβ(␈↓ πb␈ε	x␈↓ πt␈εβ)␈↓ π␈␈ε	v␈↓ λ⊂␈εβ(␈↓ λ≠␈ε	x␈↓ λ,␈εβ)␈αis␈αa␈α
po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈αo␈α␈f␈αd␈α␈egree
␈β
e␈↓ ↓H␈εβz␈α␈ero.␈α→[␈ε⊂␈α↓Hin␈α}t:␈εβ␈αEx␈α␈tend␈α
Al␈α↓g␈α␈orithm␈α
E␈↓ ¬-␈εβ,␈αas␈αAlgo␈α␈rithm␈α4␈α␈.␈α↓5␈α␈.␈α↓2␈α␈E␈αi␈α↓s␈αex␈α␈ten␈α␈ded␈α
in␈αex␈α}ercise␈α3.]
␈β ␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβ[␈ε	M28␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈απt␈α␈hat␈αεth␈α␈e␈αεpoly␈α␈no␈α␈mials␈απo␈α}v␈α␈er␈αεa␈αεu␈α␈niqu␈α␈e␈αεf␈α↓a␈α␈ctoriza␈α␈tion␈αεd␈α␈oma␈α␈i␈α↓n␈αεfo␈α␈rm␈αεa␈αεun␈α␈ique
␈βG␈↓ ↓H␈εβfa␈α␈ctoriza␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αdo␈α␈main.␈α~[␈ε⊂Hin␈α␈t:␈εβ␈αUse␈αth␈α␈e␈αre␈α␈sult␈αof␈αe␈α␈x␈α␈ercise␈α9␈αto␈αhe␈α␈l␈α↓p␈αsh␈α␈o␈α␈w␈αtha␈α␈t␈αth␈α␈ere␈αis␈αa␈α␈t
␈βo␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ost␈αon␈α␈e␈αkin␈α␈d␈αof␈αfac␈α␈torizatio␈α␈n␈αpo␈α␈ssible.]
␈β)␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβ[␈ε	M22␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Wha␈α␈t␈α	ro␈α␈w␈α	n␈α␈am␈α␈es␈α	w␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈αλh␈α␈av␈α␈e␈αλap␈α␈pea␈α␈red␈αλi␈α↓n␈αλTab␈α␈le␈α	1␈α	if␈α	th␈α␈e␈α	seq␈α␈ue␈α␈nce␈αλof␈α	d␈α␈egree␈α␈s
␈βQ␈↓ ↓H␈εβh␈α␈ad␈α
bee␈α␈n␈α9,␈α6,␈α5,␈α2,␈ε↔␈α␈1␈εβ␈αins␈α␈tead␈α
of␈α8,␈α6,␈α4,␈α2,␈α1,␈α0?
␈β
π␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β
␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβ[␈ε	M24␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β4␈ε	u␈↓ βT␈εβ(␈↓ β←␈ε	x␈↓ βp␈εβ),␈↓ ∧∂␈ε	u␈↓ ∧/␈εβ(␈↓ ∧:␈ε	x␈↓ ∧L␈εβ),␈↓ ∧k␈ε	u␈↓ ¬␈εβ(␈↓ ¬⊗␈ε	x␈↓ ¬'␈εβ),␈↓ ¬G␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬y␈εβb␈α␈e␈αa␈αseq␈α␈ue␈α␈nce␈αo␈α␈f␈αp␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈ls␈αobta␈α␈ined␈α
du␈α␈ri␈α↓n␈α␈g␈αa
␈β
⊗␈↓ βG␈εε1␈↓ ∧#␈εε2␈↓ ∧}␈εε3
␈β
3␈↓ ↓H␈εβru␈α␈n␈αλof␈α	Algorith␈α␈m␈α	C.␈α∪\S␈α␈ylv␈α␈e␈α␈ster's␈α	mat␈α␈ri␈α↓x␈α␈"␈α	is␈α	th␈α␈e␈α	sq␈α␈ua␈α␈re␈α	ma␈α␈tri␈α↓x␈αλform␈α␈ed␈αλf␈α↓ro␈α␈m␈α	ro␈α}ws␈↓ 
V␈ε	A
␈β
=␈↓ 
k␈εn␈↓ π␈ε~␈␈εε1
␈β
E␈↓ 
{␈επ2
␈β
Z␈↓ ↓H␈εβth␈α␈rou␈α␈gh␈↓ αF␈ε	A␈↓ αt␈εβand␈↓ β6␈ε	B␈↓ ∧↔␈εβth␈α␈rou␈α␈gh␈↓ ¬⊗␈ε	B␈↓ ¬B␈εβ(in␈αa␈αn␈α␈ota␈α␈tion␈αa␈α␈nalo␈α␈gou␈α␈s␈αto␈αth␈α␈at␈αof␈αTab␈α␈l␈α↓e␈α1).␈α∂S␈α␈ho␈α}w
␈β
e␈↓ α\␈εε0␈↓ βJ␈εn␈↓ βe␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬)␈εε0
␈β
m␈↓ βZ␈επ1
␈β∞α␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈αif␈↓ α/␈ε	u␈↓ αO␈εβ(␈↓ αZ␈ε	x␈↓ αk␈εβ)␈αand␈↓ βB␈ε	u␈↓ βb␈εβ(␈↓ βm␈ε	x␈↓ β}␈εβ)␈αh␈α␈av␈α}e␈αa␈αco␈α␈mmo␈α␈n␈αfac␈α␈tor␈αof␈αp␈α␈ositiv␈α␈e␈αd␈α␈egree␈α␈,␈αth␈α␈en␈α
the␈αd␈α␈etermin␈α␈an␈α}t
␈β∞␈↓ αB␈εε1␈↓ βU␈εε2
␈β∞)␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αSy␈α␈lv␈α␈ester's␈αm␈α␈atrix␈α
i␈α↓s␈αz␈α␈ero;␈αco␈α␈n␈α␈v␈α␈e␈α␈rsely,␈αgiv␈α}en␈αth␈α␈at␈α
deg␈α␈(␈↓ πx␈ε	u␈↓ λ_␈εβ)␈α	=␈α
0␈α
for␈αso␈α␈me␈↓ 	y␈ε	k␈↓ 
	␈εβ,␈αsho␈α}w␈αtha␈α␈t
␈β∞4␈↓ λ␈εk
␈β∞Q␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
det␈α␈ermina␈α␈n␈α␈t␈α
of␈α
Sy␈α␈l␈α↓v␈α}ester's␈α
matr␈α␈i␈α↓x␈α
is␈α
no␈α␈nze␈α␈ro␈α
by␈α
d␈α␈erivin␈α␈g␈α
a␈α
form␈α␈u␈α␈l␈α↓a␈α
fo␈α␈r␈αits␈α
ab␈α␈solute
␈β∞y␈↓ ↓H␈εβv␈α␈alue␈α
i␈α↓n␈α
terms␈αo␈α␈f␈↓ βK␈ε	#␈↓ βX␈εβ(␈↓ βd␈ε	u␈↓ ∧β␈εβ)␈αan␈α␈d␈αd␈α␈eg(␈↓ ¬↔␈ε	u␈↓ ¬6␈εβ),␈α1␈ε↔␈α	∀␈↓ ε~␈ε	j␈↓ ε2␈ε↔∀␈↓ ε]␈ε	k␈↓ εm␈εβ.
␈β∂β␈↓ βw␈εj␈↓ ¬*␈εj
␈β∂0␈↓ 
⊃␈εα(␈↓  ␈εα)
␈β∂3␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβ[␈ε	M22␈↓ αX␈εβ]␈α⊗S␈α␈ho␈α␈w␈αth␈α␈at␈αth␈α␈e␈αlead␈α␈ing␈αc␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈t␈↓ εb␈ε	#␈↓ ε|␈εβof␈αth␈α␈e␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈i␈α↓tiv␈α}e␈αpa␈α␈rt␈αof␈↓ 	←␈εβgcd␈↓ 
≥␈ε	u␈↓ 
1␈εβ(␈↓ 
<␈ε	x␈↓ 
N␈εβ),␈↓ 
g␈ε	v␈↓ 
y␈εβ(␈↓ ∧␈ε	x␈↓ ∃␈εβ)
␈β∂Z␈↓ ↓H␈εβe␈α␈n␈α␈ters␈α	in␈α␈to␈α	Al␈α↓g␈α␈orith␈α␈m␈α
C's␈α	poly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α
seq␈α␈uen␈α␈ce␈α	as␈α
s␈α␈ho␈α␈wn␈α	in␈α	(29),␈α
wh␈α␈en␈↓ 	B␈ε	∞␈↓ 	d␈εβ=␈↓ 
∂␈ε	∞␈↓ 
0␈εβ=␈↓ 
[␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ␈εβ=
␈β∂e␈↓ 	N␈εε1␈↓ 
≠␈εε2
␈β⊂α␈↓ ↓H␈ε	∞␈↓ α⊂␈εβ=␈α	1.␈αW␈α↓h␈α␈at␈αis␈αthe␈αb␈α␈eh␈α␈avio␈α␈r␈αfo␈α␈r␈αgen␈α␈eral␈↓ εF␈ε	∞␈↓ ε↑␈εβ?
␈β⊂
␈↓ ↓T␈εk␈↓ ↓a␈ε~␈␈εε1␈↓ εR␈εj
␈β⊂<␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβ[␈ε	M29␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β/␈ε	r␈↓ β>␈εβ(␈↓ βI␈ε	x␈↓ βZ␈εβ)␈αεbe␈αεth␈α␈e␈αεpse␈α␈ud␈α␈o-rema␈α␈i␈α↓n␈α␈de␈α␈r␈αεof␈↓ εp␈ε	u␈↓ π∧␈εβ(␈↓ π∂␈ε	x␈↓ π!␈εβ)␈αεpse␈α␈ud␈α␈o-div␈α␈i␈α↓d␈α␈ed␈αεb␈α␈y␈↓ 	>␈ε	v␈↓ 	O␈εβ(␈↓ 	Z␈ε	x␈↓ 	l␈εβ).␈α	If␈↓ 
&␈εβd␈α␈eg␈↓ 
X␈εβ(␈↓ 
c␈ε	u␈↓ 
w␈εβ)␈ε↔␈α	∃
␈β⊂d␈↓ ↓H␈εβd␈α␈eg␈↓ ↓z␈εβ(␈↓ α¬␈ε	v␈↓ α⊗␈εβ)␈αλ+␈απ2␈αan␈α␈d␈↓ β.␈εβd␈α␈eg␈↓ β`␈εβ(␈↓ βk␈ε	v␈↓ β|␈εβ)␈ε↔␈α
∃␈↓ ∧;␈εβde␈α␈g␈↓ ∧m␈εβ(␈↓ ∧x␈ε	r␈↓ ¬π␈εβ)␈απ+␈αλ2,␈αsh␈α␈o␈α␈w␈αtha␈α␈t␈↓ π↓␈ε	r␈↓ π⊂␈εβ(␈↓ π≠␈ε	x␈↓ π,␈εβ)␈αis␈αa␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈le␈αof␈↓ 	)␈ε	#␈↓ 	7␈εβ(␈↓ 	B␈ε	v␈↓ 	S␈εβ).
␈β⊃~␈↓ 
?␈εT
␈β⊃≡␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβ[␈ε	M26␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈αHada␈α␈mard␈α␈'s␈αi␈α↓n␈α␈equ␈α␈ality␈α(2␈α␈5).␈α~[␈ε⊂Hin␈α␈t:␈εβ␈αCon␈α␈sider␈αth␈α␈e␈αma␈α␈tri␈α↓x␈↓ 
∩␈ε	A␈↓ 
(␈ε	A␈↓ 
Q␈εβ.]
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα406␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.1
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈22␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Let␈↓ βL␈ε	f␈↓ β[␈εβ(␈↓ βg␈ε	x␈↓ ∧β␈εβ,␈↓ ∧⊃␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧>␈εβ,␈↓ ∧M␈ε	x␈↓ ∧l␈εβ)␈α∞b␈α␈e␈α∞a␈α
m␈α␈u␈α␈l␈α↓tiv␈α␈ariate␈α
po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈α∞with␈α
real␈α
coe}␈α␈cien␈α␈ts␈α
no␈α␈t
␈βα5␈↓ βv␈εε1␈↓ ∧\␈εn
␈βαR␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓l␈αze␈α␈ro,␈αand␈αlet␈↓ β:␈ε	a␈↓ βm␈εβbe␈αthe␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αo␈α␈f␈αsolution␈α␈s␈αto␈αth␈α␈e␈αeq␈α␈ua␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈↓ λm␈ε	f␈↓ λ|␈εβ(␈↓ 	λ␈ε	x␈↓ 	$␈εβ,␈↓ 	2␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	←␈εβ,␈↓ 	n␈ε	x␈↓ 

␈εβ)␈α=␈α0␈αsu␈α␈ch
␈βα\␈↓ βI␈εN␈↓ 	↔␈εε1␈↓ 	⎇␈εn
␈βαy␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈ε↔␈αj␈↓ α→␈ε	x␈↓ α5␈ε↔j␈α
∀␈↓ αr␈ε	N␈↓ β⊃␈εβ,␈↓ β%␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βR␈εβ,␈ε↔␈αj␈↓ βo␈ε	x␈↓ ∧∂␈ε↔j␈α
∀␈↓ ∧L␈ε	N␈↓ ∧k␈εβ,␈αan␈α␈d␈αsuc␈α␈h␈αth␈α␈at␈αeac␈α␈h␈↓ π ␈ε	x␈↓ πG␈εβis␈αa␈α␈n␈αin␈α␈teg␈α␈er.␈αP␈α↓ro␈α}v␈α␈e␈αth␈α␈at
␈ββ∧␈↓ α(␈εε1␈↓ β␈␈εn␈↓ π/␈εj
␈ββE␈↓ π∩␈εn
␈ββK␈↓ ¬∩␈εβlim␈↓ ¬T␈ε	a␈↓ ¬{␈εβ/(2␈↓ ε'␈ε	N␈↓ εN␈εβ+␈απ1␈↓ ππ␈εβ)␈↓ π,␈εβ=␈α	0.
␈ββU␈↓ ¬c␈εN
␈ββk␈↓ ¬∧␈εN␈↓ ¬≤␈ε~!1
␈β∧M␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβ[␈ε	M32␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(␈ε⊂P.␈αM.␈αCoh␈α␈n's␈αa␈α␈lgorith␈α␈m␈αfor␈αdivision␈αof␈αst␈α␈ri␈α↓n␈α␈g␈αp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s.␈εβ)␈α~L␈α↓e␈α␈t␈↓ 
:␈ε	A␈↓ 
\␈εβbe␈αan
␈β∧t␈↓ ↓H␈εβ\␈α␈alph␈α␈ab␈α␈et,"␈α∞i.e.,␈α∞a␈α
set␈α
o␈α␈f␈α∞sy␈α␈m␈α␈b␈α␈ols.␈α≡A␈ε⊂␈α
strin␈α␈g␈↓ ε[␈ε	␈↓ ε{␈εβo␈α␈n␈↓ π+␈ε	A␈↓ πN␈εβis␈α∞a␈αsequ␈α␈enc␈α␈e␈α
of␈↓ 	C␈ε	n␈↓ 	d␈ε↔∃␈εβ␈α
0␈α
sy␈α␈m␈α␈b␈α␈ols,
␈β¬≤␈↓ ↓H␈ε	␈↓ ↓d␈εβ=␈↓ α⊂␈ε	a␈↓ α2␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ α↑␈ε	a␈↓ α}␈εβ,␈αwhere␈αeach␈↓ ∧A␈ε	a␈↓ ∧h␈εβi␈α↓s␈αi␈α↓n␈↓ ¬2␈ε	A␈↓ ¬H␈εβ.␈α∞Th␈α␈e␈αleng␈α␈th␈αo␈α␈f␈↓ π2␈ε	␈↓ πD␈εβ,␈α
d␈α␈eno␈α␈ted␈αby␈ε↔␈αj␈↓ 	∩␈ε	␈↓ 	%␈ε↔j␈εβ,␈αi␈α↓s␈αthe␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈↓ _␈ε	n
␈β¬%␈↓ λ8␈ε↓P
␈β¬&␈↓ α ␈εε1␈↓ αn␈εn␈↓ ∧Q␈εj
␈β¬C␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αsym␈α␈b␈α␈ols.␈α≠A␈ε⊂␈αstri␈α↓n␈α␈g␈αp␈α␈olyn␈α␈omia␈α␈l␈εβ␈α
o␈α␈n␈↓ ¬g␈ε	A␈↓ ε	␈εβis␈αa␈α|n␈α␈ite␈αsum␈↓ πe␈ε	U␈↓ λ␈εβ=␈↓ λp␈ε	r␈↓ 	∂␈ε	␈↓ 	.␈εβ,␈αwhe␈α␈re␈αeach␈↓ 
q␈ε	r␈↓ ⊗␈εβis
␈β¬N␈↓ λ|␈εk␈↓ 	 ␈εk␈↓ 
⎇␈εk
␈β¬V␈↓ λ↑␈εk
␈β¬k␈↓ ↓H␈εβa␈αn␈α␈onz␈α␈ero␈αration␈α␈al␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈α
a␈α␈nd␈αea␈α␈ch␈↓ ¬i␈ε	␈↓ ε∃␈εβis␈αa␈α
strin␈α␈g␈α
o␈α␈n␈↓ πd␈ε	A␈↓ π{␈εβ.␈α⊂Th␈α␈e␈ε⊂␈α
d␈α␈egre␈α␈e␈εβ␈α
o␈α␈f␈↓ 	k␈ε	U␈↓ 
ε␈εβ,␈α∞d␈α␈eg(␈↓ 
Z␈ε	U␈↓ 
u␈εβ),␈α
is
␈β¬v␈↓ ¬{␈εk
␈βε∪␈↓ ↓H␈εβd␈α␈e|␈α␈ned␈αto␈αb␈α␈e␈ε↔␈α
␈1␈εβ␈α
if␈↓ ∧∧␈ε	U␈↓ ∧*␈εβ=␈α0␈α(i␈α↓.e.,␈α
if␈α
th␈α␈e␈α
su␈α␈m␈αi␈α↓s␈αemp␈α␈ty␈α␈)␈α↓,␈α
o␈α␈therwise␈↓ 	→␈εβde␈α␈g␈↓ 	K␈εβ(␈↓ 	V␈ε	u␈↓ 	j␈εβ)␈α=␈↓ 
.␈εβm␈α␈ax␈↓ 
r␈ε↔j␈↓ 
{␈ε	␈↓ ~␈ε↔j␈εβ.
␈βε≥␈↓ 
␈εk
␈βε:␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈α∞sum␈α∞a␈α␈nd␈α
prod␈α␈uc␈α␈t␈α∞of␈α∞stri␈α↓n␈α␈g␈α∞p␈α␈olyn␈α␈omials␈α∞are␈α∞d␈α␈e|␈α␈ned␈α
i␈α↓n␈α
an␈α∞o␈α␈bv␈α␈i␈α↓o␈α␈us␈α∞ma␈α␈nn␈α␈er,␈α∂e.g.,
␈βεD␈↓ ↓S␈ε↓P␈↓ αV␈ε↓P␈↓ ∧∞␈ε↓P
␈βεb␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ α
␈ε	r␈↓ α"␈ε	␈↓ α@␈εβ)(␈↓ β∂␈ε	s␈↓ β'␈ε	␈␈↓ βE␈εβ)␈α∞=␈↓ ∧Z␈ε	r␈↓ ∧r␈ε	s␈↓ ¬
␈ε	␈↓ ¬(␈ε	␈␈↓ ¬E␈εβ,␈α⊂wh␈α␈ere␈α∞the␈α∞p␈α␈rod␈α␈uc␈α␈t␈α∂o␈α␈f␈α∂t␈α␈w␈α␈o␈α∞st␈α␈ri␈α↓n␈α␈gs␈α∞is␈α∞obta␈α␈ined␈α
by
␈βεl␈↓ α⊗␈εj␈↓ α4␈εj␈↓ β~␈εk␈↓ β8␈εk␈↓ ∧f␈εj␈↓ ∧⎇␈εk␈↓ ¬≤␈εj␈↓ ¬8␈εk
␈βεt␈↓ ↓y␈εj␈↓ α|␈εk␈↓ ∧4␈εj␈↓ ∧@␈εε,␈↓ ∧G␈εk
␈βπ∞␈↓ ↓H␈εβsimp␈α␈ly␈α
jux␈α␈tap␈α␈osing␈αthem␈α␈.␈α∩For␈α
e␈α␈xam␈α␈ple,␈α∞if␈↓ εB␈ε	A␈↓ εe␈εβ=␈ε↔␈α
f␈↓ π$␈ε	a␈↓ π4␈εβ,␈↓ πC␈ε	b␈↓ πP␈ε↔g␈εβ,␈↓ πx␈ε	U␈↓ λ∨␈εβ=␈↓ λM␈ε	a␈↓ λ↑␈ε	b␈↓ λt␈εβ+␈↓ 	≡␈ε	b␈↓ 	+␈ε	a␈↓ 	D␈ε↔␈␈εβ␈α	2␈↓ 	␈␈ε	a␈↓ 
_␈ε↔␈␈εβ␈α	2␈↓ 
S␈ε	b␈↓ 
`␈εβ,␈α∞a␈α␈nd
␈βπ1␈↓ πλ␈εε2
␈βπ5␈↓ ↓H␈ε	V␈↓ ↓i␈εβ=␈↓ α∪␈ε	a␈↓ α*␈εβ+␈↓ αR␈ε	b␈↓ αe␈ε↔␈␈εβ␈απ1,␈α
then␈α
d␈α␈eg(␈↓ ∧:␈ε	U␈↓ ∧U␈εβ)␈α	=␈α
2␈α␈,␈αde␈α␈g(␈↓ ¬u␈ε	V␈↓ ε
␈εβ)␈α	=␈α
1␈α␈,␈↓ εp␈ε	V␈↓ π≡␈εβ=␈↓ πH␈ε	a␈↓ πY␈ε	a␈↓ πp␈εβ+␈↓ λ↔␈ε	a␈↓ λ(␈ε	b␈↓ λ;␈εβ+␈↓ λc␈ε	b␈↓ λp␈ε	a␈↓ 	π␈εβ+␈↓ 	/␈ε	b␈↓ 	<␈ε	b␈↓ 	P␈ε↔␈␈εβ␈αε2␈↓ 
λ␈ε	a␈↓ 
∨␈ε↔␈␈εβ␈απ2␈↓ 
W␈ε	b␈↓ 
k␈εβ+␈απ1␈α␈,
␈βπY␈↓ α∨␈εε2
␈βπ]␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ αλ␈ε	V␈↓ α2␈ε↔␈␈↓ αZ␈ε	U␈↓ α␈␈εβ=␈↓ β)␈ε	a␈↓ β:␈ε	a␈↓ βP␈εβ+␈↓ βx␈ε	b␈↓ ∧¬␈ε	b␈↓ ∧→␈εβ+␈απ1␈α␈.␈αCl␈α↓e␈α␈arly,␈↓ ¬e␈εβd␈α␈eg␈↓ ε⊗␈εβ(␈↓ ε"␈ε	U␈↓ ε=␈ε	V␈↓ εU␈εβ)␈α	=␈↓ π∪␈εβdeg␈↓ πE␈εβ(␈↓ πQ␈ε	U␈↓ πl␈εβ)␈αε+␈↓ λ%␈εβd␈α␈eg␈↓ λW␈εβ(␈↓ λb␈ε	V␈↓ λz␈εβ),␈αa␈α␈nd␈↓ 	Y␈εβd␈α␈eg␈↓ 
␈εβ(␈↓ 
⊗␈ε	U␈↓ 
7␈εβ+␈↓ 
←␈ε	V␈↓ 
w␈εβ)␈ε↔␈α	∀
␈βλ↓␈↓ απ␈εα(␈↓ βe␈εα)
␈βλ∧␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ax␈↓ α∪␈εβd␈α␈eg␈↓ αD␈εβ(␈↓ αP␈ε	U␈↓ αk␈εβ),␈↓ β¬␈εβd␈α␈eg␈↓ β7␈εβ(␈↓ βB␈ε	V␈↓ βZ␈εβ)␈↓ βq␈εβ,␈αwith␈αequ␈α␈ality␈αin␈αthe␈αlatter␈αfo␈α␈rm␈α␈ula␈αi␈α↓f␈↓ λ+␈εβdeg␈↓ λ]␈εβ(␈↓ λh␈ε	U␈↓ 	∧␈εβ)␈ε↔␈α
≤␈↓ 	E␈εβd␈α␈eg␈↓ 	w␈εβ(␈↓ 
α␈ε	V␈↓ 
~␈εβ).␈α≠(S␈α␈tring
␈βλ,␈↓ ↓H␈εβp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈α∞m␈α␈ay␈α∞b␈α␈e␈α∞reg␈α␈ard␈α␈ed␈α∞a␈α␈s␈α∂o␈α␈rdin␈α␈ary␈α∞m␈α}ultiva␈α␈ri␈α↓a␈α␈te␈α∞po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials␈α∞o␈α␈v␈α}er␈α∞the␈α∞|␈α␈eld␈α∞o␈α␈f
␈βλT␈↓ ↓H␈εβra␈α␈tiona␈α␈l␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers,␈α
ex␈α␈ce␈α␈pt␈α
th␈α␈at␈α
the␈α
v␈α␈ariab␈α␈les␈α
are␈ε⊂␈α
n␈α␈ot␈α
com␈α␈m␈α␈uta␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈εβ␈α
un␈α␈de␈α␈r␈αm␈α}ultiplication␈α␈.
␈βλ{␈↓ ↓H␈εβIn␈αthe␈αcon␈α}v␈α␈en␈α}ti␈α↓o␈α␈na␈α␈l␈α
la␈α␈ngu␈α␈ag␈α␈e␈αof␈αp␈α␈ure␈αm␈α␈ath␈α␈ematics,␈αth␈α␈e␈αset␈αof␈αstr␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αp␈α␈olyn␈α␈omials␈αwith
␈β	#␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
op␈α␈era␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈α
d␈α␈e|n␈α␈ed␈αhere␈α
is␈α
th␈α␈e␈α
\free␈αassoc␈α␈i␈α↓a␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈α
alge␈α␈bra␈α␈"␈α
gen␈α␈era␈α␈ted␈α
b␈α␈y␈↓ 
⊃␈ε	A␈↓ 
4␈εβo␈α␈v␈α}er␈α
the
␈β	J␈↓ ↓H␈εβra␈α␈tiona␈α␈ls.␈α↓)
␈β
␈↓ ↓e␈εβa)␈↓ α␈εβLet␈↓ αN␈ε	Q␈↓ αp␈εβ,␈↓ β
␈ε	Q␈↓ β-␈εβ,␈↓ βG␈ε	U␈↓ βb␈εβ,␈↓ β|␈ε	V␈↓ ∧#␈εβbe␈α∂string␈α∂p␈α␈olyn␈α␈omials␈α∂wi␈α↓th␈↓ πE␈εβd␈α␈eg␈↓ πw␈εβ(␈↓ λα␈ε	U␈↓ λ≥␈εβ)␈ε↔␈α⊃∃␈↓ λj␈εβdeg␈↓ 	≤␈εβ(␈↓ 	(␈ε	V␈↓ 	?␈εβ)␈α⊂an␈α␈d␈α∂suc␈α␈h␈α∂tha␈α␈t
␈β

␈↓ αd␈εε1␈↓ β ␈εε2
␈β
'␈↓ α␈εβde␈α␈g␈↓ α>␈εβ(␈↓ αI␈ε	Q␈↓ αl␈ε	U␈↓ β⊂␈ε↔␈␈↓ β:␈ε	Q␈↓ β]␈ε	V␈↓ βu␈εβ)␈α
<␈↓ ∧;␈εβde␈α␈g␈↓ ∧m␈εβ(␈↓ ∧x␈ε	Q␈↓ ¬≠␈ε	U␈↓ ¬6␈εβ).␈α∩Gi␈α↓v␈α}e␈α
an␈α
a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α
to␈α
|␈α␈nd␈αa␈α
stri␈α↓n␈α␈g␈α
po␈α␈lyn␈α␈omial␈↓ ∀␈ε	Q
␈β
2␈↓ α←␈εε1␈↓ βP␈εε2␈↓ ¬∞␈εε1
␈β
L␈↓ ε;␈εα(
␈β
O␈↓ α␈εβsu␈α␈ch␈α∞tha␈α␈t␈↓ β'␈εβd␈α␈eg␈↓ βY␈εβ(␈↓ βd␈ε	U␈↓ ∧	␈ε↔␈␈↓ ∧4␈ε	Q␈↓ ∧L␈ε	V␈↓ ∧d␈εβ)␈α∂<␈↓ ¬.␈εβde␈α␈g␈↓ ¬`␈εβ(␈↓ ¬k␈ε	U␈↓ εε␈εβ).␈↓ εG␈εβTh␈α}us␈α∞if␈α∂w␈α␈e␈α∂a␈α␈re␈α∂g␈α␈iv␈α␈en␈↓ 	␈ε	U␈↓ 	6␈εβa␈α␈nd␈↓ 	z␈ε	V␈↓ 
 ␈εβsuc␈α␈h␈α∞tha␈α␈t
␈β
v␈↓ α␈ε	Q␈↓ α/␈ε	U␈↓ αX␈εβ=␈↓ βπ␈ε	Q␈↓ β)␈ε	V␈↓ βJ␈εβ+␈ε	␈α
R␈εβ␈α∞a␈α␈nd␈↓ ∧]␈εβde␈α␈g␈↓ ¬∂␈εβ(␈ε	R␈εβ)␈α∞<␈↓ ¬y␈εβde␈α␈g␈↓ ε+␈εβ(␈↓ ε6␈ε	Q␈↓ εY␈ε	U␈↓ εt␈εβ),␈α∂for␈α
some␈↓ λ#␈ε	Q␈↓ λT␈εβa␈α␈nd␈↓ 	↔␈ε	Q␈↓ 	:␈εβ,␈α∂th␈α␈en␈α
the␈α␈re␈α∞is␈α∞a
␈β↓␈↓ α"␈εε1␈↓ β≥␈εε2␈↓ εL␈εε1␈↓ λ9␈εε1␈↓ 	-␈εε2
␈β≠␈↓ εc␈εα)
␈β≡␈↓ α␈εβsolu␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αto␈αt␈α␈hese␈αc␈α␈ond␈α␈iti␈α↓o␈α␈ns␈αwith␈↓ ¬s␈ε	Q␈↓ ε∨␈εβ=␈α	1.
␈β)␈↓ ε	␈εε1
␈βF␈↓ ↓c␈εβb)␈↓ α␈εβGiv␈α␈en␈αth␈α␈at␈↓ β9␈ε	U␈↓ βa␈εβan␈α␈d␈↓ ∧#␈ε	V␈↓ ∧H␈εβare␈αstri␈α↓n␈α␈g␈α
p␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈αwi␈α↓th␈↓ πj␈εβd␈α␈eg␈↓ λ≤␈εβ(␈↓ λ'␈ε	V␈↓ λ?␈εβ)␈α>␈↓ 	∧␈εβd␈α␈eg␈↓ 	6␈εβ(␈↓ 	A␈ε	Q␈↓ 	d␈ε	U␈↓ 
π␈ε↔␈␈↓ 
1␈ε	Q␈↓ 
T␈ε	V␈↓ 
l␈εβ)␈α
fo␈α␈r
␈βQ␈↓ 	W␈εε1␈↓ 
G␈εε2
␈βn␈↓ α␈εβsom␈α␈e␈↓ α←␈ε	Q␈↓ β
␈εβan␈α␈d␈↓ βN␈ε	Q␈↓ βq␈εβ,␈αsho␈α␈w␈αth␈α␈at␈αth␈α␈e␈αresult␈αof␈α(a)␈αca␈α␈n␈αb␈α␈e␈αi␈α↓m␈α␈pro␈α␈v␈α}ed␈αto␈α
|n␈α␈d␈αa␈αqu␈α␈otien␈α}t␈↓ ∀␈ε	Q
␈βy␈↓ αv␈εε1␈↓ βd␈εε2
␈β∪␈↓ π%␈εα(
␈β⊗␈↓ α␈εβsu␈α␈ch␈α
t␈α␈hat␈↓ β#␈ε	U␈↓ βJ␈εβ=␈↓ βx␈ε	Q␈↓ ∧⊂␈ε	V␈↓ ∧0␈εβ+␈ε	␈α	R␈εβ,␈↓ ¬π␈εβdeg␈↓ ¬9␈εβ(␈ε	R␈εβ)␈α
<␈↓ ε ␈εβd␈α␈eg␈↓ εR␈εβ(␈↓ ε]␈ε	V␈↓ εu␈εβ).␈↓ π1␈εβThis␈α
is␈α
th␈α␈e␈α
a␈α␈na␈α␈l␈α↓o␈α␈g␈α
o␈α␈f␈α
(1)␈α
for␈αstring
␈β=␈↓ α␈εβpo␈α␈lyn␈α␈omials;␈α∞p␈α␈art␈α(a)␈α
sh␈α␈o␈α␈w␈α␈ed␈αtha␈α␈t␈α
w␈α␈e␈α
c␈α␈an␈αmak␈α}e␈↓ πW␈εβd␈α␈eg␈↓ λ	␈εβ(␈ε	R␈εβ)␈α<␈↓ λo␈εβd␈α␈eg␈↓ 	!␈εβ(␈↓ 	,␈ε	U␈↓ 	G␈εβ),␈α∞u␈α␈nd␈α␈er␈α
w␈α␈e␈α␈ak␈α␈e␈α␈r
␈βb␈↓ β3␈εα)
␈βe␈↓ α␈εβh␈α␈y␈α␈po␈α␈thes␈α␈es.
␈β

␈↓ ↓g␈εβc)␈↓ α␈εβA␈αλ\h␈α␈omo␈α␈gen␈α␈eou␈α␈s"␈αλpo␈α␈lyn␈α␈omial␈αλis␈αλone␈αλwh␈α␈ose␈αλte␈α␈rms␈αλall␈αλhav␈α}e␈αλthe␈απsame␈αλd␈α␈egre␈α␈e␈αλ(l␈α↓e␈α␈ngth␈α␈).
␈β
5␈↓ α␈εβIf␈↓ α3␈ε	U␈↓ αU␈εβ,␈↓ αq␈ε	U␈↓ β∪␈εβ,␈↓ β.␈ε	V␈↓ βM␈εβ,␈↓ βi␈ε	V␈↓ ∧→␈εβare␈α⊂hom␈α␈oge␈α␈neo␈α␈us␈α⊃strin␈α␈g␈α⊃po␈α␈lyn␈α␈omials␈α⊃with␈↓ 	≥␈ε	U␈↓ 	>␈ε	V␈↓ 	q␈εβ=␈↓ 
%␈ε	U␈↓ 
G␈ε	V␈↓ 
w␈εβa␈α␈nd
␈β
?␈↓ αH␈εε1␈↓ βε␈εε2␈↓ βA␈εε1␈↓ β|␈εε2␈↓ 	2␈εε1␈↓ 	Q␈εε1␈↓ 
:␈εε2␈↓ 
Y␈εε2
␈β
\␈↓ α␈εβde␈α␈g␈↓ α>␈εβ(␈↓ αI␈ε	V␈↓ αh␈εβ)␈ε↔␈α
∃␈↓ β/␈εβd␈α␈eg␈↓ βa␈εβ(␈↓ βl␈ε	V␈↓ ∧␈εβ),␈α∂sh␈α␈o␈α␈w␈α
tha␈α␈t␈α∞th␈α␈ere␈α
is␈α∞a␈α
ho␈α␈mog␈α␈ene␈α␈ou␈α␈s␈α∞string␈α
p␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈↓ 
C␈ε	U␈↓ 
l␈εβsu␈α␈ch
␈β
g␈↓ α\␈εε1␈↓ β␈␈εε2
␈β∞∧␈↓ α␈εβth␈α␈at␈↓ αT␈ε	U␈↓ α␈␈εβ=␈↓ β*␈ε	U␈↓ βL␈ε	U␈↓ βr␈εβan␈α␈d␈↓ ∧3␈ε	V␈↓ ∧[␈εβ=␈↓ ¬ε␈ε	U␈↓ ¬!␈ε	V␈↓ ¬@␈εβ.
␈β∞∞␈↓ αi␈εε2␈↓ β?␈εε1␈↓ ∧E␈εε1␈↓ ¬3␈εε2
␈β∞,␈↓ ↓c␈εβd)␈↓ α␈εβGiv␈α␈en␈αth␈α␈at␈↓ β7␈ε	U␈↓ β↑␈εβa␈α␈nd␈↓ ∧∨␈ε	V␈↓ ∧B␈εβare␈αh␈α␈om␈α␈ogen␈α␈eou␈α␈s␈αstrin␈α␈g␈αp␈α␈olyn␈α␈omia␈α␈l␈α↓s␈αwi␈α↓th␈↓ 	,␈ε	U␈↓ 	G␈ε	V␈↓ 	i␈εβ=␈↓ 
∃␈ε	V␈↓ 
-␈ε	U␈↓ 
H␈εβ,␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e
␈β∞P␈↓ 	v␈εm␈↓ ≤␈εn
␈β∞T␈↓ α␈εβth␈α␈at␈αth␈α␈ere␈α
i␈α↓s␈α
a␈αh␈α␈om␈α␈ogen␈α␈eo␈α␈us␈αs␈α␈tri␈α↓n␈α␈g␈α
poly␈α␈no␈α␈mial␈↓ π9␈ε	W␈↓ πe␈εβsu␈α␈ch␈α
tha␈α␈t␈↓ λx␈ε	U␈↓ 	≤␈εβ=␈↓ 	G␈ε	r␈↓ 	U␈ε	W␈↓ 
∞␈εβ,␈↓ 
"␈ε	V␈↓ 
C␈εβ=␈↓ 
m␈ε	s␈↓ 
{␈ε	W
␈β∞{␈↓ α␈εβfor␈αso␈α␈me␈αin␈α␈t␈α␈egers␈↓ ∧⊃␈ε	m␈↓ ∧.␈εβ,␈↓ ∧C␈ε	n␈↓ ∧c␈εβan␈α␈d␈αra␈α␈tiona␈α␈l␈αn␈α␈um␈α}bers␈↓ π'␈ε	r␈↓ π6␈εβ,␈↓ πK␈ε	s␈↓ πY␈εβ.␈α∞Giv␈α␈e␈αan␈αalgorith␈α␈m␈αto␈αcomp␈α␈ute
␈β∂#␈↓ α␈εβsu␈α␈ch␈α
a␈↓ αx␈ε	W␈↓ β'␈εβh␈α␈av␈α␈ing␈α
th␈α␈e␈α∞la␈α␈rgest␈α
po␈α␈ssible␈α
deg␈α␈ree.␈α≡(Th␈α␈is␈α∞a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α
is␈α
of␈α
i␈α↓n␈α}terest,␈α∞fo␈α␈r
␈β∂K␈↓ α␈εβex␈α␈amp␈α␈le,␈α⊂wh␈α␈en␈↓ βw␈ε	U␈↓ ∧!␈εβ=␈↓ ∧Q␈ε	␈↓ ∧r␈εβa␈α␈nd␈↓ ¬6␈ε	V␈↓ ¬\␈εβ=␈↓ ε
␈ε	␈␈↓ ε/␈εβare␈α∞string␈α␈s␈α∂sa␈α␈ti␈α↓sfy␈α␈ing␈↓ λr␈ε	␈↓ 	∧␈ε	␈␈↓ 	'␈εβ=␈↓ 	X␈ε	␈␈↓ 	l␈ε	␈↓ 	}␈εβ;␈α⊃th␈α␈en␈↓ 
g␈ε	W␈↓ ⊗␈εβis
␈β∂n␈↓ ¬l␈εm␈↓ π5␈εn
␈β∂r␈↓ α␈εβsimp␈α␈l␈α↓y␈αa␈α
strin␈α␈g␈↓ βw␈ε	␈
␈↓ ∧	␈εβ.␈α⊃When␈↓ ¬¬␈ε	U␈↓ ¬-␈εβ=␈↓ ¬Z␈ε	x␈↓ ε⊂␈εβa␈α␈nd␈↓ εR␈ε	V␈↓ εv␈εβ=␈↓ π$␈ε	x␈↓ πF␈εβ,␈α
the␈αsolution␈αof␈α
larg␈α␈est␈α
d␈α␈egree␈αis
␈β⊂⊗␈↓ αr␈εεgcd␈↓ β_␈εε(␈↓ β ␈εm␈↓ β8␈εε,␈↓ β?␈εn␈↓ βO␈εε)
␈β⊂~␈↓ α␈ε	W␈↓ α6␈εβ=␈↓ αa␈ε	x␈↓ βW␈εβ,␈αs␈α␈o␈αth␈α␈i␈α↓s␈α
algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈αin␈α␈clud␈α␈es␈αa␈α
gcd␈α
algo␈α␈rithm␈α
for␈αin␈α␈te␈α␈gers␈α
as␈αa␈α
spe␈α␈ci␈α↓a␈α␈l
␈β⊂A␈↓ α␈εβca␈α␈se.)
␈β⊂s␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β⊂w␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβ[␈ε	M24␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(␈ε⊂Euc␈α␈l␈α↓id␈α␈ean␈αλalgor␈α␈i␈α↓th␈α␈m␈α	for␈αλstri␈α↓n␈α␈g␈α	p␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s.␈εβ)␈α∪L␈α↓e␈α␈t␈↓ λM␈ε	V␈↓ λu␈εβand␈↓ 	4␈ε	V␈↓ 	\␈εβbe␈αλstring␈αλpoly␈α␈-
␈β⊃↓␈↓ λ`␈εε1␈↓ 	F␈εε2
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβn␈α␈omia␈α␈l␈α↓s,␈α
n␈α␈ot␈α	b␈α␈oth␈α	ze␈α␈ro,␈α
h␈α␈avin␈α␈g␈α	a␈α	\co␈α␈mmo␈α␈n␈α	left␈α
m␈α}ultiple."␈α∀(This␈α	mean␈α␈s␈α	tha␈α␈t␈α
th␈α␈ere␈α	ex␈α␈i␈α↓s␈α␈t
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.1␈ε∞␈↓ π:DIV␈α␈ISION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα407
␈βα*␈↓ ↓H␈εβstr␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αp␈α␈olyn␈α␈omials␈↓ β←␈ε	U␈↓ ∧␈εβand␈↓ ∧L␈ε	U␈↓ ∧n␈εβ,␈αno␈α␈t␈αbo␈α␈th␈αz␈α␈ero,␈αsuc␈α␈h␈αth␈α␈at␈↓ πn␈ε	U␈↓ λ⊂␈ε	V␈↓ λ8␈εβ=␈↓ λc␈ε	U␈↓ 	∧␈ε	V␈↓ 	$␈εβ.)␈α→Th␈α␈e␈αp␈α␈urp␈α␈ose␈αo␈α␈f
␈βα5␈↓ βt␈εε1␈↓ ∧a␈εε2␈↓ λβ␈εε1␈↓ λ"␈εε1␈↓ λx␈εε2␈↓ 	↔␈εε2
␈βαR␈↓ ↓H␈εβth␈α␈is␈αex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α
i␈α↓s␈αto␈α|␈α␈nd␈α
an␈α
algorith␈α␈m␈αto␈αco␈α␈mpu␈α␈te␈αth␈α␈eir␈α\␈α␈grea␈α␈test␈αco␈α␈mmon␈α
righ␈α␈t␈αd␈α␈ivisor"
␈βαy␈↓ ↓H␈εβg␈α␈crd(␈↓ α∩␈ε	V␈↓ α1␈εβ,␈↓ α@␈ε	V␈↓ α←␈εβ)␈αa␈α␈s␈αw␈α␈ell␈αas␈α
their␈α\␈α␈l␈α↓e␈α␈ast␈αc␈α␈ommo␈α␈n␈αleft␈α
m␈α␈ultiple"␈α
lclm(␈↓ λP␈ε	V␈↓ λo␈εβ,␈↓ λ}␈ε	V␈↓ 	≥␈εβ).␈αTh␈α␈e␈αlatte␈α␈r␈αqu␈α␈an␈α␈-
␈ββ∧␈↓ α$␈εε1␈↓ αR␈εε2␈↓ λc␈εε1␈↓ 	⊃␈εε2
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβtities␈α	are␈αλde|␈α␈ned␈αλas␈α	follo␈α␈ws:␈α∀gcrd␈α␈(␈↓ ¬0␈ε	V␈↓ ¬O␈εβ,␈↓ ¬↑␈ε	V␈↓ ¬⎇␈εβ)␈α
is␈α	a␈α	c␈α␈ommo␈α␈n␈α	righ␈α}t␈α	diviso␈α␈r␈α
o␈α␈f␈↓ 	,␈ε	V␈↓ 	U␈εβa␈α␈nd␈↓ 
∪␈ε	V␈↓ 
<␈εβ(th␈α␈at␈α	is,
␈ββ,␈↓ ¬C␈εε1␈↓ ¬q␈εε2␈↓ 	?␈εε1␈↓ 
&␈εε2
␈ββI␈↓ ↓H␈ε	V␈↓ ↓q␈εβ=␈↓ α≥␈ε	W␈↓ αJ␈εβgcrd␈↓ β	␈εβ(␈↓ β∀␈ε	V␈↓ β4␈εβ,␈↓ βB␈ε	V␈↓ βa␈εβ)␈αan␈α␈d␈↓ ∧:␈ε	V␈↓ ∧c␈εβ=␈↓ ¬∂␈ε	W␈↓ ¬<␈εβgcrd␈↓ ¬{␈εβ(␈↓ εε␈ε	V␈↓ ε&␈εβ,␈↓ ε4␈ε	V␈↓ εS␈εβ)␈αfor␈αso␈α␈me␈↓ πs␈ε	W␈↓ λ'␈εβa␈α␈nd␈↓ λh␈ε	W␈↓ 	⊂␈εβ),␈α
a␈α␈nd␈αan␈α}y␈αcomm␈α␈on
␈ββS␈↓ ↓Z␈εε1␈↓ α8␈εε1␈↓ β'␈εε1␈↓ βU␈εε2␈↓ ∧L␈εε2␈↓ ¬*␈εε2␈↓ ε→␈εε1␈↓ εG␈εε2␈↓ λ∞␈εε1␈↓ 	∧␈εε2
␈ββp␈↓ ↓H␈εβrig␈α␈h␈α␈t␈αd␈α␈i␈α↓v␈α␈isor␈αof␈↓ β/␈ε	V␈↓ βZ␈εβa␈α␈nd␈↓ ∧≠␈ε	V␈↓ ∧G␈εβis␈αa␈αri␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈αd␈α␈ivisor␈αo␈α␈f␈αgcrd␈α␈(␈↓ π6␈ε	V␈↓ πV␈εβ,␈↓ πd␈ε	V␈↓ λβ␈εβ)␈α↓;␈αlclm(␈↓ λl␈ε	V␈↓ 	␈εβ,␈↓ 	~␈ε	V␈↓ 	9␈εβ)␈α=␈↓ 	{␈ε	Z␈↓ 
→␈ε	V␈↓ 
C␈εβ=␈↓ 
o␈ε	Z␈↓ 
␈ε	V
␈ββ{␈↓ βA␈εε1␈↓ ∧.␈εε2␈↓ πI␈εε1␈↓ πw␈εε2␈↓ λ␈␈εε1␈↓ 	-␈εε2␈↓ 

␈εε1␈↓ 
,␈εε1␈↓ ↓␈εε2␈↓  ␈εε2
␈β∧_␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α∞so␈α␈me␈↓ αS␈ε	Z␈↓ α␈␈εβan␈α␈d␈↓ βB␈ε	Z␈↓ β`␈εβ,␈α∂a␈α␈nd␈α
a␈α␈n␈α␈y␈α
co␈α␈mmon␈α
left␈α
m␈α␈ultip␈α␈l␈α↓e␈α
of␈↓ πp␈ε	V␈↓ λ≥␈εβa␈α␈nd␈↓ λ`␈ε	V␈↓ 	
␈εβis␈α
a␈α
l␈α↓e␈α␈ft␈α∞m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈le␈α∞o␈α␈f
␈β∧"␈↓ αe␈εε1␈↓ βT␈εε2␈↓ λβ␈εε1␈↓ λr␈εε2
␈β∧?␈↓ ↓H␈εβlclm(␈↓ α⊂␈ε	V␈↓ α/␈εβ,␈↓ α>␈ε	V␈↓ α]␈εβ).
␈β∧J␈↓ α"␈εε1␈↓ αP␈εε2
␈β∧g␈↓ α␈εβFor␈α	exa␈α␈mp␈α␈l␈α↓e,␈α
let␈↓ ∧β␈ε	U␈↓ ∧.␈εβ=␈↓ ∧Y␈ε	a␈↓ ∧i␈ε	b␈↓ ∧v␈ε	b␈↓ ¬β␈ε	b␈↓ ¬⊃␈ε	a␈↓ ¬!␈ε	b␈↓ ¬4␈εβ+␈↓ ¬Z␈ε	a␈↓ ¬j␈ε	b␈↓ ¬x␈ε	b␈↓ ε¬␈ε	a␈↓ ε∃␈ε	b␈↓ ε(␈ε↔␈␈↓ εN␈ε	b␈↓ ε[␈ε	b␈↓ εi␈ε	a␈↓ εy␈ε	b␈↓ π␈εβ+␈↓ π2␈ε	a␈↓ πB␈ε	b␈↓ πU␈ε↔␈␈εβ␈α¬1,␈↓ λ∨␈ε	V␈↓ λG␈εβ=␈↓ λr␈ε	b␈↓ λ␈␈ε	a␈↓ 	∂␈ε	b␈↓ 	≥␈ε	a␈↓ 	-␈ε	b␈↓ 	?␈εβ+␈↓ 	f␈ε	a␈↓ 	v␈ε	b␈↓ 
β␈ε	a␈↓ 
∀␈ε	b␈↓ 
&␈εβ+␈↓ 
M␈ε	a␈↓ 
]␈ε	b␈↓ 
p␈ε↔␈␈↓ ⊗␈ε	b␈↓ #␈εβ;
␈β∧r␈↓ ∧_␈εε1␈↓ λ1␈εε1
␈β¬∂␈↓ ↓H␈ε	U␈↓ ↓y␈εβ=␈↓ α)␈ε	a␈↓ α9␈ε	b␈↓ αG␈ε	b␈↓ α↑␈εβ+␈↓ β	␈ε	a␈↓ β→␈ε	b␈↓ β0␈ε↔␈␈↓ β[␈ε	b␈↓ βh␈εβ,␈↓ ∧↓␈ε	V␈↓ ∧/␈εβ=␈↓ ∧←␈ε	b␈↓ ∧m␈ε	a␈↓ ∧⎇␈ε	b␈↓ ¬
␈ε	b␈↓ ¬↔␈ε	a␈↓ ¬(␈ε	b␈↓ ¬5␈ε	a␈↓ ¬F␈ε	b␈↓ ¬]␈εβ+␈↓ ελ␈ε	b␈↓ ε∃␈ε	a␈↓ ε%␈ε	b␈↓ ε2␈ε	a␈↓ εC␈ε	b␈↓ εP␈ε	a␈↓ ε`␈ε	b␈↓ εw␈εβ+␈↓ π"␈ε	b␈↓ π0␈ε	a␈↓ π@␈ε	b␈↓ πM␈ε	a␈↓ π↑␈ε	b␈↓ πu␈εβ+␈↓ λ ␈ε	a␈↓ λ0␈ε	b␈↓ λ=␈ε	a␈↓ λN␈ε	b␈↓ λe␈ε↔␈␈↓ 	⊂␈ε	b␈↓ 	≥␈ε	a␈↓ 	-␈ε	b␈↓ 	;␈ε	b␈↓ 	R␈ε↔␈␈εβ␈α
1␈α␈.␈α⊗The␈α␈n␈α∂w␈α␈e
␈β¬→␈↓ ↓]␈εε2␈↓ ∧∪␈εε2
␈β¬6␈↓ ↓H␈εβh␈α␈av␈α}e␈↓ α⊗␈ε	U␈↓ α8␈ε	V␈↓ α`␈εβ=␈↓ β␈ε	U␈↓ β-␈ε	V␈↓ βU␈εβ=␈↓ ∧␈ε	a␈↓ ∧⊂␈ε	b␈↓ ∧≥␈ε	b␈↓ ∧+␈ε	b␈↓ ∧8␈ε	a␈↓ ∧H␈ε	b␈↓ ∧U␈ε	b␈↓ ∧c␈ε	a␈↓ ∧s␈ε	b␈↓ ¬␈ε	a␈↓ ¬⊃␈ε	b␈↓ ¬%␈εβ+␈↓ ¬N␈ε	a␈↓ ¬↑␈ε	b␈↓ ¬k␈ε	b␈↓ ¬y␈ε	a␈↓ ε	␈ε	b␈↓ ε⊗␈ε	b␈↓ ε$␈ε	a␈↓ ε4␈ε	b␈↓ εA␈ε	a␈↓ εR␈ε	b␈↓ εf␈εβ+␈↓ π∂␈ε	a␈↓ π∨␈ε	b␈↓ π,␈ε	b␈↓ π:␈ε	b␈↓ πG␈ε	a␈↓ πW␈ε	b␈↓ πd␈ε	a␈↓ πu␈ε	b␈↓ λα␈ε	a␈↓ λ∪␈ε	b␈↓ λ'␈εβ+␈↓ λP␈ε	a␈↓ λ`␈ε	b␈↓ λm␈ε	b␈↓ λz␈ε	a␈↓ 	␈ε	b␈↓ 	_␈ε	a␈↓ 	)␈ε	b␈↓ 	6␈ε	a␈↓ 	F␈ε	b␈↓ 	[␈ε↔␈␈↓ 
β␈ε	b␈↓ 
⊂␈ε	b␈↓ 
≡␈ε	a␈↓ 
.␈ε	b␈↓ 
;␈ε	b␈↓ 
I␈ε	a␈↓ 
Y␈ε	b␈↓ 
f␈ε	a␈↓ 
w␈ε	b␈↓ ␈εβ+
␈β¬A␈↓ α+␈εε1␈↓ αK␈εε1␈↓ β ␈εε2␈↓ β?␈εε2
␈β¬↑␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ ↓X␈ε	b␈↓ ↓e␈ε	b␈↓ ↓s␈ε	b␈↓ α␈ε	a␈↓ α⊂␈ε	b␈↓ α≥␈ε	a␈↓ α.␈ε	b␈↓ αA␈ε↔␈␈↓ αh␈ε	b␈↓ αv␈ε	b␈↓ ββ␈ε	a␈↓ β∪␈ε	b␈↓ β ␈ε	a␈↓ β1␈ε	b␈↓ β>␈ε	a␈↓ βO␈ε	b␈↓ βb␈εβ+␈αε2␈↓ ∧~␈ε	a␈↓ ∧*␈ε	b␈↓ ∧7␈ε	b␈↓ ∧E␈ε	a␈↓ ∧U␈ε	b␈↓ ∧b␈ε	a␈↓ ∧s␈ε	b␈↓ ¬ε␈ε↔␈␈↓ ¬-␈ε	a␈↓ ¬>␈ε	b␈↓ ¬K␈ε	b␈↓ ¬X␈ε	b␈↓ ¬e␈ε	a␈↓ ¬v␈ε	b␈↓ εβ␈ε	b␈↓ ε⊗␈εβ+␈↓ ε>␈ε	a␈↓ εN␈ε	b␈↓ ε[␈ε	a␈↓ εl␈ε	b␈↓ εy␈ε	a␈↓ π	␈ε	b␈↓ π≤␈ε↔␈␈↓ πD␈ε	a␈↓ πT␈ε	b␈↓ πa␈ε	b␈↓ πo␈ε	a␈↓ π␈␈ε	b␈↓ λ␈ε	b␈↓ λ ␈ε↔␈␈↓ λG␈ε	b␈↓ λT␈ε	b␈↓ λa␈ε	a␈↓ λr␈ε	b␈↓ λ␈␈ε	a␈↓ 	∂␈ε	b␈↓ 	#␈ε↔␈␈↓ 	J␈ε	b␈↓ 	W␈ε	a␈↓ 	h␈ε	b␈↓ 	u␈ε	a␈↓ 
¬␈ε	b␈↓ 
_␈εβ+␈↓ 
@␈ε	b␈↓ 
M␈ε	b␈↓ 
Z␈ε	a␈↓ 
k␈ε	b␈↓ 
x␈ε	b␈↓ ␈ε↔␈
␈βε¬␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ ↓X␈ε	b␈↓ ↓e␈ε	b␈↓ ↓y␈ε↔␈␈↓ α"␈ε	a␈↓ α2␈ε	b␈↓ αF␈εβ+␈↓ αn␈ε	b␈↓ α|␈εβ.␈αFor␈α
these␈α
string␈α
po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials␈αit␈αca␈α␈n␈αb␈α␈e␈αsh␈α␈o␈α␈wn␈α
th␈α␈at␈αg␈α␈crd(␈↓ 	:␈ε	V␈↓ 	Y␈εβ,␈↓ 	h␈ε	V␈↓ 
π␈εβ)␈α	=␈↓ 
F␈ε	a␈↓ 
V␈ε	b␈↓ 
j␈εβ+␈αλ1␈α␈,
␈βε⊂␈↓ 	L␈εε1␈↓ 	z␈εε2
␈βε-␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
l␈α↓c␈α␈l␈α↓m␈α␈(␈↓ αQ␈ε	V␈↓ αp␈εβ,␈↓ α}␈ε	V␈↓ β≡␈εβ)␈α	=␈↓ β\␈ε	U␈↓ β}␈ε	V␈↓ ∧≥␈εβ.
␈βε8␈↓ αc␈εε1␈↓ β⊃␈εε2␈↓ βr␈εε1␈↓ ∧⊃␈εε1
␈βεU␈↓ α␈εβThe␈α	division␈α	algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈α
of␈α
ex␈α}ercise␈α
1␈α␈7␈α
ma␈α␈y␈α
b␈α␈e␈α
restat␈α␈ed␈α
th␈α}us:␈αIf␈↓ 	⊃␈ε	V␈↓ 	:␈εβan␈α␈d␈↓ 	z␈ε	V␈↓ 
#␈εβa␈α␈re␈α
string
␈βε←␈↓ 	#␈εε1␈↓ 
␈εε2
␈βε|␈↓ ↓H␈εβp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s,␈α	wi␈α↓th␈↓ βR␈ε	V␈↓ β{␈ε↔≤␈εβ␈α	0,␈α
a␈α␈nd␈α	if␈↓ ¬%␈ε	U␈↓ ¬P␈ε↔≤␈εβ␈α
0␈α	a␈α␈nd␈↓ εT␈ε	U␈↓ ε␈␈εβsa␈α␈ti␈α↓sfy␈αλthe␈α	eq␈α␈ua␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈↓ 	#␈ε	U␈↓ 	E␈ε	V␈↓ 	m␈εβ=␈↓ 
_␈ε	U␈↓ 
:␈ε	V␈↓ 
Y␈εβ,␈α
th␈α␈en
␈βππ␈↓ βe␈εε2␈↓ ¬;␈εε1␈↓ εi␈εε2␈↓ 	8␈εε1␈↓ 	W␈εε1␈↓ 
-␈εε2␈↓ 
L␈εε2
␈βπ$␈↓ ↓H␈εβth␈α␈ere␈α
ex␈α␈ist␈α
string␈α
p␈α␈olyn␈α␈omia␈α␈l␈α↓s␈↓ ¬␈ε	Q␈↓ ¬1␈εβan␈α␈d␈ε	␈α
R␈εβ␈α
suc␈α␈h␈α
th␈α␈at␈↓ π0␈ε	V␈↓ π\␈εβ=␈↓ λ
␈ε	Q␈↓ λ"␈ε	V␈↓ λJ␈εβ+␈ε	␈α	R␈εβ,␈↓ 	"␈εβde␈α␈g␈↓ 	T␈εβ(␈ε	R␈εβ)␈α
<␈↓ 
<␈εβd␈α␈eg␈↓ 
n␈εβ(␈↓ 
y␈ε	V␈↓ _␈εβ).
␈βπ.␈↓ πC␈εε1␈↓ λ5␈εε2␈↓ ␈εε2
␈βπK␈↓ ↓H␈ε⊂No␈α␈te:␈εβ␈αIt␈αfollo␈α␈ws␈αre␈α␈adily␈α
tha␈α␈t␈↓ ∧i␈ε	Q␈↓ ¬␈εβa␈α␈nd␈ε	␈α
R␈εβ␈αare␈α
un␈α␈ique␈α␈l␈α↓y␈α
d␈α␈etermin␈α␈ed,␈αth␈α␈ey␈α
do␈α
no␈α␈t␈αd␈α␈epen␈α␈d␈α
on
␈βπs␈↓ ↓H␈ε	U␈↓ ↓u␈εβa␈α␈nd␈↓ α5␈ε	U␈↓ αW␈εβ;␈αfu␈α␈rthe␈α␈rmore␈αth␈α␈e␈αresu␈α␈lt␈αi␈α↓s␈αrigh␈α}t-left␈αsymm␈α␈etric␈αin␈αthe␈α
sense␈αt␈α␈hat
␈βπ}␈↓ ↓]␈εε1␈↓ αK␈εε2
␈βλ=␈↓ βc␈ε~0␈↓ ¬k␈ε~0
␈βλB␈↓ α␈ε	U␈↓ α7␈εβ=␈↓ αb␈ε	U␈↓ β∧␈ε	Q␈↓ β#␈εβ+␈↓ βL␈ε	R␈↓ ∧1␈εβwhe␈α␈re␈↓ ¬↔␈εβd␈α␈eg␈↓ ¬I␈εβ(␈↓ ¬T␈ε	R␈↓ ¬q␈εβ)␈α
=␈↓ ε0␈εβdeg␈↓ εb␈εβ(␈↓ εm␈ε	U␈↓ π∂␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ πJ␈εβdeg␈↓ π|␈εβ(␈↓ λπ␈ε	V␈↓ λ'␈εβ)␈απ+␈↓ λb␈εβd␈α␈eg␈↓ 	∀␈εβ(␈ε	R␈εβ)␈α	<␈↓ 	u␈εβd␈α␈eg␈↓ 
'␈εβ(␈↓ 
2␈ε	U␈↓ 
T␈εβ).
␈βλM␈↓ α!␈εε2␈↓ αw␈εε1␈↓ πβ␈εε1␈↓ λ~␈εε2␈↓ 
G␈εε1
␈β	∩␈↓ α␈εβSh␈α␈o␈α␈w␈α
th␈α␈at␈α
this␈α
d␈α␈i␈α↓v␈α␈isi␈α↓o␈α␈n␈α
alg␈α␈orithm␈α
c␈α␈an␈α
b␈α␈e␈α
ex␈α␈tend␈α␈ed␈α
to␈α	an␈α
a␈α␈l␈α↓g␈α␈orith␈α␈m␈α
tha␈α␈t␈αc␈α␈omp␈α␈ute␈α␈s
␈β	:␈↓ ↓H␈εβlclm(␈↓ α⊂␈ε	V␈↓ α/␈εβ,␈↓ α>␈ε	V␈↓ α]␈εβ)␈αan␈α␈d␈αg␈α␈crd(␈↓ ∧␈ε	V␈↓ ∧∨␈εβ,␈↓ ∧.␈ε	V␈↓ ∧M␈εβ),␈αan␈α␈d,␈αi␈α↓n␈αfact,␈αthe␈αexten␈α␈de␈α␈d␈αalg␈α␈orithm␈α|␈α␈nd␈α␈s␈αstring␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈-
␈β	D␈↓ α"␈εε1␈↓ αP␈εε2␈↓ ∧∩␈εε1␈↓ ∧@␈εε2
␈β	a␈↓ ↓H␈εβm␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈↓ α ␈ε	Z␈↓ αK␈εβan␈α␈d␈↓ β
␈ε	Z␈↓ β8␈εβsu␈α␈ch␈αtha␈α␈t␈↓ ∧O␈ε	Z␈↓ ∧m␈ε	V␈↓ ¬∃␈εβ+␈↓ ¬>␈ε	Z␈↓ ¬]␈ε	V␈↓ επ␈εβ=␈↓ ε4␈εβgcrd␈↓ εs␈εβ(␈↓ ε}␈ε	V␈↓ π≡␈εβ,␈↓ π,␈ε	V␈↓ πK␈εβ)␈α↓.␈α≤[␈ε⊂Hi␈α↓n␈α}t:␈εβ␈α∞Use␈α
a␈α␈ux␈α␈i␈α↓liary␈αv␈α␈ariab␈α␈l␈α↓e␈α␈s
␈β	l␈↓ α2␈εε1␈↓ β∨␈εε2␈↓ ∧a␈εε1␈↓ ¬␈εε1␈↓ ¬P␈εε2␈↓ ¬o␈εε2␈↓ π⊃␈εε1␈↓ π?␈εε2
␈β
¬␈↓ ∧∩␈ε~0␈↓ ∧J␈ε~0␈↓ ¬O␈ε~0␈↓ ¬⎇␈ε~0
␈β
	␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓g␈εβ,␈↓ ↓{␈ε	u␈↓ α≠␈εβ,␈↓ α.␈ε	v␈↓ αJ␈εβ,␈↓ α]␈ε	v␈↓ αy␈εβ,␈↓ β␈ε	w␈↓ β/␈εβ,␈↓ βB␈ε	w␈↓ βe␈εβ,␈↓ βy␈ε	w␈↓ ∧≡␈εβ,␈↓ ∧2␈ε	w␈↓ ∧W␈εβ,␈↓ ∧k␈ε	z␈↓ ¬α␈εβ,␈↓ ¬⊗␈ε	z␈↓ ¬.␈εβ,␈↓ ¬A␈ε	z␈↓ ¬\␈εβ,␈↓ ¬o␈ε	z␈↓ ε
␈εβ,␈α
who␈α␈se␈α
valu␈α␈es␈α
are␈α
strin␈α␈g␈α
po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials;␈αsta␈α␈rt␈α
by
␈β
∪␈↓ ↓[␈εε1␈↓ α∞␈εε2␈↓ α=␈εε1␈↓ αl␈εε2␈↓ β"␈εε1␈↓ βY␈εε2␈↓ ∧v␈εε1␈↓ ¬!␈εε2
␈β
_␈↓ ∧∩␈εε1␈↓ ∧J␈εε2␈↓ ¬O␈εε1␈↓ ¬⎇␈εε2
␈β
0␈↓ ↓H␈εβse␈α␈tti␈α↓n␈α␈g␈↓ α6␈ε	u␈↓ αa␈ε↔ ␈↓ β∞␈ε	U␈↓ β0␈εβ,␈↓ βF␈ε	u␈↓ βq␈ε↔ ␈↓ ∧≡␈ε	U␈↓ ∧@␈εβ,␈↓ ∧V␈ε	v␈↓ ∧|␈ε↔ ␈↓ ¬)␈ε	V␈↓ ¬H␈εβ,␈↓ ¬↑␈ε	v␈↓ ε¬␈ε↔ ␈↓ ε2␈ε	V␈↓ εQ␈εβ,␈α
an␈α␈d␈αth␈α␈roug␈α␈ho␈α␈ut␈αthe␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈αma␈α␈i␈α↓n␈α}tain
␈β
;␈↓ αI␈εε1␈↓ β#␈εε1␈↓ βY␈εε2␈↓ ∧3␈εε2␈↓ ∧d␈εε1␈↓ ¬<␈εε1␈↓ ¬m␈εε2␈↓ εD␈εε2
␈β
X␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αco␈α␈nd␈α␈i␈α↓tion␈α␈s
␈β~␈↓ β ␈ε	U␈↓ βB␈ε	w␈↓ βl␈εβ+␈↓ ∧∃␈ε	U␈↓ ∧7␈ε	w␈↓ ∧c␈εβ=␈↓ ¬
␈ε	u␈↓ ¬-␈εβ,␈↓ π␈ε	z␈↓ π#␈ε	V␈↓ πI␈εβ+␈↓ πr␈ε	z␈↓ λ
␈ε	V␈↓ λ2␈εβ=␈↓ λ]␈ε	v␈↓ λx␈εβ,
␈β$␈↓ β6␈εε1␈↓ βX␈εε1␈↓ ∧*␈εε2␈↓ ∧M␈εε2␈↓ ¬ ␈εε1␈↓ π⊗␈εε1␈↓ π5␈εε1␈↓ π⎇␈εε2␈↓ λ≤␈εε2␈↓ λk␈εε1
␈βF␈↓ βV␈ε~0␈↓ ∧M␈ε~0␈↓ π∀␈ε~0␈↓ π⎇␈ε~0
␈βL␈↓ β≠␈ε	U␈↓ β=␈ε	w␈↓ βj␈εβ+␈↓ ∧∩␈ε	U␈↓ ∧4␈ε	w␈↓ ∧c␈εβ=␈↓ ¬
␈ε	u␈↓ ¬-␈εβ,␈↓ πε␈ε	z␈↓ π ␈ε	V␈↓ πG␈εβ+␈↓ πo␈ε	z␈↓ λ
␈ε	V␈↓ λ2␈εβ=␈↓ λ]␈ε	v␈↓ λx␈εβ,
␈βW␈↓ β0␈εε1␈↓ ∧(␈εε2␈↓ ¬ ␈εε2␈↓ π3␈εε1␈↓ λ≤␈εε2␈↓ λk␈εε2
␈β[␈↓ βV␈εε1␈↓ ∧M␈εε2␈↓ π∀␈εε1␈↓ π⎇␈εε2
␈βy␈↓ ∧M␈ε~0␈↓ ¬U␈εn␈↓ λ↓␈ε~0␈↓ 	%␈εn
␈β␈␈↓ β8␈ε	u␈↓ βX␈ε	z␈↓ βw␈ε↔␈␈↓ ∧∨␈ε	u␈↓ ∧?␈ε	z␈↓ ∧c␈εβ=␈α	(␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ ¬J␈εβ)␈↓ ¬f␈ε	U␈↓ ελ␈εβ,␈↓ εz␈ε	w␈↓ π≥␈ε	v␈↓ π@␈ε↔␈␈↓ πh␈ε	w␈↓ λ∞␈ε	v␈↓ λ2␈εβ=␈α
(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ 	~␈εβ)␈↓ 	5␈ε	V␈↓ 	T␈εβ,
␈β	␈↓ βK␈εε1␈↓ βc␈εε1␈↓ ∧3␈εε2␈↓ ¬{␈εε1␈↓ π⊂␈εε1␈↓ π,␈εε1␈↓ λ≤␈εε2␈↓ 	H␈εε1
␈β∞␈↓ ∧M␈εε1␈↓ λ↓␈εε1
␈β+␈↓ ∧M␈ε~0␈↓ ¬U␈εn␈↓ λ↓␈ε~0␈↓ 	%␈εn
␈β1␈↓ β↔␈ε↔␈␈↓ β8␈ε	u␈↓ βX␈ε	z␈↓ βw␈εβ+␈↓ ∧∨␈ε	u␈↓ ∧?␈ε	z␈↓ ∧c␈εβ=␈α	(␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ ¬J␈εβ)␈↓ ¬f␈ε	U␈↓ ελ␈εβ,␈↓ εY␈ε↔␈␈↓ εz␈ε	w␈↓ π≥␈ε	v␈↓ π@␈εβ+␈↓ πh␈ε	w␈↓ λ∞␈ε	v␈↓ λ2␈εβ=␈α
(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ 	~␈εβ)␈↓ 	5␈ε	V
␈β<␈↓ βK␈εε1␈↓ βc␈εε2␈↓ ∧3␈εε2␈↓ ¬{␈εε2␈↓ π⊂␈εε2␈↓ π,␈εε1␈↓ λ≤␈εε2␈↓ 	H␈εε2
␈β@␈↓ ∧M␈εε2␈↓ λ↓␈εε2
␈β{␈↓ ↓H␈εβa␈α␈t␈α
the␈↓ α.␈ε	n␈↓ αB␈εβth␈αiteration␈α␈.␈α⊃This␈α
migh␈α}t␈α
be␈α
re␈α␈gard␈α␈ed␈α
a␈α␈s␈α
the␈α
\␈α␈ultimat␈α␈e"␈α
ex␈α␈tens␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α
of␈α
Eu␈α␈cli␈α↓d␈α␈'s
␈β
#␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓g␈α␈orith␈α␈m.]
␈β
U␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈εβ[␈ε	M39␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(␈ε⊂Co␈α␈mmon␈αλdivisor␈α␈s␈α
o␈α␈f␈α
sq␈α␈uare␈α	m␈α␈atrices.␈εβ)␈α∃Ex␈α}ercise␈α	18␈α	sh␈α␈o␈α␈ws␈α	that␈α	th␈α␈e␈α	con␈α␈cep␈α␈t
␈β
⎇␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α∞g␈α␈reate␈α␈st␈α
comm␈α␈on␈α
rig␈α␈h␈α␈t␈α
div␈α␈i␈α↓so␈α␈r␈α
can␈αbe␈α
me␈α␈an␈α␈i␈α↓n␈α␈gfu␈α␈l␈α∞wh␈α␈en␈α
m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α
is␈α
n␈α␈ot␈α
com␈α␈-
␈β∞%␈↓ ↓H␈εβm␈α}utativ␈α}e.␈α↔Pro␈α␈v␈α}e␈α∂th␈α␈at␈α∂a␈α␈n␈α␈y␈α∞t␈α␈wo␈↓ ¬≠␈ε	n␈↓ ¬9␈ε↔α␈↓ ¬d␈ε	n␈↓ επ␈εβma␈α␈tri␈α↓c␈α␈es␈↓ π⊂␈ε	A␈↓ π5␈εβan␈α␈d␈↓ πy␈ε	B␈↓ λ∨␈εβo␈α␈f␈α∂in␈α␈teg␈α␈ers␈α∂h␈α␈av␈α␈e␈α∞a␈α∂g␈α␈reates␈α␈t
␈β∞L␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ommo␈α␈n␈α
righ␈α␈t␈α
ma␈α␈tri␈α↓x␈α
d␈α␈ivisor␈↓ ∧u␈ε	D␈↓ ¬∞␈εβ.␈α_[␈ε⊂Su␈α␈gg␈α␈estion:␈εβ␈αDe␈α␈si␈α↓g␈α␈n␈α
an␈α
a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α
wh␈α␈ose␈α
inp␈α␈uts␈α
are␈↓ ⊗␈ε	A
␈β∞t␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ αε␈ε	B␈↓ α≤␈εβ,␈α	an␈α␈d␈αλwho␈α␈se␈α	o␈α␈utp␈α␈uts␈αλare␈αλin␈α␈te␈α␈ger␈αλmatr␈α␈i␈α↓ce␈α␈s␈↓ εf␈ε	D␈↓ ε␈␈εβ,␈↓ π⊃␈ε	P␈↓ π)␈εβ,␈↓ π;␈ε	Q␈↓ πS␈εβ,␈↓ πe␈ε	X␈↓ λ↓␈εβ,␈↓ λ∪␈ε	Y␈↓ λ+␈εβ,␈α
wh␈α␈ere␈↓ 	≠␈ε	A␈↓ 	;␈εβ=␈↓ 	e␈ε	P␈↓ 	⎇␈ε	D␈↓ 
⊗␈εβ,␈↓ 
(␈ε	B␈↓ 
H␈εβ=␈↓ 
r␈ε	Q␈↓ 
␈ε	D␈↓ #␈εβ,
␈β∂∀␈↓ λs␈εε1␈↓ 	
␈εε2␈↓ 
β␈εε4␈↓ 
≤␈εε3
␈β∂≠␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ αλ␈ε	D␈↓ α+␈εβ=␈↓ αU␈ε	X␈↓ αq␈ε	A␈↓ β∞␈εβ+␈↓ β7␈ε	Y␈↓ βP␈ε	B␈↓ βf␈εβ.]␈α~Find␈α
a␈αgre␈α␈atest␈αco␈α␈mmo␈α␈n␈αrigh␈α}t␈αdivisor␈αo␈α␈f␈α(␈↓ 	≥␈εβ)␈αan␈α␈d␈α(␈↓ 
-␈εβ).
␈β∂,␈↓ λs␈εε3␈↓ 	
␈εε4␈↓ 
β␈εε2␈↓ 
≤␈εε1
␈β∂N␈↓ ↓V␈ε∪20.␈↓ α␈εβ[␈ε	M40␈↓ αX␈εβ]␈α⊗In␈α}v␈α␈estiga␈α␈te␈α∂th␈α␈e␈α∞accu␈α␈racy␈α∞o␈α␈f␈α∂Euc␈α␈l␈α↓id␈α␈'␈α↓s␈α∞algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m:␈α∩Wha␈α␈t␈α∂ca␈α␈n␈α∞be␈α∞said␈α∞ab␈α␈ou␈α␈t
␈β∂v␈↓ ↓H␈εβc␈α␈alculat␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈απof␈απth␈α␈e␈απgre␈α␈atest␈απc␈α␈ommo␈α␈n␈απd␈α␈ivisor␈απo␈α␈f␈αλp␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈αεw␈α↓h␈α␈ose␈αεcoe}␈α␈cien␈α␈ts␈απa␈α␈re␈απ⎇o␈α␈ating␈α␈-
␈β⊂≥␈↓ ↓H␈εβp␈α␈oin␈α␈t␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers?
␈β⊂P␈↓ ↓V␈ε∪21.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈α
tha␈α␈t␈αth␈α␈e␈α
co␈α␈mpu␈α␈tation␈α	ti␈α↓m␈α␈e␈α
requ␈α␈ired␈α
b␈α␈y␈α
Algorith␈α␈m␈α
C␈α
to␈α
com␈α␈pu␈α␈te␈α
the
␈β⊂s␈↓ λ
␈εε4␈↓ 	⊂␈εε2
␈β⊂t␈↓ πj␈εα(␈↓ 	≥␈εα)
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβg␈α␈cd␈α	o␈α␈f␈α	t␈α␈w␈α␈o␈↓ αd␈ε	n␈↓ αx␈εβth␈α	d␈α␈egr␈α␈ee␈α	po␈α␈lyn␈α␈omials␈α	o␈α␈v␈α}er␈α	th␈α␈e␈α	in␈α␈teg␈α␈ers␈α	is␈↓ πR␈ε	O␈↓ πv␈ε	n␈↓ λ↔␈εβ(␈↓ λ"␈εβlog␈↓ λR␈ε	N␈↓ λq␈ε	n␈↓ 	¬␈εβ)␈↓ 	)␈εβ,␈α
if␈α	th␈α␈e␈α	coe␈α␈}cien␈α␈t␈α␈s
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αthe␈αg␈α␈i␈α↓v␈α}en␈αp␈α␈olyn␈α␈omia␈α␈l␈α↓s␈αa␈α␈re␈αbo␈α␈un␈α␈ded␈α
by␈↓ ε'␈ε	N␈↓ εQ␈εβi␈α↓n␈α
ab␈α␈solute␈αv␈α␈alu␈α␈e.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα408␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.1
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪22.␈↓ α␈εβ[␈ε	M23␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈αStu␈α␈rm's␈αtheo␈α␈rem.␈α→[␈ε⊂Hi␈α↓n␈α}t:␈εβ␈αS␈α␈om␈α␈e␈αsi␈α↓g␈α␈n␈αseq␈α␈ue␈α␈nces␈αa␈α␈re␈αimpo␈α␈ssible.]
␈βα\␈↓ ↓V␈ε∪23.␈↓ α␈εβ[␈ε	M22␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈αλt␈α␈hat␈απif␈↓ ∧0␈ε	u␈↓ ∧D␈εβ(␈↓ ∧O␈ε	x␈↓ ∧`␈εβ)␈απi␈α↓n␈αε(␈α↓2␈α␈9)␈απha␈α␈s␈αλd␈α␈eg(␈↓ εI␈ε	u␈↓ ε]␈εβ)␈απreal␈απroo␈α␈ts,␈α	t␈α␈hen␈↓ λN␈εβd␈α␈eg␈↓ 	␈εβ(␈↓ 	␈ε	u␈↓ 	P␈εβ)␈α	=␈↓ 
∂␈εβd␈α␈eg␈↓ 
@␈εβ(␈↓ 
L␈ε	u␈↓ 
k␈εβ)␈ε↔␈αα␈␈εβ␈αβ1
␈βαg␈↓ 	≡␈εj␈↓ 	*␈εε+1␈↓ 
←␈εj
␈ββ∧␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α0␈ε↔␈α	∀␈↓ α@␈ε	j␈↓ αX␈ε↔∀␈↓ ββ␈ε	k␈↓ β∪␈εβ.
␈ββ6␈↓ ↓V␈ε∪24.␈↓ α␈εβ[␈ε	M21␈↓ αX␈εβ]␈α⊗S␈α␈ho␈α␈w␈αth␈α␈at␈α(19␈α␈)␈αsi␈α↓m␈α␈pli|es␈αto␈α
(␈α↓2␈α␈0)␈αan␈α␈d␈α(23␈α␈)␈αsi␈α↓m␈α␈pli|es␈αto␈α
(24).
␈ββi␈↓ ↓V␈ε∪25.␈↓ α␈εβ[␈ε	M24␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(W.␈αS␈α␈.␈αBro␈α␈wn␈α␈.␈α↓)␈α→P␈α↓ro␈α}v␈α␈e␈αth␈α␈at␈αall␈αth␈α␈e␈αpoly␈α␈no␈α␈mials␈↓ λ1␈ε	u␈↓ λP␈εβ(␈↓ λ[␈ε	x␈↓ λl␈εβ)␈αin␈α(1␈α␈6)␈αfo␈α␈r␈↓ 
!␈ε	j␈↓ 
9␈ε↔∃␈εβ␈α
3␈αare
␈ββs␈↓ λD␈εj
␈β∧
␈↓ β0␈εα(␈↓ ∧8␈εα)
␈β∧⊂␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultiples␈αof␈↓ α}␈εβgc␈α␈d␈↓ β<␈ε	#␈↓ βJ␈εβ(␈↓ βU␈ε	u␈↓ βi␈εβ),␈↓ ∧β␈ε	#␈↓ ∧⊂␈εβ(␈↓ ∧≤␈ε	v␈↓ ∧-␈εβ)␈↓ ∧D␈εβ,␈αand␈α
ex␈α␈plain␈αh␈α␈o␈α␈w␈αto␈αimp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α
Al␈α↓g␈α␈orithm␈αC␈αa␈α␈cco␈α␈rding␈α␈l␈α↓y␈α␈.
␈β¬␈↓ ↓4␈ε≥*␈↓ ↓H␈ε≥4␈α␈.6.2.␈α
Fac␈α␈t␈α↓or␈α␈ization␈α
of␈α∞Polynomi␈α↓als
␈β¬L␈↓ ↓H␈εαLet␈α∞us␈α∂no␈α␈w␈α∂consider␈α∞the␈α∂problem␈α∂of␈ε∂␈α∞factoring␈εα␈α∂polynomials,␈α∂not␈α∂merely␈α∞|nding
␈β¬w␈↓ ↓H␈εαthe␈αgreatest␈αcommon␈αdivisor␈αof␈αt␈α␈w␈α␈o␈αor␈αmore␈αof␈αthem.
␈βε8␈↓ ↓H␈ε∩Factoring␈α∞modulo␈↓ βp␈ελp␈↓ βp␈ελp␈↓ ∧β␈ε∩.␈εα␈α≤As␈α∞in␈α∞the␈α∞case␈α∞of␈α∞in␈α␈teger␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈α∞(Sections␈α∞4.5.2,␈α∞4.5.4),
␈βεc␈↓ ↓H␈εαthe␈α⊂problem␈α⊂of␈α⊂factoring␈α⊃seems␈α⊂to␈α⊂be␈α⊂more␈α⊃di}cult␈α⊂than␈α⊂|nding␈α⊂the␈α⊂greatest
␈βπ∞␈↓ ↓H␈εαcommon␈α∞divisor.␈α⊃But␈α∞factorization␈α∞of␈α∞polynomials␈α∞modulo␈α∞a␈α∞prime␈α∞in␈α␈teger␈↓ 
t␈ελp␈↓ ∀␈εαis
␈βπ9␈↓ ↓H␈εαnot␈αas␈αhard␈αto␈αdo␈αas␈αw␈α␈e␈αmigh␈α␈t␈αexpect.␈αIt␈αis␈αm␈α␈uch␈αeasier␈αto␈α|nd␈αthe␈αfactors␈αof␈αan
␈βπd␈↓ ↓H␈εαarbitrary␈αpolynomial␈α
of␈α
degree␈↓ ¬9␈ελn␈↓ ¬O␈εα,␈α
modulo␈α2,␈α
than␈α
to␈α
use␈α
an␈α␈y␈α
kno␈α␈wn␈α
method␈αto
␈βλ⊂␈↓ ↓H␈εα|nd␈α∞the␈α∞factors␈α
of␈α∞an␈α∞arbitrary␈↓ ¬E␈ελn␈↓ ¬[␈εα-bit␈α∞binary␈α∞n␈α␈um␈α␈ber.␈α∩This␈α∞surprising␈α
situation
␈βλ;␈↓ ↓H␈εαis␈α
a␈αconsequence␈α
of␈α
an␈α
importan␈α␈t␈α
factorization␈α
algorithm␈α
disco␈α␈v␈α␈ered␈α
in␈α
1967␈αby
␈βλf␈↓ ↓H␈εαElwyn␈αR.␈αBerlekamp␈α[␈ε∂Bell␈αSystem␈αTechnical␈αJ.␈ε∩␈α46␈εα␈α(1967),␈α1853↑1859].
␈β	⊃␈↓ α␈εαLet␈↓ αM␈ελp␈↓ αi␈εαbe␈αa␈α
prime␈αn␈α␈um␈α␈ber;␈αall␈α
arithmetic␈αon␈α
polynomials␈αin␈α
the␈αfollo␈α␈wing␈α
dis-
␈β	<␈↓ ↓H␈εαcussion␈αwill␈αbe␈αdone␈αmodulo␈↓ ¬	␈ελp␈↓ ¬≠␈εα.␈αSuppose␈αthat␈αsomeone␈αhas␈α
giv␈α␈en␈αus␈αa␈αpolynomial
␈β	h␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓]␈εα(␈↓ ↓i␈ελx␈↓ ↓|␈εα),␈αwhose␈α
coe}cien␈α␈ts␈α
are␈α
chosen␈α
from␈α
the␈αset␈ε⊗␈α
f␈εα0,␈αε1,␈↓ λ↓␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ1␈εα,␈↓ λA␈ελp␈↓ λY␈ε⊗␈␈εα␈α¬1␈ε⊗g␈εα;␈αw␈α␈e␈α
may␈α
assume
␈β
∪␈↓ ↓H␈εαthat␈↓ α⊗␈ελu␈↓ α+␈εα(␈↓ α7␈ελx␈↓ αJ␈εα)␈αis␈αmonic.␈αOur␈αgoal␈αis␈αto␈αexpress␈↓ ε↑␈ελu␈↓ εt␈εα(␈↓ π␈ελx␈↓ π∪␈εα)␈αin␈αthe␈αform
␈β
c␈↓ εC␈εe␈↓ πS␈εe
␈β
i␈↓ ¬␈ελu␈↓ ¬⊗␈εα(␈↓ ¬"␈ελx␈↓ ¬5␈εα)␈α
=␈↓ ¬y␈ελp␈↓ ε_␈εα(␈↓ ε$␈ελx␈↓ ε7␈εα)␈↓ εZ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π
␈ελp␈↓ π(␈εα(␈↓ π4␈ελx␈↓ πG␈εα)␈↓ πj␈εα,␈↓ α␈εα(1)
␈β
k␈↓ εN␈επ1␈↓ π↑␈ε
r
␈β
v␈↓ ε
␈ε¬1␈↓ π≠␈εr
␈β?␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α0␈ελp␈↓ αO␈εα(␈↓ α[␈ελx␈↓ αn␈εα),␈↓ β⊂␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β@␈εα,␈↓ βV␈ελp␈↓ βt␈εα(␈↓ ∧␈ελx␈↓ ∧∪␈εα)␈αare␈αdistinct,␈αmonic,␈αirreducible␈αpolynomials.
␈βL␈↓ αA␈ε¬1␈↓ βg␈εr
␈βj␈↓ α␈εαAs␈α
a␈α
|rst␈α
step,␈α
w␈α␈e␈α
can␈α
use␈α
a␈α
standard␈α
technique␈α
to␈α
determine␈α
whether␈αan␈α␈y
␈β∃␈↓ ↓H␈εαof␈αthe␈αexponen␈α␈ts␈↓ βY␈ελe␈↓ βt␈εα,␈↓ ∧
␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧:␈εα,␈↓ ∧P␈ελe␈↓ ∧v␈εαare␈αgreater␈αthan␈αunity.␈αIf
␈β#␈↓ βf␈ε¬1␈↓ ∧]␈εr
␈βe␈↓ ¬F␈εn␈↓ λα␈ε¬2
␈βk␈↓ ∧∀␈ελu␈↓ ∧*␈εα(␈↓ ∧6␈ελx␈↓ ∧H␈εα)␈α
=␈↓ ¬␈ελu␈↓ ¬3␈ελx␈↓ ¬`␈εα+␈↓ ε␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε>␈εα+␈↓ εj␈ελu␈↓ π↔␈εα=␈↓ πE␈ελv␈↓ πW␈εα(␈↓ πc␈ελx␈↓ πv␈εα)␈↓ λ⊃␈ελw␈↓ λ+␈εα(␈↓ λ7␈ελx␈↓ λJ␈εα),␈↓ α␈εα(2)
␈βx␈↓ ¬!␈εn␈↓ ε}␈ε¬0
␈β
A␈↓ ↓H␈εαthen␈αits␈α\derivativ␈α␈e"␈αformed␈αin␈αthe␈αusual␈αway␈α(but␈αmodulo␈↓ λs␈ελp␈↓ 	¬␈εα)␈αis
␈β∞⊃␈↓ α{␈ε→0␈↓ ∧4␈εn␈↓ ∧F␈ε→␈␈ε¬1␈↓ π@␈ε→0␈↓ 	*␈ε¬2␈↓ 	S␈ε→0
␈β∞↔␈↓ αe␈ελu␈↓ βα␈εα(␈↓ β∞␈ελx␈↓ β!␈εα)␈α
=␈↓ βe␈ελn␈↓ β{␈ελu␈↓ ∧!␈ελx␈↓ ∧y␈εα+␈↓ ¬%␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬W␈εα+␈↓ εβ␈ελu␈↓ ε0␈εα=␈α
2␈↓ εp␈ελv␈↓ πβ␈εα(␈↓ π∂␈ελx␈↓ π"␈εα)␈↓ π.␈ελv␈↓ πH␈εα(␈↓ πT␈ελx␈↓ πf␈εα)␈↓ πr␈ελw␈↓ λ
␈εα(␈↓ λ→␈ελx␈↓ λ,␈εα)␈αλ+␈↓ λl␈ελv␈↓ λ␈␈εα(␈↓ 	␈ελx␈↓ 	≡␈εα)␈↓ 	8␈ελw␈↓ 	Z␈εα(␈↓ 	f␈ελx␈↓ 	y␈εα),␈↓ α␈εα(3)
␈β∞$␈↓ ∧∂␈εn␈↓ ε_␈ε¬1
␈β∞m␈↓ ↓H␈εαand␈α⊂this␈α⊃is␈α⊃a␈α⊂m␈α␈ultiple␈α⊃of␈α⊂the␈α⊃squared␈α⊃factor␈↓ π ␈ελv␈↓ π3␈εα(␈↓ π?␈ελx␈↓ πR␈εα).␈α~Therefore␈α⊃our␈α⊂|rst␈α⊃step␈α⊂in
␈β∂_␈↓ ↓H␈εαfactoring␈↓ α`␈ελu␈↓ αu␈εα(␈↓ β↓␈ελx␈↓ β∀␈εα)␈αis␈αto␈αform
␈β∂N␈↓ ¬;␈ε↓␈␈↓ εa␈ε↓↓
␈β∂h␈↓ ε/␈ε→0
␈β∂n␈↓ ¬¬␈εαgcd␈↓ ¬I␈ελu␈↓ ¬↑␈εα(␈↓ ¬j␈ελx␈↓ ¬⎇␈εα),␈↓ ε→␈ελu␈↓ ε6␈εα(␈↓ εB␈ελx␈↓ εU␈εα)␈↓ εy␈εα=␈↓ π'␈ελd␈↓ π;␈εα(␈↓ πG␈ελx␈↓ πZ␈εα).␈↓ α␈εα(4)
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαIf␈↓ ↓m␈ελd␈↓ α↓␈εα(␈↓ α
␈ελx␈↓ α ␈εα)␈α
is␈α
equal␈α
to␈α
1,␈α∞w␈α␈e␈α
kno␈α␈w␈α
that␈↓ ¬y␈ελu␈↓ ε∂␈εα(␈↓ ε≠␈ελx␈↓ ε-␈εα)␈α∞is␈α
\squarefree,"␈α
the␈α
product␈α
of␈α
distinct
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαprimes␈↓ α>␈ελp␈↓ α↑␈εα(␈↓ αj␈ελx␈↓ α|␈εα)␈↓ β∞␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β>␈ελp␈↓ β]␈εα(␈↓ βi␈ελx␈↓ β{␈εα).␈α∀If␈↓ ∧K␈ελd␈↓ ∧←␈εα(␈↓ ∧k␈ελx␈↓ ∧}␈εα)␈α∂is␈α∞not␈α∂equal␈α∞to␈α∂1␈α∞and␈↓ πy␈ελd␈↓ λ∞␈εα(␈↓ λ~␈ελx␈↓ λ,␈εα)␈ε⊗␈α∞≤␈↓ λy␈ελu␈↓ 	∞␈εα(␈↓ 	~␈ελx␈↓ 	-␈εα),␈α∂then␈↓ 
'␈ελd␈↓ 
;␈εα(␈↓ 
G␈ελx␈↓ 
Z␈εα)␈α∞is␈α∞a
␈β⊂|␈↓ αO␈ε¬1␈↓ βO␈εr
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαproper␈αfactor␈αof␈↓ βK␈ελu␈↓ βa␈εα(␈↓ βm␈ελx␈↓ ∧␈εα);␈αthe␈αrelation␈αbet␈α␈w␈α␈een␈αthe␈αfactors␈αof␈↓ λJ␈ελd␈↓ λ↑␈εα(␈↓ λj␈ελx␈↓ λ⎇␈εα)␈αand␈αthe␈αfactors␈αof
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.2␈ε∞␈↓ εRF␈α|A␈α␈CTORIZ␈α␈A␈α}T␈α␈ION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα409
␈βα&␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓]␈εα(␈↓ ↓i␈ελx␈↓ ↓|␈εα)/␈↓ α~␈ελd␈↓ α.␈εα(␈↓ α:␈ελx␈↓ αM␈εα)␈αspeeds␈α
up␈αthe␈α
factorization␈αprocess␈α
nicely␈αin␈α
this␈αcase␈α
(see␈αex␈α␈ercise␈α
34).
␈βαL␈↓ ε4␈ε→0␈↓ 
z␈εk
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαFinally,␈αif␈↓ αo␈ελd␈↓ ββ␈εα(␈↓ β∂␈ελx␈↓ β"␈εα)␈α
=␈↓ βf␈ελu␈↓ β|␈εα(␈↓ ∧λ␈ελx␈↓ ∧≠␈εα),␈αw␈α␈e␈αm␈α␈ust␈αhav␈α␈e␈↓ ε∨␈ελu␈↓ ε<␈εα(␈↓ εH␈ελx␈↓ εZ␈εα)␈α
=␈α
0;␈αhence␈αthe␈αcoe}cien␈α␈t␈↓ 
∂␈ελu␈↓ 
>␈εαof␈↓ 
g␈ελx␈↓ ∀␈εαis
␈βα←␈↓ 
#␈εk
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαnonzero␈αonly␈αwhen␈↓ β⎇␈ελk␈↓ ∧≠␈εαis␈αa␈α
m␈α␈ultiple␈αof␈↓ ε⊗␈ελp␈↓ ε(␈εα.␈α
This␈α
means␈αthat␈↓ λN␈ελu␈↓ λd␈εα(␈↓ λp␈ελx␈↓ 	β␈εα)␈αcan␈α
be␈αwritten␈αas
␈ββ#␈↓ ¬∂␈εp
␈ββ(␈↓ ↓H␈εαa␈αpolynomial␈αof␈αthe␈αform␈↓ ∧↑␈ελv␈↓ ∧p␈εα(␈↓ ∧|␈ελx␈↓ ¬≡␈εα),␈αand␈αin␈αsuch␈αa␈αcase␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈ββ↑␈↓ ε␈␈ε↓␈␈↓ πK␈ε↓↓
␈ββp␈↓ πY␈εp
␈ββw␈↓ ε,␈εp
␈ββ⎇␈↓ ¬α␈ελu␈↓ ¬_␈εα(␈↓ ¬$␈ελx␈↓ ¬6␈εα)␈α
=␈↓ ¬z␈ελv␈↓ ε
␈εα(␈↓ ε→␈ελx␈↓ ε;␈εα)␈α
=␈↓ π
␈ελv␈↓ π ␈εα(␈↓ π,␈ελx␈↓ π?␈εα)␈↓ πh␈εα;␈↓ α␈εα(5)
␈β∧R␈↓ ↓H␈εαthe␈α
factorization␈α
process␈α
can␈α
be␈α
completed␈α
by␈α
|nding␈αthe␈α
irreducible␈α
factors␈α
of
␈β∧}␈↓ ↓H␈ελv␈↓ ↓Z␈εα(␈↓ ↓f␈ελx␈↓ ↓y␈εα)␈αand␈αraising␈αthem␈αto␈αthe␈↓ ¬⊃␈ελp␈↓ ¬$␈εαth␈αpo␈α␈w␈α␈er.
␈β¬)␈↓ α␈εαIden␈α␈tity␈α
(5)␈αmay␈α
appear␈αsomewhat␈α
strange␈α
to␈αthe␈α
reader,␈αand␈α
it␈αis␈α
an␈α
impor-
␈β¬T␈↓ ↓H␈εαtan␈α␈t␈α
fact␈α
that␈α
is␈α
basic␈α
to␈α
Berlekamp's␈α
algorithm.␈α∂We␈α
can␈α
pro␈α␈v␈α␈e␈αit␈α
as␈α
follo␈α␈ws:␈α∞If
␈β¬␈␈↓ ↓H␈ελv␈↓ ↓f␈εα(␈↓ ↓r␈ελx␈↓ α¬␈εα)␈αand␈↓ αc␈ελv␈↓ β↓␈εα(␈↓ β
␈ελx␈↓ β ␈εα)␈αare␈αan␈α␈y␈αpolynomials␈αmodulo␈↓ π↓␈ελp␈↓ π∪␈εα,␈αthen
␈βε
␈↓ ↓W␈ε¬1␈↓ αr␈ε¬2
␈βε7␈↓ α
␈ε↓␈␈↓ β-␈ε↓↓
␈βεI␈↓ β;␈εp
␈βεP␈↓ ∧K␈εp␈↓ ¬#␈εp
␈βεV␈↓ α≠␈ελv␈↓ α9␈εα(␈↓ αE␈ελx␈↓ αX␈εα)␈↓ αd␈ελv␈↓ βα␈εα(␈↓ β∞␈ελx␈↓ β!␈εα)␈↓ βT␈εα=␈↓ ∧α␈ελv␈↓ ∧ ␈εα(␈↓ ∧,␈ελx␈↓ ∧?␈εα)␈↓ ∧Z␈ελv␈↓ ∧x␈εα(␈↓ ¬∧␈ελx␈↓ ¬↔␈εα)␈↓ ¬2␈εα,
␈βεd␈↓ α+␈ε¬1␈↓ αt␈ε¬2␈↓ ∧∩␈ε¬1␈↓ ∧j␈ε¬2
␈βεx␈↓ ↓Y␈ε↓␈␈↓ β-␈ε↓↓␈↓ ¬∞␈ε↓␈␈↓ ¬+␈ε↓↓␈↓ πl␈ε↓␈␈↓ λ5␈ε↓↓
␈βπ
␈↓ β;␈εp
␈βπ∂␈↓ ¬≤␈εp␈↓ λ⊂␈εp
␈βπ∩␈↓ ∧K␈εp␈↓ εα␈εp␈↓ 	U␈εp␈↓ 	d␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ␈εp
␈βπ↔␈↓ ↓g␈ελv␈↓ α¬␈εα(␈↓ α⊃␈ελx␈↓ α$␈εα)␈αλ+␈↓ αd␈ελv␈↓ βα␈εα(␈↓ β∞␈ελx␈↓ β!␈εα)␈↓ βT␈εα=␈↓ ∧α␈ελv␈↓ ∧ ␈εα(␈↓ ∧,␈ελx␈↓ ∧?␈εα)␈↓ ∧b␈εα+␈↓ ¬9␈ελv␈↓ ¬W␈εα(␈↓ ¬c␈ελx␈↓ ¬v␈εα)␈↓ ε⊃␈ελv␈↓ ε0␈εα(␈↓ ε<␈ελx␈↓ εN␈εα)␈αλ+␈↓ π∞␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π@␈εα+␈↓ λC␈ελv␈↓ λa␈εα(␈↓ λm␈ελx␈↓ 	␈εα)␈↓ 	␈ελv␈↓ 	*␈εα(␈↓ 	6␈ελx␈↓ 	I␈εα)␈↓ 
↔␈εα+␈↓ 
C␈ελv␈↓ 
a␈εα(␈↓ 
m␈ελx␈↓ ␈εα)
␈βπ%␈↓ ↓w␈ε¬1␈↓ αt␈ε¬2␈↓ ∧∩␈ε¬1␈↓ ¬I␈ε¬1␈↓ ε!␈ε¬2␈↓ λS␈ε¬1␈↓ 	≤␈ε¬2␈↓ 
S␈ε¬2
␈βπ*␈↓ ¬≤␈ε¬1␈↓ πz␈εp␈↓ λ
␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈βπK␈↓ ∧K␈εp␈↓ ¬W␈εp
␈βπQ␈↓ βT␈εα=␈↓ ∧α␈ελv␈↓ ∧ ␈εα(␈↓ ∧,␈ελx␈↓ ∧?␈εα)␈↓ ∧b␈εα+␈↓ ¬∞␈ελv␈↓ ¬,␈εα(␈↓ ¬8␈ελx␈↓ ¬K␈εα)␈↓ ¬f␈εα,
␈βπ↑␈↓ ∧∩␈ε¬1␈↓ ¬≡␈ε¬2
␈βλε␈↓ ¬⊂␈ε↓␈␈↓ ¬-␈ε↓↓␈↓ ε∞␈ε↓␈␈↓ εW␈ε↓↓
␈βλ≡␈↓ ¬≡␈εp␈↓ ε2␈εp
␈βλ&␈↓ ↓H␈εαsince␈αεthe␈αεbinomial␈απcoe}cien␈α␈ts␈↓ ¬;␈εα,␈↓ ¬M␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬⎇␈εα,␈↓ εk␈εαare␈απall␈αεm␈α␈ultiples␈αεof␈↓ 	λ␈ελp␈↓ 	~␈εα.␈αFurthermore␈αεif␈↓ ≠␈ελa
␈βλ9␈↓ ¬∨␈ε¬1␈↓ ε≤␈εp␈↓ ε,␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈βλS␈↓ β=␈εp␈↓ 	∂␈εm␈↓ 
>␈εm␈↓ 
X␈ε→␈␈ε¬1
␈βλX␈↓ ↓H␈εαis␈α	an␈α␈y␈α
in␈α␈teger,␈↓ β+␈ελa␈↓ βV␈ε⊗⊃␈↓ ∧∧␈ελa␈↓ ∧ ␈εα(modulo␈↓ ¬,␈ελp␈↓ ¬>␈εα).␈αTherefore␈α	when␈↓ π]␈ελv␈↓ πp␈εα(␈↓ π|␈ελx␈↓ λ∂␈εα)␈α
=␈↓ λS␈ελv␈↓ λ|␈ελx␈↓ 	.␈εα+␈↓ 	W␈ελv␈↓ 
,␈ελx␈↓ λ␈εα+
␈βλe␈↓ λb␈εm␈↓ 	g␈εm␈↓ 
␈ε→␈␈ε¬1
␈β	β␈↓ ↓H␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ↓z␈εα+␈↓ α&␈ελv␈↓ αD␈εα,␈αw␈α␈e␈α|nd␈αthat
␈β	⊂␈↓ α5␈ε¬0
␈β	Q␈↓ βW␈εp␈↓ ∧g␈εm␈↓ ¬
␈εp␈↓ εD␈εm␈↓ ε↑␈ε→␈␈ε¬1␈↓ π∃␈εp␈↓ λl␈εp
␈β	W␈↓ β~␈ελv␈↓ β-␈εα(␈↓ β9␈ελx␈↓ βK␈εα)␈↓ βq␈εα=␈α
(␈↓ ∧+␈ελv␈↓ ∧T␈ελx␈↓ ¬↓␈εα)␈↓ ¬$␈εα+␈αλ(␈↓ ¬\␈ελv␈↓ ε1␈ελx␈↓ π	␈εα)␈↓ π,␈εα+␈↓ πX␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ
␈εα+␈αλ(␈↓ λB␈ελv␈↓ λ`␈εα)
␈β	e␈↓ ∧:␈εm␈↓ ¬l␈εm␈↓ εε␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λR␈ε¬0
␈β
π␈↓ ∧[␈εm␈↓ ∧u␈εp␈↓ ε ␈ε¬(␈↓ ε)␈εm␈↓ εC␈ε→␈␈ε¬1␈α↓)␈↓ εx␈εp␈↓ 	5␈εp
␈β

␈↓ βq␈εα=␈↓ ∧∨␈ελv␈↓ ∧H␈ελx␈↓ ¬␈εα+␈↓ ¬8␈ελv␈↓ ε
␈ελx␈↓ π∂␈εα+␈↓ π;␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πm␈εα+␈↓ λ→␈ελv␈↓ λL␈εα=␈↓ 	∧␈ελv␈↓ 	⊗␈εα(␈↓ 	"␈ελx␈↓ 	D␈εα).
␈β
≠␈↓ ∧.␈εm␈↓ ¬H␈εm␈↓ ¬b␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λ)␈ε¬0
␈β
←␈↓ ↓H␈εαThis␈αpro␈α␈v␈α␈es␈α(5).
␈β
␈↓ α␈εαThe␈α
abo␈α␈v␈α␈e␈α
remarks␈α	sho␈α␈w␈α
that␈α
the␈α
problem␈α	of␈α
factoring␈α
a␈α
polynomial␈α	reduces
␈β5␈↓ ↓H␈εαto␈αλthe␈α	problem␈α	of␈α	factoring␈αλa␈α	squarefree␈α	polynomial.␈αLet␈αλus␈α	therefore␈α	assume␈αλthat
␈β␈↓ ∧t␈ελu␈↓ ¬
␈εα(␈↓ ¬⊗␈ελx␈↓ ¬)␈εα)␈α
=␈↓ ¬m␈ελp␈↓ ε␈εα(␈↓ ε_␈ελx␈↓ ε+␈εα)␈↓ ε7␈ελp␈↓ εV␈εα(␈↓ εb␈ελx␈↓ εu␈εα)␈↓ ππ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π7␈ελp␈↓ πU␈εα(␈↓ πa␈ελx␈↓ πt␈εα)␈↓ α␈εα(6)
␈β_␈↓ ¬}␈ε¬1␈↓ εH␈ε¬2␈↓ πH␈εr
␈β`␈↓ ↓H␈εαis␈α
the␈α
product␈α
of␈α
distinct␈α
primes.␈α∂Ho␈α␈w␈α
can␈α
w␈α␈e␈α
be␈αclev␈α␈er␈α
enough␈α
to␈α
disco␈α␈v␈α␈er␈α
the
␈β
␈↓ ↓H␈ελp␈↓ ↓f␈εα(␈↓ ↓r␈ελx␈↓ α¬␈εα)'s␈αwhen␈αonly␈↓ βc␈ελu␈↓ βy␈εα(␈↓ ∧¬␈ελx␈↓ ∧_␈εα)␈αis␈αgiv␈α␈en?␈α
Berlekamp's␈αidea␈αis␈αto␈α
mak␈α␈e␈αuse␈αof␈αthe␈αChinese
␈β
→␈↓ ↓Y␈εj
␈β
6␈↓ ↓H␈εαremainder␈αtheorem,␈αwhich␈αis␈αvalid␈αfor␈αpolynomials␈αjust␈αas␈αit␈αis␈αvalid␈αfor␈αin␈α␈tegers
␈β
b␈↓ ↓H␈εα(see␈α∂ex␈α␈ercise␈α∂3).␈α∃If␈α∂(␈↓ ∧	␈ελs␈↓ ∧#␈εα,␈↓ ∧3␈ελs␈↓ ∧M␈εα,␈↓ ∧]␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬
␈εα,␈↓ ¬≥␈ελs␈↓ ¬7␈εα)␈α∂is␈α∂an␈α␈y␈↓ εA␈ελr␈↓ εP␈εα-tuple␈α∂of␈α∂in␈α␈tegers␈α∂mod␈↓ 	C␈ελp␈↓ 	V␈εα,␈α∂the␈α∂Chinese
␈β
o␈↓ ∧∃␈ε¬1␈↓ ∧?␈ε¬2␈↓ ¬)␈εr
␈β∞
␈↓ ↓H␈εαremainder␈αtheorem␈αimplies␈αthat␈ε∂␈αthere␈αis␈αa␈αunique␈αpolynomial␈↓ 	∩␈ελv␈↓ 	$␈εα(␈↓ 	0␈ελx␈↓ 	C␈εα)␈ε∂␈αsuch␈αthat
␈β∞C␈↓ ∧∧␈ε↓␈␈↓ ¬\␈ε↓↓␈↓ λ%␈ε↓␈␈↓ 	|␈ε↓↓
␈β∞b␈↓ α`␈ελv␈↓ αs␈εα(␈↓ α␈␈ελx␈↓ β∩␈εα)␈ε⊗␈α
⊃␈↓ βV␈ελs␈↓ ∧∩␈εαmodulo␈↓ ¬∩␈ελp␈↓ ¬1␈εα(␈↓ ¬=␈ελx␈↓ ¬P␈εα)␈↓ ¬j␈εα,␈↓ ε≡␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εN␈εα,␈↓ πα␈ελv␈↓ π∃␈εα(␈↓ π!␈ελx␈↓ π4␈εα)␈ε⊗␈α
⊃␈↓ πx␈ελs␈↓ λ3␈εαmodulo␈↓ 	3␈ελp␈↓ 	Q␈εα(␈↓ 	]␈ελx␈↓ 	p␈εα)␈↓ 

␈εα,
␈β∞p␈↓ βb␈ε¬1␈↓ ¬#␈ε¬1␈↓ λ∧␈εr␈↓ 	D␈εr
␈β∞{␈↓ α␈εα(7)
␈β∂_␈↓ β∀␈εαdeg␈↓ βJ␈εα(␈↓ βV␈ελv␈↓ βi␈εα)␈α
<␈↓ ∧-␈εαdeg␈↓ ∧c␈εα(␈↓ ∧o␈ελp␈↓ ¬∞␈εα)␈αλ+␈↓ ¬N␈εαdeg␈↓ ε∧␈εα(␈↓ ε⊂␈ελp␈↓ ε0␈εα)␈αλ+␈↓ εp␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π"␈εα+␈↓ πN␈εαdeg␈↓ λ∧␈εα(␈↓ λ⊂␈ελp␈↓ λ.␈εα)␈α
=␈↓ λr␈εαdeg␈↓ 	(␈εα(␈↓ 	4␈ελu␈↓ 	J␈εα).
␈β∂&␈↓ ¬␈ε¬1␈↓ ε!␈ε¬2␈↓ λ!␈εr
␈β∂N␈↓ ∧←␈ε↓␈␈↓ ε)␈ε↓↓
␈β∂m␈↓ ↓H␈εαThe␈αλnotation␈↓ β≠␈ελg␈↓ β,␈εα(␈↓ β8␈ελx␈↓ βK␈εα)␈ε⊗␈α
⊃␈↓ ∧∂␈ελh␈↓ ∧!␈εα(␈↓ ∧-␈ελx␈↓ ∧?␈εα)␈↓ ∧m␈εαmodulo␈↓ ¬m␈ελf␈↓ ¬␈␈εα(␈↓ ε␈ελx␈↓ ε≥␈εα)␈↓ ε@␈εαthat␈α	appears␈αλhere␈α	is␈α	the␈αλsame␈α	as␈α	\␈↓ 
C␈ελg␈↓ 
T␈εα(␈↓ 
`␈ελx␈↓ 
r␈εα)␈ε⊗␈α
⊃
␈β∂y␈↓ α␈ε↓␈␈↓ ∧,␈ε↓↓
␈β⊂→␈↓ ↓H␈ελh␈↓ ↓Z␈εα(␈↓ ↓f␈ελx␈↓ ↓x␈εα)␈↓ α~␈εαmodulo␈↓ β∃␈ελf␈↓ β&␈εα(␈↓ β2␈ελx␈↓ βE␈εα)␈αλand␈↓ ∧~␈ελp␈↓ ∧:␈εα"␈αλin␈απex␈α␈ercise␈αλ3.2.2↑11,␈αλsince␈απw␈α␈e␈αλare␈απconsidering␈απpolynomial
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαarithmetic␈α∞modulo␈↓ β{␈ελp␈↓ ∧
␈εα.␈α∪The␈α∂polynomial␈↓ ε3␈ελv␈↓ εF␈εα(␈↓ εR␈ελx␈↓ εe␈εα)␈α∞in␈α∂(7)␈α∞giv␈α␈es␈α∂us␈α∞a␈α∂way␈α∞to␈α∂get␈α∞at␈α∞the
␈β⊂O␈↓ λ/␈ε↓␈␈↓ 
∪␈ε↓↓
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαfactors␈α	of␈↓ αc␈ελu␈↓ αx␈εα(␈↓ β∧␈ελx␈↓ β↔␈εα),␈α
for␈α	if␈↓ ∧␈ελr␈↓ ∧&␈ε⊗∃␈εα␈α
2␈α	and␈↓ ¬2␈ελs␈↓ ¬W␈ε⊗≤␈↓ ε¬␈ελs␈↓ ε∨␈εα,␈α
w␈α␈e␈α
will␈α	hav␈α␈e␈↓ πy␈εαgcd␈↓ λ=␈ελu␈↓ λS␈εα(␈↓ λ←␈ελx␈↓ λr␈εα),␈↓ 	∞␈ελv␈↓ 	!␈εα(␈↓ 	-␈ελx␈↓ 	?␈εα)␈ε⊗␈α¬␈␈↓ 	y␈ελs␈↓ 
*␈εαdivisible
␈β⊂|␈↓ ¬>␈ε¬1␈↓ ε⊃␈ε¬2␈↓ 
¬␈ε¬1
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαby␈↓ ↓|␈ελp␈↓ α≠␈εα(␈↓ α'␈ελx␈↓ α:␈εα)␈αbut␈αnot␈αby␈↓ ∧λ␈ελp␈↓ ∧'␈εα(␈↓ ∧3␈ελx␈↓ ∧F␈εα).
␈β⊃(␈↓ α
␈ε¬1␈↓ ∧→␈ε¬2
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα410␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.2
␈βα(␈↓ α␈εαSince␈αthis␈αobservation␈αsho␈α␈ws␈αthat␈αw␈α␈e␈αcan␈αget␈αinformation␈αabout␈αthe␈αfactors
␈βαS␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓u␈ελu␈↓ α
␈εα(␈↓ α⊗␈ελx␈↓ α)␈εα)␈α∂from␈α∂appropriate␈α∂solutions␈↓ ¬{␈ελv␈↓ ε∞␈εα(␈↓ ε~␈ελx␈↓ ε,␈εα)␈α∂of␈α∂(7),␈α⊂let␈α∂us␈α∂analyze␈α∂(7)␈α∂more␈α∞closely.
␈βα}␈↓ ↓H␈εαIn␈αthe␈α|rst␈αplace␈αw␈α␈e␈αcan␈αobserv␈α␈e␈αthat␈αthe␈αpolynomial␈↓ λ⊂␈ελv␈↓ λ#␈εα(␈↓ λ/␈ελx␈↓ λB␈εα)␈αsatis|es␈αthe␈αcondition
␈ββ
␈↓ ∧E␈ε↓␈␈↓ ε≤␈ε↓↓
␈ββ$␈↓ α[␈εp
␈ββ%␈↓ α¬␈εp
␈ββ*␈↓ ↓H␈ελv␈↓ ↓Z␈εα(␈↓ ↓f␈ελx␈↓ ↓y␈εα)␈↓ α≡␈ε⊗⊃␈↓ αL␈ελs␈↓ αu␈εα=␈↓ β#␈ελs␈↓ βF␈ε⊗⊃␈↓ βt␈ελv␈↓ ∧π␈εα(␈↓ ∧∪␈ελx␈↓ ∧%␈εα)␈↓ ∧S␈εαmodulo␈↓ ¬S␈ελp␈↓ ¬r␈εα(␈↓ ¬}␈ελx␈↓ ε⊂␈εα)␈↓ ε6␈εαfor␈α1␈ε⊗␈α
∀␈↓ π8␈ελj␈↓ πS␈ε⊗∀␈↓ λ↓␈ελr␈↓ λ⊃␈εα,␈αtherefore
␈ββ7␈↓ β/␈εj␈↓ ¬d␈εj
␈ββ<␈↓ α[␈εj
␈ββc␈↓ ¬λ␈ε↓␈␈↓ εV␈ε↓↓
␈ββ|␈↓ βo␈εp
␈β∧α␈↓ β1␈ελv␈↓ βD␈εα(␈↓ βP␈ελx␈↓ βc␈εα)␈↓ ∧λ␈ε⊗⊃␈↓ ∧6␈ελv␈↓ ∧I␈εα(␈↓ ∧U␈ελx␈↓ ∧h␈εα)␈↓ ¬⊗␈εαmodulo␈↓ ε⊗␈ελu␈↓ ε+␈εα(␈↓ ε7␈ελx␈↓ εJ␈εα)␈↓ εd␈εα,␈↓ π<␈εαdeg␈↓ πr␈εα(␈↓ π}␈ελv␈↓ λ⊃␈εα)␈α
<␈↓ λU␈εαdeg␈↓ 	␈εα(␈↓ 	↔␈ελu␈↓ 	-␈εα).␈↓ α␈εα(8)
␈β∧U␈↓ ↓H␈εαIn␈αthe␈αsecond␈αplace␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αthe␈αbasic␈αpolynomial␈αiden␈α␈tity
␈β¬λ␈↓ ε@␈ε↓␈␈↓ λε␈ε↓↓
␈β¬!␈↓ β≠␈εp
␈β¬'␈↓ βλ␈ελx␈↓ β2␈ε⊗␈␈↓ β↑␈ελx␈↓ β{␈ε⊗⊃␈εα␈α
(␈↓ ∧5␈ελx␈↓ ∧P␈ε⊗␈␈εα␈αλ0)(␈↓ ¬&␈ελx␈↓ ¬@␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈↓ ε⊂␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εN␈ελx␈↓ εi␈ε⊗␈␈εα␈αλ(␈↓ π!␈ελp␈↓ π<␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈↓ λB␈εα(modulo␈↓ 	N␈ελp␈↓ 	`␈εα)␈↓ α␈εα(9)
␈β¬z␈↓ ↓H␈εα(see␈αex␈α␈ercise␈α6);␈αhence
␈βε-␈↓ ∧|␈ε↓␈␈↓ ε
␈ε↓↓␈↓ ε≠␈ε↓␈␈↓ π-␈ε↓↓␈↓ πq␈ε↓␈␈↓ 	a␈ε↓↓
␈βεF␈↓ βC␈εp
␈βεL␈↓ β¬␈ελv␈↓ β_␈εα(␈↓ β$␈ελx␈↓ β7␈εα)␈↓ βZ␈ε⊗␈␈↓ ∧ε␈ελv␈↓ ∧→␈εα(␈↓ ∧%␈ελx␈↓ ∧8␈εα)␈α
=␈↓ ¬
␈ελv␈↓ ¬≤␈εα(␈↓ ¬(␈ελx␈↓ ¬;␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ0␈↓ ε)␈ελv␈↓ ε<␈εα(␈↓ εH␈ελx␈↓ ε[␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ1␈↓ πA␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π␈␈ελv␈↓ λ∩␈εα(␈↓ λ≡␈ελx␈↓ λ0␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ(␈↓ λ|␈ελp␈↓ 	↔␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈↓ 
p␈εα(10)
␈βπ∨␈↓ ↓H␈εαis␈α
an␈α∞iden␈α␈tity␈α∞for␈α
an␈α␈y␈α∞polynomial␈↓ ¬f␈ελv␈↓ ¬y␈εα(␈↓ ε¬␈ελx␈↓ ε↔␈εα),␈α∞when␈α∞w␈α␈e␈α∞are␈α
w␈α␈orking␈α∞modulo␈↓ 
≤␈ελp␈↓ 
.␈εα.␈α⊃If␈↓ 
o␈ελv␈↓ α␈εα(␈↓ ∞␈ελx␈↓  ␈εα)
␈βπJ␈↓ ↓H␈εαsatis|es␈α∞(8),␈α∂it␈α∂follo␈α␈ws␈α∞that␈↓ ¬α␈ελu␈↓ ¬↔␈εα(␈↓ ¬#␈ελx␈↓ ¬6␈εα)␈α∂divides␈α∞the␈α∂left-hand␈α∞side␈α∂of␈α∞(10),␈α∂so␈α∂ev␈α␈ery␈α∞ir-
␈βπu␈↓ ↓H␈εαreducible␈αfactor␈α
of␈↓ βu␈ελu␈↓ ∧␈εα(␈↓ ∧↔␈ελx␈↓ ∧*␈εα)␈αm␈α␈ust␈α
divide␈α
one␈αof␈α
the␈↓ π4␈ελp␈↓ πS␈εαrelativ␈α␈ely␈α
prime␈αfactors␈α
of␈αthe
␈βλ ␈↓ ↓H␈εαrigh␈α␈t-hand␈α
side␈αof␈α(10).␈αIn␈αother␈α
w␈α␈ords,␈ε∂␈αall␈εα␈αsolutions␈αof␈α
(8)␈αm␈α␈ust␈αhav␈α␈e␈α
the␈αform␈α
of
␈βλF␈↓ π_␈εr
␈βλK␈↓ ↓H␈εα(7),␈αfor␈αsome␈↓ β~␈ελs␈↓ β4␈εα,␈↓ βJ␈ελs␈↓ βd␈εα,␈↓ βz␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧*␈εα,␈↓ ∧@␈ελs␈↓ ∧Z␈εα;␈ε∂␈αthere␈αare␈αexactly␈↓ πε␈ελp␈↓ π1␈ε∂solutions␈αof␈εα␈α(8).
␈βλY␈↓ β&␈ε¬1␈↓ βV␈ε¬2␈↓ ∧L␈εr
␈βλw␈↓ α␈εαThe␈α
solutions␈↓ βg␈ελv␈↓ βz␈εα(␈↓ ∧ε␈ελx␈↓ ∧→␈εα)␈α	to␈α
congruence␈α	(8)␈α
therefore␈α
pro␈α␈vide␈α	a␈α
k␈α␈ey␈α	to␈α
the␈α	factoriza-
␈β	"␈↓ ↓H␈εαtion␈α
of␈↓ α>␈ελu␈↓ αT␈εα(␈↓ α`␈ελx␈↓ αr␈εα).␈α⊂It␈α
may␈α
seem␈α
harder␈α
to␈α
|nd␈α
all␈α
solutions␈α
to␈α∞(8)␈α
than␈α
to␈α
factor␈↓ 
l␈ελu␈↓ α␈εα(␈↓ ∞␈ελx␈↓  ␈εα)
␈β	M␈↓ ↓H␈εαin␈α
the␈α|rst␈α
place,␈α∞but␈αin␈α
fact␈α
this␈α
is␈α
not␈α
true,␈α
since␈α
the␈α
set␈α
of␈α
solutions␈α
to␈α
(8)␈αis
␈β	x␈↓ ↓H␈εαclosed␈αunder␈αaddition.␈αLet␈αdeg(␈↓ ¬4␈ελu␈↓ ¬I␈εα)␈α
=␈↓ ε
␈ελn␈↓ ε#␈εα;␈αw␈α␈e␈αcan␈αconstruct␈αthe␈↓ 	␈ελn␈↓ 	*␈ε⊗α␈↓ 	V␈ελn␈↓ 	w␈εαmatrix
␈β
+␈↓ ∧R␈ε↓0␈↓ λ\␈ε↓1
␈β
C␈↓ ¬π␈ελq␈↓ ε␈ελq␈↓ εy␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π↑␈ελq
␈β
P␈↓ ¬∀␈ε¬0␈α↓,0␈↓ ε→␈ε¬0,1␈↓ πk␈ε¬0␈α↓,␈↓ λα␈εn␈↓ λ∀␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈β
j␈↓ ¬≠␈εα.␈↓ ε ␈εα.␈↓ λ
␈εα.
␈β
l␈↓ ∧R␈ε↓B␈↓ λ\␈ε↓C
␈β
y␈↓ ¬≠␈εα.␈↓ ε ␈εα.␈↓ λ
␈εα.
␈β↓␈↓ ∧␈ελQ␈↓ ∧$␈εα=␈↓ ∧R␈ε↓@␈↓ λ\␈ε↓A␈↓ 
p␈εα(11)
␈βπ␈↓ ¬≠␈εα.␈↓ ε ␈εα.␈↓ λ
␈εα.
␈β2␈↓ ∧p␈ελq␈↓ ¬t␈ελq␈↓ εy␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πG␈ελq
␈β@␈↓ ∧⎇␈εn␈↓ ¬∂␈ε→␈␈ε¬1,0␈↓ ε↓␈εn␈↓ ε∪␈ε→␈␈ε¬1␈α↓,1␈↓ πT␈εn␈↓ πf␈ε→␈␈ε¬1,␈↓ λ→␈εn␈↓ λ+␈ε→␈␈ε¬1
␈βπ␈↓ ↓H␈εαwhere
␈β∪␈↓ λ↓␈ε↓␈␈↓ 	O␈ε↓↓
␈β,␈↓ β ␈εp␈↓ β/␈εk␈↓ ∧i␈εn␈↓ ∧{␈ε→␈␈ε¬1
␈β2␈↓ β
␈ελx␈↓ βG␈ε⊗⊃␈↓ βu␈ελq␈↓ ∧V␈ελx␈↓ ¬.␈εα+␈↓ ¬Z␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε␈εα+␈↓ ε8␈ελq␈↓ εj␈ελx␈↓ π¬␈εα+␈↓ π1␈ελq␈↓ λ∂␈εαmodulo␈↓ 	∂␈ελu␈↓ 	$␈εα(␈↓ 	0␈ελx␈↓ 	C␈εα)␈↓ 	]␈εα.␈↓ 
p␈εα(12)
␈β@␈↓ ∧α␈εk␈↓ ∧⊃␈ε¬,␈↓ ∧→␈εn␈↓ ∧+␈ε→␈␈ε¬1␈↓ εE␈εk␈↓ εT␈ε¬,1␈↓ π>␈εk␈↓ πL␈ε¬,0
␈βp␈↓ β{␈εn␈↓ ∧
␈ε→␈␈ε¬1
␈βu␈↓ ↓H␈εαThen␈↓ α&␈ελv␈↓ α8␈εα(␈↓ αD␈ελx␈↓ αW␈εα)␈α
=␈↓ β≠␈ελv␈↓ βh␈ελx␈↓ ∧@␈εα+␈↓ ∧l␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬≡␈εα+␈↓ ¬J␈ελv␈↓ ¬h␈ελx␈↓ εβ␈εα+␈↓ ε/␈ελv␈↓ εY␈εαis␈αa␈αsolution␈αto␈α(8)␈αif␈αand␈αonly␈αif
␈β
α␈↓ β+␈εn␈↓ β=␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ¬Z␈ε¬1␈↓ ε?␈ε¬0
␈β
G␈↓ ∧␈εα(␈↓ ∧↔␈ελv␈↓ ∧5␈εα,␈↓ ∧E␈ελv␈↓ ∧c␈εα,␈↓ ∧s␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬#␈εα,␈↓ ¬3␈ελv␈↓ ε␈εα)␈↓ ε␈ελQ␈↓ ε0␈εα=␈α
(␈↓ εj␈ελv␈↓ πλ␈εα,␈↓ π_␈ελv␈↓ π6␈εα,␈↓ πF␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πv␈εα,␈↓ λε␈ελv␈↓ λS␈εα);␈↓ 
p␈εα(13)
␈β
U␈↓ ∧&␈ε¬0␈↓ ∧U␈ε¬1␈↓ ¬C␈εn␈↓ ¬U␈ε→␈␈ε¬1␈↓ εz␈ε¬0␈↓ π(␈ε¬1␈↓ λ⊗␈εn␈↓ λ(␈ε→␈␈ε¬1
␈β∞~␈↓ ↓H␈εαfor␈αthe␈αlatter␈αequation␈αholds␈αif␈αand␈αonly␈αif
␈β∞I␈↓ β␈ε↓X␈↓ ∧5␈ε↓X␈↓ ∧o␈ε↓X␈↓ ε\␈ε↓X
␈β∞M␈↓ 	β␈ε↓␈␈↓ 
R␈ε↓↓
␈β∞f␈↓ βp␈εj␈↓ ε↔␈εj␈↓ πM␈εp␈↓ π\␈εk␈↓ λT␈εp
␈β∞l␈↓ α
␈ελv␈↓ α≥␈εα(␈↓ α)␈ελx␈↓ α<␈εα)␈α
=␈↓ β:␈ελv␈↓ β]␈ελx␈↓ ∧π␈εα=␈↓ ¬)␈ελv␈↓ ¬M␈ελq␈↓ ε∧␈ελx␈↓ ε.␈ε⊗⊃␈↓ π⊗␈ελv␈↓ π:␈ελx␈↓ πu␈εα=␈↓ λ#␈ελv␈↓ λ5␈εα(␈↓ λA␈ελx␈↓ λc␈εα)␈↓ 	⊃␈εαmodulo␈↓ 
⊃␈ελu␈↓ 
'␈εα(␈↓ 
3␈ελx␈↓ 
F␈εα)␈↓ 
`␈εα.
␈β∞z␈↓ βJ␈εj␈↓ ¬9␈εk␈↓ ¬Z␈εk␈↓ ¬i␈ε¬,␈↓ ¬q␈εj␈↓ π&␈εk
␈β∂≡␈↓ β∪␈εj␈↓ ∧H␈εj␈↓ ¬↓␈εk␈↓ εo␈εk
␈β∂[␈↓ α␈εαBerlekamp's␈αfactoring␈αalgorithm␈αtherefore␈αproceeds␈αas␈αfollo␈α␈ws:
␈β∂q␈↓ εu␈ε↓␈␈↓ λ≠␈ε↓↓
␈β⊂␈↓ πi␈ε→0
␈β⊂⊃␈↓ ↓L␈ε∩B1.␈↓ α␈εαEnsure␈απthat␈↓ βI␈ελu␈↓ β←␈εα(␈↓ βk␈ελx␈↓ β⎇␈εα)␈αλis␈απsquarefree;␈α	i.e.,␈α	if␈↓ ε?␈εαgcd␈↓ πβ␈ελu␈↓ π→␈εα(␈↓ π%␈ελx␈↓ π8␈εα),␈↓ πT␈ελu␈↓ πp␈εα(␈↓ π|␈ελx␈↓ λ∂␈εα)␈↓ λ3␈ε⊗≤␈εα␈α
1,␈α	reduce␈απthe␈απproblem
␈β⊂<␈↓ α␈εαof␈αfactoring␈↓ βN␈ελu␈↓ βd␈εα(␈↓ βp␈ελx␈↓ ∧α␈εα),␈αas␈αstated␈αearlier␈αin␈αthis␈αsection.
␈β⊂q␈↓ ↓L␈ε∩B2.␈↓ α␈εαForm␈αthe␈α
matrix␈↓ ∧≡␈ελQ␈↓ ∧C␈εαde|ned␈αby␈α
(11)␈αand␈α(12).␈αThis␈αcan␈αbe␈αdone␈α
in␈αone␈αof␈α
t␈α␈w␈α␈o
␈β⊃≤␈↓ α␈εαways,␈αdepending␈αon␈αwhether␈αor␈αnot␈↓ εD␈ελp␈↓ εb␈εαis␈αv␈α␈ery␈αlarge,␈αas␈αexplained␈αbelo␈α␈w.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.2␈ε∞␈↓ εRF␈α|A␈α␈CTORIZ␈α␈A␈α}T␈α␈ION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα411
␈βα%␈↓ ↓L␈ε∩B3.␈↓ α␈εα\Triangularize"␈α∂the␈α⊂matrix␈↓ ¬L␈ελQ␈↓ ¬q␈ε⊗␈␈↓ ε∨␈ελI␈↓ ε/␈εα,␈α⊂where␈↓ π5␈ελI␈↓ πU␈εα=␈α∂(␈↓ λ∀␈ελ∞␈↓ λ:␈εα)␈α∂is␈α⊂the␈↓ 	>␈ελn␈↓ 	↑␈ε⊗α␈↓ 
␈ελn␈↓ 
1␈εαiden␈α␈tity
␈βα2␈↓ λ!␈εi␈↓ λ-␈εj
␈βαK␈↓ ∧␈ε¬[1]
␈βαP␈↓ α␈εαmatrix,␈α|nding␈αits␈αrank␈↓ ¬	␈ελn␈↓ ¬&␈ε⊗␈␈↓ ¬R␈ελr␈↓ ¬m␈εαand␈α|nding␈αlinearly␈αindependen␈α␈t␈αv␈α␈ectors␈↓ 
q␈ελv␈↓ "␈εα,
␈βα\␈↓ 	.␈ε↓␈
␈βαv␈↓ αc␈ε¬[␈↓ αk␈εr␈↓ αy␈ε¬]␈↓ ∧9␈ε¬[␈↓ ∧A␈εj␈↓ ∧N␈ε¬]
␈βα{␈↓ α␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ α<␈εα,␈↓ αP␈ελv␈↓ β
␈εαsuch␈α
that␈↓ ∧&␈ελv␈↓ ∧V␈εα(␈↓ ∧b␈ελQ␈↓ ¬α␈ε⊗␈␈↓ ¬+␈ελI␈↓ ¬;␈εα)␈α
=␈α
(0,␈αε0,␈↓ εO␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε␈␈εα,␈αε0)␈α
for␈α
1␈ε⊗␈α
∀␈↓ λ7␈ελj␈↓ λQ␈ε⊗∀␈↓ λ␈␈ελr␈↓ 	∂␈εα.␈↓ 	<␈εαThe␈α	|rst␈α
v␈α␈ector
␈ββ&␈↓ α∨␈ε¬[1]
␈ββ,␈↓ α␈ελv␈↓ αM␈εαmay␈α⊂always␈α⊂be␈α⊂tak␈α␈en␈α⊂as␈α⊂(1,␈αε0,␈↓ ε6␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εf␈εα,␈αε0),␈α⊃represen␈α␈ting␈α⊂the␈α⊂trivial␈α⊂solution
␈ββR␈↓ α∨␈ε¬[1]
␈ββW␈↓ α␈ελv␈↓ α=␈εα(␈↓ αI␈ελx␈↓ α\␈εα)␈α=␈α1␈α
to␈α
(8).␈α∂The␈α∞\triangularization"␈α
needed␈α
in␈α
this␈α
step␈α
can␈α
be␈α
done
␈ββb␈↓ 
h␈ε↓↓
␈β∧α␈↓ α␈εαusing␈απappropriate␈αλcolumn␈απoperations,␈αλas␈αλexplained␈απin␈αλAlgorithm␈απN␈απbelo␈α␈w.␈↓ ∧␈ε∂At
␈β∧-␈↓ α␈ε∂this␈α	poin␈α␈t,␈↓ β3␈ελr␈↓ βK␈ε∂is␈α	the␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈αλof␈α	irreducible␈αλfactors␈α	of␈↓ λ∀␈ελu␈↓ λ)␈εα(␈↓ λ5␈ελx␈↓ λH␈εα),␈α	because␈α	the␈αλsolutions
␈β∧S␈↓ βr␈εr␈↓ 	?␈ε¬[1]␈↓ ∂␈ε¬[␈↓ ↔␈εr␈↓ $␈ε¬]
␈β∧X␈↓ α␈εαto␈α
(8)␈α
are␈α
the␈↓ β`␈ελp␈↓ ∧
␈εαpolynomials␈α
corresponding␈α
to␈α
the␈α
v␈α␈ectors␈↓ 	∪␈ελt␈↓ 	,␈ελv␈↓ 	b␈εα+␈↓ 
␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 
;␈εα+␈↓ 
d␈ελt␈↓ 
|␈ελv
␈β∧f␈↓ 	≥␈ε¬1␈↓ 
o␈εr
␈β¬∧␈↓ α␈εαfor␈α∞all␈α∞choices␈α∞of␈α∞in␈α␈tegers␈α∞0␈ε⊗␈α∞∀␈↓ ¬z␈ελt␈↓ ε∀␈εα,␈↓ ε$␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εT␈εα,␈↓ εd␈ελt␈↓ π	␈εα<␈↓ π;␈ελp␈↓ πM␈εα.␈α∩Therefore␈α∞if␈↓ 	4␈ελr␈↓ 	Q␈εα=␈α
1␈α∞w␈α␈e␈α∞kno␈α␈w
␈β¬⊃␈↓ ε¬␈ε¬1␈↓ εn␈εr
␈β¬/␈↓ α␈εαthat␈↓ αZ␈ελu␈↓ αp␈εα(␈↓ α|␈ελx␈↓ β∞␈εα)␈αis␈αirreducible,␈αand␈αthe␈αprocedure␈αterminates.
␈β¬A␈↓ βa␈ε↓␈␈↓ ¬V␈ε↓↓
␈β¬\␈↓ ∧R␈ε¬[2␈α↓]␈↓ λQ␈ε¬[2]
␈β¬a␈↓ ↓L␈ε∩B4.␈↓ α␈εαCalculate␈↓ β+␈εαgcd␈↓ βo␈ελu␈↓ ∧¬␈εα(␈↓ ∧⊃␈ελx␈↓ ∧#␈εα),␈↓ ∧?␈ελv␈↓ ∧q␈εα(␈↓ ∧⎇␈ελx␈↓ ¬∂␈εα)␈ε⊗␈α∧␈␈↓ ¬G␈ελs␈↓ ¬m␈εαfor␈α	0␈ε⊗␈α
∀␈↓ εl␈ελs␈↓ π¬␈εα<␈↓ π3␈ελp␈↓ πE␈εα,␈α
where␈↓ λ>␈ελv␈↓ λo␈εα(␈↓ λ{␈ελx␈↓ 	∞␈εα)␈α	is␈α	the␈αλpolynomial
␈βε␈↓ ¬π␈ε¬[2␈α↓]
␈βε⊃␈↓ α␈εαrepresen␈α␈ted␈α∂by␈α∂v␈α␈ector␈↓ ∧t␈ελv␈↓ ¬&␈εα.␈α∀The␈α∂result␈α∂will␈α∞be␈α∂a␈α∂non␈α␈trivial␈α∂factorization␈α∞of
␈βε7␈↓ βy␈ε¬[2]
␈βε<␈↓ α␈ελu␈↓ α"␈εα(␈↓ α.␈ελx␈↓ α@␈εα),␈αbecause␈↓ βf␈ελv␈↓ ∧↔␈εα(␈↓ ∧#␈ελx␈↓ ∧6␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ∧v␈ελs␈↓ ¬⊂␈εαis␈αnonzero␈αand␈αhas␈αdegree␈αless␈αthan␈αdeg(␈↓ 
π␈ελu␈↓ 
≥␈εα),␈αand␈αby
␈βεh␈↓ α␈εαex␈α␈ercise␈α7␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈βπ
␈↓ ¬j␈ε↓Y
␈βπ∞␈↓ εo␈ε↓␈␈↓ λT␈ε↓↓
␈βπ-␈↓ ∧W␈ελu␈↓ ∧l␈εα(␈↓ ∧x␈ελx␈↓ ¬␈εα)␈α
=␈↓ ε9␈εαgcd␈↓ ε⎇␈ελv␈↓ π⊂␈εα(␈↓ π≤␈ελx␈↓ π.␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ πn␈ελs␈↓ π⎇␈εα,␈↓ λ∪␈ελu␈↓ λ)␈εα(␈↓ λ5␈ελx␈↓ λH␈εα)␈↓ 
p␈εα(14)
␈βπ←␈↓ ¬O␈ε¬0␈ε→␈α↓∀␈↓ ¬z␈εs␈↓ επ␈ε¬<␈↓ ε$␈εp
␈βλ+␈↓ α␈εαwhenev␈α␈er␈↓ β+␈ελv␈↓ β>␈εα(␈↓ βJ␈ελx␈↓ β]␈εα)␈αsatis|es␈α(8).
␈βλQ␈↓ ∧≠␈ε¬[2]
␈βλV␈↓ αP␈εαIf␈αλthe␈απuse␈αλof␈↓ ∧λ␈ελv␈↓ ∧9␈εα(␈↓ ∧E␈ελx␈↓ ∧X␈εα)␈αλdoes␈απnot␈απsucceed␈αλin␈απsplitting␈↓ λ∨␈ελu␈↓ λ4␈εα(␈↓ λ@␈ελx␈↓ λS␈εα)␈απin␈α␈to␈↓ 	+␈ελr␈↓ 	B␈εαfactors,␈αλfurther
␈βλa␈↓ π*␈ε↓␈␈↓ 	4␈ε↓↓
␈βλ|␈↓ πK␈ε¬[␈↓ πS␈εk␈↓ πb␈ε¬]
␈β	↓␈↓ α␈εαfactors␈αcan␈α
be␈αobtained␈α
by␈αcalculating␈↓ εt␈εαgcd␈↓ π8␈ελv␈↓ πj␈εα(␈↓ πv␈ελx␈↓ λ	␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ λI␈ελs␈↓ λX␈εα,␈↓ λn␈ελw␈↓ 		␈εα(␈↓ 	∃␈ελx␈↓ 	(␈εα)␈↓ 	N␈εαfor␈α0␈ε⊗␈α∀␈↓ 
R␈ελs␈↓ 
k␈εα<␈↓ ~␈ελp
␈β	,␈↓ α␈εαand␈αλall␈απfactors␈↓ βm␈ελw␈↓ ∧π␈εα(␈↓ ∧∪␈ελx␈↓ ∧&␈εα)␈αλfound␈απso␈αλfar,␈αλfor␈↓ ε5␈ελk␈↓ εP␈εα=␈α
3,␈α	4,␈↓ πG␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πw␈εα,␈α	un␈α␈til␈↓ λZ␈ελr␈↓ λq␈εαfactors␈αλare␈απobtained.
␈β	8␈↓ α␈ε↓␈
␈β	W␈↓ α~␈εαIf␈α	w␈α␈e␈α
choose␈↓ β]␈ελs␈↓ β␈␈ε⊗≤␈↓ ∧-␈ελs␈↓ ∧O␈εαin␈α
(7),␈α
w␈α␈e␈α	obtain␈α	a␈α
solution␈↓ πu␈ελv␈↓ λλ␈εα(␈↓ λ∀␈ελx␈↓ λ'␈εα)␈α	to␈α
(8)␈α	that␈α	distinguishes
␈β	e␈↓ βi␈εi␈↓ ∧9␈εj
␈β
β␈↓ ¬␈ε¬[␈↓ ¬λ␈εk␈↓ ¬↔␈ε¬]
␈β
λ␈↓ α␈ελp␈↓ α)␈εα(␈↓ α5␈ελx␈↓ αG␈εα)␈αfrom␈↓ β5␈ελp␈↓ βS␈εα(␈↓ β←␈ελx␈↓ βr␈εα);␈αsome␈↓ ∧n␈ελv␈↓ ¬∨␈εα(␈↓ ¬+␈ελx␈↓ ¬>␈εα)␈ε⊗␈απ␈␈↓ ¬⎇␈ελs␈↓ ε_␈εαwill␈αbe␈αdivisible␈αby␈↓ λM␈ελp␈↓ λj␈εα(␈↓ λv␈ελx␈↓ 	λ␈εα)␈αand␈αnot␈αby␈↓ 
Y␈ελp␈↓ 
x␈εα(␈↓ ∧␈ελx␈↓ ⊗␈εα),
␈β
∪␈↓ λl␈ε↓↓
␈β
∃␈↓ α≥␈εi␈↓ βF␈εj␈↓ λ↑␈εi␈↓ 
j␈εj
␈β
3␈↓ α␈εαso␈αthis␈αprocedure␈αwill␈αev␈α␈en␈α␈tually␈α|nd␈αall␈αof␈αthe␈αfactors.
␈β
8␈↓ 	"␈∧
8	"≠∂
␈β
l␈↓ α␈εαAs␈αan␈αexample␈αof␈αthis␈αprocedure,␈αlet␈αus␈αno␈α␈w␈αdetermine␈αthe␈αfactorization␈αof
␈β,␈↓ ∧R␈ε¬8␈↓ ¬'␈ε¬6␈↓ ε ␈ε¬4␈↓ π→␈ε¬3␈↓ λ␈ε¬2
␈β2␈↓ βF␈ελu␈↓ β\␈εα(␈↓ βh␈ελx␈↓ β{␈εα)␈α
=␈↓ ∧?␈ελx␈↓ ∧h␈εα+␈↓ ¬∀␈ελx␈↓ ¬=␈εα+␈αλ10␈↓ ε
␈ελx␈↓ ε6␈εα+␈αλ10␈↓ πε␈ελx␈↓ π0␈εα+␈αλ8␈↓ πn␈ελx␈↓ λ↔␈εα+␈αλ2␈↓ λU␈ελx␈↓ λp␈εα+␈αλ8␈↓ 
p␈εα(15)
␈βx␈↓ ↓H␈εαmodulo␈αλ13.␈α∩(This␈α	polynomial␈αλappears␈α	in␈α	sev␈α␈eral␈α	of␈αλthe␈α	examples␈α	in␈α	Section␈αλ4.6.1.)
␈β∧␈↓ 	∩␈ε↓␈␈↓ 
8␈ε↓↓
␈β≡␈↓ 
ε␈ε→0
␈β#␈↓ ↓H␈εαA␈α⊃quick␈α∩calculation␈α⊃using␈α⊃Algorithm␈α∩4.6.1E␈α⊃sho␈α␈ws␈α∩that␈↓ λ\␈εαgcd␈↓ 	 ␈ελu␈↓ 	6␈εα(␈↓ 	B␈ελx␈↓ 	U␈εα),␈↓ 	q␈ελu␈↓ 
∞␈εα(␈↓ 
~␈ελx␈↓ 
,␈εα)␈↓ 
Y␈εα=␈α∪1;
␈βN␈↓ ↓H␈εαtherefore␈↓ α↑␈ελu␈↓ αt␈εα(␈↓ β␈ελx␈↓ β∩␈εα)␈αis␈α
squarefree,␈α
and␈αw␈α␈e␈α
turn␈α
to␈α
step␈α
B2.␈αStep␈α
B2␈α
in␈α␈v␈α␈olv␈α␈es␈α
calculating
␈βz␈↓ ↓H␈εαthe␈↓ αε␈ελQ␈↓ α,␈εαmatrix,␈αwhich␈αin␈αthis␈αcase␈αis␈αan␈α8␈ε⊗␈α	α␈εα␈αλ8␈αarray.␈αThe␈α|rst␈αro␈α␈w␈αof␈↓ 	x␈ελQ␈↓ 
≡␈εαis␈αalways
␈β
 ␈↓ π∃␈ε¬0
␈β
%␈↓ ↓H␈εα(1,␈αε0,␈αε0,␈↓ α:␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ αj␈εα,␈αε0),␈α⊃represen␈α␈ting␈α⊂the␈α⊂polynomial␈↓ πα␈ελx␈↓ π)␈εαmod␈↓ πs␈ελu␈↓ λ	␈εα(␈↓ λ∃␈ελx␈↓ λ(␈εα)␈α⊂=␈α⊃1.␈α_The␈α⊂second␈α⊂ro␈α␈w
␈β
K␈↓ ββ␈ε¬1␈α↓3␈↓ εY␈εk
␈β
P␈↓ ↓H␈εαrepresen␈α␈ts␈↓ αq␈ελx␈↓ β&␈εαmod␈↓ βp␈ελu␈↓ ∧ε␈εα(␈↓ ∧∩␈ελx␈↓ ∧%␈εα),␈αand,␈αin␈αgeneral,␈↓ εG␈ελx␈↓ εn␈εαmod␈↓ π8␈ελu␈↓ πN␈εα(␈↓ πZ␈ελx␈↓ πl␈εα)␈αmay␈αreadily␈αbe␈αdetermined
␈β
{␈↓ ↓H␈εαas␈αfollo␈α␈ws␈α(for␈αrelativ␈α␈ely␈αsmall␈αvalues␈αof␈↓ εD␈ελk␈↓ εU␈εα):␈αIf
␈β∞;␈↓ ∧⎇␈εn␈↓ ε'␈εn␈↓ ε9␈ε→␈␈ε¬1
␈β∞A␈↓ βq␈ελu␈↓ ∧π␈εα(␈↓ ∧∪␈ελx␈↓ ∧&␈εα)␈α
=␈↓ ∧j␈ελx␈↓ ¬⊗␈εα+␈↓ ¬B␈ελu␈↓ ε∀␈ελx␈↓ εl␈εα+␈↓ π_␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πJ␈εα+␈↓ πv␈ελu␈↓ λ→␈ελx␈↓ λ4␈εα+␈↓ λ`␈ελu
␈β∞N␈↓ ¬W␈εn␈↓ ¬i␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λ␈ε¬1␈↓ λt␈ε¬0
␈β∂π␈↓ ↓H␈εαand␈αif
␈β∂∩␈↓ πz␈ε↓␈␈↓ 	H␈ε↓↓
␈β∂,␈↓ β'␈εk␈↓ ∧d␈εn␈↓ ∧v␈ε→␈␈ε¬1
␈β∂2␈↓ β∀␈ελx␈↓ β?␈ε⊗⊃␈↓ βm␈ελa␈↓ ∧R␈ελx␈↓ ¬*␈εα+␈↓ ¬V␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ελ␈εα+␈↓ ε4␈ελa␈↓ εi␈ελx␈↓ π∧␈εα+␈↓ π0␈ελa␈↓ λλ␈εαmodulo␈↓ 	λ␈ελu␈↓ 	≥␈εα(␈↓ 	)␈ελx␈↓ 	<␈εα)␈↓ 	V␈εα,
␈β∂?␈↓ β}␈εk␈↓ ∧
␈ε¬,␈↓ ∧∃␈εn␈↓ ∧&␈ε→␈␈ε¬1␈↓ εD␈εk␈↓ εS␈ε¬,1␈↓ πA␈εk␈↓ πO␈ε¬,0
␈β∂o␈↓ ↓H␈εαthen
␈β⊂'␈↓ ↓y␈εk␈↓ απ␈ε¬+1␈↓ βb␈εn␈↓ ¬N␈ε¬2
␈β⊂-␈↓ ↓f␈ελx␈↓ α=␈ε⊗⊃␈↓ αk␈ελa␈↓ βO␈ελx␈↓ β|␈εα+␈↓ ∧(␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧Z␈εα+␈↓ ¬ε␈ελa␈↓ ¬;␈ελx␈↓ ¬e␈εα+␈↓ ε⊃␈ελa␈↓ εF␈ελx
␈β⊂:␈↓ α{␈εk␈↓ β
␈ε¬,␈↓ β∩␈εn␈↓ β$␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ¬⊗␈εk␈↓ ¬%␈ε¬,1␈↓ ε!␈εk␈↓ ε0␈ε¬,0
␈β⊂]␈↓ ∧c␈εn␈↓ ∧u␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λv␈εn␈↓ 	λ␈ε→␈␈ε¬1
␈β⊂c␈↓ α=␈ε⊗⊃␈↓ αk␈ελa␈↓ βO␈εα(␈ε⊗␈␈↓ β␈␈ελu␈↓ ∧Q␈ελx␈↓ ¬)␈ε⊗␈␈↓ ¬U␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ επ␈ε⊗␈␈↓ ε3␈ελu␈↓ εU␈ελx␈↓ εp␈ε⊗␈␈↓ π≤␈ελu␈↓ π?␈εα)␈αλ+␈↓ π␈␈ελa␈↓ λd␈ελx␈↓ 	<␈εα+␈↓ 	h␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 
~␈εα+␈↓ 
F␈ελa␈↓ 
{␈ελx
␈β⊂p␈↓ α{␈εk␈↓ β
␈ε¬,␈↓ β∩␈εn␈↓ β$␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ∧∀␈εn␈↓ ∧%␈ε→␈␈ε¬1␈↓ εG␈ε¬1␈↓ π1␈ε¬0␈↓ λ⊂␈εk␈↓ λ∨␈ε¬,␈↓ λ'␈εn␈↓ λ8␈ε→␈␈ε¬2␈↓ 
V␈εk␈↓ 
e␈ε¬,0
␈β⊃∪␈↓ ∧
␈εn␈↓ ∧∨␈ε→␈␈ε¬1
␈β⊃→␈↓ α=␈εα=␈↓ αk␈ελa␈↓ βz␈ελx␈↓ ∧R␈εα+␈↓ ∧}␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬0␈εα+␈↓ ¬\␈ελa␈↓ ε=␈ελx␈↓ εX␈εα+␈↓ π∧␈ελa␈↓ πe␈εα,
␈β⊃&␈↓ α{␈εk␈↓ β
␈ε¬+1,␈↓ β=␈εn␈↓ βO␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ¬m␈εk␈↓ ¬{␈ε¬+1␈α↓,1␈↓ π∃␈εk␈↓ π#␈ε¬+1,0
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα412␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.2
␈βα(␈↓ ↓H␈εαwhere
␈βαS␈↓ ∧\␈ελa␈↓ ¬F␈εα=␈↓ ¬t␈ελa␈↓ ε\␈ε⊗␈␈↓ πλ␈ελa␈↓ πl␈ελu␈↓ λ∞␈εα.␈↓ 
p␈εα(16)
␈βαa␈↓ ∧m␈εk␈↓ ∧|␈ε¬+␈α␈1␈α↓,␈↓ ¬/␈εj␈↓ ε¬␈εk␈↓ ε∪␈ε¬,␈↓ ε≠␈εj␈↓ ε(␈ε→␈␈ε¬1␈↓ π_␈εk␈↓ π'␈ε¬,␈↓ π/␈εn␈↓ πA␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λ↓␈εj
␈ββ
␈↓ ↓H␈εαIn␈α
this␈α
form␈α␈ula␈↓ β9␈ελa␈↓ ∧⊗␈εαis␈α
treated␈α
as␈α
zero,␈α
so␈αthat␈↓ π'␈ελa␈↓ λ∩␈εα=␈ε⊗␈α
␈␈↓ λd␈ελa␈↓ 	H␈ελu␈↓ 	k␈εα.␈αThe␈α
simple
␈ββ_␈↓ βJ␈εk␈↓ βX␈ε¬,␈ε→␈␈ε¬1␈↓ π7␈εk␈↓ πF␈ε¬+1,0␈↓ λt␈εk␈↓ 	β␈ε¬,␈↓ 	␈εn␈↓ 	≥␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 	]␈ε¬0
␈ββ0␈↓ λT␈ε¬1␈↓ 		␈ε¬2␈↓ 	>␈ε¬3
␈ββ5␈↓ ↓H␈εα\shift␈α	register"␈α
recurrence␈α	(16)␈α
mak␈α␈es␈α
it␈α	easy␈α
to␈α	calculate␈↓ λA␈ελx␈↓ λb␈εα,␈↓ λv␈ελx␈↓ 	↔␈εα,␈↓ 	,␈ελx␈↓ 	M␈εα,␈↓ 	a␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
∀␈εαmod␈↓ 
b␈ελu␈↓ 
x␈εα(␈↓ ∧␈ελx␈↓ ⊗␈εα).
␈ββa␈↓ ↓H␈εαInside␈α∞a␈α∞computer,␈α∞this␈α∞calculation␈α∞w␈α␈ould␈α∞of␈α∞course␈α∞be␈α∞done␈α∞by␈α∞k␈α␈eeping␈α∞a␈α∞one-
␈β∧␈↓ ↓H␈εαdimensional␈α∞array␈α∞(␈↓ β}␈ελa␈↓ ∧L␈εα,␈↓ ∧\␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬␈εα,␈↓ ¬≤␈ελa␈↓ ¬<␈εα,␈↓ ¬L␈ελa␈↓ ¬k␈εα)␈α∞and␈α∂repeatedly␈α∞setting␈↓ λx␈ελt␈↓ 	∀␈ε⊗ ␈↓ 	F␈ελa␈↓ 
∪␈εα,␈↓ 
-␈ελa␈↓ λ␈ε⊗ 
␈β∧→␈↓ ∧∂␈εn␈↓ ∧!␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ¬-␈ε¬1␈↓ ¬\␈ε¬0␈↓ 	V␈εn␈↓ 	h␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 
=␈εn␈↓ 
O␈ε→␈␈ε¬1
␈β∧7␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελa␈↓ α&␈ε⊗␈␈↓ αO␈ελt␈↓ α\␈ελu␈↓ β.␈εα)␈↓ β@␈εαmod␈↓ ∧
␈ελp␈↓ ∧≤␈εα,␈↓ ∧0␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧`␈εα,␈↓ ∧t␈ελa␈↓ ¬≡␈ε⊗ ␈εα␈α
(␈↓ ¬X␈ελa␈↓ ¬|␈ε⊗␈␈↓ ε$␈ελt␈↓ ε1␈ελu␈↓ εT␈εα)␈↓ εf␈εαmod␈↓ π0␈ελp␈↓ πC␈εα,␈↓ πW␈ελa␈↓ λ␈ε⊗ ␈εα␈α
(␈ε⊗␈␈↓ λ↑␈ελt␈↓ λk␈ελu␈↓ 	∞␈εα)␈↓ 	 ␈εαmod␈↓ 	j␈ελp␈↓ 	|␈εα.␈α∀(We␈α	hav␈α␈e
␈β∧D␈↓ ↓d␈εn␈↓ ↓v␈ε→␈␈ε¬2␈↓ αq␈εn␈↓ ββ␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ ¬¬␈ε¬1␈↓ ¬h␈ε¬0␈↓ εF␈ε¬1␈↓ πh␈ε¬0␈↓ 	␈ε¬0
␈β∧b␈↓ ↓H␈εαseen␈α
similar␈α
procedures␈α
in␈α
connection␈α
with␈α
random-n␈α␈um␈α␈ber␈α
generation;␈α
cf.␈α
3.2.2↑
␈β¬
␈↓ ↓H␈εα10.)␈α_For␈αour␈αexample␈αpolynomial␈↓ ¬d␈ελu␈↓ ¬y␈εα(␈↓ ε¬␈ελx␈↓ ε_␈εα)␈αin␈α(15),␈αw␈α␈e␈αobtain␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αsequence
␈β¬4␈↓ βc␈εk
␈β¬9␈↓ ↓H␈εαof␈αcoe}cien␈α␈ts␈αof␈↓ βQ␈ελx␈↓ βx␈εαmod␈↓ ∧B␈ελu␈↓ ∧X␈εα(␈↓ ∧d␈ελx␈↓ ∧v␈εα),␈αusing␈αarithmetic␈αmodulo␈α13:
␈β¬k␈↓ β≤␈ελk␈↓ βl␈ελa␈↓ ∧U␈ελa␈↓ ¬>␈ελa␈↓ ε(␈ελa␈↓ π⊃␈ελa␈↓ λ␈ελa␈↓ λc␈ελa␈↓ 	D␈ελa
␈β¬y␈↓ β|␈εk␈↓ ∧␈ε¬,7␈↓ ∧f␈εk␈↓ ∧t␈ε¬,6␈↓ ¬O␈εk␈↓ ¬↑␈ε¬,5␈↓ ε8␈εk␈↓ εG␈ε¬,4␈↓ π"␈εk␈↓ π0␈ε¬,3␈↓ λ⊂␈εk␈↓ λ∨␈ε¬,2␈↓ λt␈εk␈↓ 	β␈ε¬,1␈↓ 	U␈εk␈↓ 	d␈ε¬,0
␈βε!␈↓ β≥␈εβ0␈↓ ∧ε␈εβ0␈↓ ∧p␈εβ0␈↓ ¬Y␈εβ0␈↓ εB␈εβ0␈↓ π,␈εβ0␈↓ λ∃␈εβ0␈↓ λ}␈εβ0␈↓ 	W␈εβ1
␈βεL␈↓ β≥␈εβ1␈↓ ∧ε␈εβ0␈↓ ∧p␈εβ0␈↓ ¬Y␈εβ0␈↓ εB␈εβ0␈↓ π,␈εβ0␈↓ λ∃␈εβ0␈↓ λ}␈εβ1␈↓ 	W␈εβ0
␈βεw␈↓ β≥␈εβ2␈↓ ∧ε␈εβ0␈↓ ∧p␈εβ0␈↓ ¬Y␈εβ0␈↓ εB␈εβ0␈↓ π,␈εβ0␈↓ λ∃␈εβ1␈↓ λ}␈εβ0␈↓ 	W␈εβ0
␈βπ"␈↓ β≥␈εβ3␈↓ ∧ε␈εβ0␈↓ ∧p␈εβ0␈↓ ¬Y␈εβ0␈↓ εB␈εβ0␈↓ π,␈εβ1␈↓ λ∃␈εβ0␈↓ λ}␈εβ0␈↓ 	W␈εβ0
␈βπM␈↓ β≥␈εβ4␈↓ ∧ε␈εβ0␈↓ ∧p␈εβ0␈↓ ¬Y␈εβ0␈↓ εB␈εβ1␈↓ π,␈εβ0␈↓ λ∃␈εβ0␈↓ λ}␈εβ0␈↓ 	W␈εβ0
␈βπy␈↓ β≥␈εβ5␈↓ ∧ε␈εβ0␈↓ ∧p␈εβ0␈↓ ¬Y␈εβ1␈↓ εB␈εβ0␈↓ π,␈εβ0␈↓ λ∃␈εβ0␈↓ λ}␈εβ0␈↓ 	W␈εβ0
␈βλ$␈↓ β≥␈εβ6␈↓ ∧ε␈εβ0␈↓ ∧p␈εβ1␈↓ ¬Y␈εβ0␈↓ εB␈εβ0␈↓ π,␈εβ0␈↓ λ∃␈εβ0␈↓ λ}␈εβ0␈↓ 	W␈εβ0
␈βλO␈↓ β≥␈εβ7␈↓ ∧ε␈εβ1␈↓ ∧p␈εβ0␈↓ ¬Y␈εβ0␈↓ εB␈εβ0␈↓ π,␈εβ0␈↓ λ∃␈εβ0␈↓ λ}␈εβ0␈↓ 	W␈εβ0
␈βλz␈↓ β≥␈εβ8␈↓ ∧ε␈εβ0␈↓ ∧←␈εβ12␈↓ ¬Y␈εβ0␈↓ εB␈εβ3␈↓ π,␈εβ3␈↓ λ∃␈εβ5␈↓ λn␈εβ1␈α␈1␈↓ 	W␈εβ5
␈β	%␈↓ β≥␈εβ9␈↓ βv␈εβ1␈α␈2␈↓ ∧p␈εβ0␈↓ ¬Y␈εβ3␈↓ εB␈εβ3␈↓ π,␈εβ5␈↓ λ∧␈εβ11␈↓ λ}␈εβ5␈↓ 	W␈εβ0
␈β	Q␈↓ β
␈εβ1␈α␈0␈↓ ∧ε␈εβ0␈↓ ∧p␈εβ4␈↓ ¬Y␈εβ3␈↓ εB␈εβ2␈↓ π,␈εβ8␈↓ λ∃␈εβ0␈↓ λ}␈εβ2␈↓ 	W␈εβ8
␈β	|␈↓ β
␈εβ1␈α␈1␈↓ ∧ε␈εβ4␈↓ ∧p␈εβ3␈↓ ¬Y␈εβ2␈↓ εB␈εβ8␈↓ π,␈εβ0␈↓ λ∃␈εβ2␈↓ λ}␈εβ8␈↓ 	W␈εβ0
␈β
'␈↓ β
␈εβ1␈α␈2␈↓ ∧ε␈εβ3␈↓ ∧←␈εβ11␈↓ ¬Y␈εβ8␈↓ ε2␈εβ1␈α␈2␈↓ π,␈εβ1␈↓ λ∃␈εβ2␈↓ λ}␈εβ5␈↓ 	W␈εβ7
␈β
R␈↓ β
␈εβ1␈α␈3␈↓ βv␈εβ1␈α␈1␈↓ ∧p␈εβ5␈↓ ¬H␈εβ12␈↓ ε2␈εβ1␈α␈0␈↓ π≠␈εβ11␈↓ λ∃␈εβ7␈↓ λ}␈εβ1␈↓ 	W␈εβ2
␈βπ␈↓ ↓H␈εαTherefore␈α	the␈α	second␈α
ro␈α␈w␈α	of␈↓ ∧␈␈ελQ␈↓ ¬#␈εαis␈α	(2,␈αε1,␈αε7,␈αε11,␈αε10,␈αε12,␈αε5,␈αε11).␈αSimilarly␈α
w␈α␈e␈α	may␈α	deter-
␈β-␈↓ α2␈ε¬2␈α↓6␈↓ ∧N␈ε¬9␈α↓1
␈β2␈↓ ↓H␈εαmine␈↓ α ␈ελx␈↓ αU␈εαmod␈↓ β∨␈ελu␈↓ β5␈εα(␈↓ βA␈ελx␈↓ βT␈εα),␈↓ βv␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧&␈εα,␈↓ ∧<␈ελx␈↓ ∧q␈εαmod␈↓ ¬;␈ελu␈↓ ¬Q␈εα(␈↓ ¬]␈ελx␈↓ ¬p␈εα),␈αand␈αw␈α␈e␈α|nd␈αthat
␈βK␈↓ ∧]␈ε↓0␈↓ 	␈ε↓1
␈βn␈↓ ∧{␈εα1␈↓ ¬C␈εα0␈↓ ε␈εα0␈↓ εS␈εα0␈↓ π≠␈εα0␈↓ πc␈εα0␈↓ λ+␈εα0␈↓ λs␈εα0
␈β␈↓ ∧]␈ε↓B␈↓ 	␈ε↓C
␈β→␈↓ ∧{␈εα2␈↓ ¬C␈εα1␈↓ ε␈εα7␈↓ εA␈εα11␈↓ π	␈εα10␈↓ πQ␈εα12␈↓ λ+␈εα5␈↓ λa␈εα11
␈β!␈↓ ∧]␈ε↓B␈↓ 	␈ε↓C
␈β7␈↓ ∧]␈ε↓B␈↓ 	␈ε↓C
␈βE␈↓ ∧{␈εα3␈↓ ¬C␈εα6␈↓ ε␈εα4␈↓ εS␈εα3␈↓ π≠␈εα0␈↓ πc␈εα4␈↓ λ+␈εα7␈↓ λs␈εα2
␈βM␈↓ ∧]␈ε↓B␈↓ 	␈ε↓C
␈βb␈↓ ∧]␈ε↓B␈↓ 	␈ε↓C
␈βp␈↓ ∧{␈εα4␈↓ ¬C␈εα3␈↓ ε␈εα6␈↓ εS␈εα5␈↓ π≠␈εα1␈↓ πc␈εα6␈↓ λ+␈εα2␈↓ λs␈εα3
␈βx␈↓ ∧]␈ε↓B␈↓ 	␈ε↓C
␈β
α␈↓ ∧␈ελQ␈↓ ∧/␈εα=␈↓ 	#␈εα,
␈β

␈↓ ∧]␈ε↓B␈↓ 	␈ε↓C
␈β
≠␈↓ ∧{␈εα2␈↓ ¬1␈εα11␈↓ ε␈εα8␈↓ εS␈εα8␈↓ π≠␈εα3␈↓ πc␈εα1␈↓ λ+␈εα3␈↓ λa␈εα11
␈β
#␈↓ ∧]␈ε↓B␈↓ 	␈ε↓C
␈β
9␈↓ ∧]␈ε↓B␈↓ 	␈ε↓C
␈β
F␈↓ ∧{␈εα6␈↓ ¬1␈εα11␈↓ ε␈εα8␈↓ εS␈εα6␈↓ π≠␈εα2␈↓ πc␈εα7␈↓ λ→␈εα10␈↓ λs␈εα9
␈β
N␈↓ ∧]␈ε↓B␈↓ 	␈ε↓C
␈β
d␈↓ ∧]␈ε↓@␈↓ 	␈ε↓A
␈β
q␈↓ ∧{␈εα5␈↓ ¬1␈εα11␈↓ ε␈εα7␈↓ εA␈εα10␈↓ π≠␈εα0␈↓ πQ␈εα11␈↓ λ+␈εα7␈↓ λa␈εα12
␈β∞≥␈↓ ∧{␈εα3␈↓ ¬C␈εα3␈↓ ¬y␈εα12␈↓ εS␈εα5␈↓ π≠␈εα0␈↓ πQ␈εα11␈↓ λ+␈εα9␈↓ λa␈εα12
␈β∞A␈↓ 
p␈εα(17)
␈β∞I␈↓ ∧]␈ε↓0␈↓ 	␈ε↓1
␈β∞l␈↓ ∧{␈εα0␈↓ ¬C␈εα0␈↓ ε␈εα0␈↓ εS␈εα0␈↓ π≠␈εα0␈↓ πc␈εα0␈↓ λ+␈εα0␈↓ λs␈εα0
␈β∂	␈↓ ∧]␈ε↓B␈↓ 	␈ε↓C
␈β∂↔␈↓ ∧{␈εα2␈↓ ¬C␈εα0␈↓ ε␈εα7␈↓ εA␈εα11␈↓ π	␈εα10␈↓ πQ␈εα12␈↓ λ+␈εα5␈↓ λa␈εα11
␈β∂∨␈↓ ∧]␈ε↓B␈↓ 	␈ε↓C
␈β∂5␈↓ ∧]␈ε↓B␈↓ 	␈ε↓C
␈β∂B␈↓ ∧{␈εα3␈↓ ¬C␈εα6␈↓ ε␈εα3␈↓ εS␈εα3␈↓ π≠␈εα0␈↓ πc␈εα4␈↓ λ+␈εα7␈↓ λs␈εα2
␈β∂J␈↓ ∧]␈ε↓B␈↓ 	␈ε↓C
␈β∂`␈↓ ∧]␈ε↓B␈↓ 	␈ε↓C
␈β∂m␈↓ ∧{␈εα4␈↓ ¬C␈εα3␈↓ ε␈εα6␈↓ εS␈εα4␈↓ π≠␈εα1␈↓ πc␈εα6␈↓ λ+␈εα2␈↓ λs␈εα3
␈β∂u␈↓ ∧]␈ε↓B␈↓ 	␈ε↓C
␈β∂␈␈↓ βG␈ελQ␈↓ βi␈ε⊗␈␈↓ ∧∃␈ελI␈↓ ∧/␈εα=␈↓ 	#␈εα.
␈β⊂␈↓ ∧]␈ε↓B␈↓ 	␈ε↓C
␈β⊂→␈↓ ∧{␈εα2␈↓ ¬1␈εα11␈↓ ε␈εα8␈↓ εS␈εα8␈↓ π≠␈εα2␈↓ πc␈εα1␈↓ λ+␈εα3␈↓ λa␈εα11
␈β⊂!␈↓ ∧]␈ε↓B␈↓ 	␈ε↓C
␈β⊂6␈↓ ∧]␈ε↓B␈↓ 	␈ε↓C
␈β⊂D␈↓ ∧{␈εα6␈↓ ¬1␈εα11␈↓ ε␈εα8␈↓ εS␈εα6␈↓ π≠␈εα2␈↓ πc␈εα6␈↓ λ→␈εα10␈↓ λs␈εα9
␈β⊂L␈↓ ∧]␈ε↓B␈↓ 	␈ε↓C
␈β⊂a␈↓ ∧]␈ε↓@␈↓ 	␈ε↓A
␈β⊂o␈↓ ∧{␈εα5␈↓ ¬1␈εα11␈↓ ε␈εα7␈↓ εA␈εα10␈↓ π≠␈εα0␈↓ πQ␈εα11␈↓ λ+␈εα6␈↓ λa␈εα12
␈β⊃~␈↓ ∧{␈εα3␈↓ ¬C␈εα3␈↓ ¬y␈εα12␈↓ εS␈εα5␈↓ π≠␈εα0␈↓ πQ␈εα11␈↓ λ+␈εα9␈↓ λa␈εα11
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.2␈ε∞␈↓ εRF␈α|A␈α␈CTORIZ␈α␈A␈α}T␈α␈ION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα413
␈βα(␈↓ α␈εαThat␈αλ|nishes␈απstep␈αλB2;␈α	the␈αλnext␈αλstep␈αλof␈απBerlekamp's␈αλprocedure␈αλrequires␈απ|nding
␈βαS␈↓ ↓H␈εαthe␈α
\n␈α␈ull␈α
space"␈α∞of␈↓ ∧␈ελQ␈↓ ∧#␈ε⊗␈␈↓ ∧P␈ελI␈↓ ∧`␈εα.␈α⊃In␈α
general,␈α∞suppose␈α
that␈↓ λε␈ελA␈↓ λ,␈εαis␈α
an␈↓ 	¬␈ελn␈↓ 	#␈ε⊗α␈↓ 	P␈ελn␈↓ 	s␈εαmatrix␈α
o␈α␈v␈α␈er
␈βα}␈↓ ↓H␈εαa␈α⊂|eld,␈α⊃whose␈α⊂rank␈↓ ∧
␈ελn␈↓ ∧-␈ε⊗␈␈↓ ∧\␈ελr␈↓ ∧{␈εαis␈α⊂to␈α⊂be␈α⊂determined;␈α∩suppose␈α⊂further␈α⊂that␈α⊂w␈α␈e␈α⊂wish
␈ββ%␈↓ πβ␈ε¬[1]␈↓ πM␈ε¬[2]␈↓ λ`␈ε¬[␈↓ λh␈εr␈↓ λv␈ε¬]␈↓ 
D␈ε¬[1]
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαto␈α∞determine␈α∂linearly␈α∞independen␈α␈t␈α∂v␈α␈ectors␈↓ εp␈ελv␈↓ π!␈εα,␈↓ π:␈ελv␈↓ πk␈εα,␈↓ λ¬␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ5␈εα,␈↓ λN␈ελv␈↓ 	␈εαsuch␈α∂that␈↓ 
1␈ελv␈↓ 
b␈ελA␈↓ λ␈εα=
␈ββP␈↓ ↓Z␈ε¬[2␈α↓]␈↓ β?␈ε¬[␈↓ βG␈εr␈↓ βT␈ε¬]
␈ββU␈↓ ↓H␈ελv␈↓ ↓y␈ελA␈↓ α≠␈εα=␈↓ αI␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ α}␈εα=␈↓ β,␈ελv␈↓ β\␈ελA␈↓ β}␈εα=␈α(0,␈↓ ∧[␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬␈εα,␈αε0).␈αAn␈αalgorithm␈α
for␈αthis␈αcalculation␈αcan␈αbe␈αbased
␈β∧␈↓ ↓H␈εαon␈αthe␈αobservation␈αthat␈αan␈α␈y␈αcolumn␈αof␈↓ ε1␈ελA␈↓ εU␈εαmay␈αbe␈αm␈α␈ultiplied␈αby␈αa␈αnonzero␈αquan-
␈β∧+␈↓ ↓H␈εαtity,␈α
and␈αan␈α␈y␈α
m␈α␈ultiple␈αof␈α
one␈αof␈α
its␈αcolumns␈α
may␈αbe␈α
added␈αto␈α
a␈αdi{eren␈α␈t␈α
column,
␈β∧Q␈↓ εz␈ε¬[1␈α↓]␈↓ π|␈ε¬[␈↓ λ∧␈εr␈↓ λ⊃␈ε¬]
␈β∧V␈↓ ↓H␈εαwithout␈α
changing␈α∞the␈α
rank␈α∞or␈α
the␈α∞v␈α␈ectors␈↓ εh␈ελv␈↓ π→␈εα,␈↓ π)␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πY␈εα,␈↓ πi␈ελv␈↓ λ→␈εα.␈α≤(These␈α
transformations
␈β¬α␈↓ ↓H␈εαamoun␈α␈t␈α
to␈α
replacing␈↓ ∧∀␈ελA␈↓ ∧:␈εαby␈↓ ∧o␈ελA␈↓ ¬π␈ελB␈↓ ¬∨␈εα,␈α
where␈↓ ε ␈ελB␈↓ εE␈εαis␈α
a␈α∞nonsigular␈α
matrix.)␈α≠The␈α
follo␈α␈wing
␈β¬-␈↓ ↓H␈εαw␈α␈ell-kno␈α␈wn␈α\triangularization"␈αprocedure␈αmay␈αtherefore␈αbe␈αused.
␈βε␈↓ ↓H␈ε∩Algorithm␈α
N␈εα␈α(␈ε∂Null␈α
space␈αalgorithm␈εα)␈ε∩.␈εα␈α⊗Let␈↓ εV␈ελA␈↓ εy␈εαbe␈α
an␈↓ πX␈ελn␈↓ πt␈ε⊗α␈↓ λ≡␈ελn␈↓ λ>␈εαmatrix,␈αwhose␈α
elemen␈α␈ts
␈βε,␈↓ ↓H␈ελa␈↓ ↓y␈εαbelong␈α	to␈αλa␈αλ|eld␈α	and␈αλhav␈α␈e␈αλsubscripts␈α	in␈αλthe␈αλrange␈αλ0␈ε⊗␈α
∀␈↓ λ5␈ελi␈↓ λC␈εα,␈↓ λS␈ελj␈↓ λn␈εα<␈↓ 	≤␈ελn␈↓ 	1␈εα.␈αThis␈αλalgorithm
␈βε9␈↓ ↓X␈εi␈↓ ↓d␈εj
␈βεR␈↓ βr␈ε¬[1]␈↓ ∧⎇␈ε¬[␈↓ ¬¬␈εr␈↓ ¬∩␈ε¬]
␈βεW␈↓ ↓H␈εαoutputs␈↓ αJ␈ελr␈↓ αe␈εαv␈α␈ectors␈↓ β←␈ελv␈↓ ∧⊂␈εα,␈↓ ∧%␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧U␈εα,␈↓ ∧j␈ελv␈↓ ¬~␈εα,␈αwhich␈α
are␈αlinearly␈αindependen␈α␈t␈αo␈α␈v␈α␈er␈αthe␈α|eld␈α
and
␈βε⎇␈↓ αL␈ε¬[␈↓ αT␈εj␈↓ αb␈ε¬]
␈βπα␈↓ ↓H␈εαsatisfy␈↓ α:␈ελv␈↓ αj␈ελA␈↓ β␈εα=␈α
(0,␈↓ βh␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧_␈εα,␈αε0),␈αwhere␈↓ ¬D␈ελn␈↓ ¬a␈ε⊗␈␈↓ ε
␈ελr␈↓ ε)␈εαis␈αthe␈αrank␈αof␈↓ λ	␈ελA␈↓ λ!␈εα.
␈βπC␈↓ ↓H␈ε∩N1.␈↓ α␈εα[Initialize.]␈α⊃Set␈↓ β⎇␈ελc␈↓ ∧#␈ε⊗ ␈↓ ∧Q␈ελc␈↓ ∧v␈ε⊗ ␈↓ ¬$␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬X␈ε⊗ ␈↓ εε␈ελc␈↓ εZ␈ε⊗ ␈α
␈␈εα1,␈↓ πQ␈ελr␈↓ πk␈ε⊗ ␈εα␈α
0.␈α⊃(During␈αλthe␈αλcalculation
␈βπP␈↓ ∧
␈ε¬0␈↓ ∧↑␈ε¬1␈↓ ε∪␈εn␈↓ ε%␈ε→␈␈ε¬1
␈βπn␈↓ α␈εαw␈α␈e␈α	will␈α	hav␈α␈e␈↓ βQ␈ελc␈↓ βu␈ε⊗∃␈εα␈α
0␈α	only␈α	if␈↓ ¬*␈ελa␈↓ ¬h␈εα=␈ε⊗␈α
␈␈εα1␈α	and␈α	all␈α	other␈α	en␈α␈tries␈α	of␈α	ro␈α␈w␈↓ 	z␈ελc␈↓ 
≡␈εαare␈αλzero.)
␈βπ{␈↓ β↑␈εj␈↓ ¬:␈εc␈↓ ¬Q␈εj␈↓ 
π␈εj
␈βλ∧␈↓ ¬F␈ε
j
␈βλ/␈↓ ↓H␈ε∩N2.␈↓ α␈εα[Loop␈α
on␈↓ β&␈ελk␈↓ β8␈εα.]␈α~Do␈α
step␈α
N3␈α
for␈↓ ¬b␈ελk␈↓ ¬␈␈εα=␈α0,␈α
1,␈↓ π↓␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π1␈εα,␈↓ πH␈ελn␈↓ πf␈ε⊗␈␈εα␈α	1,␈α
and␈α
then␈α
terminate␈αthe
␈βλZ␈↓ α␈εαalgorithm.
␈β	≠␈↓ ↓H␈ε∩N3.␈↓ α␈εα[Scan␈αro␈α␈w␈αfor␈α
dependence.]␈α→If␈αthere␈α
is␈αsome␈↓ πJ␈ελj␈↓ πf␈εαin␈α
the␈αrange␈α0␈ε⊗␈α
∀␈↓ 	|␈ελj␈↓ 
⊗␈εα<␈↓ 
E␈ελn␈↓ 
f␈εαsuch
␈β	F␈↓ α␈εαthat␈↓ αZ␈ελa␈↓ β⊃␈ε⊗≤␈εα␈α0␈αand␈↓ ∧$␈ελc␈↓ ∧I␈εα<␈α0,␈αthen␈αdo␈α
the␈αfollo␈α␈wing:␈α
Multiply␈αcolumn␈↓ 
→␈ελj␈↓ 
6␈εαof␈↓ 
`␈ελA␈↓ ∧␈εαby
␈β	S␈↓ αk␈εk␈↓ αz␈εj␈↓ ∧1␈εj
␈β	q␈↓ α␈ε⊗␈␈εα1/␈↓ αT␈ελa␈↓ β
␈εα(so␈α
that␈↓ ∧∀␈ελa␈↓ ∧M␈εαbecomes␈α
equal␈α
to␈ε⊗␈α␈␈εα1);␈α
then␈αadd␈↓ λY␈ελa␈↓ 	⊂␈εαtimes␈α
column␈↓ 
p␈ελj␈↓ ␈εαto
␈β	}␈↓ αe␈εk␈↓ αs␈εj␈↓ ∧%␈εk␈↓ ∧4␈εj␈↓ λj␈εk␈↓ λx␈εi
␈β
≤␈↓ α␈εαcolumn␈↓ β␈ελi␈↓ β&␈εαfor␈α
all␈↓ ∧∩␈ελi␈↓ ∧,␈ε⊗≤␈↓ ∧[␈ελj␈↓ ∧l␈εα;␈α
|nally␈α
set␈↓ ε+␈ελc␈↓ εQ␈ε⊗ ␈↓ π↓␈ελk␈↓ π∩␈εα.␈α≠(Since␈α
it␈α
is␈α
not␈α
di}cult␈α
to␈α
sho␈α␈w
␈β
*␈↓ ε8␈εj
␈β
G␈↓ α␈εαthat␈↓ αZ␈ελa␈↓ β∞␈εα=␈α
0␈αfor␈αall␈↓ ∧B␈ελs␈↓ ∧[␈εα<␈↓ ¬	␈ελk␈↓ ¬≠␈εα,␈αthese␈αoperations␈αhav␈α␈e␈αno␈αe{ect␈αon␈αro␈α␈ws␈α0,␈α1,␈↓ 
r␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ "␈εα,
␈β
U␈↓ αj␈εs␈↓ αw␈εj
␈β
s␈↓ α␈ελk␈↓ α&␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈αof␈↓ β~␈ελA␈↓ β2␈εα.)
␈β!␈↓ αP␈εαOn␈α∞the␈α
other␈α∞hand,␈α
if␈α∞there␈α
is␈α∞no␈↓ εl␈ελj␈↓ π
␈εαin␈α
the␈α∞range␈α
0␈ε⊗␈α
∀␈↓ 	'␈ελj␈↓ 	D␈εα<␈↓ 	t␈ελn␈↓ 
↔␈εαsuch␈α
that
␈βL␈↓ α␈ελa␈↓ αC␈ε⊗≤␈εα␈α
0␈αand␈↓ βU␈ελc␈↓ βy␈εα<␈α
0,␈αthen␈αset␈↓ ¬Y␈ελr␈↓ ¬s␈ε⊗ ␈↓ ε!␈ελr␈↓ ε8␈εα+␈αλ1␈αand␈αoutput␈αthe␈αv␈α␈ector
␈βY␈↓ α≥␈εk␈↓ α+␈εj␈↓ βb␈εj
␈β(␈↓ ¬:␈ε¬[␈↓ ¬B␈εr␈↓ ¬P␈ε¬]
␈β.␈↓ ¬(␈ελv␈↓ ¬b␈εα=␈α
(␈↓ ε≤␈ελv␈↓ ε:␈εα,␈↓ εJ␈ελv␈↓ εh␈εα,␈↓ εx␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π(␈εα,␈↓ π8␈ελv␈↓ λ¬␈εα)
␈β;␈↓ ε+␈ε¬0␈↓ εZ␈ε¬1␈↓ πH␈εn␈↓ πZ␈ε→␈␈ε¬1
␈β
␈↓ α␈εαde|ned␈αby␈αthe␈αrule
␈β
I␈↓ ¬ε␈ε↓8
␈β
i␈↓ ¬≡␈ελa␈↓ ¬J␈εα,␈↓ ε≤␈εαif␈↓ ε>␈ελc␈↓ εa␈εα=␈↓ π∂␈ελj␈↓ π*␈ε⊗∃␈εα␈α
0;
␈β
j␈↓ ¬ε␈ε↓<
␈β
v␈↓ ¬/␈εk␈↓ ¬=␈εs␈↓ εK␈εs
␈β∞∀␈↓ ∧1␈ελv␈↓ ∧X␈εα=␈↓ ¬≡␈εα1,␈↓ ε≤␈εαif␈↓ ε>␈ελj␈↓ εX␈εα=␈↓ πε␈ελk␈↓ π_␈εα;␈↓ 
p␈εα(18)
␈β∞!␈↓ ∧A␈εj
␈β∞*␈↓ ¬ε␈ε↓:
␈β∞?␈↓ ¬≡␈εα0,␈↓ ε≤␈εαotherwise.
␈β∞D␈↓ λq␈∧∞Dλq≠∂
␈β∂D␈↓ α␈εαAn␈α	example␈αλwill␈α	rev␈α␈eal␈α	the␈α	mechanism␈αλof␈α	this␈α	algorithm.␈αLet␈↓ 	:␈ελA␈↓ 	[␈εαbe␈α	the␈αλmatrix
␈β∂o␈↓ ↓H␈ελQ␈↓ ↓j␈ε⊗␈␈↓ α↔␈ελI␈↓ α4␈εαof␈α(17)␈α
o␈α␈v␈α␈er␈α
the␈α|eld␈α
of␈α
in␈α␈tegers␈α
modulo␈α13.␈α∞When␈↓ λY␈ελk␈↓ λv␈εα=␈α0,␈α
w␈α␈e␈α
output␈αthe
␈β⊂∃␈↓ αH␈ε¬[1␈α↓]
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαv␈α␈ector␈↓ α6␈ελv␈↓ αs␈εα=␈α(1,␈αε0,␈αε0,␈αε0,␈αε0,␈αε0,␈αε0,␈αε0).␈α⊂When␈↓ ε=␈ελk␈↓ εZ␈εα=␈α1,␈α
w␈α␈e␈α∞may␈α
tak␈α␈e␈↓ 	␈ελj␈↓ 	(␈εαin␈α
step␈α
N3␈α
to␈α
be
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαeither␈α
0,␈α
2,␈α∞3,␈α∞4,␈α
5,␈α∞6,␈α
or␈α∞7;␈α
the␈α∞choice␈α
here␈α
is␈α
completely␈α∞arbitrary,␈α
although␈α
it
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαa{ects␈α
the␈αparticular␈α
v␈α␈ectors␈αthat␈α
are␈αchosen␈α
to␈αbe␈α
output␈αby␈α
the␈αalgorithm.␈αFor
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαhand␈α∂calculation,␈α∂it␈α∂is␈α∂most␈α∂con␈α␈v␈α␈enien␈α␈t␈α⊂to␈α∂pick␈↓ πH␈ελj␈↓ πg␈εα=␈α∂5,␈α⊂since␈↓ 	!␈ελa␈↓ 	]␈εα=␈α∂12␈α∂=␈ε⊗␈α∂␈␈εα1
␈β⊃)␈↓ 	2␈ε¬15
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα414␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.2
␈βα(␈↓ ↓H␈εαalready;␈αthe␈αcolumn␈αoperations␈αof␈αstep␈αN3␈αthen␈αchange␈↓ λ6␈ελA␈↓ λZ␈εαto␈αthe␈αmatrix
␈βαU␈↓ ∧	␈ε↓0␈↓ λI␈ε↓1
␈βαy␈↓ ∧9␈εα0␈↓ ¬↓␈εα0␈↓ ¬I␈εα0␈↓ ε⊃␈εα0␈↓ εY␈εα0␈↓ π!␈εα0␈↓ πi␈εα0␈↓ λ1␈εα0
␈ββ
␈↓ π∞␈ε↓a
␈ββ⊗␈↓ ∧	␈ε↓B␈↓ λI␈ε↓C
␈ββ$␈↓ ∧9␈εα0␈↓ ¬↓␈εα0␈↓ ¬I␈εα0␈↓ ε⊃␈εα0␈↓ εY␈εα0␈↓ π∂␈εα12␈↓ πi␈εα0␈↓ λ1␈εα0
␈ββ,␈↓ ∧	␈ε↓B␈↓ λI␈ε↓C
␈ββA␈↓ ∧	␈ε↓B␈↓ λI␈ε↓C
␈ββO␈↓ ∧'␈εα11␈↓ ¬↓␈εα6␈↓ ¬I␈εα5␈↓ ε⊃␈εα8␈↓ εY␈εα1␈↓ π!␈εα4␈↓ πi␈εα1␈↓ λ1␈εα7
␈ββW␈↓ ∧	␈ε↓B␈↓ λI␈ε↓C
␈ββm␈↓ ∧	␈ε↓B␈↓ λI␈ε↓C
␈ββz␈↓ ∧9␈εα3␈↓ ¬↓␈εα3␈↓ ¬I␈εα9␈↓ ε⊃␈εα5␈↓ εY␈εα9␈↓ π!␈εα6␈↓ πi␈εα6␈↓ λ1␈εα4
␈β∧α␈↓ ∧	␈ε↓B␈↓ λI␈ε↓C
␈β∧␈↓ λa␈εα.
␈β∧_␈↓ ∧	␈ε↓B␈↓ λI␈ε↓C
␈β∧%␈↓ ∧9␈εα4␈↓ ∧o␈εα11␈↓ ¬I␈εα2␈↓ ε⊃␈εα6␈↓ εG␈εα12␈↓ π!␈εα1␈↓ πi␈εα8␈↓ λ1␈εα9
␈β∧-␈↓ ∧	␈ε↓B␈↓ λI␈ε↓C
␈β∧C␈↓ ∧	␈ε↓B␈↓ λI␈ε↓C
␈β∧Q␈↓ ∧9␈εα5␈↓ ∧o␈εα11␈↓ ¬7␈εα11␈↓ ε⊃␈εα7␈↓ εG␈εα10␈↓ π!␈εα6␈↓ πi␈εα1␈↓ λ∨␈εα10
␈β∧Y␈↓ ∧	␈ε↓B␈↓ λI␈ε↓C
␈β∧n␈↓ ∧	␈ε↓@␈↓ λI␈ε↓A
␈β∧|␈↓ ∧9␈εα1␈↓ ∧o␈εα11␈↓ ¬I␈εα6␈↓ ε⊃␈εα1␈↓ εY␈εα6␈↓ π∂␈εα11␈↓ πi␈εα9␈↓ λ1␈εα3
␈β¬'␈↓ ∧'␈εα12␈↓ ¬↓␈εα3␈↓ ¬7␈εα11␈↓ ε⊃␈εα9␈↓ εY␈εα6␈↓ π∂␈εα11␈↓ πW␈εα12␈↓ λ1␈εα2
␈β¬r␈↓ ↓H␈εα(The␈αcircled␈αelemen␈α␈t␈αin␈αcolumn␈α
\5",␈αro␈α␈w␈α\1",␈αis␈α
used␈αhere␈αto␈αindicate␈αthat␈↓ 
c␈ελc␈↓ λ␈εα=
␈βε␈↓ 
p␈ε¬5
␈βε≡␈↓ ↓H␈εα1.␈α∪Remem␈α␈ber␈α∞that␈α∂Algorithm␈α∞N␈α∂n␈α␈um␈α␈bers␈α∞the␈α∞ro␈α␈ws␈α∂and␈α∞columns␈α∂of␈α∞the␈α∞matrix
␈βεI␈↓ ↓H␈εαstarting␈α
with␈α∞0,␈α∞not␈α∞1.)␈α≤When␈↓ ¬=␈ελk␈↓ ¬\␈εα=␈α
2,␈α∞w␈α␈e␈α∞may␈α
choose␈↓ λ3␈ελj␈↓ λQ␈εα=␈α4␈α∞and␈α∞proceed␈α∞in␈α
a
␈βεt␈↓ ↓H␈εαsimilar␈α	way,␈αobtaining␈α	the␈α
follo␈α␈wing␈α
matrices,␈α
which␈α
all␈α	hav␈α␈e␈α
the␈α
same␈α
n␈α␈ull␈α	space
␈βπ∨␈↓ ↓H␈εαas␈↓ ↓t␈ελQ␈↓ α⊗␈ε⊗␈␈↓ αB␈ελI␈↓ αR␈εα:
␈βπg␈↓ βJ␈ελk␈↓ βf␈εα=␈α
2␈↓ λO␈ελk␈↓ λj␈εα=␈α
3
␈βλα␈↓ ↓L␈ε↓0␈↓ ε␈ε↓1␈↓ εP␈ε↓0␈↓ ⊂␈ε↓1
␈βλ%␈↓ ↓|␈εα0␈↓ αD␈εα0␈↓ β␈εα0␈↓ βT␈εα0␈↓ ∧≤␈εα0␈↓ ∧d␈εα0␈↓ ¬,␈εα0␈↓ ¬t␈εα0␈↓ π␈εα0␈↓ πH␈εα0␈↓ λ⊂␈εα0␈↓ λX␈εα0␈↓ 	 ␈εα0␈↓ 	h␈εα0␈↓ 
0␈εα0␈↓ 
x␈εα0
␈βλ6␈↓ ∧Q␈ε↓a␈↓ 	U␈ε↓a
␈βλC␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈βλP␈↓ ↓|␈εα0␈↓ αD␈εα0␈↓ β␈εα0␈↓ βT␈εα0␈↓ ∧≤␈εα0␈↓ ∧R␈εα12␈↓ ¬,␈εα0␈↓ ¬t␈εα0␈↓ π␈εα0␈↓ πH␈εα0␈↓ λ⊂␈εα0␈↓ λX␈εα0␈↓ 	 ␈εα0␈↓ 	V␈εα12␈↓ 
0␈εα0␈↓ 
x␈εα0
␈βλX␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈βλa␈↓ ∧	␈ε↓a␈↓ 	
␈ε↓a
␈βλn␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈βλ{␈↓ ↓|␈εα0␈↓ αD␈εα0␈↓ β␈εα0␈↓ βT␈εα0␈↓ ∧
␈εα12␈↓ ∧d␈εα0␈↓ ¬,␈εα0␈↓ ¬t␈εα0␈↓ π␈εα0␈↓ πH␈εα0␈↓ λ⊂␈εα0␈↓ λX␈εα0␈↓ 	∞␈εα12␈↓ 	h␈εα0␈↓ 
0␈εα0␈↓ 
x␈εα0
␈β	∧␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈β	
␈↓ π5␈ε↓a
␈β	→␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈β	'␈↓ ↓|␈εα8␈↓ αD␈εα1␈↓ β␈εα3␈↓ βB␈εα11␈↓ ∧≤␈εα4␈↓ ∧d␈εα9␈↓ ¬~␈εα10␈↓ ¬t␈εα6␈↓ π␈εα0␈↓ π6␈εα12␈↓ λ⊂␈εα0␈↓ λX␈εα0␈↓ 	 ␈εα0␈↓ 	h␈εα0␈↓ 
0␈εα0␈↓ 
x␈εα0
␈β	/␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈β	D␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈β	R␈↓ ↓|␈εα2␈↓ αD␈εα4␈↓ β␈εα7␈↓ βT␈εα1␈↓ ∧≤␈εα1␈↓ ∧d␈εα5␈↓ ¬,␈εα9␈↓ ¬t␈εα3␈↓ π␈εα9␈↓ πH␈εα9␈↓ λ⊂␈εα8␈↓ λX␈εα9␈↓ 	∞␈εα11␈↓ 	h␈εα8␈↓ 
0␈εα8␈↓ 
x␈εα5
␈β	Z␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈β	p␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈β	⎇␈↓ ↓j␈εα12␈↓ αD␈εα3␈↓ β␈εα0␈↓ βT␈εα5␈↓ ∧≤␈εα3␈↓ ∧d␈εα5␈↓ ¬,␈εα4␈↓ ¬t␈εα5␈↓ π␈εα1␈↓ π6␈εα10␈↓ λ⊂␈εα4␈↓ λF␈εα11␈↓ 	 ␈εα4␈↓ 	h␈εα4␈↓ 
0␈εα0␈↓ 
x␈εα0
␈β
¬␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈β
≠␈↓ ↓L␈ε↓@␈↓ ε␈ε↓A␈↓ εP␈ε↓@␈↓ ⊂␈ε↓A
␈β
(␈↓ ↓|␈εα0␈↓ αD␈εα1␈↓ β␈εα2␈↓ βT␈εα5␈↓ ∧≤␈εα7␈↓ ∧d␈εα0␈↓ ¬,␈εα3␈↓ ¬t␈εα0␈↓ π␈εα5␈↓ π6␈εα12␈↓ π}␈εα12␈↓ λX␈εα7␈↓ 	 ␈εα3␈↓ 	h␈εα4␈↓ 
0␈εα6␈↓ 
x␈εα7
␈β
S␈↓ ↓j␈εα11␈↓ αD␈εα6␈↓ β␈εα7␈↓ βT␈εα0␈↓ ∧≤␈εα7␈↓ ∧d␈εα0␈↓ ¬,␈εα6␈↓ ¬b␈εα12␈↓ π␈εα2␈↓ πH␈εα7␈↓ λ⊂␈εα2␈↓ λF␈εα12␈↓ 	 ␈εα9␈↓ 	V␈εα11␈↓ 
≡␈εα11␈↓ 
x␈εα2
␈βD␈↓ βJ␈ελk␈↓ βf␈εα=␈α
4␈↓ λO␈ελk␈↓ λj␈εα=␈α
5
␈β`␈↓ ↓L␈ε↓0␈↓ ε␈ε↓1␈↓ εP␈ε↓0␈↓ ⊂␈ε↓1
␈ββ␈↓ ↓|␈εα0␈↓ αD␈εα0␈↓ β␈εα0␈↓ βT␈εα0␈↓ ∧≤␈εα0␈↓ ∧d␈εα0␈↓ ¬,␈εα0␈↓ ¬t␈εα0␈↓ π␈εα0␈↓ πH␈εα0␈↓ λ⊂␈εα0␈↓ λX␈εα0␈↓ 	 ␈εα0␈↓ 	h␈εα0␈↓ 
0␈εα0␈↓ 
x␈εα0
␈β∀␈↓ ∧Q␈ε↓a␈↓ 	U␈ε↓a
␈β ␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈β.␈↓ ↓|␈εα0␈↓ αD␈εα0␈↓ β␈εα0␈↓ βT␈εα0␈↓ ∧≤␈εα0␈↓ ∧R␈εα12␈↓ ¬,␈εα0␈↓ ¬t␈εα0␈↓ π␈εα0␈↓ πH␈εα0␈↓ λ⊂␈εα0␈↓ λX␈εα0␈↓ 	 ␈εα0␈↓ 	V␈εα12␈↓ 
0␈εα0␈↓ 
x␈εα0
␈β6␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈β?␈↓ ∧	␈ε↓a␈↓ 	
␈ε↓a
␈βL␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈βY␈↓ ↓|␈εα0␈↓ αD␈εα0␈↓ β␈εα0␈↓ βT␈εα0␈↓ ∧
␈εα12␈↓ ∧d␈εα0␈↓ ¬,␈εα0␈↓ ¬t␈εα0␈↓ π␈εα0␈↓ πH␈εα0␈↓ λ⊂␈εα0␈↓ λX␈εα0␈↓ 	∞␈εα12␈↓ 	h␈εα0␈↓ 
0␈εα0␈↓ 
x␈εα0
␈βa␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈βj␈↓ α1␈ε↓a␈↓ π5␈ε↓a
␈βw␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈β
∧␈↓ ↓|␈εα0␈↓ α2␈εα12␈↓ β␈εα0␈↓ βT␈εα0␈↓ ∧≤␈εα0␈↓ ∧d␈εα0␈↓ ¬,␈εα0␈↓ ¬t␈εα0␈↓ π␈εα0␈↓ π6␈εα12␈↓ λ⊂␈εα0␈↓ λX␈εα0␈↓ 	 ␈εα0␈↓ 	h␈εα0␈↓ 
0␈εα0␈↓ 
x␈εα0
␈β
␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈β
⊗␈↓ ¬a␈ε↓a␈↓ 
e␈ε↓a
␈β
"␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈β
0␈↓ ↓|␈εα0␈↓ αD␈εα0␈↓ β␈εα0␈↓ βT␈εα0␈↓ ∧≤␈εα0␈↓ ∧d␈εα0␈↓ ¬,␈εα0␈↓ ¬b␈εα12␈↓ π␈εα0␈↓ πH␈εα0␈↓ λ⊂␈εα0␈↓ λX␈εα0␈↓ 	 ␈εα0␈↓ 	h␈εα0␈↓ 
0␈εα0␈↓ 
f␈εα12
␈β
8␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈β
A␈↓ εm␈ε↓a
␈β
M␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈β
[␈↓ ↓|␈εα1␈↓ α2␈εα10␈↓ β␈εα4␈↓ βB␈εα11␈↓ ∧≤␈εα4␈↓ ∧d␈εα4␈↓ ¬,␈εα0␈↓ ¬t␈εα0␈↓ εn␈εα12␈↓ πH␈εα0␈↓ λ⊂␈εα0␈↓ λX␈εα0␈↓ 	 ␈εα0␈↓ 	h␈εα0␈↓ 
0␈εα0␈↓ 
x␈εα0
␈β
c␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈β
x␈↓ ↓L␈ε↓@␈↓ ε␈ε↓A␈↓ εP␈ε↓@␈↓ ⊂␈ε↓A
␈β∞ε␈↓ ↓|␈εα8␈↓ αD␈εα2␈↓ β␈εα6␈↓ βB␈εα10␈↓ ∧
␈εα11␈↓ ∧R␈εα11␈↓ ¬,␈εα0␈↓ ¬t␈εα9␈↓ π␈εα5␈↓ πH␈εα0␈↓ λ⊂␈εα0␈↓ λX␈εα0␈↓ 	 ␈εα5␈↓ 	h␈εα5␈↓ 
0␈εα0␈↓ 
x␈εα9
␈β∞1␈↓ ↓|␈εα1␈↓ αD␈εα6␈↓ β␈εα4␈↓ βB␈εα11␈↓ ∧≤␈εα2␈↓ ∧d␈εα0␈↓ ¬,␈εα0␈↓ ¬b␈εα10␈↓ εn␈εα12␈↓ πH␈εα9␈↓ λ⊂␈εα0␈↓ λX␈εα0␈↓ 	∞␈εα11␈↓ 	h␈εα9␈↓ 
0␈εα0␈↓ 
f␈εα10
␈β∞{␈↓ ↓H␈εαNo␈α␈w␈αev␈α␈ery␈α
column␈α
that␈αhas␈α
no␈α
circled␈α
en␈α␈try␈αis␈α
completely␈α
zero;␈α
so␈α
when␈↓ 
N␈ελk␈↓ 
k␈εα=␈α6
␈β∂&␈↓ ↓H␈εαand␈↓ α∞␈ελk␈↓ α)␈εα=␈α
7␈αthe␈αalgorithm␈αoutputs␈αt␈α␈w␈α␈o␈αmore␈αv␈α␈ectors,␈αnamely
␈β∂o␈↓ β␈ε¬[2]␈↓ εY␈ε¬[3]
␈β∂u␈↓ αm␈ελv␈↓ β(␈εα=␈α
(0,␈αε5,␈αε5,␈αε0,␈αε9,␈αε5,␈αε1,␈αε0),␈↓ εF␈ελv␈↓ π↓␈εα=␈α
(0,␈αε9,␈αε11,␈αε9,␈αε10,␈αε12,␈αε0,␈αε1).
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαFrom␈α
the␈α
form␈α
of␈α
matrix␈↓ ∧b␈ελA␈↓ ¬π␈εαafter␈↓ ¬↑␈ελk␈↓ ¬|␈εα=␈α5,␈α∞it␈α
is␈α
eviden␈α␈t␈α
that␈α
these␈αv␈α␈ectors␈α
satisfy
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαthe␈α
equation␈↓ β∃␈ελv␈↓ β(␈ελA␈↓ βJ␈εα=␈α
(0,␈↓ ∧&␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧V␈εα,␈αε0).␈αSince␈αthe␈α
computation␈αhas␈α
produced␈αthree␈α
linearly
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαindependen␈α␈t␈αv␈α␈ectors,␈↓ ∧_␈ελu␈↓ ∧-␈εα(␈↓ ∧9␈ελx␈↓ ∧L␈εα)␈αm␈α␈ust␈αhav␈α␈e␈αexactly␈αthree␈αirreducible␈αfactors.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.2␈ε∞␈↓ εRF␈α|A␈α␈CTORIZ␈α␈A␈α}T␈α␈ION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα415
␈βα(␈↓ α␈εαFinally␈αw␈α␈e␈αcan␈αgo␈αto␈α
step␈αB4␈αof␈αthe␈αfactoring␈αprocedure.␈αThe␈αcalculation␈αof
␈βα4␈↓ ↓}␈ε↓␈␈↓ βq␈ε↓↓
␈βαN␈↓ αu␈ε¬[2]␈↓ π1␈ε¬[2]␈↓ λE␈ε¬6␈↓ 	≤␈ε¬5␈↓ 	t␈ε¬4␈↓ 
K␈ε¬2
␈βαS␈↓ ↓H␈εαgcd␈↓ α␈ελu␈↓ α!␈εα(␈↓ α-␈ελx␈↓ α@␈εα),␈↓ αb␈ελv␈↓ β∪␈εα(␈↓ β∨␈ελx␈↓ β2␈εα)␈ε⊗␈␈↓ βb␈ελs␈↓ ∧¬␈εαfor␈↓ ∧8␈ελs␈↓ ∧Q␈εα=␈α
0,␈απ1,␈↓ ¬E␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬u␈εα,␈απ12,␈αλwhere␈↓ π≡␈ελv␈↓ πO␈εα(␈↓ π[␈ελx␈↓ πn␈εα)␈α
=␈↓ λ2␈ελx␈↓ λS␈εα+5␈↓ 		␈ελx␈↓ 	+␈εα+9␈↓ 	a␈ελx␈↓ 
α␈εα+5␈↓ 
8␈ελx␈↓ 
Z␈εα+5␈↓ ⊂␈ελx␈↓ "␈εα,
␈βαy␈↓ α3␈ε¬5␈↓ β~␈ε¬4␈↓ ∧↓␈ε¬3␈↓ 	π␈ε¬3␈↓ 	n␈ε¬2
␈βα}␈↓ ↓H␈εαgiv␈α␈es␈↓ α!␈ελx␈↓ αJ␈εα+␈απ5␈↓ βπ␈ελx␈↓ β0␈εα+␈αλ9␈↓ βn␈ελx␈↓ ∧↔␈εα+␈αλ5␈↓ ∧U␈ελx␈↓ ∧p␈εα+␈αλ5␈αas␈αthe␈αansw␈α␈er␈αwhen␈↓ πx␈ελs␈↓ λ⊃␈εα=␈α
0,␈↓ λt␈ελx␈↓ 	≥␈εα+␈αλ8␈↓ 	[␈ελx␈↓ 
∧␈εα+␈αλ4␈↓ 
B␈ελx␈↓ 
]␈εα+␈απ12
␈ββ%␈↓ 	↓␈ε¬[2]
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαwhen␈↓ α*␈ελs␈↓ αI␈εα=␈α⊂2,␈α⊃and␈α⊂unity␈α⊂for␈α⊂other␈α⊂values␈α⊂of␈↓ π∃␈ελs␈↓ π$␈εα.␈α_Therefore␈↓ λn␈ελv␈↓ 	∨␈εα(␈↓ 	+␈ελx␈↓ 	>␈εα)␈α⊂giv␈α␈es␈α⊂us␈α∂only
␈ββ5␈↓ εA␈ε↓␈␈↓ ∀␈ε↓↓
␈ββP␈↓ εb␈ε¬[3]␈↓ λ↔␈ε¬5␈↓ λ␈␈ε¬4␈↓ 	f␈ε¬3
␈ββU␈↓ ↓H␈εαt␈α␈w␈α␈o␈αof␈αthe␈α
three␈αfactors.␈α
Turning␈αto␈↓ ε␈εαgcd␈↓ εO␈ελv␈↓ π␈εα(␈↓ π␈ελx␈↓ π∨␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ π←␈ελs␈↓ πn␈εα,␈↓ λ∧␈ελx␈↓ λ.␈εα+␈αλ5␈↓ λl␈ελx␈↓ 	∃␈εα+␈α	9␈↓ 	T␈ελx␈↓ 	⎇␈εα+␈αλ5␈↓ 
;␈ελx␈↓ 
V␈εα+␈αλ5␈↓ "␈εα,
␈β∧␈↓ αH␈ε¬[3]␈↓ βm␈ε¬7␈↓ ∧m␈ε¬5␈↓ ¬m␈ε¬4␈↓ ε[␈ε¬3␈↓ π[␈ε¬2
␈β∧¬␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α5␈ελv␈↓ αf␈εα(␈↓ αr␈ελx␈↓ β¬␈εα)␈α∩=␈↓ βZ␈ελx␈↓ ∧π␈εα+␈α12␈↓ ∧Z␈ελx␈↓ ¬π␈εα+␈α10␈↓ ¬Z␈ελx␈↓ επ␈εα+␈α9␈↓ εH␈ελx␈↓ εu␈εα+␈α11␈↓ πI␈ελx␈↓ πu␈εα+␈α9␈↓ λ7␈ελx␈↓ λI␈εα,␈α∪w␈α␈e␈α⊃obtain␈α⊃the␈α⊃value
␈β∧+␈↓ ↓Z␈ε¬4␈↓ αA␈ε¬3␈↓ β'␈ε¬2
␈β∧0␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓p␈εα+␈αλ2␈↓ α.␈ελx␈↓ αW␈εα+␈αλ3␈↓ β∃␈ελx␈↓ β>␈εα+␈απ4␈↓ β{␈ελx␈↓ ∧⊗␈εα+␈απ6␈αwhen␈↓ ¬=␈ελs␈↓ ¬V␈εα=␈α
6,␈↓ ε8␈ελx␈↓ εS␈εα+␈αλ3␈αwhen␈↓ πz␈ελs␈↓ λ∪␈εα=␈α
8,␈αand␈αunity␈αotherwise.
␈β∧[␈↓ ↓H␈εαTh␈α␈us␈αthe␈αcomplete␈αfactorization␈αis
␈β¬#␈↓ β\␈ε¬4␈↓ ∧C␈ε¬3␈↓ ¬*␈ε¬2␈↓ πα␈ε¬3␈↓ πi␈ε¬2
␈β¬)␈↓ αE␈ελu␈↓ αZ␈εα(␈↓ αf␈ελx␈↓ αy␈εα)␈α
=␈α
(␈↓ βI␈ελx␈↓ βr␈εα+␈αλ2␈↓ ∧0␈ελx␈↓ ∧Y␈εα+␈αλ3␈↓ ¬↔␈ελx␈↓ ¬A␈εα+␈αλ4␈↓ ¬␈␈ελx␈↓ ε→␈εα+␈αλ6)(␈↓ εo␈ελx␈↓ π→␈εα+␈αλ8␈↓ πW␈ελx␈↓ λ␈εα+␈αλ4␈↓ λ>␈ελx␈↓ λY␈εα+␈αλ12)(␈↓ 	A␈ελx␈↓ 	[␈εα+␈αλ3).␈↓ 
p␈εα(19)
␈β¬w␈↓ α␈εαLet␈αus␈αno␈α␈w␈αestimate␈αthe␈αrunning␈αtime␈αof␈αBerlekamp's␈αmethod␈αwhen␈αan␈↓ 
u␈ελn␈↓ 
␈εαth
␈βε"␈↓ ↓H␈εαdegree␈αpolynomial␈αis␈αfactored␈α
modulo␈↓ ε#␈ελp␈↓ ε5␈εα.␈α
First␈αassume␈αthat␈↓ λn␈ελp␈↓ 	
␈εαis␈αrelativ␈α␈ely␈αsmall,
␈βεN␈↓ ↓H␈εαso␈α⊂that␈α⊂the␈α⊂four␈α⊂arithmetic␈α⊂operations␈α⊂can␈α⊂be␈α⊃done␈α⊂modulo␈↓ 	→␈ελp␈↓ 	;␈εαin␈α⊂essen␈α␈tially␈α⊂a
␈βεy␈↓ ↓H␈εα|x␈α␈ed␈α∂length␈α⊂of␈α⊂time.␈α (Division␈α⊂modulo␈↓ εT␈ελp␈↓ εv␈εαcan␈α⊂be␈α⊂con␈α␈v␈α␈erted␈α⊂to␈α∂m␈α␈ultiplication,
␈βπ!␈↓ 	r␈ε¬1␈↓ 
k␈ε¬1
␈βπ$␈↓ ↓H␈εαby␈αstoring␈α
a␈α
table␈αof␈α
reciprocals;␈α
modulo␈α13,␈α
for␈α
example,␈αw␈α␈e␈α
hav␈α␈e␈↓ 
∂␈εα=␈α7,␈↓ λ␈εα=
␈βπ4␈↓ 	r␈∧π4	rα∂␈↓ 
k␈∧π4
kα∂
␈βπ7␈↓ 	r␈ε¬2␈↓ 
k␈ε¬3
␈βπJ␈↓ πC␈ε¬2
␈βπO␈↓ ↓H␈εα9,␈α∂etc.)␈α≥The␈α∂computation␈α∞in␈α∞step␈α∂B1␈α∞tak␈α␈es␈↓ πλ␈ελO␈↓ π"␈εα(␈↓ π.␈ελn␈↓ πR␈εα)␈α∞units␈α∂of␈α∞time;␈α⊂step␈α∞B2␈α∞tak␈α␈es
␈βπu␈↓ α⊗␈ε¬2␈↓ 	∞␈ε¬3
␈βπz␈↓ ↓H␈ελO␈↓ ↓b␈εα(␈↓ ↓n␈ελp␈↓ α␈ελn␈↓ α$␈εα).␈α∞For␈αstep␈α
B3␈α
w␈α␈e␈αuse␈α
Algorithm␈αN␈↓ εL␈εα,␈α
which␈αrequires␈↓ λR␈ελO␈↓ λl␈εα(␈↓ λx␈ελn␈↓ 	≤␈εα)␈α
units␈αof␈α
time␈αat
␈βλε␈↓ 
	␈ε↓␈␈↓ ≡␈ε↓↓
␈βλ&␈↓ ↓H␈εαmost.␈α⊂Finally,␈α
in␈α∞step␈α
B4␈α
w␈α␈e␈α∞can␈α
observ␈α␈e␈α
that␈α∞the␈α
calculation␈α
of␈↓ 	S␈εαgcd␈↓ 
↔␈ελf␈↓ 
(␈εα(␈↓ 
4␈ελx␈↓ 
G␈εα),␈↓ 
c␈ελg␈↓ 
t␈εα(␈↓ ␈ελx␈↓ ∩␈εα)
␈βλ1␈↓ ¬~␈ε↓␈␈↓ εm␈ε↓↓
␈βλQ␈↓ ↓H␈εαby␈αEuclid's␈α
algorithm␈αtak␈α␈es␈↓ ¬␈ελO␈↓ ¬(␈εαdeg␈↓ ¬↑␈εα(␈↓ ¬j␈ελf␈↓ ¬|␈εα)␈↓ ε∞␈εαdeg␈↓ εD␈εα(␈↓ εP␈ελg␈↓ εa␈εα)␈↓ πε␈εαunits␈α
of␈αtime;␈αhence␈αthe␈α
calculation
␈βλa␈↓ α&␈ε↓␈␈↓ ∧)␈ε↓↓
␈βλ|␈↓ αG␈ε¬[␈↓ αO␈εj␈↓ α\␈ε¬]
␈β	↓␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓p␈εαgcd␈↓ α4␈ελv␈↓ αd␈εα(␈↓ αp␈ελx␈↓ ββ␈εα)␈ε⊗␈αε␈␈↓ β>␈ελs␈↓ βM␈εα,␈↓ βc␈ελw␈↓ β}␈εα(␈↓ ∧
␈ελx␈↓ ∧≥␈εα)␈↓ ∧A␈εαfor␈α|x␈α␈ed␈↓ ¬M␈ελj␈↓ ¬h␈εαand␈↓ ε,␈ελs␈↓ εF␈εαand␈α
for␈α
all␈αfactors␈↓ λe␈ελw␈↓ 	␈εα(␈↓ 	␈ελx␈↓ 	∨␈εα)␈α
of␈↓ 	]␈ελu␈↓ 	s␈εα(␈↓ 	␈␈ελx␈↓ 
∩␈εα)␈α
found␈α
so
␈β	'␈↓ β→␈ε¬2␈↓ λ,␈ε¬2
␈β	,␈↓ ↓H␈εαfar␈αtak␈α␈es␈↓ α↑␈ελO␈↓ αx␈εα(␈↓ β∧␈ελn␈↓ β(␈εα)␈αunits.␈α∞Step␈αB4␈α
therefore␈αrequires␈↓ πN␈ελO␈↓ πh␈εα(␈↓ πt␈ελp␈↓ λε␈ελr␈↓ λ⊗␈ελn␈↓ λ:␈εα)␈αunits␈α
of␈αtime␈α
at␈αmost.
␈β	W␈↓ ↓H␈ε∂Berlekamp's␈α∞procedure␈α∞factors␈α∞an␈α∞arbitrary␈α∞polynomial␈α∞of␈α∞degree␈↓ 	`␈ελn␈↓ 	v␈εα,␈α∞modulo␈↓ ⊂␈ελp␈↓ "␈εα,
␈β	⎇␈↓ α/␈ε¬3␈↓ β,␈ε¬2
␈β
α␈↓ ↓H␈ε∂in␈↓ ↓t␈ελO␈↓ α∞␈εα(␈↓ α~␈ελn␈↓ αG␈εα+␈↓ αt␈ελp␈↓ βπ␈ελr␈↓ β⊗␈ελn␈↓ β:␈εα)␈ε∂␈α∞steps␈εα,␈α∂when␈↓ ¬~␈ελp␈↓ ¬;␈εαis␈α∞a␈α
small␈α∞prime;␈α∂and␈α∞ex␈α␈ercise␈α∞5␈α∞sho␈α␈ws␈α∞that␈α
the
␈β
.␈↓ ↓H␈εαav␈α␈erage␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αfactors,␈↓ ∧t␈ελr␈↓ ¬β␈εα,␈αis␈αappro␈α␈ximately␈↓ π*␈εαln␈↓ πN␈ελn␈↓ πd␈εα.␈αTh␈α␈us␈αthe␈αalgorithm␈αis␈αm␈α␈uch
␈β
Y␈↓ ↓H␈εαfaster␈α	than␈α	an␈α␈y␈α
kno␈α␈wn␈α	methods␈α
of␈α	factoring␈↓ εw␈ελn␈↓ π
␈εα-digit␈α	n␈α␈um␈α␈bers␈α
in␈α	the␈↓ 	[␈ελp␈↓ 	m␈εα-ary␈α	n␈α␈um␈α␈ber
␈β∧␈↓ ↓H␈εαsystem.
␈β/␈↓ α␈εαWhen␈↓ αr␈ελp␈↓ β∂␈εαis␈α
large,␈α
a␈α
di{eren␈α␈t␈α
implemen␈α␈tation␈α
of␈α
Berlekamp's␈α
procedure␈α
w␈α␈ould
␈βZ␈↓ ↓H␈εαbe␈α⊃used␈α⊃for␈α⊃the␈α⊃calculations.␈α≠Division␈α⊃modulo␈↓ πI␈ελp␈↓ πl␈εαw␈α␈ould␈α⊃not␈α⊃be␈α⊃done␈α⊃with␈α⊃an
␈βε␈↓ ↓H␈εαauxiliary␈απtable␈αλof␈αλreciprocals;␈α	instead␈απthe␈αλmethod␈αλof␈αλex␈α␈ercise␈απ4.5.2↑15,␈α	which␈απtak␈α␈es
␈β⊃␈↓ ↓b␈ε↓␈␈↓ α]␈ε↓↓␈↓ 
␈ε↓␈␈↓ ≡␈ε↓↓
␈β,␈↓ αN␈ε¬2␈↓ 
#␈ε¬2␈↓ ⊂␈ε¬2
␈β1␈↓ ↓H␈ελO␈↓ ↓p␈εα(␈↓ ↓|␈εαlog␈↓ α0␈ελp␈↓ αB␈εα)␈↓ αt␈εαsteps,␈α
w␈α␈ould␈α	probably␈α
be␈α	used.␈αThen␈α
step␈α	B1␈α
w␈α␈ould␈α	tak␈α␈e␈↓ 	e␈ελO␈↓ 
∞␈ελn␈↓ 
2␈εα(␈↓ 
>␈εαlog␈↓ 
r␈ελp␈↓ ∧␈εα)
␈β<␈↓ εW␈ε↓␈␈↓ πv␈ε↓↓
␈βW␈↓ ε{␈ε¬3␈↓ πg␈ε¬2
␈β\␈↓ ↓H␈εαunits␈α∂of␈α∂time;␈α⊃similarly,␈α∂step␈α⊂B3␈α∂tak␈α␈es␈↓ ε=␈ελO␈↓ εe␈ελn␈↓ π	␈εα(␈↓ π∃␈εαlog␈↓ πI␈ελp␈↓ π[␈εα)␈↓ λ∧␈εα.␈α∃In␈α∂step␈α∂B2,␈α⊂w␈α␈e␈α∂can␈α∂form
␈β
α␈↓ ↓Z␈εp
␈β
π␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓p␈εαmod␈↓ α:␈ελu␈↓ αO␈εα(␈↓ α[␈ελx␈↓ αn␈εα)␈α∩in␈α⊃a␈α∩more␈α⊃e}cien␈α␈t␈α∩way␈α⊃than␈α∩(16)␈α⊃when␈↓ λ%␈ελp␈↓ λH␈εαis␈α∩large:␈α↔Section␈α⊃4.6.3
␈β
2␈↓ ↓H␈εαsho␈α␈ws␈αthat␈αthis␈αvalue␈αcan␈αessen␈α␈tially␈αbe␈αobtained␈αby␈αusing␈↓ λ↑␈ελO␈↓ λx␈εα(␈↓ 	∧␈εαlog␈↓ 	8␈ελp␈↓ 	J␈εα)␈αoperations␈αof
␈β
Y␈↓ ε0␈εk␈↓ λ~␈ε¬2␈↓ λ)␈εk
␈β
↑␈↓ ↓H␈εα\squaring␈↓ αp␈εαmod␈↓ β:␈ελu␈↓ βP␈εα(␈↓ β\␈ελx␈↓ βn␈εα),"␈α
i.e.,␈αgoing␈αfrom␈↓ ε≥␈ελx␈↓ εE␈εαmod␈↓ π∂␈ελu␈↓ π$␈εα(␈↓ π0␈ελx␈↓ πC␈εα)␈αto␈↓ λπ␈ελx␈↓ λ=␈εαmod␈↓ 	π␈ελu␈↓ 	≥␈εα(␈↓ 	)␈ελx␈↓ 	<␈εα).␈αThe␈αsquaring
␈β∞	␈↓ ↓H␈εαoperation␈α⊂is␈α⊃relativ␈α␈ely␈α⊂easy␈α⊃to␈α⊃perform␈α⊂if␈α⊃w␈α␈e␈α⊂|rst␈α⊃mak␈α␈e␈α⊃an␈α⊂auxiliary␈α⊃table␈α⊂of
␈β∞/␈↓ ↓Z␈εm
␈β∞4␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓z␈εαmod␈↓ αD␈ελu␈↓ αZ␈εα(␈↓ αf␈ελx␈↓ αy␈εα)␈αfor␈↓ βI␈ελm␈↓ βr␈εα=␈↓ ∧ ␈ελn␈↓ ∧6␈εα,␈↓ ∧L␈ελn␈↓ ∧j␈εα+␈αλ1,␈↓ ¬>␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬n␈εα,␈α2␈↓ ε⊗␈ελn␈↓ ε3␈ε⊗␈␈εα␈αλ2;␈αif
␈β∞|␈↓ β}␈εk␈↓ ε2␈εn␈↓ εD␈ε→␈␈ε¬1
␈β∂α␈↓ βk␈ελx␈↓ ∧∪␈εαmod␈↓ ∧]␈ελu␈↓ ∧r␈εα(␈↓ ∧}␈ελx␈↓ ¬⊃␈εα)␈α
=␈↓ ¬U␈ελc␈↓ ε∨␈ελx␈↓ εw␈εα+␈↓ π#␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πU␈εα+␈↓ λ↓␈ελc␈↓ λ≥␈ελx␈↓ λ7␈εα+␈↓ λc␈ελc␈↓ λ␈␈εα,
␈β∂∂␈↓ ¬b␈εn␈↓ ¬t␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λ∞␈ε¬1␈↓ λp␈ε¬0
␈β∂P␈↓ ↓H␈εαthen
␈β∂}␈↓ ∧,␈ε↓␈␈↓ 	∩␈ε↓↓
␈β⊂_␈↓ αF␈ε¬2␈↓ αU␈εk␈↓ ∧H␈ε¬2␈↓ ¬_␈ε¬2␈↓ ¬&␈εn␈↓ ¬8␈ε→␈␈ε¬2␈↓ 	∧␈ε¬2
␈β⊂≡␈↓ α4␈ελx␈↓ αi␈εαmod␈↓ β3␈ελu␈↓ βI␈εα(␈↓ βU␈ελx␈↓ βh␈εα)␈α
=␈↓ ∧:␈ελc␈↓ ¬¬␈ελx␈↓ ¬k␈εα+␈↓ ε↔␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εI␈εα+␈αλ(␈↓ π↓␈ελc␈↓ π≥␈ελc␈↓ π@␈εα+␈↓ πl␈ελc␈↓ λπ␈ελc␈↓ λ#␈εα)␈↓ λ/␈ελx␈↓ λJ␈εα+␈↓ λv␈ελc␈↓ 	,␈εαmod␈↓ 	v␈ελu␈↓ 
␈εα(␈↓ 
_␈ελx␈↓ 
+␈εα),
␈β⊂+␈↓ π∞␈ε¬1␈↓ π*␈ε¬0␈↓ πy␈ε¬1␈↓ λ∀␈ε¬0
␈β⊂0␈↓ ∧H␈εn␈↓ ∧Z␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 	∧␈ε¬0
␈β⊂f␈↓ αA␈ε¬2␈↓ αP␈εn␈↓ αb␈ε→␈␈ε¬2␈↓ βz␈εn
␈β⊂k␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α/␈ελx␈↓ β
␈εα,␈↓ β"␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βR␈εα,␈↓ βg␈ελx␈↓ ∧↔␈εαcan␈αbe␈αreplaced␈αby␈αpolynomials␈αin␈αthe␈αauxiliary␈αtable.␈αThe
␈β⊂w␈↓ εz␈ε↓␈␈↓ λ→␈ε↓↓
␈β⊃∩␈↓ ∧"␈εp␈↓ π≥␈ε¬2␈↓ λ
␈ε¬3
␈β⊃↔␈↓ ↓H␈εαnet␈α
time␈αto␈α
compute␈↓ ∧⊂␈ελx␈↓ ∧8␈εαmod␈↓ ¬α␈ελu␈↓ ¬↔␈εα(␈↓ ¬#␈ελx␈↓ ¬6␈εα)␈αcomes␈α
to␈↓ ε`␈ελO␈↓ πλ␈ελn␈↓ π,␈εα(␈↓ π8␈εαlog␈↓ πl␈ελp␈↓ π}␈εα)␈↓ λ1␈εαunits,␈αand␈α
w␈α␈e␈αobtain␈α
the
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα416␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.2
␈βα!␈↓ λ≥␈ε¬2␈↓ λ+␈εp␈↓ 	t␈ε¬3␈↓ 
β␈εp
␈βα&␈↓ ↓H␈εαsecond␈αro␈α␈w␈α
of␈↓ β-␈ελQ␈↓ βG␈εα.␈α∞To␈αget␈α
further␈α
ro␈α␈ws␈αof␈↓ εM␈ελQ␈↓ εg␈εα,␈α
w␈α␈e␈αform␈↓ λ
␈ελx␈↓ λ@␈εαmod␈↓ 	
␈ελu␈↓ 	 ␈εα(␈↓ 	,␈ελx␈↓ 	?␈εα),␈↓ 	b␈ελx␈↓ 
_␈εαmod␈↓ 
b␈ελu␈↓ 
x␈εα(␈↓ ∧␈ελx␈↓ ⊗␈εα),
␈βαL␈↓ εf␈εp
␈βαQ␈↓ ↓H␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ↓␈␈εαsimply␈α
by␈α∞m␈α␈ultiplying␈α
repeatedly␈α
by␈↓ εS␈ελx␈↓ ε{␈εαmod␈↓ πE␈ελu␈↓ πZ␈εα(␈↓ πf␈ελx␈↓ πy␈εα),␈α∞in␈α
a␈α∞fashion␈α
analogous␈α
to
␈βα]␈↓ π-␈ε↓␈␈↓ 
∃␈ε↓↓
␈βαx␈↓ πQ␈ε¬2␈↓ λ=␈ε¬3␈↓ 	→␈ε¬3␈↓ 
ε␈ε¬2
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαsquaring␈α∂mod␈↓ β-␈ελu␈↓ βC␈εα(␈↓ βO␈ελx␈↓ βb␈εα);␈α⊂step␈α∂B2␈α∂is␈α∂completed␈α∂in␈↓ π∪␈ελO␈↓ π;␈ελn␈↓ π←␈εα(␈↓ πk␈εαlog␈↓ λ∨␈ελp␈↓ λ1␈εα)␈↓ λV␈εα+␈↓ 	∧␈ελn␈↓ 	(␈εα(␈↓ 	4␈εαlog␈↓ 	h␈ελp␈↓ 	z␈εα)␈↓ 
2␈εαunits␈α∞of
␈ββ(␈↓ ↓H␈εαtime.␈α
The␈αsame␈αupper␈α
bound␈αapplies␈αto␈α
steps␈αB1,␈αB2,␈α
and␈αB3␈αtak␈α␈en␈α
as␈αa␈αwhole;
␈ββS␈↓ ↓H␈εαthese␈αthree␈αsteps␈αtell␈αus␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αfactors␈αof␈↓ πP␈ελu␈↓ πe␈εα(␈↓ πq␈ελx␈↓ λ∧␈εα).
␈ββ}␈↓ α␈εαBut␈αλwhen␈↓ β)␈ελp␈↓ βD␈εαis␈αλlarge␈αλand␈α	w␈α␈e␈αλget␈αλto␈α	step␈αλB4,␈α	w␈α␈e␈α	are␈αλask␈α␈ed␈αλto␈α	calculate␈αλa␈αλgreatest
␈β∧)␈↓ ↓H␈εαcommon␈αdivisor␈αfor␈↓ ∧∧␈ελp␈↓ ∧"␈εαdi{eren␈α␈t␈αvalues␈αof␈↓ εG␈ελs␈↓ εV␈εα,␈αand␈αthat␈αis␈αout␈αof␈αthe␈αquestion␈αif␈↓ 
w␈ελp␈↓ ∀␈εαis
␈β∧U␈↓ ↓H␈εαv␈α␈ery␈α
large.␈αThis␈α
h␈α␈urdle␈α
was␈αsurmoun␈α␈ted␈α
by␈α
Hans␈α
Zassenhaus␈α
[␈ε∂J.␈α
Num␈α␈ber␈α
Theory
␈β¬␈↓ ↓H␈ε∩1␈εα␈α∞(1969),␈α∂291↑311],␈α∂who␈α∞sho␈α␈w␈α␈ed␈α∞ho␈α␈w␈α∞to␈α∂determine␈α∞all␈α∞the␈α∂\useful"␈α∞values␈α∞of␈↓ ∪␈ελs␈↓ "␈εα.
␈β¬∂␈↓ π¬␈ε↓Q
␈β¬+␈↓ ↓H␈εαLet␈↓ α	␈ελv␈↓ α≤␈εα(␈↓ α(␈ελx␈↓ α:␈εα)␈αbe␈αa␈αsolution␈αto␈α(8),␈αand␈αlet␈↓ ελ␈ελw␈↓ ε"␈εα(␈↓ ε.␈ελx␈↓ εA␈εα)␈α
=␈↓ π'␈εα(␈↓ π3␈ελx␈↓ πM␈ε⊗␈␈↓ πx␈ελs␈↓ λπ␈εα)␈αwhere␈αthe␈αproduct␈αis␈αo␈α␈v␈α␈er
␈β¬7␈↓ ¬ε␈ε↓␈␈↓ εl␈ε↓↓
␈β¬V␈↓ ↓H␈εαall␈α0␈ε⊗␈α∀␈↓ αG␈ελs␈↓ αa␈εα<␈↓ β⊂␈ελp␈↓ β/␈εαsuch␈αthat␈↓ ∧P␈εαgcd␈↓ ¬∀␈ελu␈↓ ¬*␈εα(␈↓ ¬6␈ελx␈↓ ¬I␈εα),␈↓ ¬k␈ελv␈↓ ¬⎇␈εα(␈↓ ε	␈ελx␈↓ ε≤␈εα)␈ε⊗␈α	␈␈↓ ε]␈ελs␈↓ π¬␈ε⊗≤␈εα␈α1.␈α∞By␈α
(14),␈α
this␈α
quan␈α␈tity␈↓ 
B␈ελw␈↓ 
]␈εα(␈↓ 
i␈ελx␈↓ 
|␈εα)␈αis
␈β¬b␈↓ λ1␈ε↓␈␈↓ λ⎇␈ε↓↓
␈βε↓␈↓ ↓H␈εαthe␈αpolynomial␈αof␈αleast␈α
degree␈αsuch␈αthat␈↓ εP␈ελu␈↓ εe␈εα(␈↓ εq␈ελx␈↓ π∧␈εα)␈αdivides␈↓ λ↔␈ελw␈↓ λ?␈ελv␈↓ λR␈εα(␈↓ λ↑␈ελx␈↓ λq␈εα)␈↓ 	␈εα.␈α
Algorithm␈αN␈αcan
␈βε-␈↓ ↓H␈εαtherefore␈α	be␈α	adapted␈α
to␈α	|nd␈α
the␈α	coe}cien␈α␈ts␈α
of␈↓ π⊗␈ελw␈↓ π1␈εα:␈αLet␈↓ λ¬␈ελA␈↓ λ&␈εαbe␈α
the␈α	(␈↓ 	≠␈ελr␈↓ 	0␈εα+␈α∧1)␈ε⊗␈α¬α␈↓ 
#␈ελn␈↓ 
B␈εαmatrix
␈βεS␈↓ π!␈εk
␈βεX␈↓ ↓H␈εαwhose␈↓ α2␈ελk␈↓ αD␈εαth␈αro␈α␈w␈α
con␈α␈tains␈αthe␈α
coe}cien␈α␈ts␈αof␈↓ εc␈ελv␈↓ εv␈εα(␈↓ πα␈ελx␈↓ π∃␈εα)␈↓ π5␈εαmod␈↓ π␈␈ελu␈↓ λ∃␈εα(␈↓ λ!␈ελx␈↓ λ4␈εα),␈αfor␈α
0␈ε⊗␈α∀␈↓ 	Z␈ελk␈↓ 	w␈ε⊗∀␈↓ 
%␈ελr␈↓ 
5␈εα.␈α
Apply
␈βπβ␈↓ ↓H␈εαthe␈αmethod␈αof␈αAlgorithm␈αN␈αun␈α␈til␈αthe␈α|rst␈αdependence␈αis␈αfound␈αin␈αstep␈αN3;␈αthen
␈βπ)␈↓ λf␈εk
␈βπ.␈↓ ↓H␈εαthe␈αalgorithm␈αterminates␈αwith␈↓ ¬*␈ελw␈↓ ¬E␈εα(␈↓ ¬Q␈ελx␈↓ ¬d␈εα)␈α
=␈↓ ε(␈ελv␈↓ εL␈εα+␈↓ εw␈ελv␈↓ π∃␈ελx␈↓ π/␈εα+␈↓ πZ␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ␈εα+␈↓ λ5␈ελv␈↓ λT␈ελx␈↓ λu␈εα,␈αwhere␈↓ 	q␈ελv␈↓ 
→␈εαis␈αde|ned
␈βπ<␈↓ ε7␈ε¬0␈↓ ππ␈ε¬1␈↓ λE␈εk␈↓ 
↓␈εj
␈βπY␈↓ ↓H␈εαin␈α
(18).␈α≥(An␈α∞example␈α
is␈α∞w␈α␈ork␈α␈ed␈α∞out␈α∞belo␈α␈w.)␈α≤At␈α∞this␈α∞poin␈α␈t␈α∞2␈ε⊗␈α∀␈↓ 	J␈ελk␈↓ 	i␈ε⊗∀␈↓ 
~␈ελr␈↓ 
*␈εα;␈α∂in␈α
rare
␈βλ¬␈↓ ↓H␈εαcircumstances␈αw␈α␈e␈αmay␈αhav␈α␈e␈↓ ¬λ␈ελk␈↓ ¬#␈εα=␈↓ ¬Q␈ελn␈↓ ¬g␈εα.
␈βλ0␈↓ α␈εαIt␈α∂remains␈α∂to␈α∂|nd␈α⊂the␈α∂factors␈α∂of␈↓ ε ␈ελw␈↓ ε;␈εα(␈↓ εG␈ελx␈↓ εZ␈εα)␈α∂modulo␈α∂a␈α∂large␈α∂prime␈↓ 	]␈ελp␈↓ 	o␈εα,␈α⊂when␈↓ 
k␈ελw␈↓ ∀␈εαis
␈βλ[␈↓ ↓H␈εαkno␈α␈wn␈α
to␈α
split␈α∞in␈α␈to␈α
linear␈α
factors.␈α⊂Suppose␈↓ ε{␈ελw␈↓ π⊗␈εα(␈↓ π"␈ελx␈↓ π5␈εα)␈α=␈α(␈↓ λ	␈ελx␈↓ λ%␈ε⊗␈␈↓ λR␈ελs␈↓ λl␈εα)␈↓ λ}␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	.␈εα(␈↓ 	:␈ελx␈↓ 	V␈ε⊗␈␈↓ 
β␈ελs␈↓ 
≥␈εα);␈α∞then␈α
it
␈βλh␈↓ λ↑␈ε¬1␈↓ 
∂␈εk
␈β	↓␈↓ ¬r␈εp␈↓ π.␈ε¬(␈↓ π8␈εp␈↓ πG␈ε→␈␈ε¬1)/2␈↓ 	ε␈ε¬(␈↓ 	⊂␈εp␈↓ 	∨␈ε→␈␈ε¬1)/2
␈β	ε␈↓ ↓H␈εαdivides␈↓ α@␈ελx␈↓ αS␈εα(␈↓ α←␈ελx␈↓ αx␈ε⊗␈␈εα␈απ1)␈↓ βG␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βw␈εα(␈↓ ∧β␈ελx␈↓ ∧≤␈ε⊗␈␈↓ ∧F␈ελp␈↓ ∧←␈εα+␈αε1)␈α
=␈↓ ¬←␈ελx␈↓ ελ␈ε⊗␈␈↓ ε2␈ελx␈↓ εO␈εα=␈↓ ε⎇␈ελx␈↓ π⊂␈εα(␈↓ π≤␈ελx␈↓ λ∨␈ε⊗␈␈εα␈απ1)(␈↓ λt␈ελx␈↓ 	w␈εα+␈αε1),␈αhence
␈β	1␈↓ ↓H␈εαthe␈αiden␈α␈tity
␈β	X␈↓ α{␈ε↓␈␈↓ ∧z␈ε↓␈␈↓ λ5␈ε↓␈
␈β	r␈↓ εC␈ε¬(␈↓ εL␈εp␈↓ ε[␈ε→␈␈ε¬1␈α↓)␈α␈/␈α↓2␈↓ 	⎇␈ε¬(␈↓ 
π␈εp␈↓ 
⊗␈ε→␈␈ε¬1)/2
␈β	x␈↓ ↓H␈ελw␈↓ ↓b␈εα(␈↓ ↓n␈ελx␈↓ α↓␈εα)␈α
=␈↓ αE␈εαgcd␈↓ β	␈ελw␈↓ β$␈εα(␈↓ β0␈ελx␈↓ βC␈εα),␈↓ βe␈ελx␈↓ βy␈εα+␈↓ ∧≡␈ελt␈↓ ∧+␈εα)␈ε⊗␈αα↓␈↓ ∧D␈εαgcd␈↓ ¬λ␈ελw␈↓ ¬#␈εα(␈↓ ¬/␈ελx␈↓ ¬B␈εα),␈α(␈↓ ¬p␈ελx␈↓ ε∧␈εα+␈↓ ε*␈ελt␈↓ ε7␈εα)␈↓ π/␈ε⊗␈␈εα␈α↓1)␈ε⊗␈α↓↓␈↓ π␈␈εαgcd␈↓ λC␈ελw␈↓ λ↑␈εα(␈↓ λj␈ελx␈↓ λ|␈εα),␈α(␈↓ 	*␈ελx␈↓ 	?␈εα+␈↓ 	d␈ελt␈↓ 	q␈εα)␈↓ 
i␈εα+␈α↓1)
␈β
#␈↓ 
p␈εα(20)
␈β
N␈↓ ↓H␈εαholds␈αλfor␈αλall␈αλin␈α␈tegers␈↓ ∧ε␈ελt␈↓ ∧∪␈εα.␈αZassenhaus's␈αλprocedure␈αλfor␈αλfactoring␈↓ λc␈ελw␈↓ 	ε␈εαis␈αλto␈αλtry␈αλcomputing
␈β
Z␈↓ ↓}␈ε↓␈␈↓ ¬
␈ε↓↓
␈β
t␈↓ βV␈ε¬(␈↓ β`␈εp␈↓ βo␈ε→␈␈ε¬1)/2
␈β
z␈↓ ↓H␈εαgcd␈↓ α␈ελw␈↓ α&␈εα(␈↓ α2␈ελx␈↓ αE␈εα),␈α(␈↓ αs␈ελx␈↓ β⊂␈εα+␈↓ β=␈ελt␈↓ βJ␈εα)␈↓ ∧J␈ε⊗␈␈εα␈α
1␈↓ ¬'␈εαfor␈↓ ¬a␈ελt␈↓ ¬|␈εα=␈α∂0,␈α∂1,␈α∂2,␈↓ π0␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πi␈εαun␈α␈til␈↓ λ@␈ελw␈↓ λi␈εαhas␈α∂been␈α∞completely
␈β%␈↓ ↓H␈εαsplit.␈αAt␈α|rst␈αglance␈αthis␈αmay␈αappear␈αto␈αbe␈αan␈αine}cien␈α␈t␈αtrial-and-error␈αmethod,
␈βP␈↓ ↓H␈εαbut␈α	actually␈α
it␈α
|nds␈α
the␈α	factors␈α
v␈α␈ery␈α
rapidly,␈α
since␈α
the␈α	probability␈α
of␈α
a␈α	non␈α␈trivial
␈βv␈↓ ¬p␈ε→␈␈↓ ε
␈εk
␈β{␈↓ ↓H␈εαgcd␈α
in␈α∞(20)␈α
is␈α
appro␈α␈ximately␈α∞1␈ε⊗␈α	␈␈↓ ¬↑␈εα2␈↓ ε(␈εαwhen␈↓ πλ␈ελt␈↓ π"␈εαis␈α∞chosen␈α
at␈α∞random.␈α⊂The␈α
reason
␈β!␈↓ ¬π␈ε¬(␈↓ ¬⊃␈εp␈↓ ¬ ␈ε→␈␈ε¬1)/2␈↓ 	␈ε¬(␈↓ 	∃␈εp␈↓ 	$␈ε→␈␈ε¬1␈α↓)␈α␈/␈α↓2
␈β&␈↓ ↓H␈εαis␈αthat␈↓ α9␈ελx␈↓ αT␈ε⊗␈␈↓ α␈␈ελs␈↓ β"␈εαdivides␈α(␈↓ ∧(␈ελx␈↓ ∧C␈εα+␈↓ ∧n␈ελt␈↓ ∧{␈εα)␈↓ ¬y␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈αif␈αand␈αonly␈αif␈α(␈↓ λ(␈ελs␈↓ λG␈εα+␈↓ λs␈ελt␈↓ 	␈εα)␈↓ 	|␈εαmod␈↓ 
F␈ελp␈↓ 
b␈εα=␈α
1,
␈β4␈↓ β␈εi␈↓ λ4␈εi
␈βR␈↓ ↓H␈εαand␈αthis␈αoccurs␈α
for␈αabout␈αhalf␈αof␈αall␈αvalues␈↓ εh␈ελt␈↓ εu␈εα.␈α↔(Ex␈α␈ercise␈α14␈αgiv␈α␈es␈αa␈αrigorous␈α
proof
␈β]␈↓ αN␈ε↓␈␈↓ ¬T␈ε↓↓
␈βx␈↓ ∧ ␈ε¬(␈↓ ∧*␈εp␈↓ ∧9␈ε→␈␈ε¬1)/2␈↓ 
I␈ε→␈␈ε¬1
␈βy␈↓ 	G␈ε¬1
␈β⎇␈↓ ↓H␈εαthat␈↓ α_␈εαgcd␈↓ α\␈ελw␈↓ αw␈εα(␈↓ ββ␈ελx␈↓ β⊗␈εα),␈αε(␈↓ β>␈ελx␈↓ βZ␈εα+␈↓ ∧π␈ελt␈↓ ∧∀␈εα)␈↓ ¬∀␈ε⊗␈␈εα␈α
1␈↓ ¬p␈εαwill␈α∂be␈α∞non␈α␈trivial␈α∞more␈α∂than␈↓ 	c␈εα+␈↓ 
⊂␈ελO␈↓ 
+␈εα(␈↓ 
7␈ελp␈↓ 
t␈εα)␈α∞of
␈β

␈↓ 	G␈∧

	Gα∂
␈β
⊂␈↓ 	G␈ε¬2
␈β
(␈↓ ↓H␈εαthe␈αtime␈αwhen␈↓ β3␈ελt␈↓ βK␈εαis␈αchosen␈αat␈αrandom.␈αTherefore␈αthe␈αexpected␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αtrials␈αis
␈β
S␈↓ ↓H␈εαroughly␈α2,␈αand␈αw␈α␈e␈α\nev␈α␈er"␈αwill␈αhav␈α␈e␈αto␈αwait␈αlong.)
␈β
y␈↓ πj␈ε¬[3␈α↓]␈↓ λ␈␈ε¬7␈↓ 	x␈ε¬5␈↓ 
r␈ε¬4
␈β
}␈↓ α␈εαFor␈αexample,␈α
let's␈αreconsider␈αthe␈αpolynomial␈↓ πW␈ελv␈↓ λ	␈εα(␈↓ λ∃␈ελx␈↓ λ'␈εα)␈α=␈↓ λl␈ελx␈↓ 	∃␈εα+␈α	12␈↓ 	f␈ελx␈↓ 
∂␈εα+␈αλ10␈↓ 
←␈ελx␈↓ λ␈εα+
␈β∞$␈↓ ↓l␈ε¬3␈↓ α[␈ε¬2
␈β∞*␈↓ ↓H␈εα9␈↓ ↓Z␈ελx␈↓ ↓⎇␈εα+␈αβ11␈↓ αH␈ελx␈↓ αl␈εα+␈αα9␈↓ β$␈ελx␈↓ β?␈εαmen␈α␈tioned␈αλearlier,␈α	and␈απlet's␈αλpretend␈αλthat␈αλ13␈αλis␈αλa␈αλlarge␈αλprime.␈α
Then
␈β∞h␈↓ β0␈εαMatrix␈↓ ∧(␈ελA␈↓ πg␈εαis␈αtransformed␈αin␈α␈to
␈β∂∧␈↓ ↓L␈ε↓0␈↓ ε␈ε↓1␈↓ εP␈ε↓0␈↓ ⊂␈ε↓1
␈β∂
␈↓ εm␈ε↓a
␈β∂'␈↓ ↓|␈εα1␈↓ αD␈εα0␈↓ β␈εα0␈↓ βT␈εα0␈↓ ∧≤␈εα0␈↓ ∧d␈εα0␈↓ ¬,␈εα0␈↓ ¬t␈εα0␈↓ εn␈εα12␈↓ πH␈εα0␈↓ λ⊂␈εα0␈↓ λX␈εα0␈↓ 	 ␈εα0␈↓ 	h␈εα0␈↓ 
0␈εα0␈↓ 
x␈εα0
␈β∂8␈↓ 	U␈ε↓a
␈β∂E␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈β∂R␈↓ ↓|␈εα0␈↓ αD␈εα9␈↓ αz␈εα11␈↓ βT␈εα9␈↓ ∧
␈εα10␈↓ ∧R␈εα12␈↓ ¬,␈εα0␈↓ ¬t␈εα1␈↓ π␈εα0␈↓ πH␈εα0␈↓ λ⊂␈εα0␈↓ λX␈εα0␈↓ 	 ␈εα0␈↓ 	V␈εα12␈↓ 
0␈εα0␈↓ 
x␈εα0
␈β∂Z␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈β∂c␈↓ 
≥␈ε↓a
␈β∂p␈↓ ↓L␈ε↓@␈↓ ε␈ε↓A␈↓ εP␈ε↓@␈↓ ⊂␈ε↓A
␈β∂⎇␈↓ ↓|␈εα4␈↓ αD␈εα4␈↓ β␈εα6␈↓ βT␈εα9␈↓ ∧≤␈εα1␈↓ ∧d␈εα7␈↓ ¬~␈εα12␈↓ ¬t␈εα1␈↓ π␈εα0␈↓ πH␈εα0␈↓ λ⊂␈εα0␈↓ λX␈εα0␈↓ 	 ␈εα0␈↓ 	h␈εα0␈↓ 
≡␈εα12␈↓ 
x␈εα0
␈β⊂(␈↓ ↓|␈εα4␈↓ αD␈εα6␈↓ β␈εα3␈↓ βT␈εα6␈↓ ∧
␈εα11␈↓ ∧d␈εα8␈↓ ¬,␈εα0␈↓ ¬t␈εα5␈↓ π␈εα9␈↓ πH␈εα0␈↓ λ⊂␈εα0␈↓ λX␈εα0␈↓ 	 ␈εα0␈↓ 	h␈εα8␈↓ 
0␈εα0␈↓ 
x␈εα0
␈β⊂j␈↓ ¬S␈ε¬3
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαso␈α⊂w␈α␈e␈α⊂hav␈α␈e␈↓ β
␈ελw␈↓ β%␈εα(␈↓ β1␈ελx␈↓ βD␈εα)␈α⊃=␈α⊃9␈α+␈α8␈↓ ∧t␈ελx␈↓ ¬⊃␈εα+␈↓ ¬@␈ελx␈↓ ¬a␈εα.␈α→Setting␈↓ π∧␈ελt␈↓ π"␈εα=␈α⊃0␈α⊃in␈α⊂(20)␈α⊂produces␈α⊂the␈α⊂factor
␈β⊃∃␈↓ λ{␈ε¬2
␈β⊃~␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓b␈εα+␈α	1␈α
=␈↓ αY␈ελx␈↓ αt␈ε⊗␈␈εα␈αλ12,␈αand␈αw␈α␈e␈αreplace␈↓ ¬O␈ελw␈↓ ¬j␈εα(␈↓ ¬v␈ελx␈↓ ε	␈εα)␈αby␈↓ εU␈ελw␈↓ εp␈εα(␈↓ ε|␈ελx␈↓ π∂␈εα)/(␈↓ π9␈ελx␈↓ πS␈ε⊗␈␈εα␈α	12)␈α
=␈↓ λh␈ελx␈↓ 	⊃␈εα+␈αλ12␈↓ 	a␈ελx␈↓ 	|␈εα+␈αλ9.␈αWhen
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.2␈ε∞␈↓ εRF␈α|A␈α␈CTORIZ␈α␈A␈α}T␈α␈ION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα417
␈βα(␈↓ ↓H␈ελt␈↓ ↓c␈εα=␈α∞1␈α∂w␈α␈e␈α∂get␈α∞the␈α∂other␈α∂factors␈↓ ¬F␈ελx␈↓ ¬c␈ε⊗␈␈εα␈α
6␈α∞and␈↓ εz␈ελx␈↓ π↔␈ε⊗␈␈εα␈α	8.␈α∀The␈α∂useful␈α∂values␈α∞of␈↓ 
I␈ελs␈↓ 
f␈εαwith
␈βαN␈↓ β␈ε¬[3␈α↓]
␈βαS␈↓ ↓H␈εαrespect␈αto␈↓ αn␈ελv␈↓ β∨␈εα(␈↓ β+␈ελx␈↓ β>␈εα)␈αare␈α6,␈α8,␈αand␈α12.
␈βα}␈↓ α␈εαIf␈αw␈α␈e␈α
assume␈α(as␈α
w␈α␈e␈αmay)␈α
that␈αa␈α
non␈α␈trivial␈αfactor␈α
of␈↓ λ=␈ελw␈↓ λX␈εα(␈↓ λd␈ελx␈↓ λv␈εα)␈αwill␈α
be␈αfound␈α
after
␈ββ*␈↓ ↓H␈ελO␈↓ ↓b␈εα(1)␈α∞applications␈α∞of␈α∞(20),␈α∂w␈α␈e␈α∞can␈α∞giv␈α␈e␈α∞an␈α∂upper␈α∞bound␈α∞on␈α∞the␈α∞time␈α∞to␈α∞perform
␈ββ5␈↓ β≡␈ε↓␈␈↓ ∧[␈ε↓↓
␈ββP␈↓ β<␈ε¬2␈↓ β`␈ε¬2␈↓ ∧M␈ε¬2␈↓ 	∩␈ε¬[␈↓ 	~␈εj␈↓ 	'␈ε¬]
␈ββU␈↓ ↓H␈εαB4:␈α
It␈α
tak␈α␈es␈↓ β∧␈ελO␈↓ β,␈ελr␈↓ βJ␈ελn␈↓ βo␈εα(␈↓ β{␈εαlog␈↓ ∧/␈ελp␈↓ ∧A␈εα)␈↓ ∧s␈εαsteps␈α	to␈α	compute␈α
each␈↓ πR␈ελw␈↓ πw␈εα(␈↓ λβ␈ελx␈↓ λ⊗␈εα)␈α
from␈↓ λ␈␈ελv␈↓ 	/␈εα(␈↓ 	;␈ελx␈↓ 	N␈εα),␈α
plus␈α	at␈α	most
␈ββ`␈↓ ↓b␈ε↓␈␈↓ ∧0␈ε↓↓␈↓ 
H␈ε↓↓
␈ββb␈↓ πj␈εj
␈ββ{␈↓ α␈ε¬3␈↓ αl␈ε¬3␈↓ β5␈ε¬4␈↓ ∧!␈ε¬2␈↓ 	M␈ε¬3␈↓ 
:␈ε¬2
␈β∧␈↓ ↓H␈ελO␈↓ ↓p␈ελr␈↓ α∞␈εα(␈↓ α~␈εαlog␈↓ αN␈ελp␈↓ α`␈εα)␈↓ α}␈εα+␈↓ β%␈ελr␈↓ βC␈εα(␈↓ βO␈εαlog␈↓ ∧β␈ελp␈↓ ∧∃␈εα)␈↓ ∧F␈εαsteps␈αλto␈α	|nd␈αλtheir␈αλroots,␈α	plus␈α	at␈αλmost␈↓ 	↓␈ελO␈↓ 	≤␈εα(␈↓ 	(␈ελr␈↓ 	7␈ελn␈↓ 	[␈εα(␈↓ 	g␈εαlog␈↓ 
≠␈ελp␈↓ 
.␈εα)␈↓ 
↑␈εαsteps
␈β∧+␈↓ ↓H␈εαto␈α∞compute␈α∂gcd's␈α∂as␈α∞in␈α∂(14).␈α∀The␈α∂computation␈α∂will␈α∞usually␈α∂be␈α∂completed␈α∞ev␈α␈en
␈β∧V␈↓ ↓H␈εαfaster,␈αand␈↓ αy␈ελr␈↓ β∀␈εαis␈αusually␈α
small␈αcompared␈αto␈↓ ε\␈ελn␈↓ εq␈εα.␈αTh␈α␈us,␈αstep␈αB4␈α
is␈αnot␈αthe␈α
bottleneck
␈β¬α␈↓ ↓H␈εαafter␈αall,␈αwhen␈αw␈α␈e␈αuse␈αZassenhaus's␈αsuggestions.
␈β¬-␈↓ α␈εαFor␈απdiscussion,␈αλsee␈απE.␈απR.␈αεBerlekamp,␈ε∂␈αλMath.␈απComp.␈ε∩␈απ24␈εα␈απ(1970),␈αλ713↑735;␈αλRobert
␈β¬X␈↓ ↓H␈εαT.␈αMoenck,␈ε∂␈αMath.␈αComp.␈ε∩␈α31␈εα␈α(1977),␈α235↑250.
␈βε∩␈↓ ↓H␈ε∩Distinct␈α∞degree␈α∞factorization.␈εα␈α≡A␈α∞somewhat␈α∂simpler␈α∞method␈α∂that␈α∞often␈α∞obtains
␈βε=␈↓ ↓H␈εαfactors␈αmodulo␈↓ β<␈ελp␈↓ βY␈εαcan␈αbe␈αbased␈αon␈αthe␈αfact␈αthat␈αan␈αirreducible␈αpolynomial␈↓ 
I␈ελq␈↓ 
Y␈εα(␈↓ 
e␈ελx␈↓ 
w␈εα)␈αof
␈βε`␈↓ ∧]␈ε
d␈↓ λw␈ε
c
␈βεd␈↓ ∧N␈εp␈↓ λh␈εp
␈βεi␈↓ ↓H␈εαdegree␈↓ α8␈ελd␈↓ αX␈εαis␈αa␈α
divisor␈αof␈↓ ∧;␈ελx␈↓ ∧s␈ε⊗␈␈↓ ¬∨␈ελx␈↓ ¬2␈εα,␈αand␈αit␈αis␈α
not␈αa␈αdivisor␈αof␈↓ λU␈ελx␈↓ 	
␈ε⊗␈␈↓ 	6␈ελx␈↓ 	U␈εαfor␈↓ 

␈ελc␈↓ 
&␈εα<␈↓ 
T␈ελd␈↓ 
h␈εα;␈αsee
␈βπ∀␈↓ ↓H␈εαex␈α␈ercise␈α16.␈αWe␈αproceed␈αas␈αfollo␈α␈ws:
␈βπG␈↓ ↓P␈ε∩S1.␈↓ α␈εαRule␈αout␈αsquared␈αfactors␈αand␈α|nd␈αthe␈αmatrix␈↓ π[␈ελQ␈↓ πu␈εα,␈αas␈αin␈αBerlekamp's␈αmethod.
␈βπr␈↓ α␈εαAlso␈α∂set␈↓ β≠␈ελv␈↓ β.␈εα(␈↓ β:␈ελx␈↓ βM␈εα)␈ε⊗␈α∂ ␈↓ ∧≤␈ελu␈↓ ∧2␈εα(␈↓ ∧>␈ελx␈↓ ∧P␈εα),␈↓ ∧w␈ελw␈↓ ¬∩␈εα(␈↓ ¬≡␈ελx␈↓ ¬0␈εα)␈ε⊗␈α⊂ ␈↓ ε␈εα\␈↓ ε∩␈ελx␈↓ ε%␈εα"␈↓ ε7␈εα,␈α⊂and␈↓ π~␈ελd␈↓ π>␈ε⊗ ␈εα␈α⊂0.␈α∨(Here␈↓ 	⊃␈ελv␈↓ 	$␈εα(␈↓ 	0␈ελx␈↓ 	C␈εα)␈α∂and␈↓ 
'␈ελw␈↓ 
B␈εα(␈↓ 
N␈ελx␈↓ 
a␈εα)␈α∂are
␈βλ≥␈↓ α␈εαvariables␈αthat␈αhav␈α␈e␈αpolynomials␈αas␈αvalues.)
␈βλ0␈↓ λk␈ε↓␈
␈βλK␈↓ π$␈εp
␈βλP␈↓ ↓P␈ε∩S2.␈↓ α␈εαIncrease␈↓ β_␈ελd␈↓ β:␈εαby␈α∞1␈α∂and␈α∞replace␈↓ ¬U␈ελw␈↓ ¬p␈εα(␈↓ ¬|␈ελx␈↓ ε∞␈εα)␈α∞by␈↓ ε↑␈ελw␈↓ εy␈εα(␈↓ π¬␈ελx␈↓ π_␈εα)␈↓ π9␈εαmod␈↓ λβ␈ελu␈↓ λ→␈εα(␈↓ λ%␈ελx␈↓ λ8␈εα).␈↓ λy␈εαIn␈α∞other␈α∞w␈α␈ords,␈α∞the
␈βλ{␈↓ α␈εαcoe}cien␈α␈ts␈α∂(␈↓ βP␈ελw␈↓ βv␈εα,␈↓ ∧ε␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧6␈εα,␈↓ ∧F␈ελw␈↓ ¬≠␈εα)␈α⊂are␈α∂replaced␈α∂by␈α∂(␈↓ πJ␈ελw␈↓ πp␈εα,␈↓ λ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ0␈εα,␈↓ λ@␈ελw␈↓ 	∃␈εα)␈↓ 	!␈ελQ␈↓ 	;␈εα.␈α⊗At␈α∂this␈α∂poin␈α␈t
␈β	ε␈↓ ∧T␈ε↓↓
␈β	λ␈↓ βh␈ε¬0␈↓ ∧↑␈εn␈↓ ∧p␈ε→␈␈ε¬1␈↓ πb␈ε¬0␈↓ λX␈εn␈↓ λj␈ε→␈␈ε¬1
␈β	≡␈↓ β,␈ε
d
␈β	!␈↓ β≤␈εp
␈β	&␈↓ α␈ελw␈↓ α'␈εα(␈↓ α3␈ελx␈↓ αF␈εα)␈α
=␈↓ β
␈ελx␈↓ β?␈εαmod␈↓ ∧	␈ελu␈↓ ∧∨␈εα(␈↓ ∧+␈ελx␈↓ ∧>␈εα).
␈β	9␈↓ ∧␈ε↓␈␈↓ ¬t␈ε↓↓␈↓ ε%␈ε↓␈
␈β	Y␈↓ ↓P␈ε∩S3.␈↓ α␈εαFind␈↓ αb␈ελg␈↓ αs␈εα(␈↓ α␈␈ελx␈↓ β∩␈εα)␈α
=␈↓ βV␈εαgcd␈↓ ∧~␈ελw␈↓ ∧5␈εα(␈↓ ∧A␈ελx␈↓ ∧S␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ¬∪␈ελx␈↓ ¬&␈εα,␈↓ ¬6␈ελv␈↓ ¬I␈εα(␈↓ ¬U␈ελx␈↓ ¬h␈εα)␈↓ εα␈εα.␈↓ ε3␈εαThis␈αis␈αthe␈αproduct␈αof␈αall␈αthe␈αirreducible
␈β	d␈↓ ε∃␈ε↓↓
␈β
∧␈↓ α␈εαfactors␈αof␈↓ β,␈ελu␈↓ βB␈εα(␈↓ βN␈ελx␈↓ β`␈εα)␈αwhose␈αdegree␈αis␈↓ ¬v␈ελd␈↓ ε␈εα.␈↓ ε<␈εαReplace␈↓ πC␈ελv␈↓ πV␈εα(␈↓ πb␈ελx␈↓ πt␈εα)␈αby␈↓ λ@␈ελv␈↓ λS␈εα(␈↓ λ←␈ελx␈↓ λr␈εα)/␈↓ 	⊂␈ελg␈↓ 	!␈εα(␈↓ 	-␈ελx␈↓ 	@␈εα).
␈β
3␈↓ α⎇␈ε¬1
␈β
7␈↓ ↓P␈ε∩S4.␈↓ α␈εαIf␈↓ α,␈ελd␈↓ αK␈εα<␈↓ β∂␈εαdeg␈↓ βE␈εα(␈↓ βQ␈ελv␈↓ βd␈εα),␈α	return␈αλto␈αλS2.␈αOtherwise␈↓ εw␈ελv␈↓ π	␈εα(␈↓ π∃␈ελx␈↓ π(␈εα)␈αλis␈α	irreducible,␈α	and␈αλthe␈αλprocedure
␈β
G␈↓ α⎇␈∧
Gα⎇α∂
␈β
I␈↓ α⎇␈ε¬2
␈β
b␈↓ α␈εαterminates.
␈β
g␈↓ βd␈∧
gβd≠∂
␈β≤␈↓ α␈εαThis␈αprocedure␈αdetermines␈αthe␈αproduct␈αof␈αall␈αirreducible␈αfactors␈αof␈αeach␈αde-
␈βG␈↓ ↓H␈εαgree␈↓ α→␈ελd␈↓ α-␈εα,␈α∪and␈α⊃therefore␈α∩it␈α⊃tells␈α⊃us␈α∩ho␈α␈w␈α⊃man␈α␈y␈α∩factors␈α⊃there␈α⊃are␈α∩of␈α⊃each␈α⊃degree.
␈βr␈↓ ↓H␈εαSince␈α∞the␈α∂three␈α∞factors␈α∂of␈α∂our␈α∞example␈α∂polynomial␈α∂(19)␈α∞hav␈α␈e␈α∂di{eren␈α␈t␈α∞degrees,
␈β≡␈↓ ↓H␈εαthey␈α⊂w␈α␈ould␈α⊃all␈α⊃be␈α⊂disco␈α␈v␈α␈ered.␈α~The␈α⊃total␈α⊃running␈α⊂time,␈α∩analyzed␈α⊃as␈α⊃abo␈α␈v␈α␈e,␈α⊃is
␈β)␈↓ ↓b␈ε↓␈␈↓ ∧E␈ε↓↓
␈βD␈↓ α¬␈ε¬3␈↓ αr␈ε¬2␈↓ βJ␈ε¬2␈↓ ∧7␈ε¬3
␈βI␈↓ ↓H␈ελO␈↓ ↓p␈ελn␈↓ α∀␈εα(␈↓ α ␈εαlog␈↓ αT␈ελp␈↓ αf␈εα)␈↓ β	␈εα+␈↓ β5␈ελn␈↓ βY␈εα(␈↓ βe␈εαlog␈↓ ∧→␈ελp␈↓ ∧+␈εα)␈↓ ∧S␈εα.
␈βt␈↓ α␈εαThe␈α
distinct␈αdegree␈α
factorization␈α
technique␈αwas␈α
kno␈α␈wn␈α
to␈αsev␈α␈eral␈α
people␈αin
␈β
∨␈↓ ↓H␈εα1960␈αλ[cf.␈απS.␈αλW.␈αλGolom␈α␈b,␈α	L.␈αλR.␈αλWelch,␈αλA.␈αλHales,␈α	\On␈αλthe␈αλfactorization␈αλof␈απtrinomials
␈β
J␈↓ ↓H␈εαo␈α␈v␈α␈er␈α	GF(2),"␈α
Jet␈α
Propulsion␈α	Laboratory␈α
memo␈α
20↑189␈α	(July␈α
14,␈α
1959)],␈α
but␈α	there
␈β
m␈↓ ∂␈εα⊂
␈β
v␈↓ ↓H␈εαseem␈α⊂to␈α⊂be␈α⊂no␈α⊂references␈α⊂to␈α⊂it␈α⊂in␈α⊃the␈α⊂\open␈α⊂literature."␈α_Previous␈α⊂w␈α␈ork␈α⊂by␈↓ ∞␈εαS␈↓ "␈εα.
␈β∞!␈↓ ↓H␈εαSch␈α␈warz,␈ε∂␈α	Quart.␈α
J.␈α	Math.␈εα,␈α
Oxford␈α	(2)␈ε∩␈α	7␈εα␈α	(1956),␈α
110↑124,␈α
had␈α	sho␈α␈wn␈α	ho␈α␈w␈α	to␈α	deter-
␈β∞L␈↓ ↓H␈εαmine␈α∂the␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈α⊂of␈α∂irreducible␈α∂factors␈α⊂of␈α∂each␈α∂degree,␈α⊂but␈α⊂not␈α∂their␈α∂product,
␈β∞w␈↓ ↓H␈εαusing␈αthe␈αmatrix␈↓ βZ␈ελQ␈↓ βt␈εα.
␈β∂"␈↓ α␈εαIf␈α∂the␈α⊂distinct␈α∂degree␈α∂factorization␈α∂procedure␈α∂doesn't␈α⊂|nd␈α∂a␈α∂complete␈α∂fac-
␈β∂N␈↓ ↓H␈εαtorization,␈αit␈αis␈αnot␈αnecessary␈αto␈αabandon␈αhope:␈αThere␈αis␈αstill␈αa␈αgood␈αchance␈αthat
␈β∂Y␈↓ εp␈ε↓␈␈↓ 	y␈ε↓↓
␈β∂p␈↓ λT␈ε
d
␈β∂t␈↓ λ;␈ε¬(␈↓ λE␈εp␈↓ λb␈ε→␈␈ε¬1)/2
␈β∂y␈↓ ↓H␈εαthe␈αfactors␈αcan␈αbe␈αfound␈αby␈αcomputing␈↓ ε:␈εαgcd␈↓ ε}␈ελg␈↓ π∂␈εα(␈↓ π≠␈ελx␈↓ π-␈εα),␈α(␈↓ π[␈ελx␈↓ πv␈εα+␈↓ λ"␈ελt␈↓ λ/␈εα)␈↓ 	;␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈↓ 
∪␈εαfor␈↓ 
K␈ελt␈↓ 
b␈εα=␈α
0,
␈β⊂$␈↓ ↓H␈εα1,␈↓ ↓s␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ α#␈εα,␈↓ α<␈ελp␈↓ αX␈ε⊗␈␈εα␈α
1,␈α∂when␈↓ ∧∩␈ελp␈↓ ∧3␈εαis␈α∂odd␈α∞and␈α∂all␈α∂irreducible␈α∞factors␈α∂of␈↓ λz␈ελg␈↓ 	␈εα(␈↓ 	↔␈ελx␈↓ 	)␈εα)␈α∂hav␈α␈e␈α∂degree␈↓ ∞␈ελd␈↓ "␈εα.
␈β⊂G␈↓ βs␈ε
d
␈β⊂J␈↓ βc␈εp
␈β⊂O␈↓ ↓H␈εαEv␈α␈ery␈αdivisor␈αof␈↓ βQ␈ελx␈↓ ∧λ␈ε⊗␈␈↓ ∧4␈ελx␈↓ ∧S␈εαalso␈αdivides
␈β⊂w␈↓ ¬U␈ε↓␈␈↓ λ
␈ε↓↓␈↓ λ≠␈ε↓␈␈↓ 
S␈ε↓↓
␈β⊃
␈↓ β∧␈ε
d␈↓ εh␈ε
d␈↓ 	.␈ε
d
␈β⊃⊃␈↓ αu␈εp␈↓ εO␈ε¬(␈↓ εY␈εp␈↓ εv␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈α↓)␈α␈/␈α↓2␈↓ 	∃␈ε¬(␈↓ 	∨␈εp␈↓ 	<␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈α↓)␈α␈/␈α↓2
␈β⊃↔␈↓ α	␈εα(␈↓ α∃␈ελx␈↓ α0␈εα+␈↓ α\␈ελt␈↓ αi␈εα)␈↓ β~␈ε⊗␈␈εα␈αλ(␈↓ βR␈ελx␈↓ βl␈εα+␈↓ ∧_␈ελt␈↓ ∧%␈εα)␈α
=␈α
(␈↓ ∧u␈ελx␈↓ ¬⊂␈εα+␈↓ ¬<␈ελt␈↓ ¬I␈εα)␈↓ ¬c␈εα(␈↓ ¬o␈ελx␈↓ ε
␈εα+␈↓ ε6␈ελt␈↓ εC␈εα)␈↓ πO␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈↓ λ)␈εα(␈↓ λ5␈ελx␈↓ λP␈εα+␈↓ λ|␈ελt␈↓ 		␈εα)␈↓ 
∃␈εα+␈αλ1␈↓ 
a␈εα,
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα418␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.2
␈βα&␈↓ ↓H␈εαso␈αw␈α␈e␈αcan␈αargue␈αas␈αin␈α(20).␈αIf␈↓ ¬_␈ελd␈↓ ¬7␈εα=␈α
1,␈αall␈αthe␈αlinear␈αfactors␈αwill␈αbe␈αfound␈αquickly,
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαev␈α␈en␈α⊂when␈↓ β↓␈ελp␈↓ β#␈εαis␈α⊂large.␈α_If␈↓ ∧a␈ελd␈↓ ¬ε␈εα>␈α⊃1,␈α⊃w␈α␈e␈α⊂migh␈α␈t␈α⊂not␈α⊂split␈↓ λ$␈ελg␈↓ λ5␈εα(␈↓ λA␈ελx␈↓ λS␈εα)␈α⊂completely,␈α⊃but␈α⊂the
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαprospects␈αare␈αgood,␈ε∂␈αespecially␈εα␈αif␈↓ ¬F␈ελp␈↓ ¬d␈εαis␈αlarge.
␈ββ)␈↓ α␈εαFor␈α	example,␈α	there␈αλare␈α	eigh␈α␈t␈αλirreducible␈α	polynomials␈↓ λ<␈ελf␈↓ λM␈εα(␈↓ λY␈ελx␈↓ λl␈εα)␈αλof␈α	degree␈αλ3,␈α	modulo
␈ββ4␈↓ λ3␈ε↓␈␈↓ 
e␈ε↓↓
␈ββO␈↓ 
↓␈ε¬13
␈ββT␈↓ ↓H␈εα3,␈α
and␈α
they␈α∞will␈α
all␈α
be␈α
distinguished␈α∞by␈α
calculating␈↓ π⎇␈εαgcd␈↓ λA␈ελf␈↓ λR␈εα(␈↓ λ↑␈ελx␈↓ λq␈εα),␈α(␈↓ 	∨␈ελx␈↓ 	;␈εα+␈↓ 	h␈ελt␈↓ 	u␈εα)␈↓ 
&␈ε⊗␈␈εα␈α	1␈↓ ␈εαfor
␈ββ␈␈↓ ↓H␈εα0␈ε⊗␈α
∀␈↓ α∩␈ελt␈↓ α)␈εα<␈α
3:
␈β∧S␈↓ ∧8␈ελf␈↓ ∧I␈εα(␈↓ ∧U␈ελx␈↓ ∧h␈εα)␈↓ ε'␈ελt␈↓ ε>␈εα=␈α
0␈↓ πF␈ελt␈↓ π↑␈εα=␈α
1␈↓ λf␈ελt␈↓ λ⎇␈εα=␈α
2
␈β¬π␈↓ βJ␈ε¬3
␈β¬␈↓ β8␈ελx␈↓ βa␈εα+␈↓ ∧u␈εα2␈↓ ¬π␈ελx␈↓ ¬!␈εα+␈αλ1␈↓ εJ␈εα1␈↓ πi␈εα1␈↓ 	λ␈εα1
␈β¬2␈↓ βJ␈ε¬3
␈β¬7␈↓ β8␈ελx␈↓ βa␈εα+␈↓ ∧u␈εα2␈↓ ¬π␈ελx␈↓ ¬!␈εα+␈αλ2␈↓ ε5␈ελf␈↓ εF␈εα(␈↓ εR␈ελx␈↓ εe␈εα)␈↓ πT␈ελf␈↓ πe␈εα(␈↓ πq␈ελx␈↓ λ∧␈εα)␈↓ λs␈ελf␈↓ 	∧␈εα(␈↓ 	⊂␈ελx␈↓ 	#␈εα)
␈β¬]␈↓ βJ␈ε¬3␈↓ ∧1␈ε¬2
␈β¬c␈↓ β8␈ελx␈↓ βa␈εα+␈↓ ∧∨␈ελx␈↓ ∧H␈εα+␈↓ ¬M␈εα2␈↓ ε5␈ελf␈↓ εF␈εα(␈↓ εR␈ελx␈↓ εe␈εα)␈↓ πT␈ελf␈↓ πe␈εα(␈↓ πq␈ελx␈↓ λ∧␈εα)␈↓ 	λ␈εα1
␈βε	␈↓ βJ␈ε¬3␈↓ ∧1␈ε¬2
␈βε∞␈↓ β8␈ελx␈↓ βa␈εα+␈↓ ∧∨␈ελx␈↓ ∧H␈εα+␈↓ ¬π␈ελx␈↓ ¬!␈εα+␈αλ2␈↓ ε5␈ελf␈↓ εF␈εα(␈↓ εR␈ελx␈↓ εe␈εα)␈↓ πi␈εα1␈↓ λs␈ελf␈↓ 	∧␈εα(␈↓ 	⊂␈ελx␈↓ 	#␈εα)
␈βε4␈↓ βJ␈ε¬3␈↓ ∧1␈ε¬2
␈βε9␈↓ β8␈ελx␈↓ βa␈εα+␈↓ ∧∨␈ελx␈↓ ∧H␈εα+␈↓ ∧u␈εα2␈↓ ¬π␈ελx␈↓ ¬!␈εα+␈αλ1␈↓ εJ␈εα1␈↓ πT␈ελf␈↓ πe␈εα(␈↓ πq␈ελx␈↓ λ∧␈εα)␈↓ λs␈ελf␈↓ 	∧␈εα(␈↓ 	⊂␈ελx␈↓ 	#␈εα)
␈βε←␈↓ βJ␈ε¬3␈↓ ∧1␈ε¬2
␈βεd␈↓ β8␈ελx␈↓ βa␈εα+␈↓ ∧
␈εα2␈↓ ∧∨␈ελx␈↓ ∧H␈εα+␈↓ ¬M␈εα1␈↓ εJ␈εα1␈↓ πT␈ελf␈↓ πe␈εα(␈↓ πq␈ελx␈↓ λ∧␈εα)␈↓ 	λ␈εα1
␈βπ
␈↓ βJ␈ε¬3␈↓ ∧1␈ε¬2
␈βπ∂␈↓ β8␈ελx␈↓ βa␈εα+␈↓ ∧
␈εα2␈↓ ∧∨␈ελx␈↓ ∧H␈εα+␈↓ ¬π␈ελx␈↓ ¬!␈εα+␈αλ1␈↓ εJ␈εα1␈↓ πi␈εα1␈↓ λs␈ελf␈↓ 	∧␈εα(␈↓ 	⊂␈ελx␈↓ 	#␈εα)
␈βπ5␈↓ βJ␈ε¬3␈↓ ∧1␈ε¬2
␈βπ;␈↓ β8␈ελx␈↓ βa␈εα+␈↓ ∧
␈εα2␈↓ ∧∨␈ελx␈↓ ∧H␈εα+␈↓ ∧t␈εα2␈↓ ¬ε␈ελx␈↓ ¬!␈εα+␈↓ ¬M␈ελx␈↓ ε5␈ελf␈↓ εF␈εα(␈↓ εR␈ελx␈↓ εe␈εα)␈↓ πi␈εα1␈↓ 	λ␈εα1
␈βλ∀␈↓ ↓H␈εαOn␈α⊂the␈α⊃other␈α⊃hand,␈α⊃when␈α⊃the␈α⊃n␈α␈um␈α␈ber␈α⊂of␈α⊃irreducible␈α⊂polynomials␈α⊃of␈α⊃degree␈↓ _␈ελd
␈βλ:␈↓ αV␈εp
␈βλ?␈↓ ↓H␈εαex␈α␈ceeds␈↓ αD␈εα2␈↓ αf␈εα,␈αλit␈αλis␈απclear␈αλthat␈αλthere␈απwill␈αλexist␈αλirreducibles␈απthat␈αλcannot␈αλbe␈απdistinguished
␈βλj␈↓ ↓H␈εαby␈αthis␈αmethod.␈α_M.␈αO.␈αRabin␈αhas␈αsho␈α␈wn␈αho␈α␈w␈αto␈αextend␈αthe␈αdistinct-degree␈αfac-
␈β	∃␈↓ ↓H␈εαtorization␈α
technique␈αto␈αa␈αcomplete␈αfactorization␈α
in␈αall␈αcases,␈αby␈αdoing␈α
arithmetic
␈β	;␈↓ βB␈εn
␈β	@␈↓ ↓H␈εαin␈αa␈α|eld␈αwith␈↓ β0␈ελp␈↓ β`␈εαelemen␈α␈ts␈α(see␈αex␈α␈ercise␈α31).
␈β
π␈↓ ↓H␈ε∩Factoring␈αo␈α␈v␈α␈er␈α
the␈α
in␈α␈tegers.␈εα␈α≠It␈α
is␈αsomewhat␈α
more␈α
di}cult␈α
to␈α
|nd␈α
the␈αcomplete
␈β
2␈↓ ↓H␈εαfactorization␈α∞of␈α∞polynomials␈α∞with␈α∂in␈α␈teger␈α∞coe}cien␈α␈ts␈α∞when␈α∂w␈α␈e␈α∞are␈ε∂␈α∞not␈εα␈α∞w␈α␈orking
␈β
↑␈↓ ↓H␈εαmodulo␈↓ αH␈ελp␈↓ αZ␈εα,␈αbut␈αsome␈αreasonably␈αe}cien␈α␈t␈αmethods␈αare␈αavailable␈αfor␈αthis␈αpurpose.
␈β
␈↓ α␈εαIsaac␈α∩Newton␈α∩gav␈α␈e␈α⊃a␈α∩method␈α∩for␈α∩|nding␈α⊃linear␈α∩and␈α∩quadratic␈α∩factors␈α⊃of
␈β5␈↓ ↓H␈εαpolynomials␈αwith␈αin␈α␈teger␈αcoe}cien␈α␈ts␈αin␈αhis␈ε∂␈αArithmetica␈α
Univ␈α␈ersalis␈↓ 	p␈εα(1707).␈αThis
␈β`␈↓ ↓H␈εαmethod␈αwas␈αextended␈αby␈αan␈αastronomer␈αnamed␈αFriedrich␈αv␈α␈on␈αSch␈α␈ubert␈αin␈α1793,
␈β␈↓ ↓H␈εαwho␈α
sho␈α␈w␈α␈ed␈α∞ho␈α␈w␈α
to␈α
|nd␈α∞all␈α
factors␈α∞of␈α
degree␈↓ π≡␈ελn␈↓ πA␈εαin␈α
a␈α∞|nite␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α
steps;␈α∞see
␈β6␈↓ ↓H␈εαM.␈α⊂Can␈α␈tor,␈ε∂␈α⊃Geschich␈α␈te␈α⊂der␈α⊂Mathematik␈ε∩␈α⊃4␈εα␈α⊂(Leipzig:␈α∀Teubner,␈α⊃1908),␈α⊃136↑137.
␈βb␈↓ ↓H␈εαL.␈αKroneck␈α␈er␈αredisco␈α␈v␈α␈ered␈αv␈α␈on␈αSch␈α␈ubert's␈αmethod␈αindependen␈α␈tly␈αabout␈α90␈αy␈α␈ears
␈β

␈↓ ↓H␈εαlater;␈α∂but␈α∞unfortunately␈α∞the␈α∂method␈α∞is␈α∞v␈α␈ery␈α∞ine}cien␈α␈t␈α∂when␈↓ 	↔␈ελn␈↓ 	;␈εαis␈α∞|v␈α␈e␈α∞or␈α∞more.
␈β
8␈↓ ↓H␈εαMuch␈αbetter␈αresults␈αcan␈αbe␈αobtained␈αwith␈αthe␈αhelp␈αof␈αthe␈α\mod␈↓ 	6␈ελp␈↓ 	H␈εα"␈αfactorization
␈β
c␈↓ ↓H␈εαmethods␈αpresen␈α␈ted␈αabo␈α␈v␈α␈e.
␈β∞∂␈↓ α␈εαSuppose␈αthat␈αw␈α␈e␈αwan␈α␈t␈αto␈α|nd␈αthe␈αirreducible␈αfactors␈αof␈αa␈αgiv␈α␈en␈αpolynomial
␈β∞b␈↓ ∧[␈εn␈↓ εε␈εn␈↓ ε_␈ε→␈␈ε¬1
␈β∞h␈↓ β*␈ελu␈↓ β?␈εα(␈↓ βK␈ελx␈↓ β↑␈εα)␈α
=␈↓ ∧"␈ελu␈↓ ∧I␈ελx␈↓ ∧u␈εα+␈↓ ¬!␈ελu␈↓ ¬s␈ελx␈↓ εK␈εα+␈↓ εw␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π)␈εα+␈↓ πU␈ελu␈↓ πx␈εα,␈↓ λP␈ελu␈↓ 	␈ε⊗≤␈εα␈α
0,
␈β∞v␈↓ ∧7␈εn␈↓ ¬6␈εn␈↓ ¬H␈ε→␈␈ε¬1␈↓ πi␈ε¬0␈↓ λd␈εn
␈β∂A␈↓ ↓H␈εαo␈α␈v␈α␈er␈αthe␈αin␈α␈tegers.␈αAs␈αa␈α|rst␈αstep,␈αw␈α␈e␈αcan␈αdivide␈αby␈αthe␈αgreatest␈αcommon␈αdivisor
␈β∂m␈↓ ↓H␈εαof␈αthe␈αcoe}cien␈α␈ts,␈αand␈αthis␈αleav␈α␈es␈αus␈αwith␈αa␈ε∂␈αprimitiv␈α␈e␈εα␈αpolynomial.␈αWe␈αmay␈αalso
␈β∂x␈↓ πl␈ε↓␈␈↓ 	∩␈ε↓↓
␈β⊂∪␈↓ λ`␈ε→0
␈β⊂_␈↓ ↓H␈εαassume␈αthat␈↓ β∩␈ελu␈↓ β'␈εα(␈↓ β3␈ελx␈↓ βF␈εα)␈αis␈αsquarefree,␈αby␈αdividing␈αout␈↓ π6␈εαgcd␈↓ πz␈ελu␈↓ λ⊂␈εα(␈↓ λ≤␈ελx␈↓ λ/␈εα),␈↓ λK␈ελu␈↓ λg␈εα(␈↓ λs␈ελx␈↓ 	ε␈εα)␈↓ 	,␈εαas␈αabo␈α␈v␈α␈e.
␈β⊂D␈↓ α␈εαNo␈α␈w␈α∞if␈↓ β¬␈ελu␈↓ β≠␈εα(␈↓ β'␈ελx␈↓ β:␈εα)␈α
=␈↓ ∧∧␈ελv␈↓ ∧↔␈εα(␈↓ ∧#␈ελx␈↓ ∧6␈εα)␈↓ ∧B␈ελw␈↓ ∧]␈εα(␈↓ ∧i␈ελx␈↓ ∧|␈εα),␈α∞where␈α∞all␈α∞of␈α∞these␈α∞polynomials␈α∞hav␈α␈e␈α∞in␈α␈teger␈α∞coef-
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εα|cien␈α␈ts,␈αw␈α␈e␈αobviously␈αhav␈α␈e␈↓ ∧s␈ελu␈↓ ¬	␈εα(␈↓ ¬∃␈ελx␈↓ ¬(␈εα)␈ε⊗␈α
⊃␈↓ ¬l␈ελv␈↓ ¬␈␈εα(␈↓ ε␈ελx␈↓ ε≥␈εα)␈↓ ε)␈ελw␈↓ εD␈εα(␈↓ εP␈ελx␈↓ εc␈εα)␈α
(modulo␈↓ λ¬␈ελp␈↓ λ↔␈εα)␈αfor␈αall␈αprimes␈↓ 

␈ελp␈↓ 
≤␈εα,␈αso␈αthere
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαis␈α
a␈αnon␈α␈trivial␈αfactorization␈αmodulo␈↓ ¬z␈ελp␈↓ ε_␈εαunless␈↓ π␈ελp␈↓ π≡␈εαdivides␈↓ λ⊗␈ελ#␈↓ λ%␈εα(␈↓ λ1␈ελu␈↓ λG␈εα).␈αBerlekamp's␈α
e}cien␈α␈t
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.2␈ε∞␈↓ εRF␈α|A␈α␈CTORIZ␈α␈A␈α}T␈α␈ION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα419
␈βα&␈↓ ↓H␈εαalgorithm␈α∞for␈α∂factoring␈↓ ∧D␈ελu␈↓ ∧Z␈εα(␈↓ ∧f␈ελx␈↓ ∧x␈εα)␈α∂modulo␈↓ ε⊗␈ελp␈↓ ε7␈εαcan␈α∂therefore␈α∂be␈α∞used␈α∂in␈α∂an␈α∂attempt␈α∞to
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαreconstruct␈αpossible␈αfactorizations␈αof␈↓ ε∀␈ελu␈↓ ε)␈εα(␈↓ ε5␈ελx␈↓ εH␈εα)␈αo␈α␈v␈α␈er␈αthe␈αin␈α␈tegers.
␈βα⎇␈↓ α␈εαFor␈αexample,␈αlet
␈ββN␈↓ ∧←␈ε¬8␈↓ ¬4␈ε¬6␈↓ ε≠␈ε¬4␈↓ πα␈ε¬3␈↓ πi␈ε¬2
␈ββT␈↓ βS␈ελu␈↓ βi␈εα(␈↓ βu␈ελx␈↓ ∧λ␈εα)␈α
=␈↓ ∧L␈ελx␈↓ ∧u␈εα+␈↓ ¬!␈ελx␈↓ ¬J␈ε⊗␈␈εα␈αλ3␈↓ ελ␈ελx␈↓ ε1␈ε⊗␈␈εα␈αλ3␈↓ εo␈ελx␈↓ π→␈εα+␈αλ8␈↓ πW␈ελx␈↓ λ␈εα+␈αλ2␈↓ λ>␈ελx␈↓ λY␈ε⊗␈␈εα␈αλ5.␈↓ 
p␈εα(21)
␈β∧*␈↓ ↓H␈εαWe␈αhav␈α␈e␈αseen␈αabo␈α␈v␈α␈e␈αin␈α(19)␈αthat
␈β∧{␈↓ α←␈ε¬4␈↓ βA␈ε¬3␈↓ ∧"␈ε¬2␈↓ ¬o␈ε¬3␈↓ εQ␈ε¬2
␈β¬↓␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓]␈εα(␈↓ ↓i␈ελx␈↓ ↓|␈εα)␈ε⊗␈α
⊃␈εα␈α
(␈↓ αL␈ελx␈↓ αs␈εα+␈α¬2␈↓ β.␈ελx␈↓ βT␈εα+␈α¬3␈↓ ∧∂␈ελx␈↓ ∧6␈εα+␈α¬4␈↓ ∧q␈ελx␈↓ ¬	␈εα+␈α¬6)(␈↓ ¬\␈ελx␈↓ εβ␈εα+␈α¬8␈↓ ε>␈ελx␈↓ εe␈εα+␈α¬4␈↓ π ␈ελx␈↓ π8␈εα+␈α¬12)(␈↓ λ≥␈ελx␈↓ λ5␈εα+␈α¬3)␈α
(modulo␈α13);␈↓ 
p␈εα(22)
␈β¬X␈↓ ↓H␈εαand␈α∂the␈α∞complete␈α∂factorization␈α∂of␈↓ ¬n␈ελu␈↓ ε∧␈εα(␈↓ ε⊂␈ελx␈↓ ε"␈εα)␈α∂modulo␈α∂2␈α∂sho␈α␈ws␈α∂one␈α∂factor␈α∂of␈α∂degree␈α∞6
␈βεβ␈↓ ↓H␈εαand␈αanother␈αof␈αdegree␈α2␈α(see␈αex␈α␈ercise␈α10).␈αFrom␈α(22)␈αw␈α␈e␈αcan␈αsee␈αthat␈↓ 	{␈ελu␈↓ 
⊃␈εα(␈↓ 
≥␈ελx␈↓ 
0␈εα)␈αhas␈αno
␈βε/␈↓ ↓H␈εαfactor␈αof␈αdegree␈α2,␈αso␈αit␈αm␈α␈ust␈αbe␈αirreducible␈αo␈α␈v␈α␈er␈αthe␈αin␈α␈tegers.
␈βεZ␈↓ α␈εαThis␈α	particular␈α
example␈α	was␈α	perhaps␈α	too␈α
simple;␈α
experience␈α	sho␈α␈ws␈α	that␈α	most
␈βπ¬␈↓ ↓H␈εαirreducible␈α⊂polynomials␈α⊂can␈α⊂be␈α⊂recognized␈α⊂as␈α⊂such␈α⊂by␈α⊂examining␈α⊂their␈α⊂factors
␈βπ0␈↓ ↓H␈εαmodulo␈α
a␈αfew␈αprimes,␈αbut␈αit␈αis␈ε∂␈αnot␈εα␈αalways␈α
so␈αeasy␈αto␈αestablish␈αirreducibility.␈αFor
␈βπ\␈↓ ↓H␈εαexample,␈α∞there␈α
are␈α∞polynomials␈α∞that␈α
can␈α∞be␈α∞properly␈α
factored␈α∞modulo␈↓ 
-␈ελp␈↓ 
M␈εαfor␈α
all
␈βλπ␈↓ ↓H␈εαprimes␈↓ α:␈ελp␈↓ αL␈εα,␈αwith␈αconsisten␈α␈t␈α
degrees␈αof␈α
the␈α
factors,␈αy␈α␈et␈αthey␈α
are␈αirreducible␈α
o␈α␈v␈α␈er␈α
the
␈βλ2␈↓ ↓H␈εαin␈α␈tegers␈α(see␈αex␈α␈ercise␈α12).
␈βλ]␈↓ α␈εαAlmost␈α
all␈α	polynomials␈α
are␈α	irreducible␈α
o␈α␈v␈α␈er␈α	the␈α
in␈α␈tegers,␈α
as␈α	sho␈α␈wn␈α
in␈α	ex␈α␈ercise
␈β	λ␈↓ ↓H␈εα27.␈αBut␈αλw␈α␈e␈α	usually␈α	aren't␈α	trying␈α	to␈αλfactor␈α	a␈α	random␈α	polynomial;␈α
there␈α	is␈αλprobably
␈β	4␈↓ ↓H␈εαsome␈αreason␈αto␈αexpect␈αa␈αnon␈α␈trivial␈αfactor␈αor␈αelse␈αthe␈αcalculation␈αw␈α␈ould␈αnot␈αhav␈α␈e
␈β	←␈↓ ↓H␈εαbeen␈α
attempted␈α
in␈α
the␈α
|rst␈αplace.␈αWe␈α
need␈α
a␈αmethod␈α
that␈α
iden␈α␈ti|es␈α
factors␈α
when
␈β

␈↓ ↓H␈εαthey␈αare␈αthere.
␈β
5␈↓ α␈εαIn␈α∞general␈α∞if␈α∞w␈α␈e␈α∞try␈α∞to␈α∞|nd␈α∂the␈α∞factors␈α∞of␈↓ π.␈ελu␈↓ πC␈εα(␈↓ πO␈ελx␈↓ πb␈εα)␈α∞by␈α∞considering␈α∞its␈α∞behavior
␈β
a␈↓ ↓H␈εαmodulo␈α∞di{eren␈α␈t␈α∞primes,␈α∂the␈α∞results␈α∂will␈α∞not␈α∞be␈α∞easy␈α∂to␈α∞com␈α␈bine;␈α∂for␈α∞example,
␈β␈↓ ↓H␈εαif␈↓ ↓k␈ελu␈↓ α␈εα(␈↓ α␈ελx␈↓ α∨␈εα)␈α
actually␈α∞is␈α
the␈α
product␈α
of␈α
four␈α
quadratic␈α
polynomials,␈α∞it␈α
will␈α
be␈α
hard␈α
to
␈β7␈↓ ↓H␈εαmatch␈α∞up␈α∂their␈α∂images␈α∂with␈α∂respect␈α∂to␈α∂di{eren␈α␈t␈α∞prime␈α∂moduli.␈α∃Therefore␈α∂it␈α∞is
␈βb␈↓ ↓H␈εαdesirable␈αto␈αstick␈αto␈αa␈αsingle␈αprime␈αand␈αto␈αsee␈αho␈α␈w␈αm␈α␈uch␈αmileage␈αw␈α␈e␈αcan␈αget␈αout
␈β
␈↓ ↓H␈εαof␈αit,␈αonce␈αw␈α␈e␈αfeel␈αthat␈αthe␈αfactors␈αmodulo␈αthis␈αprime␈αhav␈α␈e␈αthe␈αrigh␈α␈t␈αdegrees.
␈β9␈↓ α␈εαOne␈α∂idea␈α∞is␈α∂to␈α∞w␈α␈ork␈α∂modulo␈α∞a␈α∂v␈α␈ery␈ε∂␈α∞large␈εα␈α∞prime␈↓ λ∪␈ελp␈↓ λ%␈εα,␈α∂big␈α∂enough␈α∞so␈α∂that␈α∞the
␈βd␈↓ ↓H␈εαcoe}cien␈α␈ts␈αin␈αan␈α␈y␈αtrue␈α
factorization␈↓ ε␈ελu␈↓ ε!␈εα(␈↓ ε-␈ελx␈↓ ε?␈εα)␈α=␈↓ π∧␈ελv␈↓ π↔␈εα(␈↓ π#␈ελx␈↓ π6␈εα)␈↓ πB␈ελw␈↓ π\␈εα(␈↓ πh␈ελx␈↓ π{␈εα)␈αo␈α␈v␈α␈er␈α
the␈αin␈α␈tegers␈αm␈α␈ust␈αac-
␈β
∂␈↓ ↓H␈εαtually␈αlie␈αbet␈α␈w␈α␈een␈ε⊗␈α␈␈↓ ∧
␈ελp␈↓ ∧ ␈εα/2␈αand␈↓ ¬⊗␈ελp␈↓ ¬(␈εα/2.␈αThen␈αall␈αpossible␈αin␈α␈teger␈αfactors␈αcan␈αbe␈α\read
␈β
:␈↓ ↓H␈εαo{"␈αfrom␈αthe␈αmod␈↓ βr␈ελp␈↓ ∧⊂␈εαfactors␈αw␈α␈e␈αkno␈α␈w␈αho␈α␈w␈αto␈αcompute.
␈β
f␈↓ α␈εαEx␈α␈ercise␈α∂20␈α∞sho␈α␈ws␈α∂ho␈α␈w␈α∂to␈α∂obtain␈α∞fairly␈α∂good␈α∂bounds␈α∞on␈α∂the␈α∂coe}cien␈α␈ts␈α∞of
␈β∞⊃␈↓ ↓H␈εαpolynomial␈α∞factors.␈α⊃For␈α∞example,␈α∂if␈α∞(21)␈α∞w␈α␈ere␈α∞reducible␈α∞it␈α∞w␈α␈ould␈α∞hav␈α␈e␈α
a␈α∞factor
␈β∞<␈↓ ↓H␈ελv␈↓ ↓Z␈εα(␈↓ ↓f␈ελx␈↓ ↓y␈εα)␈α
of␈α	degree␈ε⊗␈α
∀␈εα␈α
4,␈α
and␈α	the␈α
coe}cien␈α␈ts␈α	of␈↓ εQ␈ελv␈↓ εm␈εαw␈α␈ould␈α	be␈α
at␈α	most␈α
67␈α	in␈α
magnitude␈α	by
␈β∞g␈↓ ↓H␈εαthe␈α	results␈α
of␈α	that␈α
ex␈α␈ercise.␈αSo␈α
all␈α	poten␈α␈tial␈α
factors␈α	of␈↓ λβ␈ελu␈↓ λ→␈εα(␈↓ λ%␈ελx␈↓ λ8␈εα)␈α	will␈α
be␈α	fairly␈α
eviden␈α␈t␈α	if
␈β∂∪␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αw␈α␈ork␈αmodulo␈αan␈α␈y␈αprime␈↓ ∧}␈ελp␈↓ ¬≠␈εα>␈α
134.␈αIndeed,␈αthe␈αcomplete␈αfactorization␈αmodulo
␈β∂>␈↓ ↓H␈εα137␈αis
␈β⊂∞␈↓ αn␈ε¬3␈↓ βh␈ε¬2␈↓ ¬d␈ε¬5␈↓ ε]␈ε¬4␈↓ πV␈ε¬3␈↓ λ=␈ε¬2
␈β⊂∃␈↓ αP␈εα(␈↓ α\␈ελx␈↓ β¬␈εα+␈αλ32␈↓ βU␈ελx␈↓ β}␈εα+␈αλ21␈↓ ∧N␈ελx␈↓ ∧i␈εα+␈αλ56)(␈↓ ¬Q␈ελx␈↓ ¬z␈ε⊗␈␈εα␈αλ32␈↓ εJ␈ελx␈↓ εs␈εα+␈αλ45␈↓ πC␈ελx␈↓ πl␈ε⊗␈␈εα␈αλ2␈↓ λ*␈ελx␈↓ λT␈ε⊗␈␈εα␈αλ51␈↓ 	$␈ελx␈↓ 	>␈ε⊗␈␈εα␈αλ27),
␈β⊂f␈↓ ¬#␈ε¬3
␈β⊂k␈↓ ↓H␈εαand␈α
w␈α␈e␈α
see␈αimmediately␈α
that␈↓ ¬⊃␈ελx␈↓ ¬8␈εα+␈↓ ¬b␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε⊃␈εα+␈αε56␈αis␈α
not␈α
a␈αfactor␈α
since␈α56␈α
doesn't␈α
divide
␈β⊂w␈↓ αβ␈ε↓␈
␈β⊃↔␈↓ ↓H␈εα5.␈↓ α⊃␈εαInciden␈α␈tally,␈α⊂it␈α∂is␈α∂not␈α∂trivial␈α⊂to␈α∂obtain␈α∂good␈α∂bounds␈α⊂on␈α∂the␈α∂coe}cien␈α␈ts␈α∂of
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα420␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.2
␈βα(␈↓ ↓H␈εαpolynomial␈α∞factors,␈α∞since␈α∞a␈α∞lot␈α∞of␈α∞cancellation␈α∞can␈α∞occur␈α∞when␈α∞polynomials␈α∞are
␈βαN␈↓ λu␈εn
␈βαS␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiplied.␈α
For␈αλexample,␈α	the␈αλinnocuous-looking␈αλpolynomial␈↓ λb␈ελx␈↓ 	
␈ε⊗␈␈εα␈αα1␈αλhas␈αλirreducible
␈βαy␈↓ ε'␈ε¬1/␈↓ εD␈ε¬lg␈↓ ε←␈ε¬lg␈↓ εz␈εn
␈βα}␈↓ ↓H␈εαfactors␈αwhose␈αcoe}cien␈α␈ts␈αex␈α␈ceed␈↓ ¬M␈εαexp␈↓ ε¬␈εα(␈↓ ε⊃␈ελn␈↓ π␈εα)␈αfor␈αin|nitely␈αman␈α␈y␈↓ 	U␈ελn␈↓ 	k␈εα.␈α_[See␈αR.␈αC.
␈ββ%␈↓ 
5␈εn
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαVaughan,␈ε∂␈αMichigan␈αMath.␈α
J.␈ε∩␈α21␈εα␈α(1974),␈α289↑295].␈α↔The␈α
factorization␈αof␈↓ 
"␈ελx␈↓ 
M␈ε⊗␈␈εα␈απ1␈α
is
␈ββ5␈↓ ∧A␈ε↓↓
␈ββU␈↓ ↓H␈εαdiscussed␈αin␈αex␈α␈ercise␈α32.
␈β∧␈↓ α␈εαInstead␈α∂of␈α∂using␈α∂a␈α∂large␈α∞prime␈↓ ¬␈␈ελp␈↓ ε∩␈εα,␈α∂which␈α∂migh␈α␈t␈α∂hav␈α␈e␈α∂to␈α∂be␈α∂truly␈α∞enormous
␈β∧+␈↓ ↓H␈εαif␈↓ ↓l␈ελu␈↓ αα␈εα(␈↓ α∞␈ελx␈↓ α!␈εα)␈α∂has␈α∂large␈α∞degree␈α∂or␈α∂large␈α∂coe}cien␈α␈ts,␈α∂w␈α␈e␈α∂can␈α∂also␈α∂mak␈α␈e␈α∂use␈α∞of␈α∂small␈↓ ⊂␈ελp␈↓ "␈εα,
␈β∧V␈↓ ↓H␈εαpro␈α␈vided␈απthat␈↓ β!␈ελu␈↓ β7␈εα(␈↓ βC␈ελx␈↓ βV␈εα)␈απis␈αλsquarefree␈απmod␈↓ ¬y␈ελp␈↓ ε␈εα.␈α
For␈αλin␈απthis␈απcase,␈α	an␈απimportan␈α␈t␈απconstruction
␈β¬α␈↓ ↓H␈εαin␈α␈troduced␈α
by␈α∞K.␈α
Hensel␈α∞[␈ε∂Theorie␈α∞der␈α
Algebraischen␈α∞Zahlen␈εα␈α
(Leipzig:␈α∂Teubner,
␈β¬-␈↓ ↓H␈εα1908),␈α	Chapter␈α	4]␈α	can␈α	be␈α
used␈α	to␈α	extend␈α	a␈α	factorization␈α	modulo␈↓ 	≡␈ελp␈↓ 	9␈εαin␈α	a␈α	unique␈α	way
␈β¬S␈↓ ∧w␈εe
␈β¬X␈↓ ↓H␈εαto␈αa␈αfactorization␈αmodulo␈↓ ∧d␈ελp␈↓ ¬∂␈εαfor␈αarbitrarily␈αhigh␈↓ πE␈ελe␈↓ πS␈εα.␈α
Hensel's␈αmethod␈αis␈αdescribed
␈βεβ␈↓ ↓H␈εαin␈α	ex␈α␈ercise␈α
22;␈αif␈α	w␈α␈e␈α
apply␈α
it␈α
to␈α	(22)␈α
with␈↓ ε@␈ελp␈↓ ε\␈εα=␈α
13␈α
and␈↓ π|␈ελe␈↓ λ∀␈εα=␈α
2,␈α
w␈α␈e␈α
obtain␈α
the␈α	unique
␈βε)␈↓ ¬'␈ε¬3␈↓ ε↔␈ε¬2␈↓ λ↓␈ε¬4␈↓ λq␈ε¬3␈↓ 	a␈ε¬2
␈βε.␈↓ ↓H␈εαfactorization␈↓ β⊗␈ελu␈↓ β,␈εα(␈↓ β8␈ελx␈↓ βK␈εα)␈ε⊗␈α
⊃␈εα␈α
(␈↓ ∧≠␈ελx␈↓ ∧1␈ε⊗␈␈εα␈αβ36)(␈↓ ¬∀␈ελx␈↓ ¬9␈ε⊗␈␈εα␈α∧18␈↓ ε¬␈ελx␈↓ ε)␈εα+␈α∧82␈↓ εu␈ελx␈↓ π␈ε⊗␈␈εα␈αβ66)(␈↓ πn␈ελx␈↓ λ∪␈εα+␈αβ54␈↓ λ↑␈ελx␈↓ 	β␈ε⊗␈␈εα␈α∧10␈↓ 	O␈ελx␈↓ 	s␈εα+␈α∧69␈↓ 
?␈ελx␈↓ 
U␈εα+␈αβ84)
␈βεZ␈↓ ↓H␈εα(modulo␈α169)␈α∞=␈↓ βV␈ελv␈↓ βt␈εα(␈↓ ∧␈ελx␈↓ ∧∪␈εα)␈↓ ∧∨␈ελv␈↓ ∧=␈εα(␈↓ ∧I␈ελx␈↓ ∧\␈εα)␈↓ ∧h␈ελv␈↓ ¬ε␈εα(␈↓ ¬∩␈ελx␈↓ ¬%␈εα),␈α∂say.␈α∪Clearly␈↓ π≡␈ελv␈↓ π<␈εα(␈↓ πH␈ελx␈↓ π[␈εα)␈α∞and␈↓ λ>␈ελv␈↓ λ\␈εα(␈↓ λh␈ελx␈↓ λ{␈εα)␈α∞are␈α∂not␈α∞factors␈α∞of
␈βεg␈↓ βf␈ε¬1␈↓ ∧/␈ε¬3␈↓ ∧x␈ε¬4␈↓ π-␈ε¬1␈↓ λM␈ε¬3
␈βπ¬␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓]␈εα(␈↓ ↓i␈ελx␈↓ ↓|␈εα)␈α	o␈α␈v␈α␈er␈α	the␈αλin␈α␈tegers;␈α
and␈α	neither␈α	is␈α	their␈αλproduct␈↓ πS␈ελv␈↓ πq␈εα(␈↓ π⎇␈ελx␈↓ λ⊂␈εα)␈↓ λ≤␈ελv␈↓ λ:␈εα(␈↓ λF␈ελx␈↓ λY␈εα)␈α	when␈α	the␈αλcoe}cien␈α␈ts
␈βπ∩␈↓ πc␈ε¬1␈↓ λ,␈ε¬3
␈βπ-␈↓ π ␈ε¬169␈↓ πc␈ε¬16␈α↓9
␈βπ0␈↓ ↓H␈εαhav␈α␈e␈α	been␈αλreduced␈α	modulo␈α	169␈α	to␈α	the␈α	range␈α	(␈ε⊗␈␈↓ πO␈εα,␈↓ λ∩␈εα).␈αTh␈α␈us␈α	w␈α␈e␈α	hav␈α␈e␈αλexhausted
␈βπ@␈↓ π ␈∧π@π α,␈↓ πc␈∧π@πcα,
␈βπC␈↓ π.␈ε¬2␈↓ πq␈ε¬2
␈βπ[␈↓ ↓H␈εαall␈α∞possibilities,␈α∂pro␈α␈ving␈α∞once␈α∂again␈α∞that␈↓ εU␈ελu␈↓ εk␈εα(␈↓ εw␈ελx␈↓ π
␈εα)␈α∞is␈α∞irreducible␈α∂o␈α␈v␈α␈er␈α∞the␈α∞in␈α␈tegers←
␈βλε␈↓ ↓H␈εαthis␈αtime␈αusing␈αonly␈αits␈αfactorization␈αmodulo␈α13.
␈βλ2␈↓ α␈εαThe␈αexample␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈α
been␈αconsidering␈αis␈αatypical␈αin␈αone␈αimportan␈α␈t␈α
respect:
␈βλ]␈↓ ↓H␈εαWe␈αhav␈α␈e␈α
been␈α
factoring␈αthe␈ε∂␈α
monic␈εα␈αpolynomial␈↓ π/␈ελu␈↓ πE␈εα(␈↓ πQ␈ελx␈↓ πd␈εα)␈αin␈α
(21),␈α
so␈αw␈α␈e␈α
could␈αassume
␈β	λ␈↓ ↓H␈εαthat␈α
all␈α
its␈αfactors␈α
w␈α␈ere␈α
monic.␈αWhat␈α
should␈αw␈α␈e␈α
do␈α
if␈↓ λ¬␈ελu␈↓ λ5␈εα>␈α
1?␈αIn␈α
such␈α
a␈αcase,␈α
the
␈β	∃␈↓ λ→␈εn
␈β	3␈↓ ↓H␈εαleading␈αcoe}cien␈α␈ts␈αof␈αall␈αbut␈αone␈αof␈αthe␈αpolynomial␈αfactors␈αcan␈αbe␈αvaried␈αalmost
␈β	Y␈↓ ∧β␈εe
␈β	↑␈↓ ↓H␈εαarbitrarily␈α	modulo␈↓ βp␈ελp␈↓ ∧∞␈εα;␈αw␈α␈e␈α	certainly␈α	don't␈α
wan␈α␈t␈α	to␈α	try␈α
all␈α	possibilities.␈αPerhaps␈α	the
␈β

␈↓ ↓H␈εαreader␈αhas␈αalready␈αnoticed␈αthis␈αproblem.␈αFortunately␈αthere␈αis␈αa␈αsimple␈αway␈αout:
␈β
5␈↓ ↓H␈εαthe␈α∂factorization␈↓ β↑␈ελu␈↓ βt␈εα(␈↓ ∧␈ελx␈↓ ∧∪␈εα)␈α∂=␈↓ ∧b␈ελv␈↓ ∧u␈εα(␈↓ ¬↓␈ελx␈↓ ¬∪␈εα)␈↓ ¬∨␈ελw␈↓ ¬:␈εα(␈↓ ¬F␈ελx␈↓ ¬Y␈εα)␈α∂implies␈α⊂a␈α∂factorization␈↓ λh␈ελu␈↓ 	∂␈ελu␈↓ 	%␈εα(␈↓ 	1␈ελx␈↓ 	C␈εα)␈α⊂=␈↓ 
∪␈ελv␈↓ 
1␈εα(␈↓ 
=␈ελx␈↓ 
O␈εα)␈↓ 
[␈ελw␈↓ α␈εα(␈↓ ∞␈ελx␈↓  ␈εα)
␈β
B␈↓ λ⎇␈εn␈↓ 
"␈ε¬1␈↓ 
s␈ε¬1
␈β
`␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α/␈ελ#␈↓ α>␈εα(␈↓ αJ␈ελv␈↓ αh␈εα)␈α
=␈↓ β,␈ελ#␈↓ β;␈εα(␈↓ βG␈ελw␈↓ βm␈εα)␈α
=␈↓ ∧1␈ελu␈↓ ∧b␈εα=␈↓ ¬⊂␈ελ#␈↓ ¬∨␈εα(␈↓ ¬+␈ελu␈↓ ¬A␈εα).␈α↔(\Do␈αy␈α␈ou␈αmind␈αif␈αI␈αm␈α␈ultiply␈αy␈α␈our␈αpolynomial
␈β
m␈↓ αZ␈ε¬1␈↓ β←␈ε¬1␈↓ ∧F␈εn
␈β␈↓ ↓H␈εαby␈α∂its␈α∂leading␈α⊂coe}cien␈α␈t␈α∂before␈α∂factoring␈α⊂it?")␈α∨We␈α∂can␈α⊂proceed␈α∂essen␈α␈tially␈α∂as
␈β1␈↓ βw␈εe
␈β6␈↓ ↓H␈εαabo␈α␈v␈α␈e,␈α⊃but␈α⊂using␈↓ βe␈ελp␈↓ ∧∀␈ε⊗∃␈εα␈α⊂2␈↓ ∧Z␈ελB␈↓ ¬β␈εαwhere␈↓ ¬o␈ελB␈↓ ε↔␈εαno␈α␈w␈α⊂bounds␈α⊂the␈α⊂maxim␈α␈um␈α⊂coe}cien␈α␈t␈α⊂for
␈βb␈↓ ↓H␈εαfactors␈αof␈↓ αh␈ελu␈↓ β∞␈ελu␈↓ β$␈εα(␈↓ β0␈ελx␈↓ βC␈εα)␈αinstead␈αof␈↓ ¬↓␈ελu␈↓ ¬⊗␈εα(␈↓ ¬"␈ελx␈↓ ¬5␈εα).
␈βo␈↓ α|␈εn
␈β
␈↓ α␈εαPutting␈αthese␈αobservations␈αall␈αtogether␈αresults␈αin␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αprocedure:
␈β=␈↓ 
 ␈εe
␈βB␈↓ ↓L␈ε∩F1.␈↓ α␈εαFind␈α∞the␈α∂unique␈α∞factorization␈↓ ¬o␈ελu␈↓ ε¬␈εα(␈↓ ε⊃␈ελx␈↓ ε$␈εα)␈ε⊗␈α∞⊃␈↓ εp␈ελ#␈↓ ε␈␈εα(␈↓ π␈ελu␈↓ π!␈εα)␈↓ π-␈ελv␈↓ πK␈εα(␈↓ πW␈ελx␈↓ πj␈εα)␈↓ π|␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ,␈ελv␈↓ λI␈εα(␈↓ λU␈ελx␈↓ λg␈εα)␈α∞(modulo␈↓ 

␈ελp␈↓ 
+␈εα),␈α∂where
␈βO␈↓ π<␈ε¬1␈↓ λ;␈εr
␈βh␈↓ α≡␈εe
␈βm␈↓ α␈ελp␈↓ α9␈εαis␈α∂su}cien␈α␈tly␈α∂large␈α∂as␈α∂explained␈α∂abo␈α␈v␈α␈e,␈α∂and␈α∂where␈α∂the␈↓ 	/␈ελv␈↓ 	L␈εα(␈↓ 	X␈ελx␈↓ 	k␈εα)␈α∂are␈α∞monic.
␈βz␈↓ 	?␈εj
␈β
_␈↓ α␈εα(This␈αwill␈α
be␈αpossible␈α
for␈αall␈α
but␈αa␈α
few␈αprimes␈↓ πU␈ελp␈↓ πg␈εα,␈αsee␈αex␈α␈ercise␈α
23.)␈α⊗Set␈↓ 
D␈ελd␈↓ 
b␈ε⊗ ␈εα␈α
1.
␈β
M␈↓ ↓L␈ε∩F2.␈↓ α␈εαFor␈α∩ev␈α␈ery␈α⊃com␈α␈bination␈α∩of␈α∩factors␈↓ ε:␈ελv␈↓ εM␈εα(␈↓ εY␈ελx␈↓ εl␈εα)␈α∀=␈↓ πC␈ελv␈↓ πg␈εα(␈↓ πs␈ελx␈↓ λε␈εα)␈↓ λ_␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λH␈ελv␈↓ λo␈εα(␈↓ λ{␈ελx␈↓ 	∞␈εα),␈α∪with␈↓ 
∂␈ελi␈↓ 
;␈εα=␈α∀1␈α⊃if
␈β
Z␈↓ πS␈εi␈↓ λX␈εi␈↓ 
→␈ε¬1
␈β
c␈↓ π\␈επ1␈↓ λb␈ε
d
␈β
s␈↓ 
'␈εe
␈β
u␈↓ αj␈ε¬1
␈β
x␈↓ α␈ελd␈↓ α1␈εα=␈↓ α|␈ελr␈↓ β␈εα,␈α⊃form␈α⊂the␈α⊂unique␈α⊃polynomial␈↓ εz␈εα∩␈↓ εz␈ελv␈↓ π␈εα(␈↓ π_␈ελx␈↓ π+␈εα)␈ε⊗␈α⊃⊃␈↓ π⎇␈ελ#␈↓ λ␈εα(␈↓ λ_␈ελu␈↓ λ.␈εα)␈↓ λ:␈ελv␈↓ λM␈εα(␈↓ λY␈ελx␈↓ λk␈εα)␈α⊃(modulo␈↓ 
∀␈ελp␈↓ 
2␈εα)␈α⊂whose
␈β∞	␈↓ αj␈∧∞	αjα∂
␈β∞␈↓ αj␈ε¬2
␈β∞≡␈↓ ε\␈εe␈↓ π!␈εe
␈β∞ ␈↓ ε8␈ε¬1␈↓ ε|␈ε¬1
␈β∞#␈↓ α␈εαcoe}cien␈α␈ts␈α
all␈αlie␈α
in␈α
the␈α
in␈α␈terval␈α[␈ε⊗␈␈↓ εJ␈ελp␈↓ εh␈εα,␈↓ π∂␈ελp␈↓ π-␈εα).␈αIf␈↓ πp␈ελv␈↓ λβ␈εα(␈↓ λ∂␈ελx␈↓ λ"␈εα)␈α
divides␈↓ 	1␈ελ#␈↓ 	@␈εα(␈↓ 	L␈ελu␈↓ 	a␈εα)␈↓ 	m␈ελu␈↓ 
β␈εα(␈↓ 
∂␈ελx␈↓ 
"␈εα),␈α
output
␈β∞/␈↓ βU␈ε↓␈␈↓ ∧ ␈ε↓↓
␈β∞4␈↓ ε8␈∧∞4ε8α∂␈↓ ε|␈∧∞4ε|α∂
␈β∞6␈↓ ε8␈ε¬2␈↓ ε|␈ε¬2
␈β∞O␈↓ α␈εαthe␈α	factor␈α
pp␈↓ βc␈ελv␈↓ βv␈εα(␈↓ ∧α␈ελx␈↓ ∧∀␈εα)␈↓ ∧.␈εα,␈α
divide␈↓ ¬,␈ελu␈↓ ¬A␈εα(␈↓ ¬M␈ελx␈↓ ¬`␈εα)␈α
by␈α	this␈α	factor,␈α
and␈α
remo␈α␈v␈α␈e␈α	the␈α	corresponding
␈β∞u␈↓ ε]␈εe
␈β∞z␈↓ α␈ελv␈↓ α'␈εα(␈↓ α3␈ελx␈↓ αF␈εα)␈αfrom␈αthe␈αlist␈αof␈αfactors␈αmodulo␈↓ εJ␈ελp␈↓ εh␈εα;␈αdecrease␈↓ λ␈ελr␈↓ λ'␈εαby␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αfactors
␈β∂π␈↓ α≤␈εi
␈β∂"␈↓ πd␈ε¬1
␈β∂%␈↓ α␈εαremo␈α␈v␈α␈ed,␈αand␈αterminate␈αthe␈αalgorithm␈αif␈↓ π∀␈ελd␈↓ π2␈εα>␈↓ πw␈ελr␈↓ λε␈εα.
␈β∂5␈↓ πd␈∧∂5πdα∂
␈β∂8␈↓ πd␈ε¬2
␈β∂W␈↓ π~␈ε¬1
␈β∂Z␈↓ ↓L␈ε∩F3.␈↓ α␈εαIncrease␈↓ β⊗␈ελd␈↓ β6␈εαby␈α1,␈αand␈αreturn␈αto␈αF2␈αif␈↓ εJ␈ελd␈↓ εh␈εα>␈↓ π-␈ελr␈↓ π<␈εα.
␈β∂←␈↓ πn␈∧∂←πn≠∂
␈β∂j␈↓ π~␈∧∂jπ~α∂
␈β∂m␈↓ π~␈ε¬2
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εαAt␈α
the␈α∞conclusion␈α
of␈α∞this␈α
process,␈α∞the␈α∞curren␈α␈t␈α
value␈α∞of␈↓ λ2␈ελu␈↓ λH␈εα(␈↓ λT␈ελx␈↓ λg␈εα)␈α
will␈α∞be␈α
the␈α∞|nal␈α
ir-
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαreducible␈α
factor␈α∞of␈α
the␈α∞originally␈α
giv␈α␈en␈α
polynomial.␈α⊃Note␈α
that␈α∞if␈ε⊗␈α
j␈↓ 	X␈ελu␈↓ 	{␈ε⊗j␈εα␈α
<␈ε⊗␈αj␈↓ 
L␈ελu␈↓ 
s␈ε⊗j␈εα,␈α
it
␈β⊂Q␈↓ 	m␈ε¬0␈↓ 
a␈εn
␈β⊂j␈↓ 	Z␈εn
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαis␈αpreferable␈αto␈αdo␈αall␈αof␈αthe␈αw␈α␈ork␈αwith␈αthe␈αrev␈α␈erse␈αpolynomial␈↓ 	$␈ελu␈↓ 	G␈ελx␈↓ 	s␈εα+␈↓ 
∨␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 
P␈εα+␈↓ 
|␈ελu␈↓ "␈εα,
␈β⊂|␈↓ 	9␈ε¬0␈↓ ⊃␈εn
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαwhose␈αfactors␈αare␈αthe␈αrev␈α␈erses␈αof␈αthe␈αfactors␈αof␈↓ π1␈ελu␈↓ πF␈εα(␈↓ πR␈ελx␈↓ πe␈εα).
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.2␈ε∞␈↓ εRF␈α|A␈α␈CTORIZ␈α␈A␈α}T␈α␈ION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα421
␈βα(␈↓ α␈εαThe␈αabo␈α␈v␈α␈e␈α
algorithm␈αcon␈α␈tains␈α
an␈αobvious␈αbottleneck:␈α
We␈αmay␈α
hav␈α␈e␈αto␈αtest
␈βαN␈↓ β≡␈εr␈↓ β+␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 	J␈εr
␈βαS␈↓ ↓H␈εαas␈α∂man␈α␈y␈α∂as␈↓ β␈εα2␈↓ βe␈εαpoten␈α␈tial␈α∂factors␈↓ ¬x␈ελv␈↓ ε␈εα(␈↓ ε↔␈ελx␈↓ ε*␈εα).␈α∃The␈α∂av␈α␈erage␈α∂value␈α∂of␈↓ 	8␈εα2␈↓ 	f␈εαin␈α∂a␈α∂random
␈βαy␈↓ ¬L␈ε¬1.5
␈βα}␈↓ ↓H␈εαsituation␈α	is␈α
about␈↓ β`␈ελn␈↓ βv␈εα,␈α
or␈α	perhaps␈↓ ¬6␈ελn␈↓ ¬z␈εα(see␈α
ex␈α␈ercise␈α	5),␈α
but␈α
in␈α	nonrandom␈α	situations
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈α
will␈αwan␈α␈t␈α
to␈αspeed␈α
up␈αthis␈α
part␈αof␈αthe␈α
routine␈αas␈α
m␈α␈uch␈αas␈α
w␈α␈e␈αcan.␈αOne␈αway␈α
to
␈ββU␈↓ ↓H␈εαrule␈αout␈αspurious␈α
factors␈αquickly␈α
is␈αto␈α
compute␈αthe␈αtrailing␈α
coe}cien␈α␈t␈↓ 
≠␈ελv␈↓ 
≤␈εα∩␈↓ 
.␈εα(0)␈α|rst,
␈β∧␈↓ ↓H␈εαcon␈α␈tin␈α␈uing␈αonly␈αif␈αthis␈αdivides␈↓ ¬*␈ελ#␈↓ ¬9␈εα(␈↓ ¬E␈ελu␈↓ ¬Z␈εα)␈↓ ¬f␈ελu␈↓ ¬|␈εα(0).
␈β∧+␈↓ α␈εαAnother␈α⊂importan␈α␈t␈α∂way␈α⊂to␈α∂speed␈α⊂up␈α∂the␈α⊂procedure␈α∂is␈α⊂to␈α∂reduce␈↓ 
≤␈ελr␈↓ 
;␈εαso␈α∂that
␈β∧V␈↓ ↓H␈εαit␈α
tends␈α
to␈α
re⎇ect␈α
the␈α∞true␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
factors.␈α⊂The␈α
distinct␈α
degree␈α
factorization
␈β¬α␈↓ ↓H␈εαalgorithm␈α
abo␈α␈v␈α␈e␈α∞can␈α
be␈α∞applied␈α∞for␈α
various␈α∞small␈α
primes␈↓ λX␈ελp␈↓ λv␈εα,␈α∞th␈α␈us␈α∞obtaining␈α
for
␈β¬∂␈↓ λi␈εj
␈β¬-␈↓ ↓H␈εαeach␈αprime␈αa␈αset␈↓ βS␈ελD␈↓ ∧∧␈εαof␈αpossible␈αdegrees␈αof␈αfactors␈αmodulo␈↓ λM␈ελp␈↓ λl␈εα;␈αsee␈αex␈α␈ercise␈α26.␈αWe
␈β¬:␈↓ βl␈εj␈↓ λ↑␈εj
␈β¬X␈↓ ↓H␈εαcan␈αrepresen␈α␈t␈↓ β&␈ελD␈↓ βY␈εαas␈α
a␈αstring␈α
of␈↓ ¬6␈ελn␈↓ ¬X␈εαbinary␈α
bits.␈α∞No␈α␈w␈αw␈α␈e␈α
compute␈α
the␈αin␈α␈tersection
␈β¬e␈↓ β?␈εj
␈β¬g␈↓ ↓H␈ε↓T
␈βεβ␈↓ ↓l␈ελD␈↓ α∩␈εα,␈αnamely␈α
the␈α
logical␈α\and"␈α
of␈α
these␈αbit␈α
strings,␈αand␈α
w␈α␈e␈α
perform␈αstep␈α
F2␈α
only
␈βε⊃␈↓ α¬␈εj
␈βε∩␈↓ αQ␈ε↓T
␈βε.␈↓ ↓H␈εαfor␈↓ αβ␈ελd␈↓ α&␈ε⊗2␈↓ αu␈ελD␈↓ β≠␈εα.␈α⊗Furthermore␈↓ ¬∩␈ελp␈↓ ¬3␈εαis␈α∂selected␈α⊂as␈α∂that␈↓ πd␈ελp␈↓ λ⊃␈εαhaving␈α∂the␈α∂smallest␈α∂value
␈βε<␈↓ β∞␈εj␈↓ πu␈εj
␈βεZ␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓p␈ελr␈↓ ↓␈␈εα.␈αThis␈α	technique␈α
is␈α
due␈α
to␈α
David␈α
R.␈α
Musser,␈α
whose␈α
experience␈α
suggests␈α	trying
␈βπ¬␈↓ ↓H␈εαabout␈α∞|v␈α␈e␈α
primes␈↓ βj␈ελp␈↓ ∧⊗␈εα(see␈ε∂␈α∞JA␈α␈CM␈ε∩␈α∞25␈εα␈α∞(1978),␈α∞271↑282).␈α∩Of␈α∞course␈α∞w␈α␈e␈α∞w␈α␈ould␈α
stop
␈βπ∩␈↓ β{␈εj
␈βπ∀␈↓ ∧s␈ε↓T
␈βπ0␈↓ ↓H␈εαimmediately␈αif␈αthe␈αcurren␈α␈t␈↓ ¬↔␈ελD␈↓ ¬I␈εαsho␈α␈ws␈αthat␈↓ ε}␈ελu␈↓ π∀␈εα(␈↓ π ␈ελx␈↓ π2␈εα)␈αis␈αirreducible.
␈βπ=␈↓ ¬0␈εj
␈βπ[␈↓ α␈εαMusser␈αhas␈αgiv␈α␈en␈αa␈αcomplete␈αdiscussion␈αof␈αa␈αfactorization␈αmethod␈αsimilar␈αto
␈βλε␈↓ ↓H␈εαthe␈α
steps␈α
abo␈α␈v␈α␈e,␈αin␈ε∂␈α
JA␈α␈CM␈ε∩␈α22␈εα␈α
(1975),␈α291↑308.␈αThe␈αprocedure␈α
abo␈α␈v␈α␈e␈α
incorporates
␈βλ2␈↓ ↓H␈εαan␈α∂impro␈α␈v␈α␈emen␈α␈t␈α⊂suggested␈α∂in␈α⊂1978␈α⊂by␈α∂G.␈α⊂E.␈α⊂Collins,␈α⊂namely␈α⊂to␈α∂look␈α⊂for␈α∂trial
␈βλ]␈↓ ↓H␈εαdivisors␈αλby␈αλtaking␈αλcom␈α␈binations␈αλof␈↓ ¬a␈ελd␈↓ ¬⎇␈εαfactors␈αλat␈αλa␈αλtime␈αλrather␈αλthan␈αλcom␈α␈binations␈αλof
␈β	λ␈↓ ↓H␈εαtotal␈α	degree␈↓ βλ␈ελd␈↓ β≤␈εα.␈αThis␈α	impro␈α␈v␈α␈emen␈α␈t␈α	is␈α
importan␈α␈t␈α	because␈α	of␈α
the␈α	statistical␈α	behavior
␈β	3␈↓ ↓H␈εαof␈α
the␈α
modulo-␈↓ β,␈ελp␈↓ βH␈εαfactors␈α
of␈α
polynomials␈α
that␈α
are␈α
irreducible␈α
o␈α␈v␈α␈er␈α
the␈α
rationals␈α
(cf.
␈β	↑␈↓ ↓H␈εαex␈α␈ercise␈α33).
␈β
≤␈↓ ↓H␈ε∩Greatest␈αcommon␈αdivisors.␈εα␈α↔Similar␈αtechniques␈αcan␈αbe␈αused␈αto␈αcalculate␈αgreatest
␈β
(␈↓ ε.␈ε↓␈␈↓ πJ␈ε↓↓
␈β
G␈↓ ↓H␈εαcommon␈αdivisors␈αof␈αpolynomials:␈αIf␈↓ ¬x␈εαgcd␈↓ ε<␈ελu␈↓ εQ␈εα(␈↓ ε]␈ελx␈↓ εp␈εα),␈↓ π␈ελv␈↓ π∨␈εα(␈↓ π+␈ελx␈↓ π>␈εα)␈↓ πb␈εα=␈↓ λ⊂␈ελd␈↓ λ$␈εα(␈↓ λ0␈ελx␈↓ λC␈εα)␈αo␈α␈v␈α␈er␈αthe␈αin␈α␈tegers,␈αand
␈β
S␈↓ α ␈ε↓␈␈↓ β<␈ε↓↓
␈β
s␈↓ ↓H␈εαif␈↓ ↓j␈εαgcd␈↓ α.␈ελu␈↓ αD␈εα(␈↓ αP␈ελx␈↓ αb␈εα),␈↓ α}␈ελv␈↓ β⊃␈εα(␈↓ β≥␈ελx␈↓ β0␈εα)␈↓ βU␈εα=␈↓ ∧β␈ελq␈↓ ∧∪␈εα(␈↓ ∧∨␈ελx␈↓ ∧2␈εα)␈α(modulo␈↓ ¬U␈ελp␈↓ ¬g␈εα)␈α
where␈↓ εh␈ελq␈↓ εx␈εα(␈↓ π∧␈ελx␈↓ π↔␈εα)␈αis␈α
monic,␈αthen␈↓ 	~␈ελd␈↓ 	/␈εα(␈↓ 	;␈ελx␈↓ 	M␈εα)␈α
is␈αa␈αcommon
␈β≡␈↓ ↓H␈εαdivisor␈αof␈↓ αh␈ελu␈↓ α⎇␈εα(␈↓ β	␈ελx␈↓ β≤␈εα)␈αand␈↓ βz␈ελv␈↓ ∧
␈εα(␈↓ ∧→␈ελx␈↓ ∧,␈εα)␈αmodulo␈↓ ¬D␈ελp␈↓ ¬V␈εα;␈αhence
␈βn␈↓ ∧1␈ελd␈↓ ∧E␈εα(␈↓ ∧Q␈ελx␈↓ ∧d␈εα)␈↓ ¬∀␈εαdivides␈↓ ε&␈ελq␈↓ ε6␈εα(␈↓ εB␈ελx␈↓ εU␈εα)␈α.(modulo␈↓ λ≠␈ελp␈↓ λ-␈εα).␈↓ 
p␈εα(23)
␈β=␈↓ ↓H␈εαIf␈↓ ↓i␈ελp␈↓ α¬␈εαdoes␈α
not␈α	divide␈α
the␈α	leading␈α
coe}cien␈α␈ts␈α	of␈α
both␈↓ π[␈ελu␈↓ πz␈εαand␈↓ λ=␈ελv␈↓ λP␈εα,␈α
it␈α
does␈α	not␈α
divide␈α	the
␈βi␈↓ ↓H␈εαleading␈αcoe}cien␈α␈t␈αof␈↓ ∧∃␈ελd␈↓ ∧)␈εα;␈αin␈αsuch␈α
a␈αcase␈↓ ε&␈εαdeg␈↓ ε\␈εα(␈↓ εh␈ελd␈↓ ε|␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈↓ π@␈εαdeg␈↓ πv␈εα(␈↓ λα␈ελq␈↓ λ∩␈εα).␈α
When␈↓ 	≥␈ελq␈↓ 	-␈εα(␈↓ 	9␈ελx␈↓ 	L␈εα)␈α
=␈α
1␈αfor␈αsuch
␈βt␈↓ 	_␈ε↓␈␈↓ ∀␈ε↓↓
␈β
∀␈↓ ↓H␈εαa␈α
prime␈↓ αI␈ελp␈↓ α[␈εα,␈αw␈α␈e␈αm␈α␈ust␈α
therefore␈αhav␈α␈e␈α
deg(␈↓ ε'␈ελd␈↓ ε<␈εα)␈α
=␈α
0,␈α
and␈↓ πk␈ελd␈↓ π␈␈εα(␈↓ λ␈ελx␈↓ λ≡␈εα)␈α
=␈↓ λb␈εαgcd␈↓ 	&␈εαcon␈α␈t␈↓ 	i␈εα(␈↓ 	u␈ελu␈↓ 
␈εα),␈↓ 
'␈εαcon␈α␈t␈↓ 
j␈εα(␈↓ 
v␈ελv␈↓ λ␈εα)␈↓ "␈εα.
␈β
?␈↓ ↓H␈εαThis␈α
justi|es␈αthe␈α
remark␈α
made␈α
in␈α
Section␈α
4.6.1␈α
that␈α
the␈α
simple␈α
computation␈αof
␈β
K␈↓ ↓}␈ε↓␈␈↓ β~␈ε↓↓
␈β
j␈↓ ↓H␈εαgcd␈↓ α␈ελu␈↓ α!␈εα(␈↓ α-␈ελx␈↓ α@␈εα),␈↓ α\␈ελv␈↓ αo␈εα(␈↓ α{␈ελx␈↓ β∞␈εα)␈↓ β6␈εαmodulo␈α∞13␈α∞in␈α∂4.6.1↑6␈α∞is␈α∞enough␈α∞to␈α∞pro␈α␈v␈α␈e␈α∂that␈↓ 	~␈ελu␈↓ 	/␈εα(␈↓ 	;␈ελx␈↓ 	N␈εα)␈α∞and␈↓ 
1␈ελv␈↓ 
C␈εα(␈↓ 
O␈ελx␈↓ 
b␈εα)␈α∞are
␈β∞∃␈↓ ↓H␈εαrelativ␈α␈ely␈α∂prime␈α∂o␈α␈v␈α␈er␈α⊂the␈α∂in␈α␈tegers;␈α⊃the␈α∂comparativ␈α␈ely␈α⊂laborious␈α∂calculations␈α∂of
␈β∞A␈↓ ↓H␈εαAlgorithm␈α
4.6.1E␈α
or␈α	Algorithm␈α
4.6.1C␈α
are␈α
unnecessary.␈αSince␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α	random␈α
primi-
␈β∞l␈↓ ↓H␈εαtiv␈α␈e␈αpolynomials␈αare␈αalmost␈αalways␈αrelativ␈α␈ely␈αprime␈αo␈α␈v␈α␈er␈αthe␈αin␈α␈tegers,␈αand␈αsince
␈β∂↔␈↓ ↓H␈εαthey␈α
are␈αrelativ␈α␈ely␈α
prime␈αmodulo␈↓ ¬S␈ελp␈↓ ¬p␈εαwith␈αprobability␈α
1␈ε⊗␈αε␈␈εα␈αε1/␈↓ λ←␈ελp␈↓ λr␈εα,␈α
it␈αis␈α
usually␈αa␈α
good
␈β∂B␈↓ ↓H␈εαidea␈αto␈αdo␈αthe␈αcomputations␈αmodulo␈↓ ε⊂␈ελp␈↓ ε"␈εα.
␈β∂m␈↓ α␈εαAs␈αremark␈α␈ed␈αabo␈α␈v␈α␈e,␈αw␈α␈e␈αneed␈αgood␈αmethods␈αalso␈αfor␈αthe␈αnonrandom␈αpolyno-
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εαmials␈α∞that␈α∞arise␈α∂in␈α∞practice.␈α∀Therefore␈α∞w␈α␈e␈α∞wish␈α∂to␈α∞sharpen␈α∂our␈α∞techniques␈α∞and
␈β⊂$␈↓ ∧J␈ε↓␈␈↓ ¬f␈ε↓↓
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαdisco␈α␈v␈α␈er␈αho␈α␈w␈α
to␈α
|nd␈↓ ∧∀␈εαgcd␈↓ ∧X␈ελu␈↓ ∧n␈εα(␈↓ ∧z␈ελx␈↓ ¬␈εα),␈↓ ¬(␈ελv␈↓ ¬;␈εα(␈↓ ¬G␈ελx␈↓ ¬Z␈εα)␈↓ ε↓␈εαin␈α
general,␈α
o␈α␈v␈α␈er␈α
the␈α
in␈α␈tegers,␈α
based␈αen␈α␈tirely
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαon␈αinformation␈α
that␈αw␈α␈e␈α
obtain␈α
w␈α␈orking␈αmodulo␈α
primes␈↓ λ2␈ελp␈↓ λE␈εα.␈α∞We␈αmay␈α
assume␈αthat
␈β⊃~␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓]␈εα(␈↓ ↓i␈ελx␈↓ ↓|␈εα)␈αand␈↓ αZ␈ελv␈↓ αm␈εα(␈↓ αy␈ελx␈↓ β␈εα)␈αare␈αprimitiv␈α␈e.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα422␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.2
␈βαβ␈↓ ¬≠␈ε↓␈␈↓ ε7␈ε↓↓
␈βα#␈↓ α␈εαInstead␈α
of␈αcalculating␈↓ ∧e␈εαgcd␈↓ ¬)␈ελu␈↓ ¬?␈εα(␈↓ ¬K␈ελx␈↓ ¬]␈εα),␈↓ ¬y␈ελv␈↓ ε␈εα(␈↓ ε_␈ελx␈↓ ε+␈εα)␈↓ εO␈εαdirectly,␈αit␈α
will␈αbe␈α
con␈α␈v␈α␈enien␈α␈t␈α
to␈α
search
␈βαN␈↓ ↓H␈εαinstead␈αfor␈αthe␈αpolynomial
␈ββ¬␈↓ εK␈ε↓␈␈↓ πg␈ε↓↓
␈ββ≤␈↓ ∧w␈εα∩
␈ββ%␈↓ ∧v␈ελd␈↓ ¬
␈εα(␈↓ ¬⊗␈ελx␈↓ ¬(␈εα)␈α
=␈↓ ¬l␈ελc␈↓ εβ␈ε⊗↓␈↓ ε∃␈εαgcd␈↓ εY␈ελu␈↓ εn␈εα(␈↓ εz␈ελx␈↓ π
␈εα),␈↓ π)␈ελv␈↓ π<␈εα(␈↓ πH␈ελx␈↓ π[␈εα)␈↓ πu␈εα,␈↓ 
p␈εα(24)
␈ββ|␈↓ ↓H␈εαwhere␈αthe␈αconstan␈α␈t␈↓ β␈␈ελc␈↓ ∧→␈εαis␈αchosen␈αso␈αthat
␈β∧4␈↓ ε8␈ε↓␈␈↓ πM␈ε↓↓
␈β∧J␈↓ ¬+␈εα∩
␈β∧S␈↓ ¬∂␈ελ#␈↓ ¬≡␈εα(␈↓ ¬*␈ελd␈↓ ¬>␈εα)␈α
=␈↓ εα␈εαgcd␈↓ εF␈ελ#␈↓ εU␈εα(␈↓ εa␈ελu␈↓ εw␈εα),␈↓ π∪␈ελ#␈↓ π"␈εα(␈↓ π.␈ελv␈↓ πA␈εα)␈↓ π[␈εα.␈↓ 
p␈εα(25)
␈β¬+␈↓ ↓H␈εαThis␈α
condition␈αwill␈α
always␈αhold␈α
for␈αsuitable␈↓ εu␈ελc␈↓ πβ␈εα,␈αsince␈α
the␈αleading␈α
coe}cien␈α␈t␈αof␈α
an␈α␈y
␈β¬6␈↓ λ#␈ε↓␈␈↓ 	7␈ε↓↓
␈β¬M␈↓ 
3␈εα∩
␈β¬V␈↓ ↓H␈εαcommon␈απdivisor␈αλof␈↓ βk␈ελu␈↓ ∧↓␈εα(␈↓ ∧
␈ελx␈↓ ∧ ␈εα)␈απand␈↓ ∧u␈ελv␈↓ ¬λ␈εα(␈↓ ¬∀␈ελx␈↓ ¬'␈εα)␈αλm␈α␈ust␈απbe␈αλa␈αλdivisor␈αλof␈↓ πm␈εαgcd␈↓ λ1␈ελ#␈↓ λ@␈εα(␈↓ λL␈ελu␈↓ λa␈εα),␈↓ λ⎇␈ελ#␈↓ 	
␈εα(␈↓ 	→␈ελv␈↓ 	+␈εα)␈↓ 	E␈εα.␈αOnce␈↓ 
2␈ελd␈↓ 
F␈εα(␈↓ 
R␈ελx␈↓ 
e␈εα)␈απhas
␈β¬h␈↓ 	←␈ε↓␈␈↓ 
,␈ε↓↓
␈β¬␈␈↓ 	n␈εα∩
␈βελ␈↓ ↓H␈εαbeen␈αfound␈αsatisfying␈αthese␈αconditions,␈αw␈α␈e␈αcan␈αreadily␈αcompute␈αpp␈↓ 	m␈ελd␈↓ 
α␈εα(␈↓ 
∞␈ελx␈↓ 
 ␈εα)␈↓ 
:␈εα,␈αwhich
␈βε3␈↓ ↓H␈εαis␈α	the␈α	true␈α	greatest␈α	common␈α	divisor␈α	of␈↓ ε→␈ελu␈↓ ε/␈εα(␈↓ ε;␈ελx␈↓ εN␈εα)␈α	and␈↓ π&␈ελv␈↓ π8␈εα(␈↓ πD␈ελx␈↓ πW␈εα).␈αCondition␈α	(25)␈α	is␈α	con␈α␈v␈α␈enien␈α␈t
␈βε↑␈↓ ↓H␈εαsince␈α
it␈α
av␈α␈oids␈α
the␈α
uncertain␈α␈ty␈α
of␈α
unit␈α
m␈α␈ultiples␈α
of␈α
the␈α
gcd;␈α
it␈α
is␈α
essen␈α␈tially␈α
the
␈βπ
␈↓ ↓H␈εαidea␈αw␈α␈e␈αused␈αto␈αcon␈α␈trol␈αleading␈αcoe}cien␈α␈ts␈αin␈αour␈αfactorization␈αroutine.
␈βπ5␈↓ α␈εαIf␈↓ α+␈ελp␈↓ αE␈εαis␈απa␈αλsu}cien␈α␈tly␈απlarge␈απprime,␈αλbased␈αλon␈απthe␈απbounds␈αλfor␈απcoe}cien␈α␈ts␈απin␈απex␈α␈ercise
␈βπW␈↓ ∧(␈εα∩␈↓ ¬←␈εα∩
␈βπ`␈↓ ↓H␈εα20␈α
applied␈α
either␈α
to␈↓ ∧␈ελ#␈↓ ∧≠␈εα(␈↓ ∧'␈ελd␈↓ ∧<␈εα)␈↓ ∧H␈ελu␈↓ ∧]␈εα(␈↓ ∧i␈ελx␈↓ ∧|␈εα)␈α
or␈↓ ¬B␈ελ#␈↓ ¬Q␈εα(␈↓ ¬]␈ελd␈↓ ¬r␈εα)␈↓ ¬}␈ελv␈↓ ε⊂␈εα(␈↓ ε≤␈ελx␈↓ ε/␈εα),␈α∞let␈α
us␈α
compute␈α
the␈α
unique␈α
polynomial
␈βπl␈↓ 
V␈ε↓␈␈↓ ≡␈ε↓↓
␈βλβ␈↓ α]␈εα∩
␈βλλ␈↓ λ>␈ε¬1␈↓ λw␈ε¬1
␈βλ␈↓ ↓G␈εα∩␈↓ ↓H␈ελq␈↓ ↓X␈εα(␈↓ ↓d␈ελx␈↓ ↓w␈εα)␈ε⊗␈α
⊃␈↓ αA␈ελ#␈↓ αP␈εα(␈↓ α\␈ελd␈↓ αp␈εα)␈↓ α|␈ελq␈↓ β
␈εα(␈↓ β→␈ελx␈↓ β+␈εα)␈α∞(modulo␈↓ ∧Q␈ελp␈↓ ∧c␈εα)␈α∞having␈α∞all␈α∞coe}cien␈α␈ts␈α∞in␈α∞[␈ε⊗␈␈↓ λP␈ελp␈↓ λc␈εα,␈↓ 		␈ελp␈↓ 	≤␈εα).␈α∩When␈α∞pp␈↓ 
c␈εα∩␈↓ 
d␈ελq␈↓ 
t␈εα(␈↓ ␈ελx␈↓ ∩␈εα)
␈βλ↔␈↓ π
␈ε↓␈␈↓ λ&␈ε↓↓
␈βλ≤␈↓ λ>␈∧λ≤λ>α∂␈↓ λw␈∧λ≤λwα∂
␈βλ≡␈↓ λ>␈ε¬2␈↓ λw␈ε¬2
␈βλ7␈↓ ↓H␈εαdivides␈αboth␈↓ β∃␈ελu␈↓ β+␈εα(␈↓ β7␈ελx␈↓ βI␈εα)␈αand␈↓ ∧'␈ελv␈↓ ∧9␈εα(␈↓ ∧E␈ελx␈↓ ∧X␈εα),␈αit␈αm␈α␈ust␈αequal␈↓ εT␈εαgcd␈↓ π_␈ελu␈↓ π.␈εα(␈↓ π:␈ελx␈↓ πL␈εα),␈↓ πh␈ελv␈↓ π{␈εα(␈↓ λπ␈ελx␈↓ λ~␈εα)␈↓ λ@␈εαbecause␈αof␈α(23).␈αOn␈αthe
␈βλb␈↓ ↓H␈εαother␈α	hand␈α	if␈α	it␈α	does␈αλnot␈α	divide␈α	both␈↓ ¬⎇␈ελu␈↓ ε∪␈εα(␈↓ ε∨␈ελx␈↓ ε2␈εα)␈α	and␈↓ π
␈ελv␈↓ π≥␈εα(␈↓ π)␈ελx␈↓ π;␈εα)␈α	w␈α␈e␈α	m␈α␈ust␈α	hav␈α␈e␈α	deg(␈↓ 	l␈ελq␈↓ 	|␈εα)␈α
>␈↓ 
@␈εαdeg␈↓ 
v␈εα(␈↓ α␈ελd␈↓ ⊗␈εα).
␈β	
␈↓ ↓H␈εαA␈α	study␈α	of␈α	Algorithm␈α	4.6.1E␈α	rev␈α␈eals␈α	that␈α	this␈α	will␈α	be␈α
the␈α	case␈α	only␈α	if␈↓ 	h␈ελp␈↓ 
β␈εαdivides␈α	the
␈β	8␈↓ ↓H␈εαleading␈α
coe}cien␈α␈t␈αof␈α
one␈αof␈α
the␈αnonzero␈α
remainders␈αcomputed␈α
by␈αthat␈α
algorithm
␈β	d␈↓ ↓H␈εαwith␈αexact␈αin␈α␈teger␈αarithmetic;␈αotherwise␈αEuclid's␈αalgorithm␈αmodulo␈↓ 	o␈ελp␈↓ 

␈εαdeals␈αwith
␈β
∂␈↓ ↓H␈εαprecisely␈αthe␈αsame␈αsequence␈αof␈αpolynomials␈αas␈αAlgorithm␈α4.6.1E␈αex␈α␈cept␈αfor␈αnon-
␈β
:␈↓ ↓H␈εαzero␈α
constan␈α␈t␈α
m␈α␈ultiples␈α
(modulo␈↓ ¬E␈ελp␈↓ ¬W␈εα).␈αSo␈α
only␈α
a␈α
small␈αn␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
\unlucky"␈α
primes
␈β
e␈↓ ↓H␈εαcan␈αcause␈αus␈αto␈αmiss␈αthe␈αgcd,␈αand␈αw␈α␈e␈αwill␈αsoon␈α|nd␈αit␈αif␈αw␈α␈e␈αk␈α␈eep␈αtrying.
␈β⊃␈↓ α␈εαIf␈α⊃the␈α⊂bound␈α⊃on␈α⊂coe}cien␈α␈ts␈α⊃is␈α⊃so␈α⊂large␈α⊃that␈α⊂single-precision␈α⊃primes␈↓ 
Z␈ελp␈↓ 
|␈εαare
␈β3␈↓ ¬π␈εα∩
␈β<␈↓ ↓H␈εαinsu}cien␈α␈t,␈α
w␈α␈e␈α	can␈α
compute␈↓ ¬ε␈ελd␈↓ ¬~␈εα(␈↓ ¬&␈ελx␈↓ ¬9␈εα)␈α	modulo␈α
sev␈α␈eral␈α	primes␈↓ λ2␈ελp␈↓ λN␈εαun␈α␈til␈α	it␈α
has␈α	been␈α	deter-
␈βg␈↓ ↓H␈εαmined␈α⊂via␈α⊂the␈α⊃Chinese␈α⊂remainder␈α⊃algorithm␈α⊂in␈α⊂Section␈α⊃4.3.2.␈α→This␈α⊂approach,
␈β∩␈↓ ↓H␈εαwhich␈αis␈αdue␈αto␈αW.␈αS.␈αBro␈α␈wn␈αand␈α
G.␈αE.␈αCollins,␈αhas␈αbeen␈αdescribed␈αin␈αdetail␈αby
␈β=␈↓ ↓H␈εαBro␈α␈wn␈α
in␈ε∂␈α
JA␈α␈CM␈ε∩␈α
18␈εα␈α
(1971),␈α
478↑504.␈αAlternativ␈α␈ely,␈αas␈α
suggested␈α
by␈α
J.␈α	Moses␈α
and
␈βi␈↓ ↓H␈εαD.␈α	Y.␈α
Y.␈α
Yun␈α	[␈ε∂Proc.␈α
A␈α␈CM␈α
Conf.␈ε∩␈α
28␈εα␈α	(1973),␈α
159↑166],␈αw␈α␈e␈α	can␈α
use␈α
Hensel's␈α	method
␈β
␈↓ β→␈εα∩
␈β
∂␈↓ ∧q␈εe
␈β
∀␈↓ ↓H␈εαto␈α
determine␈↓ β_␈ελd␈↓ β,␈εα(␈↓ β8␈ελx␈↓ βJ␈εα)␈α
modulo␈↓ ∧↑␈ελp␈↓ ¬ε␈εαfor␈α
su}cien␈α␈tly␈α
large␈↓ πE␈ελe␈↓ πS␈εα.␈αHensel's␈α
construction␈α
is␈α	valid
␈β
?␈↓ ↓H␈εαdirectly␈αonly␈αwhen
␈β
w␈↓ β∂␈ε↓␈␈↓ ¬β␈ε↓↓␈↓ πG␈ε↓␈␈↓ 	9␈ε↓↓
␈β∞⊗␈↓ αY␈εαgcd␈↓ β≥␈ελd␈↓ β1␈εα(␈↓ β=␈ελx␈↓ βP␈εα),␈↓ βr␈ελu␈↓ ∧λ␈εα(␈↓ ∧∀␈ελx␈↓ ∧'␈εα)/␈↓ ∧E␈ελd␈↓ ∧Y␈εα(␈↓ ∧e␈ελx␈↓ ∧w␈εα)␈↓ ¬≠␈εα=␈α
1␈↓ ε#␈εαor␈↓ π⊃␈εαgcd␈↓ πU␈ελd␈↓ πj␈εα(␈↓ πv␈ελx␈↓ λλ␈εα),␈↓ λ*␈ελv␈↓ λ=␈εα(␈↓ λI␈ελx␈↓ λ\␈εα)/␈↓ λz␈ελd␈↓ 	∞␈εα(␈↓ 	~␈ελx␈↓ 	-␈εα)␈↓ 	Q␈εα=␈α
1,␈↓ 
p␈εα(26)
␈β∞m␈↓ ↓H␈εαsince␈α	the␈α	idea␈α
is␈α	to␈α	apply␈α
the␈α	techniques␈α	of␈α
ex␈α␈ercise␈α	22␈α	to␈α	one␈α
of␈α	the␈α	factorizations
␈β∂⊂␈↓ ↓d␈εα∩␈↓ ∧f␈εα∩
␈β∂→␈↓ ↓H␈ελ#␈↓ ↓W␈εα(␈↓ ↓c␈ελd␈↓ ↓w␈εα)␈↓ αβ␈ελu␈↓ α→␈εα(␈↓ α%␈ελx␈↓ α7␈εα)␈ε⊗␈α∂⊃␈↓ ββ␈εα∩␈↓ β∧␈ελq␈↓ β∀␈εα(␈↓ β ␈ελx␈↓ β3␈εα)␈↓ β?␈ελu␈↓ βb␈εα(␈↓ βn␈ελx␈↓ ∧↓␈εα)␈α∞or␈↓ ∧J␈ελ#␈↓ ∧Y␈εα(␈↓ ∧e␈ελd␈↓ ∧y␈εα)␈↓ ¬¬␈ελv␈↓ ¬_␈εα(␈↓ ¬$␈ελx␈↓ ¬7␈εα)␈ε⊗␈α∞⊃␈↓ εβ␈εα∩␈↓ ε∧␈ελq␈↓ ε∀␈εα(␈↓ ε ␈ελx␈↓ ε3␈εα)␈↓ ε?␈ελv␈↓ ε]␈εα(␈↓ εi␈ελx␈↓ ε|␈εα)␈α∞(modulo␈↓ λ"␈ελp␈↓ λ4␈εα).␈α∀In␈α∂the␈α∞comparativ␈α␈ely
␈β∂&␈↓ βT␈ε¬1␈↓ εN␈ε¬1
␈β∂D␈↓ ↓H␈εαrare␈α
cases␈α
when␈α
(26)␈α
fails,␈α
w␈α␈e␈αcan␈α
still␈α
|nd␈α
the␈α
gcd␈α
by␈α
casting␈α
out␈α
squared␈α
factors
␈β∂o␈↓ ↓H␈εαin␈αan␈αappropriate␈αmanner,␈αas␈αsho␈α␈wn␈αin␈αex␈α␈ercise␈α29.␈αThe␈αcomplete␈αprocedure␈αhas
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαbeen␈α
discussed␈α
by␈α∞Miola␈α
and␈α∞Yun␈α
in␈ε∂␈α
SIGSAM␈α∞Bulletin␈ε∩␈α
8␈εα,␈α∞3␈α
(August␈α∞1974),␈α
46↑
␈β⊂E␈↓ ↓H␈εα54;␈α	it␈α	appears␈αλto␈α	be␈αλcomputationally␈α	superior␈αλto␈α	the␈αλChinese␈α	remainder␈αλapproach.
␈β⊂q␈↓ α␈εαThe␈απgcd␈απalgorithms␈απsk␈α␈etched␈αλhere␈απare␈απsigni|can␈α␈tly␈απfaster␈απthan␈απthose␈απof␈απSection
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εα4.6.1␈αex␈α␈cept␈α
when␈αthe␈αpolynomial␈αremainder␈αsequence␈αis␈αv␈α␈ery␈αshort.␈αPerhaps␈α
the
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.2␈ε∞␈↓ εRF␈α|A␈α␈CTORIZ␈α␈A␈α}T␈α␈ION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα423
␈βαβ␈↓ 
α␈ε↓␈␈↓ ≡␈ε↓↓
␈βα#␈↓ ↓H␈εαbest␈αλcom␈α␈bined␈αλapproach␈αλw␈α␈ould␈αλbe␈αλto␈αλstart␈αλwith␈αλthe␈αλcomputation␈αλof␈↓ 	L␈εαgcd␈↓ 
⊂␈ελu␈↓ 
&␈εα(␈↓ 
2␈ελx␈↓ 
E␈εα),␈↓ 
a␈ελv␈↓ 
t␈εα(␈↓ ␈ελx␈↓ ∩␈εα)
␈βαN␈↓ ↓H␈εαmodulo␈α
a␈αfairly␈α
small␈α
prime␈↓ ¬∞␈ελp␈↓ ¬ ␈εα,␈α
not␈α
a␈α
divisor␈α
of␈α
both␈↓ λ∞␈ελ#␈↓ λ≥␈εα(␈↓ λ)␈ελu␈↓ λ>␈εα)␈α
and␈↓ 	≡␈ελ#␈↓ 	-␈εα(␈↓ 	9␈ελv␈↓ 	L␈εα).␈α∂If␈α
the␈αresult
␈βαy␈↓ ↓H␈ελq␈↓ ↓X␈εα(␈↓ ↓d␈ελx␈↓ ↓w␈εα)␈α
is␈α
1,␈α∞w␈α␈e're␈α∞done;␈α∞if␈α
it␈α
has␈α∞high␈α
degree,␈α∞w␈α␈e␈α
use␈α∞Algorithm␈α
4.6.1C␈↓ 
␈εα;␈α∞otherwise
␈ββ$␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈α∞use␈α∂one␈α∞of␈α∂the␈α∞abo␈α␈v␈α␈e␈α∞methods,␈α⊂|rst␈α∞computing␈α∂a␈α∞bound␈α∞for␈α∂the␈α∞coe}cien␈α␈ts
␈ββF␈↓ ↓s␈εα∩
␈ββO␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓r␈ελd␈↓ απ␈εα(␈↓ α∪␈ελx␈↓ α%␈εα)␈α
based␈α
on␈α
the␈αcoe}cien␈α␈ts␈α
of␈↓ ¬u␈ελu␈↓ ε
␈εα(␈↓ ε⊗␈ελx␈↓ ε)␈εα),␈↓ εE␈ελv␈↓ εX␈εα(␈↓ εd␈ελx␈↓ εw␈εα),␈α
and␈αthe␈α
(small)␈α
degree␈α
of␈↓ 
1␈ελq␈↓ 
A␈εα(␈↓ 
M␈ελx␈↓ 
`␈εα).␈α∞As
␈ββ{␈↓ ↓H␈εαin␈α
the␈α
factorization␈α
problem,␈α∞w␈α␈e␈α
should␈α
apply␈α
this␈α∞procedure␈α
to␈α
the␈α
rev␈α␈erses␈α
of
␈β∧&␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓]␈εα(␈↓ ↓i␈ελx␈↓ ↓|␈εα),␈↓ α_␈ελv␈↓ α+␈εα(␈↓ α7␈ελx␈↓ αJ␈εα)␈α
and␈α
rev␈α␈erse␈α
the␈α
result,␈α
if␈α
the␈α
trailing␈α
coe}cien␈α␈ts␈α
are␈α
simpler␈α
than␈α
the
␈β∧Q␈↓ ↓H␈εαleading␈αones.
␈β¬⊂␈↓ ↓H␈ε∩Multivariate␈αpolynomials.␈εα␈α~Similar␈α
techniques␈α
lead␈αto␈α
useful␈αalgorithms␈α
for␈αfac-
␈β¬;␈↓ ↓H␈εαtorization␈αεor␈αεgcd␈αεcalculations␈αεon␈απm␈α␈ultivariate␈αεpolynomials␈αεwith␈αεin␈α␈teger␈αεcoe}cien␈α␈ts.
␈β¬g␈↓ ↓H␈εαSuch␈α
a␈α∞polynomial␈↓ β⎇␈ελu␈↓ ∧∪␈εα(␈↓ ∧∨␈ελx␈↓ ∧=␈εα,␈↓ ∧M␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧⎇␈εα,␈↓ ¬
␈ελx␈↓ ¬)␈εα)␈α
can␈α∞be␈α∞dealt␈α
with␈α∞modulo␈α∞the␈α∞irreducible␈α
poly-
␈β¬t␈↓ ∧/␈ε¬1␈↓ ¬≡␈εt
␈βε∩␈↓ ↓H␈εαnomials␈↓ αK␈ελx␈↓ αq␈ε⊗␈␈↓ β≠␈ελa␈↓ β;␈εα,␈↓ βP␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧␈εα,␈↓ ∧∃␈ελx␈↓ ∧7␈ε⊗␈␈↓ ∧b␈ελa␈↓ ∧⎇␈εα,␈αyielding␈αthe␈αunivariate␈αpolynomial␈↓ 	;␈ελu␈↓ 	Q␈εα(␈↓ 	]␈ελx␈↓ 	|␈εα,␈↓ 
␈ελa␈↓ 
+␈εα,␈↓ 
;␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
k␈εα,␈↓ 
{␈ελa␈↓ ⊗␈εα);
␈βε≥␈↓ 
R␈ε↓␈
␈βε∨␈↓ α[␈ε¬2␈↓ β,␈ε¬2␈↓ ∧&␈εt␈↓ ∧s␈εt␈↓ 	n␈ε¬1␈↓ 
≥␈ε¬2␈↓ ␈εt
␈βε=␈↓ ↓H␈εαthese␈α
irreducible␈αpolynomials␈α
play␈α
the␈α
role␈α
of␈↓ π"␈ελp␈↓ πA␈εαin␈α
the␈α
abo␈α␈v␈α␈e␈α
discussion.␈↓ 
`␈εαNote
␈βεI␈↓ ¬¬␈ε↓↓
␈βεh␈↓ ↓H␈εαthat␈↓ α∃␈ελv␈↓ α'␈εα(␈↓ α3␈ελx␈↓ αF␈εα)␈↓ αX␈εαmod␈↓ β"␈εα(␈↓ β.␈ελx␈↓ βH␈ε⊗␈␈↓ βs␈ελa␈↓ ∧∧␈εα)␈αis␈↓ ∧?␈ελv␈↓ ∧Q␈εα(␈↓ ∧]␈ελa␈↓ ∧o␈εα).␈↓ ¬*␈εαWhen␈αthe␈αin␈α␈tegers␈↓ πR␈ελa␈↓ πq␈εα,␈↓ λπ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ7␈εα,␈↓ λL␈ελa␈↓ λr␈εαhav␈α␈e␈αbeen␈αchosen␈αso
␈βεv␈↓ πc␈ε¬2␈↓ λ]␈εt
␈βπ∪␈↓ ↓H␈εαthat␈↓ α∃␈ελu␈↓ α*␈εα(␈↓ α6␈ελx␈↓ αU␈εα,␈↓ αe␈ελa␈↓ β¬␈εα,␈↓ β∃␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βE␈εα,␈↓ βU␈ελa␈↓ βp␈εα)␈αhas␈αthe␈αsame␈αdegree␈αin␈↓ εt␈ελx␈↓ π≡␈εαas␈↓ πI␈ελu␈↓ π←␈εα(␈↓ πk␈ελx␈↓ λ
␈εα,␈↓ λ~␈ελx␈↓ λ9␈εα,␈↓ λI␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λy␈εα,␈↓ 		␈ελx␈↓ 	$␈εα),␈αan␈αappropriate
␈βπ!␈↓ αG␈ε¬1␈↓ αv␈ε¬2␈↓ βe␈εt␈↓ π¬␈ε¬1␈↓ π|␈ε¬1␈↓ λ+␈ε¬2␈↓ 	~␈εt
␈βπ?␈↓ ↓H␈εαgeneralization␈α
of␈α	Hensel's␈α
construction␈α
will␈α
\lift"␈α
squarefree␈α
factorizations␈α
of␈α	this
␈βπe␈↓ λ1␈εn␈↓ 
"␈εn
␈βπj␈↓ ↓H␈εαunivariate␈α	polynomial␈α
to␈α	factorizations␈α
modulo␈α	(␈↓ π9␈ελx␈↓ π]␈ε⊗␈␈↓ λε␈ελa␈↓ λ%␈εα)␈↓ λN␈εα,␈↓ λb␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	∩␈εα,␈α
(␈↓ 	2␈ελx␈↓ 	R␈ε⊗␈␈↓ 	z␈ελa␈↓ 
⊗␈εα)␈↓ 
<␈εα,␈α
where
␈βπm␈↓ λB␈επ2␈↓ 
3␈ε
t
␈βπw␈↓ πJ␈ε¬2␈↓ λ↔␈ε¬2␈↓ 	B␈εt␈↓ 
␈εt
␈βλ∃␈↓ ↓H␈ελn␈↓ ↓x␈εαis␈α∞the␈α∞degree␈α∞of␈↓ β⎇␈ελx␈↓ ∧)␈εαin␈↓ ∧U␈ελu␈↓ ∧k␈εα;␈α∂at␈α∞the␈α∞same␈α∂time␈α∞w␈α␈e␈α∞can␈α∞w␈α␈ork␈α∂also␈α∞modulo␈α∞an␈α∞ap-
␈βλ"␈↓ ↓\␈εj␈↓ ∧
␈εj
␈βλ@␈↓ ↓H␈εαpropriate␈αin␈α␈teger␈αprime␈↓ ∧A␈ελp␈↓ ∧S␈εα.␈α
As␈αman␈α␈y␈αas␈αpossible␈αof␈α
the␈↓ λ≤␈ελa␈↓ λF␈εαshould␈αbe␈αzero,␈αso␈αthat
␈βλN␈↓ λ,␈εj
␈βλk␈↓ ↓H␈εαsparseness␈α	of␈α
the␈α	in␈α␈termediate␈α
results␈α	is␈α
retained.␈αFor␈α	details,␈α
see␈α
P.␈α	S.␈α
Wang␈α	and
␈β	↔␈↓ ↓H␈εαL.␈αP.␈αRothschild,␈ε∂␈αMath.␈αComp.␈ε∩␈α29␈εα␈α(1975),␈α935↑950,␈αin␈αaddition␈αto␈αthe␈αpapers␈αby
␈β	B␈↓ ↓H␈εαMusser␈αand␈αby␈αMoses␈αand␈αYun␈αcited␈αearlier.
␈β
A␈↓ ↓H␈ε≥E␈α␈XERCI␈α↓SE␈α␈S
␈β
␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β⊃␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβ[␈ε	M24␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β8␈ε	p␈↓ βY␈εβb␈α␈e␈α⊂p␈α␈ri␈α↓m␈α␈e.␈α→What␈α∂is␈α⊂th␈α␈e␈α⊂p␈α␈rob␈α␈ability␈α∂that␈α∂a␈α∂rand␈α␈om␈α∂po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈α⊂o␈α␈f
␈β9␈↓ ↓H␈εβd␈α␈egre␈α␈e␈↓ α/␈ε	n␈↓ αN␈εβh␈α␈as␈αa␈α
linea␈α␈r␈αfacto␈α␈r␈α(a␈α
f␈α↓a␈α␈ctor␈α
of␈αd␈α␈egree␈α
1),␈αwh␈α␈en␈↓ π{␈ε	n␈↓ λ_␈ε↔∃␈↓ λB␈ε	p␈↓ λS␈εβ?␈α→(Assu␈α␈me␈α
tha␈α␈t␈αeac␈α␈h␈αo␈α␈f
␈β\␈↓ α∩␈εn
␈β`␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈↓ α↓␈ε	p␈↓ α-␈εβmon␈α␈ic␈αpoly␈α␈no␈α␈mials␈αmod␈α␈ulo␈↓ ¬?␈ε	p␈↓ ¬[␈εβis␈αequ␈α␈ally␈αp␈α␈rob␈α␈able.)
␈β∞␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∩␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(a)␈α⊃S␈α␈ho␈α␈w␈α⊃th␈α␈at␈α⊃an␈α␈y␈α⊂mon␈α␈i␈α↓c␈α⊃p␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈↓ π<␈ε	u␈↓ πP␈εβ(␈↓ π[␈ε	x␈↓ πl␈εβ),␈α∀o␈α}v␈α␈er␈α⊃a␈α⊃u␈α␈niqu␈α␈e␈α⊃facto␈α␈ri␈α↓z␈α␈ation
␈β:␈↓ ↓H␈εβd␈α␈oma␈α␈in,␈αmay␈α
be␈αe␈α␈xp␈α␈ressed␈αu␈α␈niq␈α␈uely␈αin␈α
the␈αfor␈α␈m
␈β
␈↓ εc␈εε2
␈β
ε␈↓ ¬;␈ε	u␈↓ ¬O␈εβ(␈↓ ¬Z␈ε	x␈↓ ¬k␈εβ)␈α
=␈↓ ε*␈ε	v␈↓ ε<␈εβ(␈↓ εG␈ε	x␈↓ εX␈εβ)␈↓ εp␈ε	w␈↓ πλ␈εβ(␈↓ π∀␈ε	x␈↓ π%␈εβ),
␈β
N␈↓ 
∧␈εε2
␈β
O␈↓ ∧5␈εα(␈↓ 
⊃␈εα)
␈β
R␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α)␈ε	w␈↓ αA␈εβ(␈↓ αL␈ε	x␈↓ α↑␈εβ)␈αis␈αsq␈α␈ua␈α␈refree␈↓ ∧A␈εβh␈α␈as␈αn␈α␈o␈αfa␈α␈ctor␈αof␈αpo␈α␈siti␈α↓v␈α}e␈αd␈α␈egre␈α␈e␈αof␈αth␈α␈e␈αfo␈α␈rm␈↓ 	J␈ε	d␈↓ 	\␈εβ(␈↓ 	g␈ε	x␈↓ 	y␈εβ)␈↓ 
(␈εβand␈αb␈α␈oth
␈β
z␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓Y␈εβ(␈↓ ↓d␈ε	x␈↓ ↓u␈εβ)␈α∞an␈α␈d␈↓ αR␈ε	w␈↓ αj␈εβ(␈↓ αv␈ε	x␈↓ βπ␈εβ)␈α∞a␈α␈re␈α∞mo␈α␈nic.␈α≡(b)␈α∞(E.␈α∞R.␈α∞Berlek␈α␈amp␈α␈.)␈α∨Ho␈α␈w␈α
man␈α}y␈α
mon␈α␈i␈α↓c␈α
po␈α␈lyn␈α␈omials␈α∞o␈α␈f
␈β∞!␈↓ ↓H␈εβd␈α␈egre␈α␈e␈↓ α/␈ε	n␈↓ αN␈εβare␈αsq␈α␈uare␈α␈free␈αmod␈α␈ulo␈↓ ¬~␈ε	p␈↓ ¬*␈εβ,␈αwh␈α␈en␈↓ ε⊗␈ε	p␈↓ ε2␈εβis␈αprime␈α␈?
␈β∞S␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β7␈ε	u␈↓ βW␈εβ(␈↓ βb␈ε	x␈↓ βs␈εβ),␈↓ ∧↔␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧C␈εβ,␈↓ ∧\␈ε	u␈↓ ∧{␈εβ(␈↓ ¬ε␈ε	x␈↓ ¬_␈εβ)␈α∞be␈α∞p␈α␈olyn␈α␈omials␈α∞o␈α␈v␈α␈e␈α␈r␈α∂a␈α∞|␈α␈eld␈↓ λS␈ε	S␈↓ λh␈εβ,␈α∂with␈↓ 	O␈ε	u␈↓ 	n␈εβ(␈↓ 	z␈ε	x␈↓ 
␈εβ)␈α∞relativ␈α␈ely
␈β∞↑␈↓ βJ␈εε1␈↓ ∧o␈εr␈↓ 	b␈εj
␈β∞{␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rime␈αto␈↓ αN␈ε	u␈↓ αo␈εβ(␈↓ αz␈ε	x␈↓ β␈εβ)␈αfor␈αa␈α␈ll␈↓ ∧β␈ε	j␈↓ ∧≠␈ε↔≤␈↓ ∧E␈ε	k␈↓ ∧V␈εβ.␈αFor␈αa␈α␈n␈α␈y␈α
giv␈α␈e␈α␈n␈αp␈α␈olyn␈α␈omials␈↓ πy␈ε	w␈↓ λ≠␈εβ(␈↓ λ&␈ε	x␈↓ λ8␈εβ),␈↓ λW␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	β␈εβ,␈↓ 	_␈ε	w␈↓ 	:␈εβ(␈↓ 	E␈ε	x␈↓ 	V␈εβ)␈αo␈α␈v␈α␈e␈α␈r␈↓ 
4␈ε	S␈↓ 
I␈εβ,␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e
␈β∂¬␈↓ αa␈εk␈↓ λ∂␈εε1␈↓ 	.␈εr
␈β∂"␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈αth␈α␈ere␈αis␈αa␈αu␈α␈niqu␈α␈e␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈↓ ¬9␈ε	v␈↓ ¬K␈εβ(␈↓ ¬V␈ε	x␈↓ ¬g␈εβ)␈αo␈α␈v␈α␈e␈α␈r␈↓ εE␈ε	S␈↓ εe␈εβsu␈α␈ch␈αth␈α␈at
␈β∂n␈↓ ∧H␈εβde␈α␈g␈↓ ∧z␈εβ(␈↓ ¬¬␈ε	v␈↓ ¬↔␈εβ)␈α	<␈↓ ¬V␈εβd␈α␈eg␈↓ επ␈εβ(␈↓ ε∪␈ε	u␈↓ ε2␈εβ)␈αλ+␈↓ εm␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π≤␈εβ+␈↓ πD␈εβdeg␈↓ πv␈εβ(␈↓ λ↓␈ε	u␈↓ λ!␈εβ)
␈β∂y␈↓ ε&␈εε1␈↓ λ∃␈εr
␈β⊂;␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd
␈β⊂←␈↓ ε;␈εα(␈↓ λ¬␈εα)
␈β⊂b␈↓ ∧d␈ε	v␈↓ ∧u␈εβ(␈↓ ¬␈ε	x␈↓ ¬⊃␈εβ)␈ε↔␈α
⊃␈↓ ¬P␈ε	w␈↓ ¬r␈εβ(␈↓ ¬}␈ε	x␈↓ ε∂␈εβ)␈↓ εG␈εβmod␈α␈ulo␈↓ π>␈ε	u␈↓ π]␈εβ(␈↓ πh␈ε	x␈↓ πy␈εβ)
␈β⊂m␈↓ ¬f␈εj␈↓ πQ␈εj
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α1␈ε↔␈α	∀␈↓ α@␈ε	j␈↓ αX␈ε↔∀␈↓ ββ␈ε	r␈↓ β⊃␈εβ.␈α~(Co␈α␈mpa␈α␈re␈αwith␈αTh␈α␈eorem␈α4␈α␈.3.2C.)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα424␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.2
␈βα*␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈28␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Let␈↓ βN␈ε	a␈↓ ∧
␈εβb␈α␈e␈α⊂the␈α⊂n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α⊂of␈α⊃m␈α␈on␈α␈i␈α↓c␈α⊂irred␈α␈ucib␈α␈l␈α↓e␈α⊂p␈α␈olyn␈α␈omials␈α⊂of␈α⊂deg␈α␈ree␈↓ ∂␈ε	n␈↓ #␈εβ,
␈βα4␈↓ 	7␈ε↓P
␈βα5␈↓ β↑␈εn␈↓ βn␈εp
␈βαN␈↓ 
.␈εn
␈βαR␈↓ ↓H␈εβm␈α␈odu␈α␈lo␈αλa␈αλprime␈↓ β0␈ε	p␈↓ βA␈εβ.␈α
F␈α↓in␈α␈d␈αλa␈αλform␈α␈u␈α␈l␈α↓a␈αλfo␈α␈r␈α	th␈α␈e␈αλgen␈α␈erating␈αλfu␈α␈nc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈↓ λ;␈ε	G␈↓ λ←␈εβ(␈↓ λj␈ε	z␈↓ λx␈εβ)␈α
=␈↓ 	s␈ε	a␈↓ 
!␈ε	z␈↓ 
?␈εβ.␈α∩[␈ε⊂Hi␈α↓n␈α}t:
␈βα[␈↓ λ;␈ε↓P
␈βα\␈↓ λQ␈εp␈↓ 
α␈εn␈↓ 
∪␈εp
␈βαd␈↓ 	]␈εn
␈βαu␈↓ 	A␈εj␈↓ 	x␈εt
␈βαy␈↓ ↓H␈εβPro␈α␈v␈α}e␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αide␈α␈n␈α␈tity␈αco␈α␈nn␈α␈ecting␈αp␈α␈o␈α␈w␈α␈er␈αseries:␈↓ πS␈ε	f␈↓ πb␈εβ(␈↓ πn␈ε	z␈↓ π{␈εβ)␈α
=␈↓ 	→␈ε	g␈↓ 	(␈εβ(␈↓ 	3␈ε	z␈↓ 	M␈εβ)/␈↓ 	i␈ε	j␈↓ 

␈εβif␈αa␈α␈nd␈αo␈α␈nly
␈ββ	␈↓ αO␈ε↓P
␈ββ␈↓ λa␈εj␈↓ λm␈ε~∃␈εε1
␈ββ#␈↓ ∧∃␈εn␈↓ ∧U␈εt␈↓ πL␈εn
␈ββ'␈↓ ↓H␈εβif␈↓ ↓g␈ε	g␈↓ ↓w␈εβ(␈↓ αα␈ε	z␈↓ α⊂␈εβ)␈α	=␈↓ β0␈ε	⊗␈↓ βB␈εβ(␈↓ βN␈ε	n␈↓ βb␈εβ)␈↓ βm␈ε	f␈↓ β⎇␈εβ(␈↓ ∧λ␈ε	z␈↓ ∧&␈εβ)/␈↓ ∧A␈ε	n␈↓ ∧←␈εβ.]␈α~Wha␈α␈t␈αi␈α↓s␈↓ ε	␈εβlim␈↓ ε⎇␈ε	a␈↓ π*␈εβ/␈↓ π;␈ε	p␈↓ π\␈εβ?
␈ββ1␈↓ ε7␈εp␈↓ εE␈ε~!1␈↓ π␈εn␈↓ π≤␈εp
␈ββ9␈↓ αu␈εn␈↓ β¬␈ε~∃␈εε1
␈ββf␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈30␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Let␈↓ βH␈ε	A␈↓ ∧ε␈εβbe␈α
the␈α
a␈α␈v␈α␈era␈α␈ge␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αof␈α
facto␈α␈rs␈αo␈α␈f␈αa␈α
ra␈α␈nd␈α␈omly␈α
selecte␈α␈d␈α
po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈-
␈ββp␈↓ β↑␈εn␈↓ βn␈εp
␈β∧
␈↓ ↓H␈εβm␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α
o␈α␈f␈α
d␈α␈eg␈α␈ree␈↓ β~␈ε	n␈↓ β.␈εβ,␈α
mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈αλa␈α	prime␈↓ ¬,␈ε	p␈↓ ¬<␈εβ.␈αSh␈α␈o␈α␈w␈α	th␈α␈at␈↓ εl␈εβli␈α↓m␈↓ π`␈ε	A␈↓ λ≥␈εβ=␈↓ λG␈ε	H␈↓ λm␈εβ.␈α∀W␈α↓h␈α␈at␈α	is␈α	the␈α	limiting
␈β∧_␈↓ π~␈εp␈↓ π(␈ε~!␈α↓1␈↓ πv␈εn␈↓ λε␈εp␈↓ λ]␈εn
␈β∧1␈↓ βQ␈εr
␈β∧5␈↓ ↓H␈εβa␈α␈v␈α␈era␈α␈ge␈αv␈α␈alue␈αo␈α␈f␈↓ β@␈εβ2␈↓ β]␈εβ,␈αwh␈α␈en␈αth␈α␈ere␈αa␈α␈re␈↓ ¬U␈ε	r␈↓ ¬o␈εβfac␈α␈tors?
␈β∧l␈↓ 
9␈εp
␈β∧p␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβ[␈ε	M21␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(J.␈α
L.␈αLag␈α␈rang␈α␈e,␈α1␈α␈771␈α␈.␈α↓)␈α↔Pro␈α␈v␈α␈e␈α
th␈α␈e␈α
con␈α␈gru␈α␈ence␈α
(9␈α␈)␈α↓.␈α↔[␈ε⊂Hi␈α↓n␈α}t:␈εβ␈αFacto␈α␈r␈↓ 
(␈ε	x␈↓ 
M␈ε↔␈␈↓ 
u␈ε	x␈↓ ⊃␈εβin
␈β¬↔␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α|␈α␈el␈α↓d␈α
of␈↓ αp␈ε	p␈↓ β␈εβeleme␈α␈n␈α␈ts.]
␈β¬R␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβ[␈ε	M22␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈αE␈α↓q␈α␈.␈α(1␈α␈4).
␈βε
␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈20␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Ho␈α␈w␈αc␈α␈an␈α
w␈α␈e␈αbe␈α
sur␈α␈e␈αth␈α␈at␈αth␈α␈e␈αv␈α}ectors␈α
ou␈α␈tpu␈α␈t␈αby␈α
Algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈αN␈α
are␈α
l␈α↓in␈α␈early
␈βε4␈↓ ↓H␈εβin␈α␈dep␈α␈en␈α␈den␈α}t?
␈βεo␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβ[␈ε	20␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Exp␈α␈l␈α↓a␈α␈in␈α∞ho␈α}w␈α∞to␈α∞co␈α␈nstru␈α␈ct␈α∞a␈α∞ta␈α␈ble␈α∞o␈α␈f␈α∂re␈α␈cipro␈α␈cals␈α∞mod␈α
10␈α␈1␈α∞in␈α∞a␈α
si␈α↓m␈α␈ple␈α∞way␈α␈,
␈βπ↔␈↓ ↓H␈εβg␈α␈i␈α↓v␈α}en␈αt␈α␈hat␈α2␈α
i␈α↓s␈αa␈α
primitiv␈α␈e␈αro␈α␈ot␈αof␈α10␈α␈1.
␈βπN␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βπR␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβ[␈ε	21␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Fi␈α↓n␈α␈d␈α∞th␈α␈e␈α∂c␈α␈omp␈α␈lete␈α∞f␈α↓a␈α␈ctoriza␈α␈tion␈α∞of␈α∞th␈α␈e␈α∂p␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈↓ λU␈ε	u␈↓ λi␈εβ(␈↓ λt␈ε	x␈↓ 	¬␈εβ)␈α∂in␈α∞(21␈α␈),␈α⊂mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈α∞2␈α␈,
␈βπy␈↓ ↓H␈εβu␈α␈sing␈αBerlek␈α␈am␈α␈p's␈αpro␈α␈ced␈α␈ure.
␈βλ4␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβ[␈ε	22␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Fi␈α↓n␈α␈d␈αth␈α␈e␈αco␈α␈mplete␈αfa␈α␈ctoriza␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αof␈αth␈α␈e␈αpo␈α␈lyn␈α␈omial␈↓ λ>␈ε	u␈↓ λR␈εβ(␈↓ λ]␈ε	x␈↓ λo␈εβ)␈αin␈α(2␈α␈1),␈αm␈α␈od␈α␈ulo␈α5.
␈βλk␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βλo␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβ[␈ε	M22␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Use␈αBerlek␈α␈amp␈α␈'s␈αalgorith␈α␈m␈αto␈αd␈α␈etermin␈α␈e␈αthe␈αn␈α}um␈α}ber␈αo␈α␈f␈α
fa␈α␈ctors␈αo␈α␈f␈↓ 
E␈ε	u␈↓ 
Y␈εβ(␈↓ 
d␈ε	x␈↓ 
u␈εβ)␈α=
␈β	∩␈↓ ↓Y␈εε4
␈β	⊗␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓o␈εβ+␈α
1␈α∞mod␈α␈ulo␈↓ β3␈ε	p␈↓ βD␈εβ,␈α∂for␈α∞all␈α∂p␈α␈ri␈α↓m␈α␈es␈↓ ¬4␈ε	p␈↓ ¬D␈εβ.␈α [␈ε⊂␈α↓Hin␈α}t:␈εβ␈α∩Con␈α␈si␈α↓d␈α␈er␈α∞the␈α∞ca␈α␈ses␈↓ λt␈ε	p␈↓ 	∀␈εβ=␈α∂2,␈↓ 	m␈ε	p␈↓ 

␈εβ=␈α∂8␈↓ 
N␈ε	k␈↓ 
h␈εβ+␈α
1␈α␈,
␈β	>␈↓ ↓H␈ε	p␈↓ ↓b␈εβ=␈α
8␈↓ α≡␈ε	k␈↓ α6␈εβ+␈απ3,␈↓ β∧␈ε	p␈↓ β≡␈εβ=␈α
8␈↓ βZ␈ε	k␈↓ βr␈εβ+␈αλ5␈α␈,␈↓ ∧@␈ε	p␈↓ ∧Z␈εβ=␈α
8␈↓ ¬⊗␈ε	k␈↓ ¬.␈εβ+␈αλ7␈αse␈α␈pa␈α␈rately;␈αwha␈α␈t␈αis␈αthe␈αma␈α␈trix␈↓ 	7␈ε	Q␈↓ 	O␈εβ?␈αYou␈α
need␈α
no␈α␈t
␈β	e␈↓ ↓H␈εβd␈α␈isco␈α␈v␈α}er␈αthe␈αfa␈α␈ctors;␈αjust␈αd␈α␈eterm␈α␈i␈α↓n␈α␈e␈αho␈α}w␈αman␈α}y␈αth␈α␈ere␈αare␈α␈.␈α↓]
␈β
≤␈↓ λ	␈εε4
␈β
 ␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Giv␈α␈e␈α
a␈α␈n␈α
ex␈α␈plicit␈α∞fo␈α␈rm␈α␈ula␈α
fo␈α␈r␈α∞th␈α␈e␈α
facto␈α␈rs␈α
of␈↓ πw␈ε	x␈↓ λ≡␈εβ+␈α	1,␈α∞mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ 	i␈ε	p␈↓ 	y␈εβ,␈α∞f␈α↓o␈α␈r␈α
all␈α∞o␈α␈dd
␈β
B␈↓ ¬`␈∧
B¬`α2␈↓ εE␈∧
BεEα⊃␈↓ πλ␈∧
Bπλα2
␈β
C␈↓ ¬>␈ε↔p␈↓ ε#␈ε↔p␈↓ εg␈ε↔p
␈β
H␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rimes␈↓ α0␈ε	p␈↓ αA␈εβ,␈αλi␈α↓n␈απterm␈α␈s␈αλof␈αλth␈α␈e␈αλqu␈α␈an␈α}ti␈α↓ties␈↓ ¬`␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ε∩␈εβ,␈↓ εE␈εβ2␈↓ εU␈εβ,␈↓ πλ␈ε↔␈␈εβ␈α↓2␈↓ πB␈εβ(i␈α↓f␈αλsu␈α␈ch␈απqu␈α␈an␈α␈tities␈αλe␈α␈xist␈αλmo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ π␈ε	p␈↓ _␈εβ).
␈ββ␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβ[␈ε	M30␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(M.␈αεO.␈απRab␈α␈i␈α↓n␈α␈.)␈α∞Let␈↓ ¬␈ε	w␈↓ ¬$␈εβ(␈↓ ¬/␈ε	x␈↓ ¬A␈εβ)␈α	=␈α
(␈↓ ε␈ε	x␈↓ ε≡␈ε↔␈␈↓ ε@␈ε	s␈↓ εX␈εβ)␈↓ εi␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ π∃␈εβ(␈↓ π ␈ε	x␈↓ π3␈ε↔␈␈↓ πV␈ε	s␈↓ πn␈εβ)␈απwh␈α␈ere␈απ0␈ε↔␈αλ∀␈↓ 	 ␈ε	s␈↓ 	A␈εβ<␈↓ 	l␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ 
≤␈εβ<␈↓ 
F␈ε	s␈↓ 
h␈εβ<␈↓ ∩␈ε	p␈↓ #␈εβ,
␈β
␈↓ εK␈εε1␈↓ πa␈εk␈↓ 	+␈εε1␈↓ 
Q␈εk
␈β&␈↓ 
⊃␈εε(␈↓ 
→␈εp␈↓ 
'␈ε~␈␈εε1)/2
␈β'␈↓ λ[␈εα(␈↓  ␈εα)
␈β*␈↓ ↓H␈ε	k␈↓ ↓a␈ε↔∃␈εβ␈α
2␈α␈,␈απand␈↓ αh␈ε	p␈↓ α}␈εβi␈α↓s␈α¬prime␈α␈.␈α
Let␈↓ ∧7␈ε	P␈↓ ∧O␈εβ(␈↓ ∧Z␈ε	s␈↓ ∧r␈εβ,␈↓ ¬↓␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬-␈εβ,␈↓ ¬<␈ε	s␈↓ ¬T␈εβ)␈αεb␈α␈e␈αεth␈α␈e␈αεp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈α¬tha␈α␈t␈↓ λ)␈εβgc␈α␈d␈↓ λg␈ε	w␈↓ 	␈εβ(␈↓ 	␈ε	x␈↓ 	≤␈εβ),␈α(␈↓ 	G␈ε	x␈↓ 	X␈εβ+␈↓ 	z␈ε	t␈↓ 
ε␈εβ)␈↓ 
n␈ε↔␈␈εβ␈α↓1
␈β5␈↓ ∧e␈εε1␈↓ ¬G␈εk
␈βR␈↓ ↓H␈εβis␈α
n␈α␈eithe␈α␈r␈α
1␈αnor␈↓ β7␈ε	w␈↓ βP␈εβ(␈↓ β[␈ε	x␈↓ βm␈εβ),␈α
whe␈α␈n␈↓ ∧g␈ε	t␈↓ ∧␈␈εβis␈α
an␈αin␈α␈teg␈α␈er␈α
se␈α␈l␈α↓ec␈α␈ted␈αat␈α
ra␈α␈nd␈α␈om,␈α
mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ 	g␈ε	p␈↓ 	x␈εβ.␈α⊂P␈α↓ro␈α}v␈α␈e␈αtha␈α␈t
␈βy␈↓ ↓H␈ε	P␈↓ ↓←␈εβ(␈↓ ↓j␈ε	s␈↓ αα␈εβ,␈↓ α⊃␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ α=␈εβ,␈↓ αL␈ε	s␈↓ αd␈εβ)␈ε↔␈α
∃␈εβ␈α	1/2␈ε↔␈απ␈␈εβ␈απ1/(2␈↓ ∧B␈ε	p␈↓ ∧S␈εβ).
␈β∧␈↓ ↓u␈εε1␈↓ αW␈εk
␈β0␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β4␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβ[␈ε	M27␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Des␈α␈i␈α↓g␈α␈n␈α∞an␈α∞algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈α∞to␈α∂c␈α␈alcula␈α␈te␈α∂th␈α␈e␈α∂\␈α␈squ␈α␈are␈α∞root"␈α∞of␈α∞a␈α∞giv␈α␈en␈α∞in␈α␈te␈α␈ger␈↓ _␈ε	u
␈βX␈↓ λ"␈εε2
␈β\␈↓ ↓H␈εβm␈α␈odu␈α␈lo␈απa␈απgiv␈α␈en␈αεprime␈↓ ∧↓␈ε	p␈↓ ∧∩␈εβ,␈αλi␈α↓.e.,␈αλto␈απ|n␈α␈d␈απan␈αεi␈α↓n␈α}tege␈α␈r␈↓ εX␈ε	U␈↓ εz␈εβsuch␈αεtha␈α␈t␈↓ λπ␈ε	U␈↓ λ8␈ε↔⊃␈↓ λb␈ε	u␈↓ 	␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ 
↓␈ε	p␈↓ 
∩␈εβ)␈απw␈α↓h␈α␈en␈α␈ev␈α␈e␈α␈r
␈β
β␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈ch␈αa␈↓ α2␈ε	U␈↓ αY␈εβexists.␈α∂You␈α␈r␈αalgor␈α␈i␈α↓th␈α␈m␈αsho␈α␈uld␈αbe␈αe␈α␈}cien␈α␈t␈αev␈α}en␈αfor␈αv␈α␈e␈α␈ry␈αlarge␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈es␈↓ 
S␈ε	p␈↓ 
d␈εβ.␈α≤(A
␈β
+␈↓ ↓H␈εβso␈α␈lution␈α
to␈αth␈α␈i␈α↓s␈αp␈α␈rob␈α␈lem␈αlead␈α␈s␈αto␈αa␈α
pro␈α␈ced␈α␈ure␈αfo␈α␈r␈αsolving␈α
an␈α}y␈αg␈α␈i␈α↓v␈α}en␈αq␈α␈ua␈α␈drat␈α␈i␈α↓c␈α
equ␈α␈ation
␈β
S␈↓ ↓H␈εβm␈α␈odu␈α␈lo␈↓ α>␈ε	p␈↓ αO␈εβ,␈αusing␈α
the␈αq␈α␈ua␈α␈drat␈α␈i␈α↓c␈αfo␈α␈rm␈α␈ula␈αin␈α
the␈αu␈α␈sua␈α␈l␈αwa␈α␈y.)
␈β∞
␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβ[␈ε	M30␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Giv␈α␈e␈α␈n␈α	tha␈α␈t␈↓ ∧≤␈ε	f␈↓ ∧,␈εβ(␈↓ ∧7␈ε	x␈↓ ∧I␈εβ)␈α	is␈α	an␈α	irred␈α␈ucib␈α␈l␈α↓e␈α	p␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α
mo␈α␈du␈α␈lo␈α	a␈α	prime␈↓ 	a␈ε	p␈↓ 	r␈εβ,␈α	of␈α	deg␈α␈ree␈↓ ∂␈ε	n␈↓ #␈εβ,
␈β∞1␈↓ β+␈εn
␈β∞5␈↓ ↓H␈εβp␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈αλth␈α␈at␈αλth␈α␈e␈↓ β~␈ε	p␈↓ βC␈εβp␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈ls␈αλof␈αλd␈α␈eg␈α␈ree␈αλless␈απtha␈α␈n␈↓ π∧␈ε	n␈↓ π∨␈εβf␈α↓o␈α␈rm␈αλa␈απ|␈α␈eld␈αλu␈α␈nd␈α␈er␈αλa␈α␈rithme␈α␈ti␈α↓c␈απmod␈α␈ulo
␈β∞]␈↓ ↓H␈ε	f␈↓ ↓W␈εβ(␈↓ ↓c␈ε	x␈↓ ↓t␈εβ)␈αand␈↓ αM␈ε	p␈↓ α↑␈εβ.␈α≤(␈ε⊂Note:␈εβ␈α∞Th␈α␈e␈αexisten␈α␈ce␈αof␈αi␈α↓rre␈α␈du␈α␈cible␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials␈α
o␈α␈f␈α
ea␈α␈ch␈αd␈α␈egree␈αis␈αpro␈α␈v␈α}ed
␈β∂␈↓ ¬[␈εn
␈β∂∧␈↓ ↓H␈εβin␈α
e␈α␈x␈α␈ercise␈α
4␈α␈;␈α∂th␈α␈erefore␈α
|␈α␈elds␈α
with␈↓ ¬J␈ε	p␈↓ ¬x␈εβeleme␈α␈n␈α␈ts␈α
ex␈α␈i␈α↓st␈α
for␈α
a␈α␈l␈α↓l␈α
p␈α␈ri␈α↓m␈α␈es␈↓ 	'␈ε	p␈↓ 	E␈εβand␈αall␈↓ 
9␈ε	n␈↓ 
Y␈ε↔∃␈εβ␈α
1.)
␈β∂(␈↓ ¬␈εn
␈β∂,␈↓ ↓H␈εβ(b␈α␈)␈α
Sh␈α␈o␈α␈w␈α
tha␈α␈t␈α
an␈α}y␈α
|␈α␈eld␈α
with␈↓ ∧{␈ε	p␈↓ ¬)␈εβelem␈α␈en␈α␈ts␈α
h␈α␈as␈α
a␈α\p␈α␈ri␈α↓m␈α␈i␈α↓tiv␈α}e␈α
roo␈α␈t"␈α
eleme␈α␈n␈α␈t␈↓ 
¬␈ε	_␈↓ 
"␈εβsu␈α␈ch␈αtha␈α␈t
␈β∂K␈↓ εg␈ε
n
␈β∂O␈↓ ¬r␈εε2␈↓ εY␈εp␈↓ εv␈ε~␈␈εε2
␈β∂S␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
eleme␈α␈n␈α␈ts␈α
o␈α␈f␈α∞th␈α␈e␈α
|␈α␈eld␈α
are␈ε↔␈αf␈εβ0,␈α¬1,␈↓ ¬D␈ε	_␈↓ ¬T␈εβ,␈↓ ¬b␈ε	_␈↓ ¬␈␈εβ,␈↓ ε∞␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ε:␈εβ,␈↓ εI␈ε	_␈↓ π≤␈ε↔g␈εβ␈α␈.␈α≡[␈ε⊂Hin␈α␈t:␈εβ␈α∂Ex␈α␈e␈α␈rcise␈α
3.2.1.2-1␈α␈6␈α
p␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α␈s
␈β∂{␈↓ ↓H␈εβth␈α␈is␈αwh␈α␈en␈↓ α↑␈ε	n␈↓ α{␈εβ=␈α
1␈α␈.]␈α_(c)␈α
If␈↓ ∧0␈ε	f␈↓ ∧?␈εβ(␈↓ ∧J␈ε	x␈↓ ∧\␈εβ)␈α
is␈αa␈α␈n␈α
irredu␈α␈cible␈α
p␈α␈olyn␈α␈omial␈α
mod␈α␈ulo␈↓ 	∧␈ε	p␈↓ 	∃␈εβ,␈α
of␈α
deg␈α␈ree␈↓ 
5␈ε	n␈↓ 
I␈εβ,␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e
␈β⊂~␈↓ α.␈ε
m
␈β⊂≡␈↓ α ␈εp
␈β⊂ ␈↓ 	$␈εα(
␈β⊂#␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α∂␈ε	x␈↓ αJ␈ε↔␈␈↓ αq␈ε	x␈↓ β
␈εβis␈α
div␈α␈i␈α↓sib␈α␈l␈α↓e␈α
b␈α␈y␈↓ ∧←␈ε	f␈↓ ∧n␈εβ(␈↓ ∧z␈ε	x␈↓ ¬␈εβ)␈α
if␈αa␈α␈nd␈α
o␈α␈nly␈α
if␈↓ εf␈ε	m␈↓ π
␈εβi␈α↓s␈α
a␈α
m␈α}ultiple␈α
of␈↓ λp␈ε	n␈↓ 	∧␈εβ.␈↓ 	0␈εβIt␈α
follo␈α␈ws␈α
tha␈α␈t␈αw␈α␈e
␈β⊂J␈↓ ↓H␈εβc␈α␈an␈α
te␈α␈st␈α
irredu␈α␈cibility␈α
ra␈α␈ther␈α
q␈α␈uick␈α␈l␈α↓y␈α␈:␈αA␈α
g␈α␈i␈α↓v␈α}en␈↓ εc␈ε	n␈↓ εw␈εβth␈α	de␈α␈gree␈α	poly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈↓ 	1␈ε	f␈↓ 	A␈εβ(␈↓ 	L␈ε	x␈↓ 	↑␈εβ)␈α
is␈α
irred␈α␈ucib␈α␈l␈α↓e
␈β⊂m␈↓ ∧?␈ε
n␈↓ λJ␈ε
n␈↓ λY␈επ/␈↓ λd␈ε
q
␈β⊂r␈↓ ∧1␈εp␈↓ λ<␈εp
␈β⊂s␈↓ λ∨␈εα(␈↓ 	{␈εα)
␈β⊂v␈↓ ↓H␈εβm␈α␈odu␈α␈lo␈↓ α=␈ε	p␈↓ αY␈εβif␈α
and␈α	only␈α
if␈↓ ∧∨␈ε	x␈↓ ∧U␈ε↔␈␈↓ ∧|␈ε	x␈↓ ¬_␈εβis␈αd␈α␈ivisible␈α
by␈↓ εk␈ε	f␈↓ ε{␈εβ(␈↓ πε␈ε	x␈↓ π↔␈εβ)␈αa␈α␈nd␈↓ πm␈εβg␈α␈cd␈↓ λ+␈ε	x␈↓ λv␈ε↔␈␈↓ 	≡␈ε	x␈↓ 	0␈εβ,␈↓ 	D␈ε	f␈↓ 	T␈εβ(␈↓ 	←␈ε	x␈↓ 	p␈εβ)␈↓ 
⊃␈εβ=␈α	1␈α
for␈α
all
␈β⊃~␈↓ βl␈εα)
␈β⊃≥␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rimes␈↓ α3␈ε	q␈↓ αM␈εβd␈α␈i␈α↓v␈α␈iding␈↓ βN␈ε	n␈↓ βb␈εβ.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.2␈ε∞␈↓ εRF␈α|A␈α␈CTORIZ␈α␈A␈α}T␈α␈ION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα425
␈βα&␈↓ ¬Q␈εε2
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβ[␈ε	M23␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β3␈ε	F␈↓ βU␈εβbe␈α
a␈α|␈α␈eld␈α
wi␈α↓th␈α
1␈↓ ¬@␈εβ3␈↓ ¬h␈εβelemen␈α}ts.␈αHo␈α␈w␈αma␈α␈n␈α␈y␈α
eleme␈α␈n␈α␈ts␈α
of␈↓ 	M␈ε	F␈↓ 	o␈εβh␈α␈av␈α}e␈αor␈α␈der␈↓ ∪␈ε	f␈↓ #␈εβ,
␈βαN␈↓ ¬>␈εε2
␈βαR␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α
ea␈α␈ch␈α	i␈α↓n␈α}tege␈α␈r␈↓ β1␈ε	f␈↓ βK␈εβwith␈α	1␈ε↔␈α	∀␈↓ ∧Y␈ε	f␈↓ ∧s␈εβ<␈α	1␈↓ ¬.␈εβ3␈↓ ¬K␈εβ?␈α∃(␈α↓Th␈α␈e␈α
\␈α␈ord␈α␈er"␈α	of␈α
an␈α	e␈α␈l␈α↓em␈α␈en␈α␈t␈↓ λ}␈ε	a␈↓ 	_␈εβi␈α↓s␈α	the␈α	least␈α
p␈α␈ositiv␈α␈e
␈βαu␈↓ ∧β␈εm
␈βαy␈↓ ↓H␈εβin␈α}teger␈↓ α6␈ε	m␈↓ α↑␈εβsuc␈α␈h␈αth␈α␈at␈↓ βr␈ε	a␈↓ ∧#␈εβ=␈α
1␈α␈.␈α↓)
␈ββ$␈↓ ↓;␈ε↓x␈↓ ∧U␈εn
␈ββ(␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β1␈ε	u␈↓ βE␈εβ(␈↓ βP␈ε	x␈↓ βb␈εβ)␈α	=␈↓ ∧!␈ε	u␈↓ ∧D␈ε	x␈↓ ∧j␈εβ+␈↓ ¬∂␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ ¬9␈εβ+␈↓ ¬←␈ε	u␈↓ ¬}␈εβ,␈↓ ε
␈ε	u␈↓ ε:␈ε↔≤␈εβ␈α	0,␈α	be␈αλa␈αλprimitiv␈α␈e␈αλp␈α␈olyn␈α␈omial␈αλwi␈α↓th␈απi␈α↓n␈α}tege␈α␈r
␈ββ3␈↓ ∧4␈εn␈↓ ¬r␈εε0␈↓ ε ␈εn
␈ββP␈↓ ↓H␈εβc␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈ts,␈αan␈α␈d␈αlet␈↓ βi␈ε	v␈↓ β{␈εβ(␈↓ ∧ε␈ε	x␈↓ ∧↔␈εβ)␈αbe␈αth␈α␈e␈αmo␈α␈nic␈αpo␈α␈lyn␈α␈omial␈αde␈α␈|n␈α␈ed␈αb␈α␈y
␈ββ}␈↓ β9␈εn␈↓ βJ␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬<␈εn␈↓ εW␈εn␈↓ εh␈ε~␈␈εε1␈↓ λ;␈εn␈↓ λL␈ε~␈␈εε2␈↓ 	|␈εn␈↓ 

␈ε~␈␈εε1
␈β∧∧␈↓ α8␈ε	v␈↓ αJ␈εβ(␈↓ αU␈ε	x␈↓ αf␈εβ)␈α
=␈↓ β%␈ε	u␈↓ βw␈ε↔↓␈↓ ∧π␈ε	u␈↓ ∧≠␈εβ(␈↓ ∧'␈ε	x␈↓ ∧8␈εβ/␈↓ ∧I␈ε	u␈↓ ∧l␈εβ)␈α	=␈↓ ¬+␈ε	x␈↓ ¬T␈εβ+␈↓ ¬⎇␈ε	u␈↓ εF␈ε	x␈↓ π∃␈εβ+␈↓ π=␈ε	u␈↓ λπ␈ε	u␈↓ λ*␈ε	x␈↓ λy␈εβ+␈↓ 	"␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ 	I␈ε	u␈↓ 	h␈ε	u␈↓ 
2␈εβ.
␈β∧∞␈↓ ∧\␈εn␈↓ ε⊂␈εn␈↓ ε ␈ε~␈␈εε1␈↓ πQ␈εn␈↓ πa␈ε~␈␈εε2␈↓ λ~␈εn␈↓ 	\␈εε0
␈β∧∪␈↓ β9␈εn␈↓ 	|␈εn
␈β∧7␈↓ ↓H␈εβ(a␈α␈)␈α	Giv␈α␈en␈αλth␈α␈at␈↓ β≠␈ε	v␈↓ β-␈εβ(␈↓ β8␈ε	x␈↓ βI␈εβ)␈α	ha␈α␈s␈α	th␈α␈e␈α	c␈α␈omp␈α␈l␈α↓e␈α␈te␈α	fa␈α␈ctorizat␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈↓ π↔␈ε	p␈↓ π3␈εβ(␈↓ π>␈ε	x␈↓ πO␈εβ)␈↓ π`␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ␈ε	p␈↓ λ(␈εβ(␈↓ λ3␈ε	x␈↓ λE␈εβ)␈αλo␈α␈v␈α␈er␈αλthe␈αλin␈α␈teg␈α␈ers,␈α	where
␈β∧B␈↓ π&␈εε1␈↓ λ≤␈εr
␈β∧←␈↓ ↓H␈εβe␈α␈ach␈↓ α∪␈ε	p␈↓ α.␈εβ(␈↓ α:␈ε	x␈↓ αK␈εβ)␈α
is␈αm␈α␈onic,␈α
what␈α
is␈α
the␈α
c␈α␈omp␈α␈l␈α↓e␈α␈te␈α
factor␈α␈i␈α↓za␈α␈tion␈α
o␈α␈f␈↓ λ
␈ε	u␈↓ λ≡␈εβ(␈↓ λ)␈ε	x␈↓ λ:␈εβ)␈αo␈α}v␈α␈er␈α
th␈α␈e␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs?␈α↔(b)␈α
If
␈β∧j␈↓ α"␈εj
␈β¬β␈↓ αN␈εm␈↓ βz␈εm␈↓ ∧⊃␈ε~␈␈εε1
␈β¬π␈↓ ↓H␈ε	w␈↓ ↓`␈εβ(␈↓ ↓l␈ε	x␈↓ ↓⎇␈εβ)␈α
=␈↓ α<␈ε	x␈↓ αm␈εβ+␈↓ β∃␈ε	w␈↓ βi␈ε	x␈↓ ∧?␈εβ+␈↓ ∧g␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬⊗␈εβ+␈↓ ¬?␈ε	w␈↓ ¬m␈εβis␈αa␈αfacto␈α␈r␈αof␈↓ π1␈ε	v␈↓ πC␈εβ(␈↓ πN␈ε	x␈↓ π←␈εβ),␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈αth␈α␈at␈↓ 	"␈ε	w␈↓ 	Q␈εβis␈αa␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓e␈αo␈α␈f
␈β¬⊃␈↓ β,␈εm␈↓ βC␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬U␈εε0␈↓ 	8␈εk
␈β¬*␈↓ ↓\␈εm␈↓ ↓s␈ε~␈␈εε1␈ε~␈␈↓ α2␈εk
␈β¬.␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ αJ␈εβfor␈α0␈ε↔␈α	∀␈↓ βC␈ε	k␈↓ β\␈εβ<␈↓ ∧π␈ε	m␈↓ ∧$␈εβ.
␈β¬=␈↓ ↓\␈εn
␈β¬]␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(␈ε⊂Eisenste␈α␈i␈α↓n␈α␈'s␈αcriterio␈α␈n.␈εβ)␈α~P␈α↓erh␈α␈ap␈α␈s␈αth␈α␈e␈αb␈α␈est-k␈α␈no␈α␈wn␈αcla␈α␈ss␈αof␈αi␈α↓r␈α␈redu␈α␈cible␈αpoly␈α␈-
␈βε¬␈↓ ↓H␈εβn␈α␈omia␈α␈l␈α↓s␈αλo␈α␈v␈α␈er␈αλthe␈αλi␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈α	was␈αλi␈α↓n␈α}trod␈α␈uce␈α␈d␈α	b␈α␈y␈αλG.␈α	E␈α↓isen␈α␈stein␈αλi␈α↓n␈ε⊂␈αλJ␈α␈.␈α
f␈↓ λ↑␈ε⊂u␈↓ λ←␈ε⊂∪␈↓ λp␈ε⊂r␈α	d␈α␈i␈α↓e␈αλreine␈αλun␈α␈d␈α	a␈α␈ng␈α␈ew.
␈βε(␈↓ λg␈εn
␈βε,␈↓ ↓H␈ε⊂M␈α␈ath␈α␈.␈ε∪␈α
39␈εβ␈α(18␈α␈50),␈α
1␈α␈66↑␈α␈167␈α␈:␈α≤L␈α↓e␈α␈t␈↓ ¬ ␈ε	p␈↓ ¬=␈εβbe␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈α
a␈α␈nd␈αlet␈↓ π>␈ε	u␈↓ πR␈εβ(␈↓ π]␈ε	x␈↓ πo␈εβ)␈α=␈↓ λ2␈ε	u␈↓ λV␈ε	x␈↓ 	␈εβ+␈↓ 	)␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	X␈εβ+␈↓ 
α␈ε	u␈↓ 
.␈εβha␈α␈v␈α␈e␈αthe
␈βε7␈↓ λE␈εn␈↓ 
∃␈εε0
␈βεT␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈win␈α␈g␈αprop␈α␈erties:␈α~(i)␈↓ ∧4␈ε	u␈↓ ∧c␈εβis␈αno␈α␈t␈αd␈α␈i␈α↓v␈α␈isible␈αby␈↓ εt␈ε	p␈↓ π¬␈εβ;␈α~(ii)␈↓ π\␈ε	u␈↓ λ%␈εβ,␈↓ λ:␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λf␈εβ,␈↓ λ{␈ε	u␈↓ 	&␈εβare␈αdiv␈α␈i␈α↓sib␈α␈l␈α↓e␈αb␈α␈y␈↓ ∩␈ε	p␈↓ #␈εβ;
␈βε←␈↓ ∧G␈εn␈↓ πo␈εn␈↓ π␈␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ 	∞␈εε0
␈βεx␈↓ ∧P␈εε2
␈βε|␈↓ ↓H␈εβ(iii)␈↓ α¬␈ε	u␈↓ α0␈εβis␈αn␈α␈ot␈αdiv␈α␈i␈α↓s␈α␈i␈α↓b␈α␈le␈αby␈↓ ∧?␈ε	p␈↓ ∧]␈εβ.␈αSh␈α␈o␈α␈w␈αtha␈α␈t␈↓ ε⊃␈ε	u␈↓ ε%␈εβ(␈↓ ε0␈ε	x␈↓ εB␈εβ)␈αis␈αi␈α↓rre␈α␈du␈α␈cible␈αo␈α␈v␈α}er␈αthe␈αin␈α}teger␈α␈s.
␈βπε␈↓ α_␈εε0
␈βπ&␈↓ ∧N␈εn
␈βπ+␈↓ ↓V␈ε∪20.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈28␈↓ αm␈εβ]␈α⊗If␈↓ β*␈ε	u␈↓ β>␈εβ(␈↓ βI␈ε	x␈↓ β[␈εβ)␈α	=␈↓ ∧~␈ε	u␈↓ ∧=␈ε	x␈↓ ∧b␈εβ+␈↓ ¬ε␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬0␈εβ+␈↓ ¬U␈ε	u␈↓ ¬⎇␈εβis␈αλa␈α␈n␈α␈y␈απpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈αλo␈α␈v␈α}er␈αλthe␈απcomp␈α␈lex␈αλn␈α}um␈α}bers,␈αλl␈α↓e␈α␈t
␈βπ5␈↓ ∧-␈εn␈↓ ¬h␈εε0
␈βπN␈↓ αd␈εε2␈↓ ∧~␈εε2␈↓ ∧3␈εε1␈α␈/2
␈βπO␈↓ α"␈εα(␈↓ ∧'␈εα)
␈βπR␈↓ ↓H␈ε↔j␈↓ ↓Q␈ε	u␈↓ ↓e␈ε↔j␈εβ␈α	=␈↓ α.␈ε↔j␈↓ α7␈ε	u␈↓ α[␈ε↔j␈↓ αt␈εβ+␈↓ β→␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ βC␈εβ+␈ε↔␈α∧j␈↓ βq␈ε	u␈↓ ∧⊃␈ε↔j␈↓ ∧X␈εβ.␈α∩(a)␈αλL␈α↓e␈α␈t␈↓ ¬\␈ε	g␈↓ ¬l␈εβ(␈↓ ¬w␈ε	x␈↓ ε	␈εβ)␈α	=␈α
(␈↓ εS␈ε	x␈↓ εg␈ε↔␈␈↓ π␈ε	␈↓ π∨␈εβ)␈↓ π*␈ε	u␈↓ π>␈εβ(␈↓ πI␈ε	x␈↓ πZ␈εβ)␈αλand␈↓ λ+␈ε	h␈↓ λ<␈εβ(␈↓ λG␈ε	x␈↓ λX␈εβ)␈α	=␈α
(␈↓ 	"␈ε	␈↓ 	#␈εβ∩␈↓ 	4␈ε	x␈↓ 	I␈ε↔␈␈εβ␈α∧1)␈↓ 

␈ε	u␈↓ 
≡␈εβ(␈↓ 
)␈ε	x␈↓ 
:␈εβ),␈α	where
␈βπ]␈↓ αJ␈εn␈↓ ∧∧␈εε0
␈βπz␈↓ ↓H␈ε	␈↓ ↓d␈εβis␈αa␈α␈n␈α␈y␈α
c␈α␈omp␈α␈l␈α↓e␈α␈x␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αa␈α␈nd␈↓ ∧}␈εβ∩␈↓ ∧}␈ε	␈↓ ¬~␈εβis␈αits␈α
co␈α␈mplex␈α
c␈α␈onju␈α␈ga␈α␈te.␈αP␈α↓ro␈α}v␈α␈e␈α
th␈α␈at␈ε↔␈α
j␈↓ 	8␈ε	g␈↓ 	G␈ε↔j␈εβ␈α
=␈ε↔␈α	j␈↓ 
∞␈ε	h␈↓ 
≡␈ε↔j␈εβ.␈α_(b␈α␈)␈α
L␈α↓e␈α␈t
␈βλ!␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α	co␈α␈mplete␈αλfactor␈α␈i␈α↓za␈α␈tion␈α	o␈α␈f␈↓ ∧n␈ε	u␈↓ ¬α␈εβ(␈↓ ¬
␈ε	x␈↓ ¬∨␈εβ)␈α	o␈α␈v␈α}er␈α	th␈α␈e␈α	com␈α␈plex␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈bers␈α	b␈α␈e␈↓ λ←␈ε	u␈↓ 	α␈εβ(␈↓ 	
␈ε	x␈↓ 	&␈ε↔␈␈↓ 	O␈ε	␈↓ 	m␈εβ)␈↓ 	⎇␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
*␈εβ(␈↓ 
5␈ε	x␈↓ 
N␈ε↔␈␈↓ 
v␈ε	␈↓ _␈εβ)␈↓ #␈εβ,
␈βλ+␈↓ βf␈ε↓Q
␈βλ,␈↓ λr␈εn␈↓ 	`␈εε1␈↓ λ␈εn
␈βλI␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈αwrite␈↓ α`␈ε	M␈↓ ββ␈εβ(␈↓ β∞␈ε	u␈↓ β"␈εβ)␈α=␈↓ ∧i␈εβm␈α␈ax␈↓ ¬'␈εβ(␈α↓1␈α␈,␈ε↔␈αεj␈↓ ¬[␈ε	␈↓ ¬y␈ε↔j␈εβ).␈α⊂Pro␈α␈v␈α}e␈αthat␈↓ πM␈ε	M␈↓ πp␈εβ(␈↓ π{␈ε	u␈↓ λ∂␈εβ)␈ε↔␈α∀␈αj␈↓ λ\␈ε	u␈↓ λp␈ε↔j␈εβ/␈ε↔␈α␈j␈↓ 	∪␈ε	u␈↓ 	6␈ε↔j␈εβ.␈α≥(c)␈αSh␈α␈o␈α␈w␈αtha␈α␈t
␈βλT␈↓ ¬m␈εj␈↓ 	&␈εn
␈βλX␈↓ αg␈ε↓␈␈↓ αu␈ε↓␈␈↓ β9␈ε↓↓␈↓ ∧E␈ε↓␈␈↓ ¬
␈ε↓↓␈↓ ¬_␈ε↓↓
␈βλ\␈↓ ∧λ␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ ∧-␈εj␈↓ ∧9␈ε~∀␈↓ ∧S␈εn
␈βλr␈↓ ββ␈εn␈↓ β∪␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧S␈εn␈↓ ∧d␈ε~␈␈εε1
␈βλz␈↓ ↓H␈ε↔j␈↓ ↓Q␈ε	u␈↓ ↓p␈ε↔j␈α∀␈αj␈↓ α:␈ε	u␈↓ α↑␈ε↔j␈↓ βG␈ε	M␈↓ βj␈εβ(␈↓ βu␈ε	u␈↓ ∧	␈εβ)␈αλ+␈↓ ¬2␈εβfor␈α0␈ε↔␈α∀␈↓ ε/␈ε	j␈↓ εI␈ε↔∀␈↓ εv␈ε	n␈↓ π
␈εβ.␈α≠(␈α↓d␈α␈)␈αCom␈α␈b␈α␈i␈α↓n␈α␈e␈αthe␈α␈se␈αresults␈αto␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e
␈β	¬␈↓ ↓d␈εj␈↓ αM␈εn
␈β	
␈↓ β_␈εj␈↓ ∧V␈εj␈↓ ∧b␈ε~␈␈εε1
␈β	≡␈↓ ε~␈εm
␈β	"␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈α
if␈↓ α3␈ε	u␈↓ αG␈εβ(␈↓ αR␈ε	x␈↓ αc␈εβ)␈α=␈↓ β(␈ε	v␈↓ β9␈εβ(␈↓ βD␈ε	x␈↓ βV␈εβ)␈↓ βa␈ε	w␈↓ βz␈εβ(␈↓ ∧¬␈ε	x␈↓ ∧⊗␈εβ)␈α
an␈α␈d␈↓ ∧p␈ε	v␈↓ ¬α␈εβ(␈↓ ¬
␈ε	x␈↓ ¬≡␈εβ)␈α
=␈↓ ¬c␈ε	v␈↓ ε	␈ε	x␈↓ ε:␈εβ+␈↓ εd␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π∪␈εβ+␈↓ π=␈ε	v␈↓ πY␈εβ,␈α
wher␈α␈e␈↓ λQ␈ε	u␈↓ λe␈εβ,␈↓ λ|␈ε	v␈↓ 	
␈εβ,␈↓ 	$␈ε	w␈↓ 	I␈εβall␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈r
␈β	,␈↓ ¬r␈εm␈↓ πL␈εε0
␈β	I␈↓ ↓H␈εβc␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈ts,␈αthe␈αc␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓en␈α}ts␈αof␈↓ ¬␈ε	v␈↓ ¬≤␈εβare␈αb␈α␈oun␈α␈de␈α␈d␈αb␈α␈y
␈β	[␈↓ ¬G␈ε↓␈␈↓ ε∩␈ε↓↓␈↓ εv␈ε↓␈␈↓ πA␈ε↓↓
␈β	u␈↓ ¬U␈εm␈↓ ¬l␈ε~␈␈εε1␈↓ π∧␈εm␈↓ π≤␈ε~␈␈εε1
␈β	⎇␈↓ ∧f␈ε↔j␈↓ ∧o␈ε	v␈↓ ¬
␈ε↔j␈α	∀␈↓ ε ␈ε↔j␈↓ ε)␈ε	u␈↓ ε=␈ε↔j␈εβ␈αλ+␈↓ πO␈ε↔j␈↓ πY␈ε	u␈↓ π|␈ε↔j␈εβ.
␈β
λ␈↓ ∧⎇␈εj␈↓ πl␈εn
␈β

␈↓ ¬m␈εj␈↓ π
␈εj␈↓ π⊗␈ε~␈␈εε1
␈β
8␈↓ ↓V␈ε∪21.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈30␈↓ αm␈εβ]␈α⊗The␈α
p␈α␈urp␈α␈ose␈α
o␈α␈f␈αth␈α␈is␈α
ex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α	i␈α↓s␈α
to␈α
o␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈α	usefu␈α␈l␈αb␈α␈ou␈α␈nd␈α␈s␈α
on␈α
th␈α␈e␈α
coe␈α␈}cien␈α␈t␈α␈s
␈β
`␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈ε⊂␈αm␈α}ultivaria␈α␈te␈εβ␈αpoly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈ls␈αfa␈α␈ctors␈αo␈α␈v␈α}er␈αthe␈αin␈α␈te␈α␈gers.␈αGiv␈α}en␈αa␈αp␈α␈olyn␈α␈omial␈↓ 
β␈ε	u␈↓ 
↔␈εβ(␈↓ 
"␈ε	x␈↓ 
>␈εβ,␈↓ 
M␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
y␈εβ,␈↓ λ␈ε	x␈↓ !␈εβ)
␈β
i␈↓ ¬⎇␈ε↓P
␈β
j␈↓ 
2␈εε1␈↓ _␈εt
␈ββ␈↓ π␈εε2␈↓ π%␈εε1/␈α␈2
␈β∧␈↓ ¬f␈εα(␈↓ π→␈εα)
␈βπ␈↓ ↓H␈εβo␈α}v␈α␈er␈α
the␈α
com␈α␈plex␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs,␈αl␈α↓e␈α␈t␈ε↔␈αj␈↓ ¬∩␈ε	u␈↓ ¬&␈ε↔j␈εβ␈αbe␈↓ ¬r␈εβ(␈↓ ε)␈ε↔j␈↓ ε2␈ε	u␈↓ πβ␈ε↔j␈↓ πV␈εβs␈α␈umm␈α␈ed␈α
o␈α␈v␈α␈er␈α
all␈αth␈α␈e␈αco␈α␈e}cien␈α}ts.
␈β∩␈↓ εE␈εj␈↓ ε[␈εε...␈↓ εp␈εj
␈β→␈↓ εz␈ε
t
␈β~␈↓ εO␈επ1
␈β+␈↓ αz␈εε2␈↓ βπ␈ε→␈↓ β⊗␈εi␈↓ β ␈εx
␈β/␈↓ ↓H␈εβLet␈↓ α¬␈ε	e␈↓ α∩␈εβ(␈↓ α≥␈ε	x␈↓ α.␈εβ)␈α
=␈↓ αm␈ε	e␈↓ β.␈εβ.␈α~(a)␈αPro␈α␈v␈α}e␈αtha␈α␈t
␈βT␈↓ ∧O␈ε↓Z␈↓ ¬7␈ε↓Z
␈β]␈↓ ∧s␈εε1␈↓ ¬[␈εε1
␈βa␈↓ ¬m␈ε↓␈␈↓ πb␈ε↓␈
␈βt␈↓ πn␈εε2
␈βw␈↓ ¬m␈ε↓␈␈↓ πb␈ε↓␈
␈β⎇␈↓ ∧∞␈εε2
␈β␈↓ ε
␈εα(␈↓ πV␈εα)
␈ββ␈↓ βh␈ε↔j␈↓ βq␈ε	u␈↓ ∧¬␈ε↔j␈↓ ∧$␈εβ=␈↓ ¬¬␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ ¬y␈ε	u␈↓ ε→␈ε	e␈↓ ε&␈εβ(␈↓ ε1␈ε	∩␈↓ εI␈εβ),␈↓ εc␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ π∂␈εβ,␈↓ π≡␈ε	e␈↓ π+␈εβ(␈↓ π6␈ε	∩␈↓ πK␈εβ)␈↓ λ␈ε	d␈↓ λ∩␈ε	∩␈↓ λ-␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ λY␈ε	d␈↓ λk␈ε	∩␈↓ 	β␈εβ.
␈β∞␈↓ ε<␈εε1␈↓ πA␈εt␈↓ λ≥␈εt␈↓ λw␈εε1
␈β'␈↓ ∧c␈εε0␈↓ ¬K␈εε0
␈βH␈↓ ↓H␈εβ(b␈α␈)␈α
Let␈↓ α5␈ε	u␈↓ αI␈εβ(␈↓ αT␈ε	x␈↓ αf␈εβ)␈α	=␈↓ β$␈ε	v␈↓ β6␈εβ(␈↓ βA␈ε	x␈↓ βR␈εβ)␈↓ β]␈ε	w␈↓ βv␈εβ(␈↓ ∧↓␈ε	x␈↓ ∧∪␈εβ),␈α
wh␈α␈ere␈α	de␈α␈g(␈↓ ¬L␈ε	v␈↓ ¬↑␈εβ)␈α	=␈↓ ε≤␈ε	m␈↓ εC␈εβan␈α␈d␈α	de␈α␈g(␈↓ π?␈ε	w␈↓ πX␈εβ)␈α	=␈↓ λ↔␈ε	k␈↓ λ'␈εβ.␈αUse␈α	the␈α	re␈α␈sults␈α	of␈α
e␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se
␈βN␈↓ πb␈ε↓␈␈↓ λ∪␈ε↓↓␈↓ λ!␈ε↓␈␈↓ λI␈ε↓↓
␈βh␈↓ πp␈εε2␈↓ π|␈εm␈↓ λ/␈εε2␈↓ λ<␈εk
␈βk␈↓ ¬⊂␈εε1/␈α␈2
␈βo␈↓ ↓H␈εβ2␈α␈0␈αλto␈αλs␈α␈ho␈α␈w␈αλth␈α␈at␈ε↔␈αλj␈↓ β4␈ε	v␈↓ βE␈ε↔j␈α↓j␈↓ βX␈ε	w␈↓ βq␈ε↔j␈α	∀␈↓ ∧.␈ε	f␈↓ ∧=␈εβ(␈↓ ∧I␈ε	m␈↓ ∧f␈εβ,␈↓ ∧u␈ε	k␈↓ ¬¬␈εβ)␈↓ ¬6␈ε↔j␈↓ ¬?␈ε	u␈↓ ¬S␈ε↔j␈εβ,␈α	where␈↓ εK␈ε	f␈↓ ε[␈εβ(␈↓ εf␈ε	m␈↓ π∧␈εβ,␈↓ π∩␈ε	k␈↓ π#␈εβ)␈α	=␈↓ λW␈εβ.␈α∩(c)␈αλLet␈↓ 	Y␈ε	u␈↓ 	m␈εβ(␈↓ 	x␈ε	x␈↓ 
∀␈εβ,␈↓ 
#␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 
O␈εβ,␈↓ 
↑␈ε	x␈↓ 
w␈εβ)␈α	=
␈βz␈↓ 
π␈εε1␈↓ 
m␈εt
␈β
␈↓ πv␈εm␈↓ λ6␈εk
␈β
↔␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓Y␈εβ(␈↓ ↓d␈ε	x␈↓ α␈εβ,␈↓ α∂␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ α;␈εβ,␈↓ αJ␈ε	x␈↓ αc␈εβ)␈↓ αn␈ε	w␈↓ βπ␈εβ(␈↓ β∩␈ε	x␈↓ β.␈εβ,␈↓ β=␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βi␈εβ,␈↓ βx␈ε	x␈↓ ∧⊃␈εβ),␈α∂wh␈α␈ere␈↓ ¬⊗␈ε	v␈↓ ¬5␈εβa␈α␈nd␈↓ ¬x␈ε	w␈↓ ε≡␈εβh␈α␈av␈α␈e␈α
th␈α␈e␈α
respe␈α␈ctiv␈α␈e␈α
de␈α␈grees␈↓ 	>␈ε	m␈↓ 	t␈εβa␈α␈nd␈↓ 
7␈ε	k␈↓ 
←␈εβin␈↓ λ␈ε	x␈↓ #␈εβ.
␈β
"␈↓ ↓t␈εε1␈↓ αZ␈εt␈↓ β"␈εε1␈↓ ∧λ␈εt␈↓ 	Z␈εj␈↓ 
E␈εj␈↓ ↔␈εj
␈β
?␈↓ ↓H␈εβPro␈α␈v␈α}e␈αtha␈α␈t
␈β
`␈↓ πl␈εε1␈α␈/2
␈β
c␈↓ ¬6␈εα(␈↓ π`␈εα)
␈β
f␈↓ ∧3␈ε↔j␈↓ ∧<␈ε	v␈↓ ∧M␈ε↔j␈α↓j␈↓ ∧`␈ε	w␈↓ ∧y␈ε↔j␈α	∀␈↓ ¬B␈ε	f␈↓ ¬R␈εβ(␈↓ ¬]␈ε	m␈↓ εε␈εβ,␈↓ ε∀␈ε	k␈↓ ε0␈εβ)␈↓ ε@␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εm␈ε	f␈↓ ε|␈εβ(␈↓ πλ␈ε	m␈↓ π.␈εβ,␈↓ π<␈ε	k␈↓ πU␈εβ)␈↓ λ∩␈ε↔j␈↓ λ≠␈ε	u␈↓ λ/␈ε↔j␈εβ.
␈β
q␈↓ ¬y␈εε1␈↓ ε#␈εε1␈↓ π$␈εt␈↓ πK␈εt
␈β∞≥␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∞!␈↓ ↓V␈ε∪22.␈↓ α␈εβ[␈ε	M24␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(␈ε⊂Hen␈α␈sel'␈α↓s␈α
Lemma␈α␈.␈εβ␈α↓)␈α≡Let␈↓ ¬c␈ε	u␈↓ ¬w␈εβ(␈↓ εβ␈ε	x␈↓ ε∀␈εβ),␈↓ ε7␈ε	v␈↓ εP␈εβ(␈↓ ε[␈ε	x␈↓ εm␈εβ),␈↓ π∂␈ε	w␈↓ π0␈εβ(␈↓ π;␈ε	x␈↓ πM␈εβ),␈↓ πo␈ε	a␈↓ λ␈εβ(␈↓ λ␈ε	x␈↓ λ≤␈εβ),␈↓ λ?␈ε	b␈↓ λL␈εβ(␈↓ λW␈ε	x␈↓ λh␈εβ)␈α∞be␈α
po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials␈α∞with
␈β∞+␈↓ εE␈εe␈↓ π%␈εe
␈β∞H␈↓ ↓H␈εβin␈α}teger␈αco␈α␈e}cien␈α}ts,␈αsatisfyin␈α␈g␈αthe␈αre␈α␈l␈α↓a␈α␈tions
␈β∞v␈↓ ¬A␈εe
␈β∞|␈↓ α#␈ε	u␈↓ α7␈εβ(␈↓ αB␈ε	x␈↓ αS␈εβ)␈ε↔␈α
⊃␈↓ β∩␈ε	v␈↓ β,␈εβ(␈↓ β7␈ε	x␈↓ βH␈εβ)␈↓ βS␈ε	w␈↓ βt␈εβ(␈↓ β␈␈ε	x␈↓ ∧⊃␈εβ)␈α∩(mod␈α␈ulo␈↓ ¬0␈ε	p␈↓ ¬K␈εβ),␈↓ ε-␈ε	a␈↓ ε>␈εβ(␈↓ εI␈ε	x␈↓ εZ␈εβ)␈↓ εe␈ε	v␈↓ ε␈␈εβ(␈↓ π
␈ε	x␈↓ π≠␈εβ)␈αλ+␈↓ πV␈ε	b␈↓ πd␈εβ(␈↓ πo␈ε	x␈↓ λ␈εβ)␈↓ λ␈ε	w␈↓ λ,␈εβ(␈↓ λ7␈ε	x␈↓ λI␈εβ)␈ε↔␈α	⊃␈εβ␈α	1␈α∪(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ 
,␈ε	p␈↓ 
=␈εβ),
␈β∂ε␈↓ β!␈εe␈↓ βi␈εe␈↓ εt␈εe␈↓ λ!␈εe
␈β∂0␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α,␈ε	p␈↓ αM␈εβis␈α⊂prime␈α␈,␈↓ β`␈ε	e␈↓ β}␈ε↔∃␈εβ␈α∩1␈α␈,␈↓ ∧\␈ε	v␈↓ ∧u␈εβ(␈↓ ¬␈ε	x␈↓ ¬⊃␈εβ)␈α⊂i␈α↓s␈α∂mon␈α␈ic,␈α⊃deg␈α␈(␈↓ π␈ε	a␈↓ π⊃␈εβ)␈α⊃<␈↓ π←␈εβdeg␈↓ λ⊃␈εβ(␈↓ λ≤␈ε	w␈↓ λ=␈εβ),␈α⊃deg␈α␈(␈↓ 	∨␈ε	b␈↓ 	-␈εβ)␈α⊃<␈↓ 	{␈εβde␈α␈g␈↓ 
-␈εβ(␈↓ 
8␈ε	v␈↓ 
R␈εβ),␈α⊃a␈α␈nd
␈β∂:␈↓ ∧j␈εe␈↓ λ2␈εe␈↓ 
G␈εe
␈β∂W␈↓ ↓H␈εβd␈α␈eg(␈↓ α¬␈ε	u␈↓ α→␈εβ)␈α
=␈↓ α←␈εβd␈α␈eg␈↓ β⊂␈εβ(␈↓ β≤␈ε	v␈↓ β5␈εβ)␈α	+␈↓ βs␈εβde␈α␈g␈↓ ∧%␈εβ(␈↓ ∧0␈ε	w␈↓ ∧Q␈εβ).␈α∩S␈α␈ho␈α}w␈α∞h␈α␈o␈α␈w␈α
to␈α
co␈α␈mp␈α␈ute␈α
p␈α␈olyn␈α␈omials␈↓ 	π␈ε	v␈↓ 	F␈εβ(␈↓ 	Q␈ε	x␈↓ 	c␈εβ)␈ε↔␈α
⊃␈↓ 
)␈ε	v␈↓ 
B␈εβ(␈↓ 
M␈ε	x␈↓ 
←␈εβ)␈α
a␈α␈nd
␈β∂b␈↓ β*␈εe␈↓ ∧F␈εe␈↓ 	⊗␈εe␈↓ 	 ␈εε+␈α↓1␈↓ 
7␈εe
␈β∂{␈↓ ∧b␈εe
␈β∂␈␈↓ ↓H␈ε	w␈↓ α∞␈εβ(␈↓ α→␈ε	x␈↓ α+␈εβ)␈ε↔␈α∂⊃␈↓ αu␈ε	w␈↓ β⊗␈εβ(␈↓ β!␈ε	x␈↓ β3␈εβ)␈α∞(mod␈α␈ulo␈↓ ∧Q␈ε	p␈↓ ∧m␈εβ),␈α⊂sa␈α␈ti␈α↓sfy␈α␈ing␈α∞the␈α∞sam␈α␈e␈α∂c␈α␈ond␈α␈iti␈α↓o␈α␈ns␈α∞wi␈α↓th␈↓ 	0␈ε	e␈↓ 	K␈εβincre␈α␈ased␈α∞b␈α␈y␈α∂1␈α␈.
␈β⊂	␈↓ ↓↑␈εe␈↓ ↓i␈εε+1␈↓ β␈εe
␈β⊂"␈↓ 	↔␈εe␈↓ 	"␈εε+1
␈β⊂&␈↓ ↓H␈εβFu␈α␈rther␈α␈more,␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈αth␈α␈at␈↓ ∧8␈ε	v␈↓ ∧w␈εβ(␈↓ ¬α␈ε	x␈↓ ¬∀␈εβ)␈αa␈α␈nd␈↓ ¬j␈ε	w␈↓ ε1␈εβ(␈↓ ε<␈ε	x␈↓ εN␈εβ)␈αa␈α␈re␈αun␈α␈i␈α↓q␈α␈ue,␈αmo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ 	ε␈ε	p␈↓ 	H␈εβ.
␈β⊂1␈↓ ∧F␈εe␈↓ ∧Q␈εε+1␈↓ ε↓␈εe␈↓ ε␈εε+␈α↓1
␈β⊂N␈↓ α␈εβUse␈α∞y␈α␈ou␈α␈r␈α∂me␈α␈tho␈α␈d␈α∂fo␈α␈r␈↓ ∧R␈ε	p␈↓ ∧r␈εβ=␈α∂2␈α∂to␈α∞p␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α∞th␈α␈at␈α∂(2␈α␈1)␈α∂is␈α∂irred␈α␈uc␈α␈i␈α↓b␈α␈le␈α∂o␈α}v␈α␈er␈α∞the␈α∞i␈α↓n␈α}teg␈α␈ers,
␈β⊂s␈↓ λ
␈εα(
␈β⊂v␈↓ ↓H␈εβsta␈α␈rting␈αλwith␈α	its␈αλfacto␈α␈ri␈α↓z␈α␈ation␈αλmo␈α␈d␈α	2␈αλfou␈α␈nd␈αλin␈αλex␈α␈e␈α␈rcise␈α	1␈α␈0.␈↓ λ→␈εβNote␈αλtha␈α␈t␈α	Eu␈α␈cl␈α↓id␈α␈'␈α↓s␈αλex␈α␈tend␈α␈ed
␈β⊃~␈↓ 	␈εα)
␈β⊃≥␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓g␈α␈orith␈α␈m,␈αe␈α␈x␈α␈ercise␈α4␈α␈.␈α↓6␈α␈.1↑3␈α␈,␈αwill␈αg␈α␈et␈αthe␈α
proc␈α␈ess␈αstarte␈α␈d␈αfor␈↓ λ%␈ε	e␈↓ λ;␈εβ=␈α
1␈α␈.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα426␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.2
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪23.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈23␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Let␈↓ βJ␈ε	u␈↓ β↑␈εβ(␈↓ βi␈ε	x␈↓ βz␈εβ)␈αbe␈αa␈αsqu␈α␈arefree␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈αwith␈αin␈α␈teg␈α␈er␈αco␈α␈e}cien␈α}ts.␈α
P␈α↓ro␈α}v␈α␈e␈αtha␈α␈t
␈βαR␈↓ ↓H␈εβth␈α␈ere␈αa␈α␈re␈αon␈α␈l␈α↓y␈α
|n␈α␈itely␈αma␈α␈n␈α␈y␈αp␈α␈rimes␈↓ ¬V␈ε	p␈↓ ¬r␈εβsu␈α␈ch␈αth␈α␈at␈↓ πε␈ε	u␈↓ π~␈εβ(␈↓ π%␈ε	x␈↓ π6␈εβ)␈αis␈αn␈α␈ot␈αsqu␈α␈arefree␈α
mod␈α␈ulo␈↓ 
=␈ε	p␈↓ 
N␈εβ.
␈ββπ␈↓ ↓V␈ε∪24.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Th␈α␈e␈α	text␈α	sp␈α␈eak␈α␈s␈α	only␈α	o␈α␈f␈α	f␈α↓a␈α␈ctoriza␈α␈tion␈α	o␈α␈v␈α}er␈α	the␈α	in␈α}tegers,␈α	not␈α	o␈α}v␈α␈er␈α	th␈α␈e␈α	|eld␈α	o␈α␈f
␈ββ/␈↓ ↓H␈εβra␈α␈tiona␈α␈l␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers.␈αExp␈α␈lain␈α
h␈α␈o␈α␈w␈α
to␈α
|n␈α␈d␈α
th␈α␈e␈αc␈α␈omp␈α␈lete␈α
facto␈α␈ri␈α↓z␈α␈ation␈α
o␈α␈f␈αa␈α
p␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈αwith
␈ββV␈↓ ↓H␈εβra␈α␈tiona␈α␈l␈αc␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈ts,␈αo␈α␈v␈α␈e␈α␈r␈αthe␈α|␈α␈eld␈αof␈αra␈α␈ti␈α↓o␈α␈na␈α␈l␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers.
␈β∧λ␈↓ π6␈εε5␈↓ λ¬␈εε4␈↓ λS␈εε2
␈β∧␈↓ ↓V␈ε∪25.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Wha␈α␈t␈αis␈αth␈α␈e␈αc␈α␈omp␈α␈lete␈αfacto␈α␈ri␈α↓z␈α␈ation␈αo␈α␈f␈↓ π%␈ε	x␈↓ πJ␈εβ+␈↓ πs␈ε	x␈↓ λ→␈εβ+␈↓ λA␈ε	x␈↓ λg␈εβ+␈↓ 	⊂␈ε	x␈↓ 	)␈εβ+␈αλ2␈αo␈α}v␈α␈er␈αth␈α␈e␈α|eld
␈β∧4␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αration␈α␈al␈αn␈α␈um␈α}bers?
␈β∧i␈↓ ↓V␈ε∪26.␈↓ α␈εβ[␈ε	20␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β∃␈ε	d␈↓ β2␈εβ,␈↓ βE␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ βq␈εβ,␈↓ ∧∧␈ε	d␈↓ ∧)␈εβb␈α␈e␈α
th␈α␈e␈α	deg␈α␈rees␈α	of␈α	the␈α	irred␈α␈ucib␈α␈l␈α↓e␈α	fa␈α␈ctors␈α	of␈↓ 	∞␈ε	u␈↓ 	"␈εβ(␈↓ 	-␈ε	x␈↓ 	?␈εβ)␈α	mod␈α␈ulo␈↓ 
H␈ε	p␈↓ 
Y␈εβ,␈α
with
␈β∧t␈↓ β%␈εε1␈↓ ∧∪␈εr
␈β¬⊃␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rop␈α␈er␈α∞m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓icity␈α␈,␈α⊂so␈α
tha␈α␈t␈↓ ∧m␈ε	d␈↓ ¬∩␈εβ+␈↓ ¬=␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ ¬m␈εβ+␈↓ ε_␈ε	d␈↓ εB␈εβ=␈↓ εr␈ε	n␈↓ π∀␈εβ=␈↓ πD␈εβd␈α␈eg␈↓ πv␈εβ(␈↓ λ↓␈ε	u␈↓ λ∃␈εβ).␈α∀Exp␈α␈l␈α↓a␈α␈i␈α↓n␈α
ho␈α␈w␈α∞to␈α
comp␈α␈ute
␈β¬≠␈↓ ∧|␈εε1␈↓ ε'␈εr
␈β¬8␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αse␈α␈t␈↓ α6␈ε↔f␈↓ αL␈εβdeg␈↓ α}␈εβ(␈↓ β	␈ε	v␈↓ β≠␈εβ)␈ε↔␈α
j␈↓ βD␈ε	u␈↓ βX␈εβ(␈↓ βc␈ε	x␈↓ βt␈εβ)␈ε↔␈α
⊃␈↓ ∧5␈ε	v␈↓ ∧F␈εβ(␈↓ ∧Q␈ε	x␈↓ ∧c␈εβ)␈↓ ∧n␈ε	w␈↓ ¬π␈εβ(␈↓ ¬∩␈ε	x␈↓ ¬#␈εβ)␈α(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ ε:␈ε	p␈↓ εK␈εβ)␈αfor␈αsome␈↓ πj␈ε	v␈↓ π{␈εβ(␈↓ λε␈ε	x␈↓ λ_␈εβ),␈↓ λ2␈ε	w␈↓ λK␈εβ(␈↓ λV␈ε	x␈↓ λg␈εβ)␈↓ λx␈ε↔g␈↓ 	∀␈εβby␈αp␈α␈erform␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈↓ 
p␈ε	O␈↓ λ␈εβ(␈↓ ∪␈ε	r␈↓ !␈εβ)
␈β¬`␈↓ ↓H␈εβo␈α␈pera␈α␈tions␈αo␈α␈n␈αb␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈α
bit␈αstring␈α␈s␈αof␈αleng␈α␈th␈↓ ε,␈ε	n␈↓ ε@␈εβ.
␈βε∃␈↓ ↓V␈ε∪27.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈30␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α␈e␈α
tha␈α␈t␈α∞a␈α∞ra␈α␈nd␈α␈om␈α∞p␈α␈rimiti␈α↓v␈α}e␈α∞p␈α␈olyn␈α␈omial␈α∞o␈α}v␈α␈er␈α∞th␈α␈e␈α∞in␈α␈t␈α␈egers␈α∞is␈α∞\␈α␈almos␈α␈t
␈βε=␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓wa␈α␈ys"␈α
i␈α↓rre␈α␈du␈α␈cible,␈αi␈α↓n␈α
some␈α
app␈α␈rop␈α␈riate␈αsen␈α␈se.
␈βεr␈↓ ↓V␈ε∪28.␈↓ α␈εβ[␈ε	M18␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Tru␈α␈e␈αor␈α
false:␈αIf␈↓ ∧f␈ε	u␈↓ ∧z␈εβ(␈↓ ¬¬␈ε	x␈↓ ¬↔␈εβ)␈ε↔␈α	≤␈εβ␈α
0␈α
an␈α␈d␈α
the␈α
comp␈α␈lete␈αfa␈α␈ctoriza␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αo␈α␈f␈↓ 	←␈ε	u␈↓ 	s␈εβ(␈↓ 	}␈ε	x␈↓ 
⊂␈εβ)␈α
mod␈α␈ulo␈↓ ≤␈ε	p
␈βπ⊗␈↓ α-␈εe␈↓ β2␈εe␈↓ ε↔␈ε~0
␈βπ↔␈↓ ¬,␈εα(␈↓ εE␈εα)
␈βπ~␈↓ ↓H␈εβis␈↓ ↓i␈ε	p␈↓ α¬␈εβ(␈↓ α⊂␈ε	x␈↓ α"␈εβ)␈↓ αB␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ αo␈ε	p␈↓ β␈εβ(␈↓ β⊗␈ε	x␈↓ β'␈εβ)␈↓ βH␈εβ,␈αth␈α␈en␈↓ ∧)␈ε	u␈↓ ∧=␈εβ(␈↓ ∧H␈ε	x␈↓ ∧Y␈εβ)/␈↓ ∧z␈εβgcd␈↓ ¬8␈ε	u␈↓ ¬L␈εβ(␈↓ ¬W␈ε	x␈↓ ¬i␈εβ),␈↓ εβ␈ε	u␈↓ ε≥␈εβ(␈↓ ε(␈ε	x␈↓ ε:␈εβ)␈↓ εZ␈εβ=␈↓ π∧␈ε	p␈↓ π!␈εβ(␈↓ π,␈ε	x␈↓ π=␈εβ)␈↓ πN␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ πz␈ε	p␈↓ λ⊗␈εβ(␈↓ λ!␈ε	x␈↓ λ3␈εβ).
␈βπ≤␈↓ β=␈ε
r
␈βπ≡␈↓ α7␈επ1
␈βπ%␈↓ ↓y␈εε1␈↓ α␈␈εr␈↓ π∀␈εε1␈↓ λ
␈εr
␈βπK␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βπO␈↓ ↓V␈ε∪29.␈↓ α␈εβ[␈ε	M21␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(J.␈αMo␈α␈ses␈αan␈α␈d␈αD.␈αY.␈αY.␈α
Yu␈α␈n.)␈α≠Gi␈α↓v␈α}en␈αa␈α␈n␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈αfo␈α␈r␈αeva␈α␈l␈α↓u␈α␈atin␈α␈g␈↓ 
F␈ε	d␈↓ 
Y␈εβ(␈↓ 
d␈ε	x␈↓ 
u␈εβ)␈α=
␈βπt␈↓ ↓z␈εα(␈↓ β	␈εα)
␈βπw␈↓ ↓H␈εβg␈α␈cd␈↓ αε␈ε	u␈↓ α~␈εβ(␈↓ α%␈ε	x␈↓ α6␈εβ),␈↓ αP␈ε	v␈↓ αa␈εβ(␈↓ αl␈ε	x␈↓ α}␈εβ)␈↓ β!␈εβsu␈α␈bje␈α␈ct␈αto␈αcon␈α␈dition␈α(26␈α␈),␈α
s␈α␈ho␈α␈w␈αho␈α␈w␈αto␈αc␈α␈omp␈α␈ute␈αthe␈αgcd␈αin␈αgen␈α␈eral␈α(fo␈α␈r
␈βλ∨␈↓ ↓H␈εβp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈αo␈α}v␈α␈er␈αth␈α␈e␈αin␈α␈teg␈α␈ers).
␈βλT␈↓ ↓V␈ε∪30.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Wha␈α␈t␈απis␈απth␈α␈e␈αεpro␈α␈bab␈α␈il␈α↓ity␈αεth␈α␈at␈απt␈α␈he␈αεdistinct␈αεde␈α␈gree␈αεfacto␈α␈rization␈αεwill␈απcom␈α␈pletely
␈βλ|␈↓ ↓H␈εβfa␈α␈ctor␈αa␈αra␈α␈nd␈α␈om␈αp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈αo␈α␈f␈αd␈α␈egr␈α␈ee␈↓ ¬x␈ε	n␈↓ ε␈εβ,␈αm␈α␈od␈α␈ulo␈↓ π↔␈ε	p␈↓ π(␈εβ,␈αfor␈α|x␈α}ed␈↓ λA␈ε	n␈↓ λ`␈εβa␈α␈s␈↓ 	λ␈ε	p␈↓ 	#␈ε↔!␈α	1␈εβ?
␈β	1␈↓ ↓V␈ε∪31.␈↓ α␈εβ[␈ε	M30␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(M.␈α
O.␈αRa␈α␈bin,␈α
M.␈αBen␈α␈-Or.)␈α_Let␈↓ εO␈ε	p␈↓ εj␈εβbe␈α
an␈α
o␈α␈dd␈α
p␈α␈rime,␈αa␈α␈nd␈α
let␈↓ 	Z␈ε	g␈↓ 	j␈εβ(␈↓ 	u␈ε	x␈↓ 
ε␈εβ)␈αb␈α␈e␈α
a␈α
poly␈α␈-
␈β	Y␈↓ ↓H␈εβn␈α␈omia␈α␈l␈αwhose␈α
irred␈α␈ucible␈α
facto␈α␈rs␈αmo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ ε≥␈ε	p␈↓ ε9␈εβa␈α␈l␈α↓l␈α
hav␈α}e␈αth␈α␈e␈αsa␈α␈me␈α
deg␈α␈ree␈↓ 	(␈ε	d␈↓ 	:␈εβ.␈αE␈α↓x␈α␈pla␈α␈i␈α↓n␈α
h␈α␈o␈α␈w␈αto
␈β
␈↓ ↓H␈εβ|␈α␈nd␈αa␈α
fa␈α␈ctor␈α
o␈α␈f␈↓ β4␈ε	g␈↓ βD␈εβ(␈↓ βO␈ε	x␈↓ β`␈εβ)␈α
e}cien␈α}tl␈α↓y␈αb␈α␈y␈α
g␈α␈enera␈α␈li␈α↓z␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
(20␈α␈),␈α∞u␈α␈si␈α↓n␈α␈g␈α
p␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α
arithm␈α␈etic␈α
in␈α
a
␈β
$␈↓ αH␈εd
␈β
(␈↓ ↓H␈εβ|␈α␈eld␈αo␈α␈f␈↓ α7␈ε	p␈↓ αa␈εβelemen␈α}ts.
␈β
?␈↓ πD␈ε↓Q
␈β
Y␈↓ ↓;␈ε↓x␈↓ 
,␈εk
␈β
]␈↓ ↓V␈ε∪32.␈↓ α␈εβ[␈ε	M30␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(␈ε⊂Cy␈α}clotom␈α␈i␈α↓c␈α	p␈α␈olyn␈α␈omials.␈εβ)␈α∃Let␈↓ εD␈εβ␈	␈↓ εi␈εβ(␈↓ εt␈ε	x␈↓ π¬␈εβ)␈α	=␈↓ 	N␈εβ(␈↓ 	Z␈ε	x␈↓ 	p␈ε↔␈␈↓ 
↔␈ε	|␈↓ 
9␈εβ),␈α
where
␈β
h␈↓ εX␈εn
␈β
p␈↓ πf␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ λ␈εk␈↓ λ→␈ε~∀␈↓ λ2␈εn␈↓ λB␈εε,␈↓ λN␈εεg␈α␈cd␈↓ λs␈εε(␈↓ λ|␈εk␈↓ 		␈εε,␈↓ 	⊂␈εn␈↓ 	 ␈εε)␈α↓=1
␈β	␈↓ α≡␈εε2␈↓ α*␈ε→␈↓ α9␈εi␈↓ αD␈εε/␈↓ αP␈εn
␈β
␈↓ ↓H␈ε	|␈↓ ↓f␈εβ=␈↓ α⊃␈ε	e␈↓ αa␈εβ;␈α
th␈α␈u␈α␈s,␈αth␈α␈e␈α
ro␈α␈ots␈α
of␈↓ ∧v␈εβ␈	␈↓ ¬~␈εβ(␈↓ ¬&␈ε	x␈↓ ¬7␈εβ)␈α
are␈α	the␈α
c␈α␈omp␈α␈l␈α↓e␈α␈x␈↓ π=␈ε	n␈↓ πQ␈εβth␈α	roo␈α␈ts␈α
of␈α
un␈α␈ity␈α
th␈α␈at␈α
a␈α␈ren't␈↓ 
p␈ε	m␈↓ 
␈εβth
␈β_␈↓ ¬
␈εn
␈β5␈↓ ↓H␈εβro␈α␈ots␈απfor␈↓ αG␈ε	m␈↓ αn␈εβ<␈↓ β_␈ε	n␈↓ β,␈εβ.␈α⊂(a)␈απPro␈α␈v␈α␈e␈απth␈α␈at␈↓ ¬⊂␈εβ␈	␈↓ ¬5␈εβ(␈↓ ¬@␈ε	x␈↓ ¬Q␈εβ)␈αλis␈απa␈απpoly␈α␈no␈α␈mial␈αλwith␈απin␈α␈te␈α␈ger␈απco␈α␈e}cien␈α}ts,␈α	sa␈α␈tisf␈α↓y␈α␈ing
␈β@␈↓ ¬%␈εn
␈βg␈↓ ∧↑␈ε↓Y␈↓ π3␈ε↓Y
␈βε␈↓ βY␈εn␈↓ π}␈εd␈↓ λX␈ε⊗␈↓ λg␈εε(␈↓ λo␈εn␈↓ 	␈εε/␈↓ 	␈εd␈↓ 	≠␈εε)
␈β␈↓ βH␈ε	x␈↓ βq␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈α	=␈↓ ¬⊃␈εβ␈	␈↓ ¬5␈εβ(␈↓ ¬@␈ε	x␈↓ ¬Q␈εβ);␈↓ ε3␈εβ␈	␈↓ εX␈εβ(␈↓ εc␈ε	x␈↓ εt␈εβ)␈α
=␈↓ πa␈εβ(␈↓ πl␈ε	x␈↓ λ∀␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈↓ λM␈εβ)␈↓ 	#␈εβ.
␈β⊗␈↓ ¬&␈εd␈↓ εG␈εn
␈β=␈↓ ∧←␈εd␈↓ ∧n␈ε~∧␈↓ ∧z␈εn␈↓ π4␈εd␈↓ πC␈ε~∧␈↓ πP␈εn
␈β⎇␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ε5␈εα)
␈β
␈↓ ↓T␈εβCf.␈α∂ex␈α}ercises␈α∂4.5.2␈α␈↑10␈α␈(b)␈α∂an␈α␈d␈α∂4.5␈α␈.␈α↓3␈α␈↑28␈α␈(c).␈↓ εb␈εβ(b␈α␈)␈α∂P␈α↓ro␈α}v␈α␈e␈α∂th␈α␈at␈↓ λF␈εβ␈	␈↓ λk␈εβ(␈↓ λv␈ε	x␈↓ 	π␈εβ)␈α∂i␈α↓s␈α∂irred␈α␈uc␈α␈i␈α↓b␈α␈le␈α∂o␈α␈v␈α␈e␈α␈r
␈β
␈↓ λZ␈εn
␈β
#␈↓ 	Y␈εn
␈β
'␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αin␈α␈teg␈α␈ers,␈αh␈α␈enc␈α␈e␈αth␈α␈e␈αab␈α␈o␈α␈v␈α␈e␈αfor␈α␈m␈α␈ula␈αis␈αth␈α␈e␈αcom␈α␈plete␈αfacto␈α␈rization␈αo␈α␈f␈↓ 	H␈ε	x␈↓ 	q␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈αo␈α␈v␈α}er␈αthe
␈β
O␈↓ ↓H␈εβin␈α}tegers.␈α~[␈ε⊂␈α↓Hin␈α␈t␈α␈:␈εβ␈α
If␈↓ β\␈ε	f␈↓ βl␈εβ(␈↓ βw␈ε	x␈↓ ∧	␈εβ)␈αi␈α↓s␈αan␈αi␈α↓rre␈α␈du␈α␈cible␈αfac␈α␈tor␈αo␈α␈f␈↓ π≡␈εβ␈	␈↓ πC␈εβ(␈↓ πN␈ε	x␈↓ π`␈εβ)␈αo␈α␈v␈α␈er␈αthe␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈rs,␈α
a␈α␈nd␈αif␈↓ 
`␈ε	⊂␈↓ 
z␈εβis␈αa
␈β
Y␈↓ π3␈εn
␈β
r␈↓ εs␈εp
␈β
v␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omp␈α␈l␈α↓e␈α␈x␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α
with␈↓ ∧∪␈ε	f␈↓ ∧#␈εβ(␈↓ ∧.␈ε	⊂␈↓ ∧<␈εβ)␈α=␈α0␈α␈,␈α
pro␈α␈v␈α}e␈αtha␈α␈t␈↓ εK␈ε	f␈↓ ε[␈εβ(␈↓ εf␈ε	⊂␈↓ π↓␈εβ)␈α=␈α0␈αf␈α↓o␈α␈r␈α
a␈α␈ll␈α
pr␈α␈i␈α↓m␈α␈es␈↓ 	3␈ε	p␈↓ 	P␈εβn␈α␈ot␈αdivid␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈↓ ∂␈ε	n␈↓ #␈εβ.
␈β∞~␈↓ ¬H␈εn
␈β∞≡␈↓ ↓H␈εβIt␈α
may␈α
h␈α␈elp␈α
to␈α
use␈α
the␈α
fact␈α
th␈α␈at␈↓ ¬7␈ε	x␈↓ ¬a␈ε↔␈␈εβ␈α
1␈α
is␈α∞s␈α␈qua␈α␈refree␈α
mod␈α␈ulo␈↓ λf␈ε	p␈↓ 	¬␈εβfo␈α␈r␈α∞a␈α␈l␈α↓l␈α
such␈α
p␈α␈rimes.]
␈β∞F␈↓ ↓H␈εβ(c)␈αDiscu␈α␈ss␈αthe␈α
calcu␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αo␈α␈f␈↓ ∧w␈εβ␈	␈↓ ¬≠␈εβ(␈↓ ¬'␈ε	x␈↓ ¬8␈εβ),␈αand␈α
tab␈α␈ulate␈αt␈α␈he␈αv␈α␈alues␈αfo␈α␈r␈↓ λn␈ε	n␈↓ 	␈ε↔∃␈εβ␈α	15.
␈β∞P␈↓ ¬␈εn
␈β∞{␈↓ ↓V␈ε∪33.␈↓ α␈εβ[␈ε	M22␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(Geo␈α␈rge␈αλE␈α↓.␈α	C␈α␈oll␈α↓in␈α␈s.␈α↓)␈α∪Let␈↓ ¬`␈ε	d␈↓ ¬⎇␈εβ,␈↓ ε∂␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε;␈εβ,␈↓ εN␈ε	d␈↓ εr␈εβbe␈αλpositiv␈α␈e␈αλin␈α␈teg␈α␈ers␈α	wh␈α␈ose␈αλsum␈αλi␈α↓s␈↓ 
P␈ε	n␈↓ 
d␈εβ,␈α
a␈α␈nd
␈β∂ε␈↓ ¬p␈εε1␈↓ ε]␈εr
␈β∂#␈↓ ↓H␈εβlet␈↓ ↓y␈ε	p␈↓ α⊗␈εβb␈α␈e␈α
p␈α␈rime.␈α∞W␈α↓h␈α␈at␈αis␈αthe␈αp␈α␈roba␈α␈bility␈αtha␈α␈t␈αthe␈αirred␈α␈ucib␈α␈l␈α↓e␈αfa␈α␈ctors␈αo␈α␈f␈α
a␈αra␈α␈nd␈α␈om␈↓ 
n␈ε	n␈↓ α␈εβth␈α␈-
␈β∂J␈↓ ↓H␈εβd␈α␈egre␈α␈e␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈r␈α
p␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈↓ ∧M␈ε	u␈↓ ∧a␈εβ(␈↓ ∧l␈ε	x␈↓ ∧⎇␈εβ)␈αhav␈α}e␈αdeg␈α␈rees␈↓ εZ␈ε	d␈↓ εv␈εβ,␈↓ π␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ π8␈εβ,␈↓ πN␈ε	d␈↓ πj␈εβ?␈α∞S␈α␈ho␈α␈w␈αth␈α␈at␈αthis␈αpro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈αis
␈β∂U␈↓ εi␈εε1␈↓ π]␈εr
␈β∂r␈↓ ↓H␈εβa␈α␈sym␈α␈ptotica␈α␈ll␈α↓y␈αth␈α␈e␈αsam␈α␈e␈αa␈α␈s␈αthe␈αpr␈α␈oba␈α␈bili␈α↓t␈α␈y␈αtha␈α␈t␈αa␈αra␈α␈nd␈α␈om␈αp␈α␈erm␈α␈ut␈α␈ation␈αo␈α␈n␈↓ 
⊂␈ε	n␈↓ 
0␈εβe␈α␈l␈α↓e␈α␈men␈α␈t␈α␈s
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εβh␈α␈as␈αcy␈α}cles␈αof␈αleng␈α␈ths␈↓ β|␈ε	d␈↓ ∧_␈εβ,␈↓ ∧,␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧Y␈εβ,␈↓ ∧m␈ε	d␈↓ ¬	␈εβ.
␈β⊂$␈↓ ∧␈εε1␈↓ ∧|␈εr
␈β⊂K␈↓ ↓;␈ε↓x␈↓ λ␈␈ε~0
␈β⊂L␈↓ λ∀␈εα(␈↓ 	-␈εα)
␈β⊂O␈↓ ↓V␈ε∪34.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(␈ε⊂S␈α␈qua␈α␈refree␈απfacto␈α␈rization␈α␈.␈εβ)␈α⊂Exp␈α␈ress␈↓ εu␈ε	d␈↓ ππ␈εβ(␈↓ π∩␈ε	x␈↓ π#␈εβ)␈α
=␈↓ πb␈εβgcd␈↓ λ ␈ε	u␈↓ λ4␈εβ(␈↓ λ?␈ε	x␈↓ λQ␈εβ),␈↓ λk␈ε	u␈↓ 	¬␈εβ(␈↓ 	⊂␈ε	x␈↓ 	"␈εβ)␈↓ 	@␈εβin␈απterms␈απof␈↓ 
←␈ε	p␈↓ 
|␈εβ(␈↓ π␈ε	x␈↓ _␈εβ),
␈β⊂Z␈↓ 
o␈εε1
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ↓t␈εβ,␈↓ α	␈ε	p␈↓ α%␈εβ(␈↓ α0␈ε	x␈↓ αA␈εβ),␈αa␈α␈nd␈αth␈α␈e␈αex␈α␈pon␈α␈en␈α}ts␈↓ ∧x␈ε	e␈↓ ¬⊂␈εβ,␈↓ ¬%␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬Q␈εβ,␈↓ ¬f␈ε	e␈↓ ε	␈εβi␈α↓n␈α
(1);␈αa␈α␈nd␈αu␈α␈se␈αy␈α␈ou␈α␈r␈αform␈α␈u␈α␈l␈α↓a␈α
to␈αsug␈α␈gest␈αa␈αgo␈α␈od
␈β⊃↓␈↓ α_␈εr␈↓ ¬∧␈εε1␈↓ ¬r␈εr
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβwa␈α␈y␈αto␈αp␈α␈roce␈α␈ed␈αwh␈α␈en␈↓ ∧λ␈ε	d␈↓ ∧~␈εβ(␈↓ ∧%␈ε	x␈↓ ∧7␈εβ)␈ε↔␈α	≤␈εβ␈α
1␈α
an␈α␈d␈↓ ¬R␈ε	d␈↓ ¬d␈εβ(␈↓ ¬p␈ε	x␈↓ ε↓␈εβ)␈ε↔␈α	≤␈↓ ε@␈ε	u␈↓ εT␈εβ(␈↓ ε←␈ε	x␈↓ εp␈εβ).
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.3␈ε∞␈↓ πXEV␈α{AL␈α␈UA␈α⎇T␈α␈ION␈α	OF␈α	PO␈α␈WERS␈↓ 
v␈εα427
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪35.␈↓ α␈εβ[␈ε	M47␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(V.␈αR.␈αPratt.)␈α≠If␈αpo␈α␈ssible,␈α|n␈α␈d␈αa␈αway␈αto␈αc␈α␈ons␈α␈truct␈αproo␈α␈fs␈αof␈αirred␈α␈uc␈α␈i␈α↓b␈α␈il␈α↓ity
␈βαR␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α
all␈α∞p␈α␈olyn␈α␈omia␈α␈l␈α↓s␈α
th␈α␈at␈α
are␈α
irre␈α␈du␈α␈ci␈α↓b␈α␈le␈α
o␈α␈v␈α␈e␈α␈r␈α
the␈α
in␈α␈te␈α␈gers,␈α∞so␈αtha␈α␈t␈α∞t␈α␈he␈α
len␈α␈gth␈α
o␈α␈f␈α∞p␈α␈roo␈α␈f
␈βαy␈↓ ↓H␈εβis␈α∞a␈α␈t␈α∞mo␈α␈st␈α∞a␈α∞p␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α∞i␈α↓n␈α
d␈α␈eg(␈↓ ¬∨␈ε	u␈↓ ¬3␈εβ)␈α∞a␈α␈nd␈α
the␈α
l␈α↓e␈α␈ngt␈α␈h␈α∞o␈α␈f␈α∞i␈α↓ts␈α
coe}␈α␈cien␈α␈ts.␈α≡(Only␈α
a␈α∞b␈α␈ou␈α␈nd
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβo␈α␈n␈ε⊂␈αleng␈α␈th␈εβ␈αo␈α␈f␈α
p␈α␈roof␈αis␈αrequ␈α␈ested␈αhere␈α␈,␈α
as␈αin␈αex␈α}ercise␈α4.5␈α␈.␈α↓4␈α␈↑17␈α␈,␈α
n␈α␈ot␈αa␈αbo␈α␈un␈α␈d␈αon␈αthe␈αtime
␈ββI␈↓ ↓H␈εβn␈α␈eed␈α␈ed␈αto␈α
|n␈α␈d␈αsu␈α␈ch␈αa␈αp␈α␈roo␈α␈f.␈α↓)
␈β∧N␈↓ ↓H␈ε≥4␈α␈.6.3.␈α
Evaluat␈α↓ion␈α
of␈α
P␈α↓o␈α}w␈α␈er␈α␈s
␈β¬∂␈↓ ≠␈εn
␈β¬∀␈↓ α␈εαIn␈α∪this␈α∪section␈α∪w␈α␈e␈α∪shall␈α∪study␈α∪the␈α∪in␈α␈teresting␈α∀problem␈α∪of␈α∪computing␈↓ λ␈ελx
␈β¬?␈↓ ↓H␈εαe}cien␈α␈tly,␈αλgiv␈α␈en␈↓ βM␈ελx␈↓ βg␈εαand␈↓ ∧)␈ελn␈↓ ∧?␈εα,␈α	where␈↓ ¬6␈ελn␈↓ ¬T␈εαis␈αλa␈αλpositiv␈α␈e␈αλin␈α␈teger.␈αSuppose,␈α	for␈αλexample,␈αλthat
␈β¬e␈↓ ∧!␈ε¬16
␈β¬j␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αneed␈αto␈αcompute␈↓ ∧∞␈ελx␈↓ ∧=␈εα;␈αw␈α␈e␈αcould␈αsimply␈αstart␈αwith␈↓ λβ␈ελx␈↓ λ"␈εαand␈αm␈α␈ultiply␈αby␈↓ 
,␈ελx␈↓ 
J␈εα|fteen
␈βε∃␈↓ ↓H␈εαtimes.␈αBut␈α	it␈α	is␈α	possible␈α	to␈α	obtain␈α	the␈α	same␈α	answ␈α␈er␈αλwith␈α	only␈α	four␈α	m␈α␈ultiplications,
␈βε;␈↓ ∀␈ε¬2
␈βε@␈↓ ↓H␈εαif␈α
w␈α␈e␈α
repeatedly␈α
tak␈α␈e␈α
the␈α
square␈α
of␈α
each␈α
partial␈α
result,␈α
successiv␈α␈ely␈α
forming␈↓ ↓␈ελx␈↓ "␈εα,
␈βεg␈↓ ↓Z␈ε¬4␈↓ α∩␈ε¬8␈↓ αI␈ε¬16
␈βεl␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓i␈εα,␈↓ ↓␈␈ελx␈↓ α ␈εα,␈↓ α6␈ελx␈↓ αf␈εα.
␈βπ_␈↓ α␈εαThe␈α
same␈α
idea␈α
applies,␈α
in␈α
general,␈α
to␈α
an␈α␈y␈αvalue␈α
of␈↓ λ2␈ελn␈↓ λH␈εα,␈α
in␈α
the␈α
follo␈α␈wing␈αway:
␈βπC␈↓ ↓H␈εαWrite␈↓ α*␈ελn␈↓ αI␈εαin␈αλthe␈α	binary␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈αλsystem␈α	(suppressing␈α	zeros␈αλat␈α	the␈α	left).␈αThen␈αλreplace
␈βπn␈↓ ↓H␈εαeach␈α
\1"␈αby␈αthe␈αpair␈α
of␈αletters␈αSX,␈αreplace␈α
each␈α\0"␈αby␈αS,␈α
and␈αcross␈αo{␈αthe␈α
\SX"
␈βλ∀␈↓ 	|␈εn
␈βλ→␈↓ ↓H␈εαthat␈α∂no␈α␈w␈α∂appears␈α∂at␈α∂the␈α∂left.␈α⊗The␈α∂result␈α∂is␈α∂a␈α∂rule␈α∂for␈α∂computing␈↓ 	j␈ελx␈↓ 
∞␈εα,␈α⊂if␈α∂\S"␈α∂is
␈βλE␈↓ ↓H␈εαin␈α␈terpreted␈αλas␈αλthe␈α	operation␈αλof␈ε∂␈αλsquaring␈εα,␈α	and␈α	if␈αλ\X"␈αλis␈α	in␈α␈terpreted␈αλas␈αλthe␈αλoperation
␈βλp␈↓ ↓H␈εαof␈ε∂␈αm␈α␈ultiplying␈αby␈↓ βg␈ελx␈↓ βy␈ε∂.␈εα␈α
For␈αexample,␈αif␈↓ ε∞␈ελn␈↓ ε-␈εα=␈α
23,␈αits␈αbinary␈αrepresen␈α␈tation␈αis␈α10111;
␈β	≠␈↓ ↓H␈εαso␈α	w␈α␈e␈α	form␈α	the␈α	sequence␈α	SX␈α
S␈α	SX␈α	SX␈α	SX␈α	and␈α	remo␈α␈v␈α␈e␈α
the␈α	leading␈α	SX␈α	to␈α	obtain␈α	the
␈β	F␈↓ ↓H␈εαrule␈α
SSXSXSX.␈α
This␈α
rule␈αstates␈α
that␈α
w␈α␈e␈α
should␈α
\square,␈α∞square,␈α
m␈α␈ultiply␈α
by␈↓ ⊂␈ελx␈↓ "␈εα,
␈β	q␈↓ ↓H␈εαsquare,␈α∂m␈α␈ultiply␈α∂by␈↓ ∧⊂␈ελx␈↓ ∧#␈εα,␈α∂square,␈α⊂and␈α∂m␈α␈ultiply␈α∞by␈↓ πM␈ελx␈↓ π`␈εα";␈α⊂in␈α∂other␈α∂w␈α␈ords,␈α⊂w␈α␈e␈α∞should
␈β
↔␈↓ ∧1␈ε¬2␈↓ ∧i␈ε¬4␈↓ ¬ ␈ε¬5␈↓ ¬W␈ε¬10␈↓ ε≥␈ε¬11␈↓ εb␈ε¬2␈α↓2␈↓ π(␈ε¬23
␈β
≥␈↓ ↓H␈εαsuccessiv␈α␈ely␈αcompute␈↓ ∧∨␈ελx␈↓ ∧@␈εα,␈↓ ∧V␈ελx␈↓ ∧w␈εα,␈↓ ¬
␈ελx␈↓ ¬.␈εα,␈↓ ¬D␈ελx␈↓ ¬t␈εα,␈↓ ε
␈ελx␈↓ ε9␈εα,␈↓ εO␈ελx␈↓ ε␈␈εα,␈↓ π∃␈ελx␈↓ πE␈εα.
␈β
I␈↓ α␈εαThis␈α	\binary␈α	method"␈α	is␈α	easily␈α	justi|ed␈α	by␈α	a␈α	consideration␈α	of␈α	the␈α	sequence␈α	of
␈β
t␈↓ ↓H␈εαexponen␈α␈ts␈αλin␈α	the␈α	calculation:␈α
If␈α	w␈α␈e␈α	rein␈α␈terpret␈α	\S"␈αλas␈α	the␈α	operation␈α	of␈αλm␈α␈ultiplying
␈β∨␈↓ ↓H␈εαby␈α2␈α
and␈α\X"␈α
as␈α
the␈αoperation␈α
of␈αadding␈α
1,␈α
and␈αif␈α
w␈α␈e␈α
start␈αwith␈α
1␈αinstead␈α
of␈↓ ⊂␈ελx␈↓ "␈εα,
␈βJ␈↓ ↓H␈εαthe␈αrule␈αwill␈α
lead␈αto␈αa␈α
computation␈αof␈↓ ε&␈ελn␈↓ εH␈εαbecause␈α
of␈αthe␈αproperties␈α
of␈αthe␈αbinary
␈βu␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈ber␈α⊂system.␈α~The␈α⊃method␈α⊃is␈α⊂quite␈α⊃ancien␈α␈t;␈α∪it␈α⊃appeared␈α⊂before␈α⊃200␈ε∞␈α⊃B.␈α␈C.␈εα␈α⊂in
␈β!␈↓ ↓H␈εαPingala's␈α
Hindu␈α
classic␈αChandah-s␈↓ ¬←␈εαu␈↓ ¬`␈εα∂␈↓ ¬s␈εαtra␈α
[see␈αB.␈α
Datta␈α
and␈αA.␈α
N.␈α
Singh,␈ε∂␈αHistory␈α
of
␈βL␈↓ ↓H␈ε∂Hindu␈αMathematics␈ε∩␈α
1␈εα␈α
(Bom␈α␈bay,␈α
1935),␈α
76];␈α
ho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α
there␈α
seem␈α
to␈α
be␈α
no␈αother
␈βw␈↓ ↓H␈εαreferences␈αto␈αthis␈αmethod␈αoutside␈αof␈αIndia␈αduring␈αthe␈αnext␈α2000␈αy␈α␈ears!
␈β
≡␈↓ π;␈εn
␈β
#␈↓ α␈εαThe␈αS-and-X␈αbinary␈αmethod␈αfor␈αobtaining␈↓ π(␈ελx␈↓ πX␈εαrequires␈αno␈α
temporary␈αstorage
␈β
N␈↓ ↓H␈εαex␈α␈cept␈α	for␈↓ αl␈ελx␈↓ β	␈εαand␈α
the␈α	curren␈α␈t␈α
partial␈α
result,␈α
so␈α
it␈α
is␈α	w␈α␈ell␈α
suited␈α
for␈α
incorporation␈α	in
␈β
z␈↓ ↓H␈εαthe␈α	hardware␈α	of␈α	a␈α
binary␈α	computer.␈αThe␈α	method␈α	can␈α
also␈α	be␈α	readily␈α	programmed
␈β∞%␈↓ ↓H␈εαfor␈α∂either␈α∂binary␈α∂or␈α∂decimal␈α∂computers;␈α⊃but␈α∂it␈α∂requires␈α∂that␈α∂the␈α∂binary␈α∂repre-
␈β∞P␈↓ ↓H␈εαsen␈α␈tation␈αof␈↓ β
␈ελn␈↓ β.␈εαbe␈αscanned␈αfrom␈αleft␈αto␈αrigh␈α␈t,␈αwhile␈αit␈αis␈αusually␈αmore␈αcon␈α␈v␈α␈enien␈α␈t
␈β∞{␈↓ ↓H␈εαto␈αdo␈αthis␈αfrom␈αrigh␈α␈t␈αto␈α
left.␈αFor␈αexample,␈αwith␈α
a␈αbinary␈αcomputer␈αw␈α␈e␈αcan␈αshift
␈β∂&␈↓ ↓H␈εαthe␈α
binary␈α∞value␈α
of␈↓ ∧π␈ελn␈↓ ∧*␈εαto␈α∞the␈α
righ␈α␈t␈α∞one␈α
bit␈α∞at␈α
a␈α∞time␈α
un␈α␈til␈α
zero␈α∞is␈α
reached;␈α∞with
␈β∂N␈↓ ∞␈ε¬1
␈β∂R␈↓ ↓H␈εαa␈α∞decimal␈α∂computer␈α∞w␈α␈e␈α∂can␈α∂divide␈α∞by␈α∂2␈α∞(or,␈α⊂equivalen␈α␈tly,␈α∂m␈α␈ultiply␈α∞by␈α∂5␈α∞or␈↓  ␈εα)
␈β∂b␈↓ ∞␈∧∂b∞α∂
␈β∂d␈↓ ∞␈ε¬2
␈β∂⎇␈↓ ↓H␈εαto␈α
deduce␈α∞the␈α
binary␈α∞represen␈α␈tation␈α
from␈α∞righ␈α␈t␈α
to␈α∞left.␈α⊂Therefore␈α∞the␈α
follo␈α␈wing
␈β⊂(␈↓ ↓H␈εαalgorithm,␈αbased␈α
on␈αa␈αrigh␈α␈t-to-left␈α
scan␈αof␈αthe␈α
n␈α␈um␈α␈ber,␈αis␈αoften␈αmore␈α
con␈α␈v␈α␈enien␈α␈t:
␈β⊂o␈↓ ↓H␈ε∩Algorithm␈α
A␈εα␈α
(␈ε∂Righ␈α␈t-to-left␈α
binary␈α
method␈α
for␈α
exponen␈α␈tiation␈εα)␈ε∩.␈εα␈α~This␈α
algorithm
␈β⊃∃␈↓ α|␈εn
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαevaluates␈↓ αi␈ελx␈↓ β∞␈εα,␈α⊂where␈↓ ∧∀␈ελn␈↓ ∧9␈εαis␈α∂a␈α⊂positiv␈α␈e␈α⊂in␈α␈teger.␈α∨(Here␈↓ λβ␈ελx␈↓ λ%␈εαbelongs␈α∂to␈α⊂an␈α␈y␈α∂algebraic
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα428␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.3
␈β¬3␈↓ ∧7␈εn
␈β¬7␈↓ ↓H␈ε∪Fig.␈α12␈α␈.␈εβ␈α≤Eva␈α␈luatio␈α␈n␈αof␈↓ ∧&␈ε	x␈↓ ∧H␈εβ,␈αba␈α␈sed␈αo␈α␈n␈αa␈αrigh␈α}t-to-left␈αscan␈αof␈αthe␈αb␈α␈inar␈α␈y␈αno␈α␈tation␈αfor␈↓ ∂␈ε	n␈↓ #␈εβ.
␈βε4␈↓ ↓H␈εαsystem␈αin␈αwhich␈αan␈αassociativ␈α␈e␈αm␈α␈ultiplication,␈αwith␈αiden␈α␈tity␈αelemen␈α␈t␈α1,␈αhas␈αbeen
␈βε`␈↓ ↓H␈εαde|ned.)
␈βπ∃␈↓ ↓J␈ε∩A1.␈↓ α␈εα[Initialize.]␈α→Set␈↓ ∧	␈ελN␈↓ ∧5␈ε⊗ ␈↓ ∧c␈ελn␈↓ ∧y␈εα,␈↓ ¬∂␈ελY␈↓ ¬4␈ε⊗ ␈εα␈α
1,␈↓ ε
␈ελZ␈↓ ε-␈ε⊗ ␈↓ ε[␈ελx␈↓ εn␈εα.
␈βπF␈↓ λ*␈εn␈↓ 	L␈εN
␈βπK␈↓ ↓J␈ε∩A2.␈↓ α␈εα[Halv␈α␈e␈↓ α⎇␈ελN␈↓ β∨␈εα.]␈α≥(At␈α∞this␈α∞poin␈α␈t,␈α∞w␈α␈e␈α∞hav␈α␈e␈α∞the␈α∞relation␈↓ λ↔␈ελx␈↓ λI␈εα=␈↓ λ{␈ελY␈↓ 	∨␈ε⊗↓␈↓ 	3␈ελZ␈↓ 	f␈εα.)␈α≥Set␈↓ 
Y␈ελN␈↓ λ␈ε⊗ 
␈βπw␈↓ α␈ε⊗b␈↓ α~␈ελN␈↓ α<␈εα/2␈ε⊗c␈εα,␈α
and␈α
at␈α
the␈α∞same␈α
time␈α
determine␈α
whether␈↓ λ≠␈ελN␈↓ λJ␈εαwas␈α
ev␈α␈en␈α
or␈α
odd.␈α⊂If␈↓ ␈ελN
␈βλ"␈↓ α␈εαwas␈αev␈α␈en,␈αskip␈αto␈αstep␈αA5.
␈βλX␈↓ ↓J␈ε∩A3.␈↓ α␈εα[Multiply␈↓ β*␈ελY␈↓ βQ␈εαby␈↓ ∧¬␈ελZ␈↓ ∧≡␈εα.]␈α→Set␈↓ ¬	␈ελY␈↓ ¬.␈ε⊗ ␈↓ ¬\␈ελZ␈↓ εα␈εαtimes␈↓ εb␈ελY␈↓ ε⎇␈εα.
␈β	∞␈↓ ↓J␈ε∩A4.␈↓ α␈εα[␈↓ α⊗␈ελN␈↓ αB␈εα=␈α
0?]␈α→If␈↓ βW␈ελN␈↓ ∧β␈εα=␈α
0,␈αthe␈αalgorithm␈αterminates,␈αwith␈↓ λI␈ελY␈↓ λo␈εαas␈αthe␈αansw␈α␈er.
␈β	C␈↓ ↓J␈ε∩A5.␈↓ α␈εα[Square␈↓ β␈ελZ␈↓ β%␈εα.]␈α→Set␈↓ ∧⊂␈ελZ␈↓ ∧4␈ε⊗ ␈↓ ∧b␈ελZ␈↓ ¬π␈εαtimes␈↓ ¬g␈ελZ␈↓ ε␈εα,␈αand␈αreturn␈αto␈αstep␈αA2.
␈β	H␈↓ 	 ␈∧	H	 ≠∂
␈β	␈␈↓ 
␈␈ε¬23
␈β
∧␈↓ α␈εαAs␈αan␈αexample␈αof␈αAlgorithm␈αA␈↓ ¬p␈εα,␈αconsider␈αthe␈αsteps␈αin␈αthe␈αevaluation␈αof␈↓ 
l␈ελx␈↓ ≤␈εα:
␈β
R␈↓ εB␈ελN␈↓ πO␈ελY␈↓ λG␈ελZ
␈βλ␈↓ β⎇␈εαAfter␈αstep␈αA1␈↓ ε?␈εα23␈↓ πO␈εα1␈↓ λG␈ελx
␈β3␈↓ β⎇␈εαAfter␈αstep␈αA4␈↓ ε?␈εα11␈↓ πO␈ελx␈↓ λG␈ελx
␈βZ␈↓ πb␈ε¬3␈↓ λZ␈ε¬2
␈β←␈↓ β⎇␈εαAfter␈αstep␈αA4␈↓ εQ␈εα5␈↓ πO␈ελx␈↓ λG␈ελx
␈β¬␈↓ πb␈ε¬7␈↓ λZ␈ε¬4
␈β
␈↓ β⎇␈εαAfter␈αstep␈αA4␈↓ εQ␈εα2␈↓ πO␈ελx␈↓ λG␈ελx
␈β0␈↓ πb␈ε¬2␈α↓3␈↓ λZ␈ε¬16
␈β5␈↓ β⎇␈εαAfter␈αstep␈αA4␈↓ εQ␈εα0␈↓ πO␈ελx␈↓ λG␈ελx
␈β
␈↓ ↓H␈εαA␈ε∃␈αM␈α␈IX␈εα␈αprogram␈αcorresponding␈αto␈αAlgorithm␈αA␈αappears␈αin␈αex␈α␈ercise␈α2.
␈β
A␈↓ α␈εαThe␈αgreat␈αcalculator␈αal-Kash␈↓ ¬K␈εα∂␈↓ ¬O␈εα␈↓ ¬e␈εαstated␈αAlgorithm␈αA␈αabout␈α1414␈ε∞␈αA.␈α␈D.␈εα␈α[␈ε∂Istorik␈α␈o-
␈β
l␈↓ ↓H␈ε∂Mat.␈α⊂Issledo␈α␈vani␈↓ βM␈ε∂~␈↓ βM␈ε∂␈↓ βW␈ε∂a␈ε∩␈α∂7␈εα␈α⊂(1954),␈α⊃256↑257].␈α_It␈α⊂is␈α⊂closely␈α⊂related␈α⊂to␈α⊂a␈α⊂procedure␈α∂for
␈β∞↔␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiplication␈αthat␈α
was␈α
used␈αby␈α
Egyptian␈α
mathematicians␈α
as␈αearly␈α
as␈α
1800␈ε∞␈αB.C.
␈β∞B␈↓ ↓H␈εαIf␈α⊂w␈α␈e␈α⊂change␈α⊂step␈α⊂A3␈α⊂to␈α⊂\␈↓ ∧s␈ελY␈↓ ¬≡␈ε⊗ ␈↓ ¬S␈ελY␈↓ ¬y␈εα+␈↓ ε'␈ελZ␈↓ εA␈εα"␈α⊂and␈α⊂step␈α⊂A5␈α⊂to␈α⊂\␈↓ λ{␈ελZ␈↓ 	%␈ε⊗ ␈↓ 	Z␈ελZ␈↓ 	⎇␈εα+␈↓ 
,␈ελZ␈↓ 
E␈εα",␈α⊃and
␈β∞n␈↓ ↓H␈εαif␈α∞w␈α␈e␈α∞set␈↓ α]␈ελY␈↓ βε␈εαto␈α∞zero␈α∞instead␈α∞of␈α∞unity␈α∞in␈α∞step␈α∞A1,␈α∞the␈α∞algorithm␈α∞terminates␈α∞with
␈β∂→␈↓ ↓H␈ελY␈↓ ↓m␈εα=␈↓ α≠␈ελn␈↓ α0␈ελx␈↓ αC␈εα.␈αThis␈αis␈αa␈αpractical␈αmethod␈αfor␈αm␈α␈ultiplication␈αby␈αhand,␈αsince␈αit␈αin␈α␈v␈α␈olv␈α␈es
␈β∂D␈↓ ↓H␈εαonly␈α	the␈α
simple␈α	operations␈α
of␈α	doubling,␈α
halving,␈α
and␈α
adding.␈αIt␈α
is␈α	often␈α
called␈α	the
␈β∂o␈↓ ↓H␈εα\Russian␈αpeasan␈α␈t␈αmethod"␈αof␈αm␈α␈ultiplication,␈αsince␈αWestern␈αvisitors␈αto␈αRussia␈αin
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαthe␈αnineteen␈α␈th␈αcen␈α␈tury␈αfound␈αthe␈αmethod␈αin␈αwide␈αuse␈αthere.
␈β⊂F␈↓ α␈εαThe␈απn␈α␈um␈α␈ber␈αλof␈απm␈α␈ultiplications␈αλrequired␈απby␈αλAlgorithm␈απA␈αλis␈ε⊗␈απb␈↓ 	∩␈εαlg␈↓ 	4␈ελn␈↓ 	J␈ε⊗c␈εα␈αα+␈↓ 	␈␈ελ↔␈↓ 
⊂␈εα(␈↓ 
≤␈ελn␈↓ 
2␈εα),␈αλwhere
␈β⊂q␈↓ ↓H␈ελ↔␈↓ ↓Y␈εα(␈↓ ↓e␈ελn␈↓ ↓z␈εα)␈α∞is␈α∞the␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α
ones␈α∞in␈α∞the␈α
binary␈α∞represen␈α␈tation␈α
of␈↓ λq␈ελn␈↓ 	π␈εα.␈α⊃This␈α
is␈α∞one␈α
more
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiplication␈αthan␈αthe␈α
left-to-righ␈α␈t␈αbinary␈α
method␈αmen␈α␈tioned␈α
at␈αthe␈αbeginning
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.3␈ε∞␈↓ πXEV␈α{AL␈α␈UA␈α⎇T␈α␈ION␈α	OF␈α	PO␈α␈WERS␈↓ 
v␈εα429
␈βα(␈↓ ↓H␈εαof␈αthis␈αsection␈αw␈α␈ould␈αrequire,␈α
due␈αto␈αthe␈αfact␈αthat␈α
the␈α|rst␈αex␈α␈ecution␈αof␈αstep␈αA3
␈βαS␈↓ ↓H␈εαis␈αsimply␈αa␈αm␈α␈ultiplication␈αby␈αunity.
␈ββ↓␈↓ α␈εαBecause␈α⊃of␈α∩the␈α⊃bookk␈α␈eeping␈α∩time␈α⊃required␈α⊃by␈α∩this␈α⊃algorithm,␈α∪the␈α⊃binary
␈ββ,␈↓ ↓H␈εαmethod␈α
is␈α∞usually␈α∞not␈α∞of␈α
importance␈α∞for␈α∞small␈α∞values␈α
of␈↓ λO␈ελn␈↓ λe␈εα,␈α∞say␈↓ 	?␈ελn␈↓ 	a␈ε⊗∀␈εα␈α
10,␈α∞unless
␈ββW␈↓ ↓H␈εαthe␈α
time␈α
for␈α
a␈α
m␈α␈ultiplication␈α
is␈α
comparativ␈α␈ely␈α
large.␈αIf␈α
the␈α
value␈αof␈↓ 	\␈ελn␈↓ 	{␈εαis␈α
kno␈α␈wn␈α
in
␈β∧β␈↓ ↓H␈εαadvance,␈α
the␈αleft-to-righ␈α␈t␈α
binary␈α
method␈α
is␈α
preferable.␈α∞In␈α
some␈αsituations,␈α
such
␈β∧)␈↓ ∧'␈εn
␈β∧.␈↓ ↓H␈εαas␈αthe␈α
calculation␈α
of␈↓ ∧∀␈ελx␈↓ ∧?␈εαmod␈↓ ¬	␈ελu␈↓ ¬∨␈εα(␈↓ ¬+␈ελx␈↓ ¬=␈εα)␈α
discussed␈α
in␈αSection␈α
4.6.2,␈α
it␈αis␈α
m␈α␈uch␈α
easier␈αto
␈β∧Y␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiply␈αby␈↓ β∞␈ελx␈↓ β-␈εαthan␈α
to␈αperform␈α
a␈αgeneral␈α
m␈α␈ultiplication␈αor␈α
to␈α
square␈αa␈α
value,␈αso
␈β¬∧␈↓ ↓H␈εαbinary␈αmethods␈αfor␈αexponen␈α␈tiation␈αare␈αprimarily␈αsuited␈αfor␈αquite␈αlarge␈↓ 
≤␈ελn␈↓ 
=␈εαin␈αsuch
␈β¬*␈↓ 	M␈εn
␈β¬/␈↓ ↓H␈εαcases.␈α
If␈αλw␈α␈e␈αλwish␈αλto␈αλcalculate␈αλthe␈αλexact␈αλm␈α␈ultiple-precision␈αλvalue␈αλof␈↓ 	:␈ελx␈↓ 	←␈εα,␈α	when␈↓ 
L␈ελx␈↓ 
f␈εαis␈αλan
␈β¬[␈↓ ↓H␈εαin␈α␈teger␈α>␈α
1,␈αbinary␈αmethods␈αare␈αno␈αhelp␈αunless␈↓ π8␈ελn␈↓ πY␈εαis␈αso␈αh␈α␈uge␈αthat␈αthe␈αhigh-speed
␈βεε␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiplication␈α
routines␈α∞of␈α
Section␈α∞4.3.3␈α∞are␈α
in␈α␈v␈α␈olv␈α␈ed;␈α∂and␈α
such␈α∞applications␈α
are
␈βε1␈↓ ↓H␈εαrare.␈α
Similarly,␈α	binary␈αλmethods␈αλare␈αλusually␈αλinappropriate␈αλfor␈αλraising␈αλa␈απpolynomial
␈βε\␈↓ ↓H␈εαto␈α∂a␈α⊂po␈α␈w␈α␈er;␈α⊃see␈α⊂R.␈α∂J.␈α⊂Fateman,␈ε∂␈α⊂SIAM␈α⊂J.␈α∂Computing␈ε∩␈α⊂3␈εα␈α∂(1974),␈α⊃196↑213,␈α⊂for␈α∂a
␈βππ␈↓ ↓H␈εαdiscussion␈α
of␈α∞the␈α∞extensiv␈α␈e␈α∞literature␈α∞on␈α
polynomial␈α∞exponen␈α␈tiation.␈α∩The␈α
poin␈α␈t
␈βπ3␈↓ ↓H␈εαof␈α
these␈αremarks␈α
is␈α
that␈α
binary␈α
methods␈α
are␈α
nice,␈α
but␈α
not␈α
a␈α
panacea.␈α∂They␈αare
␈βπY␈↓ π¬␈εj␈↓ π>␈εk
␈βπ↑␈↓ ↓H␈εαmost␈αapplicable␈αwhen␈αthe␈αtime␈αto␈αm␈α␈ultiply␈↓ εr␈ελx␈↓ π→␈ε⊗↓␈↓ π+␈ελx␈↓ πX␈εαis␈αessen␈α␈tially␈αindependen␈α␈t␈αof␈↓ ≤␈ελj
␈βλ	␈↓ ↓H␈εαand␈↓ α
␈ελk␈↓ α*␈εα(e.g.,␈αfor␈α⎇oating-poin␈α␈t␈αm␈α␈ultiplication,␈αor␈αm␈α␈ultiplication␈αmod␈↓ 	h␈ελm␈↓ 
λ␈εα);␈αthen␈αthe
␈βλ4␈↓ ↓H␈εαrunning␈αtime␈αis␈αreduced␈αfrom␈αorder␈↓ ¬}␈ελn␈↓ ε∨␈εαto␈αorder␈↓ π)␈εαlog␈↓ π]␈ελn␈↓ πs␈εα.
␈β	π␈↓ ↓H␈ε∩Few␈α␈er␈απm␈α␈ultiplications.␈εα␈α
Sev␈α␈eral␈αλauthors␈απhav␈α␈e␈απpublished␈απstatemen␈α␈ts␈απ(without␈απproof)
␈β	2␈↓ ↓H␈εαthat␈α
the␈α∞binary␈α
method␈α∞actually␈α∞giv␈α␈es␈α
the␈ε∂␈α∞minim␈α␈um␈εα␈α∞possible␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α
m␈α␈ulti-
␈β	]␈↓ ↓H␈εαplications.␈α⊃But␈α
this␈α∞is␈α
not␈α∞true.␈α⊃The␈α
smallest␈α∞coun␈α␈terexample␈α∞is␈↓ 	K␈ελn␈↓ 	n␈εα=␈α15,␈α∞when
␈β
∧␈↓ 
.␈ε¬3
␈β
	␈↓ ↓H␈εαthe␈α
binary␈α
method␈αneeds␈α
6␈α
m␈α␈ultiplications,␈α
y␈α␈et␈α
w␈α␈e␈α
can␈α
calculate␈↓ 	L␈ελy␈↓ 	l␈εα=␈↓ 
≠␈ελx␈↓ 
J␈εαin␈αt␈α␈w␈α␈o
␈β
/␈↓ ∧∞␈ε¬15␈↓ ∧w␈ε¬5
␈β
4␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiplications␈αλand␈↓ β{␈ελx␈↓ ∧5␈εα=␈↓ ∧c␈ελy␈↓ ¬∞␈εαin␈αλthree␈αλmore,␈α	achieving␈αλthe␈α	desired␈αλresult␈αλwith␈αλonly
␈β
Z␈↓ ⊃␈εn
␈β
←␈↓ ↓H␈εα5␈α
m␈α␈ultiplications.␈α⊂Let␈α∞us␈α
no␈α␈w␈α
discuss␈α∞some␈α
other␈α∞procedures␈α
for␈α
evaluating␈↓ 
}␈ελx␈↓ "␈εα,
␈β
␈↓ ↓H␈εαuseful␈αwhen␈↓ β∞␈ελn␈↓ β/␈εαis␈αkno␈α␈wn␈αin␈αadvance␈α(e.g.,␈αwithin␈αan␈αoptimizing␈αcompiler).
␈β8␈↓ α␈εαThe␈ε∂␈α
factor␈α
method␈εα␈αis␈α
based␈α
on␈α
a␈α
factorization␈α
of␈↓ λ∧␈ελn␈↓ λ→␈εα.␈αIf␈↓ λQ␈ελn␈↓ λq␈εα=␈↓ 	∨␈ελp␈↓ 	1␈ελq␈↓ 	A␈εα,␈αwhere␈↓ 
<␈ελp␈↓ 
X␈εαis␈α
the
␈β↑␈↓ λ?␈εn␈↓ ≥␈εp
␈βc␈↓ ↓H␈εαsmallest␈α
prime␈α
factor␈αof␈↓ ∧C␈ελn␈↓ ∧c␈εαand␈↓ ¬'␈ελq␈↓ ¬B␈εα>␈α
1,␈α
w␈α␈e␈αmay␈α
calculate␈↓ λ,␈ελx␈↓ λ[␈εαby␈α|rst␈α
calculating␈↓ 
␈ελx
␈β∞␈↓ ↓H␈εαand␈αthen␈αraising␈αthis␈αquan␈α␈tity␈αto␈αthe␈↓ ε∀␈ελq␈↓ ε$␈εαth␈αpo␈α␈w␈α␈er.␈αIf␈↓ πh␈ελn␈↓ λ
␈εαis␈αprime,␈αw␈α␈e␈αmay␈αcalculate
␈β4␈↓ ↓Z␈εn␈↓ ↓l␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λi␈εn
␈β:␈↓ ↓H␈ελx␈↓ α!␈εαand␈α	m␈α␈ultiply␈α	by␈↓ ∧$␈ελx␈↓ ∧6␈εα.␈αAnd,␈α	of␈α
course,␈α
if␈↓ ε↑␈ελn␈↓ ε⎇␈εα=␈α
1,␈α
w␈α␈e␈α
hav␈α␈e␈↓ λV␈ελx␈↓ 	∧␈εαwith␈α	no␈α	calculation
␈β`␈↓ ≠␈εn
␈βe␈↓ ↓H␈εαat␈α∞all.␈α∩Repeated␈α∞application␈α∂of␈α∞these␈α∞rules␈α∞giv␈α␈es␈α∞a␈α∞procedure␈α∞for␈α∂evaluating␈↓ λ␈ελx
␈β
␈↓ λy␈ε¬55
␈β
⊂␈↓ ↓H␈εαgiv␈α␈en␈αan␈α␈y␈αvalue␈αof␈↓ βr␈ελn␈↓ ∧λ␈εα.␈αFor␈αexample,␈αif␈αw␈α␈e␈αwan␈α␈t␈αto␈αcalculate␈↓ λf␈ελx␈↓ 	⊗␈εα,␈αw␈α␈e␈α|rst␈αevaluate
␈β
6␈↓ α(␈ε¬5␈↓ ββ␈ε¬4␈↓ β⎇␈ε¬2␈↓ ∧↔␈ε¬2␈↓ εB␈ε¬11␈↓ π,␈ε¬1␈α↓0␈↓ λ7␈ε¬2␈↓ λQ␈ε¬5
␈β
;␈↓ ↓H␈ελy␈↓ ↓g␈εα=␈↓ α∃␈ελx␈↓ αA␈εα=␈↓ αp␈ελx␈↓ β⊃␈ελx␈↓ β/␈εα=␈α(␈↓ βj␈ελx␈↓ ∧␈εα)␈↓ ∧&␈ελx␈↓ ∧8␈εα;␈α
then␈α
w␈α␈e␈αform␈↓ ε.␈ελy␈↓ εi␈εα=␈↓ π_␈ελy␈↓ πI␈ελy␈↓ πh␈εα=␈α(␈↓ λ#␈ελy␈↓ λE␈εα)␈↓ λ`␈ελy␈↓ λt␈εα.␈α
The␈α
whole␈αprocess
␈β
f␈↓ ↓H␈εαtak␈α␈es␈α
eigh␈α␈t␈α
m␈α␈ultiplications,␈α
while␈α
the␈α
binary␈α
method␈α
w␈α␈ould␈α
hav␈α␈e␈αrequired␈α
nine.
␈β∞∩␈↓ ↓H␈εαThe␈α
factor␈α
method␈α
is␈α
better␈α
than␈α
the␈α
binary␈α
method␈α
on␈α
the␈α
av␈α␈erage,␈α
but␈α
there
␈β∞=␈↓ ↓H␈εαare␈αcases␈α(␈↓ αj␈ελn␈↓ β	␈εα=␈α
33␈αis␈αthe␈αsmallest␈αexample)␈αwhere␈αthe␈αbinary␈αmethod␈αex␈α␈cels.
␈β∞k␈↓ α␈εαThe␈α
binary␈αmethod␈α
can␈αbe␈α
generalized␈α
to␈αan␈↓ πY␈ελm␈↓ πx␈ε∂-ary␈α
method␈εα␈α
as␈αfollo␈α␈ws:␈α
Let
␈β∂⊃␈↓ αY␈εt␈↓ βX␈εt␈↓ βc␈ε→␈␈ε¬1
␈β∂⊗␈↓ ↓H␈ελn␈↓ ↓j␈εα=␈↓ α~␈ελd␈↓ α9␈ελm␈↓ αm␈εα+␈↓ β~␈ελd␈↓ β9␈ελm␈↓ ∧↔␈εα+␈↓ ∧D␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧w␈εα+␈↓ ¬$␈ελd␈↓ ¬?␈εα,␈α∞where␈α∞0␈ε⊗␈α∀␈↓ π⊂␈ελd␈↓ π:␈εα<␈↓ πk␈ελm␈↓ λ_␈εαfor␈α
0␈ε⊗␈α
∀␈↓ 	 ␈ελj␈↓ 	=␈ε⊗∀␈↓ 	m␈ελt␈↓ 	{␈εα.␈α⊂The␈α
com-
␈β∂#␈↓ α+␈ε¬0␈↓ β*␈ε¬1␈↓ ¬5␈εt␈↓ π ␈εj
␈β∂<␈↓ ¬D␈ε¬2␈↓ ¬⎇␈ε¬3␈↓ ε⎇␈εm␈↓ π↔␈ε→␈␈ε¬1
␈β∂A␈↓ ↓H␈εαputation␈α
begins␈α
by␈α∞forming␈↓ ¬π␈ελx␈↓ ¬~␈εα,␈↓ ¬1␈ελx␈↓ ¬S␈εα,␈↓ ¬j␈ελx␈↓ ε␈εα,␈↓ ε#␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εS␈εα,␈↓ εk␈ελx␈↓ πC␈εα.␈α≠(Actually,␈α∞only␈α
those␈α
po␈α␈w␈α␈ers
␈β∂g␈↓ ↓Z␈εd
␈β∂l␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓␈␈εαfor␈↓ α6␈ελd␈↓ α←␈εαin␈αthe␈αrepresen␈α␈tation␈αof␈↓ ¬X␈ελn␈↓ ¬y␈εαare␈αneeded,␈αand␈αthis␈αobservation␈αoften␈αsav␈α␈es
␈β∂p␈↓ ↓i␈ε
j
␈β∂z␈↓ αG␈εj
␈β⊂∩␈↓ ¬[␈εd␈↓ 
Q␈εd
␈β⊂↔␈↓ ↓H␈εαsome␈α∞of␈α∞the␈α∂w␈α␈ork.)␈α≥Then␈α∂raise␈↓ ¬H␈ελx␈↓ εα␈εαto␈α∂the␈↓ εq␈ελm␈↓ π⊃␈εαth␈α∞po␈α␈w␈α␈er␈α∂and␈α∞m␈α␈ultiply␈α∞by␈↓ 
>␈ελx␈↓ 
j␈εα;␈α∂w␈α␈e
␈β⊂≠␈↓ ¬i␈επ0␈↓ 
←␈επ1
␈β⊂=␈↓ ∧=␈εd␈↓ ∧V␈εm␈↓ ∧p␈ε¬+␈↓ ¬
␈εd
␈β⊂C␈↓ ↓H␈εαhav␈α␈e␈α∂computed␈↓ βI␈ελy␈↓ βw␈εα=␈↓ ∧*␈ελx␈↓ ¬&␈εα.␈α∃Next,␈α⊂raise␈↓ π∧␈ελy␈↓ π3␈εαto␈α∂the␈↓ λ#␈ελm␈↓ λB␈εαth␈α∂po␈α␈w␈α␈er␈α∂and␈α∂m␈α␈ultiply
␈β⊂F␈↓ ∧K␈επ0␈↓ ¬≠␈επ1
␈β⊂P␈↓ βZ␈ε¬1␈↓ π∃␈ε¬1
␈β⊂e␈↓ ¬	␈επ2
␈β⊂i␈↓ α⊃␈εd␈↓ ∧V␈εd␈↓ ∧o␈εm␈↓ ¬∀␈ε¬+␈↓ ¬1␈εd␈↓ ¬K␈εm␈↓ ¬d␈ε¬+␈↓ ε↓␈εd
␈β⊂n␈↓ ↓H␈εαby␈↓ ↓}␈ελx␈↓ α*␈εα,␈α∂obtaining␈↓ βe␈ελy␈↓ ∧⊃␈εα=␈↓ ∧C␈ελx␈↓ ε≠␈εα.␈α∩The␈α∞process␈α∞con␈α␈tin␈α␈ues␈α∞in␈α∞this␈α∞way␈α∞un␈α␈til
␈β⊂q␈↓ α∨␈επ2␈↓ ∧d␈επ0␈↓ ¬?␈επ1␈↓ ε∂␈επ2
␈β⊂{␈↓ βv␈ε¬2
␈β⊃∀␈↓ α2␈εn
␈β⊃→␈↓ ↓H␈ελy␈↓ ↓o␈εα=␈↓ α∨␈ελx␈↓ αQ␈εαhas␈α∞been␈α
computed.␈α⊂Whenev␈α␈er␈↓ εF␈ελd␈↓ εp␈εα=␈α0,␈α∞it␈α
is,␈α
of␈α∞course,␈α
unnecessary␈α
to
␈β⊃&␈↓ ↓Y␈εt␈↓ εW␈εj
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα430␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.3
␈βπ∧␈↓ ∧s␈ε∪Fig.␈α13␈α␈.␈εβ␈α~Th␈α␈e␈α\p␈α␈o␈α␈w␈α␈er␈αtree."
␈βπo␈↓ β→␈εd
␈βπt␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiply␈αλby␈↓ βε␈ελx␈↓ β2␈εα.␈αNote␈α	that␈α	this␈αλmethod␈α	reduces␈α	to␈αλthe␈α	left-to-righ␈α␈t␈α	binary␈αλmethod
␈βπw␈↓ β'␈ε
j
␈βλ∨␈↓ ↓H␈εαdiscussed␈α∞earlier,␈α∞when␈↓ ∧@␈ελm␈↓ ∧n␈εα=␈α
2;␈α∂but␈α∞no␈α∞righ␈α␈t-to-left␈↓ λπ␈ελm␈↓ λ'␈εα-ary␈α∞method␈α∞will␈α∞giv␈α␈e␈α∞as
␈βλJ␈↓ ↓H␈εαfew␈α	m␈α␈ultiplications␈α	when␈↓ ∧U␈ελm␈↓ ∧}␈εα>␈α
2.␈αIf␈↓ ¬u␈ελm␈↓ ε≡␈εαis␈α	a␈α	small␈α
prime,␈α	the␈↓ λ←␈ελm␈↓ λ}␈εα-ary␈α
method␈α	will␈α	be
␈βλu␈↓ ↓H␈εαparticularly␈α
e}cien␈α␈t␈α∞for␈α∞calculating␈α∞po␈α␈w␈α␈ers␈α
of␈α∞one␈α∞polynomial␈α∞modulo␈α
another,
␈β	!␈↓ ↓H␈εαwhen␈αthe␈αcoe}cien␈α␈ts␈αare␈αtreated␈αmodulo␈↓ εQ␈ελm␈↓ ε|␈εα(see␈αEq.␈α4.6.2↑5).
␈β	L␈↓ α␈εαA␈αsystematic␈αmethod␈α
that␈αgiv␈α␈es␈αthe␈α
minim␈α␈um␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αm␈α␈ultiplications␈α
for
␈β	w␈↓ ↓H␈εαall␈α∂of␈α∂the␈α∂relativ␈α␈ely␈α∂small␈α⊂values␈α∂of␈↓ ε
␈ελn␈↓ ε2␈εα(in␈α∂particular,␈α⊂for␈α∂most␈↓ 	5␈ελn␈↓ 	Z␈εαthat␈α∂occur␈α∂in
␈β
≥␈↓ λn␈εn
␈β
"␈↓ ↓H␈εαpractical␈α
applications)␈α
is␈α
indicated␈α
in␈α
Fig.␈α
13.␈αTo␈α
calculate␈↓ λ[␈ελx␈↓ 	␈εα,␈α|nd␈↓ 	[␈ελn␈↓ 	z␈εαin␈α
this␈α
tree,
␈β
M␈↓ ↓H␈εαand␈αthe␈αpath␈αfrom␈αthe␈αroot␈α
to␈↓ ¬-␈ελn␈↓ ¬O␈εαindicates␈αthe␈αsequence␈αof␈αexponen␈α␈ts␈αthat␈αoccur
␈β
s␈↓ ¬
␈εn
␈β
y␈↓ ↓H␈εαin␈α	an␈α
e}cien␈α␈t␈α
evaluation␈α	of␈↓ ∧w␈ελx␈↓ ¬≤␈εα.␈αThe␈α
rule␈α	for␈α
generating␈α	this␈α
\po␈α␈w␈α␈er␈α
tree"␈α	appears
␈β$␈↓ ↓H␈εαin␈α∂ex␈α␈ercise␈α∂5.␈α∃Computer␈α∂tests␈α∂hav␈α␈e␈α∂sho␈α␈wn␈α∂that␈α∞the␈α∂po␈α␈w␈α␈er␈α∂tree␈α∂giv␈α␈es␈α∂optim␈α␈um
␈βO␈↓ ↓H␈εαresults␈αfor␈α
all␈αof␈α
the␈↓ ∧∂␈ελn␈↓ ∧1␈εαlisted␈α
in␈αthe␈α
|gure.␈α∞But␈αfor␈α
large␈αenough␈α
values␈α
of␈↓ 
X␈ελn␈↓ 
z␈εαthe
␈βz␈↓ ↓H␈εαpo␈α␈w␈α␈er␈αtree␈α
method␈αis␈α
not␈αalways␈α
an␈αoptim␈α␈um␈α
procedure;␈αthe␈α
smallest␈αexamples
␈β%␈↓ ↓H␈εαare␈↓ αβ␈ελn␈↓ α#␈εα=␈α
77,␈α154,␈α233.␈αThe␈α|rst␈αcase␈αfor␈αwhich␈αthe␈αpo␈α␈w␈α␈er␈αtree␈αis␈αsuperior␈αto␈αboth
␈βQ␈↓ ↓H␈εαthe␈αbinary␈αmethod␈αand␈αthe␈αfactor␈αmethod␈αis␈↓ π␈ελn␈↓ π+␈εα=␈α
23.
␈β
π␈↓ λ[␈εn
␈β
␈↓ ↓H␈ε∩Addition␈αchains.␈εα␈α→The␈αmost␈α
economical␈αway␈αto␈αcompute␈↓ λH␈ελx␈↓ λy␈εαby␈αm␈α␈ultiplication␈αis
␈β
7␈↓ ↓H␈εαa␈α∞mathematical␈α∞problem␈α∞with␈α∞an␈α∞in␈α␈teresting␈α∞history.␈α∩We␈α∞shall␈α∞no␈α␈w␈α∞examine␈α∞it
␈β
b␈↓ ↓H␈εαin␈α∂detail,␈α∂not␈α∂only␈α∂because␈α∂it␈α∂is␈α∂in␈α␈teresting␈α∂its␈α∂o␈α␈wn␈α∂righ␈α␈t,␈α⊂but␈α∂because␈α∂it␈α∞is␈α∂an
␈β∞
␈↓ ↓H␈εαex␈α␈cellen␈α␈t␈αexample␈αof␈αthe␈αtheoretical␈αquestions␈αthat␈αarise␈αin␈αa␈αstudy␈αof␈α\optim␈α␈um
␈β∞8␈↓ ↓H␈εαmethods␈αof␈αcomputation."
␈β∞d␈↓ α␈εαAlthough␈αw␈α␈e␈αare␈αconcerned␈αwith␈αm␈α␈ultiplication␈αof␈αpo␈α␈w␈α␈ers␈αof␈↓ 	F␈ελx␈↓ 	Y␈εα,␈αthe␈αproblem
␈β∂∂␈↓ ↓H␈εαcan␈α
easily␈α∞be␈α
reduced␈α
to␈α∞addition,␈α∞since␈α
the␈α∞exponen␈α␈ts␈α
are␈α∞additiv␈α␈e.␈α⊂This␈α
leads
␈β∂:␈↓ ↓H␈εαus␈α
to␈α
the␈α
follo␈α␈wing␈α
abstract␈α
form␈α␈ulation:␈α∞An␈ε∂␈α
addition␈α
chain␈α
for␈↓ 	>␈ελn␈↓ 	`␈εαis␈α
a␈α
sequence
␈β∂e␈↓ ↓H␈εαof␈αin␈α␈tegers
␈β⊂⊂␈↓ ∧0␈εα1␈α
=␈↓ ∧z␈ελa␈↓ ¬~␈εα,␈↓ ¬N␈ελa␈↓ ¬m␈εα,␈↓ ε!␈ελa␈↓ ε@␈εα,␈↓ εt␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π$␈εα,␈↓ πX␈ελa␈↓ λ␈εα=␈↓ λ.␈ελn␈↓ α␈εα(1)
␈β⊂≡␈↓ ¬␈ε¬0␈↓ ¬↑␈ε¬1␈↓ ε2␈ε¬2␈↓ πi␈εr
␈β⊂O␈↓ ↓H␈εαwith␈αthe␈αproperty␈αthat
␈β⊃→␈↓ ∧
␈ελa␈↓ ∧3␈εα=␈↓ ∧a␈ελa␈↓ ¬π␈εα+␈↓ ¬3␈ελa␈↓ ¬S␈εα,␈↓ ε+␈εαfor␈αsome␈↓ π=␈ελk␈↓ πY␈ε⊗∀␈↓ λπ␈ελj␈↓ λ!␈εα<␈↓ λO␈ελi␈↓ λ]␈εα,␈↓ α␈εα(2)
␈β⊃&␈↓ ∧≡␈εi␈↓ ∧r␈εj␈↓ ¬D␈εk
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.3␈ε∞␈↓ πXEV␈α{AL␈α␈UA␈α⎇T␈α␈ION␈α	OF␈α	PO␈α␈WERS␈↓ 
v␈εα431
␈βλ≡␈↓ α∀␈ε∪Fig.␈α14␈α␈.␈εβ␈α~A␈αtree␈αth␈α␈at␈αmin␈α␈i␈α↓m␈α␈i␈α↓z␈α␈es␈αthe␈αn␈α}um␈α}ber␈αo␈α␈f␈αm␈α␈u␈α␈ltiplication␈α␈s,␈αfo␈α␈r␈↓ 	]␈ε	n␈↓ 	{␈ε↔∀␈εβ␈α	10␈α␈0.
␈β	7␈↓ ↓H␈εαfor␈α∞all␈↓ α7␈ελi␈↓ αS␈εα=␈α∞1,␈α⊂2,␈↓ β\␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧␈εα,␈↓ ∧%␈ελr␈↓ ∧5␈εα.␈α∀One␈α∞way␈α∂of␈α∞looking␈α∂at␈α∂this␈α∞de|nition␈α∂is␈α∞to␈α∂consider␈α∞a
␈β	b␈↓ ↓H␈εαsimple␈αcomputer␈αthat␈αhas␈αan␈αaccum␈α␈ulator␈αand␈αis␈αcapable␈αof␈αthe␈αthree␈αoperations
␈β
∞␈↓ ↓H␈ε∃L␈α␈DA␈↓ αε␈εα,␈↓ α≥␈ε∃STA␈↓ α[␈εα,␈α∞and␈↓ β:␈ε∃ADD␈↓ βx␈εα;␈α∞the␈α
machine␈α∞begins␈α
with␈α
the␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α∞1␈α
in␈α
its␈α
accum␈α␈ulator,
␈β
9␈↓ ↓H␈εαand␈α
it␈α
proceeds␈α∞to␈α
compute␈α∞the␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈↓ εL␈ελn␈↓ εo␈εαby␈α
adding␈α∞together␈α
previous␈α
results.
␈β
d␈↓ ↓H␈εαNote␈αthat␈↓ αn␈ελa␈↓ β→␈εαm␈α␈ust␈αequal␈α2,␈αand␈↓ ¬>␈ελa␈↓ ¬i␈εαis␈αeither␈α2,␈α3,␈αor␈α4.
␈β
q␈↓ α}␈ε¬1␈↓ ¬O␈ε¬2
␈β∀␈↓ α␈εαThe␈α
shortest␈α∞length,␈↓ ∧[␈ελr␈↓ ∧j␈εα,␈α∞for␈α∞which␈α
an␈α
addition␈α∞chain␈α
for␈↓ 	β␈ελn␈↓ 	&␈εαexists␈α
is␈α
denoted
␈β?␈↓ ↓H␈εαby␈↓ ↓⎇␈ελl␈↓ απ␈εα(␈↓ α∪␈ελn␈↓ α)␈εα).␈α⊂Our␈α
goal␈α
in␈α
the␈α∞remainder␈α
of␈α
this␈α
section␈α∞is␈α
to␈α
disco␈α␈v␈α␈er␈α∞as␈α
m␈α␈uch␈α
as␈α
w␈α␈e
␈βj␈↓ ↓H␈εαcan␈α⊂about␈α⊂this␈α⊂function␈↓ ∧U␈ελl␈↓ ∧←␈εα(␈↓ ∧k␈ελn␈↓ ¬↓␈εα).␈α_The␈α⊃values␈α⊂of␈↓ π≡␈ελl␈↓ π(␈εα(␈↓ π4␈ελn␈↓ πJ␈εα)␈α⊂for␈α⊃small␈↓ 	¬␈ελn␈↓ 	+␈εαare␈α⊂display␈α␈ed␈α⊂in
␈β⊂␈↓ λ∩␈εn
␈β⊗␈↓ ↓H␈εαtree␈α
form␈α∞in␈α
Fig.␈α∞14,␈α
which␈α∞sho␈α␈ws␈α
ho␈α␈w␈α∞to␈α
calculate␈↓ π␈␈ελx␈↓ λ1␈εαwith␈α
the␈α∞few␈α␈est␈α
possible
␈βA␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiplications␈αfor␈αall␈↓ ∧'␈ελn␈↓ ∧F␈ε⊗∀␈εα␈α
100.
␈βq␈↓ α␈εαThe␈αproblem␈αof␈αdetermining␈↓ ¬Q␈ελl␈↓ ¬[␈εα(␈↓ ¬g␈ελn␈↓ ¬⎇␈εα)␈αwas␈αapparen␈α␈tly␈α|rst␈αraised␈αby␈αH.␈αDellac␈αin
␈β
≤␈↓ ↓H␈εα1894,␈α∞and␈α∞a␈α∞partial␈α∂solution␈α∞by␈α∞E.␈α∞de␈α∞Jonqui␈↓ π⊂␈εα␈
␈↓ π⊃␈εαe␈↓ π!␈εαres␈α∞men␈α␈tioned␈α∞the␈α∞factor␈α∞method
␈β
G␈↓ ↓H␈εα[cf.␈ε∂␈α∞l'In␈α␈term␈↓ βα␈ε∂∞␈↓ ββ␈ε∂e␈↓ β∪␈ε∂diaire␈α∂des␈α∞Math␈↓ ¬
␈ε∂∞␈↓ ¬∞␈ε∂e␈↓ ¬≡␈ε∂maticiens␈ε∩␈α∂1␈εα␈α∞(1894),␈α⊂20,␈α∂162↑164].␈α∪In␈α∂his␈α∞solution,
␈β
r␈↓ ↓H␈εαde␈α∞Jonqui␈↓ αa␈εα␈
␈↓ αb␈εαe␈↓ αr␈εαres␈α∞listed␈α∞what␈α∞he␈α∞felt␈α∞w␈α␈ere␈α∞the␈α∞values␈α∞of␈↓ λ⊂␈ελl␈↓ λ~␈εα(␈↓ λ&␈ελp␈↓ λ8␈εα)␈α∞for␈α∞all␈α∞prime␈α∞n␈α␈um␈α␈bers
␈β∞≥␈↓ ↓H␈ελp␈↓ ↓d␈εα<␈α
200,␈αbut␈αhis␈αtable␈αen␈α␈tries␈αfor␈↓ ¬]␈ελp␈↓ ¬y␈εα=␈α
107,␈α149,␈α163,␈α179␈αw␈α␈ere␈αone␈αtoo␈αhigh.
␈β∞M␈↓ α␈εαThe␈αfactor␈αmethod␈αtells␈αus␈αimmediately␈αthat
␈β∂1␈↓ ¬↔␈ελl␈↓ ¬!␈εα(␈↓ ¬-␈ελm␈↓ ¬L␈ελn␈↓ ¬b␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈↓ ε&␈ελl␈↓ ε0␈εα(␈↓ ε<␈ελm␈↓ ε\␈εα)␈αλ+␈↓ π≤␈ελl␈↓ π&␈εα(␈↓ π2␈ελn␈↓ πH␈εα),␈↓ α␈εα(3)
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈εαsince␈αw␈α␈e␈α
can␈αtak␈α␈e␈α
the␈αchains␈α
1,␈↓ ¬>␈ελa␈↓ ¬]␈εα,␈↓ ¬t␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε$␈εα,␈↓ ε:␈ελa␈↓ εc␈εα=␈↓ π∩␈ελm␈↓ π>␈εαand␈α
1,␈↓ λ.␈ελb␈↓ λI␈εα,␈↓ λ`␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	⊂␈εα,␈↓ 	&␈ελb␈↓ 	K␈εα=␈↓ 	z␈ελn␈↓ 
≤␈εαand␈αform
␈β⊂#␈↓ ¬N␈ε¬1␈↓ εK␈εr␈↓ λ;␈ε¬1␈↓ 	3␈εs
␈β⊂A␈↓ ↓H␈εαthe␈αchain␈α1,␈↓ β∞␈ελa␈↓ β-␈εα,␈↓ βC␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βs␈εα,␈↓ ∧	␈ελa␈↓ ∧'␈εα,␈↓ ∧=␈ελa␈↓ ∧[␈ελb␈↓ ∧v␈εα,␈↓ ¬␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬<␈εα,␈↓ ¬R␈ελa␈↓ ¬q␈ελb␈↓ ε∀␈εα=␈↓ εB␈ελm␈↓ εb␈ελn␈↓ εw␈εα.
␈β⊂N␈↓ β≡␈ε¬1␈↓ ∧~␈εr␈↓ ∧N␈εr␈↓ ∧h␈ε¬1␈↓ ¬c␈εr␈↓ ¬}␈εs
␈β⊂q␈↓ α␈εαWe␈α
can␈α
also␈α
recast␈α	the␈↓ ∧q␈ελm␈↓ ¬⊃␈εα-ary␈α
method␈α
in␈α␈to␈α	addition-chain␈α
terminology.␈αCon-
␈β⊃↔␈↓ ∧↔␈εk␈↓ εo␈εt␈↓ πn␈εt␈↓ πx␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 	L␈εt
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαsider␈αthe␈α
case␈↓ β*␈ελm␈↓ βU␈εα=␈↓ ∧¬␈εα2␈↓ ∧%␈εα,␈α
and␈α
write␈↓ ¬`␈ελn␈↓ ε↓␈εα=␈↓ ε0␈ελd␈↓ εP␈ελm␈↓ πα␈εα+␈↓ π/␈ελd␈↓ πN␈ελm␈↓ λ,␈εα+␈↓ λX␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	␈εα+␈↓ 	8␈ελd␈↓ 	c␈εαin␈α
the␈↓ 
M␈ελm␈↓ 
l␈εα-ary
␈β⊃)␈↓ εA␈ε¬0␈↓ π@␈ε¬1
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα432␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.3
␈βα(␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈ber␈αsystem;␈αthe␈αcorresponding␈αaddition␈αchain␈αtak␈α␈es␈αthe␈αform
␈βαt␈↓ α≥␈εα1,␈αε2,␈αε3,␈↓ ββ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β3␈εα,␈↓ βC␈ελm␈↓ βj␈ε⊗␈␈εα␈αλ2,␈↓ ∧8␈ελm␈↓ ∧`␈ε⊗␈␈εα␈αλ1,
␈ββ*␈↓ αe␈εα2␈↓ αw␈ελd␈↓ β⊗␈εα,␈αε4␈↓ β8␈ελd␈↓ βW␈εα,␈↓ βg␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧↔␈εα,␈↓ ∧'␈ελm␈↓ ∧G␈ελd␈↓ ∧f␈εα,␈↓ ∧v␈ελm␈↓ ¬∃␈ελd␈↓ ¬=␈εα+␈↓ ¬i␈ελd␈↓ ελ␈εα,
␈ββ8␈↓ βπ␈ε¬0␈↓ βH␈ε¬0␈↓ ∧W␈ε¬0␈↓ ¬&␈ε¬0␈↓ ¬y␈ε¬1
␈ββ[␈↓ λZ␈ε¬2
␈ββ`␈↓ β-␈εα2(␈↓ βK␈ελm␈↓ βj␈ελd␈↓ ∧␈εα+␈↓ ∧1␈ελd␈↓ ∧Q␈εα),␈αε4(␈↓ ¬␈ελm␈↓ ¬*␈ελd␈↓ ¬K␈εα+␈↓ ¬q␈ελd␈↓ ε⊃␈εα),␈↓ ε-␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε]␈εα,␈↓ εm␈ελm␈↓ π␈εα(␈↓ π_␈ελm␈↓ π8␈ελd␈↓ πY␈εα+␈↓ π␈␈ελd␈↓ λ≡␈εα),␈↓ λ:␈ελm␈↓ λh␈ελd␈↓ 	⊂␈εα+␈↓ 	<␈ελm␈↓ 	[␈ελd␈↓ 
α␈εα+␈↓ 
.␈ελd␈↓ 
N␈εα,
␈ββn␈↓ β{␈ε¬0␈↓ ∧B␈ε¬1␈↓ ¬;␈ε¬0␈↓ εα␈ε¬1␈↓ πI␈ε¬0␈↓ λ⊂␈ε¬1␈↓ λy␈ε¬0␈↓ 	l␈ε¬1␈↓ 
?␈ε¬2
␈β∧⊃␈↓ ¬d␈εt␈↓ εb␈εt␈↓ εl␈ε→␈␈ε¬1
␈β∧⊗␈↓ βu␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧%␈εα,␈↓ ¬E␈ελm␈↓ ¬o␈ελd␈↓ ε⊗␈εα+␈↓ εB␈ελm␈↓ π↔␈ελd␈↓ π>␈εα+␈↓ πj␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ≤␈εα+␈↓ λH␈ελd␈↓ λd␈εα.␈↓ α␈εα(4)
␈β∧$␈↓ ¬␈␈ε¬0␈↓ π(␈ε¬1␈↓ λY␈εt
␈β∧j␈↓ ↓H␈εαThe␈α	length␈α	of␈α
this␈α	chain␈α	is␈↓ ∧c␈ελm␈↓ ¬λ␈ε⊗␈␈εα␈α∧2␈α∧+␈α¬(␈↓ ¬{␈ελk␈↓ ε⊃␈εα+␈α∧1)␈↓ εW␈ελt␈↓ εd␈εα;␈αthis␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈α	can␈α
often␈α	be␈α	reduced␈α	by
␈β¬∃␈↓ ↓H␈εαdeleting␈απcertain␈απelemen␈α␈ts␈απof␈απthe␈απ|rst␈απro␈α␈w␈αλthat␈απdo␈απnot␈απoccur␈απamong␈απthe␈απco}cien␈α␈ts␈↓ ∧␈ελd␈↓ "␈εα,
␈β¬#␈↓ ∃␈εj
␈β¬A␈↓ ↓H␈εαplus␈α
elemen␈α␈ts␈α
among␈α
2␈↓ ∧'␈ελd␈↓ ∧G␈εα,␈α
4␈↓ ∧m␈ελd␈↓ ¬␈εα,␈↓ ¬!␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬U␈εαthat␈αalready␈α
appear␈α
in␈α
the␈α|rst␈α
ro␈α␈w.␈αWhenev␈α␈er
␈β¬N␈↓ ∧8␈ε¬0␈↓ ∧}␈ε¬0
␈β¬l␈↓ ↓H␈εαdigit␈↓ α→␈ελd␈↓ αA␈εαis␈α
zero,␈α
the␈α
step␈α	at␈α
the␈α
righ␈α␈t␈α	end␈α
of␈α
the␈α	corresponding␈α
line␈α
may,␈α
of␈α	course,
␈β¬y␈↓ α*␈εj
␈βε∪␈↓ ¬!␈εα∞
␈βε≤␈↓ ↓H␈εαbe␈α
dropped.␈α∂Furthermore,␈α
as␈↓ ¬≡␈εαE␈↓ ¬6␈εα.␈α∂G.␈α
Belaga␈α
has␈α
observ␈α␈ed␈α
[␈ε∂Doklady␈α
Akad.␈α
Nauk
␈βεG␈↓ ↓H␈ε∂SSSR␈ε∩␈α
226␈εα␈α
(1976),␈α
15↑18],␈αw␈α␈e␈α
can␈α
omit␈α
all␈α
the␈αev␈α␈en␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈α
(ex␈α␈cept␈α
2)␈α
in␈α
the␈α
|rst
␈βεm␈↓ ε:␈εe
␈βεr␈↓ ↓H␈εαro␈α␈w,␈αif␈αw␈α␈e␈αbring␈αvalues␈αof␈αthe␈αform␈↓ ¬x␈ελd␈↓ ε⊗␈εα/␈↓ ε(␈εα2␈↓ εQ␈εαin␈α␈to␈αthe␈αcomputation␈↓ 	*␈ελe␈↓ 	E␈εαsteps␈αearlier.
␈βε␈␈↓ ελ␈εj
␈βπ≥␈↓ α␈εαThe␈α⊃simplest␈α⊃case␈α⊃of␈α⊃the␈↓ ¬/␈ελm␈↓ ¬N␈εα-ary␈α⊃method␈α⊃is␈α⊃the␈α⊃binary␈α⊃method␈α⊃(␈↓ 
≤␈ελm␈↓ 
N␈εα=␈α∩2),
␈βπH␈↓ ↓H␈εαwhen␈α
the␈αgeneral␈α
scheme␈α(4)␈α
simpli|es␈αto␈αthe␈α
\S"␈αand␈α
\X"␈αrule␈α
men␈α␈tioned␈αat␈α
the
␈βπt␈↓ ↓H␈εαbeginning␈α
of␈α
this␈α
section:␈α∂The␈α
binary␈α
addition␈α
chain␈α∞for␈α
2␈↓ λ↑␈ελn␈↓ 	↓␈εαis␈α
the␈α
binary␈α
chain
␈βλ∨␈↓ ↓H␈εαfor␈↓ ↓}␈ελn␈↓ α≡␈εαfollo␈α␈w␈α␈ed␈αby␈α
2␈↓ βm␈ελn␈↓ ∧β␈εα;␈αfor␈α
2␈↓ ∧`␈ελn␈↓ ∧|␈εα+␈αε1␈αit␈α
is␈αthe␈α
binary␈αchain␈α
for␈α2␈↓ λ\␈ελn␈↓ λ|␈εαfollo␈α␈w␈α␈ed␈α
by␈α2␈↓ 
K␈ελn␈↓ 
f␈εα+␈αε1.
␈βλJ␈↓ ↓H␈εαFrom␈αthe␈αbinary␈αmethod␈αw␈α␈e␈αconclude␈αthat
␈β	_␈↓ αq␈εe␈↓ βN␈εe␈↓ ¬λ␈εe
␈β	≡␈↓ αI␈ελl␈↓ αS␈εα(␈↓ α←␈εα2␈↓ β⊂␈εα+␈↓ β<␈εα2␈↓ βl␈εα+␈↓ ∧_␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧J␈εα+␈↓ ∧v␈εα2␈↓ ¬≤␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈↓ ¬`␈ελe␈↓ ε∧␈εα+␈↓ ε0␈ελt␈↓ ε=␈εα,␈↓ π∃␈εαif␈↓ π7␈ελe␈↓ π\␈εα>␈↓ λ
␈ελe␈↓ λ0␈εα>␈↓ λ↑␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	∩␈εα>␈↓ 	@␈ελe␈↓ 	a␈ε⊗∃␈εα␈α
0.␈↓ α␈εα(5)
␈β	 ␈↓ α|␈επ0␈↓ βY␈επ1␈↓ ¬∪␈ε
t
␈β	+␈↓ ¬m␈ε¬0␈↓ πD␈ε¬0␈↓ λ↔␈ε¬1␈↓ 	M␈εt
␈β	r␈↓ ↓H␈εαLet␈α⊃us␈α⊃no␈α␈w␈α⊃de|ne␈α⊃t␈α␈w␈α␈o␈α⊃auxiliary␈α⊃functions␈α⊃for␈α⊂con␈α␈v␈α␈enience␈α⊃in␈α⊃our␈α⊃subsequen␈α␈t
␈β
≥␈↓ ↓H␈εαdiscussion:
␈β
d␈↓ αo␈ελ∃␈↓ β∧␈εα(␈↓ β⊂␈ελn␈↓ β&␈εα)␈↓ β<␈εα=␈ε⊗␈α
b␈↓ βx␈εαlg␈↓ ∧~␈ελn␈↓ ∧0␈ε⊗c␈εα;␈↓ α␈εα(6)
␈β≡␈↓ αs␈ελ↔␈↓ β∧␈εα(␈↓ β⊂␈ελn␈↓ β&␈εα)␈↓ β<␈εα=␈↓ βj␈εαn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈α1's␈αin␈αthe␈αbinary␈αrepresen␈α␈tation␈αof␈↓ 	;␈ελn␈↓ 	Q␈εα.␈↓ α␈εα(7)
␈βr␈↓ ↓H␈εαTh␈α␈us␈↓ α%␈ελ∃␈↓ α:␈εα(17)␈α
=␈α∞4,␈↓ β←␈ελ↔␈↓ βp␈εα(17)␈α∞=␈α
2;␈α∂these␈α∞functions␈α∞may␈α∞be␈α∞de|ned␈α∞by␈α∞the␈α∞recurrence
␈β≥␈↓ ↓H␈εαrelations
␈βd␈↓ β␈ελ∃␈↓ β!␈εα(1)␈↓ βU␈εα=␈α
0,␈↓ ∧g␈ελ∃␈↓ ∧|␈εα(2␈↓ ¬~␈ελn␈↓ ¬0␈εα)␈↓ ¬F␈εα=␈↓ ¬t␈ελ∃␈↓ ε	␈εα(2␈↓ ε'␈ελn␈↓ εE␈εα+␈αλ1)␈α
=␈↓ πG␈ελ∃␈↓ π\␈εα(␈↓ πh␈ελn␈↓ π⎇␈εα)␈αλ+␈αλ1;␈↓ α␈εα(8)
␈β
≡␈↓ β⊂␈ελ↔␈↓ β!␈εα(1)␈↓ βU␈εα=␈α
1,␈↓ ∧k␈ελ↔␈↓ ∧|␈εα(2␈↓ ¬~␈ελn␈↓ ¬0␈εα)␈↓ ¬F␈εα=␈↓ ¬t␈ελ↔␈↓ ε¬␈εα(␈↓ ε⊃␈ελn␈↓ ε'␈εα),␈↓ π␈ελ↔␈↓ π≤␈εα(2␈↓ π:␈ελn␈↓ πW␈εα+␈αλ1)␈α
=␈↓ λY␈ελ↔␈↓ λj␈εα(␈↓ λv␈ελn␈↓ 	␈εα)␈αλ+␈αλ1.␈↓ α␈εα(9)
␈β
n␈↓ ↓H␈εαIn␈απterms␈απof␈αλthese␈απfunctions,␈αλthe␈απbinary␈αλaddition␈απchain␈απfor␈↓ λ,␈ελn␈↓ λI␈εαrequires␈↓ 	J␈ελ∃␈↓ 	←␈εα(␈↓ 	k␈ελn␈↓ 
↓␈εα)␈α↓+␈↓ 
4␈ελ↔␈↓ 
E␈εα(␈↓ 
Q␈ελn␈↓ 
g␈εα)␈ε⊗␈αα␈␈εα␈α↓1
␈β∞→␈↓ ↓H␈εαsteps,␈αand␈α(5)␈αbecomes
␈β∞D␈↓ ∧␈␈ελl␈↓ ¬
␈εα(␈↓ ¬⊗␈ελn␈↓ ¬+␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈↓ ¬o␈ελ∃␈↓ ε∧␈εα(␈↓ ε⊂␈ελn␈↓ ε&␈εα)␈αλ+␈↓ εf␈ελ↔␈↓ εw␈εα(␈↓ πβ␈ελn␈↓ π→␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ1.␈↓ 
p␈εα(10)
␈β∂≤␈↓ ↓H␈ε∩Special␈α
classes␈α
of␈αchains.␈εα␈α∃We␈α
may␈αassume␈α
without␈αan␈α␈y␈α
loss␈α
of␈αgenerality␈α
that␈α
an
␈β∂G␈↓ ↓H␈εαaddition␈αchain␈αis␈α\ascending,"
␈β⊂≠␈↓ ∧&␈εα1␈α
=␈↓ ∧p␈ελa␈↓ ¬~␈εα<␈↓ ¬H␈ελa␈↓ ¬q␈εα<␈↓ ε∨␈ελa␈↓ εH␈εα<␈↓ εv␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π*␈εα<␈↓ πX␈ελa␈↓ λ␈εα=␈↓ λ.␈ελn␈↓ λD␈εα.␈↓ 
p␈εα(11)
␈β⊂)␈↓ ¬↓␈ε¬0␈↓ ¬X␈ε¬1␈↓ ε0␈ε¬2␈↓ πi␈εr
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαFor␈α⊂if␈α⊂an␈α␈y␈α⊂t␈α␈w␈α␈o␈↓ βG␈ελa␈↓ βY␈εα's␈α⊂are␈α⊂equal,␈α⊃one␈α⊂of␈α⊃them␈α⊂may␈α⊂be␈α⊂dropped;␈α∩and␈α⊂w␈α␈e␈α⊂can␈α⊂also
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαrearrange␈αthe␈αsequence␈α(1)␈αin␈α␈to␈αascending␈α
order␈αand␈αremo␈α␈v␈α␈e␈αterms␈α>␈↓ 
⊃␈ελn␈↓ 
2␈εαwithout
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.3␈ε∞␈↓ πXEV␈α{AL␈α␈UA␈α⎇T␈α␈ION␈α	OF␈α	PO␈α␈WERS␈↓ 
v␈εα433
␈βα&␈↓ ↓H␈εαdestro␈α␈ying␈αthe␈αaddition␈αchain␈αproperty␈α(2).␈ε∂␈αFrom␈αno␈α␈w␈αon␈αw␈α␈e␈αshall␈αconsider␈αonly
␈βαQ␈↓ ↓H␈ε∂ascending␈αchains␈εα,␈αwithout␈αexplicitly␈αmen␈α␈tioning␈αthis␈αassumption.
␈βα⎇␈↓ α␈εαIt␈α	is␈α	con␈α␈v␈α␈enien␈α␈t␈α	at␈α	this␈α	poin␈α␈t␈α	to␈α	de|ne␈α	a␈α	few␈α	special␈α	terms␈α	relating␈α	to␈α	addition
␈ββ(␈↓ ↓H␈εαchains.␈αBy␈αde|nition␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e,␈αfor␈α1␈ε⊗␈α
∀␈↓ ε.␈ελi␈↓ εF␈ε⊗∀␈↓ εt␈ελr␈↓ πβ␈εα,
␈ββh␈↓ ¬W␈ελa␈↓ ¬}␈εα=␈↓ ε,␈ελa␈↓ εR␈εα+␈↓ ε}␈ελa␈↓ 
p␈εα(12)
␈ββv␈↓ ¬h␈εi␈↓ ε<␈εj␈↓ π∞␈εk
␈β∧(␈↓ ↓H␈εαfor␈αsome␈↓ αY␈ελj␈↓ αu␈εαand␈↓ β;␈ελk␈↓ βM␈εα,␈α0␈ε⊗␈α
∀␈↓ ∧-␈ελk␈↓ ∧I␈ε⊗∀␈↓ ∧w␈ελj␈↓ ¬⊃␈εα<␈↓ ¬?␈ελi␈↓ ¬M␈εα.␈αLet␈αus␈αsay␈αthat␈αstep␈↓ λ,␈ελi␈↓ λE␈εαof␈α(11)␈αis␈αa␈ε∂␈αdoubling␈εα,␈αif
␈β∧T␈↓ ↓H␈ελj␈↓ ↓b␈εα=␈↓ α⊂␈ελk␈↓ α,␈εα=␈↓ αZ␈ελi␈↓ αk␈ε⊗␈␈εα␈α∧1;␈α
then␈↓ ∧π␈ελa␈↓ ∧,␈εαhas␈α	the␈α	maxim␈α␈um␈α	possible␈αλvalue␈α	2␈↓ λ;␈ελa␈↓ 	␈εαthat␈α	can␈α	follo␈α␈w␈αλthe
␈β∧a␈↓ ∧_␈εi␈↓ λL␈εi␈↓ λW␈ε→␈␈ε¬1
␈β∧␈␈↓ ↓H␈εαascending␈αλchain␈α	1,␈↓ βk␈ελa␈↓ ∧
␈εα,␈↓ ∧≥␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧M␈εα,␈↓ ∧a␈ελa␈↓ ¬(␈εα.␈αIf␈↓ ¬↑␈ελj␈↓ ¬w␈εα(but␈α	not␈αλnecessarily␈↓ λ/␈ελk␈↓ λA␈εα)␈α	equals␈↓ 	>␈ελi␈↓ 	P␈ε⊗␈␈εα␈α∧1,␈α	let␈α	us␈αλsay
␈β¬␈↓ β{␈ε¬1␈↓ ∧q␈εi␈↓ ∧⎇␈ε→␈␈ε¬1
␈β¬*␈↓ ↓H␈εαthat␈α	step␈↓ α\␈ελi␈↓ αs␈εαis␈α	a␈ε∂␈α
star␈α	step.␈εα␈αThe␈α	importance␈α	of␈α
star␈α	steps␈α	is␈α	explained␈α	belo␈α␈w.␈αFinally
␈β¬U␈↓ ↓H␈εαlet␈α	us␈α	say␈α
that␈α	step␈↓ βw␈ελi␈↓ ∧∞␈εαis␈α	a␈ε∂␈α
small␈α	step␈εα␈α
if␈↓ ε∂␈ελ∃␈↓ ε$␈εα(␈↓ ε0␈ελa␈↓ εL␈εα)␈α
=␈↓ π⊂␈ελ∃␈↓ π%␈εα(␈↓ π1␈ελa␈↓ πy␈εα).␈αSince␈↓ λu␈ελa␈↓ 	G␈εα<␈↓ 	u␈ελa␈↓ 
≠␈ε⊗∀␈εα␈α
2␈↓ 
[␈ελa␈↓ "␈εα,
␈β¬c␈↓ εA␈εi␈↓ πB␈εi␈↓ πM␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 	ε␈εi␈↓ 	⊃␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 
¬␈εi␈↓ 
l␈εi␈↓ 
w␈ε→␈␈ε¬1
␈βε␈↓ ↓H␈εαthe␈α∂quan␈α␈tity␈↓ β≥␈ελ∃␈↓ β2␈εα(␈↓ β>␈ελa␈↓ βZ␈εα)␈α∂is␈α∂always␈α∂equal␈α∂to␈α∂either␈↓ π∂␈ελ∃␈↓ π$␈εα(␈↓ π0␈ελa␈↓ πw␈εα)␈α∂or␈↓ λA␈ελ∃␈↓ λV␈εα(␈↓ λb␈ελa␈↓ 	*␈εα)␈α
+␈α
1;␈α⊂it␈α∂follo␈α␈ws
␈βε∞␈↓ βO␈εi␈↓ π@␈εi␈↓ πL␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λs␈εi␈↓ λ}␈ε→␈␈ε¬1
␈βε,␈↓ ↓H␈εαthat,␈αλin␈αλan␈α␈y␈αλchain␈αλ(11),␈ε∂␈α	the␈απlength␈↓ ¬Q␈ελr␈↓ ¬i␈ε∂is␈αλequal␈αλto␈↓ π␈ελ∃␈↓ π ␈εα(␈↓ π,␈ελn␈↓ πA␈εα)␈ε∂␈αλplus␈αλthe␈αλn␈α␈um␈α␈ber␈αλof␈αλsmall␈απsteps.
␈βεW␈↓ α␈εαSev␈α␈eral␈α⊂elemen␈α␈tary␈α∂relations␈α⊂hold␈α⊂bet␈α␈w␈α␈een␈α⊂these␈α∂types␈α⊂of␈α⊂steps:␈α∪Step␈α⊂1␈α∂is
␈βπα␈↓ ↓H␈εαalways␈αa␈α
doubling.␈α∂A␈α
doubling␈α
obviously␈αis␈α
a␈α
star␈α
step,␈α
but␈α
nev␈α␈er␈α
a␈α
small␈αstep.
␈βπ-␈↓ ↓H␈εαA␈αdoubling␈αm␈α␈ust␈αbe␈αfollo␈α␈w␈α␈ed␈αby␈αa␈αstar␈αstep.␈αFurthermore␈αif␈αstep␈↓ 	A␈ελi␈↓ 	Z␈εαis␈ε∂␈αnot␈εα␈αa␈αsmall
␈βπX␈↓ ↓H␈εαstep,␈α
then␈α
step␈↓ β?␈ελi␈↓ βV␈εα+␈αλ1␈α
is␈α
either␈α
a␈α
small␈α
step␈α
or␈α
a␈α∞star␈α
step,␈α
or␈α
both;␈α
putting␈α
this
␈βλ∧␈↓ ↓H␈εαanother␈αway,␈αif␈αstep␈↓ ∧⊂␈ελi␈↓ ∧&␈εα+␈αλ1␈αis␈αneither␈αsmall␈αnor␈αstar,␈αstep␈↓ λJ␈ελi␈↓ λc␈εαm␈α␈ust␈αbe␈αsmall.
␈βλ/␈↓ α␈εαA␈ε∂␈α
star␈αchain␈εα␈α
is␈αan␈α
addition␈αchain␈αthat␈α
in␈α␈v␈α␈olv␈α␈es␈αonly␈α
star␈αsteps.␈α∞This␈αmeans
␈βλZ␈↓ ↓H␈εαthat␈αeach␈α
term␈↓ β@␈ελa␈↓ βi␈εαis␈α
the␈αsum␈α
of␈↓ ¬D␈ελa␈↓ ε_␈εαand␈α
a␈α
previous␈↓ λ∞␈ελa␈↓ λ.␈εα;␈α
the␈α
simple␈α\computer"
␈βλg␈↓ βQ␈εi␈↓ ¬U␈εi␈↓ ¬`␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λ∨␈εk
␈β	¬␈↓ ↓H␈εαdiscussed␈αabo␈α␈v␈α␈e␈αafter␈αEq.␈α(2)␈αmak␈α␈es␈αuse␈αonly␈αof␈αthe␈αt␈α␈w␈α␈o␈αoperations␈↓ 	`␈ε∃ST␈α␈A␈↓ 
)␈εαand␈↓ 
n␈ε∃ADD
␈β	0␈↓ ↓H␈εα(not␈↓ α∀␈ε∃LDA␈↓ αS␈εα)␈αin␈α
a␈α
star␈α
chain,␈α
since␈α
each␈α
new␈αterm␈α
of␈α
the␈α
sequence␈α
utilizes␈α
the␈αpre-
␈β	\␈↓ ↓H␈εαceding␈αresult␈αin␈αthe␈αaccum␈α␈ulator.␈αMost␈αof␈αthe␈αaddition␈αchains␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αdiscussed
␈β
π␈↓ ↓H␈εαso␈αfar␈α
are␈α
star␈α
chains.␈α∞The␈α
minim␈α␈um␈α
length␈αof␈α
a␈α
star␈α
chain␈α
for␈↓ 	4␈ελn␈↓ 	W␈εαis␈α
denoted␈αby
␈β
-␈↓ ↓R␈ε¬*
␈β
2␈↓ ↓H␈ελl␈↓ ↓`␈εα(␈↓ ↓l␈ελn␈↓ αα␈εα);␈αclearly
␈β
W␈↓ εT␈ε¬*
␈β
]␈↓ ¬Z␈ελl␈↓ ¬d␈εα(␈↓ ¬p␈ελn␈↓ εε␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈↓ εJ␈ελl␈↓ εb␈εα(␈↓ εn␈ελn␈↓ π∧␈εα).␈↓ 
p␈εα(13)
␈β_␈↓ ↓H␈εαWe␈α
are␈α∞no␈α␈w␈α
ready␈α∞to␈α
deriv␈α␈e␈α∞some␈α∞non␈α␈trivial␈α
facts␈α∞about␈α
addition␈α∞chains.␈α⊂First
␈βC␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αcan␈αsho␈α␈w␈αthat␈αthere␈αm␈α␈ust␈αbe␈αfairly␈αman␈α␈y␈αdoublings␈αif␈↓ λR␈ελr␈↓ λm␈εαis␈αnot␈αfar␈αfrom␈↓ 
←␈ελ∃␈↓ 
t␈εα(␈↓ ␈ελn␈↓ ⊗␈εα):
␈βz␈↓ ↓H␈ε∩Theorem␈α⊂A.␈ε∂␈α If␈α⊃the␈α⊂addition␈α⊂chain␈εα␈α⊂(11)␈ε∂␈α⊂includes␈↓ πc␈ελd␈↓ λλ␈ε∂doublings␈α⊂and␈↓ 	x␈ελf␈↓ 
~␈εα=␈↓ 
O␈ελr␈↓ 
j␈ε⊗␈␈↓ _␈ελd
␈β%␈↓ ↓H␈ε∂nondoublings,␈αthen
␈βJ␈↓ ε!␈εd␈↓ ε1␈ε→␈␈ε¬1
␈βP␈↓ ¬A␈ελn␈↓ ¬a␈ε⊗∀␈↓ ε∂␈εα2␈↓ ε\␈ελF␈↓ π)␈εα.␈↓ 
p␈εα(14)
␈β↑␈↓ εp␈εf␈↓ ε}␈ε¬+3
␈β
␈↓ ↓H␈ε∂Proof.␈εα␈α!By␈α⊂induction␈α⊃on␈↓ ∧↑␈ελr␈↓ ¬␈εα=␈↓ ¬5␈ελd␈↓ ¬T␈εα+␈↓ εβ␈ελf␈↓ ε∀␈εα,␈α∩w␈α␈e␈α⊃see␈α⊂that␈α⊃(14)␈α⊂is␈α⊂certainly␈α⊃true␈α⊂when
␈β
3␈↓ 
S␈ε¬1
␈β
6␈↓ ↓H␈ελr␈↓ ↓d␈εα=␈α
1.␈α∩When␈↓ β,␈ελr␈↓ βI␈εα>␈α
1,␈α∞there␈α∞are␈α∞three␈α
cases:␈α⊂If␈α∞step␈↓ πx␈ελr␈↓ λ⊗␈εαis␈α∞a␈α
doubling,␈α∂then␈↓ 
f␈ελn␈↓ λ␈εα=
␈β
F␈↓ 
S␈∧
F
Sα∂
␈β
I␈↓ 
S␈ε¬2
␈β
\␈↓ αa␈εd␈↓ αq␈ε→␈␈ε¬2
␈β
a␈↓ ↓H␈ελa␈↓ α≡␈ε⊗∀␈↓ αO␈εα2␈↓ β≤␈ελF␈↓ βi␈εα;␈α∂hence␈α∞(14)␈α∞follo␈α␈ws.␈α⊃If␈α∞steps␈↓ π:␈ελr␈↓ πW␈εαand␈↓ λ∨␈ελr␈↓ λ8␈ε⊗␈␈εα␈α	1␈α∞are␈α∞both␈α
nondoub-
␈β
o␈↓ ↓X␈εr␈↓ ↓f␈ε→␈␈ε¬1␈↓ β0␈εf␈↓ β>␈ε¬+3
␈β∞π␈↓ ∧⊃␈εd␈↓ ∧"␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ π¬␈εd␈↓ π⊗␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈β∞
␈↓ ↓H␈εαlings,␈α
then␈↓ αz␈ελa␈↓ βO␈ε⊗∀␈↓ β␈␈εα2␈↓ ∧M␈ελF␈↓ ¬'␈εαand␈↓ ¬n␈ελa␈↓ εD␈ε⊗∀␈↓ εs␈εα2␈↓ πA␈ελF␈↓ λ∞␈εα;␈α∞hence␈↓ 	␈ελn␈↓ 	,␈εα=␈↓ 	\␈ελa␈↓ 
ε␈ε⊗∀␈↓ 
6␈ελa␈↓ λ␈εα+
␈β∞~␈↓ β␈εr␈↓ β_␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ∧a␈εf␈↓ ∧o␈ε¬+2␈↓ ¬␈␈εr␈↓ ε␈ε→␈␈ε¬2␈↓ πU␈εf␈↓ πc␈ε¬+1␈↓ 	m␈εr␈↓ 
G␈εr␈↓ 
T␈ε→␈␈ε¬1
␈β∞3␈↓ αj␈εd␈↓ αz␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ¬k␈εd␈↓ ¬{␈ε→␈␈ε¬1
␈β∞8␈↓ ↓H␈ελa␈↓ α"␈ε⊗∀␈↓ αX␈εα2␈↓ β%␈εα(␈↓ β1␈ελF␈↓ ∧
␈εα+␈↓ ∧9␈ελF␈↓ ¬ε␈εα)␈α⊃=␈↓ ¬Y␈εα2␈↓ ε&␈ελF␈↓ π∧␈εαby␈α⊂the␈α⊃de|nition␈α⊂of␈α⊃the␈α⊂Fibonacci
␈β∞E␈↓ ↓X␈εr␈↓ ↓f␈ε→␈␈ε¬2␈↓ βE␈εf␈↓ βS␈ε¬+2␈↓ ∧M␈εf␈↓ ∧[␈ε¬+␈α␈1␈↓ ε:␈εf␈↓ εH␈ε¬+3
␈β∞c␈↓ ↓H␈εαsequence.␈α∂Finally,␈α
if␈α
step␈↓ ∧`␈ελr␈↓ ∧|␈εαis␈α
a␈α
nondoubling␈α
but␈α
step␈↓ λ∨␈ελr␈↓ λ8␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈α
is␈α
a␈α
doubling,␈α
then
␈β∂	␈↓ α[␈εd␈↓ αk␈ε→␈␈ε¬2
␈β∂∞␈↓ ↓H␈ελa␈↓ α≠␈ε⊗∀␈↓ αI␈εα2␈↓ β⊗␈ελF␈↓ βn␈εαand␈↓ ∧2␈ελn␈↓ ∧Q␈εα=␈↓ ∧␈␈ελa␈↓ ¬(␈ε⊗∀␈↓ ¬V␈ελa␈↓ ε$␈εα+␈↓ εN␈ελa␈↓ π!␈εα=␈α
3␈↓ πa␈ελa␈↓ λ+␈εα.␈αNo␈α␈w␈α
2␈↓ 	#␈ελF␈↓ 	v␈ε⊗␈␈εα␈α¬3␈↓ 
1␈ελF␈↓ λ␈εα=
␈β∂≤␈↓ ↓X␈εr␈↓ ↓f␈ε→␈␈ε¬2␈↓ β*␈εf␈↓ β8␈ε¬+2␈↓ ¬⊂␈εr␈↓ ¬f␈εr␈↓ ¬t␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ ε←␈εr␈↓ εl␈ε→␈␈ε¬2␈↓ πr␈εr␈↓ π␈␈ε→␈␈ε¬2␈↓ 	7␈εf␈↓ 	E␈ε¬+3␈↓ 
E␈εf␈↓ 
S␈ε¬+2
␈β∂4␈↓ ¬∞␈εd␈↓ ¬∨␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈β∂9␈↓ ↓H␈ελF␈↓ α≥␈ε⊗␈␈↓ αI␈ελF␈↓ αu␈ε⊗∃␈εα␈α
0;␈αhence␈↓ ∧/␈ελn␈↓ ∧N␈ε⊗∀␈↓ ∧|␈εα2␈↓ ¬J␈ελF␈↓ ε#␈εαin␈αall␈αcases.
␈β∂>␈↓ π␈␈∧∂>π␈≠∂
␈β∂G␈↓ ↓\␈εf␈↓ ↓j␈ε¬+␈α␈1␈↓ α]␈εf␈↓ ¬↑␈εf␈↓ ¬l␈ε¬+3
␈β∂p␈↓ α␈εαThe␈απmethod␈απof␈απproof␈απw␈α␈e␈αεhav␈α␈e␈απused␈απsho␈α␈ws␈απthat␈απinequality␈απ(14)␈απis␈απ\best␈αεpossible"
␈β⊂≠␈↓ ↓H␈εαunder␈αthe␈αstated␈αassumptions;␈αfor␈αthe␈αaddition␈αchain
␈β⊂V␈↓ ∧r␈εd␈↓ ¬α␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ¬P␈εd␈↓ ¬`␈ε→␈␈ε¬1␈↓ εO␈εd␈↓ ε`␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ λ∂␈εd␈↓ λ∨␈ε→␈␈ε¬1
␈β⊂\␈↓ β\␈εα1,␈αε2,␈↓ ∧ ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧P␈εα,␈↓ ∧`␈εα2␈↓ ¬.␈εα,␈↓ ¬>␈εα2␈↓ ε␈ελF␈↓ ε-␈εα,␈↓ ε=␈εα2␈↓ π␈ελF␈↓ π-␈εα,␈↓ π=␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πm␈εα,␈↓ π⎇␈εα2␈↓ λK␈ελF␈↓ 
p␈εα(15)
␈β⊂i␈↓ ε∨␈ε¬3␈↓ π∨␈ε¬4␈↓ λ←␈εf␈↓ λm␈ε¬+␈α␈3
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαhas␈↓ αλ␈ελd␈↓ α(␈εαdoublings␈αand␈↓ ∧⊂␈ελf␈↓ ∧-␈εαnondoublings.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα434␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.3
␈βα&␈↓ ↓H␈ε∩Corollary.␈ε∂␈α_If␈αthe␈αaddition␈αchain␈εα␈α(11)␈ε∂␈αincludes␈↓ π∨␈ελf␈↓ π;␈ε∂nondoublings␈αand␈↓ 	\␈ελs␈↓ 	w␈ε∂small␈αsteps,
␈βαQ␈↓ ↓H␈ε∂then
␈βα⎇␈↓ ¬<␈ελs␈↓ ¬U␈ε⊗∀␈↓ εβ␈ελf␈↓ ε∨␈ε⊗∀␈εα␈α
3.271␈↓ π∨␈ελs␈↓ π.␈εα.␈↓ 
p␈εα(16)
␈ββ8␈↓ εS␈ε∃␈↓ εd␈ε¬(␈↓ εn␈εn␈↓ π␈ε¬)␈↓ λS␈εd␈↓ λc␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ 
>␈εd␈↓ 
d␈εf
␈ββ=␈↓ ↓H␈ε∂Proof.␈εα␈α&Obviously␈↓ ∧␈ελs␈↓ ∧%␈ε⊗∀␈↓ ∧←␈ελf␈↓ ∧q␈εα.␈α"We␈α∪hav␈α␈e␈↓ εA␈εα2␈↓ π ␈ε⊗∀␈↓ πZ␈ελn␈↓ λε␈ε⊗∀␈↓ λA␈εα2␈↓ 	∞␈ελF␈↓ 	q␈ε⊗∀␈↓ 
,␈εα2␈↓ 
N␈ελ≡␈↓ λ␈εα=
␈ββK␈↓ 	"␈εf␈↓ 	0␈ε¬+3
␈ββc␈↓ ↓Z␈ε∃␈↓ ↓k␈ε¬(␈↓ ↓u␈εn␈↓ απ␈ε¬)␈α␈+␈↓ α-␈εs␈↓ β
␈εt␈↓ λi␈εf
␈ββh␈↓ ↓H␈εα2␈↓ α:␈εα(␈↓ αF␈ελ≡␈↓ αZ␈εα/2␈↓ α}␈εα)␈↓ β∀␈εα,␈αsince␈↓ β␈␈ελd␈↓ ∧→␈εα+␈↓ ∧C␈ελf␈↓ ∧↑␈εα=␈↓ ¬␈ελ∃␈↓ ¬!␈εα(␈↓ ¬-␈ελn␈↓ ¬C␈εα)␈α¬+␈↓ ¬}␈ελs␈↓ ε
␈εα,␈αand␈α
since␈↓ π<␈ελF␈↓ λ∪␈ε⊗∀␈εα␈α
2␈↓ λS␈ελ≡␈↓ 	α␈εαwhen␈↓ 	↑␈ελf␈↓ 	y␈ε⊗∃␈εα␈α
0.␈αHence
␈ββv␈↓ πP␈εf␈↓ π↑␈ε¬+3
␈β∧∀␈↓ ↓H␈εα0␈ε⊗␈α
∀␈↓ α∩␈ελs␈↓ α'␈εαln␈↓ αK␈εα2␈αλ+␈↓ β⊃␈ελf␈↓ β(␈εαln␈↓ βF␈εα(␈↓ βR␈ελ≡␈↓ βf␈εα/2),␈αand␈α(16)␈αfollo␈α␈ws␈αfrom␈αthe␈αfact␈αthat
␈β∧a␈↓ ∧l␈εαln␈↓ ¬⊂␈εα2/␈↓ ¬:␈εαln␈↓ ¬X␈εα(2/␈↓ ελ␈ελ≡␈↓ ε≤␈εα)␈ε⊗␈α
→␈εα␈α
3.2706.
␈β∧f␈↓ πv␈∧∧fπv≠∂
␈β¬;␈↓ 
O␈εi
␈β¬@␈↓ ↓H␈ε∩Values␈α
of␈↓ αh␈ελl␈↓ αi␈ελl␈↓ αr␈εα(␈↓ αs␈εα(␈↓ α}␈ελn␈↓ α␈␈ελn␈↓ β∀␈εα)␈↓ β∃␈εα)␈ε∩␈α
for␈α∞special␈↓ ∧]␈ελn␈↓ ∧↑␈ελn␈↓ ∧t␈ε∩.␈εα␈α≠It␈α
is␈α∞easy␈α
to␈α
sho␈α␈w␈α∞by␈α
induction␈α
that␈↓ 	e␈ελa␈↓ 

␈ε⊗∀␈↓ 
=␈εα2␈↓ 
[␈εα,␈α
and
␈β¬N␈↓ 	u␈εi
␈β¬k␈↓ ↓H␈εαtherefore␈↓ α`␈εαlg␈↓ βα␈ελn␈↓ β!␈ε⊗∀␈↓ βO␈ελr␈↓ βk␈εαin␈αan␈α␈y␈αaddition␈αchain␈α(11).␈αHence
␈βε9␈↓ ¬S␈ελl␈↓ ¬]␈εα(␈↓ ¬i␈ελn␈↓ ¬␈␈εα)␈ε⊗␈α
∃␈α
d␈↓ εQ␈εαlg␈↓ εs␈ελn␈↓ π	␈ε⊗e␈εα.␈↓ 
p␈εα(17)
␈βππ␈↓ ↓H␈εαThis␈απlo␈α␈w␈α␈er␈απbound,␈αλtogether␈απwith␈απthe␈απupper␈απbound␈απ(10)␈απgiv␈α␈en␈αεby␈απthe␈απbinary␈απmethod,
␈βπ2␈↓ ↓H␈εαgiv␈α␈es␈αus␈αthe␈αvalues
␈βπx␈↓ ¬␈εA
␈βπ}␈↓ ∧n␈εα(␈↓ ∧z␈εα2␈↓ ¬ ␈εα)␈↓ ¬6␈εα=␈↓ ¬d␈ελA␈↓ ¬|␈εα;␈↓ 
p␈εα(18)
␈βλ2␈↓ ∧2␈εA␈↓ ¬␈εB
␈βλ8␈↓ ∧
␈ελl␈↓ ∧∀␈εα(␈↓ ∧ ␈εα2␈↓ ∧N␈εα+␈↓ ∧z␈εα2␈↓ ¬ ␈εα)␈↓ ¬6␈εα=␈↓ ¬d␈ελA␈↓ ε∧␈εα+␈αλ1,␈↓ π~␈εαif␈↓ π<␈ελA␈↓ π↑␈εα>␈↓ λ␈ελB␈↓ λ$␈εα.␈↓ 
p␈εα(19)
␈β	¬␈↓ ↓H␈εαIn␈αλother␈α	w␈α␈ords,␈α	the␈α	binary␈αλmethod␈α	is␈α	optim␈α␈um␈αλwhen␈↓ πr␈ελ↔␈↓ λβ␈εα(␈↓ λ∂␈ελn␈↓ λ$␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈εα␈α
2.␈αWith␈α	some␈αλfurther
␈β	1␈↓ ↓H␈εαcalculation␈αw␈α␈e␈αcan␈αextend␈αthese␈αform␈α␈ulas␈αto␈αthe␈αcase␈↓ λ⊂␈ελ↔␈↓ λ!␈εα(␈↓ λ-␈ελn␈↓ λB␈εα)␈α
=␈α
3:
␈β	n␈↓ ↓H␈ε∩Theorem␈αB.
␈β
∪␈↓ βw␈εA␈↓ ∧Q␈εB␈↓ ¬*␈εC
␈β
→␈↓ βO␈ελl␈↓ βY␈εα(␈↓ βe␈εα2␈↓ ∧∪␈εα+␈↓ ∧?␈εα2␈↓ ∧l␈εα+␈↓ ¬_␈εα2␈↓ ¬B␈εα)␈α
=␈↓ εε␈ελA␈↓ ε&␈εα+␈αλ2,␈↓ π<␈εαif␈↓ π↑␈ελA␈↓ λ␈εα>␈↓ λ.␈ελB␈↓ λP␈εα>␈↓ λ}␈ελC␈↓ 	≠␈εα.␈↓ 
p␈εα(20)
␈β
Y␈↓ ↓H␈ε∂Proof.␈εα␈α≥We␈α∂can,␈α∂in␈α∞fact,␈α∂pro␈α␈v␈α␈e␈α∞a␈α∂stronger␈α∞result␈α∂that␈α∞will␈α∞be␈α∂of␈α∞use␈α∂to␈α∞us␈α∞later
␈β∧␈↓ ↓H␈εαin␈α
this␈αsection:␈ε∂␈α∞All␈α
addition␈α
chains␈α
with␈α
exactly␈α
one␈α
small␈α
step␈α
hav␈α␈e␈α
one␈α
of␈αthe
␈β0␈↓ ↓H␈ε∂follo␈α␈wing␈αsix␈αtypes␈εα␈α→(where␈αall␈αsteps␈αindicated␈αby␈α\␈↓ πh␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ∩␈εα"␈αrepresen␈α␈t␈αdoublings):
␈βd␈↓ ∧∨␈εA␈↓ ∧[␈εA␈↓ ¬5␈εB␈↓ ε7␈εA␈↓ εK␈ε¬+␈↓ εh␈εC␈↓ πE␈εB␈↓ πY␈ε¬+␈↓ πv␈εC
␈βi␈↓ α␈ε∩Type␈α1.␈εα␈α→1,␈↓ βG␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βw␈εα,␈↓ ∧
␈εα2␈↓ ∧3␈εα,␈↓ ∧I␈εα2␈↓ ∧w␈εα+␈↓ ¬#␈εα2␈↓ ¬I␈εα,␈↓ ¬←␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε∂␈εα,␈↓ ε%␈εα2␈↓ ππ␈εα+␈↓ π3␈εα2␈↓ λ
␈εα;␈↓ λ#␈ελA␈↓ λE␈εα>␈↓ λs␈ελB␈↓ 	∃␈ε⊗∃␈εα␈α
0,␈↓ 	k␈ελC␈↓ 
∪␈ε⊗∃␈εα␈α
0.
␈β∃␈↓ ∧⊗␈εA␈↓ ∧Q␈εA␈↓ ¬&␈εB␈↓ ¬`␈εA␈↓ ¬t␈ε¬+1␈↓ ε`␈εB␈↓ π←␈εA␈↓ πs␈ε¬+␈↓ λ⊂␈εC␈↓ λ'␈ε¬+1␈↓ 	∪␈εB␈↓ 	'␈ε¬+␈↓ 	D␈εC
␈β~␈↓ α␈ε∩Type␈α
2.␈εα␈α∃1,␈↓ β@␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βp␈εα,␈↓ ∧∧␈εα2␈↓ ∧*␈εα,␈↓ ∧?␈εα2␈↓ ∧j␈εα+␈↓ ¬∀␈εα2␈↓ ¬9␈εα,␈↓ ¬N␈εα2␈↓ ε%␈εα+␈↓ εN␈εα2␈↓ εt␈εα,␈↓ πλ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π8␈εα,␈↓ πM␈εα2␈↓ λX␈εα+␈↓ 	↓␈εα2␈↓ 	[␈εα;␈↓ 	p␈ελA␈↓ 
∩␈εα>␈↓ 
@␈ελB␈↓ 
b␈ε⊗∃␈εα␈α
0,
␈βE␈↓ αX␈ελC␈↓ α␈␈ε⊗∃␈εα␈α
0.
␈βp␈↓ ∧ε␈εA␈↓ ∧=␈εA␈↓ ¬
␈εA␈↓ ¬≡␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ¬m␈εA␈↓ ε↓␈ε¬+1␈↓ εd␈εA␈↓ εx␈ε→␈␈ε¬1␈↓ πG␈εA␈↓ π[␈ε¬+2␈↓ λl␈εA␈↓ 	␈ε¬+␈↓ 	≥␈εC
␈βu␈↓ α␈ε∩Type␈απ3.␈εα␈α
1,␈↓ β2␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βb␈εα,␈↓ βt␈εα2␈↓ ∧~␈εα,␈↓ ∧+␈εα2␈↓ ∧S␈εα+␈↓ ∧x␈εα2␈↓ ¬I␈εα,␈↓ ¬[␈εα2␈↓ ε-␈εα+␈↓ εR␈εα2␈↓ π#␈εα,␈↓ π5␈εα2␈↓ λπ␈εα,␈↓ λ_␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λH␈εα,␈↓ λZ␈εα2␈↓ 	5␈εα;␈↓ 	G␈ελA␈↓ 	i␈εα>␈α
0,␈↓ 
;␈ελC␈↓ 
b␈ε⊗∃␈εα␈α
2.
␈β
!␈↓ ∧∪␈εA␈↓ ∧M␈εA␈↓ ¬!␈εA␈↓ ¬5␈ε→␈␈ε¬1␈↓ εε␈εA␈↓ ε~␈ε¬+1␈↓ π¬␈εA␈↓ π?␈εA␈↓ πS␈ε¬+2␈↓ λh␈εA␈↓ λ|␈ε¬+␈↓ 	→␈εC
␈β
&␈↓ α␈ε∩Type␈α
4.␈εα␈α∪1,␈↓ β=␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βm␈εα,␈↓ ∧↓␈εα2␈↓ ∧'␈εα,␈↓ ∧;␈εα2␈↓ ∧f␈εα+␈↓ ¬∂␈εα2␈↓ ¬`␈εα,␈↓ ¬t␈εα2␈↓ εJ␈εα+␈↓ εs␈εα2␈↓ π→␈εα,␈↓ π-␈εα2␈↓ π}␈εα,␈↓ λ∩␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λB␈εα,␈↓ λV␈εα2␈↓ 	1␈εα;␈↓ 	E␈ελA␈↓ 	g␈εα>␈α
0,␈↓ 
;␈ελC␈↓ 
b␈ε⊗∃␈εα␈α
2.
␈β
R␈↓ ∧_␈εA␈↓ ∧S␈εA␈↓ ¬)␈εA␈↓ ¬=␈ε→␈␈ε¬1␈↓ εT␈εA␈↓ εh␈ε¬+␈↓ π¬␈εC␈↓ π←␈εA␈↓ πs␈ε¬+␈↓ λ∂␈εC␈↓ λ'␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λy␈εA␈↓ 	
␈ε¬+␈↓ 	*␈εC␈↓ 	A␈ε¬+1␈↓ 
/␈εA␈↓ 
C␈ε¬+␈↓ 
`␈εC␈↓ 
w␈ε→␈␈ε¬2
␈β
W␈↓ α␈ε∩Type␈α5.␈εα␈α∃1,␈↓ βA␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βq␈εα,␈↓ ∧ε␈εα2␈↓ ∧,␈εα,␈↓ ∧A␈εα2␈↓ ∧m␈εα+␈↓ ¬↔␈εα2␈↓ ¬h␈εα,␈↓ ¬⎇␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε-␈εα,␈↓ εB␈εα2␈↓ π#␈εα+␈↓ πM␈εα2␈↓ λR␈εα,␈↓ λg␈εα2␈↓ 	s␈εα+␈↓ 
≥␈εα2␈↓ "␈εα,
␈β
⎇␈↓ β0␈εA␈↓ βD␈ε¬+␈↓ β`␈εC␈↓ βx␈ε¬+␈↓ ∧∃␈εD␈↓ ∧+␈ε¬+1␈↓ ¬≤␈εA␈↓ ¬0␈ε¬+␈↓ ¬M␈εC␈↓ ¬e␈ε¬+␈↓ ε↓␈εD␈↓ ε_␈ε→␈␈ε¬␈α␈2
␈β∞α␈↓ αX␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βλ␈εα,␈↓ β≡␈εα2␈↓ ∧↑␈εα+␈↓ ¬
␈εα2␈↓ εC␈εα;␈↓ εY␈ελA␈↓ ε{␈εα>␈α
0,␈↓ πQ␈ελC␈↓ πx␈εα>␈α
0,␈↓ λN␈ελD␈↓ λs␈ε⊗∃␈εα␈α
0.
␈β∞-␈↓ ∧∨␈εA␈↓ ∧[␈εA␈↓ ¬5␈εB␈↓ ¬q␈εA␈↓ ε¬␈ε¬+1␈↓ π≡␈εA␈↓ π2␈ε¬+␈↓ πO␈εC
␈β∞2␈↓ α␈ε∩Type␈α6.␈εα␈α→1,␈↓ βG␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βw␈εα,␈↓ ∧
␈εα2␈↓ ∧3␈εα,␈↓ ∧I␈εα2␈↓ ∧w␈εα+␈↓ ¬#␈εα2␈↓ ¬I␈εα,␈↓ ¬←␈εα2␈↓ ε0␈εα,␈↓ εF␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εv␈εα,␈↓ π␈εα2␈↓ πf␈εα;␈↓ π|␈ελA␈↓ λ≡␈εα>␈↓ λL␈ελB␈↓ λo␈ε⊗∃␈εα␈α
0,␈↓ 	E␈ελC␈↓ 	l␈ε⊗∃␈εα␈α
1.
␈β∞l␈↓ α␈εαA␈α∞straigh␈α␈tforward␈α∂hand␈α∞calculation␈α∞sho␈α␈ws␈α∞that␈α∞these␈α∂six␈α∞types␈α∞exhaust␈α∞all
␈β∂↔␈↓ ↓H␈εαpossibilities.␈α∃(Note␈α
that,␈αby␈αthe␈α
corollary␈α
to␈αTheorem␈α
A␈↓ λ2␈εα,␈αthere␈α
are␈αat␈α
most␈α
three
␈β∂B␈↓ ↓H␈εαnondoublings␈α∞when␈α∞there␈α∞is␈α∞one␈α∞small␈α∞step;␈α∂this␈α∞maxim␈α␈um␈α∞of␈α∞three␈α∞is␈α∞attained
␈β∂m␈↓ ↓H␈εαonly␈α
in␈αsequences␈αof␈αtype␈α3.␈αAll␈αof␈αthe␈αabo␈α␈v␈α␈e␈α
are␈αstar␈αchains,␈αex␈α␈cept␈αtype␈α6␈α
when
␈β⊂→␈↓ ↓H␈ελB␈↓ ↓j␈εα<␈↓ α_␈ελA␈↓ α8␈ε⊗␈␈εα␈αλ1.)
␈β⊂?␈↓ λS␈εA␈↓ 	#␈εB␈↓ 	s␈εC
␈β⊂D␈↓ α␈εαThe␈αλtheorem␈α	no␈α␈w␈αλfollo␈α␈ws␈αλfrom␈α	the␈αλobservation␈αλthat␈↓ λ+␈ελl␈↓ λ5␈εα(␈↓ λA␈εα2␈↓ λj␈εα+␈↓ 	⊃␈εα2␈↓ 	:␈εα+␈↓ 	a␈εα2␈↓ 

␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈↓ 
N␈ελA␈↓ 
i␈εα+␈αβ2;
␈β⊂j␈↓ α6␈εA␈↓ β⊂␈εB␈↓ βi␈εC
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαand␈↓ α∞␈ελl␈↓ α_␈εα(␈↓ α$␈εα2␈↓ αR␈εα+␈↓ α}␈εα2␈↓ β+␈εα+␈↓ βW␈εα2␈↓ ∧↓␈εα)␈αm␈α␈ust␈αbe␈αgreater␈αthan␈↓ εp␈ελA␈↓ π⊂␈εα+␈αλ1,␈αsince␈αnone␈αof␈αthe␈αsix␈αpossible
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαtypes␈αhav␈α␈e␈↓ α⎇␈ελ↔␈↓ β∞␈εα(␈↓ β~␈ελn␈↓ β/␈εα)␈α
>␈α
2.
␈β⊃∨␈↓ ∧7␈∧⊃∨∧7≠∂
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.3␈ε∞␈↓ πXEV␈α{AL␈α␈UA␈α⎇T␈α␈ION␈α	OF␈α	PO␈α␈WERS␈↓ 
v␈εα435
␈βαβ␈↓ α␈ε↓␈
␈βα#␈↓ α~␈εαE.␈α
de␈α
Jonqui␈↓ βa␈εα␈
␈↓ βb␈εαe␈↓ βr␈εαres␈α∞stated␈α
without␈α
proof␈α
in␈α∞1894␈α
that␈↓ λO␈ελl␈↓ λY␈εα(␈↓ λe␈ελn␈↓ λ{␈εα)␈ε⊗␈α∃␈↓ 	C␈ελ∃␈↓ 	X␈εα(␈↓ 	d␈ελn␈↓ 	z␈εα)␈αλ+␈α	2␈α
when
␈βαN␈↓ ↓H␈ελ↔␈↓ ↓Y␈εα(␈↓ ↓e␈ελn␈↓ ↓z␈εα)␈α>␈α
2.␈α
The␈α|rst␈αpublished␈α
demonstration␈αof␈αTheorem␈αB␈αwas␈α
by␈αA.␈αA.␈αGioia,
␈βαY␈↓ 
l␈ε↓↓
␈βαy␈↓ ↓H␈εαM.␈αV.␈αSubbarao,␈αand␈αM.␈αSugun␈α␈umma␈αin␈ε∂␈αDuk␈α␈e␈αMath.␈αJ.␈ε∩␈α29␈εα␈α(1962),␈α481↑487.
␈ββ∨␈↓ ∧`␈εA␈↓ ¬;␈εB␈↓ ε⊗␈εC␈↓ εt␈εD
␈ββ$␈↓ α␈εαThe␈α
calculation␈αof␈↓ ∧8␈ελl␈↓ ∧B␈εα(␈↓ ∧N␈εα2␈↓ ∧⎇␈εα+␈↓ ¬)␈εα2␈↓ ¬W␈εα+␈↓ ε∧␈εα2␈↓ ε6␈εα+␈↓ εb␈εα2␈↓ π
␈εα),␈α
when␈↓ λ␈ελA␈↓ λ/␈εα>␈↓ λ↑␈ελB␈↓ 	↓␈εα>␈↓ 	0␈ελC␈↓ 	Y␈εα>␈↓ 
λ␈ελD␈↓ 
#␈εα,␈α
is␈αmore
␈ββO␈↓ ↓H␈εαin␈α␈v␈α␈olv␈α␈ed;␈α	by␈αλthe␈αλbinary␈αλmethod␈αλit␈απis␈αλat␈αλmost␈↓ εo␈ελA␈↓ π
␈εα+␈αα3,␈α	and␈αλby␈αλthe␈αλproof␈αλof␈αλTheorem␈απB
␈ββ{␈↓ ↓H␈εαit␈αis␈αat␈αleast␈↓ β⊂␈ελA␈↓ β0␈εα+␈αλ2.␈α
The␈αvalue␈↓ ¬/␈ελA␈↓ ¬O␈εα+␈αλ2␈αis␈α
possible,␈αsince␈αw␈α␈e␈αkno␈α␈w␈αthat␈αthe␈αbinary
␈β∧&␈↓ ↓H␈εαmethod␈α
is␈α∞not␈α∞optimal␈α∞when␈↓ ¬→␈ελn␈↓ ¬;␈εα=␈α
15␈α∞or␈↓ εL␈ελn␈↓ εo␈εα=␈α
23.␈α⊃The␈α∞complete␈α∞behavior␈α
when
␈β∧Q␈↓ ↓H␈ελ↔␈↓ ↓Y␈εα(␈↓ ↓e␈ελn␈↓ ↓z␈εα)␈α
=␈α
4␈αcan␈αbe␈αdetermined,␈αas␈αw␈α␈e␈αshall␈αno␈α␈w␈αsee.
␈β¬∩␈↓ ↓H␈ε∩Theorem␈α⊂C.␈ε∂␈α If␈↓ βR␈ελ↔␈↓ βc␈εα(␈↓ βo␈ελn␈↓ ∧¬␈εα)␈ε⊗␈α⊃∃␈εα␈α⊃4␈ε∂␈α⊂then␈↓ ¬O␈ελl␈↓ ¬Y␈εα(␈↓ ¬e␈ελn␈↓ ¬{␈εα)␈ε⊗␈α⊃∃␈↓ εM␈ελ∃␈↓ εb␈εα(␈↓ εn␈ελn␈↓ πβ␈εα)␈α+␈α3␈ε∂,␈α⊃ex␈α␈cept␈α⊂in␈α⊂the␈α⊂follo␈α␈wing␈α⊂cir-
␈β¬8␈↓ π
␈εA␈↓ πg␈εB␈↓ λC␈εC␈↓ 	$␈εD
␈β¬=␈↓ ↓H␈ε∂cumstances␈α∞when␈↓ βh␈ελA␈↓ ∧
␈εα>␈↓ ∧>␈ελB␈↓ ∧d␈εα>␈↓ ¬∃␈ελC␈↓ ¬@␈εα>␈↓ ¬q␈ελD␈↓ ε~␈ε∂and␈↓ εb␈ελl␈↓ εl␈εα(␈↓ εx␈εα2␈↓ π(␈εα+␈↓ πU␈εα2␈↓ λ∧␈εα+␈↓ λ1␈εα2␈↓ λd␈εα+␈↓ 	∩␈εα2␈↓ 	:␈εα)␈ε∂␈α∞equals␈↓ 
B␈ελA␈↓ 
c␈εα+␈α	2:
␈β¬s␈↓ α␈ε∂Case␈ελ␈α1␈εα.␈↓ β→␈ελA␈↓ β9␈ε⊗␈␈↓ βe␈ελB␈↓ ∧π␈εα=␈↓ ∧5␈ελC␈↓ ∧[␈ε⊗␈␈↓ ¬π␈ελD␈↓ ¬"␈εα.␈α→(Example:␈↓ εq␈ελn␈↓ π⊃␈εα=␈α
15.)
␈βε≡␈↓ α␈ε∂Case␈ελ␈α2␈εα.␈↓ β→␈ελA␈↓ β9␈ε⊗␈␈↓ βe␈ελB␈↓ ∧π␈εα=␈↓ ∧5␈ελC␈↓ ∧[␈ε⊗␈␈↓ ¬π␈ελD␈↓ ¬*␈εα+␈αλ1.␈α→(Example:␈↓ π7␈ελn␈↓ πW␈εα=␈α
23.)
␈βεI␈↓ α␈ε∂Case␈ελ␈α3␈εα.␈↓ β→␈ελA␈↓ β9␈ε⊗␈␈↓ βe␈ελB␈↓ ∧π␈εα=␈α
3,␈↓ ∧k␈ελC␈↓ ¬⊂␈ε⊗␈␈↓ ¬<␈ελD␈↓ ¬a␈εα=␈α
1.␈α→(Example:␈↓ πp␈ελn␈↓ λ⊂␈εα=␈α
39.)
␈βεu␈↓ α␈ε∂Case␈ελ␈α4␈εα.␈↓ β→␈ελA␈↓ β9␈ε⊗␈␈↓ βe␈ελB␈↓ ∧π␈εα=␈α
5,␈↓ ∧k␈ελB␈↓ ¬␈ε⊗␈␈↓ ¬7␈ελC␈↓ ¬↑␈εα=␈↓ ε␈ελC␈↓ ε1␈ε⊗␈␈↓ ε]␈ελD␈↓ πβ␈εα=␈α
1.␈α→(Example:␈↓ 	∩␈ελn␈↓ 	1␈εα=␈α
135.)
␈βπ5␈↓ ↓H␈ε∂Proof.␈εα␈α~When␈↓ β(␈ελl␈↓ β2␈εα(␈↓ β>␈ελn␈↓ βT␈εα)␈α=␈↓ ∧→␈ελ∃␈↓ ∧.␈εα(␈↓ ∧:␈ελn␈↓ ∧P␈εα)␈αλ+␈αλ2,␈α
there␈αis␈α
an␈αaddition␈α
chain␈αfor␈↓ 	∀␈ελn␈↓ 	6␈εαhaving␈αjust␈αt␈α␈w␈α␈o
␈βπa␈↓ ↓H␈εαsmall␈α
steps;␈αsuch␈α
an␈α
addition␈αchain␈α
starts␈α
out␈α
as␈αone␈α
of␈α
the␈α
six␈αtypes␈α
in␈α
the␈α
proof
␈βλ␈↓ ↓H␈εαof␈α	Theorem␈α	B␈↓ β≤␈εα,␈α	follo␈α␈w␈α␈ed␈α	by␈α	a␈α	small␈α	step,␈α
follo␈α␈w␈α␈ed␈α	by␈α	a␈α	sequence␈α	of␈αλnonsmall␈α	steps.
␈βλ2␈↓ εA␈εA␈↓ π≡␈εB␈↓ π{␈εC␈↓ λ\␈εD
␈βλ7␈↓ ↓H␈εαLet␈α∞us␈α∂say␈α∞that␈↓ βP␈ελn␈↓ βt␈εαis␈α∞\special"␈α∂if␈↓ ¬Y␈ελn␈↓ ¬⎇␈εα=␈↓ ε/␈εα2␈↓ ε←␈εα+␈↓ π␈εα2␈↓ π;␈εα+␈↓ πi␈εα2␈↓ λ≤␈εα+␈↓ λJ␈εα2␈↓ 	↓␈εαfor␈α∞one␈α∂of␈α∞the␈α∞four
␈βλb␈↓ ↓H␈εαcases␈αlisted␈αin␈αthe␈αtheorem.␈αWe␈αcan␈αobtain␈αaddition␈αchains␈αof␈αthe␈αrequired␈αform
␈β	
␈↓ ↓H␈εαfor␈α
each␈α
special␈↓ βI␈ελn␈↓ β↑␈εα,␈α
as␈α
sho␈α␈wn␈α
in␈α
ex␈α␈ercise␈α
13;␈α∞therefore␈α
it␈α
remains␈α
for␈α
us␈αto␈α
pro␈α␈v␈α␈e
␈β	9␈↓ ↓H␈εαthat␈αno␈α
chain␈αwith␈αexactly␈αt␈α␈w␈α␈o␈αsmall␈αsteps␈αcon␈α␈tains␈αan␈α␈y␈α
elemen␈α␈ts␈αwith␈↓ 
≥␈ελ↔␈↓ 
.␈εα(␈↓ 
:␈ελa␈↓ 
V␈εα)␈ε⊗␈α
∃␈εα␈α
4
␈β	F␈↓ 
K␈εi
␈β	d␈↓ ↓H␈εαex␈α␈cept␈αwhen␈↓ β↔␈ελa␈↓ β?␈εαis␈αspecial.
␈β	q␈↓ β'␈εi
␈β
∂␈↓ α␈εαLet␈α⊂a␈α∂\coun␈α␈terexample␈α⊂chain"␈α∂be␈α⊂an␈α⊂addition␈α∂chain␈α⊂with␈α∂t␈α␈w␈α␈o␈α⊂small␈α∂steps
␈β
:␈↓ ↓H␈εαsuch␈α∞that␈↓ αm␈ελ↔␈↓ α}␈εα(␈↓ β
␈ελa␈↓ β(␈εα)␈ε⊗␈α∂∃␈εα␈α∂4,␈α∂but␈↓ ∧f␈ελa␈↓ ¬∪␈εαis␈α∂not␈α∂special.␈α∀If␈α∂coun␈α␈terexample␈α∂chains␈α∂exist,␈α∂let
␈β
H␈↓ β≠␈εr␈↓ ∧w␈εr
␈β
e␈↓ ↓H␈εα1␈α
=␈↓ α→␈ελa␈↓ αF␈εα<␈↓ αx␈ελa␈↓ β%␈εα<␈↓ βW␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧∞␈εα<␈↓ ∧@␈ελa␈↓ ∧l␈εα=␈↓ ¬≡␈ελn␈↓ ¬B␈εαbe␈α∞a␈α∞coun␈α␈terexample␈α∂chain␈α∞of␈α∞shortest␈α∞possible
␈β
s␈↓ α*␈ε¬0␈↓ β	␈ε¬1␈↓ ∧Q␈εr
␈β⊃␈↓ ↓H␈εαlength.␈α
Then␈α
step␈↓ βl␈ελr␈↓ ∧λ␈εαis␈α
not␈αa␈α
small␈αstep,␈α
since␈αnone␈α
of␈αthe␈α
six␈αtypes␈α
in␈αthe␈αproof
␈β<␈↓ ↓H␈εαof␈α
Theorem␈α
B␈α
can␈α
be␈α
follo␈α␈w␈α␈ed␈α∞by␈α
a␈α
small␈α
step␈α
with␈↓ λπ␈ελ↔␈↓ λ_␈εα(␈↓ λ$␈ελn␈↓ λ9␈εα)␈ε⊗␈α∃␈εα␈α4␈α
ex␈α␈cept␈α
when␈↓ 
r␈ελn␈↓ ∀␈εαis
␈βg␈↓ ↓H␈εαspecial.␈αFurthermore,␈α
step␈↓ ∧k␈ελr␈↓ ¬¬␈εαis␈α
not␈α
a␈α	doubling,␈αotherwise␈↓ λ;␈ελa␈↓ λZ␈εα,␈↓ λn␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	≡␈εα,␈↓ 	2␈ελa␈↓ 
ε␈εαw␈α␈ould␈α
be␈α	a
␈βt␈↓ λK␈ε¬0␈↓ 	C␈εr␈↓ 	Q␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈β∩␈↓ ↓H␈εαshorter␈αcoun␈α␈terexample␈αchain;␈αand␈αstep␈↓ εA␈ελr␈↓ ε]␈εαis␈αa␈αstar␈αstep,␈α
otherwise␈↓ 	↑␈ελa␈↓ 	⎇␈εα,␈↓ 
∪␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
C␈εα,␈↓ 
Y␈ελa␈↓ "␈εα,
␈β ␈↓ 	n␈ε¬0␈↓ 
j␈εr␈↓ 
w␈ε→␈␈ε¬2
␈β=␈↓ ↓H␈ελa␈↓ ↓r␈εαw␈α␈ould␈αbe␈αa␈αshorter␈αcoun␈α␈terexample␈αchain.␈αTh␈α␈us
␈βK␈↓ ↓X␈εr
␈β
∀␈↓ α↑␈ελa␈↓ βε␈εα=␈↓ β4␈ελa␈↓ ∧¬␈εα+␈↓ ∧1␈ελa␈↓ ∧{␈εα,␈↓ ¬S␈ελk␈↓ ¬o␈ε⊗∃␈εα␈α
2;␈↓ ππ␈εαand␈↓ πM␈ελ∃␈↓ πb␈εα(␈↓ πn␈ελa␈↓ λ␈εα)␈α
=␈↓ λP␈ελ∃␈↓ λe␈εα(␈↓ λq␈ελa␈↓ 	:␈εα)␈αλ+␈αλ1.␈↓ 
p␈εα(21)
␈β
!␈↓ αo␈εr␈↓ βE␈εr␈↓ βR␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ∧B␈εr␈↓ ∧P␈ε→␈␈↓ ∧l␈εk␈↓ π}␈εr␈↓ 	α␈εr␈↓ 	∂␈ε→␈␈ε¬1
␈β
j␈↓ α␈εαLet␈↓ αM␈ελc␈↓ αf␈εαbe␈α
the␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈α
carries␈αthat␈αoccur␈αwhen␈↓ πs␈ελa␈↓ λG␈εαis␈αadded␈αto␈↓ 	}␈ελa␈↓ 
R␈εαin␈α
the
␈β
x␈↓ λ∧␈εr␈↓ λ⊃␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 
∞␈εr␈↓ 
≤␈ε→␈␈↓ 
8␈εk
␈β∞∃␈↓ ↓H␈εαbinary␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αsystem␈αby␈αAlgorithm␈α4.3.1A␈↓ εx␈εα.␈αUsing␈αthe␈αfundamen␈α␈tal␈αrelation
␈β∞l␈↓ ∧H␈ελ↔␈↓ ∧Y␈εα(␈↓ ∧e␈ελa␈↓ ¬β␈εα)␈α
=␈↓ ¬G␈ελ↔␈↓ ¬X␈εα(␈↓ ¬d␈ελa␈↓ ε-␈εα)␈αλ+␈↓ εm␈ελ↔␈↓ ε}␈εα(␈↓ π
␈ελa␈↓ πT␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ λ∀␈ελc␈↓ λ"␈εα,␈↓ 
p␈εα(22)
␈β∞y␈↓ ∧v␈εr␈↓ ¬u␈εr␈↓ εα␈ε→␈␈ε¬1␈↓ π≠␈εr␈↓ π)␈ε→␈␈↓ πE␈εk
␈β∂B␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αcan␈αpro␈α␈v␈α␈e␈αthat␈ε∂␈αstep␈↓ ∧;␈ελr␈↓ ∧R␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈ε∂␈αis␈αnot␈αa␈αsmall␈αstep␈εα␈α(see␈αex␈α␈ercise␈α14).
␈β∂m␈↓ α␈εαLet␈↓ αL␈ελm␈↓ αv␈εα=␈↓ β$␈ελ∃␈↓ β9␈εα(␈↓ βE␈ελa␈↓ ∧∞␈εα).␈αSince␈α
neither␈↓ εβ␈ελr␈↓ ε≥␈εαnor␈↓ ε[␈ελr␈↓ εp␈ε⊗␈␈εα␈α¬1␈α
is␈α
a␈α
small␈α
step,␈↓ 	$␈ελc␈↓ 	<␈ε⊗∃␈εα␈α
2;␈α
and␈↓ 
T␈ελc␈↓ 
l␈εα=␈α
2
␈β∂{␈↓ βU␈εr␈↓ βc␈ε→␈␈ε¬1
␈β⊂∀␈↓ ¬≠␈εm␈↓ ¬{␈εm␈↓ ε∃␈ε→␈␈ε¬1
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εαcan␈αhold␈αonly␈αwhen␈↓ ∧λ␈ελa␈↓ ∧[␈ε⊗∃␈↓ ¬	␈εα2␈↓ ¬=␈εα+␈↓ ¬i␈εα2␈↓ ε@␈εα.
␈β⊂&␈↓ ∧_␈εr␈↓ ∧&␈ε→␈␈ε¬1
␈β⊂D␈↓ α␈εαNo␈α␈w␈αlet␈αus␈αsuppose␈αthat␈↓ ¬⊂␈ελr␈↓ ¬'␈ε⊗␈␈εα␈αε1␈αis␈αnot␈αa␈αstar␈αstep.␈αThen␈↓ λg␈ελr␈↓ λ}␈ε⊗␈␈εα␈αε2␈αis␈αa␈αsmall␈αstep,
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαand␈↓ α∂␈ελa␈↓ α.␈εα,␈↓ αE␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ αu␈εα,␈↓ β
␈ελa␈↓ βV␈εα,␈↓ βm␈ελa␈↓ ∧D␈εαis␈α
a␈α
chain␈α
with␈α
only␈α
one␈α∞small␈α
step;␈α
hence␈↓ 	l␈ελ↔␈↓ 	⎇␈εα(␈↓ 
	␈ελa␈↓ 
S␈εα)␈ε⊗␈α∀␈εα␈α2
␈β⊂|␈↓ α ␈ε¬0␈↓ β≡␈εr␈↓ β+␈ε→␈␈ε¬3␈↓ β}␈εr␈↓ ∧␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ 
~␈εr␈↓ 
(␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαand␈↓ α
␈ελ↔␈↓ α≡␈εα(␈↓ α*␈ελa␈↓ αs␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈εα␈α
4.␈αThe␈αrelation␈α(22)␈αcan␈αno␈α␈w␈αhold␈αonly␈αif␈↓ λ?␈ελ↔␈↓ λP␈εα(␈↓ λ\␈ελa␈↓ λ{␈εα)␈α
=␈α
4,␈↓ 	f␈ελ↔␈↓ 	w␈εα(␈↓ 
β␈ελa␈↓ 
L␈εα)␈α
=␈α
2,
␈β⊃(␈↓ α;␈εr␈↓ αH␈ε→␈␈ε¬2␈↓ λm␈εr␈↓ 
∀␈εr␈↓ 
!␈ε→␈␈ε¬1
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα436␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.3
␈βα!␈↓ 	⎇␈εm␈↓ 
]␈εm␈↓ 
w␈ε→␈␈ε¬1
␈βα&␈↓ ↓H␈ελk␈↓ ↓e␈εα=␈α2,␈↓ α<␈ελc␈↓ αV␈εα=␈α2,␈↓ β.␈ελ↔␈↓ β?␈εα(␈↓ βK␈ελa␈↓ ∧∀␈εα)␈α=␈α4.␈α∞From␈↓ ¬g␈ελc␈↓ ε␈εα=␈α2␈α
w␈α␈e␈α
conclude␈αthat␈↓ λg␈ελa␈↓ 	;␈εα=␈↓ 	k␈εα2␈↓ 
∨␈εα+␈↓ 
K␈εα2␈↓ "␈εα;
␈βα4␈↓ β[␈εr␈↓ βi␈ε→␈␈ε¬2␈↓ λx␈εr␈↓ 	¬␈ε→␈␈ε¬1
␈βαL␈↓ ∧i␈εm␈↓ ¬β␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ¬p␈εm␈↓ ε
␈ε→␈␈ε¬␈α␈2
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαhence␈↓ α*␈ελa␈↓ αI␈εα,␈↓ α↑␈ελa␈↓ α⎇␈εα,␈↓ β⊃␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βA␈εα,␈↓ βV␈ελa␈↓ ∧)␈εα=␈↓ ∧W␈εα2␈↓ ¬4␈εα+␈↓ ¬↑␈εα2␈↓ ε?␈εαis␈α
an␈α
addition␈αchain␈α
with␈α
only␈α
one␈α
small
␈βα←␈↓ α;␈ε¬0␈↓ αn␈ε¬1␈↓ βg␈εr␈↓ βt␈ε→␈␈ε¬3
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαstep,␈α
and␈α
it␈α
m␈α␈ust␈α
be␈αof␈α
Type␈α
1,␈α
so␈↓ ¬\␈ελa␈↓ ε¬␈εαbelongs␈α
to␈α
Case␈α
3.␈αTh␈α␈us␈↓ 	β␈ελr␈↓ 	→␈ε⊗␈␈εα␈α¬1␈ε∂␈α
is␈α
a␈α
star␈α
step.
␈ββ
␈↓ ¬m␈εr
␈ββ#␈↓ ¬D␈εt
␈ββ(␈↓ α␈εαNo␈α␈w␈α
assume␈α∞that␈↓ ∧-␈ελa␈↓ ¬α␈εα=␈↓ ¬2␈εα2␈↓ ¬O␈ελa␈↓ ε%␈εαfor␈α∞some␈↓ π:␈ελt␈↓ πG␈εα.␈α⊂If␈↓ λε␈ελ↔␈↓ λ↔␈εα(␈↓ λ#␈ελa␈↓ λl␈εα)␈ε⊗␈α∀␈εα␈α3,␈α∞then␈α
by␈α
(22),
␈ββ5␈↓ ∧>␈εr␈↓ ∧K␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ¬`␈εr␈↓ ¬m␈ε→␈␈↓ ε
␈εk␈↓ λ4␈εr␈↓ λA␈ε→␈␈ε¬1
␈ββS␈↓ ↓H␈ελc␈↓ ↓a␈εα=␈α2,␈↓ α8␈ελk␈↓ αU␈εα=␈α2,␈α
and␈αw␈α␈e␈α
see␈α
that␈↓ ¬2␈ελa␈↓ ¬]␈εαm␈α␈ust␈αbelong␈α
to␈α
Case␈α3.␈α∞On␈α
the␈αother␈α
hand,␈αif
␈ββ`␈↓ ¬C␈εr
␈ββ}␈↓ ↓H␈ελ↔␈↓ ↓Y␈εα(␈↓ ↓e␈ελa␈↓ α.␈εα)␈α=␈α4␈α
then␈↓ βf␈ελa␈↓ ∧<␈εαis␈α
special,␈α
and␈αit␈α
is␈α
easy␈α
to␈αsee␈α
by␈α
considering␈α
each␈αcase
␈β∧␈↓ ↓u␈εr␈↓ αβ␈ε→␈␈ε¬1␈↓ βw␈εr␈↓ ∧∧␈ε→␈␈ε¬1
␈β∧)␈↓ ↓H␈εαthat␈↓ α⊗␈ελa␈↓ α@␈εαalso␈αbelongs␈αto␈αone␈αof␈αthe␈αfour␈α
cases.␈α→(Case␈α4␈αarises,␈αfor␈αexample,␈αwhen
␈β∧7␈↓ α'␈εr
␈β∧U␈↓ ↓H␈ελa␈↓ α≠␈εα=␈α
90,␈↓ β↓␈ελa␈↓ βU␈εα=␈α
45;␈αor␈↓ ∧f␈ελa␈↓ ¬9␈εα=␈α
120,␈↓ ε1␈ελa␈↓ π¬␈εα=␈α
15.)␈α∀Therefore␈α
w␈α␈e␈α
may␈α
conclude
␈β∧b␈↓ ↓X␈εr␈↓ ↓f␈ε→␈␈ε¬1␈↓ β∩␈εr␈↓ β ␈ε→␈␈↓ β<␈εk␈↓ ∧v␈εr␈↓ ¬∧␈ε→␈␈ε¬1␈↓ εB␈εr␈↓ εO␈ε→␈␈↓ εl␈εk
␈β∧{␈↓ β)␈εt
␈β¬␈↓ ↓H␈εαthat␈↓ α⊗␈ελa␈↓ αi␈ε⊗≤␈↓ β↔␈εα2␈↓ β3␈ελa␈↓ ∧	␈εαfor␈αan␈α␈y␈↓ ¬ε␈ελt␈↓ ¬∪␈εα.
␈β¬
␈↓ α&␈εr␈↓ α4␈ε→␈␈ε¬1␈↓ βD␈εr␈↓ βR␈ε→␈␈↓ βn␈εk
␈β¬+␈↓ α␈εαLet␈α⊂us␈α⊂no␈α␈w␈α⊂suppose␈α⊂that␈↓ ¬0␈ελ∃␈↓ ¬E␈εα(␈↓ ¬Q␈ελa␈↓ ε~␈εα)␈α⊃=␈↓ εl␈ελm␈↓ π⊗␈ε⊗␈␈εα␈α1;␈α∩the␈α⊂case␈↓ 	¬␈ελ∃␈↓ 	~␈εα(␈↓ 	&␈ελa␈↓ 	p␈εα)␈α⊂<␈↓ 
A␈ελm␈↓ 
l␈ε⊗␈␈εα␈α
1
␈β¬8␈↓ ¬a␈εr␈↓ ¬o␈ε→␈␈↓ ε␈εk␈↓ 	7␈εr␈↓ 	D␈ε→␈␈↓ 	a␈εk
␈β¬V␈↓ ↓H␈εαmay␈αbe␈αruled␈α
out␈αby␈αsimilar␈αargumen␈α␈ts,␈α
as␈αsho␈α␈wn␈αin␈α
ex␈α␈ercise␈α14.␈α
If␈↓ 	q␈ελk␈↓ 
∞␈εα=␈α
4,␈αboth
␈β¬|␈↓ πi␈εm␈↓ λβ␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈βε↓␈↓ ↓H␈ελr␈↓ ↓a␈ε⊗␈␈εα␈α
2␈α∞and␈↓ αx␈ελr␈↓ β⊃␈ε⊗␈␈εα␈α
3␈α∂are␈α∞small␈α∂steps;␈α∂hence␈↓ εM␈ελa␈↓ π$␈εα=␈↓ πW␈εα2␈↓ λ.␈εα,␈α∂and␈α∞(22)␈α∂is␈α∞impossible.
␈βε∂␈↓ ε↑␈εr␈↓ εk␈ε→␈␈ε¬4
␈βε(␈↓ 	|␈εm␈↓ 
]␈εm␈↓ 
w␈ε→␈␈ε¬1
␈βε-␈↓ ↓H␈εαTherefore␈↓ αl␈ελk␈↓ β	␈εα=␈α3;␈α
step␈↓ ∧.␈ελr␈↓ ∧G␈ε⊗␈␈εα␈αλ2␈α
is␈α
small,␈↓ ε ␈ελ↔␈↓ ε1␈εα(␈↓ ε=␈ελa␈↓ πε␈εα)␈α=␈α2,␈↓ πu␈ελc␈↓ λ∂␈εα=␈α2,␈↓ λg␈ελa␈↓ 	;␈ε⊗∃␈↓ 	j␈εα2␈↓ 
∨␈εα+␈↓ 
K␈εα2␈↓ "␈εα,
␈βε:␈↓ εM␈εr␈↓ ε[␈ε→␈␈ε¬␈α␈3␈↓ λw␈εr␈↓ 	¬␈ε→␈␈ε¬1
␈βεX␈↓ ↓H␈εαand␈↓ α⊃␈ελ↔␈↓ α"␈εα(␈↓ α.␈ελa␈↓ αx␈εα)␈α⊂=␈α⊂4.␈α↔There␈α⊂m␈α␈ust␈α⊂be␈α∂at␈α⊂least␈α⊂t␈α␈w␈α␈o␈α⊂carries␈α∂when␈↓ 	≡␈ελa␈↓ 	w␈εαis␈α⊂added␈α∂to
␈βεe␈↓ α?␈εr␈↓ αL␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 	/␈εr␈↓ 	<␈ε→␈␈ε¬2
␈βπ␈↓ 	H␈ε¬1
␈βπβ␈↓ ↓H␈ελa␈↓ α→␈ε⊗␈␈↓ αE␈ελa␈↓ β∞␈εα;␈αhence␈↓ ∧π␈ελ↔␈↓ ∧_␈εα(␈↓ ∧$␈ελa␈↓ ∧m␈εα)␈α
=␈α
4,␈αand␈↓ ε≡␈ελa␈↓ εs␈εα(being␈αspecial␈αand␈ε⊗␈α∃␈↓ 	[␈ελa␈↓ 
$␈εα)␈αhas␈αthe
␈βπ⊂␈↓ ↓X␈εr␈↓ ↓f␈ε→␈␈ε¬1␈↓ αV␈εr␈↓ αc␈ε→␈␈ε¬2␈↓ ∧5␈εr␈↓ ∧B␈ε→␈␈ε¬2␈↓ ε/␈εr␈↓ ε<␈ε→␈␈ε¬2␈↓ 	k␈εr␈↓ 	y␈ε→␈␈ε¬1
␈βπ∪␈↓ 	H␈∧π∪	Hα∂
␈βπ⊗␈↓ 	H␈ε¬2
␈βπ)␈↓ α/␈εm␈↓ αI␈ε→␈␈ε¬1␈↓ β9␈εm␈↓ βS␈ε→␈␈ε¬2␈↓ ∧C␈εd␈↓ ∧S␈ε¬+1␈↓ ¬D␈εd␈↓ 	]␈εm␈↓ 
<␈εm␈↓ 
V␈ε¬+1
␈βπ.␈↓ ↓H␈εαform␈↓ α≥␈εα2␈↓ α|␈εα+␈↓ β'␈εα2␈↓ ∧ε␈εα+␈↓ ∧1␈εα2␈↓ ¬ε␈εα+␈↓ ¬2␈εα2␈↓ ¬←␈εαfor␈αsome␈↓ εp␈ελd␈↓ π¬␈εα.␈αNo␈α␈w␈↓ πm␈ελa␈↓ λB␈εαis␈αeither␈↓ 	K␈εα2␈↓ 	}␈εα+␈↓ 
*␈εα2␈↓ λ␈εα+
␈βπ<␈↓ π}␈εr␈↓ λ␈ε→␈␈ε¬1
␈βπT␈↓ ↓Z␈εd␈↓ ↓j␈ε¬+1␈↓ αb␈εd␈↓ βF␈εm␈↓ ∧-␈εm␈↓ ∧F␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ¬>␈εd␈↓ ¬N␈ε¬+2␈↓ εF␈εd␈↓ εW␈ε¬+␈α␈1
␈βπY␈↓ ↓H␈εα2␈↓ α ␈εα+␈↓ αP␈εα2␈↓ ββ␈εαor␈↓ β4␈εα2␈↓ βk␈εα+␈↓ ∧≠␈εα2␈↓ ∧⎇␈εα+␈↓ ¬,␈εα2␈↓ ε¬␈εα+␈↓ ε4␈εα2␈↓ πα␈εα,␈α∩and␈α⊃in␈α⊃both␈α⊃cases␈↓ 	P␈ελa␈↓ 
*␈εαm␈α␈ust␈α⊃be
␈βπg␈↓ 	a␈εr␈↓ 	n␈ε→␈␈ε¬3
␈βλ␈↓ ↓Z␈εm␈↓ ↓t␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ αe␈εm␈↓ α␈␈ε→␈␈ε¬␈α␈2
␈βλ¬␈↓ ↓H␈εα2␈↓ α'␈εα+␈↓ αS␈εα2␈↓ β*␈εα,␈αso␈↓ βl␈ελa␈↓ ∧⊗␈εαbelongs␈αto␈αCase␈α3.
␈βλ
␈↓ ε↑␈∧λ
ε↑≠∂
␈βλ∩␈↓ β⎇␈εr
␈βλ7␈↓ α␈εαE.␈α
G.␈αTh␈α␈urber␈α[␈ε∂Paci|c␈α
J.␈αMath.␈ε∩␈α
49␈εα␈α(1973),␈α
229↑242]␈αhas␈α
extended␈αTheorem
␈βλb␈↓ ↓H␈εαC␈α	to␈α
sho␈α␈w␈α	that␈↓ β8␈ελl␈↓ βC␈εα(␈↓ βO␈ελn␈↓ βd␈εα)␈ε⊗␈α
∃␈↓ ∧(␈ελ∃␈↓ ∧=␈εα(␈↓ ∧I␈ελn␈↓ ∧←␈εα)␈α∧+␈α¬4␈α	when␈↓ ε∂␈ελ↔␈↓ ε ␈εα(␈↓ ε,␈ελn␈↓ εB␈εα)␈α
>␈α
8.␈αIt␈α	seems␈α
reasonable␈α	to␈α	conjecture
␈β	∞␈↓ ↓H␈εαthat␈↓ α∃␈ελl␈↓ α∨␈εα(␈↓ α+␈ελn␈↓ αA␈εα)␈ε⊗␈α
∃␈↓ β¬␈ελ∃␈↓ β~␈εα(␈↓ β&␈ελn␈↓ β;␈εα)␈απ+␈↓ βz␈εαlg␈↓ ∧≤␈ελ↔␈↓ ∧-␈εα(␈↓ ∧9␈ελn␈↓ ∧N␈εα)␈αin␈αgeneral,␈αsince␈αA.␈αSch␈↓ πS␈εα∪␈↓ πS␈εαo␈↓ πe␈εαnhage␈αhas␈αcome␈αv␈α␈ery␈αclose␈αto
␈β	9␈↓ ↓H␈εαpro␈α␈ving␈αthis␈α(see␈αex␈α␈ercise␈α29).
␈β	k␈↓ ↓H␈ε∩Asymptotic␈α∞values.␈εα␈α≥Theorem␈α∂C␈α∞indicates␈α∞that␈α∂it␈α∞is␈α∞probably␈α∂quite␈α∞di}cult␈α∞to
␈β
⊗␈↓ ↓H␈εαget␈αexact␈α
values␈α
of␈↓ β␈␈ελl␈↓ ∧	␈εα(␈↓ ∧∃␈ελn␈↓ ∧*␈εα)␈α
for␈α
large␈↓ ¬U␈ελn␈↓ ¬j␈εα,␈α
when␈↓ ε`␈ελ↔␈↓ εq␈εα(␈↓ ε⎇␈ελn␈↓ π∪␈εα)␈α>␈α4;␈α
ho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α
w␈α␈e␈α
can␈αdetermine
␈β
B␈↓ ↓H␈εαthe␈αappro␈α␈ximate␈αbehavior␈αin␈αthe␈αlimit␈αas␈↓ εU␈ελn␈↓ εt␈ε⊗!␈α
1␈εα.
␈β
t␈↓ ↓H␈ε∩Theorem␈αD␈εα␈α(A.␈αBrauer,␈ε∂␈αBull.␈αAmer.␈αMath.␈αSoc.␈ε∩␈α45␈εα␈α(1939),␈α736↑739)␈ε∩.
␈β$␈↓ ∧k␈ε¬*
␈β*␈↓ ∧≤␈εαlim␈↓ ∧`␈ελl␈↓ ∧y␈εα(␈↓ ¬¬␈ελn␈↓ ¬≠␈εα)/␈↓ ¬9␈ελ∃␈↓ ¬N␈εα(␈↓ ¬Z␈ελn␈↓ ¬o␈εα)␈α
=␈↓ ε@␈εαlim␈↓ π¬␈ελl␈↓ π∂␈εα(␈↓ π≠␈ελn␈↓ π1␈εα)/␈↓ πO␈ελ∃␈↓ πd␈εα(␈↓ πp␈ελn␈↓ λ¬␈εα)␈α
=␈α
1.␈↓ 
p␈εα(23)
␈βK␈↓ ∧∂␈εn␈↓ ∧!␈ε→!1␈↓ ε3␈εn␈↓ εE␈ε→!1
␈β↓␈↓ ε4␈εk
␈βε␈↓ ↓H␈ε∂Proof.␈εα␈α→The␈αaddition␈αchain␈α(4)␈αfor␈αthe␈↓ ε"␈εα2␈↓ εB␈εα-ary␈αmethod␈αis␈αa␈αstar␈αchain␈αif␈αw␈α␈e␈αdelete
␈β1␈↓ ↓H␈εαthe␈αsecond␈αoccurrence␈αof␈αan␈α␈y␈αelemen␈α␈t␈αthat␈αappears␈αt␈α␈wice␈αin␈αthe␈αchain;␈αfor␈αif␈↓ 
m␈ελa␈↓ ∀␈εαis
␈β?␈↓ 
}␈εi
␈β]␈↓ ↓H␈εαthe␈α|rst␈αelemen␈α␈t␈αamong␈α2␈↓ ∧X␈ελd␈↓ ∧w␈εα,␈α4␈↓ ¬≡␈ελd␈↓ ¬=␈εα,␈↓ ¬S␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ελ␈εαof␈αthe␈αsecond␈αline␈αthat␈αis␈αnot␈αpresen␈α␈t␈αin␈αthe
␈βj␈↓ ∧h␈ε¬0␈↓ ¬/␈ε¬0
␈β
λ␈↓ ↓H␈εα|rst␈α
line,␈α∞w␈α␈e␈α
hav␈α␈e␈↓ βo␈ελa␈↓ ∧_␈ε⊗∀␈εα␈α2(␈↓ ∧f␈ελm␈↓ ¬∞␈ε⊗␈␈εα␈α	1);␈α∞hence␈↓ εV␈ελa␈↓ ε␈␈εα=␈α(␈↓ π;␈ελm␈↓ πc␈ε⊗␈␈εα␈α	1)␈α	+␈↓ λd␈ελa␈↓ 	∂␈εαfor␈α∞some␈↓ 
$␈ελa␈↓ 
O␈εαin␈α
the
␈β
∃␈↓ ∧␈εi␈↓ εg␈εi␈↓ λu␈εj␈↓ 
5␈εj
␈β
3␈↓ ↓H␈εα|rst␈αline.␈αBy␈αtotaling␈αup␈αthe␈αlength␈αof␈αthe␈αchain,␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈β
c␈↓ ε←␈ε↓∩␈↓ πU␈ε↓∪
␈β
f␈↓ π?␈εα1
␈β
w␈↓ ¬k␈ε¬*␈↓ λo␈εk
␈β
⎇␈↓ βw␈ελ∃␈↓ ∧␈εα(␈↓ ∧_␈ελn␈↓ ∧-␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈↓ ∧q␈ελl␈↓ ∧{␈εα(␈↓ ¬π␈ελn␈↓ ¬≥␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈↓ ¬a␈ελl␈↓ ¬z␈εα(␈↓ εε␈ελn␈↓ ε≠␈εα)␈α
<␈↓ εu␈εα1␈αλ+␈↓ πq␈εαlg␈↓ λ∪␈ελn␈↓ λ1␈εα+␈↓ λ]␈εα2␈↓ 
p␈εα(24)
␈β∞
␈↓ π?␈∧∞
π?α∩
␈β∞∃␈↓ π?␈ελk
␈β∞G␈↓ λi␈ε¬1
␈β∞J␈↓ ↓H␈εαfor␈αall␈↓ α2␈ελk␈↓ αM␈ε⊗∃␈εα␈α
1.␈αThe␈αtheorem␈αfollo␈α␈ws␈αif␈αw␈α␈e␈αchoose,␈αsay,␈↓ λ
␈ελk␈↓ λ)␈εα=␈ε⊗␈α
b␈↓ 	α␈εαlg␈↓ 	$␈ελ∃␈↓ 	9␈εα(␈↓ 	E␈ελn␈↓ 	Z␈εα)␈ε⊗c␈εα.
␈β∞O␈↓ 
&␈∧∞O
&≠∂
␈β∞[␈↓ λi␈∧∞[λiα∂
␈β∞]␈↓ λi␈ε¬2
␈β∞⎇␈↓ α␈εαIf␈α⊂w␈α␈e␈α⊃let␈↓ β&␈ελk␈↓ βI␈εα=␈↓ β}␈ελ∃␈↓ ∧∪␈ελ∃␈↓ ∧(␈εα(␈↓ ∧4␈ελn␈↓ ∧J␈εα)␈ε⊗␈α
␈␈εα␈α2␈↓ ¬!␈ελ∃␈↓ ¬6␈ελ∃␈↓ ¬K␈ελ∃␈↓ ¬`␈εα(␈↓ ¬l␈ελn␈↓ εα␈εα)␈α⊂in␈α⊂(24)␈α⊃for␈α⊂large␈↓ λ1␈ελn␈↓ λG␈εα,␈α⊃where␈↓ 	O␈ελ∃␈↓ 	d␈ελ∃␈↓ 	y␈εα(␈↓ 
¬␈ελn␈↓ 
~␈εα)␈α⊂denotes
␈β∂λ␈↓ ↓]␈ε↓␈␈↓ α-␈ε↓↓
␈β∂(␈↓ ↓H␈ελ∃␈↓ ↓k␈ελ∃␈↓ α␈εα(␈↓ α␈ελn␈↓ α!␈εα)␈↓ α;␈εα,␈αw␈α␈e␈αobtain␈αthe␈αstronger␈αasymptotic␈αbound
␈β∂E␈↓ πC␈ε↓␈␈↓ 	x␈ε↓↓
␈β∂↑␈↓ β↑␈ε¬*␈↓ 	j␈ε¬2
␈β∂d␈↓ αd␈ελl␈↓ αn␈εα(␈↓ αz␈ελn␈↓ β⊂␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈↓ βT␈ελl␈↓ βl␈εα(␈↓ βx␈ελn␈↓ ∧∞␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈↓ ∧R␈ελ∃␈↓ ∧g␈εα(␈↓ ∧s␈ελn␈↓ ¬λ␈εα)␈αλ+␈↓ ¬H␈ελ∃␈↓ ¬]␈εα(␈↓ ¬i␈ελn␈↓ ¬␈␈εα)/␈↓ ε≥␈ελ∃␈↓ ε2␈ελ∃␈↓ εG␈εα(␈↓ εS␈ελn␈↓ εi␈εα)␈αλ+␈↓ π)␈ελO␈↓ πQ␈ελ∃␈↓ πf␈εα(␈↓ πr␈ελn␈↓ λλ␈εα)␈↓ λ∀␈ελ∃␈↓ λ)␈ελ∃␈↓ λ>␈ελ∃␈↓ λS␈εα(␈↓ λ←␈ελn␈↓ λt␈εα)/␈↓ 	∩␈ελ∃␈↓ 	'␈ελ∃␈↓ 	<␈εα(␈↓ 	H␈ελn␈↓ 	↑␈εα)␈↓ 
ε␈εα.␈↓ 
p␈εα(25)
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαThe␈α∞second␈α∂term␈↓ βd␈ελ∃␈↓ βy␈εα(␈↓ ∧¬␈ελn␈↓ ∧~␈εα)/␈↓ ∧8␈ελ∃␈↓ ∧M␈ελ∃␈↓ ∧b␈εα(␈↓ ∧n␈ελn␈↓ ¬∧␈εα)␈α∞is␈α∂essen␈α␈tially␈α∂the␈α∞best␈α∂that␈α∂can␈α∞be␈α∂obtained␈α∞from
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εα(24).␈α∂A␈α
m␈α␈uch␈α
deeper␈α∞analysis␈α
of␈α
lo␈α␈w␈α␈er␈α
bounds␈α
can␈α
be␈α∞carried␈α
out,␈α
to␈α
sho␈α␈w␈α
that
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαthis␈αterm␈↓ αe␈ελ∃␈↓ αz␈εα(␈↓ βε␈ελn␈↓ β≠␈εα)/␈↓ β9␈ελ∃␈↓ βN␈ελ∃␈↓ βc␈εα(␈↓ βo␈ελn␈↓ ∧¬␈εα)␈α
is,␈αin␈α
fact,␈α
essen␈α␈tial␈αin␈α
(25).␈α
In␈α
order␈α
to␈αsee␈α
wh␈α␈y␈αthis␈α
is␈αso,
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαlet␈αus␈αconsider␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αfact:
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.3␈ε∞␈↓ πXEV␈α{AL␈α␈UA␈α⎇T␈α␈ION␈α	OF␈α	PO␈α␈WERS␈↓ 
v␈εα437
␈βα&␈↓ ↓H␈ε∩Theorem␈αE␈εα␈α(Paul␈αErd␈↓ ∧≠␈εα⊗␈↓ ∧≠␈εαo␈↓ ∧-␈εαs,␈ε∂␈αActa␈αArithmetica␈ε∩␈α6␈εα␈α(1960),␈α77↑81)␈ε∩.␈ε∂␈α_Let␈↓ 	L␈ελ∂␈↓ 	f␈ε∂be␈αa␈αpositiv␈α␈e
␈βαQ␈↓ ↓H␈ε∂real␈αn␈α␈um␈α␈ber.␈αThe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αaddition␈αchains␈εα␈α(11)␈ε∂␈αsuch␈αthat
␈ββ∨␈↓ β}␈ελ∃␈↓ ∧∪␈εα(␈↓ ∧∨␈ελn␈↓ ∧5␈εα)␈α
=␈↓ ∧y␈ελm␈↓ ¬_␈εα,␈↓ ¬p␈ελr␈↓ ε
␈ε⊗∀␈↓ ε8␈ελm␈↓ ε`␈εα+␈αλ(1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ π↑␈ελ∂␈↓ πl␈εα)␈↓ πx␈ελm␈↓ λ↔␈εα/␈↓ λ)␈ελ∃␈↓ λ>␈εα(␈↓ λJ␈ελm␈↓ λj␈εα)␈↓ 
p␈εα(26)
␈ββh␈↓ β→␈εm
␈ββm␈↓ ↓H␈ε∂is␈α
less␈α
than␈↓ β¬␈ελ␈↓ β3␈ε∂,␈α∞for␈α
some␈↓ ∧←␈ελ␈↓ ∧␈␈εα<␈α2␈ε∂,␈α∞for␈α
all␈α∞suitably␈α
large␈↓ λ*␈ελm␈↓ λJ␈ε∂.␈εα␈α≠(In␈α∞other␈α
w␈α␈ords,␈α
the
␈β∧_␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈αaddition␈α
chains␈αso␈αshort␈α
that␈α(26)␈α
is␈αsatis|ed␈αis␈α
substan␈α␈tially␈αless␈α
than
␈β∧C␈↓ ↓H␈εαthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αvalues␈αof␈↓ ∧J␈ελn␈↓ ∧k␈εαsuch␈αthat␈↓ ε␈ελ∃␈↓ ε ␈εα(␈↓ ε,␈ελn␈↓ εB␈εα)␈α
=␈↓ πε␈ελm␈↓ π&␈εα,␈αwhen␈↓ λ~␈ελm␈↓ λE␈εαis␈αlarge.)
␈β¬␈↓ ↓H␈ε∂Proof.␈εα␈α∃We␈αwan␈α␈t␈α
to␈αestimate␈α
the␈αn␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈αpossible␈α
addition␈αchains,␈α
and␈αfor␈α
this
␈β¬+␈↓ ↓H␈εαpurpose␈αour␈α
|rst␈αgoal␈αis␈αto␈αget␈αan␈αimpro␈α␈v␈α␈emen␈α␈t␈αof␈αTheorem␈αA␈αthat␈αenables␈αus␈α
to
␈β¬V␈↓ ↓H␈εαdeal␈αmore␈αsatisfactorily␈αwith␈αnondoublings:
␈βε
␈↓ ∧<␈∧ε
∧<α∩
␈βε∞␈↓ ∧_␈ε⊗p
␈βε∪␈↓ ↓H␈ε∩Lemma␈α
A.␈ε∂␈α~Let␈↓ βL␈ελ∞␈↓ βi␈εα<␈↓ ∧<␈εα2␈↓ ∧W␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈ε∂␈α
be␈α
a␈α
|x␈α␈ed␈α
positiv␈α␈e␈α
real␈α
n␈α␈um␈α␈ber.␈α∞Call␈α
step␈↓ 
A␈ελi␈↓ 
\␈ε∂of␈αan
␈βε9␈↓ π⊗␈εi␈↓ π!␈ε→␈␈↓ π>␈εj
␈βε?␈↓ ↓H␈ε∂addition␈α
chain␈αa␈α
\ministep"␈α
if␈↓ ¬0␈ελa␈↓ ¬X␈εα<␈↓ επ␈ελa␈↓ ε%␈εα(1␈α	+␈↓ εx␈ελ∞␈↓ π
␈εα)␈↓ πX␈ε∂for␈α
some␈↓ λl␈ελj␈↓ λ|␈ε∂,␈α
where␈εα␈α
0␈ε⊗␈α∀␈↓ 
I␈ελj␈↓ 
e␈εα<␈↓ ∃␈ελi␈↓ "␈ε∂.
␈βεL␈↓ ¬A␈εi␈↓ ε_␈εj
␈βεj␈↓ ↓H␈ε∂If␈αthe␈αaddition␈αchain␈αcon␈α␈tains␈↓ ¬%␈ελs␈↓ ¬@␈ε∂small␈αsteps␈αand␈↓ π>␈ελt␈↓ πW␈ε∂ministeps,␈αthen
␈βπ1␈↓ λ∧␈ε¬2␈↓ λ\␈ε∩
␈βπ7␈↓ ∧↓␈ελt␈↓ ∧_␈ε⊗∀␈↓ ∧F␈ελs␈↓ ∧U␈εα/(1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ¬9␈ελ∩␈↓ ¬I␈εα),␈↓ ε-␈εαwhere␈↓ π∃␈εα(1␈αλ+␈↓ πg␈ελ∞␈↓ πx␈εα)␈↓ λ≤␈εα=␈↓ λJ␈εα2␈↓ λi␈εα.␈↓ 
p␈εα(27)
␈βλ␈↓ 	P␈εi␈↓ 	f␈ε→␈␈↓ 
α␈εj
␈βλ¬␈↓ ↓H␈ε∂Proof.␈εα␈α→For␈αeach␈αministep␈↓ ∧g␈ελi␈↓ ¬↓␈εα,␈α1␈ε⊗␈α
∀␈↓ ¬a␈ελk␈↓ ¬⎇␈ε⊗∀␈↓ ε+␈ελt␈↓ ε8␈εα,␈αw␈α␈e␈α
hav␈α␈e␈↓ πY␈ελa␈↓ λ
␈εα<␈↓ λ8␈ελa␈↓ λ`␈εα(1␈αλ+␈↓ 	2␈ελ∞␈↓ 	D␈εα)␈↓ 
&␈εαfor␈αsome
␈βλ	␈↓ 	Y␈ε
k␈↓ 
∞␈ε
k
␈βλ∪␈↓ ∧r␈εk␈↓ πi␈εi␈↓ λI␈εj
␈βλ≠␈↓ πs␈ε
k␈↓ λT␈ε
k
␈βλ0␈↓ ↓H␈ελj␈↓ ↓m␈εα<␈↓ α≠␈ελi␈↓ α4␈εα.␈αLet␈↓ β
␈ελI␈↓ β#␈εα,␈↓ β8␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βh␈εα,␈↓ β|␈ελI␈↓ ∧≤␈εαbe␈α
the␈α
in␈α␈tervals␈α
(␈↓ ε#␈ελj␈↓ ε?␈εα,␈↓ εO␈ελi␈↓ εh␈εα],␈↓ πε␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π6␈εα,␈α(␈↓ πW␈ελj␈↓ πn␈εα,␈↓ π}␈ελi␈↓ λ∪␈εα],␈αwhere␈α
the␈α
notation␈α
(␈↓ 
n␈ελj␈↓ 
␈␈εα,␈↓ ∂␈ελi␈↓ "␈εα]
␈βλ>␈↓ ↓U␈εk␈↓ α&␈εk␈↓ β∃␈ε¬1␈↓ ∧π␈εt␈↓ ε0␈ε¬1␈↓ εY␈ε¬1␈↓ πd␈εt␈↓ λ	␈εt
␈βλ\␈↓ ↓H␈εαstands␈α
for␈α
the␈α
set␈α
of␈α
all␈α	in␈α␈tegers␈↓ ¬8␈ελk␈↓ ¬T␈εαsuch␈α
that␈↓ εp␈ελj␈↓ π␈εα<␈↓ π9␈ελk␈↓ πT␈ε⊗∀␈↓ λα␈ελi␈↓ λ⊂␈εα.␈αIt␈α
is␈α	possible␈α
(see␈α
ex␈α␈ercise
␈β	α␈↓ πr␈ε→0␈↓ λ≡␈ε→0␈↓ 	/␈ε→0␈↓ 	\␈ε→0
␈β	π␈↓ ↓H␈εα17)␈αto␈α|nd␈αnono␈α␈v␈α␈erlapping␈αin␈α␈tervals␈↓ επ␈ελJ␈↓ ε$␈εα,␈↓ ε:␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εj␈εα,␈↓ π␈ελJ␈↓ π(␈εα=␈α
(␈↓ πb␈ελj␈↓ λ␈εα,␈↓ λ⊂␈ελi␈↓ λ-␈εα],␈↓ λM␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ⎇␈εα,␈α(␈↓ 	∨␈ελj␈↓ 	>␈εα,␈↓ 	N␈ελi␈↓ 	o␈εα]␈αsuch␈αthat
␈β	∀␈↓ ε⊗␈ε¬1␈↓ π∂␈εh
␈β	→␈↓ πr␈ε¬1␈↓ λ≡␈ε¬1␈↓ 	/␈εh␈↓ 	\␈εh
␈β	P␈↓ ∧f␈ελI␈↓ ¬π␈ε⊗[␈↓ ¬)␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬[␈ε⊗[␈↓ ¬⎇␈ελI␈↓ ε≥␈εα=␈↓ εK␈ελJ␈↓ εp␈ε⊗[␈↓ π∩␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πD␈ε⊗[␈↓ πf␈ελJ␈↓ λ∧␈εα,
␈β	]␈↓ ∧q␈ε¬1␈↓ ελ␈εt␈↓ εZ␈ε¬1␈↓ πu␈εh
␈β	s␈↓ 
p␈εα(28)
␈β
λ␈↓ εβ␈ε≠0␈↓ ε9␈ε≠0
␈β
␈↓ ¬←␈ε¬2␈α↓(␈↓ ¬w␈εi␈↓ ε∂␈ε→␈␈↓ ε,␈εj␈↓ εF␈ε¬)
␈β
⊂␈↓ βe␈ελa␈↓ ∧_␈εα<␈↓ ∧F␈ελa␈↓ ∧p␈εα(1␈αλ+␈↓ ¬B␈ελ∞␈↓ ¬S␈εα)␈↓ εP␈εα,␈↓ π(␈εαfor␈↓ π`␈εα1␈ε⊗␈α
∀␈↓ λ*␈ελk␈↓ λE␈ε⊗∀␈↓ λs␈ελh␈↓ 	¬␈εα.
␈β
_␈↓ εβ␈ε
k␈↓ ε9␈ε
k
␈β
≤␈↓ ∧↓␈ε≠0␈↓ ∧d␈ε≠0
␈β
≡␈↓ βv␈εi␈↓ ∧V␈εj
␈β
*␈↓ ∧↓␈ε
k␈↓ ∧d␈ε
k
␈β
\␈↓ ↓H␈εαNo␈α␈w␈α	for␈α	all␈α	steps␈↓ βS␈ελi␈↓ βj␈εαoutside␈α	of␈α	the␈α	in␈α␈tervals␈↓ εU␈ελJ␈↓ εr␈εα,␈↓ πε␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π6␈εα,␈↓ πI␈ελJ␈↓ πp␈εαw␈α␈e␈α	hav␈α␈e␈↓ λt␈ελa␈↓ 	~␈ε⊗∀␈εα␈α
2␈↓ 	Z␈ελa␈↓ 
!␈εα;␈α
hence␈α	if
␈β
j␈↓ εd␈ε¬1␈↓ πX␈εh␈↓ 	∧␈εi␈↓ 	k␈εi␈↓ 	v␈ε→␈␈ε¬1
␈β$␈↓ ¬(␈ε→0␈↓ ¬{␈ε→0␈↓ πA␈ε→0␈↓ λ∀␈ε→0
␈β*␈↓ ∧F␈ελq␈↓ ∧`␈εα=␈α
(␈↓ ¬~␈ελi␈↓ ¬>␈ε⊗␈␈↓ ¬j␈ελj␈↓ ε	␈εα)␈αλ+␈↓ εI␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε{␈εα+␈αλ(␈↓ π3␈ελi␈↓ πW␈ε⊗␈␈↓ λβ␈ελj␈↓ λ"␈εα)
␈β<␈↓ ¬(␈ε¬1␈↓ ¬{␈ε¬1␈↓ πA␈εh␈↓ λ∀␈εh
␈βw␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈β?␈↓ α;␈ε∃␈↓ αM␈ε¬(␈↓ αV␈εn␈↓ αh␈ε¬)␈↓ ∧
␈εr␈↓ ∧↔␈ε→␈␈↓ ∧4␈εq␈↓ ¬0␈ε¬2␈↓ ¬?␈εq␈↓ ε⊗␈ε∃␈↓ ε'␈ε¬(␈↓ ε1␈εn␈↓ εC␈ε¬)+␈↓ εi␈εs␈↓ εv␈ε→␈␈ε¬(␈α␈1␈ε→␈α↓␈␈↓ πG␈ε∩␈↓ πT␈ε¬)␈↓ π↑␈εq␈↓ λ5␈ε∃␈↓ λG␈ε¬(␈↓ λP␈εn␈↓ λb␈ε¬)+␈↓ 	λ␈εs␈↓ 	∃␈ε→␈␈ε¬(␈α␈1␈ε→␈α↓␈␈↓ 	f␈ε∩␈↓ 	s␈ε¬)␈↓ 	⎇␈εt
␈βE␈↓ α)␈εα2␈↓ α|␈ε⊗∀␈↓ β*␈ελn␈↓ βJ␈ε⊗∀␈↓ βx␈εα2␈↓ ∧A␈εα(1␈αλ+␈↓ ¬∪␈ελ∞␈↓ ¬$␈εα)␈↓ ¬V␈εα=␈↓ ε∧␈εα2␈↓ πu␈ε⊗∀␈↓ λ#␈εα2␈↓ 
π␈εα.
␈βJ␈↓ 
9␈∧J
9≠∂
␈β
∞␈↓ 	∩␈ε∂␈↓ 	≡␈ε¬/␈α↓4
␈β
∪␈↓ α␈εαReturning␈αto␈αthe␈α
proof␈αof␈αTheorem␈αE␈↓ εR␈εα,␈αlet␈αus␈α
choose␈↓ λ7␈ελ∞␈↓ λR␈εα=␈↓ 	␈εα2␈↓ 	A␈ε⊗␈␈εα␈απ1,␈αand␈αlet␈α
us
␈β
>␈↓ ↓H␈εαdivide␈αthe␈↓ αr␈ελr␈↓ β
␈εαsteps␈αof␈αeach␈αaddition␈αin␈α␈to␈αthree␈αclasses:
␈β∞␈↓ ↓l␈ελt␈↓ α¬␈εαministeps,␈↓ βk␈ελu␈↓ ∧␈εαdoublings,␈↓ ¬t␈ελv␈↓ ε∪␈εαother␈αsteps,␈↓ λ⊃␈ελt␈↓ λ&␈εα+␈↓ λR␈ελu␈↓ λp␈εα+␈↓ 	≤␈ελv␈↓ 	9␈εα=␈↓ 	g␈ελr␈↓ 	v␈εα.␈↓ 
p␈εα(29)
␈β∞Y␈↓ ↓H␈εαCoun␈α␈ting␈αεanother␈αεway,␈απw␈α␈e␈απhav␈α␈e␈↓ ¬/␈ελs␈↓ ¬D␈εαsmall␈αεsteps,␈αλwhere␈↓ π↑␈ελs␈↓ πm␈εα+␈↓ λ⊃␈ελm␈↓ λ;␈εα=␈↓ λi␈ελr␈↓ λy␈εα.␈α
By␈αεthe␈αεh␈α␈ypotheses,
␈β∂∧␈↓ ↓H␈εαTheorem␈αA␈↓ αz␈εα,␈αand␈αLemma␈αP␈↓ ∧n␈εα,␈αw␈α␈e␈αobtain␈αthe␈αrelations
␈β∂R␈↓ αS␈ελt␈↓ αj␈ε⊗∀␈↓ β_␈ελs␈↓ β'␈εα/(1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ∧␈ελ∂␈↓ ∧→␈εα/2),␈↓ ¬!␈ελt␈↓ ¬6␈εα+␈↓ ¬b␈ελv␈↓ ¬␈␈ε⊗∀␈εα␈α
3.271␈↓ ε␈␈ελs␈↓ π∞␈εα,␈↓ πf␈ελs␈↓ π␈␈ε⊗∀␈εα␈α
(1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ λ␈␈ελ∂␈↓ 	
␈εα)␈↓ 	→␈ελm␈↓ 	8␈εα/␈↓ 	J␈ελ∃␈↓ 	←␈εα(␈↓ 	k␈ελm␈↓ 
␈εα).␈↓ 
p␈εα(30)
␈β⊂ ␈↓ α␈εαGiv␈α␈en␈↓ αu␈ελs␈↓ β∧␈εα,␈↓ β~␈ελt␈↓ β'␈εα,␈↓ β=␈ελu␈↓ βS␈εα,␈↓ βi␈ελv␈↓ ∧λ␈εαsatisfying␈αthese␈αconditions,␈αthere␈αare␈αat␈αmost
␈β⊂g␈↓ ¬:␈ε↓∩␈↓ ε$␈ε↓∪␈↓ ε:␈ε↓∩␈↓ π$␈ε↓∪
␈β⊂j␈↓ ¬r␈ελr␈↓ εP␈ελt␈↓ εe␈εα+␈↓ π⊃␈ελv
␈β⊃↓␈↓ 
p␈εα(31)
␈β⊃→␈↓ ¬P␈ελt␈↓ ¬e␈εα+␈↓ ε⊃␈ελv␈↓ εq␈ελv
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα438␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.3
␈βα(␈↓ ↓H␈εαways␈α⊂to␈α⊂decide␈α⊂which␈α⊂steps␈α⊂belong␈α⊂to␈α⊃which␈α⊂class.␈α_Giv␈α␈en␈α⊂such␈α⊂a␈α⊂distribution
␈βαS␈↓ ↓H␈εαof␈α⊂the␈α∂steps,␈α⊃let␈α⊂us␈α⊂consider␈α⊂ho␈α␈w␈α⊂the␈α⊂non-ministeps␈α⊂can␈α⊂be␈α⊂selected:␈α∀If␈α⊂step␈↓ ∨␈ελi
␈βα}␈↓ ↓H␈εαis␈α∞one␈α∂of␈α∂the␈α∂\other"␈α∞steps␈α∂in␈α∂(29),␈↓ ε∧␈ελa␈↓ ε/␈ε⊗∃␈εα␈α∂(1␈α
+␈↓ π8␈ελ∞␈↓ πI␈εα)␈↓ πU␈ελa␈↓ λ≤␈εα,␈α⊂so␈↓ λe␈ελa␈↓ 	∂␈εα=␈↓ 	B␈ελa␈↓ 	j␈εα+␈↓ 
_␈ελa␈↓ 
7␈εα,␈α∂where
␈ββ␈↓ ε∃␈εi␈↓ πf␈εi␈↓ πq␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λu␈εi␈↓ 	S␈εj␈↓ 
(␈εk
␈ββ%␈↓ πe␈εi␈↓ πp␈ε→␈␈↓ λ
␈εj␈↓ 
=␈εi␈↓ 
H␈ε→␈␈↓ 
e␈εj
␈ββ*␈↓ ↓H␈ελ∞␈↓ ↓Y␈ελa␈↓ α0␈ε⊗∀␈↓ αc␈ελa␈↓ β∩␈ε⊗∀␈↓ βF␈ελa␈↓ βs␈ε⊗∀␈↓ ∧'␈ελa␈↓ ∧o␈εα.␈α⊗Also␈↓ ¬b␈ελa␈↓ ε∂␈ε⊗∀␈↓ εC␈ελa␈↓ ε←␈εα/(1␈α
+␈↓ πH␈ελ∞␈↓ πY␈εα)␈↓ λ*␈ε⊗∀␈εα␈α⊂2␈↓ λp␈ελa␈↓ 	7␈εα/(1␈α
+␈↓ 
 ␈ελ∞␈↓ 
1␈εα)␈↓ 
r␈εα,␈α⊂so
␈ββ7␈↓ ↓j␈εi␈↓ ↓u␈ε→␈␈ε¬1␈↓ αt␈εk␈↓ βW␈εj␈↓ ∧8␈εi␈↓ ∧C␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ¬s␈εj␈↓ εT␈εi␈↓ 	␈εi␈↓ 	␈ε→␈␈ε¬1
␈ββP␈↓ β"␈εi␈↓ β.␈ε→␈␈↓ βJ␈εj
␈ββU␈↓ ↓H␈ελ∞␈↓ ↓c␈ε⊗∀␈εα␈α
2/(1␈απ+␈↓ β¬␈ελ∞␈↓ β⊗␈εα)␈↓ βX␈εα.␈αThis␈αgiv␈α␈es␈αat␈αmost␈↓ ε→␈ελ␈␈↓ ε;␈εαchoices␈αfor␈↓ πk␈ελj␈↓ π|␈εα,␈αwhere␈↓ λx␈ελ␈␈↓ 	~␈εαis␈αa␈αconstan␈α␈t␈αthat
␈β∧␈↓ ↓H␈εαdepends␈α
only␈α
on␈↓ βN␈ελ∞␈↓ β←␈εα.␈αThere␈α
are␈α
also␈α
at␈α
most␈↓ ε[␈ελ␈␈↓ ε|␈εαchoices␈α
for␈↓ λ*␈ελk␈↓ λ<␈εα,␈α
so␈α
the␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
ways
␈β∧+␈↓ ↓H␈εαto␈αassign␈↓ α↑␈ελj␈↓ αz␈εαand␈↓ β@␈ελk␈↓ β↑␈εαfor␈αeach␈αof␈αthe␈αnon-ministeps␈αis␈αat␈αmost
␈β∧⎇␈↓ ε1␈ε¬2␈↓ ε?␈εv
␈β¬β␈↓ ε≠␈ελ␈␈↓ εO␈εα.␈↓ 
p␈εα(32)
␈β¬\␈↓ α␈εαFinally,␈αλonce␈απthe␈αε\␈↓ ∧%␈ελj␈↓ ∧6␈εα"␈απand␈αε\␈↓ ¬!␈ελk␈↓ ¬3␈εα"␈απhav␈α␈e␈απbeen␈απselected␈αεfor␈απeach␈απof␈απthe␈αεnon-ministeps,
␈βεπ␈↓ ↓H␈εαthere␈αare␈αfew␈α␈er␈αthan
␈βε&␈↓ ε;␈ε¬2
␈βε(␈↓ ε∃␈ε↓∩␈↓ εI␈ε↓∪
␈βε+␈↓ ε+␈ελr
␈βεB␈↓ 
p␈εα(33)
␈βεZ␈↓ ε4␈ελt
␈βπ≡␈↓ ↓H␈εαways␈α	to␈αλchoose␈α	the␈↓ βq␈ελj␈↓ ∧␈εαand␈αλthe␈↓ ¬λ␈ελk␈↓ ¬#␈εαfor␈α	the␈α	ministeps:␈α
We␈α	select␈↓ λW␈ελt␈↓ λm␈εαdistinct␈α	pairs␈α	(␈↓ 
M␈ελj␈↓ 
h␈εα,␈↓ 
x␈ελk␈↓ ⊗␈εα),
␈βπ+␈↓ 
Z␈ε¬1␈↓ λ␈ε¬1
␈βπI␈↓ ↓H␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ↓x␈εα,␈α∂(␈↓ α≥␈ελj␈↓ α4␈εα,␈↓ αD␈ελk␈↓ α←␈εα)␈α∞of␈α∂indices␈α∞in␈α∂the␈α∞range␈α∂0␈ε⊗␈α∞∀␈↓ εB␈ελk␈↓ εn␈ε⊗∀␈↓ π!␈ελj␈↓ πJ␈εα<␈↓ π⎇␈ελr␈↓ λ␈εα,␈α∂in␈α∂few␈α␈er␈α∞than␈α∂(33)␈α∞ways.
␈βπV␈↓ α*␈εt␈↓ αT␈εt␈↓ εR␈εh␈↓ π.␈εh
␈βπt␈↓ ↓H␈εαThen␈αfor␈αeach␈αministep␈↓ ∧B␈ελi␈↓ ∧P␈εα,␈αin␈αturn,␈αw␈α␈e␈αuse␈αa␈αpair␈αof␈αindices␈α(␈↓ λq␈ελj␈↓ 	␈εα,␈↓ 	≤␈ελk␈↓ 	;␈εα)␈αsuch␈αthat
␈βλα␈↓ λ}␈εh␈↓ 	,␈εh
␈βλ,␈↓ ↓b␈εαa)␈↓ α␈ελj␈↓ α2␈εα<␈↓ α`␈ελi␈↓ αn␈εα;
␈βλ:␈↓ α→␈εh
␈βλX␈↓ ↓`␈εαb)␈↓ α␈ελa␈↓ α;␈εα+␈↓ αd␈ελa␈↓ β≠␈εαis␈αas␈α
small␈αas␈α
possible␈αamong␈α
the␈α
pairs␈αnot␈α
already␈αused␈α
for␈α
smaller
␈βλf␈↓ α≥␈εj␈↓ αu␈εk
␈βλn␈↓ α(␈ε
h␈↓ β∧␈ε
h
␈β	β␈↓ α␈εαministeps␈↓ β,␈ελi␈↓ β:␈εα;
␈β	/␈↓ ↓d␈εαc)␈↓ α␈ελa␈↓ α2␈εα=␈↓ α`␈ελa␈↓ β⊃␈εα+␈↓ β=␈ελa␈↓ βu␈εαsatis|es␈αthe␈αde|nition␈αof␈αministep.
␈β	=␈↓ α≥␈εi␈↓ αq␈εj␈↓ βN␈εk
␈β	E␈↓ α|␈ε
h␈↓ β]␈ε
h
␈β	h␈↓ ↓H␈εαIf␈α
no␈α
such␈α
pair␈α
(␈↓ βJ␈ελj␈↓ βe␈εα,␈↓ βu␈ελk␈↓ ∧∀␈εα)␈α
exists,␈α
w␈α␈e␈α
get␈α
no␈α
addition␈α
chain;␈α∞on␈α
the␈α
other␈α
hand,␈α
an␈α␈y
␈β	u␈↓ βW␈εh␈↓ ∧¬␈εh
␈β
∪␈↓ ↓H␈εαaddition␈α
chain␈α∞with␈α
ministeps␈α∞in␈α
the␈α∞designated␈α
places␈α∞m␈α␈ust␈α
be␈α
selected␈α∞in␈α
one
␈β
>␈↓ ↓H␈εαof␈αthese␈αways,␈αso␈α(33)␈αis␈αan␈αupper␈αbound␈αon␈αthe␈αpossibilities.
␈β
j␈↓ α␈εαTh␈α␈us␈αthe␈α
total␈αn␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
possible␈αaddition␈α
chains␈αsatisfying␈α
(26)␈αis␈α
bounded
␈β∃␈↓ ↓H␈εαby␈α(31)␈αtimes␈α(32)␈αtimes␈α(33),␈αsummed␈αo␈α␈v␈α␈er␈αall␈αrelevan␈α␈t␈↓ λ1␈ελs␈↓ λ@␈εα,␈↓ λU␈ελt␈↓ λb␈εα,␈↓ λx␈ελu␈↓ 	∞␈εα,␈αand␈↓ 	h␈ελv␈↓ 	{␈εα.␈αThe␈αproof
␈β@␈↓ ↓H␈εαof␈αTheorem␈α
E␈αcan␈αno␈α␈w␈α
be␈αcompleted␈α
by␈αmeans␈α
of␈αa␈α
rather␈αstandard␈αestimation
␈βk␈↓ ↓H␈εαof␈αthese␈αfunctions␈α(ex␈α␈ercise␈α18).
␈βp␈↓ ¬\␈∧p¬\≠∂
␈β0␈↓ ↓H␈ε∩Corollary.␈ε∂␈α≡The␈α∂value␈α∂of␈↓ ∧d␈ελl␈↓ ∧n␈εα(␈↓ ∧z␈ελn␈↓ ¬∂␈εα)␈ε∂␈α∂is␈α∂asymptotically␈↓ πH␈ελ∃␈↓ π]␈εα(␈↓ πi␈ελn␈↓ π␈␈εα)␈α
+␈↓ λC␈ελ∃␈↓ λX␈εα(␈↓ λd␈ελn␈↓ λz␈εα)/␈↓ 	_␈ελ∃␈↓ 	-␈ελ∃␈↓ 	B␈εα(␈↓ 	N␈ελn␈↓ 	d␈εα)␈ε∂,␈α∂for␈α∂almost
␈β[␈↓ ↓H␈ε∂all␈↓ ↓y␈ελn␈↓ α∞␈ε∂.␈αMore␈αprecisely,␈αthere␈αis␈αa␈αfunction␈↓ εD␈ελf␈↓ εV␈εα(␈↓ εb␈ελn␈↓ εw␈εα)␈ε∂␈αsuch␈αthat␈↓ λ-␈ελf␈↓ λ>␈εα(␈↓ λJ␈ελn␈↓ λ←␈εα)␈ε⊗␈α
!␈εα␈α
0␈ε∂␈αas␈↓ 	l␈ελn␈↓ 
␈ε⊗!␈α
1␈ε∂,␈αand
␈β
∀␈↓ β)␈ε↓␈␈↓ β=␈ε↓␈␈↓ εX␈ε↓␈␈↓ 	
␈ε↓↓
␈β
*␈↓ β=␈ε↓␈␈↓ εX␈ε↓␈
␈β
4␈↓ β¬␈εαPr␈↓ βI␈ελl␈↓ βS␈εα(␈↓ β←␈ελn␈↓ βu␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ∧5␈ελ∃␈↓ ∧J␈εα(␈↓ ∧V␈ελn␈↓ ∧k␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ¬+␈ελ∃␈↓ ¬@␈εα(␈↓ ¬L␈ελn␈↓ ¬b␈εα)/␈↓ ε␈ελ∃␈↓ ε∃␈ελ∃␈↓ ε*␈εα(␈↓ ε6␈ελn␈↓ εL␈εα)␈↓ εn␈ε⊗∃␈↓ π≤␈ελf␈↓ π-␈εα(␈↓ π9␈ελn␈↓ πO␈εα)␈↓ π[␈ελ∃␈↓ πp␈εα(␈↓ π|␈ελn␈↓ λ⊃␈εα)/␈↓ λ/␈ελ∃␈↓ λD␈ελ∃␈↓ λY␈εα(␈↓ λe␈ελn␈↓ λ{␈εα)␈↓ 	%␈εα=␈α
0.␈↓ 
p␈εα(34)
␈β∞␈↓ ↓H␈εα(See␈αSection␈α3.5␈αfor␈αthe␈αde|nition␈αof␈αthis␈αprobability␈α\Pr".)
␈β∞T␈↓ ↓H␈ε∂Proof.␈εα␈α~The␈αupper␈α
bound␈α(25)␈α
sho␈α␈ws␈αthat␈α
(34)␈αholds␈α
without␈αthe␈α
absolute␈αvalue
␈β∞␈␈↓ ↓H␈εαsigns.␈α⊂The␈α
lo␈α␈w␈α␈er␈α∞bound␈α
comes␈α
from␈α∞Theorem␈α
E␈↓ π<␈εα,␈α∞if␈α
w␈α␈e␈α∞let␈↓ λc␈ελf␈↓ λu␈εα(␈↓ 	↓␈ελn␈↓ 	⊗␈εα)␈α∞decrease␈α
to␈α
zero
␈β∂*␈↓ ↓H␈εαslo␈α␈wly␈αenough␈α
so␈αthat,␈α
when␈↓ ¬∃␈ελf␈↓ ¬'␈εα(␈↓ ¬3␈ελn␈↓ ¬H␈εα)␈ε⊗␈α∀␈↓ ε∞␈ελ∂␈↓ ε≤␈εα,␈α
the␈αvalue␈↓ πR␈ελN␈↓ λ␈εαis␈αso␈α
large␈αthat␈α
at␈αmost␈↓ 
⎇␈ελ∂␈↓ ␈ελN
␈β∂V␈↓ ↓H␈εαvalues␈↓ α6␈ελn␈↓ αU␈ε⊗∀␈↓ ββ␈ελN␈↓ β1␈εαhav␈α␈e␈↓ ∧ε␈ελl␈↓ ∧⊂␈εα(␈↓ ∧≤␈ελn␈↓ ∧2␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈↓ ∧v␈ελ∃␈↓ ¬␈εα(␈↓ ¬↔␈ελn␈↓ ¬,␈εα)␈αλ+␈αλ(1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ε>␈ελ∂␈↓ εL␈εα)␈↓ εX␈ελ∃␈↓ εm␈εα(␈↓ εy␈ελn␈↓ π∂␈εα)/␈↓ π-␈ελ∃␈↓ πB␈ελ∃␈↓ πW␈εα(␈↓ πc␈ελn␈↓ πy␈εα).
␈β∂[␈↓ λ6␈∧∂[λ6≠∂
␈β⊂∃␈↓ 
f␈ε¬*
␈β⊂~␈↓ ↓H␈ε∩Star␈α
chains.␈εα␈α≤Optimistic␈α
people␈α
|nd␈α∞it␈α
reasonable␈α∞to␈α
suppose␈α
that␈↓ 	h␈ελl␈↓ 	r␈εα(␈↓ 	}␈ελn␈↓ 
∀␈εα)␈α=␈↓ 
\␈ελl␈↓ 
u␈εα(␈↓ ↓␈ελn␈↓ ⊗␈εα);
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαgiv␈α␈en␈α
an␈α∞addition␈α
chain␈α
of␈α∞minimal␈α
length␈↓ εu␈ελl␈↓ ε␈␈εα(␈↓ π␈ελn␈↓ π ␈εα),␈α∞it␈α∞appears␈α
hard␈α∞to␈α
believ␈α␈e␈α
that
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈α
cannot␈α∞|nd␈α
one␈α∞of␈α∞the␈α
same␈α∞length␈α
that␈α∞satis|es␈α∞the␈α
(apparen␈α␈tly␈α∞mild)␈α
star
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαcondition.␈αBut␈αin␈α
1958␈αWalter␈αHansen␈αpro␈α␈v␈α␈ed␈α
the␈αremarkable␈αtheorem␈αthat,␈αfor
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.3␈ε∞␈↓ πXEV␈α{AL␈α␈UA␈α⎇T␈α␈ION␈α	OF␈α	PO␈α␈WERS␈↓ 
v␈εα439
␈βα!␈↓ 	.␈ε¬*
␈βα&␈↓ ↓H␈εαcertain␈α
large␈α	values␈α
of␈↓ ∧'␈ελn␈↓ ∧=␈εα,␈α
the␈α
value␈α
of␈↓ ε∪␈ελl␈↓ ε≥␈εα(␈↓ ε)␈ελn␈↓ ε?␈εα)␈α
is␈α	de|nitely␈α
less␈α
than␈↓ 	$␈ελl␈↓ 	=␈εα(␈↓ 	I␈ελn␈↓ 	↑␈εα),␈αand␈α
he␈α	also
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαpro␈α␈v␈α␈ed␈αsev␈α␈eral␈αrelated␈αtheorems␈αthat␈αw␈α␈e␈αshall␈αno␈α␈w␈αin␈α␈v␈α␈estigate.
␈βα⎇␈↓ α␈εαHansen's␈αtheorems␈αbegin␈α
with␈αan␈αin␈α␈v␈α␈estigation␈αof␈α
the␈αdetailed␈αstructure␈αof␈α
a
␈ββ(␈↓ ↓H␈εαstar␈απchain.␈αThis␈απstructure␈αλis␈αλgiv␈α␈en␈απin␈αλterms␈απof␈αλother␈αλsequences␈απand␈αλsets␈απconstructed
␈ββN␈↓ ¬@␈εe␈↓ ε_␈εe␈↓ πJ␈εe
␈ββS␈↓ ↓H␈εαfrom␈α
the␈αgiv␈α␈en␈α
chain.␈αLet␈↓ ∧`␈ελn␈↓ ¬␈εα=␈↓ ¬.␈εα2␈↓ ¬\␈εα+␈↓ εε␈εα2␈↓ ε4␈εα+␈↓ ε↑␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π∞␈εα+␈↓ π8␈εα2␈↓ π←␈εα,␈↓ πs␈ελe␈↓ λ→␈εα>␈↓ λG␈ελe␈↓ λl␈εα>␈↓ 	~␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	N␈εα>␈↓ 	|␈ελe␈↓ 
≡␈ε⊗∃␈εα␈α
0,␈α
and
␈ββW␈↓ ¬K␈επ0␈↓ ε#␈επ1␈↓ πU␈ε
t
␈ββ`␈↓ λ␈ε¬0␈↓ λT␈ε¬1␈↓ 
	␈εt
␈ββ}␈↓ ↓H␈εαlet␈α1␈α=␈↓ αH␈ελa␈↓ αs␈εα<␈↓ β"␈ελa␈↓ βL␈εα<␈↓ β{␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧0␈εα<␈↓ ∧←␈ελa␈↓ ¬λ␈εα=␈↓ ¬7␈ελn␈↓ ¬Y␈εαbe␈α
a␈αstar␈α
chain␈α
for␈↓ λ
␈ελn␈↓ λ ␈εα.␈α∞If␈αthere␈α
are␈↓ 	v␈ελd␈↓ 
⊗␈εαdoublings
␈β∧␈↓ αY␈ε¬0␈↓ β2␈ε¬1␈↓ ∧p␈εr
␈β∧)␈↓ ↓H␈εαin␈αthis␈αchain,␈αw␈α␈e␈αde|ne␈αthe␈αauxiliary␈αsequence
␈β∧j␈↓ ∧'␈εα0␈α
=␈↓ ∧q␈ελd␈↓ ¬~␈ε⊗∀␈↓ ¬H␈ελd␈↓ ¬r␈ε⊗∀␈↓ ε ␈ελd␈↓ εI␈ε⊗∀␈↓ εw␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π+␈ε⊗∀␈↓ πY␈ελd␈↓ λ↓␈εα=␈↓ λ/␈ελd␈↓ λC␈εα,␈↓ 
p␈εα(35)
␈β∧x␈↓ ¬α␈ε¬0␈↓ ¬Y␈ε¬1␈↓ ε0␈ε¬2␈↓ πi␈εr
␈β¬+␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α1␈ελd␈↓ α[␈εαis␈α
the␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
doublings␈α∞among␈α
steps␈α∞1,␈α
2,␈↓ λ6␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λf␈εα,␈↓ λ}␈ελi␈↓ 	␈εα.␈α⊂We␈α∞also␈α
de|ne␈α
a
␈β¬9␈↓ αB␈εi
␈β¬V␈↓ ↓H␈εαsequence␈αλof␈α	\m␈α␈ultisets"␈↓ ∧9␈ελS␈↓ ∧Y␈εα,␈↓ ∧m␈ελS␈↓ ¬
␈εα,␈↓ ¬ ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬P␈εα,␈↓ ¬d␈ελS␈↓ εβ␈εα,␈α
which␈αλk␈α␈eep␈α	track␈α	of␈αλthe␈α	po␈α␈w␈α␈ers␈α	of␈α	2␈αλpresen␈α␈t
␈β¬d␈↓ ∧K␈ε¬0␈↓ ∧␈␈ε¬1␈↓ ¬v␈εr
␈βεα␈↓ ↓H␈εαin␈α∂the␈α∂chain.␈α≡(A␈ε∂␈α∂m␈α␈ultiset␈εα␈α∂is␈α∂a␈α∂mathematical␈α∂en␈α␈tity␈α∂that␈α∂is␈α∂lik␈α␈e␈α∂a␈α∂set␈α∂but␈α∂it␈α∂is
␈βε-␈↓ ↓H␈εαallo␈α␈w␈α␈ed␈α
to␈αcon␈α␈tain␈αrepeated␈α
elemen␈α␈ts;␈αan␈αobject␈αmay␈α
be␈αan␈αelemen␈α␈t␈α
of␈αa␈α
m␈α␈ultiset
␈βεX␈↓ ↓H␈εαsev␈α␈eral␈αtimes,␈αand␈α
its␈αm␈α␈ultiplicity␈αof␈α
occurrences␈αis␈αrelevan␈α␈t.␈α
See␈α
ex␈α␈ercise␈α19␈αfor
␈βπβ␈↓ ↓H␈εαfamiliar␈αexamples␈αof␈αm␈α␈ultisets.)␈α→The␈αm␈α␈ultisets␈↓ π3␈ελS␈↓ π\␈εαare␈αde|ned␈αby␈αthe␈αrules
␈βπ⊃␈↓ πE␈εi
␈βπ4␈↓ ↓b␈εαa)␈↓ α␈ελS␈↓ α6␈εα=␈ε⊗␈α
f␈εα0␈ε⊗g␈εα;
␈βπB␈↓ α≡␈ε¬0
␈βπe␈↓ ↓`␈εαb)␈↓ α␈εαIf␈↓ α0␈ελa␈↓ βα␈εα=␈α
2␈↓ βB␈ελa␈↓ β↑␈εα,␈αthen␈↓ ∧F␈ελS␈↓ ¬_␈εα=␈↓ ¬F␈ε⊗f␈↓ ¬↑␈ελx␈↓ ¬{␈ε⊗j␈↓ ε∂␈ελx␈↓ ε*␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈ε⊗␈α
2␈↓ π_␈ελS␈↓ π<␈ε⊗g␈↓ πN␈εα;
␈βπr␈↓ αA␈εi␈↓ αL␈ε¬+1␈↓ βR␈εi␈↓ ∧X␈εi␈↓ ∧c␈ε¬+1␈↓ π*␈εi
␈βλ⊗␈↓ ↓d␈εαc)␈↓ α␈εαIf␈↓ α0␈ελa␈↓ βα␈εα=␈↓ β0␈ελa␈↓ βT␈εα+␈↓ ∧␈ελa␈↓ ∧∨␈εα,␈↓ ∧5␈ελk␈↓ ∧Q␈εα<␈↓ ∧␈␈ελi␈↓ ¬
␈εα,␈αthen␈↓ ¬u␈ελS␈↓ εG␈εα=␈↓ εu␈ελS␈↓ π≠␈ε⊗]␈↓ π=␈ελS␈↓ π↑␈εα.
␈βλ#␈↓ αA␈εi␈↓ αL␈ε¬+1␈↓ β@␈εi␈↓ ∧⊃␈εk␈↓ επ␈εi␈↓ ε∩␈ε¬+1␈↓ ππ␈εi␈↓ πO␈εk
␈βλG␈↓ α␈εα(The␈α∂sym␈α␈bol␈ε⊗␈α∞]␈εα␈α∂means␈α∞that␈α∂the␈α∞m␈α␈ultisets␈α∂are␈α∞com␈α␈bined,␈α∂adding␈α∂the␈α∞m␈α␈ulti-
␈βλr␈↓ ↓H␈εαplicities.)␈α→From␈αthis␈αde|nition␈αit␈αfollo␈α␈ws␈αthat
␈β	⊂␈↓ ε1␈ε↓X
␈β	-␈↓ πβ␈εx
␈β	3␈↓ ¬W␈ελa␈↓ ¬}␈εα=␈↓ εq␈εα2␈↓ π∪␈εα,␈↓ 
p␈εα(36)
␈β	@␈↓ ¬h␈εi
␈β	d␈↓ ε,␈εx␈↓ ε;␈ε→2␈↓ εR␈εS
␈β	m␈↓ εa␈ε
i
␈β
⊂␈↓ ↓H␈εαwhere␈αthe␈αterms␈αin␈αthis␈αsum␈αare␈αnot␈αnecessarily␈αdistinct.␈αIn␈αparticular,
␈β
.␈↓ πi␈ε↓X
␈β
K␈↓ ∧␈␈εe␈↓ ¬[␈εe␈↓ π⊗␈εe␈↓ λ;␈εx
␈β
Q␈↓ ∧∨␈ελn␈↓ ∧?␈εα=␈↓ ∧m␈εα2␈↓ ¬≥␈εα+␈↓ ¬I␈εα2␈↓ ¬z␈εα+␈↓ ε&␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εX␈εα+␈↓ π∧␈εα2␈↓ π4␈εα=␈↓ λ)␈εα2␈↓ λK␈εα.␈↓ 
p␈εα(37)
␈β
T␈↓ ¬
␈επ0␈↓ ¬f␈επ1␈↓ π!␈ε
t
␈ββ␈↓ πb␈εx␈↓ πr␈ε→2␈↓ λλ␈εS
␈β␈↓ λ↔␈ε
r
␈β%␈↓ λ∨␈εf
␈β*␈↓ ↓H␈εαThe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αelemen␈α␈ts␈αin␈αthe␈αlatter␈αsum␈αis␈αat␈αmost␈↓ λ
␈εα2␈↓ λ-␈εα,␈αwhere␈↓ 	*␈ελf␈↓ 	E␈εα=␈↓ 	s␈ελr␈↓ 
␈ε⊗␈␈↓ 
7␈ελd␈↓ 
W␈εαis␈αthe
␈βU␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αnondoublings.
␈β␈↓ α␈εαSince␈↓ αh␈ελn␈↓ βλ␈εαhas␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α	di{eren␈α␈t␈α
binary␈α
represen␈α␈tations␈α
in␈α
(37),␈αw␈α␈e␈α
can␈α	partition␈α
the
␈β+␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiset␈↓ αS␈ελS␈↓ α}␈εαin␈α␈to␈αm␈α␈ultisets␈↓ ∧`␈ελM␈↓ ¬
␈εα,␈↓ ¬#␈ελM␈↓ ¬Q␈εα,␈↓ ¬g␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε↔␈εα,␈↓ ε-␈ελM␈↓ εb␈εαsuch␈αthat
␈β9␈↓ αe␈εr␈↓ ∧␈␈ε¬0␈↓ ¬B␈ε¬1␈↓ εL␈εt
␈βI␈↓ ¬<␈ε↓X
␈βf␈↓ ∧b␈εe␈↓ ε∪␈εx
␈βl␈↓ ∧P␈εα2␈↓ ¬α␈εα=␈↓ ε↓␈εα2␈↓ ε#␈εα,␈↓ ε{0␈ε⊗␈α
∀␈↓ πE␈ελj␈↓ π`␈ε⊗∀␈↓ λ∞␈ελt␈↓ λ≠␈εα.␈↓ 
p␈εα(38)
␈βo␈↓ ∧m␈ε
j
␈β
≡␈↓ ¬0␈εx␈↓ ¬@␈ε→2␈↓ ¬V␈εM
␈β
&␈↓ ¬p␈ε
j
␈β
?␈↓ ↓H␈εαThis␈α∩can␈α∩be␈α∪done␈α∩by␈α∩arranging␈α∩the␈α∪elemen␈α␈ts␈α∩of␈↓ πk␈ελS␈↓ λ≥␈εαin␈α␈to␈α∩nondecreasing␈α∩order
␈β
L␈↓ π⎇␈εr
␈β
e␈↓ λ\␈εx␈↓ 
 ␈εx␈↓ ∞␈εe
␈β
j␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓u␈ε⊗∀␈↓ α'␈ελx␈↓ αU␈ε⊗∀␈↓ βπ␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ β@␈εαand␈α∞taking␈↓ ∧{␈ελM␈↓ ¬3␈εα=␈ε⊗␈α∞f␈↓ ¬w␈ελx␈↓ ε⊗␈εα,␈↓ ε&␈ελx␈↓ εE␈εα,␈↓ εU␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π¬␈εα,␈↓ π∃␈ελx␈↓ π4␈ε⊗g␈εα,␈α∂where␈↓ λJ␈εα2␈↓ λ␈␈εα+␈↓ 	-␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	a␈εα+␈↓ 
∞␈εα2␈↓ 
J␈εα=␈↓ 
|␈εα2␈↓ "␈εα.
␈β
n␈↓ λj␈επ1␈↓ 
/␈ε
k␈↓ →␈ε
t
␈β
w␈↓ ↓X␈ε¬1␈↓ α8␈ε¬2␈↓ ¬~␈εt␈↓ ελ␈ε¬1␈↓ ε7␈ε¬2␈↓ π&␈εk
␈β∞∃␈↓ ↓H␈εαThis␈α⊂m␈α␈ust␈α⊂be␈α⊂possible,␈α⊃since␈↓ ¬ ␈ελe␈↓ ¬H␈εαis␈α⊂the␈α⊂smallest␈α⊃of␈α⊂the␈↓ λ1␈ελe␈↓ λ?␈εα's.␈α→Similarly,␈↓ 
#␈ελM␈↓ λ␈εα=
␈β∞#␈↓ ¬-␈εt␈↓ 
B␈εt␈↓ 
L␈ε→␈␈ε¬1
␈β∞@␈↓ ↓H␈ε⊗f␈↓ ↓Z␈ελx␈↓ α$␈εα,␈↓ α4␈ελx␈↓ α}␈εα,␈↓ β∞␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β>␈εα,␈↓ βN␈ελx␈↓ βs␈ε⊗g␈εα,␈αλand␈αλso␈αλon;␈α	the␈απprocess␈αλis␈απeasily␈αλvisualized␈απin␈αλbinary␈απnotation.
␈β∞L␈↓ βm␈ε≠0
␈β∞N␈↓ ↓j␈εk␈↓ ↓y␈ε¬+1␈↓ αE␈εk␈↓ αS␈ε¬+2␈↓ β←␈εk
␈β∞g␈↓ 
λ␈εf
␈β∞l␈↓ α␈εαLet␈↓ αJ␈ελM␈↓ α␈␈εαcon␈α␈tain␈↓ βz␈ελm␈↓ ∧/␈εαelemen␈α␈ts␈αλ(coun␈α␈ting␈αλm␈α␈ultiplicities);␈α
then␈↓ 	∩␈ελm␈↓ 	H␈ε⊗∀␈↓ 	v␈εα2␈↓ 
→␈ε⊗␈␈↓ 
@␈ελt␈↓ 
M␈εα,␈α	since
␈β∞y␈↓ αi␈εj␈↓ ∧→␈εj␈↓ 	1␈εj
␈β∂∩␈↓ βR␈εf
␈β∂↔␈↓ ↓H␈ελS␈↓ ↓u␈εαhas␈α∂at␈α∞most␈↓ β@␈εα2␈↓ βn␈εαelemen␈α␈ts␈α∂and␈α∞it␈α∞has␈α∞been␈α∂partitioned␈α∞in␈α␈to␈α∞(␈↓ 	≡␈ελt␈↓ 	5␈εα+␈α	1)␈α∞nonempty
␈β∂$␈↓ ↓Z␈εr
␈β∂B␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultisets.␈αBy␈αEq.␈α(38),␈αw␈α␈e␈αcan␈αsee␈αthat
␈β⊂β␈↓ ∧⊃␈ελe␈↓ ∧5␈ε⊗∃␈↓ ∧c␈ελx␈↓ ¬␈εα>␈↓ ¬.␈ελe␈↓ ¬P␈ε⊗␈␈↓ ¬|␈ελm␈↓ ε(␈εα,␈↓ π␈εαfor␈αall␈↓ πj␈ελx␈↓ λπ␈ε⊗2␈↓ λ-␈ελM␈↓ λY␈εα.␈↓ 
p␈εα(39)
␈β⊂⊂␈↓ ∧≡␈εj␈↓ ¬;␈εj␈↓ ε≠␈εj␈↓ λL␈εj
␈β⊂D␈↓ α␈εαOur␈α
examination␈α
of␈α
the␈α
star␈α
chain's␈α
structure␈α
is␈α
completed␈α
by␈αforming␈α
the
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultisets␈↓ α[␈ελM␈↓ β~␈εαthat␈απrecord␈αεthe␈απancestral␈απhistory␈απof␈↓ π0␈ελM␈↓ π]␈εα.␈α
The␈απm␈α␈ultiset␈↓ 	;␈ελS␈↓ 	`␈εαis␈αεpartitioned
␈β⊂|␈↓ αz␈εi␈↓ βε␈εj␈↓ πO␈εj␈↓ 	M␈εi
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαin␈α␈to␈α(␈↓ α≥␈ελt␈↓ α2␈εα+␈αλ1)␈αm␈α␈ultisets␈αas␈αfollo␈α␈ws:
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα440␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.3
␈βα%␈↓ ↓b␈εαa)␈↓ α␈ελM␈↓ αP␈εα=␈↓ α}␈ελM␈↓ β*␈εα;
␈βα2␈↓ α+␈εr␈↓ α8␈εj␈↓ β≥␈εj
␈βαX␈↓ ↓`␈εαb)␈↓ α␈εαIf␈↓ α0␈ελa␈↓ βα␈εα=␈α
2␈↓ βB␈ελa␈↓ β↑␈εα,␈αthen␈↓ ∧F␈ελM␈↓ ¬λ␈εα=␈↓ ¬6␈ε⊗f␈↓ ¬N␈ελx␈↓ ¬j␈ε⊗j␈↓ ¬}␈ελx␈↓ ε→␈εα+␈αλ1␈ε⊗␈α
2␈↓ ππ␈ελM␈↓ λβ␈ε⊗g␈↓ λ∃␈εα;
␈βαe␈↓ αA␈εi␈↓ αL␈ε¬+1␈↓ βR␈εi␈↓ ∧e␈εi␈↓ ∧p␈εj
␈βαf␈↓ π&␈ε¬(␈↓ π0␈εi␈↓ π;␈ε¬+1)␈↓ πp␈εj
␈ββ
␈↓ ↓d␈εαc)␈↓ α␈εαIf␈↓ α0␈ελa␈↓ βα␈εα=␈↓ β0␈ελa␈↓ βU␈εα+␈↓ ∧↓␈ελa␈↓ ∧ ␈εα,␈↓ ∧6␈ελk␈↓ ∧R␈εα<␈↓ ¬↓␈ελi␈↓ ¬∂␈εα,␈αthen␈α(since␈↓ ε[␈ελS␈↓ π.␈εα=␈↓ π\␈ελS␈↓ λα␈ε⊗]␈↓ λ$␈ελS␈↓ λE␈εα)␈αw␈α␈e␈αlet␈↓ 	F␈ελM␈↓ 
λ␈εα=␈↓ 
6␈ελM
␈ββ_␈↓ αA␈εi␈↓ αL␈ε¬+1␈↓ βA␈εi␈↓ ∧∩␈εk␈↓ εm␈εi␈↓ εy␈ε¬+␈α␈1␈↓ πn␈εi␈↓ λ6␈εk␈↓ 	e␈εi␈↓ 	q␈εj
␈ββ→␈↓ 
U␈ε¬(␈↓ 
←␈εi␈↓ 
j␈ε¬+1␈α↓)␈↓ ∨␈εj
␈ββ6␈↓ α␈εαmin␈α␈us␈↓ αr␈ελS␈↓ β∩␈εα,␈α	that␈α	is,␈α	w␈α␈e␈α	remo␈α␈v␈α␈e␈αλthe␈α	elemen␈α␈ts␈αλof␈↓ π6␈ελS␈↓ π←␈εαfrom␈↓ λ1␈ελM␈↓ 	(␈εα.␈α
If␈α	some␈αλelemen␈α␈t
␈ββC␈↓ β∧␈εk␈↓ πH␈εk
␈ββD␈↓ λP␈ε¬(␈↓ λZ␈εi␈↓ λe␈ε¬+1␈α↓)␈↓ 	~␈εj
␈ββa␈↓ α␈εαof␈↓ α6␈ελS␈↓ αb␈εαappears␈αin␈αt␈α␈w␈α␈o␈αor␈αmore␈αdi{eren␈α␈t␈αm␈α␈ultisets␈↓ λα␈ελM␈↓ λx␈εα,␈αw␈α␈e␈αremo␈α␈v␈α␈e␈αit␈αfrom
␈ββn␈↓ αH␈εk
␈ββo␈↓ λ!␈ε¬(␈↓ λ*␈εi␈↓ λ6␈ε¬+1)␈↓ λk␈εj
␈β∧␈↓ α␈εαthe␈α
set␈αwith␈α
the␈αlargest␈α
possible␈αvalue␈α
of␈↓ π	␈ελj␈↓ π~␈εα;␈αthis␈α
rule␈α
uniquely␈αde|nes␈↓ 
>␈ελM␈↓ ␈εαfor
␈β∧→␈↓ 
]␈εi␈↓ 
i␈εj
␈β∧7␈↓ α␈εαeach␈↓ α↑␈ελj␈↓ αn␈εα,␈αwhen␈↓ βb␈ελi␈↓ β|␈εαis␈α|x␈α␈ed.
␈β∧v␈↓ ↓H␈εαFrom␈αthis␈αde|nition␈αit␈αfollo␈α␈ws␈αthat
␈β¬S␈↓ αs␈ελe␈↓ β∃␈εα+␈↓ βA␈ελd␈↓ βe␈ε⊗␈␈↓ ∧⊃␈ελd␈↓ ∧0␈ε⊗∃␈↓ ∧↑␈ελx␈↓ ∧z␈εα>␈↓ ¬(␈ελe␈↓ ¬K␈εα+␈↓ ¬w␈ελd␈↓ ε≠␈ε⊗␈␈↓ εG␈ελd␈↓ εc␈ε⊗␈␈↓ π∂␈ελm␈↓ π;␈εα,␈↓ λ∪␈εαfor␈αall␈↓ λ⎇␈ελx␈↓ 	→␈ε⊗2␈↓ 	?␈ελM␈↓ 	w␈εα.␈↓ 
p␈εα(40)
␈β¬`␈↓ β␈εj␈↓ βR␈εi␈↓ ¬5␈εj␈↓ επ␈εi␈↓ π-␈εj␈↓ 	↑␈εi␈↓ 	j␈εj
␈βε2␈↓ α␈εαAs␈α∞an␈α
example␈α∞of␈α∞this␈α
detailed␈α∞construction,␈α∞let␈α∞us␈α
consider␈α∞the␈α∞star␈α
chain
␈βε]␈↓ ↓H␈εα1,␈α∞2,␈α∂3,␈α∂5,␈α∂10,␈α∂20,␈α⊂23,␈α∂for␈α∞which␈↓ ¬P␈ελt␈↓ ¬k␈εα=␈α∞3,␈↓ εI␈ελr␈↓ εg␈εα=␈α∞6,␈↓ πD␈ελd␈↓ πf␈εα=␈α∂3,␈↓ λD␈ελf␈↓ λc␈εα=␈α∂3.␈α∪We␈α∂obtain␈α∞the
␈βπλ␈↓ ↓H␈εαfollo␈α␈wing␈αarray␈αof␈αm␈α␈ultisets:
␈βπ↑␈↓ ∧4␈∧π↑∧4αβy
␈βπ←␈↓ ∧3␈∧π←∧3εα␈↓ ∧{␈∧π←∧{εα␈↓ ¬C␈∧π←¬Cεα␈↓ ε␈∧π←εεα␈↓ εS␈∧π←εSεα␈↓ π≠␈∧π←π≠εα␈↓ πc␈∧π←πcεα␈↓ λ+␈∧π←λ+εα
␈βπb␈↓ ∧4␈∧πb∧4αβy
␈βπd␈↓ ∧3␈∧πd∧3,α␈↓ ∧{␈∧πd∧{,α␈↓ ¬C␈∧πd¬C,α␈↓ ε␈∧πdε,α␈↓ εS␈∧πdεS,α␈↓ π≠␈∧πdπ≠,α␈↓ πc␈∧πdπc,α␈↓ λ+␈∧πdλ+,α
␈βπl␈↓ α:␈εα(␈↓ αF␈ελd␈↓ αe␈εα,␈↓ αu␈ελd␈↓ β∀␈εα,␈↓ β$␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βT␈εα,␈↓ βd␈ελd␈↓ ∧β␈εα):␈↓ ∧O␈εα0␈↓ ¬↔␈εα1␈↓ ¬←␈εα1␈↓ ε'␈εα1␈↓ εo␈εα2␈↓ π7␈εα3␈↓ π␈␈εα3
␈βπy␈↓ αV␈ε¬0␈↓ βε␈ε¬1␈↓ βu␈ε¬6
␈βλ∂␈↓ ∧3␈∧λ∂∧3εα␈↓ ∧4␈∧λ∂∧4αβy␈↓ ∧{␈∧λ∂∧{εα␈↓ ¬C␈∧λ∂¬Cεα␈↓ ε␈∧λ∂εεα␈↓ εS␈∧λ∂εSεα␈↓ π≠␈∧λ∂π≠εα␈↓ πc␈∧λ∂πcεα␈↓ λ+␈∧λ∂λ+εα
␈βλ∪␈↓ ∧4␈∧λ∪∧4αβy
␈βλ∃␈↓ ∧3␈∧λ∃∧3,α␈↓ ∧{␈∧λ∃∧{,α␈↓ ¬C␈∧λ∃¬C,α␈↓ ε␈∧λ∃ε,α␈↓ εS␈∧λ∃εS,α␈↓ π≠␈∧λ∃π≠,α␈↓ πc␈∧λ∃πc,α␈↓ λ+␈∧λ∃λ+,α
␈βλ≥␈↓ α:␈εα(␈↓ αF␈ελa␈↓ αe␈εα,␈↓ αu␈ελa␈↓ β∀␈εα,␈↓ β$␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βT␈εα,␈↓ βd␈ελa␈↓ ∧β␈εα):␈↓ ∧O␈εα1␈↓ ¬↔␈εα2␈↓ ¬←␈εα3␈↓ ε'␈εα5␈↓ εf␈εα10␈↓ π.␈εα20␈↓ πv␈εα23
␈βλ*␈↓ αV␈ε¬0␈↓ βε␈ε¬1␈↓ βu␈ε¬6
␈βλ@␈↓ ∧3␈∧λ@∧3εα␈↓ ∧4␈∧λ@∧4αβy␈↓ ∧{␈∧λ@∧{εα␈↓ ¬C␈∧λ@¬Cεα␈↓ ε␈∧λ@εεα␈↓ εS␈∧λ@εSεα␈↓ π≠␈∧λ@π≠εα␈↓ πc␈∧λ@πcεα␈↓ λ+␈∧λ@λ+εα
␈βλD␈↓ ∧4␈∧λD∧4αβy
␈βλE␈↓ ∧3␈∧λE∧3,α␈↓ ∧{␈∧λE∧{,α␈↓ ¬C␈∧λE¬C,α␈↓ ε␈∧λEε,α␈↓ εS␈∧λEεS,α␈↓ π≠␈∧λEπ≠,α␈↓ πc␈∧λEπc,α␈↓ λ+␈∧λEλ+,α
␈βλM␈↓ ↓d␈εα(␈↓ ↓p␈ελM␈↓ α,␈εα,␈↓ α<␈ελM␈↓ αw␈εα,␈↓ βπ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β7␈εα,␈↓ βG␈ελM␈↓ ∧β␈εα):␈↓ π␈␈εα0␈↓ λM␈ελM␈↓ 	≡␈ελe␈↓ 	C␈εα=␈α
0,␈↓ 
→␈ελm␈↓ 
P␈εα=␈α
1
␈βλ[␈↓ α∂␈ε¬03␈↓ α[␈ε¬13␈↓ βf␈ε¬6␈α↓3␈↓ λl␈ε¬3␈↓ 	+␈ε¬3␈↓ 
8␈ε¬3
␈βλp␈↓ ∧4␈∧λp∧4αβy
␈βλr␈↓ ∧3␈∧λr∧3,α␈↓ ∧{␈∧λr∧{,α␈↓ ¬C␈∧λr¬C,α␈↓ ε␈∧λrε,α␈↓ εS␈∧λrεS,α␈↓ π≠␈∧λrπ≠,α␈↓ πc␈∧λrπc,α␈↓ λ+␈∧λrλ+,α
␈βλz␈↓ ↓d␈εα(␈↓ ↓p␈ελM␈↓ α,␈εα,␈↓ α<␈ελM␈↓ αw␈εα,␈↓ βπ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β7␈εα,␈↓ βG␈ελM␈↓ ∧β␈εα):␈↓ π␈␈εα1␈↓ λM␈ελM␈↓ 	≡␈ελe␈↓ 	C␈εα=␈α
1,␈↓ 
→␈ελm␈↓ 
P␈εα=␈α
1
␈β	π␈↓ α∂␈ε¬02␈↓ α[␈ε¬12␈↓ βf␈ε¬6␈α↓2␈↓ λl␈ε¬2␈↓ 	+␈ε¬2␈↓ 
8␈ε¬2
␈β	≥␈↓ ∧4␈∧	≥∧4αβy
␈β	≡␈↓ ∧3␈∧	≡∧3,α␈↓ ∧{␈∧	≡∧{,α␈↓ ¬C␈∧	≡¬C,α␈↓ ε␈∧	≡ε,α␈↓ εS␈∧	≡εS,α␈↓ π≠␈∧	≡π≠,α␈↓ πc␈∧	≡πc,α␈↓ λ+␈∧	≡λ+,α
␈β	&␈↓ ↓d␈εα(␈↓ ↓p␈ελM␈↓ α,␈εα,␈↓ α<␈ελM␈↓ αw␈εα,␈↓ βπ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β7␈εα,␈↓ βG␈ελM␈↓ ∧β␈εα):␈↓ ¬←␈εα0␈↓ ε'␈εα0␈↓ εo␈εα1␈↓ π7␈εα2␈↓ π␈␈εα2␈↓ λM␈ελM␈↓ 	≡␈ελe␈↓ 	C␈εα=␈α
2,␈↓ 
→␈ελm␈↓ 
P␈εα=␈α
1
␈β	4␈↓ α∂␈ε¬01␈↓ α[␈ε¬11␈↓ βf␈ε¬6␈α↓1␈↓ λl␈ε¬1␈↓ 	+␈ε¬1␈↓ 
8␈ε¬1
␈β	I␈↓ ∧4␈∧	I∧4αβy
␈β	L␈↓ ∧→␈ε↓~␈↓ ∧3␈∧	L∧3Xα␈↓ ∧{␈∧	L∧{Xα␈↓ ¬C␈∧	L¬CXα␈↓ ε␈∧	LεXα␈↓ εS␈∧	LεSXα␈↓ π≠␈∧	Lπ≠Xα␈↓ πc␈∧	LπcXα␈↓ λ+␈∧	Lλ+Xα␈↓ λ1␈ε↓≠
␈β	S␈↓ ∧U␈εα0␈↓ ¬↔␈εα1␈↓ ¬←␈εα1␈↓ ε'␈εα1␈↓ εo␈εα2␈↓ π7␈εα3␈↓ π␈␈εα3
␈β	f␈↓ ↓d␈εα(␈↓ ↓p␈ελM␈↓ α,␈εα,␈↓ α<␈ελM␈↓ αw␈εα,␈↓ βπ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β7␈εα,␈↓ βG␈ελM␈↓ ∧β␈εα):␈↓ λM␈ελM␈↓ 	≡␈ελe␈↓ 	C␈εα=␈α
4,␈↓ 
→␈ελm␈↓ 
P␈εα=␈α
2
␈β	s␈↓ α∂␈ε¬00␈↓ α[␈ε¬10␈↓ βf␈ε¬6␈α↓0␈↓ λl␈ε¬0␈↓ 	+␈ε¬0␈↓ 
8␈ε¬0
␈β	v␈↓ ∧4␈∧	v∧4αβy
␈β
␈↓ ε'␈εα1␈↓ εo␈εα2␈↓ π7␈εα3␈↓ π␈␈εα3
␈β
#␈↓ ∧3␈∧
#∧3εα␈↓ ∧4␈∧
#∧4αβy␈↓ ∧{␈∧
#∧{εα␈↓ ¬C␈∧
#¬Cεα␈↓ ε␈∧
#εεα␈↓ εS␈∧
#εSεα␈↓ π≠␈∧
#π≠εα␈↓ πc␈∧
#πcεα␈↓ λ+␈∧
#λ+εα
␈β
'␈↓ ∧4␈∧
'∧4αβy
␈β
6␈↓ ∧H␈ελS␈↓ ¬⊂␈ελS␈↓ ¬X␈ελS␈↓ ε ␈ελS␈↓ εh␈ελS␈↓ π0␈ελS␈↓ πx␈ελS
␈β
C␈↓ ∧Z␈ε¬0␈↓ ¬"␈ε¬1␈↓ ¬j␈ε¬2␈↓ ε2␈ε¬3␈↓ εz␈ε¬4␈↓ πB␈ε¬5␈↓ λ
␈ε¬6
␈β∩␈↓ ↓H␈εαTh␈α␈us␈↓ α#␈ελM␈↓ αi␈εα=␈ε⊗␈αf␈εα2,␈αε2␈ε⊗g␈εα,␈αetc.␈α
From␈αthe␈αconstruction␈αw␈α␈e␈α
can␈αsee␈αthat␈↓ 	9␈ελd␈↓ 	b␈εαis␈αthe␈αlargest
␈β ␈↓ αB␈ε¬40␈↓ 	J␈εi
␈β>␈↓ ↓H␈εαelemen␈α␈t␈αof␈↓ αw␈ελS␈↓ β∀␈εα;␈αhence
␈βK␈↓ β	␈εi
␈βo␈↓ ¬h␈ελd␈↓ ε→␈ε⊗2␈↓ εI␈ελM␈↓ πα␈εα.␈↓ 
p␈εα(41)
␈β⎇␈↓ ¬y␈εi␈↓ εh␈εi␈↓ εs␈ε¬0
␈β<␈↓ α␈εαThe␈α∞most␈α∞importan␈α␈t␈α∞part␈α∞of␈α
this␈α∞structure␈α∞comes␈α∞from␈α∞Eq.␈α∞(40);␈α∂one␈α∞of␈α
its
␈βg␈↓ ↓H␈εαimmediate␈αconsequences␈αis
␈β
7␈↓ ↓H␈ε∩Lemma␈αK.␈ε∂␈α→If␈↓ β-␈ελM␈↓ βq␈ε∂and␈↓ ∧7␈ελM␈↓ ¬β␈ε∂both␈αcon␈α␈tain␈αa␈αcommon␈αin␈α␈teger␈↓ λ{␈ελx␈↓ 	∞␈ε∂,␈αthen
␈β
E␈↓ βL␈εi␈↓ βW␈εj␈↓ ∧V␈εu␈↓ ∧g␈εv
␈β∞∀␈↓ ∧␈ε⊗␈␈↓ ∧$␈ελm␈↓ ∧]␈εα<␈α
(␈↓ ¬↔␈ελe␈↓ ¬9␈ε⊗␈␈↓ ¬e␈ελe␈↓ ε↓␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ(␈↓ εM␈ελd␈↓ εx␈ε⊗␈␈↓ π$␈ελd␈↓ π@␈εα)␈α
<␈↓ λ∧␈ελm␈↓ λ0␈εα.␈↓ 
p␈εα(42)
␈β∞→␈↓ λb␈∧∞→λb≠∂
␈β∞"␈↓ ∧C␈εv␈↓ ¬$␈εj␈↓ ¬r␈εv␈↓ ε↑␈εu␈↓ π5␈εi␈↓ λ#␈εj
␈β∂⊗␈↓ α␈εαAlthough␈α∂Lemma␈α∂K␈α∂may␈α∂not␈α∂look␈α⊂extremely␈α∂po␈α␈w␈α␈erful,␈α∂it␈α⊂says␈α∂(when␈↓ 
u␈ελM
␈β∂#␈↓ ∀␈εi␈↓ ∨␈εj
␈β∂A␈↓ ↓H␈εαcon␈α␈tains␈α	an␈α	elemen␈α␈t␈α	in␈α	common␈α	with␈↓ εε␈ελM␈↓ εP␈εαand␈α	when␈↓ πn␈ελm␈↓ λ→␈εα,␈↓ λ-␈ελm␈↓ λd␈εαare␈α	reasonably␈α	small)
␈β∂N␈↓ ε%␈εu␈↓ ε7␈εv␈↓ λ␈εj␈↓ λL␈εv
␈β∂l␈↓ ↓H␈εαthat␈α
the␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α∞doublings␈α
bet␈α␈w␈α␈een␈α∞steps␈↓ π⊃␈ελu␈↓ π4␈εαand␈↓ π{␈ελi␈↓ λ↔␈εαis␈α
appro␈α␈ximately␈α∞equal␈α
to
␈β⊂↔␈↓ ↓H␈εαthe␈α
di{erence␈α	bet␈α␈w␈α␈een␈α
the␈α
exponen␈α␈ts␈↓ ε∞␈ελe␈↓ ε5␈εαand␈↓ εy␈ελe␈↓ π∪␈εα.␈αThis␈α
imposes␈α
a␈α
certain␈α
amoun␈α␈t␈α	of
␈β⊂%␈↓ ε≠␈εv␈↓ πε␈εj
␈β⊂C␈↓ ↓H␈εαregularity␈αon␈αthe␈αaddition␈αchain;␈αand␈αit␈αsuggests␈αthat␈αw␈α␈e␈αmigh␈α␈t␈αbe␈αable␈αto␈αpro␈α␈v␈α␈e
␈β⊂i␈↓ π)␈ε¬*
␈β⊂n␈↓ ↓H␈εαa␈α
result␈α
analogous␈α
to␈α
Theorem␈α
B␈α
abo␈α␈v␈α␈e,␈α
that␈↓ π≡␈ελl␈↓ π7␈εα(␈↓ πC␈ελn␈↓ πY␈εα)␈α=␈↓ λ ␈ελe␈↓ λD␈εα+␈↓ λq␈ελt␈↓ λ}␈εα,␈α
pro␈α␈vided␈α
that␈α
the
␈β⊂{␈↓ λ-␈ε¬0
␈β⊃→␈↓ ↓H␈ελe␈↓ ↓n␈εαare␈αfar␈αenough␈αapart.␈αThe␈αnext␈αtheorem␈αsho␈α␈ws␈αho␈α␈w␈αthis␈αcan␈αbe␈αdone.
␈β⊃&␈↓ ↓U␈εj
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.3␈ε∞␈↓ πXEV␈α{AL␈α␈UA␈α⎇T␈α␈ION␈α	OF␈α	PO␈α␈WERS␈↓ 
v␈εα441
␈βα&␈↓ ↓H␈ε∩Theorem␈α
H␈εα␈α(W.␈αHansen,␈ε∂␈α
J.␈αf␈↓ ¬↓␈ε∂u␈↓ ¬α␈ε∂∪␈↓ ¬∃␈ε∂r␈αdie␈α
reine␈αund␈αangew.␈α
Math.␈ε∩␈α202␈εα␈α(1959),␈α
129↑136)␈ε∩.
␈βαL␈↓ αi␈εe␈↓ βF␈εe␈↓ ¬␈εe
␈βαQ␈↓ ↓H␈ε∂Let␈↓ α
␈ελn␈↓ α)␈εα=␈↓ αW␈εα2␈↓ βλ␈εα+␈↓ β4␈εα2␈↓ βd␈εα+␈↓ ∧⊂␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧B␈εα+␈↓ ∧n␈εα2␈↓ ¬∃␈ε∂,␈↓ ¬+␈ελe␈↓ ¬P␈εα>␈↓ ¬}␈ελe␈↓ ε#␈εα>␈↓ εQ␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π¬␈εα>␈↓ π3␈ελe␈↓ πU␈ε⊗∃␈εα␈α
0␈ε∂.␈αIf
␈βαU␈↓ αu␈επ0␈↓ βQ␈επ1␈↓ ¬␈ε
t
␈βα←␈↓ ¬8␈ε¬0␈↓ ε␈ε¬1␈↓ π@␈εt
␈ββ(␈↓ ↓l␈ελe␈↓ α⊃␈εα>␈α
2␈↓ αQ␈ελe␈↓ αt␈εα+␈αλ2.271(␈↓ β}␈ελt␈↓ ∧∪␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈↓ ¬%␈εαand␈↓ ε'␈ελe␈↓ εu␈ε⊗∃␈↓ π#␈ελe␈↓ πD␈εα+␈αλ2␈↓ λα␈ελm␈↓ λE␈εαfor␈α1␈ε⊗␈α
∀␈↓ 	G␈ελi␈↓ 	←␈ε⊗∀␈↓ 

␈ελt␈↓ 
~␈εα,␈↓ 
p␈εα(43)
␈ββ6␈↓ ↓y␈ε¬0␈↓ α↑␈ε¬1␈↓ ε4␈εi␈↓ ε@␈ε→␈␈ε¬1␈↓ π0␈εi
␈ββz␈↓ β→␈ε→b␈ε¬␈α↓3.27␈α↓1(␈↓ βp␈εt␈↓ βz␈ε→␈␈ε¬1)␈ε→c␈↓ ¬m␈ε¬*
␈ββ␈␈↓ ↓H␈ε∂where␈↓ α0␈ελm␈↓ αY␈εα=␈↓ βπ␈εα2␈↓ ∧B␈ε⊗␈␈↓ ∧n␈ελt␈↓ ∧{␈ε∂,␈αthen␈↓ ¬c␈ελl␈↓ ¬|␈εα(␈↓ ελ␈ελn␈↓ ε≥␈εα)␈α
=␈↓ εa␈ελe␈↓ π¬␈εα+␈↓ π1␈ελt␈↓ π>␈ε∂.
␈β∧
␈↓ εn␈ε¬0
␈β∧B␈↓ ↓H␈ε∂Proof.␈εα␈α⊃We␈α	may␈α	assume␈αλthat␈↓ ¬∧␈ελt␈↓ ¬≠␈εα>␈α
2,␈α	since␈α	the␈α	result␈α	of␈αλthe␈α	theorem␈α	is␈α	true␈αλwithout
␈β∧m␈↓ ↓H␈εαrestriction␈αon␈α
the␈↓ βe␈ελe␈↓ βs␈εα's␈α
when␈↓ ∧v␈ελt␈↓ ¬∞␈ε⊗∀␈εα␈α2.␈α
Suppose␈αthat␈α
w␈α␈e␈αhav␈α␈e␈α
a␈αstar␈α
chain␈α1␈α=␈↓ 
←␈ελa␈↓ λ␈εα<
␈β∧z␈↓ 
o␈ε¬0
␈β¬_␈↓ ↓H␈ελa␈↓ ↓r␈εα<␈↓ α ␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ αU␈εα<␈↓ β∧␈ελa␈↓ β-␈εα=␈↓ β\␈ελn␈↓ β}␈εαfor␈↓ ∧6␈ελn␈↓ ∧X␈εαwith␈↓ ¬+␈ελr␈↓ ¬E␈ε⊗∀␈↓ ¬t␈ελe␈↓ ε_␈εα+␈↓ εD␈ελt␈↓ εY␈ε⊗␈␈εα␈α	1.␈α
Let␈α
the␈αin␈α␈tegers␈↓ 	5␈ελd␈↓ 	J␈εα,␈↓ 	`␈ελf␈↓ 	q␈εα,␈↓ 
λ␈ελd␈↓ 
'␈εα,␈↓ 
>␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
n␈εα,␈↓ ∧␈ελd␈↓ "␈εα,
␈β¬&␈↓ ↓X␈ε¬1␈↓ β∃␈εr␈↓ ε↓␈ε¬0␈↓ 
→␈ε¬0␈↓ ∃␈εr
␈β¬C␈↓ ↓H␈εαand␈α
the␈αm␈α␈ultisets␈↓ β`␈ελM␈↓ ∧"␈εαand␈↓ ∧g␈ελS␈↓ ¬∂␈εαre⎇ect␈α
the␈α
structure␈αof␈α
this␈αchain,␈αas␈α
de|ned␈α
abo␈α␈v␈α␈e.
␈β¬Q␈↓ β␈␈εi␈↓ ∧
␈εj␈↓ ∧y␈εi
␈β¬o␈↓ ↓H␈εαBy␈αthe␈αcorollary␈αto␈αTheorem␈αA␈↓ ¬2␈εα,␈αw␈α␈e␈αkno␈α␈w␈αthat␈↓ π*␈ελf␈↓ πE␈ε⊗∀␈α
b␈εα3.271(␈↓ λ←␈ελt␈↓ λt␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈ε⊗c␈εα;␈αtherefore␈αthe
␈βε~␈↓ ↓H␈εαvalue␈α∞of␈↓ αV␈ελm␈↓ ββ␈εαis␈α∞a␈α∞bona␈α∞|de␈α∞upper␈α∞bound␈α∂for␈α∞the␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α∞elemen␈α␈ts␈↓ 
↓␈ελm␈↓ 
:␈εαin␈α∞each
␈βε'␈↓ 
∨␈εj
␈βεE␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiset␈↓ αS␈ελM␈↓ α␈␈εα.
␈βεR␈↓ αr␈εj
␈βεp␈↓ α␈εαIn␈αthe␈αsummation
␈βπ1␈↓ ∧#␈ε↓X␈↓ εε␈ε↓X␈↓ λF␈ε↓X
␈βπ:␈↓ βw␈ε↓∩␈↓ ¬⊂␈ε↓∪␈↓ ¬Z␈ε↓∩␈↓ εs␈ε↓∪␈↓ λ≠␈ε↓∩␈↓ 	2␈ε↓∪
␈βπN␈↓ ¬␈εx␈↓ εc␈εx␈↓ 	"␈εx
␈βπT␈↓ β"␈ελa␈↓ βI␈εα=␈↓ ∧n␈εα2␈↓ ¬.␈εα+␈↓ εQ␈εα2␈↓ π⊃␈εα+␈↓ π=␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πo␈εα+␈↓ 	⊂␈εα2␈↓ 	H␈εα,
␈βπa␈↓ β3␈εi
␈βλ¬␈↓ ∧∪␈εx␈↓ ∧"␈ε→2␈↓ ∧9␈εM␈↓ ¬v␈εx␈↓ ε¬␈ε→2␈↓ ε≤␈εM␈↓ λ7␈εx␈↓ λF␈ε→2␈↓ λ]␈εM
␈βλ∞␈↓ ∧R␈ε
i␈↓ ∧]␈επ0␈↓ ε5␈ε
i␈↓ ε@␈επ1␈↓ λv␈ε
i␈↓ 	↓␈ε
t
␈βλ`␈↓ ↓H␈εαno␈α	carries␈α
propagate␈α	from␈α
the␈α
term␈α	corresponding␈α
to␈↓ π|␈ελM␈↓ λ>␈εαto␈α	the␈α
term␈α	correspond-
␈βλm␈↓ λ≠␈εi␈↓ λ'␈εj
␈β	␈↓ ↓H␈εαing␈α
to␈↓ α-␈ελM␈↓ β#␈εα,␈αif␈α
w␈α␈e␈αthink␈αof␈α
this␈αsum␈α
as␈αbeing␈αcarried␈α
out␈αin␈α
the␈αbinary␈α
n␈α␈um␈α␈ber
␈β	↔␈↓ ε4␈ε↓␈␈↓ πG␈ε↓↓
␈β	→␈↓ αL␈εi␈↓ αW␈ε¬(␈↓ αa␈εj␈↓ αn␈ε→␈␈ε¬1)
␈β	6␈↓ ↓H␈εαsystem,␈α
since␈α
the␈↓ βc␈ελe␈↓ βr␈εα's␈α
are␈α
so␈α
far␈α
apart.␈↓ εB␈εαCf.␈α
(40).␈↓ πp␈εαIn␈α
particular,␈α∞the␈α
sum␈α
of␈α
all
␈β	b␈↓ ↓H␈εαthe␈απterms␈απfor␈↓ β∀␈ελj␈↓ β.␈ε⊗≤␈εα␈α
0␈αλwill␈απnot␈αλcarry␈απup␈απto␈αλa{ect␈απthe␈αλterms␈απfor␈↓ λJ␈ελj␈↓ λe␈εα=␈α
0,␈αλso␈αλw␈α␈e␈απm␈α␈ust␈απhav␈α␈e
␈β
∃␈↓ ∧r␈ε↓X
␈β
2␈↓ ¬N␈εx␈↓ ε(␈ε∃␈↓ ε:␈ε¬(␈↓ εC␈εa␈↓ ε\␈ε¬)
␈β
8␈↓ ∧
␈ελa␈↓ ∧3␈ε⊗∃␈↓ ¬<␈εα2␈↓ ¬h␈ε⊗∃␈↓ ε⊗␈εα2␈↓ εe␈εα,␈↓ π=0␈ε⊗␈α
∀␈↓ λπ␈ελi␈↓ λ∨␈ε⊗∀␈↓ λM␈ελr␈↓ λ]␈εα.␈↓ 
p␈εα(44)
␈β
;␈↓ εR␈ε
i
␈β
F␈↓ ∧≡␈εi
␈β
j␈↓ ∧a␈εx␈↓ ∧q␈ε→2␈↓ ¬π␈εM
␈β
r␈↓ ¬!␈ε
i␈↓ ¬+␈επ0
␈β!␈↓ α␈εαIn␈αorder␈αto␈αpro␈α␈v␈α␈e␈αTheorem␈αH␈↓ ¬T␈εα,␈αw␈α␈e␈αw␈α␈ould␈αlik␈α␈e␈αto␈αsho␈α␈w␈αthat␈αin␈αsome␈αsense␈αthe
␈βL␈↓ ↓H␈ελt␈↓ ↓`␈εαextra␈αpo␈α␈w␈α␈ers␈αof␈↓ β\␈ελn␈↓ β⎇␈εαm␈α␈ust␈αbe␈αput␈αin␈α\one␈αat␈αa␈αtime,"␈αso␈αw␈α␈e␈αwan␈α␈t␈αto␈α|nd␈αa␈αway␈αto
␈βx␈↓ ↓H␈εαtell␈αat␈αwhich␈αstep␈αeach␈αof␈αthese␈αterms␈αessen␈α␈tially␈αen␈α␈ters␈αthe␈αaddition␈αchain.
␈β#␈↓ α␈εαLet␈↓ αP␈ελj␈↓ αn␈εαbe␈α
a␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α
bet␈α␈w␈α␈een␈α∞1␈α∞and␈↓ ε5␈ελt␈↓ εB␈εα.␈α⊃Since␈↓ π=␈ελM␈↓ λ¬␈εαis␈α∞empty␈α
and␈↓ 	d␈ελM␈↓ 
*␈εα=␈↓ 
[␈ελM␈↓ ∀␈εαis
␈β0␈↓ π\␈ε¬0␈↓ πj␈εj␈↓ 
β␈εr␈↓ 
⊂␈εj␈↓ 
z␈εj
␈βN␈↓ ↓H␈εαnonempty,␈αw␈α␈e␈αcan␈α|nd␈αthe␈ε∂␈α|rst␈εα␈αstep␈↓ ε∂␈ελi␈↓ ε)␈εαfor␈αwhich␈↓ πI␈ελM␈↓ λ␈εαis␈αnot␈αempty.
␈β\␈↓ πh␈εi␈↓ πs␈εj
␈βy␈↓ α␈εαFrom␈α
the␈α
way␈α
in␈α
which␈α
the␈↓ ¬M␈ελM␈↓ ε∩␈εαare␈α
de|ned,␈α
w␈α␈e␈α
kno␈α␈w␈α
that␈α
step␈↓ 
λ␈ελi␈↓ 
#␈εαis␈α
a␈αnon-
␈β
π␈↓ ¬l␈εi␈↓ ¬x␈εj
␈β
%␈↓ ↓H␈εαdoubling;␈↓ αd␈ελa␈↓ β
␈εα=␈↓ β8␈ελa␈↓ ∧β␈εα+␈↓ ∧,␈ελa␈↓ ∧W␈εαfor␈α	some␈↓ ¬c␈ελu␈↓ εβ␈εα<␈↓ ε1␈ελi␈↓ εC␈ε⊗␈␈εα␈α∧1.␈αWe␈α	also␈α	kno␈α␈w␈α	that␈α	all␈α	the␈α	elemen␈α␈ts
␈β
2␈↓ αt␈εi␈↓ βI␈εi␈↓ βT␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ∧<␈εu
␈β
P␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓m␈ελM␈↓ α-␈εαare␈αλelemen␈α␈ts␈απof␈↓ ∧→␈ελS␈↓ ∧=␈εα.␈αWe␈αλwill␈απpro␈α␈v␈α␈e␈αλthat␈↓ εu␈ελa␈↓ π∨␈εαm␈α␈ust␈αλbe␈αλrelativ␈α␈ely␈αλsmall␈απcompared
␈β
]␈↓ α␈εi␈↓ α_␈εj␈↓ ∧+␈εu␈↓ πε␈εu
␈β
{␈↓ ↓H␈εαto␈↓ ↓t␈ελa␈↓ α⊂␈εα.
␈β∞λ␈↓ α∧␈εi
␈β∞&␈↓ α␈εαLet␈↓ αO␈ελx␈↓ αy␈εαbe␈αan␈α
elemen␈α␈t␈α
of␈↓ ¬␈ελM␈↓ ¬D␈εα.␈α∞Then␈αsince␈↓ π∪␈ελx␈↓ π;␈ε⊗2␈↓ πb␈ελS␈↓ λε␈εα,␈α
there␈αis␈α
some␈↓ 	y␈ελv␈↓ 
_␈εαfor␈αwhich
␈β∞4␈↓ α←␈εj␈↓ ¬+␈εi␈↓ ¬7␈εj␈↓ π#␈εj␈↓ πt␈εu
␈β∞R␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓o␈ε⊗2␈↓ α∃␈ελM␈↓ αV␈εα.␈αIt␈αfollo␈α␈ws␈αthat
␈β∞←␈↓ ↓X␈εj␈↓ α4␈εu␈↓ αF␈εv
␈β∞⎇␈↓ ¬P␈ελd␈↓ ¬t␈ε⊗␈␈↓ ε ␈ελd␈↓ εM␈εα>␈↓ ε{␈ελm␈↓ π~␈εα,␈↓ 
p␈εα(45)
␈β∂␈↓ ¬a␈εi␈↓ ε1␈εu
␈β∂B␈↓ ↓H␈εαi.e.,␈αat␈αleast␈↓ β␈ελm␈↓ β4␈εα+␈αλ1␈αdoublings␈αoccur␈αbet␈α␈w␈α␈een␈αsteps␈↓ πe␈ελu␈↓ λε␈εαand␈↓ λM␈ελi␈↓ λZ␈εα.␈α
For␈αif␈↓ 	W␈ελd␈↓ 	|␈ε⊗␈␈↓ 
(␈ελd␈↓ 
U␈ε⊗∀␈↓ β␈ελm␈↓ "␈εα,
␈β∂O␈↓ 	h␈εi␈↓ 
8␈εu
␈β∂m␈↓ ↓H␈εαLemma␈α∂K␈α∂tells␈α∂us␈α∂that␈ε⊗␈α∂j␈↓ ∧S␈ελe␈↓ ∧x␈ε⊗␈␈↓ ¬&␈ελe␈↓ ¬B␈ε⊗j␈εα␈α⊂<␈α∂2␈↓ ε!␈ελm␈↓ ε@␈εα;␈α⊃hence␈↓ πB␈ελv␈↓ πd␈εα=␈↓ λ↔␈ελj␈↓ λ(␈εα.␈α∃But␈α∂this␈α∂is␈α∂impossible,
␈β∂{␈↓ ∧`␈εj␈↓ ¬3␈εv
␈β⊂_␈↓ ↓H␈εαbecause␈↓ αL␈ελM␈↓ β⊗␈εαis␈αempty␈αby␈αour␈αchoice␈αof␈αstep␈↓ π␈ελi␈↓ π∞␈εα.
␈β⊂&␈↓ αk␈εu␈↓ α⎇␈εj
␈β⊂D␈↓ α␈εαAll␈αelemen␈α␈ts␈αof␈↓ ∧∧␈ελS␈↓ ∧4␈εαare␈αless␈αthan␈α
or␈αequal␈αto␈↓ π=␈ελe␈↓ πa␈εα+␈↓ λ
␈ελd␈↓ λ1␈ε⊗␈␈↓ λ]␈ελd␈↓ λr␈εα.␈αFor␈α
if␈↓ 	o␈ελx␈↓ 
␈ε⊗2␈↓ 
2␈ελS␈↓ 
a␈ε⊗∩␈↓ ∂␈ελS
␈β⊂Q␈↓ ∧⊗␈εu␈↓ πJ␈ε¬1␈↓ λ≡␈εi␈↓ 
D␈εu␈↓ !␈εi
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαand␈↓ α∞␈ελx␈↓ α,␈εα>␈↓ α\␈ελe␈↓ β␈εα+␈↓ β,␈ελd␈↓ βQ␈ε⊗␈␈↓ β⎇␈ελd␈↓ ∧∩␈εα,␈αthen␈↓ ∧{␈ελx␈↓ ¬→␈ε⊗2␈↓ ¬A␈ελM␈↓ ε
␈εαand␈↓ εS␈ελx␈↓ εq␈ε⊗2␈↓ π→␈ελM␈↓ π↑␈εαby␈α
(40);␈α
so␈α
Lemma␈α
K␈αimplies
␈β⊂|␈↓ αi␈ε¬1␈↓ β=␈εi␈↓ ¬`␈εu␈↓ ¬q␈ε¬0␈↓ π8␈εi␈↓ πC␈ε¬0
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαthat␈ε⊗␈α
j␈↓ α!␈ελd␈↓ αF␈ε⊗␈␈↓ αs␈ελd␈↓ β⊗␈ε⊗j␈εα␈α
<␈↓ β]␈ελm␈↓ β⎇␈εα,␈α
con␈α␈tradicting␈α∞(45).␈α⊂In␈α∞fact,␈α∞this␈α
argumen␈α␈t␈α∞pro␈α␈v␈α␈es␈α
that␈↓ 
t␈ελM
␈β⊃(␈↓ α2␈εi␈↓ β∧␈εu␈↓ ∪␈εi␈↓ ≡␈ε¬0
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα442␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.3
␈βα#␈↓ ↓H␈εαhas␈α⊂no␈α⊂elemen␈α␈ts␈α⊂in␈α⊂common␈α⊂with␈↓ ¬q␈ελS␈↓ ε∃␈εα,␈α⊃so␈↓ ε`␈ελM␈↓ πh␈εα=␈↓ λ≥␈ελM␈↓ λV␈εα.␈α_From␈α⊂(44)␈α⊂w␈α␈e␈α⊂hav␈α␈e
␈βα0␈↓ εβ␈εu␈↓ λ<␈εi␈↓ λH␈ε¬0
␈βα1␈↓ ε␈␈ε¬(␈↓ π	␈εi␈↓ π∀␈ε→␈␈ε¬1)0
␈βαN␈↓ αY␈ε∃␈↓ αk␈ε¬(␈↓ αt␈εa␈↓ β
␈ε¬)
␈βαS␈↓ ↓H␈ελa␈↓ α→␈ε⊗∃␈↓ αG␈εα2␈↓ β⊗␈εα,␈αand␈αtherefore␈ε∂␈αstep␈↓ ¬V␈ελi␈↓ ¬p␈ε∂is␈αa␈αsmall␈αstep.
␈βαV␈↓ βα␈ε
i
␈βα`␈↓ ↓X␈εi␈↓ ↓d␈ε→␈␈ε¬1
␈βα}␈↓ α␈εαWe␈α
can␈α
no␈α␈w␈α∞deduce␈α
what␈α
is␈α
probably␈α
the␈α
k␈α␈ey␈α
fact␈α∞in␈α
this␈α
en␈α␈tire␈α
proof:␈ε∂␈α∞All
␈ββ)␈↓ ↓H␈ε∂elemen␈α␈ts␈αof␈↓ βε␈ελS␈↓ β6␈ε∂are␈α
in␈↓ ∧≡␈ελM␈↓ ∧]␈ε∂.␈εα␈α~For␈α
if␈α
not,␈αlet␈↓ εh␈ελx␈↓ πλ␈εαbe␈αan␈α
elemen␈α␈t␈αof␈↓ 	≠␈ελS␈↓ 	L␈εαwith␈↓ 
≡␈ελx␈↓ 
<␈ε⊗3␈↓ 
c␈ελM␈↓ "␈εα.
␈ββ7␈↓ β_␈εu␈↓ ∧=␈εu␈↓ ∧O␈ε¬0␈↓ 	-␈εu␈↓ α␈εu␈↓ ∀␈ε¬0
␈ββT␈↓ ↓H␈εαSince␈↓ α&␈ελx␈↓ αB␈ε⊗∃␈εα␈α
0,␈α(40)␈αimplies␈αthat␈↓ ¬(␈ελe␈↓ ¬N␈ε⊗∃␈↓ ¬|␈ελd␈↓ ε_␈ε⊗␈␈↓ εD␈ελd␈↓ εg␈εα,␈αhence
␈ββb␈↓ ¬5␈ε¬1␈↓ εU␈εu
␈β∧#␈↓ α␈␈ελe␈↓ β$␈εα=␈↓ βR␈ελf␈↓ βl␈εα+␈↓ ∧_␈ελd␈↓ ∧4␈ε⊗␈␈↓ ∧`␈ελs␈↓ ∧y␈ε⊗∀␈εα␈α
2.271␈↓ ¬y␈ελs␈↓ ε⊂␈εα+␈↓ ε<␈ελd␈↓ εZ␈ε⊗∀␈εα␈α
2.271(␈↓ πf␈ελt␈↓ π{␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈αλ+␈↓ λy␈ελe␈↓ 	≤␈εα+␈↓ 	H␈ελd␈↓ 	k␈εα.
␈β∧1␈↓ β␈ε¬0␈↓ 	ε␈ε¬1␈↓ 	Y␈εu
␈β∧r␈↓ ↓H␈εαBy␈αh␈α␈ypothesis␈α
(43),␈αthis␈α
implies␈↓ ¬E␈ελd␈↓ ¬s␈εα>␈↓ ε"␈ελe␈↓ ε=␈εα.␈α∞But␈↓ π≠␈ελd␈↓ πI␈ε⊗2␈↓ πo␈ελS␈↓ λ ␈εαby␈α(41),␈α
and␈αit␈α
cannot␈αbe
␈β¬␈↓ ¬V␈εu␈↓ ε/␈ε¬1␈↓ π,␈εu␈↓ λ↓␈εu
␈β¬≡␈↓ ↓H␈εαin␈↓ ↓r␈ελM␈↓ α+␈εα,␈αhence␈↓ β%␈ελd␈↓ βQ␈ε⊗∀␈↓ β␈␈ελe␈↓ ∧#␈εα+␈↓ ∧O␈ελd␈↓ ∧s␈ε⊗␈␈↓ ¬∨␈ελd␈↓ ¬=␈ε⊗∀␈↓ ¬k␈ελe␈↓ εε␈εα,␈αa␈αcon␈α␈tradiction.
␈β¬+␈↓ α⊃␈εi␈↓ α≤␈ε¬0␈↓ β5␈εu␈↓ ∧␈ε¬1␈↓ ∧←␈εi␈↓ ¬x␈ε¬1
␈β¬I␈↓ α␈εαGoing␈α
back␈α
to␈α
our␈α
elemen␈α␈t␈↓ ¬3␈ελx␈↓ ¬[␈εαin␈↓ εβ␈ελM␈↓ ε;␈εα,␈α
w␈α␈e␈α
hav␈α␈e␈↓ πU␈ελx␈↓ π⎇␈ε⊗2␈↓ λ#␈ελM␈↓ λd␈εα;␈α
and␈α
w␈α␈e␈α
hav␈α␈e␈α
pro␈α␈v␈α␈ed
␈β¬V␈↓ ¬D␈εj␈↓ ε"␈εi␈↓ ε.␈εj␈↓ πf␈εj␈↓ λB␈εu␈↓ λT␈εv
␈β¬t␈↓ ↓H␈εαthat␈↓ α⊗␈ελv␈↓ α2␈εα=␈α
0.␈αTherefore,␈αby␈αequation␈α(40)␈αagain,
␈βεC␈↓ ∧4␈ελe␈↓ ∧W␈εα+␈↓ ¬β␈ελd␈↓ ¬.␈ε⊗␈␈↓ ¬Z␈ελd␈↓ ¬x␈ε⊗∃␈↓ ε&␈ελx␈↓ εN␈εα>␈↓ ε|␈ελe␈↓ π∨␈εα+␈↓ πK␈ελd␈↓ πv␈ε⊗␈␈↓ λ"␈ελd␈↓ λ6␈εα.␈↓ 
p␈εα(46)
␈βεP␈↓ ∧A␈ε¬0␈↓ ¬∀␈εu␈↓ ε7␈εj␈↓ π	␈ε¬0␈↓ π\␈εu
␈βπ∩␈↓ α␈εαFor␈αall␈↓ β␈ελj␈↓ β≠␈εα=␈α
1,␈α2,␈↓ ∧↔␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧G␈εα,␈↓ ∧]␈ελt␈↓ ∧u␈εαw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αdetermined␈αa␈αn␈α␈um␈α␈ber␈↓ λW␈ελx␈↓ 	␈εαsatisfying␈α(46),␈αand
␈βπ∨␈↓ λh␈εj
␈βπ8␈↓ ¬N␈εe
␈βπ=␈↓ ↓H␈εαa␈α	small␈α	step␈↓ βλ␈ελi␈↓ β∨␈εαat␈α	which␈α
the␈α	term␈↓ ¬<␈εα2␈↓ ¬o␈εαmay␈α	be␈α	said␈α
to␈α	hav␈α␈e␈α	en␈α␈tered␈α
in␈α␈to␈α	the␈α	addition
␈βπA␈↓ ¬Z␈ε
j
␈βπc␈↓ β7␈ε→0
␈βπh␈↓ ↓H␈εαchain.␈α∂If␈↓ α[␈ελj␈↓ αw␈ε⊗≤␈↓ β'␈ελj␈↓ β?␈εα,␈α
the␈α
step␈↓ ∧c␈ελi␈↓ ∧}␈εαat␈α
which␈α
this␈α
occurs␈α∞cannot␈α
be␈α
the␈α
same␈α∞for␈α
both␈↓ ≤␈ελj
␈βλ∂␈↓ α≥␈ε→0
␈βλ∀␈↓ ↓H␈εαand␈↓ α
␈ελj␈↓ α%␈εα;␈αfor␈α(46)␈αw␈α␈ould␈αtell␈αus␈αthat␈ε⊗␈αj␈↓ ¬c␈ελx␈↓ ελ␈ε⊗␈␈↓ ε3␈ελx␈↓ εW␈ε⊗j␈εα␈α
<␈↓ π→␈ελm␈↓ π8␈εα,␈αwhile␈αelemen␈α␈ts␈αof␈↓ 	g␈ελM␈↓ 
*␈εαand␈↓ 
o␈ελM
␈βλ∨␈↓ εQ␈ε≠0␈↓ '␈ε≠0
␈βλ!␈↓ ¬t␈εj␈↓ εD␈εj␈↓ 
ε␈εi␈↓ 
⊃␈εj␈↓ ∞␈εi␈↓ ~␈εj
␈βλ?␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ust␈α
di{er␈α
by␈α
more␈αthan␈↓ ∧X␈ελm␈↓ ∧x␈εα,␈α
since␈↓ ¬c␈ελe␈↓ επ␈εαand␈↓ εK␈ελe␈↓ εv␈εαare␈α
so␈α
far␈α
apart.␈αTherefore␈α
the␈α
chain
␈βλJ␈↓ εf␈ε≠0
␈βλL␈↓ ¬p␈εj␈↓ εX␈εj
␈βλj␈↓ ↓H␈εαcon␈α␈tains␈αat␈αleast␈↓ βU␈ελt␈↓ βn␈εαsmall␈αsteps,␈αbut␈αthis␈αis␈αa␈αcon␈α␈tradiction.
␈βλo␈↓ λz␈∧λoλz≠∂
␈β	(␈↓ ↓H␈ε∩Theorem␈αF␈εα␈α(W.␈αHansen)␈ε∩.
␈β	p␈↓ β⊃␈εA
␈β	w␈↓ αi␈ελl␈↓ αs␈εα(␈↓ α␈␈εα2␈↓ β-␈εα+␈↓ βY␈ελx␈↓ βl␈ελy␈↓ ∧␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈↓ ∧D␈ελA␈↓ ∧d␈εα+␈↓ ¬⊂␈ελ↔␈↓ ¬!␈εα(␈↓ ¬-␈ελx␈↓ ¬?␈εα)␈αλ+␈↓ ¬␈␈ελ↔␈↓ ε⊂␈εα(␈↓ ε≤␈ελy␈↓ ε1␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ1,␈↓ π[␈εαif␈↓ π⎇␈ελ∃␈↓ λ∩␈εα(␈↓ λ≡␈ελx␈↓ λ0␈εα)␈αλ+␈↓ λp␈ελ∃␈↓ 	¬␈εα(␈↓ 	⊃␈ελy␈↓ 	%␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈↓ 	i␈ελA␈↓ 
↓␈εα.␈↓ 
p␈εα(47)
␈β
F␈↓ ↓H␈ε∂Proof.␈εα␈α∂An␈αλaddition␈απchain␈αλ(which␈αλis␈ε∂␈αλnot␈εα␈αλa␈αλstar␈απchain␈αλin␈αλgeneral)␈αλmay␈αλbe␈απconstructed
␈β
l␈↓ 
ε␈εx
␈β
q␈↓ ↓H␈εαby␈α
com␈α␈bining␈α
the␈α∞binary␈α
method␈α
and␈α∞the␈α
factor␈α
method.␈α⊃Let␈↓ 	%␈ελx␈↓ 	D␈εα=␈↓ 	t␈εα2␈↓ 
)␈εα+␈↓ 
V␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ␈εα+
␈β
t␈↓ 
∀␈επ1
␈β↔␈↓ ↓Z␈εx␈↓ αe␈εy␈↓ ∧#␈εy
␈β≤␈↓ ↓H␈εα2␈↓ ↓w␈εα,␈↓ απ␈ελy␈↓ α%␈εα=␈↓ αS␈εα2␈↓ βπ␈εα+␈↓ β3␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ βe␈εα+␈↓ ∧⊃␈εα2␈↓ ∧?␈εα,␈αwhere␈↓ ¬=␈ελx␈↓ ¬f␈εα>␈↓ ε∀␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εH␈εα>␈↓ εv␈ελx␈↓ π#␈ε⊗∃␈εα␈α
0␈αand␈↓ λ5␈ελy␈↓ λ↑␈εα>␈↓ 	␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	@␈εα>␈↓ 	n␈ελy␈↓ 
→␈ε⊗∃␈εα␈α
0.
␈β∨␈↓ ↓h␈ε
u␈↓ αt␈επ1␈↓ ∧1␈ε
v
␈β)␈↓ ¬N␈ε¬1␈↓ ππ␈εu␈↓ λF␈ε¬1␈↓ 	␈␈εv
␈βB␈↓ 	9␈εA␈↓ 	M␈ε→␈␈↓ 	j␈εy
␈βG␈↓ α␈εαThe␈αλ|rst␈απsteps␈αλof␈απthe␈αλchain␈απform␈αλsuccessiv␈α␈e␈απpo␈α␈w␈α␈ers␈αλof␈απ2,␈αλun␈α␈til␈↓ 	'␈εα2␈↓ 
␈εαis␈απreached;
␈βK␈↓ 	x␈επ1
␈βm␈↓ π*␈εx␈↓ λ1␈εx␈↓ λx␈εx␈↓ 	}␈εx␈↓ ¬␈εx
␈βr␈↓ ↓H␈εαin␈α
bet␈α␈w␈α␈een␈αthese␈α
steps,␈α
the␈α
additional␈α
values␈↓ π_␈εα2␈↓ πr␈εα+␈↓ λ∨␈εα2␈↓ λN␈εα,␈↓ λf␈εα2␈↓ 	@␈εα+␈↓ 	l␈εα2␈↓ 
F␈εα+␈↓ 
s␈εα2␈↓ "␈εα,
␈βv␈↓ π8␈ε
u␈↓ πH␈ε≠␈␈επ␈α␈1␈↓ λ?␈ε
u␈↓ 	ε␈ε
u␈↓ 	∃␈ε≠␈␈επ2␈↓ 
␈ε
u␈↓ 
≤␈ε≠␈␈επ␈α␈1␈↓ ∪␈ε
u
␈β_␈↓ 
6␈εA␈↓ 
J␈ε→␈␈↓ 
g␈εy
␈β≡␈↓ ↓H␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ↓x␈εα,␈α
and␈↓ αV␈ελx␈↓ αv␈εαare␈α∞inserted␈α
in␈α
the␈α
appropriate␈α
places.␈α⊂After␈α
a␈α∞chain␈α
up␈α
to␈↓ 
$␈εα2␈↓ λ␈εα+
␈β!␈↓ 
u␈ε
i
␈βD␈↓ ↓x␈εy␈↓ α∩␈ε→␈␈↓ α/␈εy␈↓ βW␈εy␈↓ ∧⊃␈ε→␈␈↓ ∧.␈εy
␈βI␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓Z␈εα(␈↓ ↓f␈εα2␈↓ αJ␈εα+␈↓ αq␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ β≡␈εα+␈↓ βE␈εα2␈↓ ∧G␈εα)␈αλhas␈αλbeen␈αλformed,␈α	w␈α␈e␈αλcon␈α␈tin␈α␈ue␈αλby␈αλadding␈↓ 	G␈ελx␈↓ 	b␈εαand␈αλdoubling
␈βL␈↓ απ␈επ1␈↓ α=␈ε
i␈↓ βe␈ε
i␈↓ βp␈ε≠␈␈επ␈α␈1␈↓ ∧<␈ε
i
␈βt␈↓ ↓H␈εαthe␈αresulting␈αsum␈↓ βf␈ελy␈↓ ∧
␈ε⊗␈␈↓ ∧6␈ελy␈↓ ¬
␈εαtimes;␈αthis␈αyields
␈β
↓␈↓ βw␈εi␈↓ ∧G␈εi␈↓ ∧S␈ε¬+␈α␈1
␈β
=␈↓ ∧∞␈εA␈↓ ∧"␈ε→␈␈↓ ∧>␈εy␈↓ ¬↑␈εy␈↓ ¬w␈ε→␈␈↓ ε∀␈εy␈↓ πs␈εy␈↓ λ␈ε→␈␈↓ λ(␈εy
␈β
C␈↓ β|␈εα2␈↓ ¬↓␈εα+␈↓ ¬-␈ελx␈↓ ¬@␈εα(␈↓ ¬L␈εα2␈↓ εW␈εα+␈↓ πβ␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π5␈εα+␈↓ πa␈εα2␈↓ λb␈εα).
␈β
E␈↓ ∧M␈ε
i␈↓ ∧W␈επ+1␈↓ ¬l␈επ1␈↓ ε"␈ε
i␈↓ ε-␈επ+␈α␈1␈↓ λ↓␈ε
i␈↓ λ6␈ε
i␈↓ λA␈επ+␈α␈1
␈β∞∩␈↓ ↓H␈εαIf␈α
this␈α∞construction␈α
is␈α∞done␈α
for␈↓ ¬;␈ελi␈↓ ¬U␈εα=␈α
1,␈α
2,␈↓ εY␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π	␈εα,␈↓ π!␈ελv␈↓ π4␈εα,␈α∞assuming␈α
for␈α∞con␈α␈v␈α␈enience␈α
that
␈β∞8␈↓ εh␈εA
␈β∞=␈↓ ↓H␈ελy␈↓ α≡␈εα=␈α
0,␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αan␈αaddition␈αchain␈αfor␈↓ εV␈εα2␈↓ π∧␈εα+␈↓ π0␈ελx␈↓ πB␈ελy␈↓ πb␈εαas␈αdesired.
␈β∞B␈↓ 	.␈∧∞B	.≠∂
␈β∞K␈↓ ↓Y␈εv␈↓ ↓h␈ε¬+1
␈β∞v␈↓ 
λ␈ε¬*
␈β∞{␈↓ α␈εαTheorem␈α⊃F␈α∩enables␈α⊃us␈α⊃to␈α∩|nd␈α⊃values␈α⊃of␈↓ π+␈ελn␈↓ πQ␈εαfor␈α∩which␈↓ λ|␈ελl␈↓ 	ε␈εα(␈↓ 	∩␈ελn␈↓ 	(␈εα)␈α∪<␈↓ 	}␈ελl␈↓ 
⊗␈εα(␈↓ 
"␈ελn␈↓ 
8␈εα),␈α∩since
␈β∂!␈↓ ε=␈ε¬*
␈β∂&␈↓ ↓H␈εαTheorem␈α∂H␈α⊂giv␈α␈es␈α∂an␈α⊂explicit␈α∂value␈α⊂of␈↓ ε3␈ελl␈↓ εL␈εα(␈↓ εX␈ελn␈↓ εm␈εα)␈α⊂in␈α∂certain␈α⊂cases.␈α↔For␈α∂example,␈α⊂let
␈β∂L␈↓ α$␈ε¬1␈α↓01␈α↓6␈↓ ∧_␈ε¬2␈α↓032
␈β∂Q␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓d␈εα=␈↓ α∩␈εα2␈↓ αf␈εα+␈αλ1,␈↓ β:␈ελy␈↓ βX␈εα=␈↓ ∧ε␈εα2␈↓ ∧Z␈εα+␈αλ1,␈αand␈αlet
␈β⊂~␈↓ βv␈ε¬6␈α↓10␈α↓3␈↓ ¬U␈ε¬61␈α↓03␈↓ εU␈ε¬304␈α↓8␈↓ πT␈ε¬2␈α↓032␈↓ λT␈ε¬10␈α↓16
␈β⊂ ␈↓ β↔␈ελn␈↓ β6␈εα=␈↓ βd␈εα2␈↓ ∧8␈εα+␈↓ ∧d␈ελx␈↓ ∧w␈ελy␈↓ ¬∃␈εα=␈↓ ¬C␈εα2␈↓ ε↔␈εα+␈↓ εC␈εα2␈↓ π⊗␈εα+␈↓ πB␈εα2␈↓ λ⊗␈εα+␈↓ λB␈εα2␈↓ 	∃␈εα+␈αλ1.
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαAccording␈α∞to␈α∂Theorem␈α∂F␈↓ ∧V␈εα,␈α⊂w␈α␈e␈α∂hav␈α␈e␈↓ ¬␈␈ελl␈↓ ε	␈εα(␈↓ ε∃␈ελn␈↓ ε+␈εα)␈ε⊗␈α∂∀␈εα␈α∂6106.␈α∀But␈α∂Theorem␈α∂H␈α∂also␈α∞applies,
␈β⊃∃␈↓ ε⊃␈ε¬*
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαwith␈↓ α~␈ελm␈↓ αC␈εα=␈α
508,␈αand␈αthis␈αpro␈α␈v␈α␈es␈αthat␈↓ επ␈ελl␈↓ ε ␈εα(␈↓ ε,␈ελn␈↓ εB␈εα)␈α
=␈α
6107.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.3␈ε∞␈↓ πXEV␈α{AL␈α␈UA␈α⎇T␈α␈ION␈α	OF␈α	PO␈α␈WERS␈↓ 
v␈εα443
␈βα(␈↓ α␈εαExtensiv␈α␈e␈αcomputer␈α
calculations␈αhav␈α␈e␈αsho␈α␈wn␈α
that␈↓ λ≥␈ελn␈↓ λ=␈εα=␈α
12509␈α
is␈αthe␈α
smallest
␈βαN␈↓ βk␈ε¬*
␈βαS␈↓ ↓H␈εαvalue␈απwith␈↓ αq␈ελl␈↓ α{␈εα(␈↓ βπ␈ελn␈↓ β≥␈εα)␈α
<␈↓ βa␈ελl␈↓ βy␈εα(␈↓ ∧¬␈ελn␈↓ ∧≠␈εα).␈α
No␈αλstar␈αλchain␈απfor␈αλthis␈αλvalue␈απof␈↓ λπ␈ελn␈↓ λ$␈εαis␈αλas␈αλshort␈απas␈αλthe␈απsequence
␈βα}␈↓ ↓H␈εα1,␈α⊃2,␈α⊃4,␈α⊃8,␈α⊃16,␈α⊃17,␈α⊃32,␈α⊃64,␈α⊃128,␈α⊃256,␈α⊃512,␈α⊃1024,␈α⊃1041,␈α⊃2082,␈α⊃4164,␈α⊃8328,␈α⊃8345,
␈ββ*␈↓ ↓H␈εα12509.␈αThe␈α
brute␈α	force␈α
methods␈α
in␈α	the␈α
proof␈α	of␈α
Theorem␈α
C␈α	could␈α
be␈α
extended␈α	by
␈ββU␈↓ ↓H␈εαcomputer␈αprogram␈α
to␈αdetermine␈α
all␈↓ ε␈ελn␈↓ ε#␈εαsuch␈αthat␈↓ πD␈ελl␈↓ πN␈εα(␈↓ πZ␈ελn␈↓ πp␈εα)␈α=␈↓ λ6␈ελ∃␈↓ λK␈εα(␈↓ λW␈ελn␈↓ λl␈εα)␈α	+␈αλ3;␈α
this␈αapproach
␈ββ{␈↓ λo␈ε¬*
␈β∧␈↓ ↓H␈εαw␈α␈ould␈α∂also␈α⊂characterize␈α∂all␈↓ ¬↓␈ελn␈↓ ¬&␈εαwith␈↓ ¬|␈ελ↔␈↓ ε
␈εα(␈↓ ε→␈ελn␈↓ ε.␈εα)␈α⊂=␈α⊂5␈α⊂and␈↓ πi␈ελl␈↓ πt␈εα(␈↓ λ␈ελn␈↓ λ∃␈εα)␈ε⊗␈α⊂≤␈↓ λe␈ελl␈↓ λ}␈εα(␈↓ 	
␈ελn␈↓ 	∨␈εα).␈α (The␈α∂smallest
␈β∧&␈↓ ∧β␈ε¬1␈α↓4
␈β∧+␈↓ ↓H␈εαsuch␈↓ α~␈ελn␈↓ α;␈εαis␈α16537␈α
=␈↓ βq␈εα2␈↓ ∧(␈εα+␈αλ9␈ε⊗␈αλ↓␈εα␈αλ17.)
␈β∧o␈↓ ↓H␈ε∩Some␈α	conjectures.␈εα␈α∩Although␈α	it␈α	was␈α	reasonable␈α	to␈α	guess␈α	at␈α	|rst␈α	glance␈α	that␈↓ 
G␈ελl␈↓ 
Q␈εα(␈↓ 
]␈ελn␈↓ 
r␈εα)␈α
=
␈β¬⊗␈↓ ↓R␈ε¬*
␈β¬≠␈↓ ↓H␈ελl␈↓ ↓`␈εα(␈↓ ↓l␈ελn␈↓ αα␈εα),␈α	w␈α␈e␈α	hav␈α␈e␈α	no␈α␈w␈α	seen␈α	that␈αλthis␈α	is␈α	false.␈αAnother␈α	plausible␈α	conjecture␈α	[|rst␈αλmade
␈β¬F␈↓ ↓H␈εαby␈α∞A.␈α∂Goulard,␈α⊂and␈α∞supposedly␈α∂\pro␈α␈v␈α␈ed"␈α∂by␈α∂E.␈α∞de␈α∂Jonqui␈↓ λl␈εα␈
␈↓ λm␈εαe␈↓ λ⎇␈εαres␈α∂in␈ε∂␈α∂l'In␈α␈term.␈α∞des
␈β¬q␈↓ ↓H␈ε∂Math.␈ε∩␈α2␈εα␈α(1895),␈α125↑126]␈αis␈αthat␈↓ ¬I␈ελl␈↓ ¬S␈εα(2␈↓ ¬q␈ελn␈↓ επ␈εα)␈α
=␈↓ εK␈ελl␈↓ εU␈εα(␈↓ εa␈ελn␈↓ εw␈εα)␈απ+␈αλ1;␈αa␈αdoubling␈αstep␈αis␈αso␈αe}cien␈α␈t,
␈βε≤␈↓ ↓H␈εαit␈α∂seems␈α⊂unlik␈α␈ely␈α∂that␈α⊂there␈α∂could␈α⊂be␈α∂an␈α␈y␈α⊂shorter␈α⊂chain␈α∂for␈α⊂2␈↓ 	%␈ελn␈↓ 	J␈εαthan␈α∂to␈α⊂add␈α∂a
␈βεG␈↓ ↓H␈εαdoubling␈αstep␈α
to␈α
the␈α
shortest␈αchain␈α
for␈↓ ε7␈ελn␈↓ εL␈εα.␈α∂But␈αcomputer␈α
calculations␈α
sho␈α␈w␈αthat
␈βεs␈↓ ↓H␈εαthis␈α∞conjecture␈α∂also␈α∞fails,␈α⊂since␈↓ ¬?␈ελl␈↓ ¬I␈εα(191)␈α∞=␈↓ εX␈ελl␈↓ εb␈εα(382)␈α∞=␈α∞11.␈α≡(A␈α∂star␈α∞chain␈α∂of␈α∞length
␈βπ≡␈↓ ↓H␈εα11␈α∞for␈α∞382␈α∞is␈α∞not␈α∞hard␈α∞to␈α∞|nd;␈α∂e.g.,␈α∂1,␈α∞2,␈α∂4,␈α∂5,␈α∞9,␈α∂14,␈α∞23,␈α∂46,␈α∂92,␈α∞184,␈α∂198,␈α∞382.
␈βπI␈↓ ↓H␈εαThe␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
191␈α
is␈αminimal␈α
such␈α
that␈↓ ε→␈ελl␈↓ ε$␈εα(␈↓ ε0␈ελn␈↓ εE␈εα)␈α
=␈α
11,␈αand␈α
it␈α
seems␈αto␈α
be␈α
v␈α␈ery␈α
di}cult
␈βπt␈↓ ↓H␈εαto␈α∞pro␈α␈v␈α␈e␈α∂by␈α∞hand␈α∂that␈↓ ∧>␈ελl␈↓ ∧H␈εα(191)␈α∞>␈α∂10;␈α∂the␈α∂computer's␈α∞proof␈α∂of␈α∞this␈α∂fact,␈α∂using␈α∞a
␈βλ∨␈↓ ↓H␈εαbacktrack␈α⊂method␈α⊃that␈α⊃will␈α⊂be␈α⊃sk␈α␈etched␈α⊃in␈α⊂Section␈α⊃7.2.2,␈α∩in␈α␈v␈α␈olv␈α␈ed␈α⊃a␈α⊂detailed
␈βλK␈↓ ↓H␈εαexamination␈αof␈α948␈αcases.)␈α→The␈αsmallest␈αfour␈αvalues␈αof␈↓ λ2␈ελn␈↓ λT␈εαsuch␈αthat␈↓ 	s␈ελl␈↓ 	⎇␈εα(2␈↓ 
≠␈ελn␈↓ 
1␈εα)␈α
=␈↓ 
u␈ελl␈↓ 
␈␈εα(␈↓ ␈ελn␈↓  ␈εα)
␈βλv␈↓ ↓H␈εαare␈↓ αα␈ελn␈↓ α"␈εα=␈α
191,␈α
701,␈α743,␈α1111;␈αE.␈α
G.␈α
Th␈α␈urber␈α
pro␈α␈v␈α␈ed␈αin␈α
the␈α
paper␈αcited␈α
abo␈α␈v␈α␈e␈α
that
␈β	≤␈↓ 
]␈εk
␈β	!␈↓ ↓H␈εαthe␈α
third␈α
of␈α
these␈α
is␈α
a␈α
mem␈α␈ber␈α
of␈α
an␈α
in|nite␈αfamily␈α
of␈α
such␈↓ λZ␈ελn␈↓ λp␈εα,␈α
namely␈α
737␈ε⊗␈αε↓␈↓ 
K␈εα2␈↓ 
q␈εα+␈α¬7
␈β	L␈↓ ↓H␈εαfor␈αall␈↓ α2␈ελk␈↓ αO␈ε⊗∃␈εα␈α
0.␈α
It␈αseems␈α
reasonable␈αto␈αconjecture␈α
that␈↓ λ␈ελl␈↓ λ⊗␈εα(2␈↓ λ4␈ελn␈↓ λJ␈εα)␈ε⊗␈α
∃␈↓ 	∂␈ελl␈↓ 	→␈εα(␈↓ 	%␈ελn␈↓ 	:␈εα),␈α
but␈αev␈α␈en␈αthis
␈β	w␈↓ ↓H␈εαmay␈α∞be␈α∂false.␈α∪Kevin␈α∞R.␈α∂Hebb␈α∞has␈α∂sho␈α␈wn␈α∞that␈↓ π3␈ελl␈↓ π=␈εα(␈↓ πI␈ελn␈↓ π↑␈εα)␈ε⊗␈α
␈␈↓ λ"␈ελl␈↓ λ,␈εα(␈↓ λ8␈ελm␈↓ λW␈ελn␈↓ λm␈εα)␈α∂can␈α∞get␈α∞arbitrarily
␈β
#␈↓ ↓H␈εαlarge,␈α⊂for␈α∂all␈α⊂|x␈α␈ed␈α∂in␈α␈tegers␈↓ ¬↓␈ελm␈↓ ¬0␈εαnot␈α⊂a␈α∂po␈α␈w␈α␈er␈α∂of␈α⊂2␈α∂[␈ε∂Notices␈α∂Amer.␈α⊂Math.␈α∂Soc.␈ε∩␈α∂21
␈β
.␈↓ λs␈ε↓␈␈↓ 
2␈ε↓↓
␈β
I␈↓ 	∨␈ε¬13
␈β
N␈↓ ↓H␈εα(1974),␈αA↑294].␈αThe␈αsmallest␈αcase␈αin␈αwhich␈↓ εr␈ελl␈↓ ε|␈εα(␈↓ πλ␈ελm␈↓ π'␈ελn␈↓ π=␈εα)␈α
<␈↓ λ↓␈ελl␈↓ λ␈εα(␈↓ λ↔␈ελn␈↓ λ-␈εα)␈αis␈↓ λi␈ελl␈↓ 	↓␈εα(␈↓ 	
␈εα2␈↓ 	D␈εα+␈αλ1)/3␈↓ 
J␈εα=␈α
15.
␈β
y␈↓ α␈εαLet␈↓ αL␈ελc␈↓ αZ␈εα(␈↓ αf␈ελr␈↓ αv␈εα)␈α
be␈α	the␈α
smallest␈α
value␈α
of␈↓ εβ␈ελn␈↓ ε"␈εαsuch␈α
that␈↓ π>␈ελl␈↓ πH␈εα(␈↓ πT␈ελn␈↓ πj␈εα)␈α
=␈↓ λ.␈ελr␈↓ λ>␈εα.␈αWe␈α
hav␈α␈e␈α
the␈α	follo␈α␈wing
␈β%␈↓ ↓H␈εαtable:
␈βE␈↓ β0␈ελr␈↓ ∧λ␈ελc␈↓ ∧⊗␈εα(␈↓ ∧"␈ελr␈↓ ∧2␈εα)␈↓ ¬b␈ελr␈↓ ε:␈ελc␈↓ εH␈εα(␈↓ εT␈ελr␈↓ εd␈εα)␈↓ λ
␈ελr␈↓ 	⊂␈ελc␈↓ 	≡␈εα(␈↓ 	*␈ελr␈↓ 	:␈εα)
␈βw␈↓ β.␈εα1␈↓ ∧,␈εα2␈↓ ¬`␈εα7␈↓ εL␈εα29␈↓ λ␈εα13␈↓ 	⊂␈εα607
␈β"␈↓ β.␈εα2␈↓ ∧,␈εα3␈↓ ¬`␈εα8␈↓ εL␈εα47␈↓ λ␈εα14␈↓ λ}␈εα1087
␈βN␈↓ β.␈εα3␈↓ ∧,␈εα5␈↓ ¬`␈εα9␈↓ εL␈εα71␈↓ λ␈εα15␈↓ λ}␈εα1903
␈βy␈↓ β.␈εα4␈↓ ∧,␈εα7␈↓ ¬N␈εα10␈↓ ε:␈εα127␈↓ λ␈εα16␈↓ λ}␈εα3783
␈β
$␈↓ β.␈εα5␈↓ ∧~␈εα11␈↓ ¬N␈εα11␈↓ ε:␈εα191␈↓ λ␈εα17␈↓ λ}␈εα6271
␈β
O␈↓ β.␈εα6␈↓ ∧~␈εα19␈↓ ¬N␈εα13␈↓ ε:␈εα607␈↓ λ␈εα18␈↓ λl␈εα11231
␈β∞∃␈↓ ↓H␈εαFor␈↓ αλ␈ελr␈↓ α"␈ε⊗∀␈εα␈α
11,␈α	the␈αλvalue␈αλof␈↓ ∧C␈ελc␈↓ ∧Q␈εα(␈↓ ∧]␈ελr␈↓ ∧m␈εα)␈α	is␈αλappro␈α␈ximately␈αλequal␈αλto␈↓ λ∂␈ελc␈↓ λ≡␈εα(␈↓ λ*␈ελr␈↓ λ<␈ε⊗␈␈εα␈αβ1)␈αβ+␈↓ 	+␈ελc␈↓ 	9␈εα(␈↓ 	E␈ελr␈↓ 	X␈ε⊗␈␈εα␈αβ2),␈α	and␈αλthis
␈β∞;␈↓ 
T␈εr
␈β∞@␈↓ ↓H␈εαfact␈α
led␈αto␈αspeculation␈α
by␈αsev␈α␈eral␈αpeople␈αthat␈↓ π⊂␈ελc␈↓ π≡␈εα(␈↓ π*␈ελr␈↓ π:␈εα)␈αgro␈α␈ws␈αlik␈α␈e␈α
the␈αfunction␈↓ 
@␈ελ≡␈↓ 
a␈εα;␈αbut
␈β∞L␈↓ ∧>␈ε↓␈␈↓ ε≥␈ε↓↓
␈β∞k␈↓ ↓H␈εαthe␈απresult␈αλof␈απTheorem␈αλD␈↓ ∧L␈εαwith␈↓ ¬→␈ελn␈↓ ¬9␈εα=␈↓ ¬g␈ελc␈↓ ¬u␈εα(␈↓ ε↓␈ελr␈↓ ε⊃␈εα)␈↓ ε2␈εαimplies␈αλthat␈↓ πq␈ελr␈↓ λ↓␈εα/␈↓ λ∪␈εαlg␈↓ λ5␈ελc␈↓ λC␈εα(␈↓ λO␈ελr␈↓ λ←␈εα)␈ε⊗␈α
!␈εα␈α
1␈αλas␈↓ 	d␈ελn␈↓ 
∧␈ε⊗!␈α
1␈εα.␈α∞[See
␈β∂↔␈↓ ↓H␈εαE.␈α
G.␈αTh␈α␈urber,␈ε∂␈αDuk␈α␈e␈αMath.␈α
J.␈ε∩␈α40␈εα␈α(1973),␈α907↑913,␈α
for␈αmore␈αdetailed␈α
information
␈β∂B␈↓ ↓H␈εαabout␈αthe␈αgro␈α␈wth␈αof␈↓ ∧∂␈ελc␈↓ ∧≥␈εα(␈↓ ∧)␈ελr␈↓ ∧9␈εα).]␈α→Sev␈α␈eral␈α
people␈αhad␈αconjectured␈αat␈αone␈αtime␈αthat␈↓ 
w␈ελc␈↓ ¬␈εα(␈↓ ⊃␈ελr␈↓  ␈εα)
␈β∂m␈↓ ↓H␈εαw␈α␈ould␈α∞always␈α∞be␈α∞a␈α∞prime␈α∂n␈α␈um␈α␈ber;␈α∂but␈↓ ε9␈ελc␈↓ εG␈εα(15)␈α∞=␈α∞11␈ε⊗␈α	↓␈εα␈α
173␈α∞and␈↓ 	⊂␈ελc␈↓ 	≡␈εα(18)␈α∞=␈α
11␈ε⊗␈α
↓␈εα␈α	1021.
␈β⊂_␈↓ ↓H␈εαPerhaps␈αno␈αconjecture␈αabout␈αaddition␈αchains␈αis␈αsafe!
␈β⊂D␈↓ α␈εαTabulated␈αvalues␈αof␈↓ ∧R␈ελl␈↓ ∧\␈εα(␈↓ ∧h␈ελn␈↓ ∧}␈εα)␈αsho␈α␈w␈αthat␈αthis␈αfunction␈αis␈αsurprisingly␈αsmooth;␈αfor
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαexample,␈↓ αd␈ελl␈↓ αn␈εα(␈↓ αz␈ελn␈↓ β⊂␈εα)␈α⊂=␈α∂13␈α⊂for␈α∂all␈↓ ¬∧␈ελn␈↓ ¬)␈εαin␈α⊂the␈α∂range␈α⊂1125␈ε⊗␈α∂∀␈↓ λ	␈ελn␈↓ λ/␈ε⊗∀␈εα␈α∂1148.␈α↔The␈α∂computer
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαcalculations␈α
sho␈α␈w␈αthat␈α
a␈αtable␈αof␈↓ ¬L␈ελl␈↓ ¬V␈εα(␈↓ ¬b␈ελn␈↓ ¬x␈εα)␈αmay␈α
be␈αprepared␈α
for␈αall␈↓ 	λ␈ελn␈↓ 	'␈ε⊗∀␈εα␈α
1000␈αby␈α
using
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα444␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.3
␈βα≥␈↓ ¬{␈ε≥Ta␈α␈b␈α↓le␈α
1
␈βαR␈↓ β2␈εβV␈α{ALUES␈αO␈α␈F␈↓ ∧z␈ε	n␈↓ ¬→␈εβF␈α␈OR␈αSPECIAL␈αADD␈α␈I␈α↓TION␈αCHAINS
␈ββα␈↓ ↓X␈εβ23␈↓ α≡␈εβ1␈α␈63␈↓ αs␈εβ229␈↓ βI␈εβ319␈↓ ∧∨␈εβ371␈↓ ∧u␈εβ413␈↓ ¬K␈εβ45␈α␈3␈↓ ε!␈εβ55␈α␈3␈↓ εw␈εβ59␈α␈9␈↓ πM␈εβ64␈α␈5␈↓ λ#␈εβ7␈α␈07␈↓ λy␈εβ7␈α␈41␈↓ 	O␈εβ8␈α␈13␈↓ 
%␈εβ8␈α␈49␈↓ 
z␈εβ903
␈ββ*␈↓ ↓X␈εβ43␈↓ α≡␈εβ1␈α␈65␈↓ αs␈εβ233␈↓ βI␈εβ323␈↓ ∧∨␈εβ373␈↓ ∧u␈εβ419␈↓ ¬K␈εβ45␈α␈5␈↓ ε!␈εβ55␈α␈7␈↓ εw␈εβ61␈α␈1␈↓ πM␈εβ65␈α␈9␈↓ λ#␈εβ7␈α␈09␈↓ λy␈εβ7␈α␈49␈↓ 	O␈εβ8␈α␈25␈↓ 
%␈εβ8␈α␈63␈↓ 
z␈εβ905
␈ββQ␈↓ ↓X␈εβ59␈↓ α≡␈εβ1␈α␈79␈↓ αs␈εβ281␈↓ βI␈εβ347␈↓ ∧∨␈εβ377␈↓ ∧u␈εβ421␈↓ ¬K␈εβ45␈α␈7␈↓ ε!␈εβ56␈α␈1␈↓ εw␈εβ61␈α␈9␈↓ πM␈εβ66␈α␈7␈↓ λ#␈εβ7␈α␈11␈↓ λy␈εβ7␈α␈59␈↓ 	O␈εβ8␈α␈35␈↓ 
%␈εβ8␈α␈69␈↓ 
z␈εβ923
␈ββy␈↓ ↓X␈εβ77␈↓ α≡␈εβ2␈α␈03␈↓ αs␈εβ283␈↓ βI␈εβ349␈↓ ∧∨␈εβ381␈↓ ∧u␈εβ423␈↓ ¬K␈εβ47␈α␈9␈↓ ε!␈εβ56␈α␈9␈↓ εw␈εβ62␈α␈3␈↓ πM␈εβ66␈α␈9␈↓ λ#␈εβ7␈α␈13␈↓ λy␈εβ7␈α␈79␈↓ 	O␈εβ8␈α␈37␈↓ 
%␈εβ8␈α␈87␈↓ 
z␈εβ941
␈β∧!␈↓ ↓X␈εβ83␈↓ α≡␈εβ2␈α␈11␈↓ αs␈εβ293␈↓ βI␈εβ355␈↓ ∧∨␈εβ382␈↓ ∧u␈εβ429␈↓ ¬K␈εβ50␈α␈3␈↓ ε!␈εβ57␈α␈1␈↓ εw␈εβ63␈α␈1␈↓ πM␈εβ67␈α␈7␈↓ λ#␈εβ7␈α␈15␈↓ λy␈εβ7␈α␈87␈↓ 	O␈εβ8␈α␈39␈↓ 
%␈εβ8␈α␈93␈↓ 
z␈εβ947
␈β∧H␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈07␈↓ α≡␈εβ2␈α␈13␈↓ αs␈εβ311␈↓ βI␈εβ359␈↓ ∧∨␈εβ395␈↓ ∧u␈εβ437␈↓ ¬K␈εβ50␈α␈9␈↓ ε!␈εβ57␈α␈3␈↓ εw␈εβ63␈α␈7␈↓ πM␈εβ68␈α␈3␈↓ λ#␈εβ7␈α␈17␈↓ λy␈εβ8␈α␈03␈↓ 	O␈εβ8␈α␈41␈↓ 
%␈εβ8␈α␈99␈↓ 
z␈εβ955
␈β∧p␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈49␈↓ α≡␈εβ2␈α␈27␈↓ αs␈εβ317␈↓ βI␈εβ367␈↓ ∧∨␈εβ403␈↓ ∧u␈εβ451␈↓ ¬K␈εβ55␈α␈1␈↓ ε!␈εβ58␈α␈1␈↓ εw␈εβ64␈α␈3␈↓ πM␈εβ69␈α␈1␈↓ λ#␈εβ7␈α␈39␈↓ λy␈εβ8␈α␈09␈↓ 	O␈εβ8␈α␈45␈↓ 
%␈εβ9␈α␈01␈↓ 
z␈εβ983
␈β¬∃␈↓ ↓H␈∧¬∃↓Hα	e
␈β¬{␈↓ ↓H␈εαthe␈αform␈α␈ula
␈βε)␈↓ ∧<␈ελl␈↓ ∧F␈εα(␈↓ ∧R␈ελn␈↓ ∧g␈εα)␈α
=␈↓ ¬+␈εαmin␈↓ ¬g␈εα(␈↓ ¬s␈ελl␈↓ ¬⎇␈εα(␈↓ ε	␈ελn␈↓ ε∨␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ1)␈αλ+␈αλ1,␈↓ πS␈ελl␈↓ π]␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ λ≥␈ελ∞␈↓ λ/␈εα,␈↓ 
p␈εα(48)
␈βεo␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α/␈ελl␈↓ αC␈εα=␈ε⊗␈α
1␈εα␈αif␈↓ βC␈ελn␈↓ βd␈εαis␈αprime,␈αotherwise␈↓ ε↔␈ελl␈↓ ε+␈εα=␈↓ εY␈ελl␈↓ εc␈εα(␈↓ εo␈ελp␈↓ π↓␈εα)␈αλ+␈↓ π@␈ελl␈↓ πJ␈εα(␈↓ πV␈ελn␈↓ πl␈εα/␈↓ π}␈ελp␈↓ λ⊂␈εα)␈αif␈↓ λJ␈ελp␈↓ λh␈εαis␈αthe␈αsmallest␈αprime
␈βπ≠␈↓ ↓H␈εαdividing␈↓ αT␈ελn␈↓ αi␈εα;␈αand␈↓ βE␈ελ∞␈↓ βa␈εα=␈α
1␈αfor␈↓ ∧e␈ελn␈↓ ¬ε␈εαin␈αTable␈α1,␈↓ ε>␈ελ∞␈↓ εY␈εα=␈α
0␈αotherwise.
␈βπF␈↓ α␈εαLet␈↓ αM␈ελd␈↓ αa␈εα(␈↓ αm␈ελr␈↓ α|␈εα)␈αbe␈αthe␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈αof␈α
solutions␈↓ ε<␈ελn␈↓ ε\␈εαto␈α
the␈αequation␈↓ λS␈ελl␈↓ λ]␈εα(␈↓ λi␈ελn␈↓ λ␈␈εα)␈α
=␈↓ 	C␈ελr␈↓ 	S␈εα.␈αWe␈αhav␈α␈e␈α
the
␈βπr␈↓ ↓H␈εαfollo␈α␈wing␈αtable:
␈βλE␈↓ β3␈ελr␈↓ ∧␈ελd␈↓ ∧∨␈εα(␈↓ ∧+␈ελr␈↓ ∧;␈εα)␈↓ ¬k␈ελr␈↓ εC␈ελd␈↓ εW␈εα(␈↓ εc␈ελr␈↓ εs␈εα)␈↓ λ→␈ελr␈↓ 	π␈ελd␈↓ 	≠␈εα(␈↓ 	'␈ελr␈↓ 	7␈εα)
␈βλw␈↓ β1␈εα1␈↓ ∧5␈εα1␈↓ ¬i␈εα6␈↓ ε[␈εα15␈↓ λ∂␈εα11␈↓ 	
␈εα246
␈β	"␈↓ β1␈εα2␈↓ ∧5␈εα2␈↓ ¬i␈εα7␈↓ ε[␈εα26␈↓ λ∂␈εα12␈↓ 	
␈εα432
␈β	M␈↓ β1␈εα3␈↓ ∧5␈εα3␈↓ ¬i␈εα8␈↓ ε[␈εα44␈↓ λ∂␈εα13␈↓ 	
␈εα772
␈β	y␈↓ β1␈εα4␈↓ ∧5␈εα5␈↓ ¬i␈εα9␈↓ ε[␈εα78␈↓ λ∂␈εα14␈↓ λ{␈εα1382
␈β
$␈↓ β1␈εα5␈↓ ∧5␈εα9␈↓ ¬W␈εα10␈↓ εI␈εα136␈↓ λ∂␈εα15␈↓ λ{␈εα2481
␈β
|␈↓ ↓H␈εαSurely␈↓ α9␈ελd␈↓ αM␈εα(␈↓ αY␈ελr␈↓ αh␈εα)␈α
m␈α␈ust␈α
be␈α
an␈α
increasing␈α
function␈α
of␈↓ π!␈ελr␈↓ π1␈εα,␈α
but␈α
there␈α
is␈α
no␈α
eviden␈α␈t␈α
way␈αto
␈β(␈↓ ↓H␈εαpro␈α␈v␈α␈e␈α∂this␈α⊂seemingly␈α∂simple␈α⊂assertion,␈α⊂m␈α␈uch␈α∂less␈α⊂to␈α∂determine␈α⊂the␈α∂asymptotic
␈βS␈↓ ↓H␈εαgro␈α␈wth␈αof␈↓ αk␈ελd␈↓ α␈␈εα(␈↓ β␈ελr␈↓ β≠␈εα)␈αfor␈αlarge␈↓ ∧C␈ελr␈↓ ∧R␈εα.
␈β␈↓ α␈εαThe␈αmost␈αfamous␈αproblem␈αabout␈αaddition␈αchains␈αthat␈αis␈αstill␈αoutstanding␈αis
␈β7␈↓ ↓H␈εαthe␈α\Scholz-Brauer␈αconjecture,"␈αwhich␈αstates␈αthat
␈β
	␈↓ ¬↔␈εn
␈β
∂␈↓ ∧o␈ελl␈↓ ∧y␈εα(␈↓ ¬¬␈εα2␈↓ ¬1␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈ε⊗␈α
∀␈↓ ε3␈ελn␈↓ εQ␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈αλ+␈↓ πC␈ελl␈↓ πM␈εα(␈↓ πY␈ελn␈↓ πo␈εα).␈↓ 
p␈εα(49)
␈β
h␈↓ ↓H␈εαComputer␈α∞calculations␈α∂sho␈α␈w,␈α∂in␈α∞fact,␈α∂that␈α∞equality␈α∂holds␈α∞in␈α∂(49)␈α∞for␈α∂1␈ε⊗␈α∞∀␈↓ 
e␈ελn␈↓ λ␈ε⊗∀
␈β∞∪␈↓ ↓H␈εα14;␈α∩and␈α⊃hand␈α⊂calculations␈α⊂by␈α⊃E.␈α⊂G.␈α⊂Th␈α␈urber␈α⊃[␈ε∂Discrete␈α⊂Math.␈ε∩␈α⊃16␈εα␈α⊂(1976),␈α⊃279↑
␈β∞>␈↓ ↓H␈εα289]␈α⊂hav␈α␈e␈α∂sho␈α␈wn␈α⊂that␈α⊂equality␈α⊂holds␈α⊂also␈α⊂for␈↓ π+␈ελn␈↓ πQ␈εα=␈α⊂15,␈α⊃16,␈α⊃17,␈α⊃18,␈α⊃20,␈α⊃24,␈α⊂32.
␈β∞j␈↓ ↓H␈εαMuch␈αof␈αthe␈αresearch␈αon␈αaddition␈αchains␈αhas␈αbeen␈αdev␈α␈oted␈αto␈αattempts␈αto␈αpro␈α␈v␈α␈e
␈β∂⊂␈↓ ε?␈εn
␈β∂∃␈↓ ↓H␈εα(49);␈α∪addition␈α⊃chains␈α⊂for␈α⊃the␈α⊃n␈α␈um␈α␈ber␈↓ ε-␈εα2␈↓ ε\␈ε⊗␈␈εα␈α1,␈α∩which␈α⊃has␈α⊂so␈α⊃man␈α␈y␈α⊃ones␈α⊃in␈α⊂its
␈β∂@␈↓ ↓H␈εαbinary␈αrepresen␈α␈tation,␈αare␈αof␈αspecial␈αin␈α␈terest,␈α
since␈αthis␈αis␈αthe␈αw␈α␈orst␈αcase␈αfor␈αthe
␈β∂k␈↓ ↓H␈εαbinary␈α∞method.␈α∀Arnold␈α∞Scholz␈α∂coined␈α∂the␈α∞name␈α∂\addition␈α∞chain"␈α∂(in␈α∞German)
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈εαand␈α
posed␈α	(49)␈α
as␈α
a␈α
problem␈α
in␈α
1937␈α
[␈ε∂Jahresberich␈α␈t␈α
der␈α
deutschen␈α	Mathematik␈α␈er-
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε∂Vereinigung␈εα,␈αclass␈αII,␈ε∩␈α47␈εα␈α(1937),␈α41↑42];␈αAlfred␈αBrauer␈αpro␈α␈v␈α␈ed␈αin␈α1939␈αthat
␈β⊃∀␈↓ ∧k␈ε¬*␈↓ ¬↔␈εn␈↓ πM␈ε¬*
␈β⊃~␈↓ ∧a␈ελl␈↓ ∧y␈εα(␈↓ ¬¬␈εα2␈↓ ¬1␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈ε⊗␈α
∀␈↓ ε3␈ελn␈↓ εQ␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈αλ+␈↓ πC␈ελl␈↓ π\␈εα(␈↓ πh␈ελn␈↓ π⎇␈εα).␈↓ 
p␈εα(50)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.3␈ε∞␈↓ πXEV␈α{AL␈α␈UA␈α⎇T␈α␈ION␈α	OF␈α	PO␈α␈WERS␈↓ 
v␈εα445
␈βα!␈↓ λV␈ε¬*
␈βα&␈↓ α␈εαHansen's␈α∂theorems␈α∂sho␈α␈w␈α⊂that␈↓ ¬p␈ελl␈↓ ¬z␈εα(␈↓ εε␈ελn␈↓ ε≤␈εα)␈α∂can␈α∂be␈α∂less␈α∂than␈↓ λL␈ελl␈↓ λd␈εα(␈↓ λp␈ελn␈↓ 	ε␈εα),␈α⊂so␈α∂more␈α∂w␈α␈ork␈α∂is
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαde|nitely␈α	necessary␈α
in␈α
order␈α
to␈α
pro␈α␈v␈α␈e␈α
or␈α	dispro␈α␈v␈α␈e␈α
(49).␈αAs␈α
a␈α
step␈α
in␈α
this␈α	direction,
␈βαx␈↓ ε≡␈ε¬0
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαHansen␈α
has␈α
de|ned␈αthe␈α
concept␈α
of␈αan␈↓ ε∀␈ελl␈↓ ε,␈ε∂-chain␈εα,␈αwhich␈α
lies␈α\bet␈α␈w␈α␈een"␈↓ 	p␈ελl␈↓ 	z␈εα-chains␈α
and
␈ββ#␈↓ ↓R␈ε¬*␈↓ β>␈ε¬0
␈ββ(␈↓ ↓H␈ελl␈↓ ↓`␈εα-chains.␈α⊂In␈α
a␈↓ β4␈ελl␈↓ βL␈εα-chain,␈α∞certain␈α
of␈α
the␈α
elemen␈α␈ts␈α
are␈α
underlined;␈α∞the␈α
condition␈α
is
␈ββS␈↓ ↓H␈εαthat␈↓ α⊗␈ελa␈↓ α<␈εα=␈↓ αj␈ελa␈↓ β⊂␈εα+␈↓ β<␈ελa␈↓ β[␈εα,␈αwhere␈↓ ∧Y␈ελa␈↓ ¬β␈εαis␈αthe␈αlargest␈αunderlined␈αelemen␈α␈t␈αless␈αthan␈↓ 
&␈ελa␈↓ 
C␈εα.
␈ββ`␈↓ α&␈εi␈↓ α{␈εj␈↓ βM␈εk␈↓ ∧j␈εj␈↓ 
7␈εi
␈ββz␈↓ ∧f␈ε¬0
␈ββ␈␈↓ α␈εαAs␈αan␈αexample␈αof␈αan␈↓ ∧\␈ελl␈↓ ∧u␈εα-chain␈α(certainly␈αnot␈αa␈αminim␈α␈um␈αone),␈αconsider
␈β∧W␈↓ ¬~␈εα1␈↓ ¬,␈εα,␈↓ ¬<␈εα2␈↓ ¬N␈εα,␈↓ ¬↑␈εα4␈↓ ¬p␈εα,␈αε5,␈↓ ε"␈εα8␈↓ ε4␈εα,␈αε10,␈αε12,␈↓ π,␈εα18␈↓ πP␈εα;␈↓ 
p␈εα(51)
␈β∧t␈↓ ¬~␈∧∧t¬~α∩␈↓ ¬<␈∧∧t¬<α∩␈↓ ¬↑␈∧∧t¬↑α∩␈↓ ε"␈∧∧tε"α∩␈↓ π,␈∧∧tπ,α$
␈β¬/␈↓ ↓H␈εαit␈α∞is␈α∂easy␈α∂to␈α∞v␈α␈erify␈α∂that␈α∂the␈α∞di{erence␈α∂bet␈α␈w␈α␈een␈α∂each␈α∞elemen␈α␈t␈α∂and␈α∂the␈α∞previous
␈β¬U␈↓ ε␈␈ε¬0
␈β¬Z␈↓ ↓H␈εαunderlined␈α
elemen␈α␈t␈α
is␈α
in␈α∞the␈α
chain.␈α⊂We␈α
let␈↓ εu␈ελl␈↓ π∞␈εα(␈↓ π~␈ελn␈↓ π/␈εα)␈α
denote␈α∞the␈α
minim␈α␈um␈α
length␈α
of
␈βε↓␈↓ α∧␈ε¬0␈↓ ¬\␈ε¬0␈↓ εZ␈ε¬*
␈βεε␈↓ ↓H␈εαan␈↓ ↓z␈ελl␈↓ α∩␈εα-chain␈αfor␈↓ β6␈ελn␈↓ βL␈εα.␈αClearly␈↓ ∧b␈ελl␈↓ ∧l␈εα(␈↓ ∧x␈ελn␈↓ ¬∞␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈↓ ¬R␈ελl␈↓ ¬j␈εα(␈↓ ¬v␈ελn␈↓ ε␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈↓ εP␈ελl␈↓ εh␈εα(␈↓ εt␈ελn␈↓ π
␈εα).
␈βε,␈↓ πE␈ε¬0
␈βε1␈↓ α␈εαThe␈α
chain␈α
constructed␈α
in␈α
Theorem␈αF␈α
is␈α
an␈↓ π;␈ελl␈↓ πT␈εα-chain␈α(see␈α
ex␈α␈ercise␈α
22);␈α
hence
␈βεX␈↓ α\␈ε¬0␈↓ β[␈ε¬*␈↓ 
p␈ε¬0
␈βε]␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈↓ αR␈ελl␈↓ αk␈εα(␈↓ αw␈ελn␈↓ β␈εα)␈α<␈↓ βQ␈ελl␈↓ βj␈εα(␈↓ βv␈ελn␈↓ ∧␈εα)␈α
for␈αcertain␈↓ ¬T␈ελn␈↓ ¬j␈εα.␈α
It␈αis␈αnot␈α
kno␈α␈wn␈αwhether␈αor␈αnot␈↓ 	v␈ελl␈↓ 
␈εα(␈↓ 
␈ελn␈↓ 
!␈εα)␈α=␈↓ 
f␈ελl␈↓ 
␈␈εα(␈↓ ␈ελn␈↓  ␈εα)
␈βπλ␈↓ ↓H␈εαin␈α∞all␈α∂cases;␈α⊂if␈α∂this␈α∂equation␈α∞w␈α␈ere␈α∂true,␈α⊂the␈α∞Scholz-Brauer␈α∂conjecture␈α∂w␈α␈ould␈α∞be
␈βπ3␈↓ ↓H␈εαsettled,␈αbecause␈αof␈αanother␈αtheorem␈αdue␈αto␈αHansen:
␈βπs␈↓ β)␈ε¬0␈↓ βU␈εn␈↓ ε␈ε¬0
␈βπx␈↓ ↓H␈ε∩Theorem␈αG.␈↓ β∨␈ελl␈↓ β7␈εα(␈↓ βC␈εα2␈↓ βo␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈ε⊗␈α
∀␈↓ ∧q␈ελn␈↓ ¬∂␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈αλ+␈↓ ε↓␈ελl␈↓ ε→␈εα(␈↓ ε%␈ελn␈↓ ε;␈εα).
␈βλ<␈↓ ε]␈ε¬0
␈βλA␈↓ ↓H␈ε∂Proof.␈εα␈α_Let␈α1␈α
=␈↓ βJ␈ελa␈↓ βi␈εα,␈↓ β␈␈ελa␈↓ ∧≡␈εα,␈↓ ∧4␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧d␈εα,␈↓ ∧z␈ελa␈↓ ¬"␈εα=␈↓ ¬P␈ελn␈↓ ¬q␈εαbe␈αan␈↓ εS␈ελl␈↓ εk␈εα-chain␈αof␈αminim␈α␈um␈αlength␈αfor␈↓ 
G␈ελn␈↓ 
]␈εα,␈αand
␈βλN␈↓ β[␈ε¬0␈↓ ∧⊂␈ε¬1␈↓ ¬␈εr
␈βλl␈↓ ↓H␈εαlet␈α1␈α
=␈↓ αF␈ελb␈↓ αa␈εα,␈↓ αw␈ελb␈↓ β∩␈εα,␈↓ β(␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βX␈εα,␈↓ βn␈ελb␈↓ ∧⊂␈εα=␈↓ ∧>␈ελn␈↓ ∧←␈εαbe␈αthe␈αsubsequence␈αof␈αunderlined␈αelemen␈α␈ts.␈α→(We␈αmay
␈βλy␈↓ αS␈ε¬0␈↓ β∧␈ε¬1␈↓ β{␈εt
␈β	∩␈↓ πk␈ε¬0␈↓ 	-␈εn
␈β	↔␈↓ ↓H␈εαassume␈α
that␈↓ β∂␈ελn␈↓ β0␈εαis␈α
underlined.)␈α↔Then␈α
w␈α␈e␈αcan␈αget␈αan␈↓ πa␈ελl␈↓ πz␈εα-chain␈αfor␈↓ 	≠␈εα2␈↓ 	F␈ε⊗␈␈εα␈αε1␈αas␈α
follo␈α␈ws:
␈β	J␈↓ βT␈ε¬0␈↓ ¬?␈εa
␈β	P␈↓ ↓b␈εαa)␈↓ α␈εαInclude␈α
the␈↓ βI␈ελl␈↓ βb␈εα(␈↓ βn␈ελn␈↓ ∧∧␈εα)␈αn␈α␈um␈α␈bers␈↓ ¬-␈εα2␈↓ ¬`␈ε⊗␈␈εα␈α	1,␈αfor␈α
1␈ε⊗␈α∀␈↓ π;␈ελi␈↓ πT␈ε⊗∀␈↓ λβ␈ελr␈↓ λ∪␈εα,␈α
underlined␈αif␈α
and␈α
only␈αif
␈β	S␈↓ ¬M␈ε
i
␈β	{␈↓ α␈ελa␈↓ α4␈εαis␈αunderlined.
␈β
λ␈↓ α≥␈εi
␈β
'␈↓ ∧k␈εi␈↓ ¬∃␈εb
␈β
,␈↓ ↓`␈εαb)␈↓ α␈εαInclude␈α
the␈αn␈α␈um␈α␈bers␈↓ ∧Y␈εα2␈↓ ∧w␈εα(␈↓ ¬β␈εα2␈↓ ¬4␈ε⊗␈␈εα␈αλ1),␈α
for␈α0␈ε⊗␈α∀␈↓ π→␈ελj␈↓ π4␈εα<␈↓ πc␈ελt␈↓ π|␈εαand␈α
for␈α0␈α<␈↓ 	G␈ελi␈↓ 	←␈ε⊗∀␈↓ 
∞␈ελb␈↓ 
\␈ε⊗␈␈↓ λ␈ελb␈↓ "␈εα,
␈β
/␈↓ ¬ ␈ε
j
␈β
9␈↓ 
≠␈εj␈↓ 
(␈ε¬+1␈↓ ∃␈εj
␈β
W␈↓ α␈εαall␈α	underlined.␈α∪(This␈α	is␈α	a␈α	total␈α
of␈↓ ε⊂␈ελb␈↓ ε/␈ε⊗␈␈↓ εX␈ελb␈↓ εw␈εα+␈↓ π ␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πN␈εα+␈↓ πv␈ελb␈↓ λ∩␈ε⊗␈␈↓ λ:␈ελb␈↓ 	π␈εα=␈↓ 	5␈ελn␈↓ 	O␈ε⊗␈␈εα␈α∧1␈α	n␈α␈um␈α␈bers.)
␈β
e␈↓ ε≥␈ε¬1␈↓ εe␈ε¬0␈↓ λβ␈εt␈↓ λG␈εt␈↓ λR␈ε→␈␈ε¬1
␈βλ␈↓ ↓d␈εαc)␈↓ α␈εαSort␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αfrom␈α(a)␈αand␈α(b)␈αin␈α␈to␈αascending␈αorder.
␈β<␈↓ π
␈ε¬0
␈βA␈↓ α␈εαWe␈αmay␈αeasily␈αv␈α␈erify␈αthat␈αthis␈αgiv␈α␈es␈αan␈↓ πα␈ελl␈↓ π≠␈εα-chain:␈αThe␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αof␈α(b)␈αare␈αall
␈βl␈↓ ↓H␈εαequal␈αto␈αt␈α␈wice␈αsome␈αother␈αelemen␈α␈t␈αof␈α(a)␈αor␈α(b);␈αfurthermore,␈αthis␈αelemen␈α␈t␈αis␈αthe
␈β↔␈↓ ↓H␈εαpreceding␈αunderlined␈αelemen␈α␈t.␈αIf␈↓ ¬M␈ελa␈↓ ¬u␈εα=␈↓ ε#␈ελb␈↓ εE␈εα+␈↓ εp␈ελa␈↓ π∂␈εα,␈αwhere␈↓ λ␈ελb␈↓ λ2␈εαis␈αthe␈αlargest␈αunderlined
␈β%␈↓ ¬↑␈εj␈↓ ε0␈εj␈↓ π↓␈εk␈↓ λ→␈εj
␈β=␈↓ λI␈εa␈↓ 	↓␈εb␈↓ 
4␈εa␈↓ ∩␈εa
␈βB␈↓ ↓H␈εαelemen␈α␈t␈αless␈αthan␈↓ βb␈ελa␈↓ β␈␈εα,␈αthen␈↓ ∧f␈ελa␈↓ ¬⊂␈εα=␈↓ ¬>␈ελa␈↓ ¬c␈ε⊗␈␈↓ ε∂␈ελb␈↓ ε4␈ε⊗∀␈↓ εb␈ελb␈↓ π/␈ε⊗␈␈↓ π[␈ελb␈↓ πu␈εα,␈αso␈↓ λ7␈εα2␈↓ λc␈εα(␈↓ λo␈εα2␈↓ 	 ␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈α
=␈↓ 
"␈εα2␈↓ 
T␈ε⊗␈␈↓ ␈εα2
␈βF␈↓ λW␈ε
k␈↓ 	
␈ε
j␈↓ 
B␈ε
i␈↓  ␈ε
k
␈βP␈↓ βs␈εi␈↓ ∧w␈εk␈↓ ¬N␈εj␈↓ ε≤␈εj␈↓ εo␈εj␈↓ ε|␈ε¬+1␈↓ πh␈εj
␈βi␈↓ πE␈εa␈↓ 	&␈εa
␈βn␈↓ ↓H␈εαappears␈αunderlined␈αin␈αthe␈αchain,␈αjust␈αpreceding␈↓ π3␈εα2␈↓ πd␈ε⊗␈␈εα␈απ1.␈αSince␈↓ 	∀␈εα2␈↓ 	E␈ε⊗␈␈εα␈αε1␈αis␈αequal␈αto
␈βq␈↓ πS␈ε
i␈↓ 	4␈ε
i
␈β
∀␈↓ ↓f␈εa␈↓ αC␈εa␈↓ β:␈εa
␈β
→␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈εα2␈↓ α¬␈ε⊗␈␈↓ α1␈εα2␈↓ α]␈εα)␈αλ+␈απ(␈↓ β(␈εα2␈↓ β\␈ε⊗␈␈εα␈αλ1),␈αwhere␈αboth␈αof␈αthese␈αvalues␈αappear␈αin␈αthe␈αchain,␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈β
≤␈↓ ↓t␈ε
i␈↓ αQ␈ε
k␈↓ βH␈ε
k
␈β
?␈↓ ¬α␈ε¬0
␈β
D␈↓ ↓H␈εαan␈αaddition␈αchain␈αwith␈αthe␈↓ ∧x␈ελl␈↓ ¬≤␈εαproperty.
␈β
I␈↓ εV␈∧
IεV≠∂
␈β∞	␈↓ α␈εαThe␈αchain␈αcorresponding␈αto␈α(51),␈αconstructed␈αin␈αthe␈αproof␈αof␈αTheorem␈αG␈↓ 
␈␈εα,␈αis
␈β∞a␈↓ ↓l␈εα1␈↓ ↓}␈εα,␈↓ α∞␈εα2␈↓ α ␈εα,␈↓ α0␈εα3␈↓ αB␈εα,␈↓ αR␈εα6␈↓ αd␈εα,␈↓ αt␈εα12␈↓ β_␈εα,␈↓ β(␈εα15␈↓ βL␈εα,␈↓ β\␈εα30␈↓ ∧␈εα,␈αε31,␈↓ ∧D␈εα60␈↓ ∧h␈εα,␈↓ ∧x␈εα120␈↓ ¬.␈εα,␈↓ ¬>␈εα240␈↓ ¬t␈εα,␈↓ ε∧␈εα255␈↓ ε:␈εα,␈↓ εJ␈εα510␈↓ π␈εα,␈↓ π⊂␈εα1020␈↓ πX␈εα,␈αε1023,␈↓ λ@␈εα2040␈↓ 	λ␈εα,
␈β∞}␈↓ ↓l␈∧∞}↓lα∩␈↓ α∞␈∧∞}α∞α∩␈↓ α0␈∧∞}α0α∩␈↓ αR␈∧∞}αRα∩␈↓ αt␈∧∞}αtα$␈↓ β(␈∧∞}β(α$␈↓ β\␈∧∞}β\α$␈↓ ∧D␈∧∞}∧Dα$␈↓ ∧x␈∧∞}∧xα6␈↓ ¬>␈∧∞}¬>α6␈↓ ε∧␈∧∞}ε∧α6␈↓ εJ␈∧∞}εJα6␈↓ π⊂␈∧∞}π⊂αH␈↓ λ@␈∧∞}λ@αH
␈β∂∀␈↓ βT␈εα4080␈↓ ∧≤␈εα,␈αε4095,␈↓ ¬∧␈εα8160␈↓ ¬L␈εα,␈↓ ¬\␈εα16320␈↓ ε6␈εα,␈↓ εF␈εα32640␈↓ π ␈εα,␈↓ π0␈εα65280␈↓ λ
␈εα,␈↓ λ~␈εα130560␈↓ 	ε␈εα,␈↓ 	⊗␈εα261120␈↓ 
α␈εα,␈↓ 
∩␈εα262143␈↓ 
}␈εα.
␈β∂1␈↓ βT␈∧∂1βTαH␈↓ ¬∧␈∧∂1¬∧αH␈↓ ¬\␈∧∂1¬\αZ␈↓ εF␈∧∂1εFαZ␈↓ π0␈∧∂1π0αZ␈↓ λ~␈∧∂1λ~αl␈↓ 	⊗␈∧∂1	⊗αl␈↓ 
∩␈∧∂1
∩αl
␈β⊂J␈↓ ↓H␈ε≥E␈α␈XERCI␈α↓SE␈α␈S
␈β⊃≡␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβ[␈ε	15␈↓ α;␈εβ]␈α⊗What␈αis␈αth␈α␈e␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈αof␈↓ ¬⊃␈ε	Z␈↓ ¬3␈εβwhen␈α
Algorith␈α␈m␈αA␈αtermina␈α␈tes?
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα446␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.3
␈βα&␈↓ λg␈εn
␈βα'␈↓ βT␈ε∃MIX
␈βα*␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβ[␈ε	24␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Wri␈α↓te␈α
a␈↓ ∧≥␈εβpro␈α␈gram␈αfo␈α␈r␈αAl␈α↓g␈α␈orithm␈α
A␈↓ π
␈εβ,␈αto␈α
calcu␈α␈l␈α↓a␈α␈te␈↓ λU␈ε	x␈↓ λ|␈εβmod␈↓ 	A␈ε	w␈↓ 	e␈εβg␈α␈i␈α↓v␈α}en␈αin␈α}teger␈α␈s
␈βαO␈↓ π↔␈ε∃MIX␈↓ 
e␈ε∃SL␈α␈B
␈βαR␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓h␈εβan␈α␈d␈↓ α*␈ε	x␈↓ α;␈εβ,␈α
wh␈α␈ere␈↓ β2␈ε	w␈↓ βW␈εβis␈α
th␈α␈e␈αw␈α␈ord␈αsi␈α↓z␈α␈e.␈α∂Assu␈α␈me␈αtha␈α␈t␈↓ πb␈εβh␈α␈as␈αth␈α␈e␈αbina␈α␈ry␈αop␈α␈eratio␈α␈ns␈↓ #␈εβ,
␈βαv␈↓ ↓H␈ε∃J␈α␈AE
␈βαy␈↓ αε␈εβ,␈αetc␈α␈.␈α↓,␈αwh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈αa␈α␈re␈αde␈α␈scribed␈α
in␈αS␈α␈ection␈α
4.5.2␈α␈.␈αWrite␈αa␈α␈noth␈α␈er␈αp␈α␈rog␈α␈ram␈αth␈α␈at␈αc␈α␈omp␈α␈ute␈α␈s
␈ββ≥␈↓ ↓Y␈εn
␈ββ!␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓o␈εβmo␈α␈d␈↓ α3␈ε	w␈↓ αY␈εβin␈αa␈αserial␈α
m␈α␈ann␈α␈er␈α(m␈α␈ultiply␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αrepe␈α␈ated␈α␈l␈α↓y␈αb␈α␈y␈↓ λ¬␈ε	x␈↓ λ↔␈εβ),␈α
an␈α␈d␈αcom␈α␈pa␈α␈re␈α
th␈α␈e␈α
ru␈α␈nn␈α␈ing
␈ββI␈↓ ↓H␈εβtime␈α␈s␈αof␈αthes␈α␈e␈αpro␈α␈gram␈α␈s.
␈ββy␈↓ ↓;␈ε↓x␈↓ βZ␈εε975
␈ββ⎇␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβ[␈ε	22␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Ho␈α␈w␈αi␈α↓s␈↓ βI␈ε	x␈↓ ∧
␈εβc␈α␈alcula␈α␈ted␈αby␈α(␈α↓a␈α␈)␈α
th␈α␈e␈αbina␈α␈ry␈αmeth␈α␈od␈α␈?␈α≤(b)␈αth␈α␈e␈α
te␈α␈rna␈α␈ry␈αmeth␈α␈od␈α␈?
␈β∧%␈↓ ↓H␈εβ(c)␈αth␈α␈e␈αqu␈α␈atern␈α␈ary␈α
meth␈α␈od␈α␈?␈α~(d␈α␈)␈αthe␈αfa␈α␈ctor␈αme␈α␈thod␈α␈?
␈β∧U␈↓ π5␈εε3
␈β∧Y␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Find␈α
a␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈↓ ∧[␈ε	n␈↓ ∧z␈εβfor␈αwh␈α␈i␈α↓ch␈α
the␈αo␈α␈ctal␈α(␈↓ π$␈εβ2␈↓ πB␈εβ-a␈α␈ry)␈αmeth␈α␈od␈α
giv␈α␈es␈αten␈α
l␈α↓e␈α␈ss␈αm␈α}ulti-
␈β¬↓␈↓ ↓H␈εβp␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α␈s␈αthan␈α
the␈αb␈α␈ina␈α␈ry␈αmet␈α␈hod␈α␈.
␈β¬2␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β¬6␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβ[␈ε	24␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Fi␈α↓g␈α␈.␈α13␈αsh␈α␈o␈α␈ws␈αth␈α␈e␈α|␈α␈rst␈αeigh␈α}t␈αl␈α↓e␈α␈v␈α␈els␈αo␈α␈f␈αthe␈α\␈α␈po␈α}we␈α␈r␈αtree."␈α
The␈α(␈↓ 	]␈ε	k␈↓ 	u␈εβ+␈αλ1)-st␈αlev␈α}el
␈β¬]␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α
this␈α
tre␈α␈e␈α
is␈α
de␈α␈|n␈α␈ed␈α	as␈α
follo␈α␈ws,␈α
assu␈α␈ming␈α	tha␈α␈t␈α
the␈α	|rst␈↓ πn␈ε	k␈↓ λ	␈εβlev␈α}els␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α	been␈α	co␈α␈nstru␈α␈cted␈α␈:
␈βε¬␈↓ ↓H␈εβTa␈α␈k␈α␈e␈απea␈α␈ch␈απn␈α␈od␈α␈e␈↓ β+␈ε	n␈↓ βF␈εβof␈απthe␈↓ ∧≡␈ε	k␈↓ ∧/␈εβth␈αεl␈α↓e␈α␈v␈α␈el,␈αλfrom␈απleft␈απto␈αεri␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈απin␈απtu␈α␈rn,␈αλa␈α␈nd␈αεattac␈α␈h␈απbe␈α␈l␈α↓o␈α}w␈απi␈α↓t␈απth␈α␈e␈απno␈α␈de␈α␈s
␈βεV␈↓ βz␈ε	n␈↓ ∧∃␈εβ+␈αλ1␈α␈,␈↓ ∧f␈ε	n␈↓ ¬α␈εβ+␈↓ ¬*␈ε	a␈↓ ¬G␈εβ,␈↓ ¬←␈ε	n␈↓ ¬z␈εβ+␈↓ ε#␈ε	a␈↓ ε?␈εβ,␈↓ εW␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ πβ␈εβ,␈↓ π≠␈ε	n␈↓ π7␈εβ+␈↓ π`␈ε	a␈↓ λ+␈εβ=␈α
2␈↓ λg␈ε	n
␈βε`␈↓ ¬:␈εε1␈↓ ε2␈εε2␈↓ πo␈εk␈↓ π|␈ε~␈␈εε1
␈βπ'␈↓ ↓H␈εβ(in␈α
th␈α␈i␈α↓s␈α
ord␈α␈er),␈αwhe␈α␈re␈α1␈α␈,␈↓ ∧(␈ε	a␈↓ ∧D␈εβ,␈↓ ∧X␈ε	a␈↓ ∧t␈εβ,␈↓ ¬λ␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬5␈εβ,␈↓ ¬H␈ε	a␈↓ ε∃␈εβi␈α↓s␈α
the␈α
p␈α␈ath␈α
from␈α
th␈α␈e␈αro␈α␈ot␈α
of␈αth␈α␈e␈α
tree␈α
to␈↓ 
S␈ε	n␈↓ 
g␈εβ;␈α
bu␈α␈t
␈βπ1␈↓ ∧8␈εε1␈↓ ∧h␈εε2␈↓ ¬X␈εk␈↓ ¬e␈ε~␈␈εε1
␈βπN␈↓ ↓H␈εβd␈α␈iscard␈α
an␈α␈y␈α
no␈α␈de␈αth␈α␈at␈αd␈α␈up␈α␈l␈α↓ica␈α␈tes␈αa␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αtha␈α␈t␈αha␈α␈s␈αalread␈α␈y␈αap␈α␈pe␈α␈ared␈α
i␈α↓n␈α
the␈αt␈α␈ree.
␈βπv␈↓ α␈εβDesign␈α
an␈α
e}␈α␈cien␈α␈t␈α∞a␈α␈lgorith␈α␈m␈α∞th␈α␈at␈α∞co␈α␈nstru␈α␈cts␈α∞t␈α␈he␈α∞|␈α␈rst␈↓ λ5␈ε	r␈↓ λL␈εβ+␈α
1␈α
l␈α↓e␈α␈v␈α␈els␈α∞o␈α␈f␈α∞the␈α
po␈α␈w␈α␈e␈α␈r
␈βλ~␈↓ ↔␈εr
␈βλ≠␈↓ π∧␈ε∃LIN␈α␈KU␈↓ λ$␈ε∃LIN␈α␈KR
␈βλ≡␈↓ ↓H␈εβtre␈α␈e.␈α≡[␈ε⊂Hin␈α␈t:␈εβ␈α⊂M␈α␈ak␈α␈e␈α
u␈α␈se␈α
of␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
sets␈α
of␈α
va␈α␈ri␈α↓a␈α␈bles␈↓ πl␈εβ[␈↓ πu␈ε	j␈↓ λ∧␈εβ],␈↓ 	␈εβ[␈↓ 	∃␈ε	j␈↓ 	$␈εβ]␈α
f␈α↓o␈α␈r␈α
0␈ε↔␈α
∀␈↓ 
<␈ε	j␈↓ 
X␈ε↔∀␈↓ ε␈εβ2␈↓ #␈εβ;
␈βλF␈↓ ↓H␈εβth␈α␈ese␈αp␈α␈oin␈α␈t␈αu␈α␈pwa␈α␈rds␈αan␈α␈d␈αrigh␈α}t,␈αrespe␈α␈ctiv␈α␈ely,␈αif␈↓ εq␈ε	j␈↓ π␈εβi␈α↓s␈αa␈α
n␈α␈um␈α}ber␈αin␈αth␈α␈e␈αtree␈α␈.␈α↓]
␈βλz␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβ[␈ε	M26␈↓ αX␈εβ]␈α⊗If␈αa␈αsligh␈α}t␈αch␈α␈an␈α␈ge␈αi␈α↓s␈αma␈α␈de␈αto␈αthe␈αde␈α␈|n␈α␈i␈α↓tion␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈αp␈α␈o␈α␈w␈α␈er␈αtree␈αtha␈α␈t␈αis␈αg␈α␈i␈α↓v␈α}en
␈β	"␈↓ ↓H␈εβin␈α
ex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α5␈α␈,␈αs␈α␈o␈αtha␈α␈t␈αthe␈αn␈α␈od␈α␈es␈αbelo␈α}w␈↓ ¬s␈ε	n␈↓ ε∩␈εβa␈α␈re␈αatta␈α␈ched␈α
in␈ε⊂␈αde␈α␈creas␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈εβ␈αord␈α␈er
␈β	s␈↓ ∧&␈ε	n␈↓ ∧A␈εβ+␈↓ ∧j␈ε	a␈↓ ¬,␈εβ,␈↓ ¬D␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬q␈εβ,␈↓ ε	␈ε	n␈↓ ε$␈εβ+␈↓ εM␈ε	a␈↓ εi␈εβ,␈↓ π↓␈ε	n␈↓ π≥␈εβ+␈↓ πE␈ε	a␈↓ πa␈εβ,␈↓ πz␈ε	n␈↓ λ∃␈εβ+␈αλ1
␈β	⎇␈↓ ∧y␈εk␈↓ ¬π␈ε~␈␈εε1␈↓ ε]␈εε2␈↓ πU␈εε1
␈β
D␈↓ ↓H␈εβin␈α␈stead␈α
of␈αincre␈α␈asing␈αo␈α␈rde␈α␈r,␈αw␈α␈e␈αg␈α␈et␈αa␈αtree␈αwh␈α␈ose␈α|␈α␈rst␈α|v␈α}e␈αlev␈α␈els␈αar␈α␈e
␈β∞↓␈↓ πN␈εn
␈β∞¬␈↓ ↓H␈εβS␈α␈ho␈α}w␈α∂th␈α␈at␈α∂th␈α␈is␈α∂tree␈α∞giv␈α}es␈α∂a␈α∞meth␈α␈od␈α∞o␈α␈f␈α∂com␈α␈pu␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈↓ π<␈ε	x␈↓ πm␈εβth␈α␈at␈α∞requ␈α␈ires␈α∂ex␈α␈ac␈α␈tl␈α↓y␈α∞a␈α␈s␈α∂ma␈α␈n␈α␈y
␈β∞-␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultiplication␈α␈s␈α∂a␈α␈s␈α∂t␈α␈he␈α∞bin␈α␈ary␈α∞me␈α␈thod␈α␈;␈α⊂ther␈α␈efore␈α∞it␈α∂is␈α∞no␈α␈t␈α∂a␈α␈s␈α∂g␈α␈ood␈α∞a␈α␈s␈α∂th␈α␈e␈α∞po␈α}we␈α␈r␈α∂tre␈α␈e,
␈β∞T␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓t␈α␈hou␈α␈gh␈α
i␈α↓t␈αh␈α␈as␈αb␈α␈een␈αc␈α␈ons␈α␈tructe␈α␈d␈αin␈αalmo␈α␈st␈αthe␈αs␈α␈ame␈αwa␈α␈y.
␈β∂	␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβ[␈ε	M21␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈αtha␈α␈t␈αthere␈αa␈α␈re␈αin|␈α␈nitely␈αm␈α␈an␈α␈y␈α
va␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈αof␈↓ λ≥␈ε	n
␈β∂>␈↓ ↓e␈εβa)␈↓ α␈εβfor␈αwh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈αth␈α␈e␈αfactor␈αm␈α␈etho␈α␈d␈αis␈αbe␈α␈tter␈αtha␈α␈n␈αth␈α␈e␈αbin␈α␈ary␈αm␈α␈etho␈α␈d;
␈β∂f␈↓ ↓c␈εβb)␈↓ α␈εβfor␈αwh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈αth␈α␈e␈αbina␈α␈ry␈αme␈α␈tho␈α␈d␈αis␈αbette␈α␈r␈αthan␈α
the␈α
f␈α↓a␈α␈ctor␈αm␈α␈etho␈α␈d;
␈β⊂∞␈↓ ↓g␈εβc)␈↓ α␈εβfor␈αλwh␈α␈ich␈απthe␈αλp␈α␈o␈α␈w␈α␈er␈απtree␈αλme␈α␈tho␈α␈d␈αλis␈αλb␈α␈etter␈αλth␈α␈an␈απbo␈α␈th␈απthe␈αλb␈α␈ina␈α␈ry␈αλa␈α␈nd␈απfacto␈α␈r␈αλmeth␈α␈od␈α␈s.
␈β⊂?␈↓ π;␈εn
␈β⊂C␈↓ ↓H␈εβ(Here␈α
the␈α\␈α␈bette␈α␈r"␈αmeth␈α␈od␈α
sho␈α␈ws␈αh␈α␈o␈α␈w␈αto␈αco␈α␈mp␈α␈ute␈↓ π*␈ε	x␈↓ πW␈εβu␈α␈sing␈αfe␈α␈we␈α␈r␈αm␈α␈ultiplicatio␈α␈ns.)
␈β⊂w␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβ[␈ε	M21␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈αtha␈α␈t␈αth␈α␈e␈αpo␈α}w␈α␈er␈αtree␈α
(ex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α
5)␈αn␈α␈ev␈α␈er␈α
giv␈α␈es␈α
more␈α
m␈α␈ultiplicatio␈α␈ns␈αfo␈α␈r
␈β⊃≠␈↓ β{␈εn
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αco␈α␈mpu␈α␈tation␈α
of␈↓ βj␈ε	x␈↓ ∧↔␈εβth␈α␈an␈αth␈α␈e␈αb␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈α
meth␈α␈od.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.3␈ε∞␈↓ πXEV␈α{AL␈α␈UA␈α⎇T␈α␈ION␈α	OF␈α	PO␈α␈WERS␈↓ 
v␈εα447
␈βα*␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβ[␈ε	M46␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Is␈α	th␈α␈e␈α	p␈α␈o␈α␈w␈α␈er␈αλtree␈α	m␈α␈etho␈α␈d␈αλev␈α␈er␈αλw␈α␈orse␈αλtha␈α␈n␈α	th␈α␈e␈α	fa␈α␈ctor␈αλmeth␈α␈od?␈α∪(Cf.␈α	e␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α␈s
␈βαR␈↓ ↓H␈εβ7␈α
and␈α
8.)
␈βα⎇␈↓ 	.␈εn
␈ββ↓␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβ[␈ε	10␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Fi␈α↓g␈α␈.␈α
14␈αsh␈α␈o␈α␈ws␈αa␈αtree␈αtha␈α␈t␈α
in␈α␈dica␈α␈tes␈α
o␈α␈ne␈αway␈αt␈α␈o␈α
c␈α␈omp␈α␈ute␈↓ 	≥␈ε	x␈↓ 	K␈εβwith␈αthe␈αfew␈α␈es␈α␈t
␈ββ)␈↓ ↓H␈εβp␈α␈ossib␈α␈l␈α↓e␈α	m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α␈s,␈α
for␈α	all␈↓ ¬␈ε	n␈↓ ¬(␈ε↔∀␈εβ␈α
1␈α␈00.␈α
Ho␈α␈w␈α
c␈α␈an␈α	th␈α␈i␈α↓s␈α	tree␈α	b␈α␈e␈α	con␈α}v␈α␈en␈α␈ien␈α␈tly␈α	rep␈α␈resen␈α}ted
␈ββP␈↓ ↓H␈εβwith␈α␈i␈α↓n␈α
a␈αco␈α␈mpu␈α␈ter,␈αin␈αjust␈α1␈α␈00␈αm␈α␈emory␈α
locatio␈α␈ns?
␈ββ|␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∧␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβ[␈ε	M26␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Th␈α␈e␈α	tree␈α	of␈α	Fig.␈α	14␈α	d␈α␈epicts␈α	ad␈α␈dition␈αλcha␈α␈i␈α↓n␈α␈s␈↓ π`␈ε	a␈↓ π|␈εβ,␈↓ λ∂␈ε	a␈↓ λ+␈εβ,␈↓ λ>␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λj␈εβ,␈↓ λ⎇␈ε	a␈↓ 	"␈εβsuc␈α␈h␈α	th␈α␈at␈↓ 
2␈ε	l␈↓ 
;␈εβ(␈↓ 
G␈ε	a␈↓ 
a␈εβ)␈α	=␈↓  ␈ε	i
␈β∧
␈↓ πp␈εε0␈↓ λ∨␈εε1␈↓ 	
␈εr␈↓ 
V␈εi
␈β∧'␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α∂a␈α␈ll␈↓ α0␈ε	i␈↓ αK␈εβin␈α∞th␈α␈e␈α∞cha␈α␈i␈α↓n␈α␈.␈α∃Find␈α∞a␈α␈l␈α↓l␈α∞ad␈α␈dition␈α
cha␈α␈i␈α↓n␈α␈s␈α∞for␈↓ πG␈ε	n␈↓ πj␈εβth␈α␈at␈α∞h␈α␈av␈α␈e␈α∞th␈α␈is␈α∂p␈α␈rop␈α␈erty␈α␈,␈α⊂wh␈α␈en
␈β∧O␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓e␈εβ=␈α
4␈α␈3␈αan␈α␈d␈αwhe␈α␈n␈↓ βT␈ε	n␈↓ βq␈εβ=␈α
77␈α␈.␈αSh␈α␈o␈α␈w␈αth␈α␈at␈αan␈α}y␈αtree␈αsu␈α␈ch␈αa␈α␈s␈αFig.␈α14␈αm␈α}ust␈αeith␈α␈er␈αi␈α↓n␈α␈clud␈α␈e␈αthe
␈β∧w␈↓ ↓H␈εβp␈α␈ath␈α
1,␈α2,␈α4,␈α8,␈α9,␈α17,␈α34␈α␈,␈α4␈α␈3,␈α77␈αo␈α␈r␈αthe␈αp␈α␈ath␈α
1,␈α2,␈α4,␈α8,␈α9,␈α17,␈α34␈α␈,␈α6␈α␈8,␈α77.
␈β¬&␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβ[␈ε	M10␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Is␈α
it␈α
possib␈α␈l␈α↓e␈α
t␈α␈o␈α
exte␈α␈nd␈α
t␈α␈he␈α
tree␈α
sh␈α␈o␈α␈wn␈α
in␈α
Fig.␈α
14␈α
to␈αan␈α
in␈α␈|n␈α␈i␈α↓te␈α
tre␈α␈e␈α
tha␈α␈t
␈β¬J␈↓ πY␈εn
␈β¬N␈↓ ↓H␈εβy␈α␈ields␈αa␈αm␈α␈i␈α↓n␈α␈im␈α␈um-m␈α}ultiplication␈α
rule␈αfor␈αco␈α␈mp␈α␈uting␈↓ πG␈ε	x␈↓ πi␈εβ,␈αf␈α↓o␈α␈r␈αall␈αpositiv␈α␈e␈α
i␈α↓n␈α}teger␈α␈s␈↓ 
V␈ε	n␈↓ 
j␈εβ?
␈β¬⎇␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβ[␈ε	M21␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Find␈α⊂a␈α⊂sta␈α␈r␈α⊃ch␈α␈ain␈α⊂of␈α⊂leng␈α␈th␈↓ ε*␈ε	A␈↓ εL␈εβ+␈α2␈α⊂for␈α⊂eac␈α␈h␈α⊂of␈α⊃t␈α␈he␈α⊂fou␈α␈r␈α⊃ca␈α␈ses␈α⊃listed␈α⊂in
␈βε!␈↓ 	T␈εε*
␈βε%␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈eore␈α␈m␈αC.␈α~(Co␈α␈nse␈α␈que␈α␈n␈α␈tly␈αTh␈α␈eorem␈α
C␈αhold␈α␈s␈αalso␈αwith␈↓ λβ␈ε	l␈↓ λ↔␈εβrep␈α␈l␈α↓a␈α␈ced␈α
by␈↓ 	K␈ε	l␈↓ 	`␈εβ.␈α↓)
␈βεT␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβ[␈ε	M35␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Co␈α␈mplete␈α	the␈α	proo␈α␈f␈α
of␈α
Th␈α␈eorem␈α	C␈↓ εf␈εβ,␈αb␈α␈y␈α	dem␈α␈onstr␈α␈ating␈α	tha␈α␈t␈α
(a)␈α
step␈↓ 
@␈ε	r␈↓ 
U␈ε↔␈␈εβ␈αε1␈α	is
␈βε|␈↓ ↓H␈εβn␈α␈ot␈αa␈αsm␈α␈all␈αs␈α␈tep;␈αan␈α␈d␈α(b␈α␈)␈↓ ∧:␈ε	∃␈↓ ∧M␈εβ(␈↓ ∧X␈ε	a␈↓ ¬~␈εβ)␈αcan␈α␈not␈αb␈α␈e␈αless␈αtha␈α␈n␈↓ πU␈ε	m␈↓ πy␈ε↔␈␈εβ␈αλ1.
␈βπε␈↓ ∧h␈εr␈↓ ∧t␈ε~␈␈↓ ¬
␈εk
␈βπ+␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβ[␈ε	M42␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Write␈α	a␈α	comp␈α␈ute␈α␈r␈α
p␈α␈rog␈α␈ram␈α	to␈α	ex␈α␈tend␈αλTheo␈α␈rem␈α	C␈↓ λ:␈εβ,␈α
ch␈α␈arac␈α␈terizing␈α	all␈↓ 
N␈ε	n␈↓ 
l␈εβsu␈α␈ch
␈βπO␈↓ λα␈εε*
␈βπS␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α⊂␈ε	l␈↓ α→␈εβ(␈↓ α$␈ε	n␈↓ α8␈εβ)␈α	=␈↓ αw␈ε	∃␈↓ β
␈εβ(␈↓ β⊗␈ε	n␈↓ β*␈εβ)␈απ+␈αλ3␈αa␈α␈nd␈α
cha␈α␈racte␈α␈ri␈α↓z␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αall␈↓ εF␈ε	n␈↓ εe␈εβsuc␈α␈h␈αtha␈α␈t␈↓ πy␈ε	l␈↓ λ∂␈εβ(␈↓ λ~␈ε	n␈↓ λ.␈εβ)␈α
=␈↓ λm␈ε	∃␈↓ 	␈εβ(␈↓ 	␈ε	n␈↓ 	 ␈εβ)␈απ+␈αλ3␈α␈.
␈βλα␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈15␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Sh␈α␈o␈α␈w␈α∂tha␈α␈t␈α∂Theo␈α␈rem␈α∂D␈α∂is␈α∂not␈α∂triv␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓ly␈α∞true␈α∂ju␈α␈st␈α⊂b␈α␈eca␈α␈use␈α∂o␈α␈f␈α⊂th␈α␈e␈α∂bin␈α␈ary
␈βλ&␈↓ αq␈εB
␈βλ*␈↓ ↓H␈εβm␈α␈etho␈α␈d;␈αif␈↓ αg␈ε	l␈↓ βα␈εβ(␈↓ β
␈ε	n␈↓ β!␈εβ)␈αd␈α␈en␈α␈otes␈α
the␈α
len␈α␈gth␈α
o␈α␈f␈αth␈α␈e␈α
add␈α␈iti␈α↓o␈α␈n␈α
ch␈α␈ain␈α
for␈↓ λ8␈ε	n␈↓ λW␈εβp␈α␈rod␈α␈uc␈α␈ed␈α
by␈α	the␈α
bin␈α␈ary
␈βλM␈↓ βT␈εB
␈βλR␈↓ ↓H␈εβS␈α␈-an␈α␈d-X␈αmeth␈α␈od␈α␈,␈↓ βK␈ε	l␈↓ βe␈εβ(␈↓ βp␈ε	n␈↓ ∧¬␈εβ)/␈↓ ∧ ␈ε	∃␈↓ ∧4␈εβ(␈↓ ∧?␈ε	n␈↓ ∧S␈εβ)␈αdo␈α␈es␈αno␈α␈t␈αap␈α␈pro␈α␈ach␈αa␈α
l␈α↓imit␈αa␈α␈s␈↓ λ∪␈ε	n␈↓ λ0␈ε↔!␈α	1␈εβ␈α↓.
␈β	↓␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Exp␈α␈lain␈αho␈α}w␈αto␈α|␈α␈nd␈αth␈α␈e␈αi␈α↓n␈α}terv␈α␈als␈↓ εg␈ε	J␈↓ π↓␈εβ,␈↓ π⊗␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ πB␈εβ,␈↓ πW␈ε	J␈↓ π}␈εβth␈α␈at␈αare␈αreq␈α␈uired␈αin␈αth␈α␈e␈αp␈α␈roo␈α␈f
␈β	␈↓ εu␈εε1␈↓ πe␈εh
␈β	)␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αL␈α↓e␈α␈mma␈αP.
␈β	X␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈24␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Let␈↓ βE␈ε	␈␈↓ βa␈εβbe␈απa␈απp␈α␈ositiv␈α␈e␈απcon␈α␈stan␈α}t.␈α
Sh␈α␈o␈α␈w␈απthat␈απth␈α␈ere␈απis␈αλa␈απco␈α␈nsta␈α␈n␈α␈t␈↓ 	I␈ε	␈↓ 	e␈εβ<␈α	2␈απsuch␈αεtha␈α␈t
␈β
α␈↓ βx␈ε↓X
␈β
␈↓ ∧2␈ε↓∩␈↓ ¬#␈ε↓∪␈↓ ¬9␈ε↓∩␈↓ ε≥␈ε↓∪␈↓ εb␈ε↓∩␈↓ πv␈ε↓∪
␈β

␈↓ πi␈εε2
␈β
⊃␈↓ ∧H␈ε	m␈↓ ∧m␈εβ+␈↓ ¬∃␈ε	s␈↓ ¬O␈ε	t␈↓ ¬b␈εβ+␈↓ ε␈ε	v␈↓ εx␈εβ(␈↓ πβ␈ε	m␈↓ π(␈εβ+␈↓ πP␈ε	s␈↓ π↑␈εβ)
␈β
!␈↓ εG␈εε2␈↓ εT␈εv␈↓ λd␈εm
␈β
'␈↓ ε3␈ε	␈␈↓ λ≡␈εβ<␈↓ λR␈ε	
␈β
?␈↓ ∧O␈ε	t␈↓ ∧b␈εβ+␈↓ ¬␈ε	v␈↓ ¬m␈ε	v␈↓ π1␈ε	t
␈β
v␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈αall␈αlarg␈α␈e␈↓ α{␈ε	m␈↓ β_␈εβ,␈αwh␈α␈ere␈αth␈α␈e␈αsum␈αis␈αo␈α␈v␈α}er␈αall␈↓ ε$␈ε	s␈↓ ε2␈εβ,␈↓ εF␈ε	t␈↓ εR␈εβ,␈↓ εg␈ε	v␈↓ πβ␈εβsatisfy␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α(30␈α␈).
␈β&␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈εβ[␈ε	M23␈↓ αX␈εβ]␈α⊗A␈α
\m␈α␈u␈α␈lti␈α↓s␈α␈et"␈α
is␈αlik␈α␈e␈α
a␈α
s␈α␈et,␈αb␈α␈ut␈α
it␈αm␈α␈ay␈α
c␈α␈on␈α␈ta␈α␈i␈α↓n␈α	iden␈α}ti␈α↓c␈α␈al␈αe␈α␈l␈α↓e␈α␈men␈α}ts␈αre␈α␈pea␈α␈ted␈α
a
␈βM␈↓ ↓H␈εβ|␈α␈nite␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αo␈α␈f␈αtimes.␈αIf␈↓ ∧=␈ε	A␈↓ ∧]␈εβan␈α␈d␈↓ ¬≥␈ε	B␈↓ ¬>␈εβare␈α
m␈α␈u␈α␈l␈α↓t␈α␈i␈α↓se␈α␈ts,␈αw␈α␈e␈αd␈α␈e|␈α␈ne␈α
new␈α
m␈α␈u␈α␈l␈α↓tisets␈↓ 	l␈ε	A␈↓ 
	␈ε↔]␈↓ 
'␈ε	B␈↓ 
>␈εβ,␈↓ 
R␈ε	A␈↓ 
n␈ε↔[␈↓ 
␈ε	B␈↓ #␈εβ,
␈βu␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ απ␈ε	A␈↓ α$␈ε↔\␈↓ αB␈ε	B␈↓ αb␈εβin␈α
th␈α␈e␈α
foll␈α↓o␈α}wi␈α↓n␈α␈g␈α
way␈α␈:␈αAn␈α
e␈α␈l␈α↓e␈α␈men␈α}t␈αo␈α␈ccu␈α␈rring␈α
e␈α␈xac␈α␈tl␈α↓y␈↓ λO␈ε	a␈↓ λj␈εβtime␈α␈s␈αin␈↓ 	g␈ε	A␈↓ 
λ␈εβa␈α␈nd␈↓ 
G␈ε	b␈↓ 
←␈εβtime␈α␈s
␈β≤␈↓ ↓H␈εβin␈↓ ↓n␈ε	B␈↓ α∞␈εβoccu␈α␈rs␈α
exa␈α␈ctly␈↓ βg␈ε	a␈↓ β}␈εβ+␈↓ ∧&␈ε	b␈↓ ∧=␈εβtimes␈α
in␈↓ ¬;␈ε	A␈↓ ¬X␈ε↔]␈↓ ¬v␈ε	B␈↓ ε␈εβ,␈αexa␈α␈ctly␈↓ π∀␈εβma␈α␈x␈↓ πS␈εβ(␈↓ π↑␈ε	a␈↓ πn␈εβ,␈↓ π⎇␈ε	b␈↓ λ
␈εβ)␈αtimes␈α
in␈↓ 	≡␈ε	A␈↓ 	;␈ε↔[␈↓ 	Y␈ε	B␈↓ 	o␈εβ,␈αan␈α␈d␈α
ex␈α␈actly
␈βD␈↓ ↓H␈εβm␈α␈i␈α↓n␈↓ ↓␈␈εβ(␈↓ α
␈ε	a␈↓ α≠␈εβ,␈↓ α)␈ε	b␈↓ α7␈εβ)␈αtimes␈αin␈↓ βP␈ε	A␈↓ βn␈ε↔\␈↓ ∧∂␈ε	B␈↓ ∧%␈εβ.␈α≠(␈α↓A␈α\␈α␈set"␈αis␈α
a␈αm␈α␈ultiset␈αtha␈α␈t␈αcon␈α}tains␈αn␈α␈o␈αelemen␈α}ts␈αmore␈αth␈α␈an
␈βl␈↓ ↓H␈εβo␈α␈nce␈α␈;␈α⊂if␈↓ αC␈ε	A␈↓ αf␈εβand␈↓ β*␈ε	B␈↓ βN␈εβa␈α␈re␈α∞se␈α␈ts,␈α∂so␈α
are␈↓ ¬:␈ε	A␈↓ ¬Z␈ε↔[␈↓ ¬{␈ε	B␈↓ ε∨␈εβa␈α␈nd␈↓ εb␈ε	A␈↓ π↓␈ε↔\␈↓ π"␈ε	B␈↓ π9␈εβ,␈α∞an␈α␈d␈α∞t␈α␈he␈α
de|␈α␈nition␈α␈s␈α∞giv␈α}en␈α
i␈α↓n␈α
th␈α␈is
␈β
∪␈↓ ↓H␈εβe␈α␈x␈α␈ercise␈αa␈α␈gree␈αwith␈α
the␈αcu␈α␈stom␈α␈ary␈αd␈α␈e|␈α␈nitions␈αo␈α␈f␈αset␈αun␈α␈ion␈αa␈α␈nd␈α
i␈α↓n␈α}tersect␈α␈i␈α↓o␈α␈n.)
␈β
@␈↓ ↓e␈εβa)␈↓ α␈εβThe␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈α
fa␈α␈ctoriza␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αof␈αan␈αin␈α␈teg␈α␈er␈↓ ε=␈ε	n␈↓ ε\␈εβ>␈α0␈αis␈α
a␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓t␈α␈i␈α↓se␈α␈t␈↓ λh␈ε	N␈↓ 	∪␈εβwho␈α␈se␈α
e␈α␈l␈α↓em␈α␈en␈α␈ts␈αare
␈β
I␈↓ βe␈ε↓Q
␈β
g␈↓ α␈εβpr␈α␈i␈α↓m␈α␈es,␈α∞wh␈α␈ere␈↓ ∧L␈εβ=␈↓ ∧z␈ε	n␈↓ ¬∞␈εβ.␈α⊂The␈αfact␈α
th␈α␈at␈α
e␈α␈v␈α␈ery␈αp␈α␈ositi␈α↓v␈α}e␈α
in␈α␈te␈α␈ger␈α
c␈α␈an␈αbe␈αun␈α␈i␈α↓q␈α␈uely
␈β
z␈↓ ∧π␈εp␈↓ ∧∃␈ε~2␈↓ ∧(␈εN
␈β∞∂␈↓ α␈εβfacto␈α␈red␈α∞in␈α␈to␈α∞primes␈α∞giv␈α␈es␈α∞us␈α∞a␈α∂on␈α␈e-to-o␈α␈ne␈α∞corre␈α␈spon␈α␈de␈α␈nce␈α∞bet␈α␈w␈α␈e␈α␈en␈α∂t␈α␈he␈α∂p␈α␈ositiv␈α␈e
␈β∞2␈↓ 
+␈εε2␈↓ 
←␈εε3
␈β∞7␈↓ α␈εβin␈α␈teg␈α␈ers␈αa␈α␈nd␈α
th␈α␈e␈α|␈α␈nite␈α
m␈α␈ultisets␈α
of␈αp␈α␈rime␈αn␈α}um␈α}bers;␈αfo␈α␈r␈αex␈α␈amp␈α␈le,␈αif␈↓ 	R␈ε	n␈↓ 	o␈εβ=␈↓ 
~␈εβ2␈↓ 
>␈ε↔↓␈↓ 
N␈εβ3␈↓ 
r␈ε↔↓␈εβ␈απ17␈α␈,
␈β∞↑␈↓ α␈εβth␈α␈e␈αcor␈α␈respo␈α␈nd␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
m␈α␈ultiset␈αis␈↓ ¬;␈ε	N␈↓ ¬c␈εβ=␈ε↔␈α	f␈εβ2,␈α¬2,␈αε3,␈α¬3,␈αε3␈α␈,␈αε17␈ε↔g␈εβ␈α␈.␈αI␈α↓f␈↓ λ"␈ε	M␈↓ λP␈εβa␈α␈nd␈↓ 	⊂␈ε	N␈↓ 	:␈εβa␈α␈re␈αth␈α␈e␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tiset␈α␈s
␈β∂ε␈↓ α␈εβco␈α␈rrespo␈α␈nd␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
resp␈α␈ectiv␈α␈e␈α␈l␈α↓y␈α
to␈↓ ¬G␈ε	m␈↓ ¬q␈εβand␈↓ ε5␈ε	n␈↓ εI␈εβ,␈α∞wh␈α␈at␈α
m␈α␈ultisets␈α
corre␈α␈spo␈α␈nd␈α
to␈↓ 
≠␈εβgc␈α␈d␈↓ 
M␈εβ(␈↓ 
X␈ε	m␈↓ 
u␈εβ,␈↓ ∧␈ε	n␈↓ _␈εβ),
␈β∂-␈↓ α␈εβlcm␈↓ α@␈εβ(␈↓ αK␈ε	m␈↓ αh␈εβ,␈↓ αw␈ε	n␈↓ β␈εβ),␈αand␈↓ βk␈ε	m␈↓ ∧	␈ε	n␈↓ ∧≥␈εβ?
␈β∂U␈↓ ↓c␈εβb)␈↓ α␈εβEv␈α␈ery␈αmo␈α␈nic␈αpoly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈↓ ∧⎇␈ε	f␈↓ ¬
␈εβ(␈↓ ¬_␈ε	z␈↓ ¬&␈εβ)␈αo␈α}v␈α␈er␈αthe␈αcomp␈α␈lex␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈bers␈αcorre␈α␈spo␈α␈nd␈α␈s␈αin␈αa␈αn␈α␈atura␈α␈l
␈β∂↑␈↓ λ:␈ε↓Q
␈β∂⎇␈↓ α␈εβway␈α
to␈α∞th␈α␈e␈α∞m␈α␈ultiset␈↓ ∧A␈ε	F␈↓ ∧f␈εβof␈α∞its␈α∞\ro␈α␈ots";␈α∂we␈α
hav␈α}e␈↓ πI␈ε	f␈↓ πY␈εβ(␈↓ πd␈ε	z␈↓ πr␈εβ)␈α∞=␈↓ 	∞␈εβ(␈↓ 	→␈ε	z␈↓ 	0␈ε↔␈␈↓ 	[␈ε	⊂␈↓ 	h␈εβ).␈α∃If␈↓ 
5␈ε	f␈↓ 
E␈εβ(␈↓ 
P␈ε	z␈↓ 
↑␈εβ)␈α∞a␈α␈nd
␈β⊂∂␈↓ λ\␈ε⊂␈↓ λh␈ε~2␈↓ λ{␈εF
␈β⊂(␈↓ α␈ε	g␈↓ α≤␈εβ(␈↓ α'␈ε	z␈↓ α5␈εβ)␈α
are␈α
the␈α
p␈α␈olyn␈α␈omials␈α
corre␈α␈spo␈α␈nd␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
to␈α
the␈α
|n␈α␈ite␈αm␈α}ultisets␈↓ 		␈ε	F␈↓ 	*␈εβan␈α␈d␈↓ 	j␈ε	G␈↓ 
∞␈εβof␈α
com␈α␈plex
␈β⊂P␈↓ α␈εβn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ers,␈αw␈α↓h␈α␈at␈αp␈α␈olyn␈α␈omia␈α␈l␈α↓s␈αco␈α␈rresp␈α␈on␈α␈d␈αto␈↓ εx␈ε	F␈↓ π⊗␈ε↔]␈↓ π6␈ε	G␈↓ πO␈εβ,␈↓ πc␈ε	F␈↓ λα␈ε↔[␈↓ λ!␈ε	G␈↓ λ:␈εβ,␈αa␈α␈nd␈↓ 	∂␈ε	F␈↓ 	.␈ε↔\␈↓ 	M␈ε	G␈↓ 	g␈εβ?
␈β⊂w␈↓ ↓g␈εβc)␈↓ α␈εβFind␈αas␈αma␈α␈n␈α␈y␈αi␈α↓n␈α}terestin␈α␈g␈αiden␈α}titi␈α↓e␈α␈s␈αas␈αy␈α}ou␈αc␈α␈an␈αthat␈αhold␈αbet␈α␈w␈α␈ee␈α␈n␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓se␈α␈ts,␈α
with
␈β⊃∨␈↓ α␈εβresp␈α␈ect␈αto␈αth␈α␈e␈αth␈α␈ree␈αop␈α␈eratio␈α␈ns␈ε↔␈α]␈εβ,␈ε↔␈α[␈εβ,␈ε↔␈α\␈εβ.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα448␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.3
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪20.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Wha␈α␈t␈α∞are␈α∞th␈α␈e␈α∞sequ␈α␈enc␈α␈es␈↓ ¬f␈ε	S␈↓ ε⊂␈εβan␈α␈d␈↓ εT␈ε	M␈↓ π∃␈εβ(␈α↓0␈ε↔␈α∞∀␈↓ πo␈ε	i␈↓ λ␈ε↔∀␈↓ λ:␈ε	r␈↓ λI␈εβ,␈α∂0␈ε↔␈α∞∀␈↓ 	0␈ε	j␈↓ 	M␈ε↔∀␈↓ 	⎇␈ε	t␈↓ 
	␈εβ)␈α∞arising␈α∞in
␈βα5␈↓ ¬w␈εi␈↓ εq␈εi␈↓ ε{␈εj
␈βαR␈↓ ↓H␈εβHa␈α␈nsen␈α␈'s␈αstr␈α␈uctu␈α␈ral␈αdec␈α␈omp␈α␈osition␈αof␈αstar␈αch␈α␈ains␈α(a)␈αof␈αTyp␈α␈e␈α3?␈α→(␈α↓b␈α␈)␈αof␈αTy␈α␈pe␈α5␈α␈?␈α~(The
␈βαy␈↓ ↓H␈εβsix␈α
\typ␈α␈es"␈αa␈α␈re␈αde␈α␈|n␈α␈ed␈αin␈αth␈α␈e␈αp␈α␈roof␈αof␈αTh␈α␈eore␈α␈m␈αB␈α↓.)
␈ββ1␈↓ ↓;␈ε↓x
␈ββ5␈↓ ↓V␈ε∪21.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(W.␈α
Han␈α␈sen␈α␈.␈α↓)␈α≠Let␈↓ ¬⊃␈ε	q␈↓ ¬,␈εβb␈α␈e␈αan␈α␈y␈αpositiv␈α␈e␈αin␈α␈te␈α␈ger.␈α∂Find␈αa␈αv␈α␈alue␈αo␈α␈f␈↓ 
α␈ε	n␈↓ 
"␈εβsuch␈αtha␈α␈t
␈ββY␈↓ α8␈εε*
␈ββ]␈↓ ↓H␈ε	l␈↓ ↓Q␈εβ(␈↓ ↓\␈ε	n␈↓ ↓p␈εβ)␈ε↔␈α	∀␈↓ α/␈ε	l␈↓ αE␈εβ(␈↓ αP␈ε	n␈↓ αd␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ β∨␈ε	q␈↓ β.␈εβ.
␈β∧→␈↓ ↓V␈ε∪22.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈αth␈α␈at␈α
the␈α
ad␈α␈dition␈α
c␈α␈hain␈α
co␈α␈nstru␈α␈cted␈α
in␈α
th␈α␈e␈α
proo␈α␈f␈αo␈α␈f␈αThe␈α␈orem␈α
F␈αis␈α
an
␈β∧=␈↓ ↓Q␈εε0
␈β∧A␈↓ ↓H␈ε	l␈↓ ↓]␈εβ-␈α↓c␈α␈ha␈α␈i␈α↓n␈α␈.
␈β∧⎇␈↓ ↓V␈ε∪23.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈αB␈α↓r␈α␈aue␈α␈r'␈α↓s␈αin␈α␈equ␈α␈ali␈α↓t␈α␈y␈α(50␈α␈)␈α↓.
␈β¬5␈↓ ↓;␈ε↓x␈↓ λ\␈εε0␈↓ 	⊗␈εn
␈β¬6␈↓ λh␈εα(␈↓ 
s␈εα)
␈β¬9␈↓ ↓V␈ε∪24.␈↓ α␈εβ[␈ε	M22␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Gen␈α␈era␈α␈l␈α↓ize␈αthe␈αp␈α␈roof␈αof␈α
Th␈α␈eor␈α␈em␈α
G␈αto␈αsho␈α}w␈α
th␈α␈at␈↓ λR␈ε	l␈↓ λt␈εβ(␈↓ λ␈␈ε	B␈↓ 	.␈ε↔␈␈εβ␈α	1)/␈α␈(␈↓ 
∂␈ε	B␈↓ 
.␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈α␈)␈↓ ␈ε↔∀
␈β¬]␈↓ αA␈εε0␈↓ β3␈εε0␈↓ λV␈εm␈↓ λm␈εn␈↓ 
!␈εm
␈β¬a␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	n␈↓ ↓n␈ε↔␈␈εβ␈απ1)␈↓ α8␈ε	l␈↓ αM␈εβ(␈↓ αY␈ε	B␈↓ αo␈εβ)␈απ+␈↓ β*␈ε	l␈↓ β?␈εβ(␈↓ βJ␈ε	n␈↓ β↑␈εβ)␈α↓,␈αfo␈α␈r␈αan␈α␈y␈α
in␈α␈teg␈α␈er␈↓ ¬←␈ε	B␈↓ ¬}␈εβ>␈α
1;␈αa␈α␈nd␈α
pro␈α␈v␈α}e␈αth␈α␈at␈↓ λ1␈ε	l␈↓ λ:␈εβ(␈↓ λE␈εβ2␈↓ 	∧␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈ε↔␈α	∀␈↓ 	|␈ε	l␈↓ 
ε␈εβ(␈↓ 
⊃␈εβ2␈↓ 
@␈ε↔␈␈εβ␈απ1)␈απ+
␈βε∧␈↓ β␈εε0
␈βελ␈↓ ↓H␈ε	m␈↓ ↓e␈ε	n␈↓ α␈ε↔␈␈↓ α)␈ε	m␈↓ αN␈εβ+␈↓ αv␈ε	l␈↓ β␈εβ(␈↓ β↔␈ε	n␈↓ β+␈εβ).
␈βεD␈↓ ↓V␈ε∪25.␈↓ α␈εβ[␈ε	20␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β_␈ε	y␈↓ β7␈εβbe␈αa␈αfra␈α␈ction␈α␈,␈α
0␈α<␈↓ ¬Q␈ε	y␈↓ ¬n␈εβ<␈α1␈α␈,␈α
ex␈α␈presse␈α␈d␈αin␈αthe␈αb␈α␈inary␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α
sy␈α␈stem␈αa␈α␈s
␈βεh␈↓ π%␈εy
␈βεl␈↓ ↓H␈ε	y␈↓ ↓c␈εβ=␈α
(.␈↓ α"␈ε	d␈↓ αD␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ αp␈ε	d␈↓ β
␈εβ)␈↓ β%␈εβ.␈αDe␈α␈si␈α↓g␈α␈n␈α	an␈α	algo␈α␈rithm␈α	to␈α	comp␈α␈ute␈↓ π∀␈ε	x␈↓ π>␈εβu␈α␈si␈α↓n␈α␈g␈α	the␈α	op␈α␈eration␈α␈s␈α
o␈α␈f␈α
m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈-
␈βεw␈↓ α2␈εε1␈↓ β␈εk␈↓ β_␈εε2
␈βπ∀␈↓ ↓H␈εβtio␈α␈n␈αan␈α␈d␈αsq␈α␈uare␈α␈-root␈αex␈α␈trac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n.
␈βπL␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βπP␈↓ ↓V␈ε∪26.␈↓ α␈εβ[␈ε	M24␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Des␈α␈i␈α↓g␈α␈n␈α
an␈α
e␈α␈}cien␈α}t␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α
t␈α␈hat␈α
co␈α␈mpu␈α␈tes␈α
th␈α␈e␈↓ λ4␈ε	n␈↓ λH␈εβth␈α
Fi␈α↓b␈α␈on␈α␈acci␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈↓ ␈ε	F␈↓ #␈εβ,
␈βπZ␈↓ ∪␈εn
␈βπw␈↓ ↓H␈εβm␈α␈odu␈α␈lo␈↓ α>␈ε	m␈↓ α[␈εβ,␈αg␈α␈i␈α↓v␈α}en␈αla␈α␈rge␈αin␈α␈teg␈α␈ers␈↓ ¬∀␈ε	n␈↓ ¬3␈εβan␈α␈d␈↓ ¬t␈ε	m␈↓ ε⊃␈εβ.
␈βλ.␈↓ 	[␈εn␈↓ 
λ␈εn
␈βλ/␈↓ ↓;␈ε↓x␈↓ 
a␈εn
␈βλ3␈↓ ↓V␈ε∪27.␈↓ α␈εβ[␈ε	24␈↓ α;␈εβ]␈α⊗(E.␈αG.␈αS␈α␈trau␈α␈s.␈α↓)␈α↔F␈α↓in␈α␈d␈α
a␈α
way␈α
to␈α
com␈α␈pu␈α␈te␈αa␈α
g␈α␈ener␈α␈al␈ε⊂␈αmo␈α␈no␈α␈mial␈↓ 	J␈ε	x␈↓ 	v␈ε	x␈↓ 
#␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 
O␈ε	x␈↓ ⊃␈εβin
␈βλ6␈↓ 	k␈επ1␈↓ 
_␈επ2␈↓ 
q␈ε
m
␈βλB␈↓ 
a␈εm
␈βλD␈↓ 	[␈εε1␈↓ 
λ␈εε2
␈βλW␈↓ ¬V␈εm
␈βλX␈↓ αf␈εα(␈↓ ¬
␈εα)
␈βλ[␈↓ ↓H␈εβa␈α␈t␈αmost␈α2␈↓ αR␈ε	∃␈↓ αr␈εβma␈α␈x␈↓ β1␈εβ(␈↓ β<␈ε	n␈↓ β\␈εβ,␈↓ βj␈ε	n␈↓ ∧
␈εβ,␈↓ ∧→␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ∧E␈εβ,␈↓ ∧T␈ε	n␈↓ ∧}␈εβ)␈↓ ¬≥␈εβ+␈↓ ¬F␈εβ2␈↓ ¬u␈ε↔␈␈↓ ε≡␈ε	m␈↓ εB␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α␈s.
␈βλf␈↓ βO␈εε1␈↓ β⎇␈εε2␈↓ ∧g␈εm
␈β	↔␈↓ ↓V␈ε∪28.␈↓ α␈εβ[␈ε	M33␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(A.␈αS␈α␈ch␈↓ βc␈εβ∪␈↓ βc␈εβo␈↓ βs␈εβnh␈α␈age␈α␈.␈α↓)␈α~Th␈α␈e␈αob␈α␈ject␈αof␈αth␈α␈is␈αex␈α}ercise␈αi␈α↓s␈αto␈αg␈α␈iv␈α␈e␈αa␈αfa␈α␈i␈α↓rly␈αsh␈α␈ort␈αp␈α␈roo␈α␈f
␈β	<␈↓ ¬→␈εα(␈↓ ¬␈␈εα(␈↓ π
␈εα))
␈β	?␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α∩␈ε	l␈↓ α≤␈εβ(␈↓ α'␈ε	n␈↓ α;␈εβ)␈ε↔␈α∞∃␈↓ βα␈ε	∃␈↓ β⊗␈εβ(␈↓ β!␈ε	n␈↓ β5␈εβ)␈α	+␈↓ βt␈εβlg␈↓ ∧∪␈ε	↔␈↓ ∧#␈εβ(␈↓ ∧.␈ε	n␈↓ ∧B␈εβ)␈ε↔␈α	␈␈↓ ¬↓␈ε	O␈↓ ¬%␈εβlog␈↓ ¬U␈εβlog␈↓ ε␈ε	↔␈↓ ε≠␈εβ(␈↓ ε&␈ε	n␈↓ ε:␈εβ)␈α	+␈α
1␈↓ π"␈εβ.␈α≡(a)␈α∞Whe␈α␈n␈↓ λa␈ε	x␈↓ 	␈εβ=␈α∞(␈↓ 	:␈ε	x␈↓ 	\␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 
λ␈ε	x␈↓ 
$␈εβ.␈↓ 
.␈ε	x␈↓ 
h␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∃␈εβ)
␈β	I␈↓ 	I␈εk␈↓ 
_␈εε0␈↓ 
=␈ε~␈␈εε1␈↓  ␈εε2
␈β	f␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ α
␈ε	y␈↓ α*␈εβ=␈α
(␈↓ αc␈ε	y␈↓ β¬␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β2␈ε	y␈↓ βN␈εβ.␈↓ βW␈ε	y␈↓ ∧∩␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧?␈εβ)␈↓ ∧d␈εβa␈α␈re␈α
real␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs␈α
wri␈α↓tte␈α␈n␈α
in␈α
b␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈α
n␈α␈ota␈α␈tion,␈α∞let␈α
u␈α␈s␈α
wri␈α↓te
␈β	q␈↓ αs␈εk␈↓ βA␈εε0␈↓ βg␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧J␈εε2
␈β
∞␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓e␈ε↔∩␈↓ α⊃␈ε	y␈↓ α0␈εβi␈α↓f␈↓ αQ␈ε	x␈↓ αx␈ε↔∀␈↓ β%␈ε	y␈↓ βN␈εβfo␈α␈r␈α
a␈α␈l␈α↓l␈↓ ∧2␈ε	j␈↓ ∧A␈εβ.␈α⊂Giv␈α␈e␈αa␈αsimple␈αrule␈αfor␈αcon␈α␈struc␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈αthe␈αsma␈α␈l␈α↓lest␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈↓ ∨␈ε	z
␈β
→␈↓ αa␈εj␈↓ β5␈εj
␈β
1␈↓ ∧3␈ε~0␈↓ ¬b␈ε~0␈↓ π@␈ε~0␈↓ λ
␈ε~0
␈β
6␈↓ ↓H␈εβwith␈αthe␈αp␈α␈rop␈α␈erty␈αthat␈↓ ∧"␈ε	x␈↓ ∧D␈ε↔∩␈↓ ∧p␈ε	x␈↓ ¬
␈εβand␈↓ ¬O␈ε	y␈↓ ¬s␈ε↔∩␈↓ ε∨␈ε	y␈↓ ε=␈εβimplies␈↓ π/␈ε	x␈↓ πO␈εβ+␈↓ πx␈ε	y␈↓ λ≠␈ε↔∩␈↓ λH␈ε	z␈↓ λU␈εβ.␈α∞Deno␈α␈ting␈αth␈α␈is␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈β
]␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈↓ ↓y␈ε	x␈↓ α∩␈ε↔r␈↓ α6␈ε	y␈↓ αH␈εβ,␈α
p␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈αtha␈α␈t␈↓ ∧α␈ε	↔␈↓ ∧∩␈εβ(␈↓ ∧≥␈ε	x␈↓ ∧6␈ε↔r␈↓ ∧Z␈ε	y␈↓ ∧l␈εβ)␈ε↔␈α∀␈↓ ¬.␈ε	↔␈↓ ¬>␈εβ(␈↓ ¬I␈ε	x␈↓ ¬Z␈εβ)␈αλ+␈↓ ε↔␈ε	↔␈↓ ε&␈εβ(␈↓ ε1␈ε	y␈↓ εD␈εβ).␈α≠(b)␈αGiv␈α}en␈αa␈α␈n␈α␈y␈αadd␈α␈ition␈αc␈α␈hain␈α(11)␈αwith
␈β¬␈↓ ↓H␈ε	r␈↓ ↓a␈εβ=␈↓ α␈ε	l␈↓ α∃␈εβ(␈↓ α ␈ε	n␈↓ α4␈εβ)␈α↓,␈αlet␈αthe␈αsequ␈α␈enc␈α␈e␈↓ ∧I␈ε	d␈↓ ∧e␈εβ,␈↓ ∧z␈ε	d␈↓ ¬⊗␈εβ,␈↓ ¬,␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬X␈εβ,␈↓ ¬m␈ε	d␈↓ ε∃␈εβb␈α␈e␈αd␈α␈e|␈α␈ned␈αas␈αi␈α↓n␈α(37␈α␈),␈αand␈αd␈α␈e|n␈α␈e␈αth␈α␈e␈αse␈α␈que␈α␈nce
␈β∂␈↓ ∧Y␈εε0␈↓ ¬
␈εε1␈↓ ¬⎇␈εr
␈β,␈↓ ↓H␈ε	A␈↓ ↓j␈εβ,␈↓ αα␈ε	A␈↓ α$␈εβ,␈↓ α=␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ αi␈εβ,␈↓ βα␈ε	A␈↓ β2␈εβb␈α␈y␈α∞the␈α∞follo␈α␈wing␈α∞rules:␈↓ ε∪␈ε	A␈↓ εD␈εβ=␈α∂1;␈α⊂if␈↓ πA␈ε	a␈↓ πj␈εβ=␈α⊂2␈↓ λ+␈ε	a␈↓ λz␈εβth␈α␈en␈↓ 	I␈ε	A␈↓ 	x␈εβ=␈α∂2␈↓ 
9␈ε	A␈↓ 
␈␈εβ;␈α⊂if
␈β7␈↓ ↓]␈εε0␈↓ α↔␈εε1␈↓ β↔␈εr␈↓ ε(␈εε0␈↓ πQ␈εi␈↓ λ;␈εi␈↓ λE␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ 	↑␈εi␈↓ 
N␈εi␈↓ 
Y␈ε~␈␈εε1
␈βO␈↓ λl␈εd␈↓ 	∧␈ε~␈␈↓ 	≡␈εd
␈βT␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ ↓k␈εβ=␈↓ α⊗␈ε	a␈↓ α6␈εβ+␈↓ α\␈ε	a␈↓ βα␈εβfor␈α	some␈α	0␈ε↔␈α	∀␈↓ ∧J␈ε	k␈↓ ∧d␈εβ<␈↓ ¬∞␈ε	j␈↓ ¬'␈εβ<␈↓ ¬Q␈ε	i␈↓ ¬↑␈εβ,␈α
th␈α␈en␈↓ ε;␈ε	A␈↓ εd␈εβ=␈↓ π∞␈ε	A␈↓ πY␈ε↔r␈εβ␈α¬(␈↓ λ¬␈ε	A␈↓ λK␈εβ/␈↓ λ[␈εβ2␈↓ 	7␈εβ).␈αPro␈α␈v␈α}e␈α	that␈α	th␈α␈is
␈βW␈↓ λy␈ε
j␈↓ 	*␈ε
k
␈β←␈↓ ↓W␈εi␈↓ α%␈εj␈↓ αl␈εk␈↓ εP␈εi␈↓ π$␈εi␈↓ π.␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ λ~␈εi␈↓ λ%␈ε~␈␈εε1
␈β|␈↓ ↓H␈εβse␈α␈que␈α␈nce␈α\c␈α␈o␈α␈v␈α␈e␈α␈rs"␈αthe␈αgiv␈α␈e␈α␈n␈αcha␈α␈i␈α↓n␈α␈,␈α
in␈αthe␈αsen␈α␈se␈α
th␈α␈at␈↓ πS␈ε	a␈↓ πy␈ε↔∩␈↓ λ&␈ε	A␈↓ λR␈εβfor␈α0␈ε↔␈α∀␈↓ 	P␈ε	i␈↓ 	h␈ε↔∀␈↓ 
∃␈ε	r␈↓ 
$␈εβ.␈α≤(c)␈αL␈α↓e␈α␈t
␈βε␈↓ πc␈εi␈↓ λ;␈εi
␈β#␈↓ ↓H␈ε	∞␈↓ ↓c␈εβb␈α␈e␈αa␈αp␈α␈ositi␈α↓v␈α}e␈αin␈α␈teg␈α␈er␈α(to␈αbe␈αse␈α␈l␈α↓e␈α␈cted␈αlate␈α␈r).␈αCall␈αthe␈αn␈α␈on␈α␈dou␈α␈bling␈α
step␈↓ 	Z␈ε	a␈↓ 	⎇␈εβ=␈↓ 
(␈ε	a␈↓ 
K␈εβ+␈↓ 
t␈ε	a␈↓ ≤␈εβa
␈β.␈↓ 	i␈εi␈↓ 
8␈εj␈↓ β␈εk
␈βK␈↓ ↓H␈εβ\␈α␈ba␈α␈by␈αs␈α␈tep"␈α
i␈α↓f␈↓ β"␈ε	d␈↓ βE␈ε↔␈␈↓ βn␈ε	d␈↓ ∧∀␈ε↔∃␈↓ ∧>␈ε	∞␈↓ ∧N␈εβ,␈αoth␈α␈erwise␈αcall␈αi␈α↓t␈αa␈α
\close␈αs␈α␈tep."␈αLet␈↓ λn␈ε	B␈↓ 	↔␈εβ=␈α
1␈α␈;␈↓ 	g␈ε	B␈↓ 
∞␈εβ=␈α	2␈↓ 
I␈ε	B␈↓ _␈εβif
␈βU␈↓ β1␈εj␈↓ β⎇␈εk␈↓ 	↓␈εε0␈↓ 	z␈εi␈↓ 
]␈εi␈↓ 
g␈ε~␈␈εε1
␈βm␈↓ ¬ ␈εd␈↓ ¬8␈ε~␈␈↓ ¬Q␈εd
␈βr␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ ↓k␈εβ=␈α
2␈↓ α&␈ε	a␈↓ αf␈εβ;␈↓ αx␈ε	B␈↓ β ␈εβ=␈↓ βJ␈ε	B␈↓ ∧⊃␈ε↔r␈εβ␈αα(␈↓ ∧;␈ε	B␈↓ ∧}␈εβ/␈↓ ¬∂␈εβ2␈↓ ¬k␈εβ)␈απi␈α↓f␈↓ ε→␈ε	a␈↓ ε=␈εβ=␈↓ εg␈ε	a␈↓ πε␈εβ+␈↓ π*␈ε	a␈↓ πN␈εβi␈α↓s␈απa␈αλb␈α␈ab␈α␈y␈απstep;␈α	a␈α␈nd␈↓ 	←␈ε	B␈↓ 
ε␈εβ=␈↓ 
1␈ε	~␈↓ 
B␈εβ(2␈↓ 
]␈ε	B␈↓ !␈εβ)
␈βu␈↓ ¬-␈ε
j␈↓ ¬↑␈ε
k
␈β⎇␈↓ ↓W␈εi␈↓ α6␈εi␈↓ α@␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ β␈εi␈↓ β↑␈εi␈↓ βh␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧N␈εi␈↓ ∧Y␈ε~␈␈εε1␈↓ ε)␈εi␈↓ εw␈εj␈↓ π:␈εk␈↓ 	r␈εi␈↓ 
q␈εi␈↓ 
|␈ε~␈␈εε1
␈β
⊗␈↓ λ_␈εe
␈β
~␈↓ ↓H␈εβo␈α␈ther␈α␈w␈α↓ise,␈αwhe␈α␈re␈↓ βG␈ε	~␈↓ βX␈εβ(␈↓ βc␈ε	x␈↓ βu␈εβ)␈αis␈αthe␈αl␈α↓ea␈α␈st␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈↓ ε0␈ε	y␈↓ εO␈εβsu␈α␈ch␈αth␈α␈at␈↓ πe␈ε	x␈↓ πv␈εβ/␈↓ λπ␈εβ2␈↓ λ-␈ε↔∩␈↓ λY␈ε	y␈↓ λx␈εβfor␈α0␈ε↔␈α
∀␈↓ 	u␈ε	e␈↓ 
␈ε↔∀␈↓ 
9␈ε	∞␈↓ 
H␈εβ.␈α∂S␈α␈ho␈α}w
␈β
=␈↓ ¬G␈εb
␈β
B␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α∞␈ε	A␈↓ α7␈ε↔∩␈↓ αa␈ε	B␈↓ βλ␈εβand␈↓ βG␈ε	↔␈↓ βW␈εβ(␈↓ βb␈ε	B␈↓ ∧␈εβ)␈ε↔␈α	∀␈εβ␈α
(1␈α∧+␈↓ ¬¬␈ε	∞␈↓ ¬∃␈ε	c␈↓ ¬+␈εβ)␈↓ ¬6␈εβ2␈↓ ¬d␈εβf␈α↓o␈α␈r␈α	0␈ε↔␈α	∀␈↓ ε[␈ε	i␈↓ εq␈ε↔∀␈↓ π≠␈ε	r␈↓ π*␈εβ,␈α	where␈↓ λ~␈ε	b␈↓ λ:␈εβan␈α␈d␈↓ λy␈ε	c␈↓ 	_␈εβresp␈α␈ectiv␈α␈ely␈αλden␈α␈ote
␈β
E␈↓ ¬Q␈ε
i
␈β
L␈↓ α#␈εi␈↓ αu␈εi␈↓ βu␈εi␈↓ ¬!␈εi␈↓ λ&␈εi␈↓ 	¬␈εi
␈β
i␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αo␈α␈f␈αba␈α␈by␈αstep␈α␈s␈αan␈α␈d␈αc␈α␈l␈α↓o␈α␈se␈αste␈α␈ps␈ε↔␈α∀␈↓ ε[␈ε	i␈↓ εh␈εβ.␈α≠[␈ε⊂Hi␈α↓n␈α}t:␈εβ␈α
S␈α␈ho␈α␈w␈αthat␈αthe␈α1's␈αin␈↓ 
!␈ε	B␈↓ 
J␈εβapp␈α␈ea␈α␈r
␈β
t␈↓ 
4␈εi
␈β∞⊃␈↓ ↓H␈εβin␈α	con␈α␈secu␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈α
blo␈α␈cks␈α
o␈α␈f␈αsize␈ε↔␈α	∃␈εβ␈α
1␈αε+␈↓ ¬N␈ε	∞␈↓ ¬↑␈ε	c␈↓ ¬t␈εβ.␈α↓]␈α⊗(␈α↓d␈α␈)␈α
W␈α↓e␈α	no␈α␈w␈α
h␈α␈av␈α}e␈↓ λ≤␈ε	l␈↓ λ%␈εβ(␈↓ λ1␈ε	n␈↓ λE␈εβ)␈α	=␈↓ 	∧␈ε	r␈↓ 	≠␈εβ=␈↓ 	F␈ε	b␈↓ 	d␈εβ+␈↓ 
␈ε	c␈↓ 
*␈εβ+␈↓ 
Q␈ε	d␈↓ 
w␈εβa␈α␈nd
␈β∞≠␈↓ ¬j␈εi␈↓ 	R␈εr␈↓ 
↔␈εr␈↓ 
a␈εr
␈β∞4␈↓ ∧>␈εb
␈β∞8␈↓ ↓H␈ε	↔␈↓ ↓W␈εβ(␈↓ ↓b␈ε	n␈↓ ↓v␈εβ)␈ε↔␈α
∀␈↓ α5␈ε	↔␈↓ αE␈εβ(␈↓ αP␈ε	B␈↓ αp␈εβ)␈ε↔␈α	∀␈εβ␈α
(1␈αε+␈↓ βz␈ε	∞␈↓ ∧
␈ε	c␈↓ ∧"␈εβ)␈↓ ∧-␈εβ2␈↓ ∧T␈εβ.␈αExp␈α␈l␈α↓a␈α␈in␈αh␈α␈o␈α␈w␈αto␈αc␈α␈hoo␈α␈se␈↓ π;␈ε	∞␈↓ πV␈εβin␈α
ord␈α␈er␈αto␈αo␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈α
th␈α␈e␈αineq␈α␈ua␈α␈l␈α↓ity
␈β∞;␈↓ ∧H␈ε
r
␈β∞C␈↓ αc␈εr␈↓ ∧⊗␈εr
␈β∞\␈↓ 
A␈εr
␈β∞`␈↓ ↓H␈εβsta␈α␈ted␈αa␈α␈t␈αthe␈αbeg␈α␈i␈α↓n␈α␈nin␈α␈g␈αof␈αth␈α␈i␈α↓s␈αe␈α␈x␈α␈ercise.␈α≠[␈ε⊂Hin␈α␈t:␈εβ␈α
See␈α(␈α↓1␈α␈6),␈αand␈αno␈α␈te␈αtha␈α␈t␈↓ 	e␈ε	n␈↓ 
∧␈ε↔∀␈↓ 
0␈εβ2␈↓ 
M␈ε	␈↓ 
←␈ε	b␈↓ ∧␈εβfo␈α␈r
␈β∞k␈↓ 
k␈εr
␈β∂λ␈↓ ↓H␈εβso␈α␈me␈↓ α≠␈ε	␈↓ α6␈εβ<␈α
1␈αd␈α␈epe␈α␈nd␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αo␈α␈n␈↓ ∧J␈ε	∞␈↓ ∧Z␈εβ.]
␈β∂@␈↓ ∧!␈εl␈↓ ∧(␈εε(␈↓ ∧1␈εn␈↓ ∧A␈εε)␈ε~␈␈↓ ∧c␈ε∃␈↓ ∧r␈εε(␈↓ ∧{␈εn␈↓ ¬␈εε)
␈β∂A␈↓ λ>␈εα(
␈β∂D␈↓ ↓V␈ε∪29.␈↓ α␈εβ[␈ε	M49␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Is␈↓ β≤␈ε	↔␈↓ β,␈εβ(␈↓ β7␈ε	n␈↓ βK␈εβ)␈ε↔␈α∀␈↓ ∧⊂␈εβ2␈↓ ¬!␈εβfo␈α␈r␈α
all␈α
positiv␈α␈e␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈↓ λ␈ε	n␈↓ λ∀␈εβ?␈↓ λJ␈εβIf␈α
so,␈α∞w␈α␈e␈α
h␈α␈av␈α}e␈α
the␈α
lo␈α␈w␈α␈e␈α␈r
␈β∂g␈↓ αR␈εn
␈β∂h␈↓ π;␈εα)
␈β∂k␈↓ ↓H␈εβb␈α␈ou␈α␈nd␈↓ α-␈ε	l␈↓ α7␈εβ(␈↓ αB␈εβ2␈↓ αj␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈ε↔␈α
∃␈↓ βb␈ε	n␈↓ β}␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈απ+␈ε↔␈αλd␈↓ ∧t␈εβlg␈↓ ¬∀␈ε	n␈↓ ¬(␈ε↔e␈εβ;␈αcf.␈α(17)␈αa␈α␈nd␈α
(␈α↓4␈α␈9).
␈β⊂'␈↓ ↓V␈ε∪30.␈↓ α␈εβ[␈ε	20␈↓ α;␈εβ]␈α⊗An␈ε⊂␈αa␈α␈dd␈α␈iti␈α↓o␈α␈n-su␈α␈btra␈α␈ction␈αcha␈α␈i␈α↓n␈εβ␈αh␈α␈as␈αth␈α␈e␈αru␈α␈l␈α↓e␈↓ πW␈ε	a␈↓ π|␈εβ=␈↓ λ(␈ε	a␈↓ λK␈ε↔ε␈↓ λt␈ε	a␈↓ 	≥␈εβin␈αplace␈αof␈α(2);␈αthe
␈β⊂2␈↓ πg␈εi␈↓ λ7␈εj␈↓ 	∧␈εk
␈β⊂L␈↓ 	<␈ε∃SU␈α␈B
␈β⊂O␈↓ ↓H␈εβima␈α␈gina␈α␈ry␈αcomp␈α␈ute␈α␈r␈αd␈α␈escribe␈α␈d␈αin␈αth␈α␈e␈αtex␈α␈t␈αh␈α␈as␈αa␈αn␈α␈ew␈αo␈α␈pera␈α␈tion␈αcod␈α␈e,␈↓ 	z␈εβ.␈α~(␈α↓Th␈α␈is␈αco␈α␈r-
␈β⊂r␈↓ ¬U␈εn
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβre␈α␈spo␈α␈nd␈α␈s␈αin␈αp␈α␈rac␈α␈ti␈α↓c␈α␈e␈αto␈αeva␈α␈luatin␈α␈g␈↓ ¬D␈ε	x␈↓ ¬q␈εβusin␈α␈g␈αb␈α␈oth␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α␈s␈αan␈α␈d␈αdivision␈α␈s.␈α↓)␈α~Find
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβa␈α␈n␈αad␈α␈dition␈α␈-sub␈α␈tract␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αch␈α␈ain,␈αfor␈αso␈α␈me␈↓ ε∩␈ε	n␈↓ ε&␈εβ,␈αthat␈αh␈α␈as␈αless␈αth␈α␈an␈↓ λI␈ε	l␈↓ λR␈εβ(␈↓ λ]␈ε	n␈↓ λq␈εβ)␈αstep␈α␈s.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.4␈ε∞␈↓ π∧EV␈α|AL␈α␈U␈α␈A␈α}T␈α␈ION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα449
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪31.␈↓ α␈εβ[␈ε	M46␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(D.␈α∞H.␈α∞Lehm␈α␈er.)␈α∨Exp␈α␈lore␈α∞t␈α␈he␈α∞p␈α␈rob␈α␈lem␈α∞o␈α␈f␈α∞minimizing␈↓ 	≠␈ε	∂␈↓ 	(␈ε	q␈↓ 	@␈εβ+␈α
(␈↓ 	v␈ε	r␈↓ 
∞␈ε↔␈␈↓ 
8␈ε	q␈↓ 
G␈εβ)␈α∞in␈α
an
␈βαR␈↓ ↓H␈εβa␈α␈dd␈α␈i␈α↓t␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈απcha␈α␈i␈α↓n␈απ(1␈α␈)␈α↓,␈αλwhe␈α␈re␈↓ ∧2␈ε	q␈↓ ∧H␈εβis␈αλth␈α␈e␈αλn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈απof␈αλ\␈α␈si␈α↓m␈α␈ple"␈απstep␈α␈s␈αλin␈απwhich␈↓ 		␈ε	a␈↓ 	,␈εβ=␈↓ 	W␈ε	a␈↓ 
→␈εβ+␈αβ1,␈α	g␈α␈i␈α↓v␈α}en
␈βα\␈↓ 	_␈εi␈↓ 	f␈εi␈↓ 	q␈ε~␈␈εε1
␈βαy␈↓ ↓H␈εβa␈αλsma␈α␈ll␈α	po␈α␈si␈α↓t␈α␈i␈α↓v␈α}e␈α	\␈α␈w␈α␈eigh␈α␈t"␈↓ ∧6␈ε	∂␈↓ ∧C␈εβ.␈α∩(␈α↓Th␈α␈is␈α	p␈α␈rob␈α␈l␈α↓e␈α␈m␈α	co␈α␈mes␈αλcloser␈αλto␈αλreality␈αλfor␈αλman␈α}y␈αλcalcu␈α␈lation␈α␈s
␈ββ≥␈↓ ↓␈␈εn
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓n␈ε	x␈↓ α⊂␈εβ,␈αif␈αm␈α}ultiplication␈α
b␈α␈y␈↓ ∧G␈ε	x␈↓ ∧d␈εβis␈α
si␈α↓m␈α␈pler␈α
than␈α
a␈α
ge␈α␈nera␈α␈l␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈ti␈α↓o␈α␈n;␈αcf.␈αS␈α␈ection␈α
4␈α␈.␈α↓6␈α␈.2.)
␈ββP␈↓ ↓V␈ε∪32.␈↓ α␈εβ[␈ε	M30␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(A.␈α
C.␈αYa␈α␈o.)␈α↔Let␈↓ ∧{␈ε	l␈↓ ¬∧␈εβ(␈↓ ¬∂␈ε	n␈↓ ¬/␈εβ,␈↓ ¬>␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬j␈εβ,␈↓ ¬y␈ε	n␈↓ ε$␈εβ)␈α
b␈α␈e␈α
the␈α
len␈α␈gth␈α	of␈α
the␈α
s␈α␈horte␈α␈st␈α
add␈α␈ition␈α
ch␈α␈ain
␈ββ[␈↓ ¬"␈εε1␈↓ ε␈εm
␈ββx␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈αcon␈α}tains␈↓ β∃␈ε	m␈↓ β?␈εβgiv␈α␈e␈α␈n␈αn␈α␈um␈α}bers␈↓ ¬∨␈ε	n␈↓ ¬K␈εβ<␈↓ ¬x␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ ε*␈εβ<␈↓ εW␈ε	n␈↓ πα␈εβ.␈α⊂Pro␈α␈v␈α}e␈α
th␈α␈at␈↓ λB␈ε	l␈↓ λL␈εβ(␈↓ λW␈ε	n␈↓ λv␈εβ,␈↓ 	¬␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	2␈εβ,␈↓ 	@␈ε	n␈↓ 	k␈εβ)␈ε↔␈α∀␈↓ 
/␈ε	∃␈↓ 
B␈εβ(␈↓ 
M␈ε	n␈↓ 
x␈εβ)␈αλ+
␈β∧α␈↓ ¬2␈εε1␈↓ εk␈εm␈↓ λj␈εε1␈↓ 	S␈εm␈↓ 
`␈εm
␈β∧≠␈↓ εL␈εε2
␈β∧≤␈↓ βy␈εα(␈↓ εY␈εα)
␈β∧∨␈↓ ↓H␈ε	m␈↓ ↓e␈ε	∃␈↓ ↓x␈εβ(␈↓ αβ␈ε	n␈↓ α.␈εβ)/␈↓ αJ␈ε	∃␈↓ α]␈ε	∃␈↓ αp␈εβ(␈↓ α|␈ε	n␈↓ β&␈εβ)␈απ+␈↓ βa␈ε	O␈↓ ∧¬␈ε	∃␈↓ ∧→␈εβ(␈↓ ∧$␈ε	n␈↓ ∧N␈εβ)␈↓ ∧Y␈ε	∃␈↓ ∧m␈ε	∃␈↓ ¬␈ε	∃␈↓ ¬∀␈εβ(␈↓ ¬∨␈ε	n␈↓ ¬I␈εβ)/␈↓ ¬e␈ε	∃␈↓ ¬x␈ε	∃␈↓ ε␈εβ(␈↓ ε↔␈ε	n␈↓ εA␈εβ)␈↓ εe␈εβ,␈αthere␈α␈by␈α
gen␈α␈eralizing␈α(2␈α␈5).
␈β∧*␈↓ α↔␈εm␈↓ β∂␈εm␈↓ ∧7␈εm␈↓ ¬2␈εm␈↓ ε*␈εm
␈β∧J␈↓ λ)␈εε2
␈β∧N␈↓ ↓V␈ε∪33.␈↓ α␈εβ[␈ε	M47␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Wha␈α␈t␈αis␈αth␈α␈e␈αas␈α␈ymp␈α␈totic␈αv␈α␈alu␈α␈e␈αof␈↓ ε↑␈ε	l␈↓ εg␈εβ(1␈α␈,␈αε4,␈αε9␈α␈,␈↓ πP␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π⎇␈εβ,␈↓ λ␈ε	m␈↓ λ5␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ λq␈ε	m␈↓ 	∂␈εβ,␈αa␈α␈s␈↓ 	M␈ε	m␈↓ 	u␈ε↔!␈α
1␈εβ␈α↓,␈αin␈αthe
␈β∧v␈↓ ↓H␈εβn␈α␈ota␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αo␈α␈f␈αe␈α␈x␈α␈ercise␈α3␈α␈2?
␈β¬!␈↓ β=␈εn
␈β¬%␈↓ ↓V␈ε∪34.␈↓ α␈εβ[␈ε	M50␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Is␈↓ β_␈ε	l␈↓ β!␈εβ(␈↓ β,␈εβ2␈↓ βQ␈ε↔␈␈εβ␈α¬1␈α␈)␈ε↔␈α
∀␈↓ ∧F␈ε	n␈↓ ∧←␈ε↔␈␈εβ␈α∧1␈α∧+␈↓ ¬?␈ε	l␈↓ ¬H␈εβ(␈↓ ¬S␈ε	n␈↓ ¬g␈εβ)␈α	for␈α	a␈α␈ll␈α	positiv␈α␈e␈αλin␈α␈teg␈α␈ers␈↓ λJ␈ε	n␈↓ λ↑␈εβ?␈α∪Doe␈α␈s␈α	equ␈α␈ality␈αλalway␈α␈s
␈β¬I␈↓ βo␈εε0
␈β¬M␈↓ ↓H␈εβh␈α␈old?␈α→Do␈α␈es␈↓ α}␈ε	l␈↓ βπ␈εβ(␈↓ β∩␈ε	n␈↓ β&␈εβ)␈α
=␈↓ βe␈ε	l␈↓ β{␈εβ(␈↓ ∧ε␈ε	n␈↓ ∧~␈εβ)?
␈β¬|␈↓ ↓V␈ε∪35.␈↓ α␈εβ[␈ε	M30␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(A.␈α	C.␈α
Ya␈α␈o,␈α
F.␈α	F␈α↓.␈α	Yao␈α␈,␈α
R.␈α	L␈α↓.␈α	Grah␈α␈am␈α␈.␈α↓)␈α∀Assoc␈α␈i␈α↓a␈α␈te␈α	the␈α	\␈α␈cost"␈↓ 	`␈ε	a␈↓ 	|␈ε	a␈↓ 
"␈εβwith␈α	e␈α␈ach
␈βεε␈↓ 	p␈εj␈↓ 
␈εk
␈βε#␈↓ ↓H␈εβste␈α␈p␈↓ α∂␈ε	a␈↓ α3␈εβ=␈↓ α←␈ε	a␈↓ βα␈εβ+␈↓ β+␈ε	a␈↓ βT␈εβo␈α␈f␈αan␈αad␈α␈dition␈αch␈α␈ain␈α(1␈α␈)␈α↓.␈α
S␈α␈ho␈α␈w␈αtha␈α␈t␈αthe␈αleft-to-righ␈α}t␈αbin␈α␈ary␈αmeth␈α␈od
␈βε.␈↓ α≡␈εi␈↓ αn␈εj␈↓ β;␈εk
␈βεK␈↓ ↓H␈εβy␈α␈ields␈αa␈αch␈α␈ain␈αo␈α␈f␈αminim␈α␈u␈α␈m␈αtotal␈αco␈α␈st,␈αfo␈α␈r␈αall␈αp␈α␈ositiv␈α␈e␈αin␈α}tegers␈↓ λL␈ε	n␈↓ λ`␈εβ.
␈βπ2␈↓ ↓H␈ε≥4␈α␈.6.4.␈α
Evaluat␈α↓ion␈α
of␈α
P␈α↓o␈α␈l␈α↓ynomials
␈βπn␈↓ 
*␈εn
␈βπs␈↓ ↓H␈εαNo␈α␈w␈α
that␈α∞w␈α␈e␈α∞kno␈α␈w␈α∞e}cien␈α␈t␈α∞ways␈α∞to␈α
evaluate␈α∞the␈α∞special␈α∞polynomial␈↓ 
_␈ελx␈↓ 
<␈εα,␈α∂let␈α
us
␈βλ≡␈↓ ↓H␈εαconsider␈αthe␈αgeneral␈αproblem␈αof␈αcomputing␈αan␈↓ π(␈ελn␈↓ π=␈εαth␈αdegree␈αpolynomial
␈βλQ␈↓ ∧'␈εn␈↓ ¬Q␈εn␈↓ ¬c␈ε→␈␈ε¬1
␈βλW␈↓ αu␈ελu␈↓ β
␈εα(␈↓ β⊗␈ελx␈↓ β)␈εα)␈α
=␈↓ βm␈ελu␈↓ ∧∀␈ελx␈↓ ∧@␈εα+␈↓ ∧l␈ελu␈↓ ¬>␈ελx␈↓ ε⊗␈εα+␈↓ εB␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εt␈εα+␈↓ π ␈ελu␈↓ πC␈ελx␈↓ π↑␈εα+␈↓ λ
␈ελu␈↓ λ-␈εα,␈↓ 	¬␈ελu␈↓ 	5␈ε⊗≤␈εα␈α
0,␈↓ α␈εα(1)
␈βλd␈↓ ∧α␈εn␈↓ ¬↓␈εn␈↓ ¬∪␈ε→␈␈ε¬1␈↓ π5␈ε¬1␈↓ λ≡␈ε¬0␈↓ 	→␈εn
␈β	∂␈↓ ↓H␈εαfor␈αgiv␈α␈en␈αvalues␈αof␈↓ βw␈ελx␈↓ ∧	␈εα.␈αThis␈αproblem␈αarises␈αfrequen␈α␈tly␈αin␈αpractice.
␈β	:␈↓ α␈εαIn␈α	the␈α	follo␈α␈wing␈α
discussion␈α	w␈α␈e␈α	shall␈α	concen␈α␈trate␈α
on␈α	minimizing␈α	the␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈α	of
␈β	f␈↓ ↓H␈εαoperations␈α	required␈α	to␈α	evaluate␈α	polynomials␈α	by␈α	computer,␈α
blithely␈α	assuming␈α	that
␈β
⊃␈↓ ↓H␈εαall␈α
arithmetic␈α
operations␈α
are␈α
exact.␈α⊂Polynomials␈α
are␈α
most␈α
commonly␈α
evaluated
␈β
<␈↓ ↓H␈εαusing␈α
⎇oating-poin␈α␈t␈αarithmetic,␈αwhich␈α
is␈αnot␈α
exact,␈αand␈αdi{eren␈α␈t␈α
schemes␈αfor␈α
the
␈β
g␈↓ ↓H␈εαevaluation␈α∞will,␈α∂in␈α∞general,␈α∂giv␈α␈e␈α∞di{eren␈α␈t␈α∞answ␈α␈ers.␈α∪A␈α∂n␈α␈umerical␈α∞analysis␈α∞of␈α∞the
␈β∩␈↓ ↓H␈εαaccuracy␈α
achiev␈α␈ed␈αdepends␈α
on␈αthe␈α
coe}cien␈α␈ts␈αof␈α
the␈α
particular␈αpolynomial␈α
being
␈β>␈↓ ↓H␈εαconsidered,␈α∞and␈α∞is␈α∞bey␈α␈ond␈α∞the␈α∞scope␈α∞of␈α∞this␈α∞book;␈α∂the␈α∞reader␈α∞should␈α∞be␈α∞careful
␈βi␈↓ ↓H␈εαto␈α∂in␈α␈v␈α␈estigate␈α∂the␈α∂accuracy␈α∂of␈α∂an␈α␈y␈α∂calculations␈α∂undertak␈α␈en␈α∂with␈α∂⎇oating-poin␈α␈t
␈β∀␈↓ ↓H␈εαarithmetic.␈αIn␈α	most␈αλcases␈α	the␈α	methods␈α	w␈α␈e␈α	shall␈α	describe␈α	turn␈α	out␈α	to␈α	be␈αλreasonably
␈β?␈↓ ↓H␈εαsatisfactory␈α∞from␈α∞a␈α∞n␈α␈umerical␈α∞standpoin␈α␈t,␈α∂but␈α∞man␈α␈y␈α∞bad␈α∞examples␈α∞can␈α∞also␈α∞be
␈βj␈↓ ↓H␈εαgiv␈α␈e.␈α→[See␈α
Webb␈αMiller,␈ε∂␈αSIAM␈αJ.␈α
Computing␈ε∩␈α4␈εα␈α(1975),␈α105↑107,␈α
for␈αa␈αsurv␈α␈ey␈αof
␈β
⊗␈↓ ↓H␈εαthe␈α	literature␈α
on␈α
stability␈α	of␈α
fast␈α
polynomial␈α	evaluation,␈α
and␈α
for␈α
a␈α	demonstration
␈β
A␈↓ ↓H␈εαthat␈αcertain␈αkinds␈αof␈αn␈α␈umerical␈αstability␈αcannot␈αbe␈αguaran␈α␈teed␈αfor␈αsome␈αfamilies
␈β
l␈↓ ↓H␈εαof␈αhigh-speed␈αalgorithms.]
␈β∞↔␈↓ α␈εαA␈α
beginning␈αprogrammer␈α
will␈αoften␈α
evaluate␈α
the␈αpolynomial␈α
(1)␈αin␈α
a␈α
manner
␈β∞=␈↓ 	K␈εn
␈β∞B␈↓ ↓H␈εαcorresponding␈απdirectly␈αλto␈αλits␈αλcon␈α␈v␈α␈en␈α␈tional␈αλtextbook␈αλform:␈α
First␈↓ 	∩␈ελu␈↓ 	8␈ελx␈↓ 	e␈εαis␈απcalculated,
␈β∞P␈↓ 	&␈εn
␈β∞i␈↓ α}␈εn␈↓ β⊂␈ε→␈␈ε¬1
␈β∞n␈↓ ↓H␈εαthen␈↓ α~␈ελu␈↓ αl␈ελx␈↓ β<␈εα,␈↓ βR␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧α␈εα,␈↓ ∧→␈ελu␈↓ ∧;␈ελx␈↓ ∧N␈εα,␈α
and␈α|nally␈αall␈α
of␈αthe␈α
terms␈αof␈α(1)␈α
are␈αadded␈αtogether.
␈β∞{␈↓ α/␈εn␈↓ α@␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ∧-␈ε¬1
␈β∂→␈↓ ↓H␈εαBut␈α∞ev␈α␈en␈α∂if␈α∂the␈α∂e}cien␈α␈t␈α∂methods␈α∂of␈α∞Section␈α∂4.6.3␈α∂are␈α∂used␈α∂to␈α∂evaluate␈α∞po␈α␈w␈α␈ers
␈β∂D␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓t␈ελx␈↓ α∀␈εαin␈α∞this␈α∞approach,␈α∞the␈α∞resulting␈α∞calculation␈α∞is␈α∞needlessly␈α∞slo␈α␈w␈α∞unless␈α
nearly
␈β∂o␈↓ ↓H␈εαall␈α
of␈α
the␈α∞coe}cien␈α␈ts␈↓ ∧≤␈ελu␈↓ ∧L␈εαare␈α∞zero.␈α⊂If␈α
the␈α
coe}cien␈α␈ts␈α∞are␈α
all␈α
nonzero,␈α∞an␈α
obvious
␈β∂⎇␈↓ ∧1␈εk
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαalternativ␈α␈e␈α⊂w␈α␈ould␈α∂be␈α⊂to␈α⊂evaluate␈α⊂(1)␈α⊂from␈α⊂righ␈α␈t␈α⊂to␈α⊂left,␈α⊃computing␈α⊂the␈α∂values
␈β⊂A␈↓ απ␈εk␈↓ β#␈εk
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓t␈ελx␈↓ α%␈εαand␈↓ αm␈ελu␈↓ β⊃␈ελx␈↓ β<␈εα+␈↓ βj␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧≡␈εα+␈↓ ∧K␈ελu␈↓ ∧⎇␈εαfor␈↓ ¬8␈ελk␈↓ ¬Y␈εα=␈α∞1,␈↓ ε7␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εg␈εα,␈↓ π␈ελn␈↓ π⊗␈εα.␈α∃Such␈α∞a␈α∂process␈α∂in␈α␈v␈α␈olv␈α␈es␈α∂2␈↓ 
M␈ελn␈↓ 
m␈ε⊗␈␈εα␈α	1
␈β⊂S␈↓ βα␈εk␈↓ ∧`␈ε¬0
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiplications␈α
and␈↓ ∧␈ελn␈↓ ∧!␈εαadditions,␈αand␈αit␈α
migh␈α␈t␈αalso␈αrequire␈αfurther␈αinstructions␈α
to
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαstore␈αand␈αretriev␈α␈e␈αin␈α␈termediate␈αresults␈αfrom␈αmemory.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα450␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.4
␈βα(␈↓ ↓H␈ε∩Horner's␈αrule.␈εα␈α~One␈α
of␈αthe␈α
|rst␈α
things␈αa␈α
no␈α␈vice␈αprogrammer␈α
is␈αusually␈α
taugh␈α␈t␈αis
␈βαS␈↓ ↓H␈εαan␈αelegan␈α␈t␈αway␈αto␈αrearrange␈αthis␈αcomputation,␈αby␈αevaluating␈↓ 	∪␈ελu␈↓ 	(␈εα(␈↓ 	4␈ελx␈↓ 	G␈εα)␈αas␈αfollo␈α␈ws:
␈ββπ␈↓ ∧j␈ε↓␈␈↓ λ↓␈ε↓↓
␈ββ'␈↓ βq␈ελu␈↓ ∧π␈εα(␈↓ ∧∪␈ελx␈↓ ∧&␈εα)␈α
=␈↓ ∧x␈εα(␈↓ ¬
␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬:␈εα(␈↓ ¬F␈ελu␈↓ ¬l␈ελx␈↓ επ␈εα+␈↓ ε3␈ελu␈↓ π∧␈εα)␈↓ π⊂␈ελx␈↓ π+␈εα+␈↓ πW␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ∂␈ελx␈↓ λ*␈εα+␈↓ λV␈ελu␈↓ λy␈εα.␈↓ α␈εα(2)
␈ββ4␈↓ ¬Z␈εn␈↓ εG␈εn␈↓ εY␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λk␈ε¬0
␈ββz␈↓ ↓H␈εαStart␈αwith␈↓ αv␈ελu␈↓ β≥␈εα,␈αm␈α␈ultiply␈αby␈↓ ∧x␈ελx␈↓ ¬␈εα,␈αadd␈↓ ¬g␈ελu␈↓ ε9␈εα,␈αm␈α␈ultiply␈α
by␈↓ λ∃␈ελx␈↓ λ(␈εα,␈↓ λ>␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λn␈εα,␈αm␈α␈ultiply␈αby␈↓ 
I␈ελx␈↓ 
\␈εα,␈αadd
␈β∧λ␈↓ β␈εn␈↓ ¬|␈εn␈↓ ε∞␈ε→␈␈ε¬1
␈β∧&␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓k␈εα.␈α→This␈α⊂form␈α⊃of␈α⊂the␈α⊂computation␈α⊃is␈α⊂usually␈α⊃called␈α⊂\Horner's␈α⊂rule";␈α∪w␈α␈e␈α⊂hav␈α␈e
␈β∧3␈↓ ↓\␈ε¬0
␈β∧Q␈↓ ↓H␈εαalready␈αλseen␈αλit␈α	used␈αλin␈α	connection␈αλwith␈α	radix␈αλcon␈α␈v␈α␈ersion␈αλin␈α	Section␈αλ4.4.␈αThe␈αλen␈α␈tire
␈β∧|␈↓ ↓H␈εαprocess␈αrequires␈↓ βK␈ελn␈↓ βm␈εαm␈α␈ultiplications␈α
and␈↓ ε*␈ελn␈↓ εL␈εαadditions,␈α
min␈α␈us␈αone␈α
addition␈α
for␈αeach
␈β¬'␈↓ ↓H␈εαcoe}cien␈α␈t␈α∂that␈α∂is␈α∞zero.␈α∃Furthermore,␈α⊂there␈α∂is␈α∂no␈α∂need␈α∂to␈α∂store␈α∂partial␈α∞results,
␈β¬R␈↓ ↓H␈εαsince␈α∞each␈α∂quan␈α␈tity␈α∂arising␈α∞during␈α∂the␈α∂calculation␈α∂is␈α∞used␈α∂immediately␈α∂after␈α∞it
␈β¬}␈↓ ↓H␈εαhas␈αbeen␈αcomputed.
␈βε)␈↓ α␈εαW.␈α
G.␈α
Horner␈α∞gav␈α␈e␈α
this␈α
rule␈α
early␈α∞in␈α
the␈α
nineteen␈α␈th␈α
cen␈α␈tury␈α
[␈ε∂Philosophical
␈βεT␈↓ ↓H␈ε∂Transactions␈εα,␈αRo␈α␈yal␈αSociety␈αof␈αLondon␈ε∩␈α109␈εα␈α(1819),␈α308↑335]␈αin␈αconnection␈αwith
␈βε␈␈↓ ↓H␈εαa␈α⊂procedure␈α∂for␈α⊂calculating␈α⊂polynomial␈α⊂roots.␈α_The␈α⊂fame␈α⊂of␈α⊂the␈α⊂latter␈α∂method
␈βπ*␈↓ ↓H␈εα[see␈α	J.␈α
L.␈α
Coolidge,␈ε∂␈α
Mathematics␈α
of␈α
Great␈α	Amateurs␈εα␈α
(Oxford,␈α
1949),␈αChapter␈α	15]
␈βπV␈↓ ↓H␈εαaccoun␈α␈ts␈αfor␈αthe␈αfact␈αthat␈αHorner's␈αname␈α
has␈αbeen␈αattached␈αto␈α(2);␈αbut␈αactually
␈βλ↓␈↓ ↓H␈εαIsaac␈αNewton␈αhad␈αmade␈αuse␈αof␈αthe␈αsame␈α
idea␈α150␈αy␈α␈ears␈αearlier.␈αIn␈αa␈αw␈α␈ell-kno␈α␈wn
␈βλ,␈↓ ↓H␈εαw␈α␈ork␈α∂en␈α␈titled␈ε∂␈α∂De␈α∂Analysi␈α∂per␈α∂≡quationes␈α∂In|nitas␈εα,␈α∂originally␈α∂written␈α∂in␈α∂1669,
␈βλW␈↓ ↓H␈εαNewton␈αwrote
␈βλx␈↓ ∧∞␈∧λx∧∞αβ)
␈βλ␈␈↓ ∧∞␈∧λ␈∧∞α↓y
␈β	π␈↓ ∧∞␈∧	π∧∞α[
␈β	
␈↓ ∧∞␈ελy␈↓ ∧*␈ε⊗␈␈εα␈αλ4␈↓ ∧p␈ε⊗α␈↓ ¬≤␈ελy␈↓ ¬6␈εα:␈αλ+␈αλ5␈↓ ε∞␈ε⊗α␈↓ ε:␈ελy␈↓ εT␈εα:␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ12␈↓ π>␈ε⊗α␈↓ πj␈ελy␈↓ λ∧␈εα:␈αλ+␈αλ17
␈β	H␈↓ ∧↔␈ε¬4␈↓ ¬¬␈ε¬3␈↓ ¬s␈ε¬2
␈β	M␈↓ ↓H␈εαfor␈α∂the␈α⊂polynomial␈↓ ∧β␈ελy␈↓ ∧0␈ε⊗␈␈εα␈α4␈↓ ∧q␈ελy␈↓ ¬≡␈εα+␈α
5␈↓ ¬↑␈ελy␈↓ ε␈ε⊗␈␈εα␈α
12␈↓ ε↑␈ελy␈↓ ε⎇␈εα+␈α
17;␈α∩this␈α⊂clearly␈α⊂uses␈α⊂the␈α⊂idea␈α∂of
␈β	x␈↓ ↓H␈εα(2),␈αsince␈αhe␈αoften␈αdenoted␈αgrouping␈αby␈αusing␈αhorizon␈α␈tal␈αlines␈αand␈α
colons␈αinstead
␈β
$␈↓ ↓H␈εαof␈α∂paren␈α␈theses.␈α∨[See␈α∂D.␈α∂T.␈α∂Whiteside,␈α⊂ed.,␈ε∂␈α⊂The␈α∂Mathematical␈α∂Papers␈α∂of␈α∂Isaac
␈β
O␈↓ ↓H␈ε∂Newton␈ε∩␈α2␈εα␈α(Cam␈α␈bridge␈αUniv.␈αPress,␈α1968),␈α222.]
␈β
z␈↓ α␈εαSev␈α␈eral␈α⊂generalizations␈α∂of␈α⊂Horner's␈α∂rule␈α⊂hav␈α␈e␈α∂been␈α⊂suggested.␈α⊗Let␈α⊂us␈α∂|rst
␈β%␈↓ ↓H␈εαconsider␈α∞evaluating␈↓ ∧π␈ελu␈↓ ∧≥␈εα(␈↓ ∧)␈ελz␈↓ ∧8␈εα)␈α∞when␈↓ ¬2␈ελz␈↓ ¬O␈εαis␈α∞a␈α
complex␈α∞n␈α␈um␈α␈ber,␈α∂while␈α∞the␈α
coe}cien␈α␈ts␈↓ 	␈ελu
␈β3␈↓ ≡␈εk
␈βK␈↓ εβ␈εi␈↓ ε∂␈ε∩
␈βP␈↓ ↓H␈εαare␈α∂real.␈α∃In␈α∂particular,␈α⊂when␈↓ ¬$␈ελz␈↓ ¬B␈εα=␈↓ ¬u␈ελe␈↓ ε+␈εα=␈↓ ε↑␈εαcos␈↓ π∀␈ελ∩␈↓ π-␈εα+␈↓ π[␈ελi␈↓ πo␈εαsin␈↓ λ!␈ελ∩␈↓ λ1␈εα,␈α⊂the␈α∂polynomial␈↓ 
I␈ελu␈↓ 
↑␈εα(␈↓ 
j␈ελz␈↓ 
y␈εα)␈α∂is
␈β|␈↓ ↓H␈εαessen␈α␈tially␈αt␈α␈w␈α␈o␈αFourier␈αseries,
␈βO␈↓ αC␈εα(␈↓ αO␈ελu␈↓ αy␈εα+␈↓ β%␈ελu␈↓ βN␈εαcos␈↓ ∧∧␈ελ∩␈↓ ∧≤␈εα+␈↓ ∧H␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧z␈εα+␈↓ ¬&␈ελu␈↓ ¬R␈εαcos␈↓ ελ␈ελn␈↓ ε≡␈ελ∩␈↓ ε.␈εα)␈α∩+␈↓ πα␈ελi␈↓ π∂␈εα(␈↓ π≠␈ελu␈↓ πD␈εαsin␈↓ πv␈ελ∩␈↓ λ∞␈εα+␈↓ λ:␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λl␈εα+␈↓ 	_␈ελu␈↓ 	D␈εαsin␈↓ 	v␈ελn␈↓ 
␈ελ∩␈↓ 
≤␈εα).
␈β]␈↓ αc␈ε¬0␈↓ β:␈ε¬1␈↓ ¬;␈εn␈↓ π0␈ε¬1␈↓ 	,␈εn
␈β
#␈↓ ↓H␈εαComplex␈αaddition␈αand␈αm␈α␈ultiplication␈αcan␈αobviously␈αbe␈αreduced␈αto␈αa␈αsequence␈αof
␈β
N␈↓ ↓H␈εαordinary␈αoperations␈αon␈αreal␈αn␈α␈um␈α␈bers:
␈β∞~␈↓ α0␈εαreal␈α+␈αcomplex␈↓ ¬8␈εαrequires␈↓ εz␈εα1␈αaddition
␈β∞E␈↓ α0␈εαcomplex␈α+␈αcomplex␈↓ ¬8␈εαrequires␈↓ εz␈εα2␈αadditions
␈β∞p␈↓ α0␈εαreal␈ε⊗␈αα␈εα␈αcomplex␈↓ ¬8␈εαrequires␈↓ εz␈εα2␈αm␈α␈ultiplications
␈β∂≤␈↓ α0␈εαcomplex␈ε⊗␈αα␈εα␈αcomplex␈↓ ¬8␈εαrequires␈↓ εz␈εα4␈αm␈α␈ultiplications,␈α2␈αadditions
␈β∂G␈↓ ε∩␈εαor␈↓ εz␈εα3␈αm␈α␈ultiplications,␈α5␈αadditions
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εα(See␈αex␈α␈ercise␈α41.␈α∞Subtraction␈αis␈αhere␈α
considered␈αas␈α
if␈αit␈αw␈α␈ere␈α
equivalen␈α␈t␈αto␈αaddi-
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαtion.)␈α↔Therefore␈αHorner's␈αrule␈α(2)␈αuses␈αeither␈α4␈↓ π#␈ελn␈↓ π@␈ε⊗␈␈εα␈απ2␈αm␈α␈ultiplications␈αand␈α3␈↓ 
S␈ελn␈↓ 
p␈ε⊗␈␈εα␈αε2
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαadditions␈αor␈α3␈↓ β!␈ελn␈↓ β>␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈αm␈α␈ultiplications␈αand␈α6␈↓ εT␈ελn␈↓ εr␈ε⊗␈␈εα␈απ5␈αadditions␈αto␈αevaluate␈↓ 
∩␈ελu␈↓ 
(␈εα(␈↓ 
4␈ελz␈↓ 
C␈εα)␈αwhen
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈ελz␈↓ ↓b␈εα=␈↓ α∩␈ελx␈↓ α.␈εα+␈↓ αZ␈ελi␈↓ αh␈ελy␈↓ β	␈εαis␈α
complex.␈α⊂Actually␈α
2␈↓ ¬o␈ελn␈↓ ε
␈ε⊗␈␈εα␈α	4␈α
of␈α
these␈α
additions␈α
can␈α
be␈α
sav␈α␈ed,␈α
since
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.4␈ε∞␈↓ π∧EV␈α|AL␈α␈U␈α␈A␈α}T␈α␈ION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα451
␈βα(␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈α
are␈α
m␈α␈ultiplying␈α∞by␈α
the␈α
same␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈↓ εQ␈ελz␈↓ εm␈εαeach␈α∞time.␈α⊂An␈α
alternativ␈α␈e␈α
procedure
␈βαS␈↓ ↓H␈εαfor␈αevaluating␈↓ β0␈ελu␈↓ βE␈εα(␈↓ βQ␈ελx␈↓ βl␈εα+␈↓ ∧_␈ελi␈↓ ∧&␈ελy␈↓ ∧:␈εα)␈αis␈αto␈αlet
␈ββ∀␈↓ 	⊗␈ε¬2␈↓ 	l␈ε¬2
␈ββ~␈↓ αp␈ελa␈↓ β→␈εα=␈↓ βG␈ελu␈↓ βm␈εα,␈↓ ∧E␈ελb␈↓ ∧k␈εα=␈↓ ¬→␈ελu␈↓ ¬j␈εα,␈↓ εB␈ελr␈↓ ε\␈εα=␈↓ π
␈ελx␈↓ π%␈εα+␈↓ πQ␈ελx␈↓ πd␈εα,␈↓ λ<␈ελs␈↓ λU␈εα=␈↓ 	β␈ελx␈↓ 	,␈εα+␈↓ 	X␈ελy␈↓ 	z␈εα;
␈ββ'␈↓ β␈ε¬1␈↓ β[␈εn␈↓ ∧R␈ε¬1␈↓ ¬-␈εn␈↓ ¬?␈ε→␈␈ε¬1
␈ββP␈↓ α]␈ελa␈↓ β¬␈εα=␈↓ β3␈ελb␈↓ ∧↓␈εα+␈↓ ∧-␈ελr␈↓ ∧=␈ελa␈↓ ¬ε␈εα,␈↓ ¬↑␈ελb␈↓ εα␈εα=␈↓ ε0␈ελu␈↓ π	␈ε⊗␈␈↓ π5␈ελs␈↓ πD␈ελa␈↓ λ
␈εα,␈↓ λe1␈α
<␈↓ 	/␈ελj␈↓ 	I␈ε⊗∀␈↓ 	w␈ελn␈↓ 

␈εα.␈↓ α␈εα(3)
␈ββ]␈↓ αn␈εj␈↓ β@␈εj␈↓ βN␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ ∧M␈εj␈↓ ∧[␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ ¬k␈εj␈↓ εE␈εn␈↓ εV␈ε→␈␈↓ εs␈εj␈↓ πT␈εj␈↓ πb␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈β∧⊗␈↓ ↓H␈εαThen␈α
it␈α
is␈α∞easy␈α
to␈α
pro␈α␈v␈α␈e␈α∞by␈α
induction␈α∞that␈↓ εz␈ελu␈↓ π⊂␈εα(␈↓ π≤␈ελz␈↓ π+␈εα)␈α=␈↓ πs␈ελz␈↓ λα␈ελa␈↓ λ.␈εα+␈↓ λ[␈ελb␈↓ λz␈εα.␈α⊂This␈α
scheme␈α
[␈ε∂BIT
␈β∧#␈↓ λ∪␈εn␈↓ λh␈εn
␈β∧A␈↓ ↓H␈ε∩5␈εα␈α(1965),␈α142;␈αcf.␈αalso␈αG.␈αGoertzel,␈ε∂␈αAMM␈ε∩␈α65␈εα␈α(1958),␈α34↑35]␈αrequires␈αonly␈α2␈↓ 
Q␈ελn␈↓ 
o␈εα+␈απ2
␈β∧l␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiplications␈αand␈α
2␈↓ ∧∩␈ελn␈↓ ∧/␈εα+␈αε1␈αadditions,␈αso␈αit␈αis␈αan␈αimpro␈α␈v␈α␈emen␈α␈t␈αo␈α␈v␈α␈er␈αHorner's␈α
rule
␈β¬∩␈↓ λN␈εi␈↓ λY␈ε∩
␈β¬_␈↓ ↓H␈εαwhen␈↓ α)␈ελn␈↓ αM␈ε⊗∃␈εα␈α∂3.␈α∃In␈α∂the␈α∂case␈α∂of␈α∂Fourier␈α∂series,␈α⊂when␈↓ πo␈ελz␈↓ λ
␈εα=␈↓ λ@␈ελe␈↓ λf␈εα,␈α⊂w␈α␈e␈α∂hav␈α␈e␈↓ 
⊂␈ελs␈↓ 
.␈εα=␈α∂1,␈α∂so
␈β¬C␈↓ ↓H␈εαthe␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α∞m␈α␈ultiplications␈α∞drops␈α∂to␈↓ εB␈ελn␈↓ εa␈εα+␈α
1.␈α∩The␈α∞moral␈α∂of␈α∞this␈α∞story␈α∞is␈α∞that
␈β¬n␈↓ ↓H␈εαa␈α
good␈α∞programmer␈α
does␈α∞not␈α∞mak␈α␈e␈α
indiscriminate␈α∞use␈α∞of␈α
the␈α∞built-in␈α
\complex
␈βε→␈↓ ↓H␈εαarithmetic"␈αfeatures␈αof␈αhigh-lev␈α␈el␈αprogramming␈αlanguages.
␈βεD␈↓ α␈εαConsider␈απthe␈απprocess␈αεof␈απdividing␈απthe␈απpolynomial␈↓ πg␈ελu␈↓ π⎇␈εα(␈↓ λ	␈ελx␈↓ λ≤␈εα)␈αεby␈απthe␈απpolynomial␈↓ 
K␈ελx␈↓ 
↑␈ε⊗␈␈↓ β␈ελx␈↓ "␈εα,
␈βεR␈↓ ∀␈ε¬0
␈βεp␈↓ ↓H␈εαusing␈α
Algorithm␈α
4.6.1D␈αto␈α
obtain␈↓ ¬X␈ελu␈↓ ¬m␈εα(␈↓ ¬y␈ελx␈↓ ε␈εα)␈α
=␈α
(␈↓ ε\␈ελx␈↓ εu␈ε⊗␈␈↓ π∨␈ελx␈↓ π=␈εα)␈↓ πI␈ελq␈↓ πZ␈εα(␈↓ πf␈ελx␈↓ πx␈εα)␈αε+␈↓ λ4␈ελr␈↓ λD␈εα(␈↓ λP␈ελx␈↓ λc␈εα);␈αhere␈α
deg(␈↓ 
∩␈ελr␈↓ 
"␈εα)␈α
<␈α
1,␈α
so
␈βε⎇␈↓ π/␈ε¬0
␈βπ≠␈↓ ↓H␈ελr␈↓ ↓W␈εα(␈↓ ↓c␈ελx␈↓ ↓v␈εα)␈α	is␈α	a␈α	constan␈α␈t␈α	independen␈α␈t␈αλof␈↓ ¬C␈ελx␈↓ ¬V␈εα,␈α	and␈↓ ε,␈ελu␈↓ εB␈εα(␈↓ εN␈ελx␈↓ εm␈εα)␈α
=␈α
0␈ε⊗␈α∧↓␈↓ πT␈ελq␈↓ πe␈εα(␈↓ πq␈ελx␈↓ λ⊂␈εα)␈αβ+␈↓ λG␈ελr␈↓ λa␈εα=␈↓ 	∂␈ελr␈↓ 	∨␈εα.␈αAn␈αλexamination
␈βπ(␈↓ ε←␈ε¬0␈↓ λ↓␈ε¬0
␈βπF␈↓ ↓H␈εαof␈α
this␈α∞division␈α∞process␈α∞rev␈α␈eals␈α
that␈α∞the␈α∞computation␈α∞is␈α
essen␈α␈tially␈α∞the␈α∞same␈α
as
␈βπq␈↓ ↓H␈εαHorner's␈α
rule␈αfor␈αevaluating␈↓ ¬β␈ελu␈↓ ¬_␈εα(␈↓ ¬$␈ελx␈↓ ¬C␈εα).␈αSimilarly,␈αif␈αw␈α␈e␈αdivide␈↓ λG␈ελu␈↓ λ]␈εα(␈↓ λi␈ελz␈↓ λx␈εα)␈αby␈αthe␈α
polynomial
␈βπ␈␈↓ ¬5␈ε¬0
␈βλ↔␈↓ βw␈ε¬2␈↓ ¬D␈ε¬2␈↓ ε≤␈ε¬2
␈βλ≤␈↓ ↓H␈ελz␈↓ ↓`␈ε⊗␈␈↓ α
␈ελz␈↓ α'␈εα)(␈↓ α?␈ελz␈↓ αW␈ε⊗␈␈↓ β↓␈εα∩␈↓ β∧␈ελz␈↓ β∨␈εα)␈α=␈↓ βh␈ελz␈↓ ∧∞␈ε⊗␈␈εα␈α	2␈↓ ∧M␈ελx␈↓ ∧l␈ελz␈↓ ¬∧␈εα+␈↓ ¬1␈ελx␈↓ ¬[␈εα+␈↓ ελ␈ελy␈↓ ε+␈εα,␈α∞the␈α
resulting␈α∞computation␈α
turns␈α∞out␈α
to
␈βλ*␈↓ α→␈ε¬0␈↓ β⊂␈ε¬0␈↓ ∧↑␈ε¬0
␈βλ.␈↓ ¬D␈ε¬0␈↓ ε≤␈ε¬0
␈βλH␈↓ ↓H␈εαbe␈α∂equivalen␈α␈t␈α⊂to␈α∂(3);␈α⊃w␈α␈e␈α⊂obtain␈↓ ¬L␈ελu␈↓ ¬b␈εα(␈↓ ¬n␈ελz␈↓ ¬⎇␈εα)␈α⊂=␈α⊂(␈↓ εY␈ελz␈↓ εr␈ε⊗␈␈↓ π ␈ελz␈↓ π;␈εα)(␈↓ πS␈ελz␈↓ πl␈ε⊗␈␈↓ λ_␈εα∩␈↓ λ≠␈ελz␈↓ λ5␈εα)␈↓ λA␈ελq␈↓ λQ␈εα(␈↓ λ]␈ελz␈↓ λl␈εα)␈α
+␈↓ 	1␈ελa␈↓ 	S␈ελz␈↓ 	m␈εα+␈↓ 
≠␈ελb␈↓ 
:␈εα,␈α⊂hence
␈βλU␈↓ π,␈ε¬0␈↓ λ'␈ε¬0␈↓ 	B␈εn␈↓ 
(␈εn
␈βλs␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓]␈εα(␈↓ ↓i␈ελz␈↓ α∧␈εα)␈α
=␈↓ αH␈ελa␈↓ αj␈ελz␈↓ β
␈εα+␈↓ β9␈ελb␈↓ βX␈εα.
␈β	␈↓ ↓u␈ε¬0␈↓ αX␈εn␈↓ αv␈ε¬0␈↓ βF␈εn
␈β	≡␈↓ α␈εαIn␈αgeneral,␈αif␈αw␈α␈e␈αdivide␈↓ ∧}␈ελu␈↓ ¬∀␈εα(␈↓ ¬ ␈ελx␈↓ ¬2␈εα)␈αby␈↓ ¬⎇␈ελf␈↓ ε∞␈εα(␈↓ ε~␈ελx␈↓ ε-␈εα)␈αto␈αobtain␈↓ π←␈ελu␈↓ πu␈εα(␈↓ λ↓␈ελx␈↓ λ∀␈εα)␈α
=␈↓ λX␈ελf␈↓ λi␈εα(␈↓ λu␈ελx␈↓ 	λ␈εα)␈↓ 	∀␈ελq␈↓ 	$␈εα(␈↓ 	0␈ελx␈↓ 	C␈εα)␈απ+␈↓ 
↓␈ελr␈↓ 
⊃␈εα(␈↓ 
≥␈ελx␈↓ 
0␈εα),␈αand␈αif
␈β	I␈↓ ↓H␈ελf␈↓ ↓Y␈εα(␈↓ ↓e␈ελx␈↓ α∧␈εα)␈α
=␈α
0,␈α	w␈α␈e␈αλhav␈α␈e␈↓ βp␈ελu␈↓ ∧¬␈εα(␈↓ ∧⊃␈ελx␈↓ ∧0␈εα)␈α
=␈↓ ∧t␈ελr␈↓ ¬∧␈εα(␈↓ ¬⊂␈ελx␈↓ ¬/␈εα);␈α
this␈αλobservation␈αλleads␈α	to␈αλfurther␈αλgeneralizations
␈β	W␈↓ ↓u␈ε¬0␈↓ ∧"␈ε¬0␈↓ ¬!␈ε¬0
␈β	o␈↓ πX␈ε¬2␈↓ λ$␈ε¬2
␈β	t␈↓ ↓H␈εαof␈αλHorner's␈α	rule.␈αFor␈α	example,␈α	w␈α␈e␈α	may␈αλlet␈↓ εQ␈ελf␈↓ εb␈εα(␈↓ εn␈ελx␈↓ π↓␈εα)␈α
=␈↓ πE␈ελx␈↓ πj␈ε⊗␈␈↓ λ⊃␈ελx␈↓ λ3␈εα;␈α	this␈α	yields␈α	the␈αλ\second-
␈β
ε␈↓ λ$␈ε¬0
␈β
 ␈↓ ↓H␈εαorder"␈αHorner's␈αrule
␈β
>␈↓ β?␈ε↓␈␈↓ πp␈ε↓↓
␈β
W␈↓ ¬	␈ε¬2␈↓ ε}␈ε¬2␈↓ λ↔␈ε¬2
␈β
]␈↓ αF␈ελu␈↓ α\␈εα(␈↓ αh␈ελx␈↓ α{␈εα)␈↓ β⊃␈εα=␈↓ βS␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧β␈εα(␈↓ ∧∂␈ελu␈↓ ∧w␈ελx␈↓ ¬ ␈εα+␈↓ ¬L␈ελu␈↓ ε←␈εα)␈↓ εk␈ελx␈↓ π∀␈εα+␈↓ π@␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ∧␈ελx␈↓ λ-␈εα+␈↓ λY␈ελu
␈β
k␈↓ ∧#␈ε¬2␈ε→b␈↓ ∧=␈εn␈↓ ∧O␈ε¬/2␈ε→c␈↓ ¬`␈ε¬2␈ε→␈α↓b␈↓ ¬z␈εn␈↓ ε␈ε¬/2␈ε→␈α↓c␈␈ε¬2␈↓ λn␈ε¬0
␈β
t␈↓ ∧β␈ε↓␈␈↓ 	S␈ε↓↓
␈β
␈↓ ε	␈ε¬2␈↓ π}␈ε¬2
␈β∪␈↓ βW␈εα+␈↓ ∧⊃␈εα(␈↓ ∧#␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧S␈εα(␈↓ ∧←␈ελu␈↓ ¬w␈ελx␈↓ ε ␈εα+␈↓ εL␈ελu␈↓ π←␈εα)␈↓ πk␈ελx␈↓ λ∀␈εα+␈↓ λ@␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λp␈εα)␈αλ+␈↓ 	0␈ελu␈↓ 	g␈ελx␈↓ 	z␈εα.␈↓ α␈εα(4)
␈β!␈↓ ∧s␈ε¬2␈ε→d␈↓ ¬
␈εn␈↓ ¬∨␈ε¬/2␈ε→e␈α↓␈␈ε¬␈α␈1␈↓ ε`␈ε¬2␈ε→␈α↓d␈↓ εz␈εn␈↓ π␈ε¬/2␈ε→␈α↓e␈␈ε¬3␈↓ 	E␈ε¬1
␈βY␈↓ ↓H␈εαThe␈α	second-order␈α
rule␈α
uses␈↓ ∧n␈ελn␈↓ ¬	␈εα+␈α¬1␈α
m␈α␈ultiplications␈α	and␈↓ λ∧␈ελn␈↓ λ#␈εαadditions␈α
(see␈α
exercise␈α	5);
␈β∧␈↓ ↓H␈εαso␈α
it␈α
is␈α
no␈αimpro␈α␈v␈α␈emen␈α␈t␈α
o␈α␈v␈α␈er␈α
Horner's␈α
rule␈αfrom␈α
this␈α
standpoin␈α␈t.␈αBut␈α
there␈α
are␈α
at
␈β0␈↓ ↓H␈εαleast␈αt␈α␈w␈α␈o␈αcircumstances␈α
in␈αwhich␈α
(4)␈αis␈α
useful:␈αIf␈α
w␈α␈e␈αwan␈α␈t␈α
to␈αevaluate␈α
both␈↓ 
l␈ελu␈↓ α␈εα(␈↓ ∞␈ελx␈↓  ␈εα)
␈β[␈↓ ↓H␈εαand␈↓ α∂␈ελu␈↓ α$␈εα(␈ε⊗␈␈↓ αT␈ελx␈↓ αg␈εα),␈α
this␈α
approach␈α
yields␈↓ ¬U␈ελu␈↓ ¬j␈εα(␈ε⊗␈␈↓ ε~␈ελx␈↓ ε-␈εα)␈α
with␈α
just␈α
one␈α
more␈α
addition␈αoperation;
␈β
ε␈↓ ↓H␈εαt␈α␈w␈α␈o␈α∞values␈α∂can␈α∂be␈α∞obtained␈α∂almost␈α∞as␈α∂cheaply␈α∂as␈α∞one.␈α∀Moreo␈α␈v␈α␈er,␈α⊂if␈α∞w␈α␈e␈α∂hav␈α␈e␈α∞a
␈β
1␈↓ ↓H␈εαcomputer␈αλthat␈αλallo␈α␈ws␈α	parallel␈αλcomputations,␈α	the␈α	t␈α␈w␈α␈o␈αλlines␈α	of␈αλ(4)␈α	may␈αλbe␈αλevaluated
␈β
\␈↓ ↓H␈εαindependen␈α␈tly,␈αso␈αw␈α␈e␈αsav␈α␈e␈αabout␈αhalf␈αthe␈αrunning␈αtime.
␈β∞λ␈↓ α␈εαWhen␈α⊂our␈α∂computer␈α⊂allo␈α␈ws␈α∂parallel␈α⊂computation␈α∂on␈↓ λ\␈ελk␈↓ λ⎇␈εαarithmetic␈α⊂units␈α∂at
␈β∞∪␈↓ ¬o␈ε↓␈
␈β∞3␈↓ ↓H␈εαonce,␈α⊂a␈α⊂\␈↓ α\␈ελk␈↓ αn␈εαth-order"␈α∂Horner's␈α⊂rule␈↓ ¬⎇␈εαobtained␈α∂in␈α⊂a␈α∂similar␈α⊂manner␈α⊂from␈↓ 
<␈ελf␈↓ 
N␈εα(␈↓ 
Z␈ελx␈↓ 
l␈εα)␈α⊂=
␈β∞>␈↓ αD␈ε↓↓
␈β∞Y␈↓ ↓Z␈εk␈↓ α0␈εk
␈β∞↑␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓q␈ε⊗␈␈↓ α≥␈ελx␈↓ α↑␈εαmay␈α
be␈αused.␈αAnother␈αattractiv␈α␈e␈αmethod␈αfor␈αparallel␈αcomputation␈αhas
␈β∞p␈↓ α0␈ε¬0
␈β∂	␈↓ ↓H␈εαbeen␈α
suggested␈α∞by␈α
G.␈α∞Estrin␈α∞[␈ε∂Proc.␈α
Western␈α∞Join␈α␈t␈α∞Computing␈α
Conf.␈ε∩␈α∞17␈εα␈α
(1960),
␈β∂4␈↓ ↓H␈εα33↑40];␈αfor␈↓ αz␈ελn␈↓ β→␈εα=␈α
7,␈αEstrin's␈αmethod␈αis:
␈β∂z␈↓ ↓c␈εαProcessor␈α1␈↓ βp␈εαProcessor␈α2␈↓ ¬|␈εαProcessor␈α3␈↓ λ	␈εαProcessor␈α4␈↓ 	|␈εαProcessor␈α5
␈β⊂2␈↓ 
W␈ε¬2
␈β⊂7␈↓ ↓H␈ελa␈↓ ↓q␈εα=␈↓ α∨␈ελu␈↓ αB␈ελx␈↓ α]␈εα+␈↓ β	␈ελu␈↓ ¬b␈ελc␈↓ επ␈εα=␈↓ ε5␈ελu␈↓ εX␈ελx␈↓ εs␈εα+␈↓ π∨␈ελu␈↓ 
D␈ελx
␈β⊂=␈↓ βX␈ελb␈↓ β}␈εα=␈↓ ∧,␈ελu␈↓ ∧O␈ελx␈↓ ∧i␈εα+␈↓ ¬∃␈ελu␈↓ πo␈ελd␈↓ λ_␈εα=␈↓ λF␈ελu␈↓ λi␈ελx␈↓ 	∧␈εα+␈↓ 	0␈ελu
␈β⊂E␈↓ ↓X␈ε¬1␈↓ α3␈ε¬7␈↓ β≥␈ε¬6␈↓ ¬o␈ε¬1␈↓ εJ␈ε¬3␈↓ π4␈ε¬2
␈β⊂J␈↓ βe␈ε¬1␈↓ ∧@␈ε¬5␈↓ ¬*␈ε¬4␈↓ λ␈ε¬1␈↓ λ[␈ε¬1␈↓ 	D␈ε¬0
␈β⊂d␈↓ αQ␈ε¬2␈↓ εd␈ε¬2
␈β⊂e␈↓ 
W␈ε¬4
␈β⊂j␈↓ ↓H␈ελa␈↓ ↓q␈εα=␈↓ α∨␈ελa␈↓ α>␈ελx␈↓ αg␈εα+␈↓ β∪␈ελb␈↓ ¬b␈ελc␈↓ επ␈εα=␈↓ ε5␈ελc␈↓ εQ␈ελx␈↓ εz␈εα+␈↓ π&␈ελd␈↓ 
D␈ελx
␈β⊂w␈↓ ↓X␈ε¬2␈↓ α0␈ε¬1␈↓ β ␈ε¬1␈↓ ¬o␈ε¬2␈↓ εB␈ε¬1␈↓ π7␈ε¬1
␈β⊃⊗␈↓ αQ␈ε¬4
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈ελa␈↓ ↓q␈εα=␈↓ α∨␈ελa␈↓ α>␈ελx␈↓ αg␈εα+␈↓ β∪␈ελc
␈β⊃*␈↓ ↓X␈ε¬3␈↓ α0␈ε¬2␈↓ β ␈ε¬2
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα452␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.4
␈βα&␈↓ ↓H␈εαHere␈↓ α≡␈ελa␈↓ αJ␈εα=␈↓ α|␈ελu␈↓ β⊃␈εα(␈↓ β≥␈ελx␈↓ β0␈εα).␈α∩Ho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α∂an␈α∞in␈α␈teresting␈α∞analysis␈α∞by␈α∞W.␈α∞S.␈α∞Dorn␈α∞[␈ε∂IBM␈α∞J.␈α∞Res.
␈βα4␈↓ α.␈ε¬3
␈βαQ␈↓ ↓H␈ε∂and␈α
Dev␈α␈el.␈ε∩␈α∞6␈εα␈α
(1962),␈α∞239↑245]␈α
sho␈α␈ws␈α∞that␈α
these␈α∞methods␈α
migh␈α␈t␈α∞not␈α
actually␈α
be
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαan␈αimpro␈α␈v␈α␈emen␈α␈t␈αo␈α␈v␈α␈er␈α
the␈αsecond-order␈α
rule,␈αif␈α
each␈αarithmetic␈α
unit␈αm␈α␈ust␈αaccess
␈ββ(␈↓ ↓H␈εαa␈αmemory␈αthat␈αcomm␈α␈unicates␈αwith␈αonly␈αone␈αprocessor␈αat␈αa␈αtime.
␈ββk␈↓ ↓H␈ε∩Tabulating␈α
polynomial␈αvalues.␈εα␈α⊗If␈αw␈α␈e␈αwish␈αto␈αevaluate␈α
an␈↓ λM␈ελn␈↓ λc␈εαth␈αdegree␈α
polynomial
␈ββv␈↓ π
␈ε↓␈
␈β∧⊗␈↓ ↓H␈εαat␈αman␈α␈y␈α
poin␈α␈ts␈α
in␈α
an␈αarithmetic␈α
progression␈↓ π≠␈εαi.e.,␈α
if␈α
w␈α␈e␈α
wan␈α␈t␈αto␈α
calculate␈↓ 
V␈ελu␈↓ 
k␈εα(␈↓ 
w␈ελx␈↓ ⊗␈εα),
␈β∧!␈↓ ∧M␈ε↓↓
␈β∧#␈↓ λ␈ε¬0
␈β∧A␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓]␈εα(␈↓ ↓i␈ελx␈↓ α∞␈εα+␈↓ α7␈ελh␈↓ αI␈εα),␈↓ αi␈ελu␈↓ α␈␈εα(␈↓ β␈ελx␈↓ β/␈εα+␈αε2␈↓ βk␈ελh␈↓ β⎇␈εα),␈↓ ∧≥␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧[␈εα,␈αthe␈α
process␈α
can␈α
be␈α
reduced␈α
to␈α
addition␈α
only,␈α
after␈α
the
␈β∧N␈↓ ↓z␈ε¬0␈↓ β≤␈ε¬0
␈β∧l␈↓ ↓H␈εα|rst␈αfew␈αsteps.␈αFor␈αif␈αw␈α␈e␈αstart␈αwith␈αan␈α␈y␈αsequence␈αof␈αn␈α␈um␈α␈bers␈α(␈↓ 	∀␈ελ␈↓ 	5␈εα,␈↓ 	E␈ελ␈↓ 	f␈εα,␈↓ 	v␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
&␈εα,␈↓ 
6␈ελ␈↓ 
[␈εα)␈αand
␈β∧z␈↓ 	'␈ε¬0␈↓ 	X␈ε¬1␈↓ 
I␈εn
␈β¬↔␈↓ ↓H␈εαapply␈αthe␈αtransformation
␈β¬o␈↓ αg␈ελ␈↓ β∩␈ε⊗ ␈↓ β@␈ελ␈↓ βj␈εα+␈↓ ∧⊗␈ελ␈↓ ∧7␈εα,␈↓ ∧k␈ελ␈↓ ¬⊗␈ε⊗ ␈↓ ¬D␈ελ␈↓ ¬m␈εα+␈↓ ε→␈ελ␈↓ ε:␈εα,␈↓ εn␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π≡␈εα,␈↓ πR␈ελ␈↓ λ,␈ε⊗ ␈↓ λZ␈ελ␈↓ 	2␈εα+␈↓ 	↑␈ελ␈↓ 
β␈εα,␈↓ α␈εα(5)
␈β¬|␈↓ αz␈ε¬0␈↓ βS␈ε¬0␈↓ ∧(␈ε¬1␈↓ ∧}␈ε¬1␈↓ ¬W␈ε¬1␈↓ ε,␈ε¬2␈↓ πe␈εn␈↓ πw␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λm␈εn␈↓ λ␈␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 	q␈εn
␈βεF␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈α|nd␈αthat␈↓ β∪␈ελk␈↓ β0␈εαapplications␈αof␈α(5)␈αyields
␈βπ→␈↓ βO␈ε↓∩␈↓ βw␈ε↓∪␈↓ ∧`␈ε↓∩␈↓ ¬λ␈ε↓∪␈↓ ε≤␈ε↓∩␈↓ εD␈ε↓∪
␈βπ≤␈↓ βe␈ελk␈↓ ∧v␈ελk␈↓ ε3␈ελk
␈βπ,␈↓ αu␈ε¬(␈↓ α␈␈εk␈↓ β
␈ε¬)
␈βπ3␈↓ αa␈ελ␈↓ β!␈εα=␈↓ ∧
␈ελ␈␈↓ ∧4␈εα+␈↓ ¬≡␈ελ␈␈↓ ¬p␈εα+␈↓ εZ␈ελ␈␈↓ π-␈εα+␈↓ πY␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ	␈εα,␈↓ λa0␈ε⊗␈α
∀␈↓ 	+␈ελj␈↓ 	E␈ε⊗∀␈↓ 	s␈ελn␈↓ 
	␈εα,
␈βπ@␈↓ ∧∨␈εj␈↓ ¬0␈εj␈↓ ¬=␈ε¬+1␈↓ εl␈εj␈↓ εz␈ε¬+␈α␈2
␈βπE␈↓ αu␈εj
␈βπK␈↓ βe␈εα0␈↓ ∧v␈εα1␈↓ ε2␈εα2
␈βλ≡␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α0␈ελ␈␈↓ α[␈εαdenotes␈αthe␈αinitial␈αvalue␈αof␈↓ ε
␈ελ␈↓ ε9␈εαand␈↓ ε␈␈ελ␈␈↓ π(␈εα=␈α
0␈αfor␈↓ λ,␈ελj␈↓ λF␈εα>␈↓ λt␈ελn␈↓ 	
␈εα.␈αIn␈αparticular,
␈βλ+␈↓ αB␈εj␈↓ ε ␈εj␈↓ π⊃␈εj
␈βλr␈↓ ∧⎇␈ε↓∩␈↓ ¬%␈ε↓∪␈↓ ε∂␈ε↓∩␈↓ ε7␈ε↓∪␈↓ π␈␈ε↓∩␈↓ λ+␈ε↓∪
␈βλu␈↓ ¬∪␈ελk␈↓ ε%␈ελk␈↓ λ↔␈ελk
␈β	¬␈↓ ∧#␈ε¬(␈↓ ∧-␈εk␈↓ ∧;␈ε¬)
␈β	␈↓ ∧∂␈ελ␈↓ ∧O␈εα=␈↓ ¬;␈ελ␈␈↓ ¬c␈εα+␈↓ εM␈ελ␈␈↓ εu␈εα+␈↓ π!␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πS␈εα+␈↓ λA␈ελ␈␈↓ α␈εα(6)
␈β	→␈↓ ¬M␈ε¬0␈↓ ε←␈ε¬1␈↓ λS␈εn
␈β	≡␈↓ ∧#␈ε¬0
␈β	$␈↓ ¬∪␈εα0␈↓ ε%␈εα1␈↓ λ∃␈ελn
␈β	w␈↓ ↓H␈εαis␈αλa␈αλpolynomial␈αλof␈αλdegree␈↓ ∧J␈ελn␈↓ ∧g␈εαin␈↓ ¬
␈ελk␈↓ ¬∨␈εα.␈αBy␈αλproperly␈αλchoosing␈αλthe␈↓ λ;␈ελ␈␈↓ λR␈εα's,␈α	as␈απsho␈α␈wn␈αλin␈αλex␈α␈ercise
␈β
≤␈↓ ¬↑␈ε¬(␈↓ ¬h␈εk␈↓ ¬v␈ε¬)
␈β
"␈↓ ↓H␈εα7,␈αw␈α␈e␈αcan␈αarrange␈αthings␈αso␈αthat␈↓ ¬J␈ελ␈↓ ε␈εαis␈αthe␈αdesired␈αvalue␈↓ λD␈ελu␈↓ λZ␈εα(␈↓ λf␈ελx␈↓ 	␈εα+␈↓ 	7␈ελk␈↓ 	I␈ελh␈↓ 	[␈εα),␈αfor␈αall␈↓ 
e␈ελk␈↓ 
w␈εα.␈αIn
␈β
/␈↓ λw␈ε¬0
␈β
5␈↓ ¬↑␈ε¬0
␈β
M␈↓ ↓H␈εαother␈α
w␈α␈ords,␈αeach␈αex␈α␈ecution␈α
of␈αthe␈↓ ¬j␈ελn␈↓ ε
␈εαadditions␈αin␈α
(5)␈αwill␈αproduce␈α
the␈αnext␈α
value
␈β
x␈↓ ↓H␈εαof␈αthe␈αgiv␈α␈en␈αpolynomial.
␈β$␈↓ α␈ε∂Caution:␈εα␈αRounding␈αerrors␈α
can␈αaccum␈α␈ulate␈α
after␈α
man␈α␈y␈αrepetitions␈α
of␈α(5),␈α
and
␈βJ␈↓ 
~␈ε¬0␈↓ ∨␈εj
␈βO␈↓ ↓H␈εαan␈α∂error␈α∂in␈↓ β¬␈ελ␈↓ β5␈εαproduces␈α∂a␈α∂corresponding␈α∂error␈α∂in␈α⊂the␈α∂coe}cien␈α␈ts␈α∂of␈↓ 
π␈ελx␈↓ 
(␈εα,␈↓ 
B␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
r␈εα,␈↓ ␈ελx
␈β\␈↓ β_␈εj
␈βz␈↓ ↓H␈εαin␈α∂the␈α∂polynomial␈α∂being␈α∂computed.␈α⊗Therefore␈α∂the␈α⊂values␈α∂of␈α∂the␈↓ 	X␈ελ␈↓ 	l␈εα's␈α∂should␈α∂be
␈β%␈↓ ↓H␈εα\refreshed"␈αafter␈αa␈αlarge␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αiterations.
␈βh␈↓ ↓H␈ε∩Derivativ␈α␈es␈α
and␈αchanges␈αof␈αvariable.␈εα␈α⊗Sometimes␈αw␈α␈e␈αwan␈α␈t␈αto␈α|nd␈αthe␈α
coe}cien␈α␈ts
␈β
∪␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓t␈ελu␈↓ α
␈εα(␈↓ α⊗␈ελx␈↓ α3␈εα+␈↓ α`␈ελx␈↓ α␈␈εα),␈α⊂giv␈α␈en␈α∞a␈α∂constan␈α␈t␈↓ ¬;␈ελx␈↓ ¬h␈εαand␈α∂the␈α∂coe}cien␈α␈ts␈α∞of␈↓ λV␈ελu␈↓ λl␈εα(␈↓ λx␈ελx␈↓ 	
␈εα).␈α∀For␈α∂example,␈α∂if
␈β
!␈↓ αq␈ε¬0␈↓ ¬K␈ε¬0
␈β
9␈↓ αj␈ε¬2␈↓ εp␈ε¬2
␈β
?␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓]␈εα(␈↓ ↓i␈ελx␈↓ ↓|␈εα)␈α=␈α
3␈↓ αW␈ελx␈↓ β↓␈εα+␈α	2␈↓ β@␈ελx␈↓ β\␈ε⊗␈␈εα␈α	1,␈α
then␈↓ ¬ε␈ελu␈↓ ¬≠␈εα(␈↓ ¬'␈ελx␈↓ ¬C␈ε⊗␈␈εα␈α	2)␈α=␈α
3␈↓ ε]␈ελx␈↓ ππ␈ε⊗␈␈εα␈α	10␈↓ πX␈ελx␈↓ πt␈εα+␈α	7.␈α⊂This␈α
is␈α∞analogous␈α
to␈α
a
␈β
j␈↓ ↓H␈εαradix␈αcon␈α␈v␈α␈ersion␈αproblem,␈αcon␈α␈v␈α␈erting␈αfrom␈αbase␈↓ πB␈ελx␈↓ π`␈εαto␈αbase␈↓ λ\␈ελx␈↓ λw␈εα+␈αλ2.
␈β∞∃␈↓ α␈εαBy␈αTaylor's␈αtheorem,␈αthe␈αdesired␈αcoe}cien␈α␈ts␈αare␈αgiv␈α␈en␈αby␈αthe␈αderivativ␈α␈es␈αof
␈β∞@␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓]␈εα(␈↓ ↓i␈ελx␈↓ ↓|␈εα)␈αat␈↓ α@␈ελx␈↓ α]␈εα=␈↓ β␈ελx␈↓ β*␈εα,␈αnamely
␈β∞N␈↓ β≠␈ε¬0
␈β∞x␈↓ ε
␈ε↓␈␈↓ π!␈ε↓↓␈↓ λb␈ε↓␈␈↓ 
∀␈ε↓↓
␈β∂∩␈↓ ¬¬␈ε→0␈↓ ε.␈ε→00␈↓ πB␈ε¬2␈↓ 	ε␈ε¬(␈↓ 	⊂␈εn␈↓ 	"␈ε¬)␈↓ 
5␈εn
␈β∂_␈↓ α$␈ελu␈↓ α9␈εα(␈↓ αE␈ελx␈↓ α`␈εα+␈↓ β␈ελx␈↓ β+␈εα)␈α
=␈↓ βo␈ελu␈↓ ∧¬␈εα(␈↓ ∧⊃␈ελx␈↓ ∧0␈εα)␈αλ+␈↓ ∧p␈ελu␈↓ ¬␈εα(␈↓ ¬_␈ελx␈↓ ¬7␈εα)␈↓ ¬C␈ελx␈↓ ¬↑␈εα+␈↓ ε_␈ελu␈↓ ε<␈εα(␈↓ εH␈ελx␈↓ εg␈εα)/2!␈↓ π/␈ελx␈↓ πX␈εα+␈↓ λ∧␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ6␈εα+␈↓ λp␈ελu␈↓ 	+␈εα(␈↓ 	7␈ελx␈↓ 	V␈εα)/␈↓ 	t␈ελn␈↓ 

␈εα!␈↓ 
"␈ελx␈↓ 
G␈εα,␈↓ α␈εα(7)
␈β∂%␈↓ β≥␈ε¬0␈↓ ∧!␈ε¬0␈↓ ¬)␈ε¬0␈↓ εY␈ε¬0␈↓ 	H␈ε¬0
␈β∂o␈↓ ↓H␈εαso␈αthe␈αproblem␈αis␈αequivalen␈α␈t␈αto␈αevaluating␈↓ εk␈ελu␈↓ π␈εα(␈↓ π␈ελx␈↓ π∨␈εα)␈αand␈αall␈αits␈αderivativ␈α␈es.
␈β⊂~␈↓ α␈εαIf␈α
w␈α␈e␈αwrite␈↓ βC␈ελu␈↓ βY␈εα(␈↓ βe␈ελx␈↓ βw␈εα)␈α=␈↓ ∧=␈ελq␈↓ ∧M␈εα(␈↓ ∧Y␈ελx␈↓ ∧l␈εα)(␈↓ ¬∧␈ελx␈↓ ¬∨␈ε⊗␈␈↓ ¬L␈ελx␈↓ ¬k␈εα)␈αλ+␈↓ ε,␈ελr␈↓ ε;␈εα,␈α
then␈↓ π%␈ελu␈↓ π:␈εα(␈↓ πF␈ελx␈↓ πb␈εα+␈↓ λ∞␈ελx␈↓ λ-␈εα)␈α=␈↓ λs␈ελq␈↓ 	β␈εα(␈↓ 	∂␈ελx␈↓ 	*␈εα+␈↓ 	W␈ελx␈↓ 	v␈εα)␈↓ 
α␈ελx␈↓ 
≥␈εα+␈↓ 
I␈ελr␈↓ 
Y␈εα;␈α
so␈↓ ≥␈ελr
␈β⊂(␈↓ ¬\␈ε¬0␈↓ λ∨␈ε¬0␈↓ 	g␈ε¬0
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαis␈α
the␈α
constan␈α␈t␈α
coe}cien␈α␈t␈α∞of␈↓ ¬∩␈ελu␈↓ ¬(␈εα(␈↓ ¬4␈ελx␈↓ ¬O␈εα+␈↓ ¬|␈ελx␈↓ ε≠␈εα),␈α∞and␈α
the␈α
problem␈α∞reduces␈α
to␈α
|nding␈α
the
␈β⊂S␈↓ ε
␈ε¬0
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαcoe}cien␈α␈ts␈α
of␈↓ β$␈ελq␈↓ β4␈εα(␈↓ β@␈ελx␈↓ βY␈εα+␈↓ ∧β␈ελx␈↓ ∧"␈εα),␈αwhere␈↓ ¬*␈ελq␈↓ ¬:␈εα(␈↓ ¬F␈ελx␈↓ ¬X␈εα)␈αis␈αa␈α
kno␈α␈wn␈αpolynomial␈αof␈α
degree␈↓ 	p␈ελn␈↓ 
␈ε⊗␈␈εα␈αε1.␈αTh␈α␈us
␈β⊂}␈↓ ∧∀␈ε¬0
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαthe␈αfollo␈α␈wing␈αalgorithm␈αis␈αindicated:
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.4␈ε∞␈↓ π∧EV␈α|AL␈α␈U␈α␈A␈α}T␈α␈ION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα453
␈βα%␈↓ ↓J␈ε∩H1.␈↓ α␈εαSet␈↓ αJ␈ελv␈↓ αq␈ε⊗ ␈↓ β∨␈ελu␈↓ βM␈εαfor␈α0␈ε⊗␈α
∀␈↓ ∧O␈ελj␈↓ ∧i␈ε⊗∀␈↓ ¬↔␈ελn␈↓ ¬-␈εα.
␈βα2␈↓ αZ␈εj␈↓ β4␈εj
␈βα`␈↓ ↓J␈ε∩H2.␈↓ α␈εαFor␈↓ αO␈ελk␈↓ αk␈εα=␈α
0,␈α1,␈↓ βg␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧↔␈εα,␈↓ ∧,␈ελn␈↓ ∧I␈ε⊗␈␈εα␈αε1␈α(in␈αthis␈αorder),␈αset␈↓ π5␈ελv␈↓ π\␈ε⊗ ␈↓ λ
␈ελv␈↓ λ-␈εα+␈↓ λX␈ελx␈↓ λw␈ελv␈↓ 	J␈εαfor␈↓ 
↓␈ελj␈↓ 
≠␈εα=␈↓ 
I␈ελn␈↓ 
f␈ε⊗␈␈εα␈αε1,
␈βαm␈↓ πD␈εj␈↓ λ→␈εj␈↓ λh␈ε¬0␈↓ 	π␈εj␈↓ 	∀␈ε¬+1
␈ββ␈↓ α␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ α<␈εα,␈↓ αR␈ελk␈↓ αl␈εα+␈αλ1,␈↓ β@␈ελk␈↓ β↑␈εα(in␈αthis␈αorder).
␈ββ⊂␈↓ ¬i␈∧β⊂¬i≠∂
␈ββO␈↓ λ&␈εn
␈ββT␈↓ ↓H␈εαAt␈αthe␈α
conclusion␈αof␈α
step␈αH2␈α
w␈α␈e␈αhav␈α␈e␈↓ ε$␈ελu␈↓ ε9␈εα(␈↓ εE␈ελx␈↓ ε`␈εα+␈↓ π
␈ελx␈↓ π,␈εα)␈α=␈↓ πq␈ελv␈↓ λ∪␈ελx␈↓ λ@␈εα+␈↓ λl␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	∨␈εα+␈↓ 	K␈ελv␈↓ 	i␈ελx␈↓ 
∧␈εα+␈↓ 
1␈ελv␈↓ 
O␈εα.␈α
This
␈ββa␈↓ π≥␈ε¬0␈↓ λ↓␈εn␈↓ 	[␈ε¬1␈↓ 
A␈ε¬0
␈ββ␈␈↓ ↓H␈εαprocedure␈αwas␈αa␈αprincipal␈αpart␈αof␈αHorner's␈αroot|nding␈αmethod,␈αand␈αwhen␈↓ 
Q␈ελk␈↓ 
l␈εα=␈α
0
␈β∧*␈↓ ↓H␈εαit␈αis␈αexactly␈αrule␈α(2)␈αfor␈αevaluating␈↓ ¬t␈ελu␈↓ ε	␈εα(␈↓ ε∃␈ελx␈↓ ε4␈εα).
␈β∧8␈↓ ε&␈ε¬0
␈β∧Q␈↓ ¬8␈ε¬2␈↓ 	∂␈ε¬2
␈β∧W␈↓ α␈εαHorner's␈απmethod␈αλrequires␈απ(␈↓ ¬"␈ελn␈↓ ¬H␈εα+␈↓ ¬n␈ελn␈↓ ε∧␈εα)/2␈απm␈α␈ultiplications␈αλand␈απ(␈↓ λy␈ελn␈↓ 	∨␈εα+␈↓ 	E␈ελn␈↓ 	[␈εα)/2␈απadditions;
␈β¬α␈↓ ↓H␈εαbut␈α
notice␈αthat␈αif␈↓ β←␈ελx␈↓ ∧λ␈εα=␈α
1␈αw␈α␈e␈αav␈α␈oid␈αall␈α
of␈αthe␈αm␈α␈ultiplications.␈αFortunately␈αw␈α␈e␈α
can
␈β¬∂␈↓ βp␈ε¬0
␈β¬-␈↓ ↓H␈εαreduce␈α
the␈α
general␈αproblem␈α
to␈α
the␈αcase␈↓ ε*␈ελx␈↓ εS␈εα=␈α
1␈α
by␈αin␈α␈troducing␈α
comparativ␈α␈ely␈α
few
␈β¬:␈↓ ε;␈ε¬0
␈β¬X␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiplications␈αand␈αdivisions:
␈βε≤␈↓ επ␈ε¬2␈↓ π∧␈εn
␈βε!␈↓ ↓P␈ε∩S1.␈↓ α␈εαCompute␈αand␈αstore␈αthe␈αvalues␈↓ ¬t␈ελx␈↓ ε∃␈εα,␈↓ ε+␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε[␈εα,␈↓ εq␈ελx␈↓ π⊗␈εα.
␈βε3␈↓ επ␈ε¬0␈↓ π∧␈ε¬0
␈βε<␈↓ ¬q␈ε↓␈␈↓ λ1␈ε↓↓
␈βεV␈↓ βT␈εj
␈βε\␈↓ ↓P␈ε∩S2.␈↓ α␈εαSet␈↓ αJ␈ελv␈↓ αq␈ε⊗ ␈↓ β∨␈ελu␈↓ βA␈ελx␈↓ βn␈εαfor␈α0␈ε⊗␈α
∀␈↓ ∧p␈ελj␈↓ ¬
␈ε⊗∀␈↓ ¬8␈ελn␈↓ ¬N␈εα.␈↓ ¬␈␈εαNo␈α␈w␈↓ εR␈ελv␈↓ εe␈εα(␈↓ εq␈ελx␈↓ π∧␈εα)␈α
=␈↓ πH␈ελu␈↓ π]␈εα(␈↓ πi␈ελx␈↓ λλ␈ελx␈↓ λ≠␈εα).
␈βεi␈↓ αZ␈εj␈↓ β4␈εj␈↓ πz␈ε¬0
␈βεn␈↓ βT␈ε¬0
␈βεw␈↓ ε%␈ε↓␈␈↓ λ∞␈ε↓␈␈↓ 	$␈ε↓↓␈↓ ≡␈ε↓↓
␈βπ⊗␈↓ ↓P␈ε∩S3.␈↓ α␈εαPerform␈α	step␈α	H2␈α	but␈α	with␈↓ ¬∨␈ελx␈↓ ¬H␈εα=␈α
1.␈↓ ε3␈εαNo␈α␈w␈↓ πβ␈ελv␈↓ π∃␈εα(␈↓ π!␈ελx␈↓ π4␈εα)␈α
=␈↓ πx␈ελu␈↓ λ≤␈ελx␈↓ λ;␈εα(␈↓ λG␈ελx␈↓ λ↑␈εα+␈α∧1)␈↓ 	<␈εα=␈↓ 	j␈ελu␈↓ 
␈εα(␈↓ 
␈ελx␈↓ 
*␈ελx␈↓ 
A␈εα+␈↓ 
i␈ελx␈↓ λ␈εα).
␈βπ$␈↓ ¬0␈ε¬0␈↓ λ,␈ε¬0␈↓ 
≤␈ε¬0␈↓ 
z␈ε¬0
␈βπ5␈↓ ¬}␈ε↓␈␈↓ 
_␈ε↓↓
␈βπP␈↓ βa␈εj
␈βπU␈↓ ↓P␈ε∩S4.␈↓ α␈εαSet␈↓ αJ␈ελv␈↓ αq␈ε⊗ ␈↓ β∨␈ελv␈↓ β<␈εα/␈↓ βN␈ελx␈↓ β{␈εαfor␈α0␈α
<␈↓ ∧⎇␈ελj␈↓ ¬_␈ε⊗∀␈↓ ¬F␈ελn␈↓ ¬[␈εα.␈↓ ε␈εαNo␈α␈w␈↓ ε←␈ελv␈↓ εr␈εα(␈↓ ε}␈ελx␈↓ π⊃␈εα)␈α
=␈↓ πU␈ελu␈↓ πk␈εα(␈↓ πw␈ελx␈↓ λ⊃␈εα+␈↓ λ=␈ελx␈↓ λ\␈εα)␈αas␈αdesired.
␈βπZ␈↓ 
N␈∧πZ
N≠∂
␈βπb␈↓ αZ␈εj␈↓ β/␈εj␈↓ λN␈ε¬0
␈βπg␈↓ βa␈ε¬0
␈βλ≡␈↓ ↓H␈εαThis␈αidea,␈αdue␈αto␈αM.␈αShaw␈αand␈αJ.␈αF.␈αTraub␈α[␈ε∂JA␈α␈CM␈ε∩␈α21␈εα␈α(1974),␈α161↑167],␈αhas␈αthe
␈βλI␈↓ ↓H␈εαsame␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αadditions␈αand␈αthe␈αsame␈αn␈α␈umerical␈αstability␈αas␈αHorner's␈αmethod,
␈βλq␈↓ 
␈ε¬1
␈βλt␈↓ ↓H␈εαbut␈αit␈αneeds␈αonly␈α2␈↓ βn␈ελn␈↓ ∧␈ε⊗␈␈εα␈απ1␈αm␈α␈ultiplications␈αand␈↓ π␈ελn␈↓ π)␈ε⊗␈␈εα␈απ1␈αdivisions.␈αAbout␈↓ 
∩␈ελn␈↓ 
3␈εαof␈αthese
␈β	¬␈↓ 
␈∧	¬
α∂
␈β	π␈↓ 
␈ε¬2
␈β	 ␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiplications␈αcan,␈αin␈αturn,␈αbe␈αav␈α␈oided␈α(see␈αex␈α␈ercise␈α6).
␈β	L␈↓ α␈εαIf␈α∞w␈α␈e␈α∞wan␈α␈t␈α∞only␈α∞the␈α∞|rst␈α∞few␈α∞or␈α
the␈α∞last␈α∞few␈α∞derivativ␈α␈es,␈α∂Shaw␈α∞and␈α
Traub
␈β	w␈↓ ↓H␈εαhav␈α␈e␈αobserv␈α␈ed␈αthat␈αthere␈αare␈αfurther␈αways␈αto␈αsav␈α␈e␈αtime.␈αFor␈αexample,␈αif␈αw␈α␈e␈αjust
␈β
≥␈↓ ¬
␈ε→0
␈β
"␈↓ ↓H␈εαwan␈α␈t␈α
to␈α∞evaluate␈↓ βa␈ελu␈↓ βw␈εα(␈↓ ∧β␈ελx␈↓ ∧⊗␈εα)␈α∞and␈↓ ∧w␈ελu␈↓ ¬∀␈εα(␈↓ ¬ ␈ελx␈↓ ¬3␈εα),␈α∞w␈α␈e␈α
can␈α∞do␈α∞the␈α
job␈α∞with␈α
2␈↓ λi␈ελn␈↓ 	λ␈ε⊗␈␈εα␈α	1␈α∞additions␈α
and
␈β
G␈↓ β≠␈∧
Gβ≠α(
␈β
H␈↓ αw␈ε⊗p
␈β
N␈↓ ↓H␈εαabout␈↓ α.␈ελn␈↓ αK␈εα+␈↓ β≠␈εα2␈↓ β-␈ελn␈↓ βO␈εαm␈α␈ultiplications/divisions␈αas␈αfollo␈α␈ws:
␈β
u␈↓ 	X␈ε↓p
␈β⊂␈↓ 	|␈∧⊂	|α:
␈β⊃␈↓ επ␈ε¬2␈↓ ε>␈ε¬3␈↓ π;␈εt␈↓ πn␈ε¬2␈↓ π⎇␈εt
␈β↔␈↓ ↓H␈ε∩D1.␈↓ α␈εαCompute␈αand␈αstore␈αthe␈αvalues␈↓ ¬t␈ελx␈↓ ε∃␈εα,␈↓ ε+␈ελx␈↓ εL␈εα,␈↓ εb␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π∩␈εα,␈↓ π(␈ελx␈↓ πF␈εα,␈↓ π\␈ελx␈↓ λπ␈εα,␈αwhere␈↓ 	¬␈ελt␈↓ 	≤␈εα=␈ε⊗␈α
d␈↓ 	|␈ελn␈↓ 
∩␈εα/2␈↓ 
<␈ε⊗e␈εα.
␈βL␈↓ βY␈εf␈↓ βg␈ε¬(␈↓ βq␈εj␈↓ β}␈ε¬)
␈βQ␈↓ ↓H␈ε∩D2.␈↓ α␈εαSet␈↓ αK␈ελv␈↓ αu␈ε⊗ ␈↓ β%␈ελu␈↓ βG␈ελx␈↓ ∧∃␈εαfor␈α
0␈ε⊗␈α
∀␈↓ ¬≥␈ελj␈↓ ¬9␈ε⊗∀␈↓ ¬j␈ελn␈↓ ¬␈␈εα,␈α∞where␈↓ π␈ελf␈↓ π⊃␈εα(␈↓ π≥␈ελn␈↓ π3␈εα)␈α=␈↓ π{␈ελt␈↓ λ	␈εα,␈↓ λ ␈ελf␈↓ λ1␈εα(␈↓ λ=␈ελn␈↓ λ\␈ε⊗␈␈εα␈α	1␈ε⊗␈α	␈␈↓ 	Q␈ελk␈↓ 	b␈εα)␈α
=␈↓ 
+␈ελt␈↓ 
A␈ε⊗␈␈εα␈α	1␈ε⊗␈αλ␈
␈β]␈↓ ¬p␈ε↓␈␈↓ ≡␈ε↓↓
␈β←␈↓ α[␈εj␈↓ β9␈εj
␈β|␈↓ α␈εα(␈↓ α_␈ελk␈↓ α0␈εαmod␈↓ αz␈εα2␈↓ β␈ελt␈↓ β→␈εα)␈α
for␈α0␈ε⊗␈α
∀␈↓ ∧0␈ελk␈↓ ∧K␈ε⊗∀␈↓ ∧y␈ελn␈↓ ¬∃␈ε⊗␈␈εα␈αε1.␈↓ ¬}␈εαSuppress␈αthe␈α
m␈α␈ultiplication␈α
when␈↓ 
⊃␈ελf␈↓ 
"␈εα(␈↓ 
.␈ελj␈↓ 
>␈εα)␈α
=␈α
0.
␈β7␈↓ ∧>␈εg␈↓ ∧L␈ε¬(␈↓ ∧U␈εj␈↓ ∧c␈ε¬)
␈β<␈↓ ↓H␈ε∩D3.␈↓ α␈εαSet␈↓ αF␈ελv␈↓ αm␈ε⊗ ␈↓ β≠␈ελv␈↓ β<␈εα+␈↓ βc␈ελv␈↓ ∧+␈ελx␈↓ ∧t␈εαfor␈↓ ¬)␈ελj␈↓ ¬C␈εα=␈↓ ¬q␈ελn␈↓ ε
␈ε⊗␈␈εα␈αβ1,␈↓ εV␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πε␈εα,␈α	1,␈α	0;␈α
here␈↓ λ.␈ελg␈↓ λ?␈εα(␈↓ λK␈ελj␈↓ λ\␈εα)␈α
=␈α
2␈↓ 	2␈ελt␈↓ 	G␈εαwhen␈↓ 
!␈ελn␈↓ 
:␈ε⊗␈␈↓ 
a␈ελj␈↓ 
z␈εαis␈αλa
␈βI␈↓ αV␈εj␈↓ β+␈εj␈↓ βr␈εj␈↓ ∧␈ε¬+␈α␈1
␈βb␈↓ 	'␈εg␈↓ 	5␈ε¬(␈↓ 	?␈εj␈↓ 	L␈ε¬)
␈βg␈↓ α␈εαm␈α␈ultiple␈αεof␈απ2␈↓ βJ␈ελt␈↓ βW␈εα,␈απotherwise␈↓ ¬α␈ελg␈↓ ¬∀␈εα(␈↓ ¬ ␈ελj␈↓ ¬0␈εα)␈α
=␈α
0␈αεand␈απthe␈αεm␈α␈ultiplication␈αεby␈↓ 	∃␈ελx␈↓ 	\␈εαis␈αεsuppressed.
␈β
≥␈↓ ∧Q␈εg␈↓ ∧←␈ε¬(␈↓ ∧i␈εj␈↓ ∧v␈ε¬)␈↓ 	:␈εf␈↓ 	H␈ε¬(␈α␈0␈α↓)
␈β
"␈↓ ↓H␈ε∩D4.␈↓ α␈εαSet␈↓ αK␈ελv␈↓ αt␈ε⊗ ␈↓ β$␈ελv␈↓ βJ␈εα+␈↓ βv␈ελv␈↓ ∧?␈ελx␈↓ ¬
␈εαfor␈↓ ¬F␈ελj␈↓ ¬b␈εα=␈↓ ε∩␈ελn␈↓ ε0␈ε⊗␈␈εα␈α	1,␈↓ ππ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π7␈εα,␈α
2,␈α
1.␈α⊂No␈α␈w␈↓ λw␈ελv␈↓ 	∃␈εα/␈↓ 	'␈ελx␈↓ 	u␈εα=␈↓ 
%␈ελu␈↓ 
;␈εα(␈↓ 
G␈ελx␈↓ 
Y␈εα)␈α
and
␈β
/␈↓ α[␈εj␈↓ β4␈εj␈↓ ∧ε␈εj␈↓ ∧∪␈ε¬+1␈↓ 	ε␈ε¬0
␈β
H␈↓ αO␈εf␈↓ α]␈ε¬(1)␈↓ βL␈ε→0
␈β
M␈↓ α␈ελv␈↓ α*␈εα/␈↓ α<␈ελx␈↓ β	␈εα=␈↓ β7␈ελu␈↓ βS␈εα(␈↓ β←␈ελx␈↓ βr␈εα).
␈β
R␈↓ ∧0␈∧
R∧0≠∂
␈β
[␈↓ α≤␈ε¬1
␈β∞⊗␈↓ ↓H␈ε∩Adaptation␈α
of␈α∞coe}cien␈α␈ts.␈εα␈α≥Let␈α∞us␈α∞no␈α␈w␈α
return␈α∞to␈α∞our␈α∞original␈α∞problem␈α∞of␈α
eval-
␈β∞A␈↓ ↓H␈εαuating␈αa␈αgiv␈α␈en␈αpolynomial␈↓ ∧l␈ελu␈↓ ¬α␈εα(␈↓ ¬∞␈ελx␈↓ ¬!␈εα)␈αas␈αrapidly␈αas␈αpossible,␈αfor␈α\random"␈αvalues␈αof␈↓ ⊂␈ελx␈↓ "␈εα.
␈β∞l␈↓ ↓H␈εαThe␈α
importance␈α
of␈α
this␈αproblem␈α
is␈α
due␈α
partly␈α
to␈αthe␈α
fact␈α
that␈α
standard␈α
functions
␈β∂∪␈↓ ∧↔␈εx
␈β∂_␈↓ ↓H␈εαsuch␈α∞as␈↓ αJ␈εαsin␈↓ α|␈ελx␈↓ β∂␈εα,␈↓ β'␈εαcos␈↓ β]␈ελx␈↓ βp␈εα,␈↓ ∧	␈ελe␈↓ ∧'␈εα,␈α∞etc.,␈α∂are␈α∞usually␈α∞computed␈α∞by␈α∞subroutines␈α∞that␈α∞rely␈α∞on
␈β∂C␈↓ ↓H␈εαthe␈αevaluation␈αof␈αcertain␈α
polynomials;␈αsuch␈αpolynomials␈α
are␈αevaluated␈αso␈αoften,
␈β∂n␈↓ ↓H␈εαit␈αis␈αdesirable␈αto␈α|nd␈αthe␈αfastest␈αpossible␈αway␈αto␈αdo␈αthe␈αcomputation.
␈β⊂~␈↓ α␈εαArbitrary␈α
polynomials␈α
of␈α
degree␈α
|v␈α␈e␈α
and␈α
higher␈α
can␈α
be␈α
evaluated␈α
with␈α
few␈α␈er
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαoperations␈αthan␈αHorner's␈αrule␈αrequires,␈αif␈αw␈α␈e␈α|rst␈α\adapt"␈αor␈α\precondition"␈αthe
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαcoe}cien␈α␈ts␈↓ α⎇␈ελu␈↓ β ␈εα,␈↓ β6␈ελu␈↓ βY␈εα,␈↓ βo␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧∨␈εα,␈↓ ∧5␈ελu␈↓ ∧[␈εα.␈αThis␈αadaptation␈αprocess␈αmigh␈α␈t␈αin␈α␈v␈α␈olv␈α␈e␈αa␈αlot␈αof␈αw␈α␈ork,
␈β⊂}␈↓ β⊃␈ε¬0␈↓ βJ␈ε¬1␈↓ ∧I␈εn
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαas␈αexplained␈αbelo␈α␈w;␈αbut␈αthe␈αpreliminary␈αcalculation␈αis␈αnot␈αwasted,␈αsince␈αit␈αm␈α␈ust
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα454␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.4
␈βα(␈↓ ↓H␈εαbe␈α
done␈αonly␈α
once␈α
while␈α
the␈α
polynomial␈α
will␈α
be␈α
evaluated␈α
man␈α␈y␈α
times.␈α∂For␈αex-
␈βαS␈↓ ↓H␈εαamples␈α∞of␈α∞\adapted"␈α∞polynomials␈α∞for␈α∞standard␈α∞functions,␈α∂see␈α∞V.␈α∞J.␈α∞Pan,␈ε∂␈α∞USSR
␈βα}␈↓ ↓H␈ε∂Computational␈αMath.␈αand␈αMath.␈αPh␈α␈ysics␈ε∩␈α2␈εα␈α(1963),␈α137↑146.
␈ββ*␈↓ α␈εαThe␈αsimplest␈αcase␈αfor␈αwhich␈αadaptation␈αof␈αcoe}cien␈α␈ts␈αis␈αhelpful␈αoccurs␈αfor␈αa
␈ββU␈↓ ↓H␈εαfourth␈αdegree␈αpolynomial:
␈β∧~␈↓ ∧J␈ε¬4␈↓ ¬B␈ε¬3␈↓ ε:␈ε¬2
␈β∧ ␈↓ β≤␈ελu␈↓ β1␈εα(␈↓ β=␈ελx␈↓ βP␈εα)␈α
=␈↓ ∧∀␈ελu␈↓ ∧7␈ελx␈↓ ∧`␈εα+␈↓ ¬␈ελu␈↓ ¬/␈ελx␈↓ ¬X␈εα+␈↓ ε∧␈ελu␈↓ ε'␈ελx␈↓ εQ␈εα+␈↓ ε⎇␈ελu␈↓ π ␈ελx␈↓ π:␈εα+␈↓ πf␈ελu␈↓ λ	␈εα,␈↓ λa␈ελu␈↓ 	∞␈ε⊗≤␈εα␈α
0.␈↓ α␈εα(8)
␈β∧-␈↓ ∧)␈ε¬4␈↓ ¬!␈ε¬3␈↓ ε→␈ε¬2␈↓ π⊃␈ε¬1␈↓ π{␈ε¬0␈↓ λv␈ε¬4
␈β∧k␈↓ ↓H␈εαThis␈αequation␈αcan␈αbe␈αrewritten␈αin␈αa␈αform␈αoriginally␈αsuggested␈αby␈αT.␈αS.␈αMotzkin,
␈β¬⊗␈↓ π␈ε↓␈␈↓ 	?␈ε↓↓
␈β¬6␈↓ α|␈ελy␈↓ β~␈εα=␈α
(␈↓ βT␈ελx␈↓ βn␈εα+␈↓ ∧~␈ελ␈↓ ∧<␈εα)␈↓ ∧H␈ελx␈↓ ∧b␈εα+␈↓ ¬∞␈ελ␈↓ ¬0␈εα,␈↓ ελ␈ελu␈↓ ε≥␈εα(␈↓ ε)␈ελx␈↓ ε<␈εα)␈α
=␈↓ π∞␈εα(␈↓ π~␈ελy␈↓ π6␈εα+␈↓ πb␈ελx␈↓ π⎇␈εα+␈↓ λ)␈ελ␈↓ λJ␈εα)␈↓ λV␈ελy␈↓ λr␈εα+␈↓ 	≡␈ελ␈↓ 	M␈ελ␈↓ 	o␈εα,␈↓ α␈εα(9)
␈β¬C␈↓ ∧-␈ε¬0␈↓ ¬!␈ε¬1␈↓ λ<␈ε¬2␈↓ 	1␈ε¬3␈↓ 	`␈ε¬4
␈βε↓␈↓ ↓H␈εαfor␈α⊂suitably␈α⊂\adapted"␈α⊂coe}cien␈α␈ts␈↓ ¬⎇␈ελ␈↓ ε≡␈εα,␈↓ ε9␈ελ␈↓ εZ␈εα,␈↓ εu␈ελ␈↓ π⊗␈εα,␈↓ π1␈ελ␈↓ πR␈εα,␈↓ πm␈ελ␈↓ λ∞␈εα.␈α_The␈α⊂computation␈α⊂in␈α⊂(9)
␈βε∞␈↓ ε∂␈ε¬0␈↓ εL␈ε¬1␈↓ πλ␈ε¬2␈↓ πD␈ε¬3␈↓ λ␈ε¬4
␈βε,␈↓ ↓H␈εαin␈α␈v␈α␈olv␈α␈es␈αλthree␈α	m␈α␈ultiplications,␈α
|v␈α␈e␈α	additions,␈α	and␈α	(on␈α	a␈α	one-accum␈α␈ulator␈αλmachine
␈βεW␈↓ ↓H␈εαlik␈α␈e␈ε∃␈α
MI␈α␈X␈εα)␈αone␈α
instruction␈α
to␈αstore␈α
the␈αpartial␈α
result␈↓ πd␈ελy␈↓ λβ␈εαin␈α␈to␈α
temp␈αstorage.␈αBy␈α
com-
␈βπα␈↓ ↓H␈εαparison␈α	with␈α
Horner's␈α
rule,␈α
w␈α␈e␈α	hav␈α␈e␈α
traded␈α
a␈α	m␈α␈ultiplication␈α
for␈α
an␈α	addition␈α
and␈α	a
␈βπ.␈↓ ↓H␈εαpossible␈α
storage␈α
command.␈αEv␈α␈en␈α
this␈α
comparativ␈α␈ely␈α
small␈αsavings␈α
is␈α
w␈α␈orth␈α
while
␈βπY␈↓ ↓H␈εαif␈αλthe␈αλpolynomial␈αλis␈αλto␈αλbe␈αλevaluated␈αλoften.␈α⊂(Of␈αλcouse,␈α	if␈αλthe␈αλtime␈αλfor␈αλm␈α␈ultiplication
␈βλ∧␈↓ ↓H␈εαis␈α∂comparable␈α∂to␈α∂the␈α∂time␈α∂for␈α∂addition,␈α⊂(9)␈α∂giv␈α␈es␈α∂no␈α∂impro␈α␈v␈α␈emen␈α␈t;␈α⊂w␈α␈e␈α∂will␈α∂see
␈βλ/␈↓ ↓H␈εαthat␈α
a␈α
general␈α
fourth-degree␈α
polynomial␈αalways␈α
requires␈α
at␈α
least␈α
eigh␈α␈t␈α
arithmetic
␈βλZ␈↓ ↓H␈εαoperations␈αfor␈αits␈αevaluation.)
␈β	ε␈↓ α␈εαBy␈α
comparing␈αcoe}cien␈α␈ts␈α
in␈α
(8)␈αand␈α
(9),␈α
w␈α␈e␈αobtain␈α
form␈α␈ulas␈α
for␈αcomputing
␈β	1␈↓ ↓H␈εαthe␈↓ αε␈ελ␈↓ α&␈εα's␈αin␈αterms␈αof␈αthe␈↓ ∧@␈ελu␈↓ ∧c␈εα's:
␈β	>␈↓ α_␈εj␈↓ ∧T␈εk
␈β	x␈↓ α%␈ε¬1
␈β	{␈↓ ↓H␈ελ␈↓ ↓s␈εα=␈↓ α7␈εα(␈↓ αC␈ελu␈↓ αf␈εα/␈↓ αx␈ελu␈↓ β#␈ε⊗␈␈εα␈αλ1),␈↓ ∧E␈ελ␈␈↓ ∧e␈εα=␈↓ ¬∪␈ελu␈↓ ¬6␈εα/␈↓ ¬H␈ελu␈↓ ¬s␈ε⊗␈␈↓ ε∨␈ελ␈↓ εA␈εα(␈↓ εM␈ελ␈↓ εv␈εα+␈αλ1),␈↓ λ_␈ελ␈↓ λC␈εα=␈↓ λq␈ελu␈↓ 	∀␈εα/␈↓ 	&␈ελu␈↓ 	Q␈ε⊗␈␈↓ 	⎇␈ελ␈↓ 
≡␈ελ␈␈↓ 
4␈εα,
␈β
	␈↓ ↓Z␈ε¬0␈↓ αX␈ε¬3␈↓ β
␈ε¬4␈↓ ¬(␈ε¬2␈↓ ¬]␈ε¬4␈↓ ε2␈ε¬0␈↓ ε←␈ε¬0␈↓ λ*␈ε¬1␈↓ 	¬␈ε¬1␈↓ 	:␈ε¬4␈↓ 
⊂␈ε¬0
␈β
␈↓ α%␈∧
α%α∂
␈β
∞␈↓ α%␈ε¬2
␈β
1␈↓ α2␈ελ␈↓ α]␈εα=␈↓ β␈ελ␈␈↓ β*␈ε⊗␈␈εα␈αλ2␈↓ βh␈ελ␈↓ ∧	␈εα,␈↓ ∧a␈ελ␈↓ ¬␈εα=␈↓ ¬:␈ελu␈↓ ¬]␈εα/␈↓ ¬o␈ελu␈↓ ε~␈ε⊗␈␈↓ εF␈ελ␈↓ εg␈εα(␈↓ εs␈ελ␈↓ π≤␈εα+␈↓ πH␈ελ␈↓ πj␈εα),␈↓ λN␈ελ␈↓ λy␈εα=␈↓ 	'␈ελu␈↓ 	J␈εα.␈↓ 
p␈εα(10)
␈β
?␈↓ αE␈ε¬2␈↓ βz␈ε¬1␈↓ ∧t␈ε¬3␈↓ ¬O␈ε¬0␈↓ ε∧␈ε¬4␈↓ εY␈ε¬1␈↓ πε␈ε¬1␈↓ π[␈ε¬2␈↓ λ`␈ε¬4␈↓ 	;␈ε¬4
␈β
|␈↓ ↓H␈εαA␈απsimilar␈αλscheme,␈αλwhich␈απevaluates␈αλa␈απfourth-degree␈αλpolynomial␈απin␈αλthe␈απsame␈απn␈α␈um␈α␈ber
␈β'␈↓ ↓H␈εαof␈α
steps␈α
as␈α
(9),␈α
appears␈α
in␈α
ex␈α␈ercise␈α
18;␈α
this␈α
alternativ␈α␈e␈α
method␈α
will␈α
giv␈α␈e␈α
greater
␈βS␈↓ ↓H␈εαn␈α␈umerical␈αaccuracy␈αthan␈α(9)␈αin␈αcertain␈αcases,␈αalthough␈αit␈αyields␈αpoorer␈αaccuracy
␈β}␈↓ ↓H␈εαin␈αothers.
␈β)␈↓ α␈εαPolynomials␈απthat␈απarise␈απin␈απpractice␈απoften␈απhav␈α␈e␈απa␈απrather␈απsmall␈αεleading␈απcoe}cien␈α␈t,
␈βT␈↓ ↓H␈εαso␈αthat␈αthe␈αdivision␈αby␈↓ ∧7␈ελu␈↓ ∧e␈εαin␈α(10)␈αleads␈αto␈αinstability.␈αIn␈αsuch␈αa␈αcase␈αit␈αis␈αusually
␈βb␈↓ ∧K␈ε¬4
␈βz␈↓ ¬&␈ε¬1/␈α↓4
␈β␈␈↓ ↓H␈εαpreferable␈α
to␈α
replace␈↓ ∧~␈ελx␈↓ ∧:␈εαby␈ε⊗␈α
j␈↓ ∧y␈ελu␈↓ ¬≤␈ε⊗j␈↓ ¬V␈ελx␈↓ ¬v␈εαas␈α
the␈α∞|rst␈α
step,␈α∞reducing␈α
(8)␈α
to␈ε⊗␈α∞ε␈εα␈α
a␈α
monic
␈β

␈↓ ¬∞␈ε¬4
␈β
+␈↓ ↓H␈εαpolynomial.␈α⊂A␈α
similar␈α
transformation␈α∞applies␈α
to␈α
polynomials␈α∞of␈α
higher␈α
degrees.
␈β
V␈↓ ↓H␈εαThis␈α
idea␈α
is␈α∞due␈α
to␈α
C.␈α∞T.␈α
Fik␈α␈e␈α∞[␈ε∂CA␈α␈CM␈ε∩␈α
10␈εα␈α
(1967),␈α∞175↑178],␈α∞who␈α
has␈α
presen␈α␈ted
␈β∞↓␈↓ ↓H␈εαsev␈α␈eral␈αin␈α␈teresting␈αexamples.
␈β∞,␈↓ α␈εαAn␈α␈y␈αpolynomial␈αof␈αthe␈α|fth␈αdegree␈αmay␈αbe␈αevaluated␈αusing␈αfour␈αm␈α␈ultiplica-
␈β∞W␈↓ ↓H␈εαtions,␈α
six␈α
additions,␈α
and␈α
one␈α
storing,␈αby␈α
using␈α
the␈α
rule␈↓ λ↔␈ελu␈↓ λ,␈εα(␈↓ λ8␈ελx␈↓ λK␈εα)␈α
=␈↓ 	∂␈ελU␈↓ 	-␈εα(␈↓ 	9␈ελx␈↓ 	L␈εα)␈↓ 	X␈ελx␈↓ 	p␈εα+␈↓ 
→␈ελu␈↓ 
<␈εα,␈α
where
␈β∞e␈↓ 
.␈ε¬0
␈β∞}␈↓ α}␈ε¬4␈↓ βu␈ε¬3␈↓ ∧k␈ε¬2
␈β∂β␈↓ ↓H␈ελU␈↓ ↓e␈εα(␈↓ ↓q␈ελx␈↓ α∧␈εα)␈α
=␈↓ αH␈ελu␈↓ αk␈ελx␈↓ β∀␈εα+␈↓ β?␈ελu␈↓ βb␈ελx␈↓ ∧
␈εα+␈↓ ∧6␈ελu␈↓ ∧Y␈ελx␈↓ ¬↓␈εα+␈↓ ¬,␈ελu␈↓ ¬O␈ελx␈↓ ¬i␈εα+␈↓ ε∃␈ελu␈↓ εC␈εαis␈αevaluated␈αas␈αin␈α(9).␈αAlternativ␈α␈ely,␈αw␈α␈e
␈β∂⊂␈↓ α]␈ε¬5␈↓ βS␈ε¬4␈↓ ∧J␈ε¬3␈↓ ¬A␈ε¬2␈↓ ε)␈ε¬1
␈β∂.␈↓ ↓H␈εαcan␈αλdo␈αλthe␈αλevaluation␈αλwith␈αλfour␈αλm␈α␈ultiplications,␈α	|v␈α␈e␈αλadditions,␈α	and␈αλthree␈αλstorings,
␈β∂Y␈↓ ↓H␈εαif␈αthe␈αcalculations␈αtak␈α␈e␈αthe␈αform
␈β⊂∧␈↓ ε␈ε↓␈␈↓ 	f␈ε↓↓
␈β⊂≡␈↓ ∧!␈ε¬2
␈β⊂$␈↓ αU␈ελy␈↓ αs␈εα=␈α
(␈↓ β-␈ελx␈↓ βH␈εα+␈↓ βt␈ελ␈↓ ∧∃␈εα)␈↓ ∧0␈εα,␈↓ ¬λ␈ελu␈↓ ¬≥␈εα(␈↓ ¬)␈ελx␈↓ ¬<␈εα)␈α
=␈↓ ε∞␈εα((␈↓ ε&␈ελy␈↓ εB␈εα+␈↓ εn␈ελ␈↓ π∂␈εα)␈↓ π≠␈ελy␈↓ π7␈εα+␈↓ πc␈ελ␈↓ λ¬␈εα)(␈↓ λ≥␈ελx␈↓ λ7␈εα+␈↓ λc␈ελ␈↓ 	¬␈εα)␈αλ+␈↓ 	E␈ελ␈↓ 	t␈ελ␈↓ 
∃␈εα.␈↓ 
p␈εα(11)
␈β⊂1␈↓ ∧π␈ε¬0␈↓ π↓␈ε¬1␈↓ πv␈ε¬2␈↓ λv␈ε¬3␈↓ 	W␈ε¬4␈↓ 
π␈ε¬5
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαThe␈αdetermination␈αof␈αthe␈↓ ∧c␈ελ␈↓ ∧v␈εα's␈α
this␈αtime␈αrequires␈αthe␈α
solution␈αof␈αa␈αcubic␈αequation
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εα(see␈αex␈α␈ercise␈α19).
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.4␈ε∞␈↓ π∧EV␈α|AL␈α␈U␈α␈A␈α}T␈α␈ION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα455
␈βα&␈↓ α␈εαOn␈αman␈α␈y␈αcomputers␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈α\storing"␈αoperations␈αrequired␈αby␈α(11)␈αis
␈βαL␈↓ 	∨␈ε¬2
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαless␈αthan␈α
3;␈α
for␈α
example,␈α
w␈α␈e␈α
may␈α
be␈αable␈α
to␈α
compute␈α
(␈↓ λ*␈ελx␈↓ λE␈εα+␈↓ λq␈ελ␈↓ 	∪␈εα)␈↓ 	:␈εαwithout␈αstoring
␈βα←␈↓ 	∧␈ε¬0
␈βα⎇␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓e␈εα+␈↓ α∀␈ελ␈↓ α5␈εα.␈α↔In␈α⊂fact,␈α⊃man␈α␈y␈α⊂computers␈α⊂hav␈α␈e␈α⊂more␈α⊂than␈α⊂one␈α⊂arithmetic␈α⊂register␈α∂for
␈ββ
␈↓ α&␈ε¬0
␈ββ(␈↓ ↓H␈εα⎇oating-poin␈α␈t␈α∂calculations,␈α∂so␈α∂w␈α␈e␈α∂can␈α∂av␈α␈oid␈α∂storing␈α∂altogether.␈α∃Because␈α∂of␈α∞the
␈ββS␈↓ ↓H␈εαwide␈α
variety␈α
of␈αfeatures␈α
available␈αfor␈α
arithmetic␈α
on␈αdi{eren␈α␈t␈α
computers,␈αw␈α␈e␈α
shall
␈ββ}␈↓ ↓H␈εαhenceforth␈αλin␈απthis␈αλsection␈αλcoun␈α␈t␈αλonly␈αλthe␈αλarithmetic␈αλoperations,␈α	not␈αλthe␈απoperations
␈β∧)␈↓ ↓H␈εαof␈α
storing␈α
and␈α
loading␈αan␈α
accum␈α␈ulator.␈αThe␈α
computation␈αschemes␈α
can␈α
usually␈α
be
␈β∧U␈↓ ↓H␈εαadapted␈α
to␈α∞an␈α␈y␈α
particular␈α∞computer␈α∞in␈α
a␈α∞straigh␈α␈tforward␈α
manner,␈α∞so␈α∞that␈α
v␈α␈ery
␈β¬␈↓ ↓H␈εαfew␈α∞of␈α∞these␈α∞auxiliary␈α∞operations␈α∞are␈α∂necessary;␈α∂on␈α∞the␈α∞other␈α∞hand,␈α∂it␈α∞m␈α␈ust␈α∞be
␈β¬+␈↓ ↓H␈εαremem␈α␈bered␈α	that␈α
this␈α
extra␈α
o␈α␈v␈α␈erhead␈α
migh␈α␈t␈α
w␈α␈ell␈α	o␈α␈v␈α␈ershado␈α␈w␈α
the␈α
fact␈α
that␈α
w␈α␈e␈α	are
␈β¬V␈↓ ↓H␈εαsaving␈αa␈αm␈α␈ultiplication␈αor␈αt␈α␈w␈α␈o,␈αespecially␈αif␈αthe␈αmachine␈αcode␈αis␈αbeing␈αproduced
␈βε↓␈↓ ↓H␈εαby␈αa␈αcompiler␈αthat␈αdoes␈αnot␈α\optimize."
␈βε(␈↓ ¬)␈ε¬6
␈βε-␈↓ α␈εαA␈α∂polynomial␈↓ βr␈ελu␈↓ ∧π␈εα(␈↓ ∧∪␈ελx␈↓ ∧&␈εα)␈α∂=␈↓ ∧s␈ελu␈↓ ¬⊗␈ελx␈↓ ¬B␈εα+␈↓ ¬o␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε#␈εα+␈↓ εQ␈ελu␈↓ εt␈ελx␈↓ π⊃␈εα+␈↓ π?␈ελu␈↓ πp␈εαof␈α∂degree␈α∂six␈α∂can␈α∂always␈α∞be
␈βε:␈↓ ¬λ␈ε¬6␈↓ εf␈ε¬1␈↓ πS␈ε¬0
␈βεX␈↓ ↓H␈εαevaluated␈αusing␈αfour␈αm␈α␈ultiplications␈αand␈αsev␈α␈en␈αadditions,␈αwith␈αthe␈αscheme
␈βπ!␈↓ βV␈ελz␈↓ βo␈εα=␈α
(␈↓ ∧)␈ελx␈↓ ∧D␈εα+␈↓ ∧p␈ελ␈↓ ¬⊃␈εα)␈↓ ¬≥␈ελx␈↓ ¬8␈εα+␈↓ ¬d␈ελ␈↓ ε¬␈εα,␈↓ ε]␈ελw␈↓ πα␈εα=␈α
(␈↓ π<␈ελx␈↓ πW␈εα+␈↓ λβ␈ελ␈↓ λ$␈εα)␈↓ λ0␈ελz␈↓ λG␈εα+␈↓ λs␈ελ␈↓ 	∀␈εα,
␈βπ/␈↓ ¬β␈ε¬0␈↓ ¬w␈ε¬1␈↓ λ∃␈ε¬2␈↓ 	ε␈ε¬3
␈βπ8␈↓ ¬5␈ε↓␈␈↓ π}␈ε↓↓
␈βπW␈↓ ∧=␈ελu␈↓ ∧R␈εα(␈↓ ∧↑␈ελx␈↓ ∧q␈εα)␈α
=␈↓ ¬C␈εα(␈↓ ¬O␈ελw␈↓ ¬r␈εα+␈↓ ε≡␈ελz␈↓ ε5␈εα+␈↓ εa␈ελ␈↓ πα␈εα)␈↓ π∞␈ελw␈↓ π1␈εα+␈↓ π]␈ελ␈↓ λ␈ελ␈↓ λ-␈εα.␈↓ 
p␈εα(12)
␈βπe␈↓ εt␈ε¬4␈↓ πp␈ε¬5␈↓ λ∨␈ε¬6
␈βλ&␈↓ ↓H␈εα[See␈α
D.␈α
E.␈α
Kn␈α␈uth,␈ε∂␈α∞CA␈α␈CM␈ε∩␈α
5␈εα␈α
(1962),␈α
595↑599.]␈α≤This␈α
sav␈α␈es␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
of␈α
the␈α
six␈α
m␈α␈ulti-
␈βλR␈↓ ↓H␈εαplications␈αrequired␈αby␈αHorner's␈αrule.␈αHere␈αagain␈αw␈α␈e␈αm␈α␈ust␈αsolv␈α␈e␈αa␈αcubic␈αequation:
␈βλ⎇␈↓ ↓H␈εαSince␈↓ α'␈ελ␈↓ αV␈εα=␈↓ βε␈ελu␈↓ β)␈εα,␈α∂w␈α␈e␈α
may␈α∞assume␈α∞that␈↓ ε_␈ελu␈↓ εG␈εα=␈α
1.␈α∩Under␈α
this␈α∞assumption,␈α∞let␈↓ 
[␈ελ␈␈↓ λ␈εα=
␈β	
␈↓ α:␈ε¬6␈↓ β≠␈ε¬6␈↓ ε,␈ε¬6␈↓ 
m␈ε¬1
␈β	%␈↓ ↓L␈ε¬1
␈β	(␈↓ ↓↑␈εα(␈↓ ↓j␈ελu␈↓ α∀␈ε⊗␈␈εα␈απ1),␈↓ αr␈ελ␈␈↓ β≤␈εα=␈↓ βJ␈ελu␈↓ βt␈ε⊗␈␈↓ ∧∨␈ελ␈␈↓ ∧@␈εα(␈↓ ∧L␈ελ␈␈↓ ∧s␈εα+␈απ1),␈↓ ¬Q␈ελ␈␈↓ ¬{␈εα=␈↓ ε)␈ελu␈↓ εS␈ε⊗␈␈↓ ε}␈ελ␈␈↓ π∨␈ελ␈␈↓ π?␈εα,␈↓ πT␈ελ␈␈↓ π␈␈εα=␈↓ λ-␈ελ␈␈↓ λT␈ε⊗␈␈↓ λ␈␈ελ␈␈↓ 	∨␈εα,␈↓ 	5␈ελ␈␈↓ 	←␈εα=␈↓ 

␈ελu␈↓ 
7␈ε⊗␈␈↓ 
b␈ελ␈␈↓ α␈ελ␈␈↓ "␈εα.
␈β	5␈↓ ↓␈␈ε¬5␈↓ β∧␈ε¬2␈↓ β←␈ε¬4␈↓ ∧1␈ε¬1␈↓ ∧↑␈ε¬1␈↓ ¬c␈ε¬3␈↓ ε>␈ε¬3␈↓ π⊂␈ε¬1␈↓ π1␈ε¬2␈↓ πf␈ε¬4␈↓ λ?␈ε¬1␈↓ 	⊃␈ε¬2␈↓ 	G␈ε¬5␈↓ 
"␈ε¬2␈↓ 
t␈ε¬1␈↓ ∀␈ε¬3
␈β	8␈↓ ↓L␈∧	8↓Lα∂
␈β	;␈↓ ↓L␈ε¬2
␈β	S␈↓ ↓H␈εαLet␈↓ α
␈ελ␈␈↓ α6␈εαbe␈αa␈αreal␈αroot␈αof␈αthe␈αcubic␈αequation
␈β	a␈↓ α≤␈ε¬6
␈β
≤␈↓ α6␈ε¬3␈↓ ∧q␈ε¬2
␈β
"␈↓ α⊂␈εα2␈↓ α"␈ελy␈↓ αL␈εα+␈αλ(2␈↓ β⊗␈ελ␈␈↓ β?␈ε⊗␈␈↓ βk␈ελ␈␈↓ ∧∪␈εα+␈αλ1)␈↓ ∧]␈ελy␈↓ ¬π␈εα+␈αλ(2␈↓ ¬Q␈ελ␈␈↓ ¬z␈ε⊗␈␈↓ ε&␈ελ␈␈↓ εF␈ελ␈␈↓ εo␈ε⊗␈␈↓ π≠␈ελ␈␈↓ π;␈εα)␈↓ πG␈ελy␈↓ πc␈εα+␈αλ(␈↓ λ≠␈ελu␈↓ λF␈ε⊗␈␈↓ λr␈ελ␈␈↓ 	∪␈ελ␈␈↓ 	3␈εα)␈α
=␈α
0.␈↓ 
p␈εα(13)
␈β
0␈↓ β(␈ε¬4␈↓ β⎇␈ε¬2␈↓ ¬c␈ε¬5␈↓ ε8␈ε¬2␈↓ εX␈ε¬4␈↓ π-␈ε¬3␈↓ λ0␈ε¬1␈↓ 	∧␈ε¬2␈↓ 	%␈ε¬5
␈β
q␈↓ ↓H␈εα(This␈αλequation␈α	always␈α	has␈α	a␈α	real␈αλroot,␈α
since␈α	the␈αλpolynomial␈α	on␈α	the␈α	left␈αλapproaches
␈β≤␈↓ ↓H␈εα+␈ε⊗1␈εα␈α∞for␈α∞large␈α∞positiv␈α␈e␈↓ ∧9␈ελy␈↓ ∧M␈εα,␈α∂and␈α∞it␈α∞approaches␈ε⊗␈α∞␈1␈εα␈α∂for␈α∞large␈α∞negativ␈α␈e␈↓ 
␈ελy␈↓ 
 ␈εα;␈α∂it␈α∞m␈α␈ust
␈βH␈↓ ↓H␈εαassume␈αthe␈αvalue␈αzero␈αsomewhere␈αin␈αbet␈α␈w␈α␈een.)␈α→No␈α␈w␈αif␈αw␈α␈e␈αde|ne
␈β⊂␈↓ ∧D␈ε¬2
␈β↔␈↓ βU␈ελ␈␈↓ ∧␈εα=␈↓ ∧.␈ελ␈␈↓ ∧Z␈εα+␈↓ ¬ε␈ελ␈␈↓ ¬'␈ελ␈␈↓ ¬O␈εα+␈↓ ¬{␈ελ␈␈↓ ε≠␈εα,␈↓ εs␈ελ␈␈↓ π≡␈εα=␈↓ πL␈ελ␈␈↓ πt␈ε⊗␈␈↓ λ ␈ελ␈␈↓ λI␈ε⊗␈␈↓ λu␈ελ␈␈↓ 	∃␈εα,
␈β$␈↓ βg␈ε¬7␈↓ ¬_␈ε¬4␈↓ ¬9␈ε¬6␈↓ ε
␈ε¬5␈↓ π¬␈ε¬8␈↓ π↑␈ε¬3␈↓ λ2␈ε¬6␈↓ 	π␈ε¬7
␈β(␈↓ ∧D␈ε¬6
␈βf␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈α|nally
␈β
-␈↓ β∞␈ελ␈↓ β9␈εα=␈↓ βg␈ελ␈␈↓ ∧∂␈ε⊗␈␈εα␈αλ2␈↓ ∧M␈ελ␈␈↓ ∧n␈εα,␈↓ ¬F␈ελ␈↓ ¬q␈εα=␈↓ ε∨␈ελ␈␈↓ εG␈ε⊗␈␈↓ εs␈ελ␈↓ π∀␈εα,␈↓ πl␈ελ␈↓ λ_␈εα=␈↓ λF␈ελ␈␈↓ λn␈ε⊗␈␈↓ 	~␈ελ␈↓ 	;␈ελ␈↓ 	\␈εα,
␈β
:␈↓ β ␈ε¬0␈↓ βy␈ε¬2␈↓ ∧←␈ε¬6␈↓ ¬X␈ε¬2␈↓ ε1␈ε¬1␈↓ πε␈ε¬0␈↓ π␈␈ε¬1␈↓ λX␈ε¬6␈↓ 	-␈ε¬0␈↓ 	N␈ε¬2
␈β
c␈↓ α[␈ελ␈↓ βε␈εα=␈↓ β4␈ελ␈␈↓ β]␈ε⊗␈␈↓ ∧	␈ελ␈↓ ∧*␈ελ␈↓ ∧K␈εα,␈↓ ¬#␈ελ␈↓ ¬N␈εα=␈↓ ¬|␈ελ␈␈↓ ε%␈ε⊗␈␈↓ εQ␈ελ␈␈↓ εy␈ε⊗␈␈↓ π%␈ελ␈↓ πF␈εα,␈↓ λ≡␈ελ␈↓ λI␈εα=␈↓ λw␈ελu␈↓ 	"␈ε⊗␈␈↓ 	N␈ελ␈␈↓ 	o␈ελ␈␈↓ 
∂␈εα.␈↓ 
p␈εα(14)
␈β
p␈↓ αn␈ε¬3␈↓ βF␈ε¬7␈↓ ∧≠␈ε¬1␈↓ ∧=␈ε¬2␈↓ ¬6␈ε¬4␈↓ ε∞␈ε¬8␈↓ εc␈ε¬7␈↓ π8␈ε¬1␈↓ λ1␈ε¬5␈↓ 	␈ε¬0␈↓ 	`␈ε¬7␈↓ 
↓␈ε¬8
␈β∞2␈↓ α␈εαWe␈αcan␈α
illustrate␈αthis␈α
procedure␈αwith␈αa␈α
con␈α␈triv␈α␈ed␈αexample:␈αSuppose␈αthat␈α
w␈α␈e
␈β∞X␈↓ βk␈ε¬6␈↓ ∧`␈ε¬5␈↓ ¬T␈ε¬4␈↓ εI␈ε¬3␈↓ π>␈ε¬2
␈β∞]␈↓ ↓H␈εαwan␈α␈t␈α
to␈α
evaluate␈↓ βX␈ελx␈↓ β␈␈εα+␈αε13␈↓ ∧M␈ελx␈↓ ∧t␈εα+␈αε49␈↓ ¬B␈ελx␈↓ ¬i␈εα+␈αε33␈↓ ε7␈ελx␈↓ ε↑␈ε⊗␈␈εα␈αε61␈↓ π,␈ελx␈↓ πS␈ε⊗␈␈εα␈α¬37␈↓ λ ␈ελx␈↓ λ9␈εα+␈αε3.␈αWe␈αobtain␈↓ 
7␈ελ␈↓ 
b␈εα=␈α
1,
␈β∞k␈↓ 
J␈ε¬6
␈β∂λ␈↓ ↓H␈ελ␈␈↓ ↓s␈εα=␈α6,␈↓ αK␈ελ␈␈↓ αw␈εα=␈α7,␈↓ βO␈ελ␈␈↓ β{␈εα=␈ε⊗␈α␈␈εα9,␈↓ ∧w␈ελ␈␈↓ ¬#␈εα=␈ε⊗␈α␈␈εα1,␈↓ ε∨␈ελ␈␈↓ εK␈εα=␈ε⊗␈α␈␈εα7,␈α
and␈α
so␈αw␈α␈e␈α
meet␈α
with␈α
the␈αcubic
␈β∂⊗␈↓ ↓Z␈ε¬1␈↓ α]␈ε¬2␈↓ βa␈ε¬3␈↓ ¬	␈ε¬4␈↓ ε1␈ε¬5
␈β∂4␈↓ ↓H␈εαequation
␈β∂Y␈↓ ¬∂␈ε¬3␈↓ ¬w␈ε¬2
␈β∂←␈↓ ∧h␈εα2␈↓ ∧z␈ελy␈↓ ¬%␈ε⊗␈␈εα␈αλ8␈↓ ¬c␈ελy␈↓ ε
␈εα+␈αλ2␈↓ εK␈ελy␈↓ εh␈εα+␈αλ12␈α
=␈α
0.␈↓ 
p␈εα(15)
␈β⊂ ␈↓ ↓H␈εαThis␈α
equation␈αhas␈↓ βg␈ελ␈␈↓ ∧∩␈εα=␈α
2␈αas␈α
a␈αroot,␈αand␈α
w␈α␈e␈αcon␈α␈tin␈α␈ue␈αto␈α
|nd␈↓ λq␈ελ␈␈↓ 	≠␈εα=␈ε⊗␈α
␈␈εα5,␈↓ 
∀␈ελ␈␈↓ 
>␈εα=␈ε⊗␈α
␈␈εα6,
␈β⊂-␈↓ βy␈ε¬6␈↓ 	β␈ε¬7␈↓ 
&␈ε¬8
␈β⊂K␈↓ ↓H␈ελ␈↓ ↓s␈εα=␈α
3,␈↓ αI␈ελ␈↓ αt␈εα=␈α
3,␈↓ βJ␈ελ␈↓ βu␈εα=␈ε⊗␈α
␈␈εα7,␈↓ ∧o␈ελ␈↓ ¬~␈εα=␈α
16,␈↓ εα␈ελ␈↓ ε-␈εα=␈α
6,␈↓ πβ␈ελ␈↓ π/␈εα=␈ε⊗␈α
␈␈εα27.␈αThe␈αresulting␈αscheme␈αis
␈β⊂Y␈↓ ↓Z␈ε¬0␈↓ α\␈ε¬2␈↓ β]␈ε¬1␈↓ ¬α␈ε¬3␈↓ ε∃␈ε¬4␈↓ π⊗␈ε¬5
␈β⊃~␈↓ ↓l␈ελz␈↓ α¬␈εα=␈α
(␈↓ α?␈ελx␈↓ αZ␈εα+␈αλ3)␈↓ β$␈ελx␈↓ β?␈ε⊗␈␈εα␈αλ7,␈↓ ∧U␈ελw␈↓ ∧y␈εα=␈α
(␈↓ ¬3␈ελx␈↓ ¬N␈εα+␈αλ3)␈↓ ε_␈ελz␈↓ ε/␈εα+␈αλ16,␈↓ πW␈ελu␈↓ πm␈εα(␈↓ πy␈ελx␈↓ λ␈εα)␈α
=␈α
(␈↓ λ\␈ελw␈↓ λ}␈εα+␈↓ 	*␈ελz␈↓ 	A␈εα+␈αλ6)␈↓ 
␈ελw␈↓ 
.␈ε⊗␈␈εα␈αλ27.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα456␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.4
␈βα(␈↓ ↓H␈εαBy␈αsheer␈αcoincidence␈αthe␈αquan␈α␈tity␈↓ ¬f␈ελx␈↓ ε␈εα+␈απ3␈αappears␈αt␈α␈wice␈αhere,␈αso␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αfound␈αa
␈βαS␈↓ ↓H␈εαmethod␈αthat␈αuses␈αthree␈αm␈α␈ultiplications␈αand␈αsix␈αadditions.
␈βα}␈↓ α␈εαAnother␈αmethod␈αfor␈αhandling␈αsixth-degree␈αequations␈αhas␈αbeen␈αsuggested␈αby
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαV.␈αJ.␈αPan␈α[␈ε∂Problem␈α␈y␈αKibernetiki␈ε∩␈α5␈εα␈α(1961),␈α17↑29].␈αHis␈αmethod␈αrequires␈αone␈αmore
␈ββU␈↓ ↓H␈εαaddition␈α∞operation,␈α⊂but␈α∞it␈α∂in␈α␈v␈α␈olv␈α␈es␈α∂only␈α∂rational␈α∞operations␈α∂in␈α∂the␈α∞preliminary
␈β∧␈↓ ↓H␈εαsteps␈α(no␈αcubic␈αequation␈αneeds␈αto␈αbe␈αsolv␈α␈ed).␈αWe␈αmay␈αproceed␈αas␈αfollo␈α␈ws:
␈β∧E␈↓ βs␈ελz␈↓ ∧␈εα=␈α
(␈↓ ∧F␈ελx␈↓ ∧`␈εα+␈↓ ¬␈ελ␈↓ ¬.␈εα)␈↓ ¬:␈ελx␈↓ ¬T␈εα+␈↓ ε␈ελ␈↓ ε"␈εα,␈↓ εz␈ελw␈↓ π≡␈εα=␈↓ πL␈ελz␈↓ πc␈εα+␈↓ λ∂␈ελx␈↓ λ*␈εα+␈↓ λV␈ελ␈↓ λw␈εα,
␈β∧R␈↓ ¬∨␈ε¬0␈↓ ε∪␈ε¬1␈↓ λi␈ε¬2
␈β∧W␈↓ ∧{␈ε↓␈␈↓ λ8␈ε↓↓
␈β∧w␈↓ ∧β␈ελu␈↓ ∧_␈εα(␈↓ ∧$␈ελx␈↓ ∧7␈εα)␈α
=␈↓ ¬	␈εα((␈↓ ¬!␈ελz␈↓ ¬8␈ε⊗␈␈↓ ¬d␈ελx␈↓ ¬␈␈εα+␈↓ ε+␈ελ␈↓ εL␈εα)␈↓ εX␈ελw␈↓ ε{␈εα+␈↓ π'␈ελ␈↓ πH␈εα)␈↓ πT␈ελz␈↓ πk␈εα+␈↓ λ↔␈ελ␈↓ λF␈ελ␈↓ λg␈εα.␈↓ 
p␈εα(16)
␈β¬∧␈↓ ε>␈ε¬3␈↓ π:␈ε¬4␈↓ λ*␈ε¬5␈↓ λY␈ε¬6
␈β¬?␈↓ ↓H␈εαTo␈α
determine␈α
the␈↓ βh␈ελ␈↓ β|␈εα's,␈α∞w␈α␈e␈α
divide␈αthe␈α
polynomial␈α
once␈α
again␈α
by␈↓ 	1␈ελu␈↓ 	`␈εα=␈↓ 
∂␈ελ␈↓ 
=␈εαso␈α
that
␈β¬M␈↓ 	F␈ε¬6␈↓ 
"␈ε¬6
␈β¬k␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓]␈εα(␈↓ ↓i␈ελx␈↓ ↓|␈εα)␈αbecomes␈αmonic.␈αIt␈αcan␈αthen␈αbe␈αv␈α␈eri|ed␈αthat␈↓ πM␈ελ␈↓ πx␈εα=␈↓ λ&␈ελu␈↓ λI␈εα/3␈αand␈αthat
␈β¬x␈↓ π`␈ε¬0␈↓ λ;␈ε¬5
␈βε-␈↓ ∧X␈ε¬2␈↓ ¬Q␈ε¬3␈↓ ε\␈ε¬5␈↓ 	≤␈ε¬3
␈βε3␈↓ α⊂␈ελ␈↓ α;␈εα=␈α
(␈↓ αu␈ελu␈↓ β ␈ε⊗␈␈↓ βL␈ελ␈↓ βm␈ελu␈↓ ∧_␈εα+␈↓ ∧D␈ελ␈↓ ∧f␈ελu␈↓ ¬⊃␈ε⊗␈␈↓ ¬=␈ελ␈↓ ¬←␈ελu␈↓ ε
␈εα+␈αλ2␈↓ εH␈ελ␈↓ εk␈εα)/(␈↓ π∃␈ελu␈↓ π@␈ε⊗␈␈εα␈αλ2␈↓ π}␈ελ␈↓ λ∨␈ελu␈↓ λJ␈εα+␈αλ5␈↓ 	λ␈ελ␈↓ 	*␈εα).␈↓ 
p␈εα(17)
␈βε@␈↓ α"␈ε¬1␈↓ β	␈ε¬1␈↓ β←␈ε¬0␈↓ ∧α␈ε¬2␈↓ ∧{␈ε¬3␈↓ ¬t␈ε¬4␈↓ π)␈ε¬3␈↓ λ⊂␈ε¬0␈↓ λ3␈ε¬4
␈βεE␈↓ ∧X␈ε¬0␈↓ ¬Q␈ε¬0␈↓ ε\␈ε¬0␈↓ 	≤␈ε¬0
␈βε{␈↓ ↓H␈εαNote␈αthat␈α
Pan's␈αmethod␈α
requires␈αthat␈α
the␈α
denominator␈αin␈α
(17)␈αdoes␈α
not␈αvanish.
␈βπ&␈↓ ↓H␈εαIn␈αother␈αw␈α␈ords,␈α(16)␈αcan␈αbe␈αused␈αonly␈αwhen
␈βπh␈↓ ¬"␈ε¬2␈↓ πM␈ε¬3
␈βπo␈↓ ∧E␈εα27␈↓ ∧i␈ελu␈↓ ¬␈ελu␈↓ ¬8␈ε⊗␈␈εα␈αλ18␈↓ ελ␈ελu␈↓ ε+␈ελu␈↓ εN␈ελu␈↓ εy␈εα+␈αλ5␈↓ π7␈ελu␈↓ πe␈ε⊗≤␈εα␈α
0;␈↓ 
p␈εα(18)
␈βπ|␈↓ ∧}␈ε¬3␈↓ ε≥␈ε¬6␈↓ ε@␈ε¬5␈↓ εc␈ε¬4
␈βλ␈↓ ¬"␈ε¬6␈↓ πM␈ε¬5
␈βλ7␈↓ ↓H␈εαin␈αfact,␈αthis␈αquan␈α␈tity␈αshould␈αnot␈αbe␈αso␈αsmall␈αthat␈↓ πT␈ελ␈↓ λ↓␈εαbecomes␈αtoo␈αlarge.␈αOnce␈↓ ␈ελ
␈βλD␈↓ πg␈ε¬1␈↓ ≡␈ε¬1
␈βλb␈↓ ↓H␈εαhas␈αbeen␈αdetermined,␈αthe␈αremaining␈↓ ελ␈ελ␈↓ ε≤␈εα's␈αmay␈αbe␈αdetermined␈αfrom␈αthe␈αequations
␈β	#␈↓ ∧ ␈ελ␈␈↓ ∧K␈εα=␈α
2␈↓ ¬␈ελ␈↓ ¬,␈εα,␈↓ ε∧␈ελ␈␈↓ ε.␈εα=␈↓ ε\␈ελu␈↓ ππ␈ε⊗␈␈↓ π3␈ελ␈↓ πT␈ελ␈␈↓ π⎇␈ε⊗␈␈↓ λ)␈ελ␈↓ λJ␈εα,
␈β	0␈↓ ∧2␈ε¬1␈↓ ¬≥␈ε¬0␈↓ ε⊗␈ε¬2␈↓ εq␈ε¬4␈↓ πF␈ε¬0␈↓ πf␈ε¬1␈↓ λ;␈ε¬1
␈β	U␈↓ β#␈ελ␈␈↓ βM␈εα=␈↓ β{␈ελu␈↓ ∧&␈ε⊗␈␈↓ ∧R␈ελ␈↓ ∧s␈ελ␈␈↓ ¬≠␈ε⊗␈␈↓ ¬G␈ελ␈↓ ¬i␈ελ␈␈↓ ε	␈εα,␈↓ εa␈ελ␈␈↓ π␈εα=␈↓ π9␈ελu␈↓ πd␈ε⊗␈␈↓ λ⊂␈ελ␈↓ λ2␈ελ␈␈↓ λZ␈ε⊗␈␈↓ 	ε␈ελ␈↓ 	'␈ελ␈␈↓ 	H␈εα,
␈β	b␈↓ β5␈ε¬3␈↓ ∧∂␈ε¬3␈↓ ∧e␈ε¬0␈↓ ¬¬␈ε¬2␈↓ ¬Z␈ε¬1␈↓ ¬{␈ε¬1␈↓ εs␈ε¬4␈↓ πN␈ε¬2␈↓ λ#␈ε¬0␈↓ λD␈ε¬3␈↓ 	→␈ε¬1␈↓ 	9␈ε¬2
␈β	h␈↓ ∧!␈ε↓␈␈↓ λV␈ε↓↓
␈β
α␈↓ πv␈ε¬2
␈β
∧␈↓ ∧∞␈ε¬1
␈β
π␈↓ β1␈ελ␈↓ β\␈εα=␈↓ ∧/␈ελ␈␈↓ ∧W␈ε⊗␈␈εα␈αλ(␈↓ ¬∂␈ελ␈↓ ¬8␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈↓ εα␈ελ␈␈↓ ε*␈εα+␈αλ(␈↓ εb␈ελ␈↓ π␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)(␈↓ πb␈ελ␈↓ λ␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈↓ λl␈ε⊗␈␈↓ 	_␈ελ␈↓ 	9␈εα,
␈β
∃␈↓ βD␈ε¬3␈↓ ∧A␈ε¬3␈↓ ¬"␈ε¬0␈↓ ε∀␈ε¬2␈↓ εu␈ε¬0␈↓ 	+␈ε¬1
␈β
_␈↓ ∧∞␈∧
_∧∞α∂
␈β
→␈↓ πv␈ε¬0
␈β
~␈↓ ∧∞␈ε¬2
␈β
!␈↓ 
p␈εα(19)
␈β
5␈↓ ε
␈ε¬2
␈β
:␈↓ ∧@␈ελ␈↓ ∧k␈εα=␈↓ ¬→␈ελ␈␈↓ ¬B␈ε⊗␈␈εα␈αλ(␈↓ ¬z␈ελ␈↓ ε$␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ π"␈ελ␈↓ πK␈ε⊗␈␈εα␈αλ2␈↓ λ	␈ελ␈↓ λ*␈εα,
␈β
G␈↓ ∧S␈ε¬2␈↓ ¬+␈ε¬2␈↓ π5␈ε¬3␈↓ λ≤␈ε¬1
␈β
L␈↓ ε
␈ε¬0
␈β
l␈↓ ∧P␈ελ␈↓ ∧{␈εα=␈↓ ¬)␈ελ␈␈↓ ¬Q␈ε⊗␈␈εα␈αλ(␈↓ ε	␈ελ␈↓ ε3␈εα+␈↓ ε←␈ελ␈↓ π␈εα)(␈↓ π_␈ελ␈↓ πA␈εα+␈↓ πm␈ελ␈↓ λ∞␈εα),
␈β
z␈↓ ∧c␈ε¬4␈↓ ¬;␈ε¬4␈↓ ε≤␈ε¬2␈↓ εq␈ε¬1␈↓ π+␈ε¬3␈↓ λ␈ε¬1
␈β∨␈↓ ¬<␈ελ␈↓ ¬g␈εα=␈↓ ε∃␈ελu␈↓ ε@␈ε⊗␈␈↓ εl␈ελ␈↓ π∞␈ελ␈␈↓ π.␈εα.
␈β,␈↓ ¬O␈ε¬5␈↓ ε*␈ε¬0␈↓ ε␈␈ε¬1␈↓ π ␈ε¬4
␈β←␈↓ α␈εαWe␈α⊂hav␈α␈e␈α∂discussed␈α⊂the␈α⊂cases␈α∂of␈α⊂degree␈↓ π	␈ελn␈↓ π.␈εα=␈α⊃4,␈α⊂5,␈α⊃6␈α∂in␈α⊂detail␈α⊂because␈α∂the
␈β
␈↓ ↓H␈εαsmaller␈αvalues␈αof␈↓ β\␈ελn␈↓ β}␈εαarise␈αmost␈α
frequen␈α␈tly␈αin␈αapplications.␈α
Let␈αus␈αno␈α␈w␈αconsider␈αa
␈β6␈↓ ↓H␈εαgeneral␈α∞evaluation␈α∞scheme␈α∞for␈↓ ¬/␈ελn␈↓ ¬E␈εαth␈α∞degree␈α∞polynomials,␈α∂a␈α∞method␈α
that␈α∞in␈α␈v␈α␈olv␈α␈es
␈βa␈↓ ↓H␈εαat␈αmost␈ε⊗␈αb␈↓ αZ␈ελn␈↓ αo␈εα/2␈ε⊗c␈εα␈αλ+␈αλ2␈αm␈α␈ultiplications␈αand␈↓ ε.␈ελn␈↓ εP␈εαadditions.
␈β
≠␈↓ ↓H␈ε∩Theorem␈αE.␈ε∂␈α→Ev␈α␈ery␈↓ ∧∧␈ελn␈↓ ∧~␈ε∂th␈αdegree␈αpolynomial␈εα␈α(1)␈ε∂␈α
with␈αreal␈αcoe}cien␈α␈ts,␈↓ 
␈ελn␈↓ 
 ␈ε⊗∃␈εα␈α
3␈ε∂,␈αcan
␈β
G␈↓ ↓H␈ε∂be␈αevaluated␈αby␈αthe␈αscheme
␈β∞λ␈↓ π.␈ε¬2
␈β∞
␈↓ ∧N␈ελy␈↓ ∧l␈εα=␈↓ ¬~␈ελx␈↓ ¬5␈εα+␈↓ ¬a␈ελc␈↓ ¬o␈εα,␈↓ εG␈ελw␈↓ εl␈εα=␈↓ π~␈ελy␈↓ π=␈εα;
␈β∞C␈↓ α%␈ελz␈↓ α>␈εα=␈α
(␈↓ αx␈ελu␈↓ β≡␈ελy␈↓ β:␈εα+␈↓ βf␈ελ␈↓ ∧π␈εα)␈↓ ∧∪␈ελy␈↓ ∧0␈εα+␈↓ ∧\␈ελ␈␈↓ ¬ ␈εα(␈↓ ¬,␈ελn␈↓ ¬N␈εαev␈α␈en␈↓ ε∃␈εα),␈↓ εy␈ελz␈↓ π∩␈εα=␈↓ π@␈ελu␈↓ πf␈ελy␈↓ λα␈εα+␈↓ λ.␈ελ␈␈↓ λs␈εα(␈↓ λ␈␈ελn␈↓ 	 ␈εαodd␈↓ 	Z␈εα);
␈β∞P␈↓ β␈εn␈↓ βy␈ε¬0␈↓ ∧n␈ε¬0␈↓ πT␈εn␈↓ λ@␈ε¬0
␈β∞Y␈↓ βλ␈ε↓␈␈↓ πz␈ε↓↓
␈β∞y␈↓ α⊂␈ελu␈↓ α%␈εα(␈↓ α1␈ελx␈↓ αD␈εα)␈α
=␈↓ β≤␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βL␈εα((␈↓ βd␈ελz␈↓ βs␈εα(␈↓ β␈␈ελw␈↓ ∧"␈ε⊗␈␈↓ ∧N␈ελ␈↓ ∧o␈εα)␈αλ+␈↓ ¬/␈ελ␈␈↓ ¬O␈εα)(␈↓ ¬g␈ελw␈↓ ε
␈ε⊗␈␈↓ ε6␈ελ␈↓ εW␈εα)␈αλ+␈↓ π↔␈ελ␈␈↓ π8␈εα)␈↓ πJ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λλ␈εα(␈↓ λ∀␈ελw␈↓ λ7␈ε⊗␈␈↓ λc␈ελ␈↓ 	∂␈εα)␈αλ+␈↓ 	O␈ελ␈␈↓ 	{␈εα;␈↓ 
p␈εα(20)
␈β∂ε␈↓ ∧a␈ε¬1␈↓ ¬A␈ε¬1␈↓ εI␈ε¬2␈↓ π)␈ε¬2␈↓ λu␈εm␈↓ 	a␈εm
␈β∂A␈↓ ↓H␈ε∂for␈α∞suitable␈α∞real␈α∞parameters␈↓ ¬∂␈ελc␈↓ ¬≥␈ε∂,␈↓ ¬5␈ελ␈↓ ¬e␈ε∂and␈↓ ε-␈ελ␈␈↓ εN␈ε∂,␈α∂where␈↓ πQ␈ελm␈↓ π}␈εα=␈ε⊗␈α∞b␈↓ λ>␈ελn␈↓ λT␈εα/2␈ε⊗c␈α	␈␈εα␈α
1␈ε∂.␈α∩In␈α∞fact,␈α∂it␈α∞is
␈β∂N␈↓ ¬H␈εk␈↓ ε?␈εk
␈β∂l␈↓ ↓H␈ε∂possible␈αto␈αselect␈αthese␈αparameters␈αso␈αthat␈↓ εl␈ελ␈␈↓ π"␈εα=␈α
0␈ε∂.
␈β∂z␈↓ ε}␈εm
␈β⊂'␈↓ ↓H␈ε∂Proof.␈εα␈α~Let␈αus␈α
|rst␈αexamine␈α
the␈α
circumstances␈αunder␈α
which␈αthe␈↓ 	=␈ελ␈↓ 	Q␈εα's␈αand␈↓ 
<␈ελ␈␈↓ 
R␈εα's␈αcan
␈β⊂R␈↓ ↓H␈εαbe␈αchosen␈αin␈α(20),␈αif␈↓ ∧
␈ελc␈↓ ∧$␈εαis␈α|x␈α␈ed:␈αlet
␈β⊃∀␈↓ ¬j␈εn␈↓ π⊃␈εn␈↓ π#␈ε→␈␈ε¬1
␈β⊃~␈↓ β¬␈ελp␈↓ β↔␈εα(␈↓ β#␈ελx␈↓ β6␈εα)␈α
=␈↓ βz␈ελu␈↓ ∧⊂␈εα(␈↓ ∧≤␈ελx␈↓ ∧7␈ε⊗␈␈↓ ∧c␈ελc␈↓ ∧q␈εα)␈α
=␈↓ ¬5␈ελa␈↓ ¬W␈ελx␈↓ ε∧␈εα+␈↓ ε0␈ελa␈↓ ε}␈ελx␈↓ πV␈εα+␈↓ λα␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ4␈εα+␈↓ λ`␈ελa␈↓ λ␈␈ελx␈↓ 	~␈εα+␈↓ 	F␈ελa␈↓ 	e␈εα.␈↓ 
p␈εα(21)
␈β⊃(␈↓ ¬F␈εn␈↓ εA␈εn␈↓ εS␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λq␈ε¬1␈↓ 	W␈ε¬0
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.4␈ε∞␈↓ π∧EV␈α|AL␈α␈U␈α␈A␈α}T␈α␈ION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα457
␈βα!␈↓ π∨␈ε¬2
␈βα&␈↓ ↓H␈εαWe␈α	wan␈α␈t␈α	to␈α	sho␈α␈w␈α	that␈↓ ∧%␈ελp␈↓ ∧7␈εα(␈↓ ∧C␈ελx␈↓ ∧V␈εα)␈α	has␈α	the␈α	form␈↓ ε6␈ελp␈↓ εU␈εα(␈↓ εa␈ελx␈↓ εt␈εα)(␈↓ π␈ελx␈↓ π1␈ε⊗␈␈↓ πY␈ελ␈↓ λε␈εα)␈α∧+␈↓ λ>␈ελ␈␈↓ λr␈εαfor␈α	some␈α	polynomial
␈βα4␈↓ εG␈ε¬1␈↓ πl␈εm␈↓ λP␈εm
␈βαL␈↓ λ5␈ε¬2
␈βαQ␈↓ ↓H␈ελp␈↓ ↓g␈εα(␈↓ ↓s␈ελx␈↓ αε␈εα)␈αand␈αsome␈αconstan␈α␈ts␈↓ ∧\␈ελ␈↓ ¬	␈εα,␈↓ ¬∨␈ελ␈␈↓ ¬K␈εα.␈αIf␈αw␈α␈e␈αdivide␈↓ π%␈ελp␈↓ π8␈εα(␈↓ πD␈ελx␈↓ πW␈εα)␈αby␈↓ λ"␈ελx␈↓ λK␈ε⊗␈␈↓ λw␈ελ␈↓ 	$␈εα,␈αw␈α␈e␈αcan␈αsee␈αthat
␈βα←␈↓ ↓Y␈ε¬1␈↓ ∧o␈εm␈↓ ¬1␈εm␈↓ 	
␈εm
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαthe␈αremainder␈↓ β0␈ελ␈␈↓ βh␈εαis␈αa␈αconstan␈α␈t␈αonly␈αif␈αthe␈αauxiliary␈αpolynomial
␈ββ
␈↓ βB␈εm
␈ββN␈↓ ¬L␈εm␈↓ π⊃␈εm␈↓ π+␈ε→␈␈ε¬1
␈ββT␈↓ βb␈ελq␈↓ βs␈εα(␈↓ β␈␈ελx␈↓ ∧⊃␈εα)␈α
=␈↓ ∧U␈ελa␈↓ ¬:␈ελx␈↓ ¬n␈εα+␈↓ ε~␈ελa␈↓ ε␈␈ελx␈↓ π↑␈εα+␈↓ λ
␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ<␈εα+␈↓ λh␈ελa␈↓ 	λ␈εα,␈↓ 
p␈εα(22)
␈ββa␈↓ ∧f␈ε¬2␈↓ ∧t␈εm␈↓ ¬∞␈ε¬+1␈↓ ε+␈ε¬2␈↓ ε9␈εm␈↓ εS␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λy␈ε¬1
␈β∧+␈↓ ↓H␈εαformed␈α∂from␈α⊂ev␈α␈ery␈α∂odd-n␈α␈um␈α␈bered␈α⊂coe}cien␈α␈t␈α⊂of␈↓ πK␈ελp␈↓ π↑␈εα(␈↓ πj␈ελx␈↓ π|␈εα),␈α⊃is␈α∂a␈α⊂m␈α␈ultiple␈α⊂of␈↓ 
*␈ελx␈↓ 
G␈ε⊗␈␈↓ 
v␈ελ␈↓ "␈εα.
␈β∧8␈↓ 	␈εm
␈β∧Q␈↓ 	∃␈ε¬2
␈β∧V␈↓ ↓H␈εαCon␈α␈v␈α␈ersely,␈αif␈↓ β,␈ελq␈↓ β<␈εα(␈↓ βH␈ελx␈↓ β[␈εα)␈αhas␈↓ ∧1␈ελx␈↓ ∧J␈ε⊗␈␈↓ ∧u␈ελ␈↓ ¬-␈εαas␈αa␈αfactor,␈αthen␈↓ π7␈ελp␈↓ πJ␈εα(␈↓ πV␈ελx␈↓ πh␈εα)␈α
=␈↓ λ,␈ελp␈↓ λL␈εα(␈↓ λX␈ελx␈↓ λk␈εα)(␈↓ 	β␈ελx␈↓ 	*␈ε⊗␈␈↓ 	U␈ελ␈↓ 
α␈εα)␈απ+␈↓ 
?␈ελ␈␈↓ 
k␈εα,␈αfor
␈β∧d␈↓ ¬λ␈εm␈↓ λ=␈ε¬1␈↓ 	h␈εm␈↓ 
Q␈εm
␈β¬↓␈↓ ↓H␈εαsome␈αconstan␈α␈t␈↓ β3␈ελ␈␈↓ βk␈εαthat␈αmay␈αbe␈αdetermined␈αby␈αdivision.
␈β¬∂␈↓ βE␈εm
␈β¬(␈↓ λ#␈ε¬2
␈β¬-␈↓ α␈εαSimilarly,␈α∂w␈α␈e␈α∞wan␈α␈t␈↓ ∧E␈ελp␈↓ ∧d␈εα(␈↓ ∧p␈ελx␈↓ ¬β␈εα)␈α∞to␈α∞hav␈α␈e␈α∞the␈α∞form␈↓ π:␈ελp␈↓ πY␈εα(␈↓ πe␈ελx␈↓ πx␈εα)(␈↓ λ⊂␈ελx␈↓ λ;␈ε⊗␈␈↓ λh␈ελ␈↓ 	@␈εα)␈α	+␈↓ 
β␈ελ␈␈↓ 
Z␈εα,␈α∞and
␈β¬:␈↓ ∧V␈ε¬1␈↓ πK␈ε¬2␈↓ λ{␈εm␈↓ 	∃␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 
∃␈εm␈↓ 
/␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈β¬X␈↓ ↓H␈εαthis␈α
is␈α∞the␈α
same␈α
as␈α∞saying␈α
that␈↓ ¬>␈ελq␈↓ ¬N␈εα(␈↓ ¬Z␈ελx␈↓ ¬m␈εα)/(␈↓ ε↔␈ελx␈↓ ε2␈ε⊗␈␈↓ ε←␈ελ␈↓ π␈εα)␈α
is␈α∞a␈α
m␈α␈ultiple␈α∞of␈↓ 	$␈ελx␈↓ 	@␈ε⊗␈␈↓ 	m␈ελ␈↓ 
E␈εα;␈α∞for␈α
if
␈β¬e␈↓ εr␈εm␈↓ 
␈εm␈↓ 
~␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈βεβ␈↓ ↓H␈ελq␈↓ ↓c␈εα(␈↓ ↓o␈ελx␈↓ αα␈εα)␈α	is␈α	the␈α	polynomial␈α	corresponding␈α	to␈↓ ε6␈ελp␈↓ εV␈εα(␈↓ εb␈ελx␈↓ εt␈εα)␈α	as␈↓ π3␈ελq␈↓ πC␈εα(␈↓ πO␈ελx␈↓ πa␈εα)␈α	corresponds␈α
to␈↓ 	a␈ελp␈↓ 	s␈εα(␈↓ 	␈␈ελx␈↓ 
∩␈εα),␈α	w␈α␈e␈α	hav␈α␈e
␈βε⊃␈↓ ↓U␈ε¬1␈↓ εG␈ε¬1
␈βε.␈↓ ↓H␈ελq␈↓ ↓c␈εα(␈↓ ↓o␈ελx␈↓ αα␈εα)␈α
=␈↓ αF␈ελq␈↓ αV␈εα(␈↓ αb␈ελx␈↓ αu␈εα)/(␈↓ β∨␈ελx␈↓ β7␈ε⊗␈␈↓ βa␈ελ␈↓ ∧∞␈εα).␈αCon␈α␈tin␈α␈uing␈αin␈α
the␈αsame␈α
way,␈αw␈α␈e␈α
|nd␈αthat␈α
the␈α
parameters
␈βε<␈↓ ↓U␈ε¬1␈↓ βt␈εm
␈βεZ␈↓ ↓H␈ελ␈↓ ↓i␈εα,␈↓ ↓␈␈ελ␈␈↓ α∨␈εα,␈↓ α5␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ αe␈εα,␈↓ α{␈ελ␈↓ β(␈εα,␈↓ β>␈ελ␈␈↓ βv␈εαwill␈αexist␈αif␈αand␈αonly␈αif
␈βεg␈↓ ↓Z␈ε¬1␈↓ α⊃␈ε¬1␈↓ β∞␈εm␈↓ βP␈εm
␈βπ1␈↓ ∧)␈ελq␈↓ ∧9␈εα(␈↓ ∧E␈ελx␈↓ ∧X␈εα)␈α
=␈↓ ¬≤␈ελa␈↓ ε␈εα(␈↓ ε␈ελx␈↓ ε'␈ε⊗␈␈↓ εS␈ελ␈↓ εt␈εα)␈↓ πε␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π6␈εα(␈↓ πB␈ελx␈↓ π]␈ε⊗␈␈↓ λ	␈ελ␈↓ λ5␈εα).␈↓ 
p␈εα(23)
␈βπ>␈↓ ¬,␈ε¬2␈↓ ¬;␈εm␈↓ ¬U␈ε¬+1␈↓ εe␈ε¬1␈↓ λ≠␈εm
␈βλλ␈↓ ↓H␈εαIn␈αother␈αw␈α␈ords,␈αeither␈↓ ∧)␈ελq␈↓ ∧9␈εα(␈↓ ∧E␈ελx␈↓ ∧X␈εα)␈αis␈α
iden␈α␈tically␈αzero␈α(and␈αthis␈αcan␈αhappen␈αonly␈α
when␈↓ ↔␈ελn
␈βλ3␈↓ ↓H␈εαis␈αev␈α␈en),␈αor␈αelse␈↓ βE␈ελq␈↓ βU␈εα(␈↓ βa␈ελx␈↓ βt␈εα)␈αis␈αan␈↓ ∧b␈ελm␈↓ ¬↓␈εαth␈αdegree␈αpolynomial␈αhaving␈αall␈αreal␈αroots.
␈βλ←␈↓ α␈εαNo␈α␈w␈α
w␈α␈e␈α
hav␈α␈e␈αa␈α
surprising␈α
fact␈α
disco␈α␈v␈α␈ered␈α
by␈αJ.␈α
Ev␈α␈e␈α
[␈ε∂Numer.␈α
Math.␈ε∩␈α
6␈εα␈α
(1964),
␈β	
␈↓ ↓H␈εα17↑21]:␈ε∂␈αIf␈↓ αc␈ελp␈↓ αv␈εα(␈↓ βα␈ελx␈↓ β∀␈εα)␈ε∂␈αhas␈α
at␈αleast␈↓ ∧f␈ελn␈↓ ¬↓␈ε⊗␈␈εα␈αε1␈ε∂␈αcomplex␈α
roots␈α
whose␈αreal␈α
parts␈αare␈α
all␈α
nonnega-
␈β	5␈↓ ↓H␈ε∂tiv␈α␈e,␈α	or␈α
all␈α	nonpositiv␈α␈e,␈α
then␈α	the␈α	corresponding␈α
polynomial␈↓ λ[␈ελq␈↓ λk␈εα(␈↓ λw␈ελx␈↓ 	
␈εα)␈ε∂␈α	is␈α	iden␈α␈tically␈α	zero
␈β	`␈↓ ↓H␈ε∂or␈α	has␈α	all␈α	real␈α	roots.␈εα␈α∪(See␈α	ex␈α␈ercise␈α	23.)␈α∪Since␈↓ ε}␈ελu␈↓ π∀␈εα(␈↓ π ␈ελx␈↓ π3␈εα)␈α
=␈α
0␈α	if␈α	and␈α	only␈α	if␈↓ 	a␈ελp␈↓ 	s␈εα(␈↓ 	␈␈ελx␈↓ 
⊗␈εα+␈↓ 
>␈ελc␈↓ 
L␈εα)␈α
=␈α
0,
␈β
␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αneed␈α
merely␈α
choose␈αthe␈α
parameter␈↓ ε'␈ελc␈↓ εA␈εαlarge␈α
enough␈α
that␈αat␈α
least␈↓ 	g␈ελn␈↓ 
¬␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈α
of␈αthe
␈β
7␈↓ ↓H␈εαroots␈αof␈↓ αK␈ελu␈↓ αa␈εα(␈↓ αm␈ελx␈↓ β␈εα)␈α
=␈α
0␈αhav␈α␈e␈αa␈αreal␈αpart␈ε⊗␈α∃␈α
␈␈↓ ε9␈ελc␈↓ εG␈εα,␈αand␈α(20)␈αwill␈αapply␈αwhenev␈α␈er␈↓ 
1␈ελa␈↓ λ␈εα=
␈β
D␈↓ 
A␈εn␈↓ 
S␈ε→␈␈ε¬1
␈β
b␈↓ ↓H␈ελu␈↓ α!␈ε⊗␈␈↓ αM␈ελn␈↓ αc␈ελc␈↓ αq␈ελu␈↓ β"␈ε⊗≤␈εα␈α
0.
␈β
o␈↓ ↓\␈εn␈↓ ↓n␈ε→␈␈ε¬1␈↓ βε␈εn
␈β
␈↓ α␈εαWe␈απcan␈απalso␈απdetermine␈↓ ∧j␈ελc␈↓ ¬␈εαso␈απthat␈απthese␈απconditions␈απare␈απful|lled␈απand␈απthat␈↓ 
-␈ελ␈␈↓ 
b␈εα=␈α
0.
␈β≠␈↓ 
?␈εm
␈β8␈↓ ↓H␈εαFirst␈α	the␈↓ αY␈ελn␈↓ αx␈εαroots␈α	of␈↓ βw␈ελu␈↓ ∧␈εα(␈↓ ∧_␈ελx␈↓ ∧+␈εα)␈α
=␈α
0␈α	are␈α
determined.␈αIf␈↓ π*␈ελa␈↓ πA␈εα+␈↓ πj␈ελb␈↓ πx␈ελi␈↓ λ∂␈εαis␈α
a␈α	root␈α
having␈α	the␈α	largest
␈β↑␈↓ 	:␈ε¬2␈↓ 
A␈ε¬2
␈βd␈↓ ↓H␈εαor␈α
the␈αsmallest␈α
real␈αpart,␈αand␈αif␈↓ ¬8␈ελb␈↓ ¬P␈ε⊗≤␈εα␈α
0,␈αlet␈↓ εX␈ελc␈↓ εp␈εα=␈ε⊗␈α
␈␈↓ πB␈ελa␈↓ π←␈εαand␈↓ λ#␈ελ␈↓ λZ␈εα=␈ε⊗␈α
␈␈↓ 	,␈ελb␈↓ 	I␈εα;␈αthen␈↓ 
.␈ελx␈↓ 
V␈ε⊗␈␈↓ ␈ελ
␈βq␈↓ λ6␈εm␈↓ ∪␈εm
␈β∂␈↓ ↓H␈εαis␈αa␈α
factor␈α
of␈↓ β∨␈ελu␈↓ β5␈εα(␈↓ βA␈ελx␈↓ β\␈ε⊗␈␈↓ ∧	␈ελc␈↓ ∧↔␈εα).␈α∞If␈α
the␈α
root␈α
with␈αsmallest␈α
or␈α
largest␈α
real␈α
part␈α
is␈αreal,␈α
but
␈β:␈↓ ↓H␈εαthe␈α
root␈α
with␈ε∂␈α
second␈↓ ∧≥␈εαsmallest␈α
(or␈α
second␈α∞largest)␈α
real␈α
part␈α
is␈α∞nonreal,␈α
the␈α
same
␈βe␈↓ ↓H␈εαtransformation␈αapplies.␈α∞If␈αthe␈α
t␈α␈w␈α␈o␈αroots␈α
with␈αsmallest␈α(or␈α
largest)␈αreal␈α
parts␈αare
␈β
⊂␈↓ ↓H␈εαboth␈α
real,␈α∞they␈α
can␈α
be␈α
expressed␈α∞in␈α
the␈α
form␈↓ π≠␈ελa␈↓ π6␈ε⊗␈␈↓ πc␈ελb␈↓ π␈␈εαand␈↓ λF␈ελa␈↓ λa␈εα+␈↓ 	∞␈ελb␈↓ 	≤␈εα,␈α∞respectiv␈α␈ely;␈α
let
␈β
6␈↓ ∧λ␈ε¬2␈↓ ¬&␈ε¬2
␈β
<␈↓ ↓H␈ελc␈↓ ↓`␈εα=␈ε⊗␈α
␈␈↓ α2␈ελa␈↓ αO␈εαand␈↓ β∃␈ελ␈↓ βK␈εα=␈↓ βy␈ελb␈↓ ∧⊗␈εα.␈αAgain␈↓ ¬∀␈ελx␈↓ ¬<␈ε⊗␈␈↓ ¬h␈ελ␈↓ ε ␈εαis␈αa␈αfactor␈αof␈↓ πr␈ελu␈↓ λλ␈εα(␈↓ λ∀␈ελx␈↓ λ.␈ε⊗␈␈↓ λY␈ελc␈↓ λg␈εα).␈α_(Still␈αother␈αvalues
␈β
I␈↓ β(␈εm␈↓ ¬z␈εm
␈β
g␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓q␈ελc␈↓ α
␈εαare␈αoften␈αpossible;␈αsee␈αex␈α␈ercise␈α24.)␈α_The␈αcoe}cien␈α␈t␈↓ λ/␈ελa␈↓ 		␈εαwill␈αbe␈αnonzero␈αfor
␈β
t␈↓ λ@␈εn␈↓ λR␈ε→␈␈ε¬1
␈β∞∩␈↓ ↓H␈εαat␈αleast␈αone␈αof␈αthese␈αalternativ␈α␈es,␈αunless␈↓ εG␈ελq␈↓ εW␈εα(␈↓ εc␈ελx␈↓ εv␈εα)␈αis␈αiden␈α␈tically␈αzero.
␈β∞↔␈↓ 	R␈∧∞↔	R≠∂
␈β∞U␈↓ α␈εαNote␈α
that␈αthis␈α
method␈α
of␈α
proof␈αusually␈α
giv␈α␈es␈α
at␈α
least␈αt␈α␈w␈α␈o␈α
values␈α
of␈↓ 
≤␈ελc␈↓ 
+␈εα,␈α
and␈α
w␈α␈e
␈β∂␈↓ ↓H␈εαalso␈αhav␈α␈e␈αthe␈αchance␈αto␈αperm␈α␈ute␈↓ ¬Q␈ελ␈↓ ¬r␈εα,␈↓ ελ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε8␈εα,␈↓ εN␈ελ␈↓ π2␈εαin␈α(␈↓ πh␈ελm␈↓ λ∂␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)!␈αways.␈αSome␈αof␈αthese
␈β∂
␈↓ ¬d␈ε¬1␈↓ εa␈εm␈↓ ε{␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈β∂+␈↓ ↓H␈εαalternativ␈α␈es␈αmay␈αgiv␈α␈e␈αmore␈αdesirable␈αn␈α␈umerical␈αaccuracy␈αthan␈αothers.
␈β∂m␈↓ ↓6␈ε∩*␈↓ ↓H␈ε∩Polynomial␈α
chains.␈εα␈α≠No␈α␈w␈α
let␈α∞us␈α
consider␈α
questions␈α
of␈α
optimality.␈α⊂What␈α
are␈α
the
␈β⊂→␈↓ ↓H␈ε∂best␈α∂possible␈εα␈α⊂schemes␈α⊂for␈α⊂evaluating␈α⊂polynomials␈α∂of␈α⊂various␈α⊂degrees,␈α⊃in␈α∂terms
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαof␈α∂the␈α∂minim␈α␈um␈α∂possible␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈α∂of␈α⊂arithmetic␈α∂operations?␈α∃This␈α∂question␈α∂was
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εα|rst␈α∞analyzed␈α∂by␈α∂A.␈α∂M.␈α∂Ostro␈α␈wski␈α∂in␈α∞the␈α∂case␈α∂that␈α∂no␈α∂preliminary␈α∞adaptation
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαof␈αcoe}cien␈α␈ts␈α
is␈αallo␈α␈w␈α␈ed␈α[␈ε∂Studies␈αin␈αMathematics␈αand␈αMechanics␈αpresen␈α␈ted␈αto␈α
R.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα458␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.4
␈βα&␈↓ ↓H␈ε∂v␈α␈on␈α
Mises␈εα␈α
(New␈αYork:␈α∞Academic␈α
Press,␈α
1954),␈α∞40↑48],␈α
and␈α
by␈α
T.␈α
S.␈α
Motzkin␈αin
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαthe␈αcase␈αof␈αadapted␈αcoe}cien␈α␈ts␈α[cf.␈ε∂␈αBull.␈αAmer.␈αMath.␈αSoc.␈ε∩␈α61␈εα␈α(955),␈α163].
␈βα⎇␈↓ α␈εαIn␈α
order␈αto␈α
in␈α␈v␈α␈estigate␈α
this␈αquestion,␈α
w␈α␈e␈α
can␈αextend␈α
Section␈α
4.6.3's␈αconcept
␈ββ(␈↓ ↓H␈εαof␈α
addition␈α
chains␈α
to␈α∞the␈α
notion␈α
of␈ε∂␈α
polynomial␈α∞chains␈εα.␈α∂A␈α∞polynomial␈α
chain␈α
is␈α
a
␈ββS␈↓ ↓H␈εαsequence␈αof␈αthe␈αform
␈β∧ ␈↓ ∧:␈ελx␈↓ ∧W␈εα=␈↓ ¬¬␈ελ∃␈↓ ¬(␈εα,␈↓ ¬\␈ελ∃␈↓ ¬}␈εα,␈↓ ε2␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εb␈εα,␈↓ π⊗␈ελ∃␈↓ πA␈εα=␈↓ πo␈ελu␈↓ λ¬␈εα(␈↓ λ⊃␈ελx␈↓ λ$␈εα),␈↓ 
p␈εα(24)
␈β∧-␈↓ ¬→␈ε¬0␈↓ ¬p␈ε¬1␈↓ π*␈εr
␈β∧m␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α0␈ελu␈↓ αE␈εα(␈↓ αQ␈ελx␈↓ αd␈εα)␈αis␈αsome␈αpolynomial␈αin␈↓ ¬↑␈ελx␈↓ ¬q␈εα,␈αand␈αfor␈α1␈ε⊗␈α
∀␈↓ πO␈ελi␈↓ πg␈ε⊗∀␈↓ λ∃␈ελr
␈β¬6␈↓ ∧␈εαeither␈↓ ∧f␈ελ∃␈↓ ¬⊂␈εα=␈α
(␈ε⊗ε␈↓ ¬n␈ελ∃␈↓ ε∂␈εα)␈ε⊗␈αλ¬␈↓ ε=␈ελ∃␈↓ ε`␈εα,␈↓ π2␈εα0␈ε⊗␈α
∀␈↓ π|␈ελj␈↓ λ␈εα,␈↓ λ≤␈ελk␈↓ λ8␈εα<␈↓ λf␈ελi
␈β¬D␈↓ ∧z␈εi␈↓ εα␈εj␈↓ εQ␈εk
␈β¬R␈↓ 
p␈εα(25)
␈β¬l␈↓ ∧:␈εαor␈↓ ∧f␈ελ∃␈↓ ¬⊂␈εα=␈↓ ¬>␈ελ␈↓ ¬f␈ε⊗¬␈↓ ε␈ελ∃␈↓ ε"␈εα,␈↓ π2␈εα0␈ε⊗␈α
∀␈↓ π|␈ελk␈↓ λ↔␈εα<␈↓ λE␈ελi␈↓ λS␈εα.
␈β¬z␈↓ ∧z␈εi␈↓ ¬Q␈εj␈↓ ε∀␈εk
␈βε5␈↓ ↓H␈εαHere␈α
\␈ε⊗¬␈εα"␈α
denotes␈α
an␈α␈y␈α
of␈αthe␈α
three␈α
operations␈α
\+",␈α\␈ε⊗␈␈εα",␈α
or␈α
\␈ε⊗α␈εα",␈αand␈↓ 
␈ελ␈↓ 
6␈εαdenotes
␈βεC␈↓ 
∨␈εj
␈βε`␈↓ ↓H␈εαa␈αso-called␈α\parameter."␈αSteps␈αof␈αthe␈α|rst␈αkind␈αare␈αcalled␈ε∂␈αchain␈αsteps␈εα,␈αand␈αsteps
␈βπ␈↓ ↓H␈εαof␈αthe␈αsecond␈α
kind␈αare␈α
called␈ε∂␈αparameter␈αsteps.␈εα␈α∞We␈αshall␈αassume␈α
that␈αa␈αdi{eren␈α␈t
␈βπ7␈↓ ↓H␈εαparameter␈↓ αr␈ελ␈↓ β≥␈εαis␈αused␈α
in␈αeach␈αparameter␈α
step;␈αif␈αthere␈αare␈↓ λ?␈ελs␈↓ λY␈εαparameter␈αsteps,␈α
they
␈βπD␈↓ β¬␈εj
␈βπb␈↓ ↓H␈εαshould␈αin␈α␈v␈α␈olv␈α␈e␈↓ β5␈ελ␈↓ βV␈εα,␈↓ βl␈ελ␈↓ ∧
␈εα,␈↓ ∧#␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧S␈εα,␈↓ ∧i␈ελ␈↓ ¬∀␈εαin␈αthis␈αorder.
␈βπo␈↓ βG␈ε¬1␈↓ β␈␈ε¬2␈↓ ∧|␈εs
␈βλ
␈↓ α␈εαIt␈αfollo␈α␈ws␈αthat␈αthe␈αpolynomial␈↓ ¬o␈ελu␈↓ ε¬␈εα(␈↓ ε⊃␈ελx␈↓ ε#␈εα)␈αat␈αthe␈αend␈αof␈αthe␈αchain␈αhas␈αthe␈αform
␈βλT␈↓ ¬y␈εn
␈βλZ␈↓ ∧O␈ελu␈↓ ∧e␈εα(␈↓ ∧q␈ελx␈↓ ¬∧␈εα)␈α
=␈↓ ¬H␈ελq␈↓ ¬g␈ελx␈↓ ε∪␈εα+␈↓ ε?␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εq␈εα+␈↓ π≥␈ελq␈↓ π9␈ελx␈↓ πS␈εα+␈↓ π␈␈ελq␈↓ λ≠␈εα,␈↓ 
p␈εα(26)
␈βλh␈↓ ¬U␈εn␈↓ π*␈ε¬1␈↓ λ␈ε¬0
␈β	'␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α2␈ελq␈↓ αQ␈εα,␈↓ αi␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β→␈εα,␈↓ β2␈ελq␈↓ βM␈εα,␈↓ βf␈ελq␈↓ ∧∂␈εαare␈α∞polynomials␈α∞in␈↓ εC␈ελ␈↓ εd␈εα,␈↓ ε⎇␈ελ␈↓ π≡␈εα,␈↓ π7␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πg␈εα,␈↓ π␈␈ελ␈↓ λ,␈εαwith␈α∞in␈α␈teger␈α∞coe}cien␈α␈ts.
␈β	5␈↓ α?␈εn␈↓ β?␈ε¬1␈↓ βs␈ε¬0␈↓ εV␈ε¬1␈↓ π⊂␈ε¬2␈↓ λ∩␈εs
␈β	R␈↓ ↓H␈εαWe␈α
shall␈α
in␈α␈terpret␈α∞the␈α
parameters␈↓ ¬p␈ελ␈↓ ε⊃␈εα,␈↓ ε)␈ελ␈↓ εJ␈εα,␈↓ εb␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π∩␈εα,␈↓ π)␈ελ␈↓ πV␈εαas␈α
real␈α∞n␈α␈um␈α␈bers,␈α∞and␈α
w␈α␈e␈α
shall
␈β	`␈↓ εβ␈ε¬1␈↓ ε;␈ε¬2␈↓ π<␈εs
␈β	}␈↓ ↓H␈εαtherefore␈α	restrict␈α	ourselv␈α␈es␈α	to␈α	considering␈α
the␈α	evaluation␈α	of␈α	polynomials␈α	with␈α	real
␈β
)␈↓ ↓H␈εαcoe}cien␈α␈ts.␈αThe␈ε∂␈αresult␈αset␈ελ␈αR␈εα␈αof␈αa␈αpolynomial␈αchain␈αis␈αde|ned␈αto␈αbe␈αthe␈αset␈αof␈αall
␈β
T␈↓ ↓H␈εαv␈α␈ectors␈α(␈↓ αN␈ελq␈↓ αm␈εα,␈↓ α⎇␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β-␈εα,␈↓ β=␈ελq␈↓ βX␈εα,␈↓ βh␈ελq␈↓ ∧∧␈εα)␈αof␈αreal␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αthat␈αoccur␈αas␈↓ πr␈ελ␈↓ λ∪␈εα,␈↓ λ)␈ελ␈↓ λJ␈εα,␈↓ λ←␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	∂␈εα,␈↓ 	%␈ελ␈↓ 	O␈εαindependen␈α␈tly
␈β
a␈↓ α[␈εn␈↓ βJ␈ε¬1␈↓ βu␈ε¬0␈↓ λ¬␈ε¬1␈↓ λ;␈ε¬2␈↓ 	8␈εs
␈β
␈␈↓ ↓H␈εαassume␈αall␈αpossible␈αreal␈αvalues.
␈β*␈↓ α␈εαIf␈α
for␈α
ev␈α␈ery␈α
choice␈α
of␈↓ ∧d␈ελt␈↓ ∧y␈εα+␈α	1␈α
distinct␈α
in␈α␈tegers␈↓ πN␈ελj␈↓ πi␈εα,␈↓ λ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ0␈εα,␈↓ λG␈ελj␈↓ λj␈ε⊗2␈αf␈εα0,␈αε1,␈↓ 	h␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
_␈εα,␈↓ 
(␈ελn␈↓ 
>␈ε⊗g␈εα␈αthere
␈β8␈↓ π[␈ε¬0␈↓ λT␈εt
␈βV␈↓ ↓H␈εαis␈α⊂a␈α⊂nonzero␈α⊂m␈α␈ultivariate␈α⊂polynomial␈↓ ε,␈ελf␈↓ π
␈εαwith␈α⊂in␈α␈teger␈α⊂coe}cien␈α␈ts␈α⊂such␈α⊂that
␈βc␈↓ ε7␈εj␈↓ εM␈ε¬...␈↓ εe␈εj
␈βl␈↓ εB␈επ0␈↓ εp␈ε
t
␈β↓␈↓ ↓H␈ελf␈↓ α⊗␈εα(␈↓ α"␈ελq␈↓ αE␈εα,␈↓ αU␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β¬␈εα,␈↓ β∃␈ελq␈↓ β6␈εα)␈α
=␈α0␈α
for␈α
all␈α
(␈↓ ¬⊗␈ελq␈↓ ¬5␈εα,␈↓ ¬E␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬u␈εα,␈↓ ε¬␈ελq␈↓ ε!␈εα,␈↓ ε1␈ελq␈↓ εL␈εα)␈α
in␈ελ␈α
R␈εα,␈α∞let␈α
us␈α
say␈α∞that␈α
the␈α
result␈α
set␈ελ␈α
R
␈β∞␈↓ ↓S␈εj␈↓ ↓i␈ε¬...␈↓ α↓␈εj␈↓ α/␈εj␈↓ β"␈εj␈↓ ¬#␈εn␈↓ ε∩␈ε¬1␈↓ ε>␈ε¬0
␈β↔␈↓ ↓↑␈επ0␈↓ α␈ε
t␈↓ α:␈επ0␈↓ β-␈ε
t
␈β,␈↓ ↓H␈εαhas␈α	at␈α
most␈↓ β¬␈ελt␈↓ β≠␈ε∂degrees␈α
of␈α
freedom␈εα,␈α
and␈α	that␈α
the␈α
chain␈α	(24)␈α
has␈α
at␈α	most␈↓ 	|␈ελt␈↓ 
∪␈εαdegrees␈α	of
␈βW␈↓ ↓H␈εαfreedom.␈α∂We␈α
also␈α
say␈α
that␈α
the␈αchain␈α
(24)␈ε∂␈α
computes␈εα␈α
a␈α
giv␈α␈en␈α
polynomial␈↓ 
<␈ελu␈↓ 
R␈εα(␈↓ 
↑␈ελx␈↓ 
q␈εα)␈α=
␈β⎇␈↓ α↓␈εn
␈β
α␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓n␈ελx␈↓ α↔␈εα+␈↓ α?␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ αm␈εα+␈↓ β∃␈ελu␈↓ β8␈ελx␈↓ βN␈εα+␈↓ βv␈ελu␈↓ ∧"␈εαif␈α	(␈↓ ∧M␈ελu␈↓ ∧t␈εα,␈↓ ¬∧␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬4␈εα,␈↓ ¬D␈ελu␈↓ ¬g␈εα,␈↓ ¬w␈ελu␈↓ ε~␈εα)␈α	is␈α	in␈ελ␈α	R␈εα.␈αIt␈α	follo␈α␈ws␈α	that␈αλa␈α	polynomial␈α	chain
␈β
⊂␈↓ ↓\␈εn␈↓ β)␈ε¬1␈↓ ∧␈ε¬0␈↓ ∧b␈εn␈↓ ¬X␈ε¬1␈↓ ε␈ε¬0
␈β
.␈↓ ↓H␈εαwith␈α
at␈α∞most␈↓ β"␈ελn␈↓ βE␈εαdegrees␈α∞of␈α
freedom␈α
cannot␈α∞compute␈α
all␈↓ λ:␈ελn␈↓ λP␈εαth␈α
degree␈α
polynomials
␈β
Y␈↓ ↓H␈εα(see␈αex␈α␈ercise␈α27).
␈β∞∧␈↓ α␈εαAs␈απan␈απexample␈αεof␈απa␈απpolynomial␈απchain,␈απconsider␈απthe␈απfollo␈α␈wing␈απchain␈αεcorrespond-
␈β∞/␈↓ ↓H␈εαing␈αto␈αTheorem␈αE␈↓ β`␈εα,␈αwhen␈↓ ∧T␈ελn␈↓ ∧u␈εαis␈αodd:
␈β∂␈↓ ∧→␈ελ∃␈↓ ∧F␈εα=␈↓ ∧t␈ελx
␈β∂
␈↓ ∧-␈ε¬0
␈β∂.␈↓ ∧→␈ελ∃␈↓ ∧F␈εα=␈↓ ∧t␈ελ␈↓ ¬≥␈εα+␈↓ ¬I␈ελ∃
␈β∂<␈↓ ∧-␈ε¬1␈↓ ¬ε␈ε¬1␈↓ ¬]␈ε¬0
␈β∂]␈↓ ∧→␈ελ∃␈↓ ∧F␈εα=␈↓ ∧t␈ελ∃␈↓ ¬≡␈ε⊗α␈↓ ¬J␈ελ∃
␈β∂k␈↓ ∧-␈ε¬2␈↓ ¬λ␈ε¬1␈↓ ¬↑␈ε¬1
␈β⊂␈↓ ∧→␈ελ∃␈↓ ∧F␈εα=␈↓ ∧t␈ελ␈↓ ¬≥␈ε⊗α␈↓ ¬I␈ελ∃
␈β⊂→␈↓ ∧-␈ε¬3␈↓ ¬ε␈ε¬2␈↓ ¬]␈ε¬1
␈β⊂≠␈↓ ε}␈ε↓9
␈β⊂;␈↓ βc␈ελ∃␈↓ ∧F␈εα=␈↓ ∧t␈ελ␈↓ ¬T␈εα+␈↓ ε␈ελ∃
␈β⊂<␈↓ ε}␈ε↓=
␈β⊂H␈↓ βw␈ε¬1+3␈↓ ∧0␈εi␈↓ ¬ε␈ε¬1␈α↓+2␈↓ ¬@␈εi␈↓ ε∀␈ε¬3␈↓ ε"␈εi
␈β⊂f␈↓ π:␈εα1␈ε⊗␈α
∀␈↓ λ∧␈ελi␈↓ λ≤␈εα<␈↓ λJ␈ελn␈↓ λ←␈εα/2.
␈β⊂j␈↓ βc␈ελ∃␈↓ ∧F␈εα=␈↓ ∧t␈ελ␈↓ ¬T␈εα+␈↓ ε␈ελ∃
␈β⊂w␈↓ βw␈ε¬2+3␈↓ ∧0␈εi␈↓ ¬ε␈ε¬2␈α↓+2␈↓ ¬@␈εi␈↓ ε∀␈ε¬2
␈β⊂|␈↓ ε}␈ε↓;
␈β⊃∃␈↓ 
p␈εα(27)
␈β⊃_␈↓ βc␈ελ∃␈↓ ∧F␈εα=␈↓ ∧t␈ελ∃␈↓ ¬U␈ε⊗α␈↓ ε↓␈ελ∃
␈β⊃&␈↓ βw␈ε¬3+3␈↓ ∧0␈εi␈↓ ¬λ␈ε¬1+3␈↓ ¬A␈εi␈↓ ε∃␈ε¬2+3␈↓ εN␈εi
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.4␈ε∞␈↓ π∧EV␈α|AL␈α␈U␈α␈A␈α}T␈α␈ION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα459
␈βα&␈↓ ↓H␈εαThere␈αare␈ε⊗␈αb␈↓ αy␈ελn␈↓ β∂␈εα/2␈ε⊗c␈εα␈απ+␈αλ2␈αm␈α␈ultiplications␈αand␈↓ εL␈ελn␈↓ εm␈εαadditions;␈ε⊗␈αb␈↓ λ!␈ελn␈↓ λ6␈εα/2␈ε⊗c␈εα␈αλ+␈απ1␈αchain␈αsteps␈αand
␈βαQ␈↓ ↓H␈ελn␈↓ ↓g␈εα+␈α	1␈α∞parameter␈α
steps.␈α∩By␈α∞Theorem␈α∞E␈↓ ε7␈εα,␈α∞the␈α∞result␈α
set␈ελ␈α∞R␈εα␈α∞includes␈α∞the␈α∞set␈α∞of␈α
all
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελu␈↓ ↓z␈εα,␈↓ α
␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ α:␈εα,␈↓ αJ␈ελu␈↓ αm␈εα,␈↓ α⎇␈ελu␈↓ β ␈εα)␈α
with␈↓ ∧␈ελu␈↓ ∧?␈ε⊗≤␈εα␈α0,␈α∞so␈α
(27)␈α
computes␈α
all␈α
polynomials␈α∞of␈α
degree␈↓ 
I␈ελn␈↓ 
←␈εα.␈α∂We
␈ββ
␈↓ ↓h␈εn␈↓ α←␈ε¬1␈↓ β∩␈ε¬0␈↓ ∧!␈εn
␈ββ(␈↓ ↓H␈εαcannot␈α
pro␈α␈v␈α␈e␈α
that␈ελ␈α
R␈εα␈α
has␈α∞at␈α
most␈↓ ¬←␈ελn␈↓ εα␈εαdegrees␈α
of␈α
freedom,␈α∞since␈α
the␈α
result␈α
set␈α
has
␈ββS␈↓ ↓H␈ελn␈↓ ↓e␈εα+␈αλ1␈αindependen␈α␈t␈αcomponen␈α␈ts.
␈ββ}␈↓ α␈ε∂A␈α	polynomial␈α
chain␈α	with␈↓ ¬∀␈ελs␈↓ ¬,␈ε∂parameter␈α
steps␈α	has␈α	at␈α
most␈↓ λi␈ελs␈↓ 	α␈ε∂degrees␈α	of␈α	freedom.
␈β∧)␈↓ ↓H␈εαIn␈α	a␈α
sense,␈α
this␈α
is␈α	obvious:␈αw␈α␈e␈α
can't␈α
compute␈α	a␈α
function␈α
with␈↓ λt␈ελt␈↓ 	␈εαdegrees␈α
of␈α	freedom
␈β∧U␈↓ ↓H␈εαusing␈απfew␈α␈er␈απthan␈↓ βK␈ελt␈↓ β←␈εαarbitrary␈αλparameters.␈α
But␈αλthis␈απin␈α␈tuitiv␈α␈e␈απfact␈αλis␈απnot␈αλeasy␈απto␈απpro␈α␈v␈α␈e
␈β¬␈↓ ↓H␈εαformally;␈α	for␈α	example,␈α	there␈αλare␈α	con␈α␈tin␈α␈uous␈αλfunctions␈α	(\space-|lling␈αλcurv␈α␈es")␈αλthat
␈β¬+␈↓ ↓H␈εαmap␈απthe␈αλreal␈αλline␈αλon␈α␈to␈απa␈αλplane,␈α	and␈απsuch␈αλfunctions␈αλmap␈αλa␈απsingle␈αλparameter␈αλin␈α␈to␈απt␈α␈w␈α␈o
␈β¬V␈↓ ↓H␈εαindependen␈α␈t␈α	parameters.␈αFor␈α
our␈α	purposes,␈αw␈α␈e␈α	need␈α
to␈α
v␈α␈erify␈α
that␈α
no␈α	polynomial
␈βε↓␈↓ ↓H␈εαfunctions␈α
with␈α
in␈α␈teger␈α
coe}cien␈α␈ts␈αcan␈α
hav␈α␈e␈α
such␈αa␈α
property;␈αand␈α
a␈α
proof␈α
appears
␈βε-␈↓ ↓H␈εαin␈αex␈α␈ercise␈α28.
␈βεX␈↓ α␈εαGiv␈α␈en␈αthis␈αfact,␈αw␈α␈e␈αcan␈αproceed␈αto␈αpro␈α␈v␈α␈e␈αthe␈αresults␈αw␈α␈e␈αseek:
␈βπ↔␈↓ ↓H␈ε∩Theorem␈αM␈εα␈α(T.␈αS.␈αMotzkin,␈α1954)␈ε∩.␈ε∂␈α_A␈αpolynomial␈αchain␈αwith␈↓ 	∞␈ελm␈↓ 	8␈εα>␈α
0␈ε∂␈αm␈α␈ultiplica-
␈βπB␈↓ ↓H␈ε∂tions␈αhas␈αat␈αmost␈εα␈α2␈↓ βv␈ελm␈↓ ∧!␈ε∂degrees␈αof␈αfreedom.
␈βλα␈↓ ↓H␈ε∂Proof.␈εα␈α∞Let␈↓ αr␈ελ⊗␈↓ β∪␈εα,␈↓ β%␈ελ⊗␈↓ βG␈εα,␈↓ βY␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧	␈εα,␈↓ ∧≤␈ελ⊗␈↓ ∧P␈εαbe␈απthe␈↓ ¬5␈ελ∃␈↓ ¬T␈εα's␈αλof␈αλthe␈απchain␈αλthat␈απcorrespond␈αλto␈απm␈α␈ultiplication
␈βλ∂␈↓ β¬␈ε¬1␈↓ β8␈ε¬2␈↓ ∧.␈εm␈↓ ¬I␈εi
␈βλ-␈↓ ↓H␈εαoperations.␈αThen
␈βλx␈↓ ∧≡␈ελ⊗␈↓ ∧F␈εα=␈↓ ∧t␈ελS␈↓ ¬S␈ε⊗α␈↓ ¬␈␈ελS␈↓ ε+␈εα,␈↓ πβ1␈ε⊗␈α
∀␈↓ πM␈ελi␈↓ πe␈ε⊗∀␈↓ λ∪␈ελm␈↓ λ3␈εα,
␈β	ε␈↓ ∧0␈εi␈↓ ¬ε␈ε¬2␈↓ ¬∀␈εi␈↓ ¬ ␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ε⊃␈ε¬2␈↓ ε∨␈εi
␈β	.␈↓ β|␈ελu␈↓ ∧⊃␈εα(␈↓ ∧≥␈ελx␈↓ ∧0␈εα)␈↓ ∧F␈εα=␈↓ ∧t␈ελS␈↓ ¬Y␈εα,␈↓ 
p␈εα(28)
␈β	<␈↓ ¬ε␈ε¬2␈↓ ¬∀␈εm␈↓ ¬.␈ε¬+1
␈β
↓␈↓ ↓H␈εαwhere␈αeach␈↓ β␈ελS␈↓ β*␈εαis␈αa␈αcertain␈αsum␈αof␈↓ ¬V␈ελ⊗␈↓ ¬j␈εα's,␈↓ ε↔␈ελx␈↓ ε*␈εα's,␈αand␈↓ π≥␈ελ␈↓ π0␈εα's.␈αWrite␈↓ λC␈ελS␈↓ λm␈εα=␈↓ 	≠␈ελT␈↓ 	D␈εα+␈↓ 	o␈ελ␈␈↓ 
∞␈εα,␈αwhere␈↓ 
␈ελT
␈β
∂␈↓ β∩␈εj␈↓ λU␈εj␈↓ 	0␈εj␈↓ 
↓␈εj␈↓ ∨␈εj
␈β
-␈↓ ↓H␈εαis␈αa␈αsum␈αof␈↓ β␈ελ⊗␈↓ β∀␈εα's␈αand␈↓ β}␈ελx␈↓ ∧⊂␈εα's␈αwhile␈↓ ¬∩␈ελ␈␈↓ ¬>␈εαis␈αa␈αsum␈αof␈↓ εv␈ελ␈↓ π	␈εα's.
␈β
:␈↓ ¬$␈εj
␈β
X␈↓ α␈εαNo␈α␈w␈↓ αb␈ελu␈↓ αw␈εα(␈↓ ββ␈ελx␈↓ β⊗␈εα)␈α∂is␈α∂expressible␈α∞as␈α∂a␈α∂polynomial␈α∞in␈↓ πI␈ελx␈↓ π\␈εα,␈↓ πu␈ελ␈␈↓ λ⊗␈εα,␈↓ λ/␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ←␈εα,␈↓ λy␈ελ␈␈↓ 	m␈εαwith␈α∞in␈α␈teger
␈β
e␈↓ λπ␈ε¬1␈↓ 	␈ε¬2␈↓ 	→␈εm␈↓ 	3␈ε¬+1
␈ββ␈↓ ↓H␈εαcoe}cien␈α␈ts.␈αSince␈α
the␈↓ ∧∨␈ελ␈␈↓ ∧5␈εα's␈α
are␈αexpressible␈α
as␈αlinear␈α
functions␈α
of␈↓ 	⊗␈ελ␈↓ 	7␈εα,␈↓ 	L␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	|␈εα,␈↓ 
⊂␈ελ␈↓ 
/␈εα,␈αthe␈α
set
␈β⊂␈↓ 	(␈ε¬1␈↓ 
#␈εs
␈β.␈↓ ↓H␈εαof␈αvalues␈αrepresen␈α␈ted␈αby␈αall␈αreal␈αvalues␈αof␈↓ εc␈ελ␈␈↓ π∧␈εα,␈↓ π~␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πJ␈εα,␈↓ π`␈ελ␈␈↓ λQ␈εαcon␈α␈tains␈αthe␈αresult␈αset
␈β<␈↓ εu␈ε¬1␈↓ πr␈ε¬2␈↓ λ␈εm␈↓ λ~␈ε¬+1
␈βY␈↓ ↓H␈εαof␈αthe␈αchain.␈αTherefore␈αthere␈αare␈αa␈αmost␈α2␈↓ εY␈ελm␈↓ ε␈␈εα+␈απ1␈αdegrees␈αof␈αfreedom;␈αthis␈αcan␈αbe
␈β¬␈↓ ↓H␈εαimpro␈α␈v␈α␈ed␈αto␈α2␈↓ β$␈ελm␈↓ βO␈εαwhen␈↓ ∧-␈ελm␈↓ ∧W␈εα>␈α
0,␈αas␈αsho␈α␈wn␈αin␈αex␈α␈ercise␈α30.
␈β
␈↓ λK␈∧
λK≠∂
␈βD␈↓ α␈εαAn␈α∩example␈α∪of␈α∩the␈α∪construction␈α∩in␈α∩the␈α∪proof␈α∩of␈α∩Theorem␈α∪M␈α∩appears␈α∩in
␈βo␈↓ ↓H␈εαex␈α␈ercise␈α25.␈αA␈αsimilar␈αresult␈αcan␈αbe␈αpro␈α␈v␈α␈ed␈αfor␈αadditions:
␈β
%␈↓ β⊂␈εα∞
␈β
.␈↓ ↓H␈ε∩Theorem␈α	A␈εα␈α
(␈↓ β
␈εαE␈↓ β%␈εα.␈αG.␈α	Belaga,␈α1958)␈ε∩.␈ε∂␈α∀A␈α	polynomial␈α
chain␈α
con␈α␈taining␈↓ 	?␈ελq␈↓ 	Y␈ε∂additions␈α	and
␈β
Z␈↓ ↓H␈ε∂subtractions␈αhas␈αat␈αmost␈↓ ∧X␈ελq␈↓ ∧p␈εα+␈αλ1␈ε∂␈αdegrees␈αof␈αfreedom.
␈β∞→␈↓ ↓H␈ε∂Proof.␈εα␈α≠[␈ε∂Problemi␈α
Kibernetiki␈ε∩␈α5␈εα␈α
(1961),␈α∞7↑15.]␈α≠Let␈↓ πs␈ελ∀␈↓ λ∩␈εα,␈↓ λ)␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λY␈εα,␈↓ λp␈ελ∀␈↓ 	≠␈εαbe␈α
the␈↓ 
␈ελ∃␈↓ 
+␈εα's␈αof␈α
the
␈β∞&␈↓ λβ␈ε¬1␈↓ 	↓␈εq␈↓ 
∨␈εi
␈β∞D␈↓ ↓H␈εαchain␈αthat␈αcorrespond␈αto␈αaddition␈αor␈αsubtraction␈αoperations.␈αThen
␈β∂⊂␈↓ ∧∩␈ελ∀␈↓ ∧9␈εα=␈ε⊗␈α
ε␈↓ ¬␈ελT␈↓ ¬m␈ε⊗ε␈↓ ε→␈ελT␈↓ εH␈εα,␈↓ π 1␈ε⊗␈α
∀␈↓ πj␈ελi␈↓ λα␈ε⊗∀␈↓ λ0␈ελq␈↓ λ@␈εα,
␈β∂≥␈↓ ∧#␈εi␈↓ ¬ ␈ε¬2␈↓ ¬.␈εi␈↓ ¬:␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ ε.␈ε¬2␈↓ ε<␈εi
␈β∂F␈↓ βn␈ελu␈↓ ∧∧␈εα(␈↓ ∧⊂␈ελx␈↓ ∧#␈εα)␈↓ ∧9␈εα=␈↓ ∧g␈ελT␈↓ ¬C␈εα,␈↓ 
p␈εα(29)
␈β∂S␈↓ ∧|␈ε¬2␈↓ ¬
␈εq␈↓ ¬↔␈ε¬+1
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εαwhere␈α⊃each␈↓ β␈ελT␈↓ β?␈εαis␈α⊃a␈α⊃product␈α∩of␈↓ ¬F␈ελ∀␈↓ ¬Y␈εα's,␈↓ ε
␈ελx␈↓ ε ␈εα's,␈α∩and␈↓ π∨␈ελ␈↓ π3␈εα's.␈α≤We␈α⊃may␈α⊃write␈↓ 	l␈ελT␈↓ 
!␈εα=␈↓ 
W␈ελA␈↓ ␈ελB␈↓ "␈εα,
␈β⊂&␈↓ β!␈εj␈↓ 
↓␈εj␈↓ 
n␈εj␈↓ ∃␈εj
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α2␈ελA␈↓ αd␈εαis␈α∞a␈α∞product␈α∞of␈↓ ∧↑␈ελ␈↓ ∧r␈εα's␈α∞and␈↓ ¬a␈ελB␈↓ ε⊃␈εαis␈α∞a␈α∞product␈α∞of␈↓ λ␈ελ∀␈↓ λ≡␈εα's␈α∞and␈↓ 	␈ελx␈↓ 	∨␈εα's.␈α∩The␈α∞follo␈α␈wing
␈β⊂Q␈↓ αI␈εj␈↓ ¬v␈εj
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαtransformation␈αmay␈αno␈α␈w␈αbe␈αmade␈αto␈αthe␈αchain,␈αsuccessiv␈α␈ely␈αfor␈↓ 	7␈ελi␈↓ 	O␈εα=␈α
1,␈α2,␈↓ 
M␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
⎇␈εα,␈↓ ∩␈ελq␈↓ "␈εα:
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαLet␈↓ α␈ελ␈␈↓ α6␈εα=␈↓ αf␈ελA␈↓ β↔␈εα/␈↓ β)␈ελA␈↓ ∧¬␈εα,␈α∞so␈α∞that␈↓ ¬≠␈ελ∀␈↓ ¬D␈εα=␈↓ ¬u␈ελA␈↓ εQ␈εα(␈ε⊗ε␈↓ π↓␈ελB␈↓ πd␈ε⊗ε␈↓ λ⊃␈ελ␈␈↓ λ3␈ελB␈↓ λb␈εα).␈α⊃Then␈α∞change␈↓ 
c␈ελ∀␈↓ ␈εαto
␈β⊃(␈↓ α≥␈εi␈↓ α⎇␈ε¬2␈↓ β␈εi␈↓ β@␈ε¬2␈↓ βO␈εi␈↓ βZ␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ¬,␈εi␈↓ ε␈ε¬2␈↓ ε~␈εi␈↓ ε%␈ε→␈␈ε¬1␈↓ π⊗␈ε¬2␈↓ π$␈εi␈↓ π0␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ λ#␈εi␈↓ λH␈ε¬2␈↓ λW␈εi␈↓ 
s␈εi
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα460␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.4
␈βα%␈↓ ↓H␈ε⊗ε␈↓ ↓l␈ελB␈↓ αP␈ε⊗ε␈↓ α}␈ελ␈␈↓ β!␈ελB␈↓ βP␈εα,␈α⊂and␈α∂replace␈α⊂each␈α∂occurrence␈α⊂of␈↓ πi␈ελ∀␈↓ λ∃␈εαin␈α∂future␈α⊂form␈α␈ulas␈↓ 
H␈ελT␈↓ "␈εα,
␈βα2␈↓ α↓␈ε¬2␈↓ α∂␈εi␈↓ α≠␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ β⊂␈εi␈↓ β6␈ε¬2␈↓ βD␈εi␈↓ πz␈εi␈↓ 
]␈ε¬2␈↓ 
l␈εi␈↓ 
w␈ε¬+1
␈βαP␈↓ ↓H␈ελT␈↓ α"␈εα,␈↓ α5␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ αe␈εα,␈↓ αw␈ελT␈↓ β[␈εαby␈↓ ∧␈ελA␈↓ ∧g␈ελ∀␈↓ ¬∧␈εα.␈α∂(This␈αλreplacemen␈α␈t␈αλmay␈αλchange␈αλthe␈αλvalues␈αλof␈↓ 
F␈ελA␈↓ "␈εα,
␈βα↑␈↓ ↓]␈ε¬2␈↓ ↓k␈εi␈↓ ↓w␈ε¬+␈α␈2␈↓ β␈ε¬2␈↓ β≠␈εq␈↓ β(␈ε¬+1␈↓ ∧"␈ε¬2␈↓ ∧1␈εi␈↓ ∧<␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ∧x␈εi␈↓ 
]␈ε¬2␈↓ 
l␈εi␈↓ 
w␈ε¬+1
␈βα{␈↓ ↓H␈ελA␈↓ α$␈εα,␈↓ α:␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ αj␈εα,␈↓ β␈ελA␈↓ β↑␈εα.)
␈ββ	␈↓ ↓←␈ε¬2␈↓ ↓m␈εi␈↓ ↓y␈ε¬+␈α␈2␈↓ β↔␈ε¬2␈↓ β%␈εq␈↓ β2␈ε¬+1
␈ββ)␈↓ α␈εαAfter␈α
the␈α∞abo␈α␈v␈α␈e␈α
transformation␈α
has␈α
been␈α∞done␈α
for␈α
all␈↓ λc␈ελi␈↓ λq␈εα,␈α∞let␈↓ 	>␈ελ␈␈↓ 
∃␈εα=␈↓ 
E␈ελA␈↓ "␈εα;
␈ββ6␈↓ 	P␈εq␈↓ 	]␈ε¬+1␈↓ 
\␈ε¬2␈↓ 
j␈εq␈↓ 
w␈ε¬+1
␈ββT␈↓ ↓H␈εαthen␈↓ α→␈ελu␈↓ α/␈εα(␈↓ α;␈ελx␈↓ αN␈εα)␈αcan␈αbe␈αexpressed␈αas␈αa␈αpolynomial␈αin␈↓ π%␈ελ␈␈↓ πF␈εα,␈↓ π\␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ␈εα,␈↓ λ!␈ελ␈␈↓ λl␈εα,␈αand␈↓ 	G␈ελx␈↓ 	Z␈εα,␈αwith␈αin␈α␈teger
␈ββa␈↓ π7␈ε¬1␈↓ λ3␈εq␈↓ λA␈ε¬+␈α␈1
␈ββ␈␈↓ ↓H␈εαcoe}cien␈α␈ts.␈α∩We␈α
are␈α∞almost␈α∞ready␈α∞to␈α∞complete␈α∞the␈α∞proof,␈α∂but␈α∞it␈α∞is␈α
necessary␈α∞to
␈β∧*␈↓ ↓H␈εαbe␈αcareful␈α
because␈αthe␈αpolynomials␈α
obtained␈αas␈↓ π;␈ελ␈␈↓ π[␈εα,␈↓ πr␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ"␈εα,␈↓ λ8␈ελ␈␈↓ 	∂␈εαrange␈α
o␈α␈v␈α␈er␈αall␈αreal
␈β∧8␈↓ πM␈ε¬1␈↓ λJ␈εq␈↓ λW␈ε¬+1
␈β∧V␈↓ ↓H␈εαvalues␈αmay␈α
not␈α
include␈αall␈α
polynomials␈α
represen␈α␈table␈α
by␈αthe␈α
original␈α
chain␈α(see
␈β¬↓␈↓ ↓H␈εαex␈α␈ercise␈α
26);␈α
it␈αis␈α
possible␈α
to␈α
hav␈α␈e␈↓ ¬U␈ελA␈↓ ε;␈εα=␈α
0,␈αfor␈α
some␈α
values␈α
of␈α
the␈↓ 	n␈ελ␈↓ 
α␈εα's,␈α
and␈α
this
␈β¬∞␈↓ ¬l␈ε¬2␈↓ ¬z␈εi␈↓ εε␈ε→␈␈ε¬1
␈β¬,␈↓ ↓H␈εαmak␈α␈es␈↓ α5␈ελ␈␈↓ α↑␈εαunde|ned.
␈β¬9␈↓ αG␈εi
␈β¬Z␈↓ α␈εαTo␈α∞complete␈α∞the␈α∞proof,␈α∂let␈α∞us␈α
observ␈α␈e␈α∞that␈α∞the␈α∞result␈α∞set␈ελ␈α∞R␈εα␈α∞of␈α∞the␈α∞original
␈βε␈↓ πT␈ε→0
␈βε¬␈↓ ↓H␈εαchain␈α
can␈αbe␈α
written␈ελ␈α
R␈εα␈α=␈↓ ∧o␈ελR␈↓ ¬∨␈ε⊗[␈↓ ¬B␈ελR␈↓ ¬r␈ε⊗[␈↓ ε∃␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εG␈ε⊗[␈↓ εj␈ελR␈↓ π→␈ε⊗[␈↓ π;␈ελR␈↓ π[␈εα,␈α∞where␈↓ λ[␈ελR␈↓ 	
␈εαis␈α
the␈α
set␈α
of␈αresult
␈βε∩␈↓ ¬λ␈ε¬1␈↓ ¬[␈ε¬2␈↓ πβ␈εq␈↓ λt␈εi
␈βε+␈↓ π∃␈ε→0
␈βε0␈↓ ↓H␈εαv␈α␈ectors␈αλpossible␈α	when␈↓ ∧≤␈ελA␈↓ ¬α␈εα=␈α
0,␈α	and␈α	where␈↓ ε|␈ελR␈↓ π%␈εαis␈αλthe␈α	set␈αλof␈α	result␈αλv␈α␈ectors␈αλpossible
␈βε=␈↓ ∧3␈ε¬2␈↓ ∧A␈εi␈↓ ∧M␈ε→␈␈ε¬1
␈βεV␈↓ 	∧␈ε→0
␈βε[␈↓ ↓H␈εαwhen␈αall␈↓ αV␈ελ␈↓ αj␈εα's␈αare␈αnonzero.␈αThe␈αdiscussion␈αabo␈α␈v␈α␈e␈αpro␈α␈v␈α␈es␈αthat␈↓ λk␈ελR␈↓ 	⊗␈εαhas␈αat␈αmost␈↓ 
X␈ελq␈↓ 
o␈εα+␈απ1
␈βπε␈↓ ↓H␈εαdegrees␈α
of␈α
freedom.␈α⊂If␈↓ ∧/␈ελA␈↓ ¬↔␈εα=␈α0,␈α∞then␈↓ εD␈ελT␈↓ π*␈εα=␈α0,␈α∞so␈α
addition␈α
step␈↓ 
∞␈ελ∀␈↓ 
7␈εαmay␈α
be
␈βπ∀␈↓ ∧F␈ε¬2␈↓ ∧U␈εi␈↓ ∧`␈ε→␈␈ε¬1␈↓ εY␈ε¬2␈↓ εh␈εi␈↓ εs␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 
≡␈εi
␈βπ2␈↓ ↓H␈εαdropped␈α
to␈α∞obtain␈α∞another␈α
chain␈α∞computing␈α∞the␈α∞result␈α
set␈↓ λo␈ελR␈↓ 	∪␈εα;␈α∂by␈α∞induction␈α
w␈α␈e
␈βπ?␈↓ 	λ␈εi
␈βπ]␈↓ ↓H␈εαsee␈αthat␈α
each␈↓ β#␈ελR␈↓ βT␈εαhas␈αat␈α
most␈↓ ¬→␈ελq␈↓ ¬6␈εαdegrees␈αof␈α
freedom.␈α
Hence␈α
by␈αex␈α␈ercise␈α29,␈ελ␈α
R␈εα␈αhas
␈βπj␈↓ β<␈εi
␈βλλ␈↓ ↓H␈εαat␈αmost␈↓ αL␈ελq␈↓ αd␈εα+␈αλ1␈αdegrees␈αof␈αfreedom.
␈βλ
␈↓ ε¬␈∧λ
ε¬≠∂
␈βλY␈↓ ↓H␈ε∩Theorem␈α∂C.␈ε∂␈α∨If␈α⊂a␈α∂polynomial␈α∂chain␈εα␈α⊂(24)␈ε∂␈α∂computes␈α⊂all␈↓ λ6␈ελn␈↓ λL␈ε∂th␈α∂degree␈α∂polynomials
␈βλ␈␈↓ βα␈εn
␈β	∧␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓]␈εα(␈↓ ↓i␈ελx␈↓ ↓|␈εα)␈α∞=␈↓ αH␈ελu␈↓ αo␈ελx␈↓ β≥␈εα+␈↓ βK␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ β␈␈εα+␈↓ ∧,␈ελu␈↓ ∧O␈ε∂,␈α⊂for␈α∞some␈↓ ε␈ελn␈↓ ε#␈ε⊗∃␈εα␈α∂2␈ε∂,␈α∂then␈α∞it␈α∂includes␈α∞at␈α∂least␈ε⊗␈α∞b␈↓ 
≠␈ελn␈↓ 
1␈εα/2␈ε⊗c␈εα␈α
+␈α	1
␈β	∩␈↓ α]␈εn␈↓ ∧A␈ε¬0
␈β	/␈↓ ↓H␈ε∂m␈α␈ultiplications␈αand␈αat␈αleast␈↓ ¬β␈ελn␈↓ ¬$␈ε∂addition-subtractions.
␈β
∞␈↓ ↓H␈ε∂Proof.␈εα␈α≥Let␈α∞there␈α∂be␈↓ ∧_␈ελm␈↓ ∧F␈εαm␈α␈ultiplication␈α∞steps.␈α∪By␈α∞Theorem␈α∂M␈↓ 	∂␈εα,␈α∂the␈α∞chain␈α∞has␈α∞at
␈β
9␈↓ ↓H␈εαmost␈α
2␈↓ α0␈ελm␈↓ αZ␈εαdegrees␈α
of␈αfreedom,␈α
so␈α2␈↓ ¬N␈ελm␈↓ ¬x␈ε⊗∃␈↓ ε&␈ελn␈↓ εA␈εα+␈αε1.␈αSimilarly,␈αby␈α
Theorem␈αA␈α
there␈α
are
␈β
e␈↓ ↓H␈ε⊗∃␈↓ ↓v␈ελn␈↓ α↔␈εαaddition-subtractions.
␈β
j␈↓ ¬↔␈∧
j¬↔≠∂
␈β6␈↓ α␈εαThis␈α⊂theorem␈α⊃states␈α⊂that␈α⊃no␈ε∂␈α⊂single␈εα␈α⊂method␈α⊃having␈α⊂few␈α␈er␈α⊃than␈ε⊗␈α⊂b␈↓ 
→␈ελn␈↓ 
/␈εα/2␈ε⊗c␈εα␈α+␈α
1
␈βa␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiplications␈α∂or␈α∂few␈α␈er␈α∂than␈↓ ¬(␈ελn␈↓ ¬M␈εαadditions␈α∂can␈α∂evaluate␈α∂all␈α∂possible␈↓ 
α␈ελn␈↓ 
↔␈εαth␈α∂degree
␈β␈↓ ↓H␈εαpolynomials.␈α
The␈α	result␈αλof␈αλex␈α␈ercise␈α	29␈αλallo␈α␈ws␈αλus␈α	to␈αλstrengthen␈αλthis␈α	and␈αλsay␈αλthat␈αλno
␈β7␈↓ ↓H␈εα|nite␈απcollection␈αλof␈αλsuch␈απpolynomial␈αλchains␈αλwill␈απsu}ce␈αλfor␈αλall␈απpolynomials␈αλof␈αλa␈απgiv␈α␈en
␈βb␈↓ ↓H␈εαdegree.␈α⊂Some␈α
special␈α∞polynomials␈α
can,␈α∞of␈α
course,␈α∞be␈α∞evaluated␈α
more␈α
e}cien␈α␈tly:
␈β
∞␈↓ ↓H␈εαall␈αw␈α␈e␈α
hav␈α␈e␈αreally␈αpro␈α␈v␈α␈ed␈αis␈αthat␈αpolynomials␈αwhose␈αcoe}cien␈α␈ts␈αare␈ε∂␈α
algebraically
␈β
9␈↓ ↓H␈ε∂independen␈α␈t␈εα,␈α∂in␈α∞the␈α∂sense␈α∞that␈α∞they␈α∂satisfy␈α∞no␈α∂non␈α␈trivial␈α∞polynomial␈α∞equation,
␈β
d␈↓ ↓H␈εαrequire␈ε⊗␈α
b␈↓ αL␈ελn␈↓ αb␈εα/2␈ε⊗c␈εα␈αε+␈αε1␈αm␈α␈ultiplications␈α
and␈↓ ε→␈ελn␈↓ ε9␈εαadditions.␈αUnfortunately␈αthe␈α
coe}cien␈α␈ts
␈β∞∂␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αdeal␈α
with␈α
in␈α
computers␈α
are␈αalways␈α
rational␈α
n␈α␈um␈α␈bers,␈α
so␈α
the␈α
abo␈α␈v␈α␈e␈αtheorems
␈β∞9␈↓ λE␈∧∞9λEα⊗
␈β∞:␈↓ ↓H␈εαdon't␈αλreally␈αλapply;␈α
in␈αλfact,␈α	w␈α␈e␈αλcan␈αλalways␈αλget␈α	by␈αλwith␈↓ π{␈ελO␈↓ λ∃␈εα(␈↓ λ!␈ε⊗p␈↓ λE␈ελn␈↓ λa␈εα)␈αλm␈α␈ultiplications␈αλ(and
␈β∞f␈↓ ↓H␈εαa␈αpossibly␈αh␈α␈uge␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αadditions),␈αas␈αsho␈α␈wn␈αin␈αex␈α␈ercise␈α42.␈αFrom␈αa␈αpractical
␈β∂⊃␈↓ ↓H␈εαstandpoin␈α␈t,␈α	the␈α	bounds␈α
of␈α	Theorem␈α	C␈α	apply␈α	to␈α	\almost␈α	all"␈α
coe}cien␈α␈ts,␈α	and␈α	they
␈β∂<␈↓ ↓H␈εαseem␈α	to␈αλapply␈α	to␈α	all␈α	reasonable␈α	schemes␈α	for␈α	evaluation.␈αFurthermore␈α	it␈α	is␈αλpossible
␈β∂g␈↓ ↓H␈εαto␈α	obtain␈α
lo␈α␈w␈α␈er␈α	bounds␈α
corresponding␈α	to␈α
those␈α	of␈α
Theorem␈α	C␈α
ev␈α␈en␈α	in␈α
the␈α	rational
␈β⊂∩␈↓ ↓H␈εαcase:␈α⊃By␈α∂strengthening␈α∞the␈α∂abo␈α␈v␈α␈e␈α∂proofs,␈α∂V.␈α∂Strassen␈α∂has␈α∞sho␈α␈wn,␈α⊂for␈α∞example,
␈β⊂>␈↓ ↓H␈εαthat␈αthe␈αpolynomial
␈β⊂U␈↓ ε%␈ε↓X
␈β⊂i␈↓ π5␈επ3
␈β⊂o␈↓ π→␈ε
k␈↓ π&␈ε
n
␈β⊂r␈↓ π␈ε¬2␈↓ πS␈εk
␈β⊂x␈↓ ¬∩␈ελu␈↓ ¬(␈εα(␈↓ ¬4␈ελx␈↓ ¬G␈εα)␈α
=␈↓ εy␈εα2␈↓ πA␈ελx␈↓ 
p␈εα(30)
␈β⊃)␈↓ ε␈ε¬0␈ε→∀␈↓ ε6␈εk␈↓ εD␈ε→∀␈↓ εa␈εn
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.4␈ε∞␈↓ π∧EV␈α|AL␈α␈U␈α␈A␈α}T␈α␈ION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα461
␈βα!␈↓ 	 ␈ε¬2
␈βα&␈↓ ↓H␈εαcannot␈α∂be␈α∂evaluated␈α∂by␈α∂an␈α␈y␈α∂polynomial␈α∂chain␈α∂of␈α∂length␈α∂<␈↓ 	␈ελn␈↓ 	/␈εα/␈↓ 	G␈εαlg␈↓ 	i␈ελn␈↓ 

␈εαunless␈α∂the
␈βαN␈↓ β↑␈ε¬1
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαchain␈αλhas␈α	at␈αλleast␈↓ βp␈ελn␈↓ ∧	␈ε⊗␈␈εα␈α∧2␈αλm␈α␈ultplications␈α	and␈↓ εv␈ελn␈↓ π∂␈ε⊗␈␈εα␈αβ4␈α	additions␈αλ[␈ε∂SIAM␈α	J.␈αλComputing
␈βαb␈↓ β↑␈∧αbβ↑α∂
␈βαd␈↓ β↑␈ε¬2
␈βα⎇␈↓ ↓H␈ε∩3␈εα␈α	(1974),␈α
128↑149].␈αThe␈α	coe}cien␈α␈ts␈α	of␈α
(30)␈α	are␈α	v␈α␈ery␈α
large;␈α
but␈α	it␈α
is␈α	also␈α	possible␈α	to
␈ββ(␈↓ ↓H␈εα|nd␈απpolynomials␈απwhose␈απcoe}cien␈α␈ts␈απare␈απjust␈αλ0's␈απand␈απ1's,␈αλsuch␈απthat␈απev␈α␈ery␈απpolynomial
␈ββQ␈↓ εz␈∧βQεzα⊗
␈ββR␈↓ εV␈ε⊗p
␈ββS␈↓ ↓H␈εαchain␈α∂computing␈α⊂them␈α⊂in␈α␈v␈α␈olv␈α␈es␈α⊂at␈α⊂least␈↓ εz␈ελn␈↓ π∂␈εα/(4␈↓ πE␈εαlg␈↓ πg␈ελn␈↓ π⎇␈εα)␈α⊂chain␈α⊂m␈α␈ultiplications,␈α⊂for
␈ββ}␈↓ ↓H␈εαall␈αsu}cien␈α␈tly␈αlarge␈↓ ∧ε␈ελn␈↓ ∧≤␈εα,␈αev␈α␈en␈αwhen␈αthe␈αparameters␈↓ π[␈ελ␈↓ λπ␈εαare␈αallo␈α␈w␈α␈ed␈αto␈αbe␈αarbitrary
␈β∧␈↓ πn␈εj
␈β∧)␈↓ ↓H␈εαcomplex␈α
n␈α␈um␈α␈bers.␈α≤[See␈α∞R.␈α∞J.␈α
Lipton,␈ε∂␈α∞SIAM␈α∞J.␈α∞Computing␈ε∩␈α
7␈εα␈α∞(1978),␈α∞61↑69;␈α∞C.
␈β∧U␈↓ ↓H␈εαP.␈αSchnorr,␈ε∂␈αLecture␈αNotes␈αin␈αComp.␈αSci.␈ε∩␈α53␈εα␈α(1977),␈α135↑147.]␈α↔Jean-Paul␈αVan␈αde
␈β¬␈↓ ↓H␈εαWiele␈αhas␈αsho␈α␈wn␈α
that␈αthe␈αevaluation␈α
of␈αcertain␈α0-1␈αpolynomials␈α
requires␈αa␈αtotal
␈β¬+␈↓ ↓H␈εαof␈α∞at␈α∂least␈↓ αz␈ελc␈↓ βλ␈ελn␈↓ β≡␈εα/␈↓ β0␈εαlog␈↓ βd␈ελn␈↓ ∧λ␈εαarithmetic␈α∂operations,␈α⊂for␈α∂some␈↓ λ␈ελc␈↓ λ)␈εα>␈α∂0␈α∂[␈ε∂Proc.␈α∂IEEE␈α∞Symp.
␈β¬V␈↓ ↓H␈ε∂Foundations␈αof␈αComp.␈αSci.␈ε∩␈α19␈εα␈α(1978),␈α159↑165].
␈βε∪␈↓ α␈εαA␈α∂gap␈α⊂still␈α∂remains␈α⊂bet␈α␈w␈α␈een␈α∂the␈α⊂lo␈α␈w␈α␈er␈α∂bounds␈α∂of␈α⊂Theorem␈α∂C␈α⊂and␈α∂the␈α∂ac-
␈βε>␈↓ ↓H␈εαtual␈αoperation␈αcoun␈α␈ts␈α
kno␈α␈wn␈αto␈α
be␈αachievable,␈αex␈α␈cept␈α
in␈αthe␈α
trivial␈αcase␈↓ 
A␈ελn␈↓ 
b␈εα=␈α
2.
␈βεi␈↓ ↓H␈εαTheorem␈α⊂E␈α⊃giv␈α␈es␈ε⊗␈α⊃b␈↓ βy␈ελn␈↓ ∧∞␈εα/2␈ε⊗c␈εα␈α+␈α2␈α⊂m␈α␈ultiplications,␈α∩not␈ε⊗␈α⊃b␈↓ πu␈ελn␈↓ λ␈εα/2␈ε⊗c␈εα␈α+␈α1,␈α∩although␈α⊃it␈α⊂does
␈βπ∀␈↓ ↓H␈εαachiev␈α␈e␈αthe␈α
minim␈α␈um␈αn␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈αadditions.␈α∞Our␈α
special␈αmethods␈α
for␈↓ 
∧␈ελn␈↓ 
%␈εα=␈α4␈αand
␈βπ@␈↓ ↓H␈ελn␈↓ ↓m␈εα=␈α∂6␈α∂hav␈α␈e␈α⊂the␈α∂minim␈α␈um␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈α∂of␈α⊂m␈α␈ultiplications,␈α⊂but␈α∂one␈α∂extra␈α∂addition.
␈βπk␈↓ ↓H␈εαWhen␈↓ α0␈ελn␈↓ αR␈εαis␈α
odd,␈α
it␈αis␈α
not␈αdi}cult␈α
to␈α
pro␈α␈v␈α␈e␈αthat␈α
the␈αlo␈α␈w␈α␈er␈α
bounds␈αof␈α
Theorem␈αC
␈βλ⊗␈↓ ↓H␈εαcannot␈α∂be␈α∞achiev␈α␈ed␈α∂sim␈α␈ultaneously␈α∂for␈α∂both␈α∂m␈α␈ultiplications␈α∂and␈α∂additions;␈α⊂see
␈βλA␈↓ ↓H␈εαex␈α␈ercise␈α
33.␈α∂For␈↓ βP␈ελn␈↓ βr␈εα=␈α3,␈α
5,␈α∞and␈α
7,␈α
it␈α
is␈α
possible␈α∞to␈α
sho␈α␈w␈α
that␈α
at␈α
least␈ε⊗␈α
b␈↓ 
≥␈ελn␈↓ 
3␈εα/2␈ε⊗c␈εα␈α	+␈αλ2
␈βλl␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiplications␈α
are␈α∞necessary.␈α⊃Ex␈α␈ercises␈α∞35␈α
and␈α∞36␈α∞sho␈α␈w␈α
that␈α∞the␈α∞lo␈α␈w␈α␈er␈α
bounds
␈β	_␈↓ ↓H␈εαof␈α
Theorem␈αC␈αcannot␈αboth␈αbe␈αachiev␈α␈ed␈αwhen␈↓ π∪␈ελn␈↓ π3␈εα=␈α
4␈αor␈↓ λ)␈ελn␈↓ λI␈εα=␈α
6;␈αth␈α␈us␈αthe␈α
methods
␈β	C␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αdiscussed␈αare␈αbest␈αpossible,␈αfor␈↓ ε8␈ελn␈↓ εX␈εα<␈α
8.␈αWhen␈↓ λ∃␈ελn␈↓ λ6␈εαis␈αev␈α␈en,␈αMotzkin␈αpro␈α␈v␈α␈ed
␈β	n␈↓ ↓H␈εαthat␈ε⊗␈α∂b␈↓ α'␈ελn␈↓ α=␈εα/2␈ε⊗c␈εα␈α
+␈α1␈α∂m␈α␈ultiplications␈α⊂are␈α⊂su}cien␈α␈t,␈α⊂but␈α⊂his␈α∂construction␈α⊂in␈α␈v␈α␈olv␈α␈es␈α∂an
␈β
→␈↓ ↓H␈εαindeterminate␈απn␈α␈um␈α␈ber␈αλof␈αλadditions␈αλ(see␈απex␈α␈ercise␈αλ39).␈αAn␈αλoptimal␈απscheme␈αλfor␈↓ 
M␈ελn␈↓ 
l␈εα=␈α
8
␈β
D␈↓ ↓H␈εαwas␈α∂found␈α∂by␈α∂V.␈α∞J.␈α∂Pan,␈α⊂who␈α∂sho␈α␈w␈α␈ed␈α∂that␈↓ πβ␈ελn␈↓ π#␈εα+␈α
1␈α∂additions␈α∂are␈α∞necessary␈α∂and
␈β
p␈↓ ↓H␈εαsu}cien␈α␈t␈αfor␈αthis␈αcase␈αwhen␈αthere␈αare␈ε⊗␈αb␈↓ ε,␈ελn␈↓ εB␈εα/2␈ε⊗c␈εα␈αλ+␈αλ1␈αm␈α␈ultiplications;␈αhe␈αalso␈αsho␈α␈w␈α␈ed
␈β≠␈↓ ↓H␈εαthat␈ε⊗␈αλb␈↓ α ␈ελn␈↓ α6␈εα/2␈ε⊗c␈εα␈αβ+␈α∧1␈αλm␈α␈ultiplications␈α	and␈↓ ¬a␈ελn␈↓ ¬z␈εα+␈α∧2␈αλadditions␈α	will␈α	su}ce␈αλfor␈α	all␈αλev␈α␈en␈↓ 
1␈ελn␈↓ 
P␈ε⊗∃␈εα␈α
10.
␈βF␈↓ ↓H␈εαPan's␈α
paper␈α
[␈ε∂Proc.␈α
A␈α␈CM␈α
Symp.␈α∂Theory␈α
of␈α
Computing␈ε∩␈α
10␈εα␈α
(1978),␈α
162↑172]␈α
also
␈βq␈↓ ↓H␈εαestablishes␈αthe␈α
exact␈αminim␈α␈um␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈αof␈α
m␈α␈ultiplications␈αand␈α
additions␈αneeded
␈β≤␈↓ ↓H␈εαwhen␈α
calculations␈α
are␈α
done␈α∞en␈α␈tirely␈α
with␈α
complex␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈α
instead␈α∞of␈α
reals,␈α
for
␈βH␈↓ ↓H␈εαall␈α
degrees␈↓ αz␈ελn␈↓ β∂␈εα.␈α⊂Ex␈α␈ercise␈α
40␈α
discusses␈α
the␈α
in␈α␈teresting␈α
situation␈α
that␈α
arises␈α
for␈α
odd
␈βs␈↓ ↓H␈εαvalues␈αof␈↓ α`␈ελn␈↓ α␈␈ε⊗∃␈εα␈α
9.
␈β
/␈↓ α␈εαIt␈αis␈αclear␈αthat␈αthe␈αresults␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αobtained␈αabout␈αchains␈αfor␈α
polynomials␈αin
␈β
[␈↓ ↓H␈εαa␈α
single␈α
variable␈αcan␈α
be␈αextended␈α
without␈α
di}culty␈αto␈α
m␈α␈ultivariate␈α
polynomials.
␈β∞ε␈↓ ↓H␈εαFor␈αexample,␈α
if␈α
w␈α␈e␈αwan␈α␈t␈α
to␈α
|nd␈αan␈α
optim␈α␈um␈α
scheme␈αfor␈α
polynomial␈αevaluation
␈β∞1␈↓ ↓H␈ε∂without␈εα␈α∂adaptation␈α⊂of␈α⊂coe}cien␈α␈ts,␈α⊂w␈α␈e␈α⊂can␈α∂regard␈↓ πn␈ελu␈↓ λ∧␈εα(␈↓ λ⊂␈ελx␈↓ λ"␈εα)␈α⊂as␈α⊂a␈α∂polynomial␈α⊂in␈α∂the
␈β∞\␈↓ ↓H␈ελn␈↓ ↓d␈εα+␈αε2␈α
variables␈↓ βA␈ελx␈↓ βT␈εα,␈↓ βi␈ελu␈↓ ∧∂␈εα,␈↓ ∧$␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧T␈εα,␈↓ ∧i␈ελu␈↓ ¬␈εα,␈↓ ¬!␈ελu␈↓ ¬D␈εα;␈αex␈α␈ercise␈α38␈αsho␈α␈ws␈α
that␈↓ λ>␈ελn␈↓ λ↑␈εαm␈α␈ultiplications␈αand␈↓ ↔␈ελn
␈β∞j␈↓ β⎇␈εn␈↓ ∧}␈ε¬1␈↓ ¬6␈ε¬0
␈β∂π␈↓ ↓H␈εαadditions␈α	are␈α
necessary␈α
in␈α
this␈α	case.␈αIndeed,␈α
A.␈α	Borodin␈α
[␈ε∂Theory␈α
of␈α
Machines␈α	and
␈β∂3␈↓ ↓H␈ε∂Computations␈εα,␈αed.␈αby␈α
Z.␈αKohavi␈αand␈αA.␈αPaz␈α
(New␈αYork:␈αAcademic␈α
Press,␈α1971),
␈β∂↑␈↓ ↓H␈εα45↑58]␈αhas␈α
pro␈α␈v␈α␈ed␈αthat␈αHorner's␈α
rule␈α(2)␈α
is␈αessen␈α␈tially␈α
the␈ε∂␈αonly␈εα␈α
way␈αto␈αcompute
␈β⊂	␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓]␈εα(␈↓ ↓i␈ελx␈↓ ↓|␈εα)␈αin␈α2␈↓ αP␈ελn␈↓ αr␈εαoperations␈αwithout␈αpreconditioning.
␈β⊂F␈↓ α␈εαWith␈α	minor␈α
variations,␈α
the␈α	abo␈α␈v␈α␈e␈α
methods␈α	can␈α
be␈α	extended␈α
to␈α	chains␈α	in␈α␈v␈α␈olv-
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαing␈α∂division,␈α⊃i.e.,␈α⊂to␈α⊂rational␈α⊂functions␈α∂as␈α⊂w␈α␈ell␈α∂as␈α⊂polynomials.␈α↔Curiously,␈α⊂the
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαcon␈α␈tin␈α␈ued-fraction␈αanalog␈αof␈αHorner's␈αrule␈αno␈α␈w␈α
turns␈αout␈αto␈αbe␈αoptimal␈αfrom␈αan
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα462␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.4
␈βα(␈↓ ↓H␈εαoperation-coun␈α␈t␈α
standpoin␈α␈t,␈αif␈αm␈α␈ultiplication␈αand␈α
division␈αspeeds␈αare␈α
equal,␈αev␈α␈en
␈βαS␈↓ ↓H␈εαwhen␈αpreconditioning␈αis␈αallo␈α␈w␈α␈ed␈α(see␈αex␈α␈ercise␈α37).
␈βα␈␈↓ α␈εαSometimes␈α⊂division␈α⊃is␈α⊂helpful␈α⊂during␈α⊂the␈α⊃evaluation␈α⊂of␈α⊂polynomials,␈α⊃ev␈α␈en
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαthough␈αpolynomials␈αare␈α
de|ned␈αonly␈αin␈αterms␈αof␈αm␈α␈ultiplication␈αand␈αaddition;␈αw␈α␈e
␈ββV␈↓ ↓H␈εαhav␈α␈e␈α	seen␈α
examples␈α
of␈α
this␈α
in␈α	the␈α
Shaw↑Traub␈α
algorithms␈α
for␈α
polynomial␈α	deriva-
␈ββ|␈↓ εb␈εn
␈β∧↓␈↓ ↓H␈εαtiv␈α␈es.␈αAnother␈α	example␈α
is␈α	the␈α
polynomial␈↓ εO␈ελx␈↓ εy␈εα+␈↓ π!␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πP␈εα+␈↓ πy␈ελx␈↓ λ⊂␈εα+␈α¬1:␈α
Since␈α
this␈α	polynomial
␈β∧'␈↓ βK␈εn␈↓ β]␈ε¬+1
␈β∧,␈↓ ↓H␈εαcan␈αλbe␈αλwritten␈α	(␈↓ β9␈ελx␈↓ ∧␈ε⊗␈␈εα␈αβ1)/(␈↓ ∧o␈ελx␈↓ ¬∧␈ε⊗␈␈εα␈α∧1),␈α	w␈α␈e␈αλcan␈αλevaluate␈α	it␈αλwith␈↓ λG␈ελl␈↓ λQ␈εα(␈↓ λ]␈ελn␈↓ λv␈εα+␈αβ1)␈αλm␈α␈ultiplications
␈β∧W␈↓ ↓H␈εα(see␈απSection␈αλ4.6.3),␈αλt␈α␈w␈α␈o␈αλsubtractions,␈αλand␈αλone␈απdivision,␈α	while␈απtechniques␈αλthat␈απav␈α␈oid
␈β¬α␈↓ ↓H␈εαdivision␈αseem␈αto␈αrequire␈αabout␈αthree␈αtimes␈αas␈αman␈α␈y␈αoperations␈α(see␈αex␈α␈ercise␈α43).
␈β¬I␈↓ ↓H␈ε∩Special␈αm␈α␈ultivariate␈αpolynomials.␈εα␈α↔The␈ε∂␈αdeterminan␈α␈t␈εα␈αof␈αan␈↓ λZ␈ελn␈↓ λw␈ε⊗α␈↓ 	"␈ελn␈↓ 	D␈εαmatrix␈αmay␈αbe
␈β¬o␈↓ ¬M␈ε¬2
␈β¬t␈↓ ↓H␈εαconsidered␈απto␈απbe␈απa␈απpolynomial␈απin␈↓ ¬8␈ελn␈↓ ¬c␈εαvariables␈↓ εv␈ελx␈↓ π∨␈εα,␈αλ1␈ε⊗␈α
∀␈↓ π{␈ελi␈↓ λ	␈εα,␈↓ λ→␈ελj␈↓ λ3␈ε⊗∀␈↓ λa␈ελn␈↓ λw␈εα.␈α
If␈↓ 	*␈ελx␈↓ 	a␈ε⊗≤␈εα␈α
0,␈αλw␈α␈e␈απhav␈α␈e
␈βεα␈↓ πε␈εi␈↓ π∩␈εj␈↓ 	;␈ε¬11
␈βε/␈↓ α␈ε↓0␈↓ ∧D␈ε↓1
␈βεA␈↓ α_␈ελx␈↓ αm␈ελx␈↓ βA␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧∂␈ελx
␈βεN␈↓ α(␈ε¬1␈α↓1␈↓ α⎇␈ε¬12␈↓ ∧ ␈ε¬1␈↓ ∧.␈εn
␈βεl␈↓ α_␈ελx␈↓ αm␈ελx␈↓ βA␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧∂␈ελx
␈βεp␈↓ α␈ε↓B␈↓ ∧D␈ε↓C
␈βεz␈↓ α(␈ε¬2␈α↓1␈↓ α⎇␈ε¬22␈↓ ∧ ␈ε¬2␈↓ ∧.␈εn
␈βπ¬␈↓ α␈ε↓B␈↓ ∧D␈ε↓C
␈βπ∂␈↓ ↓H␈εαdet␈↓ α*␈εα.␈↓ α␈␈εα.␈↓ ∧!␈εα.
␈βπ≠␈↓ α␈ε↓@␈↓ ∧D␈ε↓A
␈βπ≥␈↓ α*␈εα.␈↓ α␈␈εα.␈↓ ∧!␈εα.
␈βπ+␈↓ α*␈εα.␈↓ α␈␈εα.␈↓ ∧!␈εα.
␈βπW␈↓ α_␈ελx␈↓ αm␈ελx␈↓ βA␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧∂␈ελx
␈βπd␈↓ α(␈εn␈↓ α:␈ε¬1␈↓ α⎇␈εn␈↓ β∂␈ε¬2␈↓ ∧ ␈εn␈↓ ∧2␈εn
␈βπ|␈↓ ∧@␈ε↓0␈↓ 
ε␈ε↓1
␈βλ≠␈↓ ∧X␈ελx␈↓ ¬⊃␈ε⊗␈␈εα␈αλ(␈↓ ¬I␈ελx␈↓ ¬w␈εα/␈↓ ε	␈ελx␈↓ ε6␈εα)␈↓ εB␈ελx␈↓ π↔␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πe␈ελx␈↓ λ!␈ε⊗␈␈εα␈αλ(␈↓ λY␈ελx␈↓ 	π␈εα/␈↓ 	→␈ελx␈↓ 	F␈εα)␈↓ 	R␈ελx
␈βλ(␈↓ ∧i␈ε¬22␈↓ ¬Z␈ε¬21␈↓ ε→␈ε¬1␈α↓1␈↓ εS␈ε¬12␈↓ πu␈ε¬2␈↓ λ∧␈εn␈↓ λj␈ε¬21␈↓ 	)␈ε¬1␈α↓1␈↓ 	c␈ε¬1␈↓ 	q␈εn
␈βλ=␈↓ ∧@␈ε↓B␈↓ 
ε␈ε↓C
␈βλA␈↓ ¬-␈εα.␈↓ λ=␈εα.
␈βλO␈↓ ¬-␈εα.␈↓ λ=␈εα.
␈βλR␈↓ β'␈εα=␈↓ βU␈ελx␈↓ ∧λ␈εαdet␈↓ 
≡␈εα.␈↓ 
p(31)
␈βλS␈↓ ∧@␈ε↓@␈↓ 
ε␈ε↓A
␈βλ↑␈↓ ¬-␈εα.␈↓ λ=␈εα.
␈βλ←␈↓ βf␈ε¬11
␈β		␈↓ ∧X␈ελx␈↓ ¬⊃␈ε⊗␈␈εα␈αλ(␈↓ ¬I␈ελx␈↓ ¬z␈εα/␈↓ ε␈ελx␈↓ ε:␈εα)␈↓ εF␈ελx␈↓ π↔␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πe␈ελx␈↓ λ!␈ε⊗␈␈εα␈αλ(␈↓ λY␈ελx␈↓ 	
␈εα/␈↓ 	≤␈ελx␈↓ 	J␈εα)␈↓ 	V␈ελx
␈β	⊗␈↓ ∧i␈εn␈↓ ∧{␈ε¬2␈↓ ¬Z␈εn␈↓ ¬l␈ε¬1␈↓ ε≥␈ε¬11␈↓ εV␈ε¬1␈α↓2␈↓ πu␈εn␈↓ λπ␈εn␈↓ λj␈εn␈↓ λ|␈ε¬1␈↓ 	-␈ε¬11␈↓ 	f␈ε¬1␈↓ 	u␈εn
␈β	←␈↓ ↓H␈εαThe␈απdeterminan␈α␈t␈αλof␈αλan␈↓ ∧'␈ελn␈↓ ∧?␈ε⊗α␈↓ ∧e␈ελn␈↓ ¬β␈εαmatrix␈απmay␈αλtherefore␈αλbe␈απevaluated␈αλby␈αλevaluating␈απthe
␈β
¬␈↓ 
]␈ε¬2
␈β

␈↓ ↓H␈εαdeterminan␈α␈t␈α
of␈α
an␈α
(␈↓ βu␈ελn␈↓ ∧⊃␈ε⊗␈␈εα␈α¬1)␈ε⊗␈αεα␈εα␈αε(␈↓ ¬∀␈ελn␈↓ ¬/␈ε⊗␈␈εα␈α¬1)␈αmatrix␈α
and␈α
using␈α
an␈αadditional␈α
(␈↓ 	z␈ελn␈↓ 
∃␈ε⊗␈␈εα␈αε1␈↓ 
Q␈εα)␈↓ 
q␈εα+␈α¬1
␈β
0␈↓ ∧.␈ε¬2
␈β
5␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiplications,␈α	(␈↓ βP␈ελn␈↓ βi␈ε⊗␈␈εα␈αβ1␈↓ ∧"␈εα)␈↓ ∧E␈εαadditions,␈α	and␈↓ ε*␈ελn␈↓ εC␈ε⊗␈␈εα␈αβ1␈α	divisions.␈αSince␈αλa␈α	2␈ε⊗␈αβα␈εα␈αβ2␈αλdeterminan␈α␈t
␈β
`␈↓ ↓H␈εαcan␈α⊂be␈α⊂evaluated␈α⊃with␈α⊂t␈α␈w␈α␈o␈α⊂m␈α␈ultiplications␈α⊃and␈α⊂one␈α⊂addition,␈α∩w␈α␈e␈α⊂see␈α⊂that␈α⊂the
␈β␈↓ ↓H␈εαdeterminan␈α␈t␈α	of␈α
almost␈α
all␈α	matrices␈α
(namely␈α
those␈α	for␈α
which␈α
no␈α	division␈α
by␈α
zero␈α	is
␈β2␈↓ εt␈ε¬3␈↓ πY␈ε¬2
␈β7␈↓ ↓H␈εαrequired)␈α
can␈α
be␈α
computed␈α
with␈α
at␈α
most␈α(2␈↓ ε←␈ελn␈↓ πλ␈ε⊗␈␈εα␈αε3␈↓ πD␈ελn␈↓ πm␈εα+␈αε7␈↓ λ)␈ελn␈↓ λD␈ε⊗␈␈εα␈α¬6)/6␈α
m␈α␈ultiplications,
␈β]␈↓ ↓{␈ε¬3␈↓ αe␈ε¬2␈↓ επ␈ε¬2
␈βb␈↓ ↓H␈εα(2␈↓ ↓f␈ελn␈↓ α∩␈ε⊗␈␈εα␈αλ3␈↓ αP␈ελn␈↓ α|␈εα+␈↓ β(␈ελn␈↓ β=␈εα)/6␈αadditions,␈αand␈α(␈↓ ¬q␈ελn␈↓ ε≡␈ε⊗␈␈↓ εJ␈ελn␈↓ εg␈ε⊗␈␈εα␈αλ2)/2␈αdivisions.
␈β∞␈↓ α␈εαWhen␈αzero␈αoccurs,␈αthe␈αdeterminan␈α␈t␈αis␈αev␈α␈en␈αeasier␈αto␈αcompute.␈αFor␈αexample,
␈β9␈↓ ↓H␈εαif␈↓ ↓j␈ελx␈↓ α!␈εα=␈α
0␈αbut␈↓ β/␈ελx␈↓ βf␈ε⊗≤␈εα␈α
0,␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈βG␈↓ ↓z␈ε¬1␈α↓1␈↓ β@␈ε¬21
␈βs␈↓ α⊃␈ε↓0␈↓ ∧ ␈ε↓1
␈β⎇␈↓ ¬[␈ε↓0␈↓ 

␈ε↓1
␈β
⊃␈↓ α7␈ε¬0␈↓ αq␈εx␈↓ β5␈ε¬.␈α∧.␈α¬.␈↓ βu␈εx
␈β
~␈↓ α␈␈επ1␈α↓2␈↓ ∧β␈επ1␈↓ ∧∂␈ε
n
␈β
≤␈↓ εN␈εx␈↓ πj␈ε¬.␈α¬.␈α¬.␈↓ 	¬␈εx
␈β
$␈↓ ε\␈επ12␈↓ 	∪␈επ1␈↓ 	≡␈ε
n
␈β
2␈↓ α+␈εx␈↓ αq␈εx␈↓ β5␈ε¬.␈α∧.␈α¬.␈↓ βu␈εx
␈β
3␈↓ α⊃␈ε↓B␈↓ ∧ ␈ε↓C
␈β
:␈↓ α:␈επ21␈↓ α␈␈επ2␈α↓2␈↓ ∧β␈επ2␈↓ ∧∂␈ε
n
␈β
<␈↓ ¬w␈εx␈↓ ε≤␈ε→␈␈ε¬(␈↓ εC␈εx␈↓ εg␈ε¬/␈↓ εv␈εx␈↓ π≠␈ε¬)␈↓ π$␈εx␈↓ πj␈ε¬.␈α¬.␈α¬.␈↓ λ,␈εx␈↓ λU␈ε→␈␈ε¬(␈↓ λ|␈εx␈↓ 	!␈ε¬/␈↓ 	/␈εx␈↓ 	T␈ε¬)␈↓ 	]␈εx
␈β
>␈↓ ¬[␈ε↓B␈↓ 

␈ε↓C
␈β
E␈↓ εε␈επ32␈↓ εQ␈επ31␈↓ π∧␈επ21␈↓ π2␈επ2␈α↓2␈↓ λ;␈επ3␈↓ λF␈ε
n␈↓ 	
␈επ31␈↓ 	=␈επ21␈↓ 	l␈επ2␈↓ 	w␈ε
n
␈β
I␈↓ α⊃␈ε↓B␈↓ ∧ ␈ε↓C
␈β
P␈↓ 
"␈εα.␈↓ 
p␈εα(32)
␈β
R␈↓ α+␈εx␈↓ αq␈εx␈↓ β5␈ε¬.␈α∧.␈α¬.␈↓ βu␈εx
␈β
T␈↓ ¬[␈ε↓@␈↓ 

␈ε↓A
␈β
W␈↓ ε\␈ε¬.␈↓ 	∃␈ε¬.
␈β
X␈↓ ↓d␈ε¬det␈↓ ∧B␈ε¬=␈ε→␈α	␈␈↓ ¬¬␈εx␈↓ ¬/␈ε¬de␈α␈t
␈β
[␈↓ α:␈επ31␈↓ α␈␈επ3␈α↓2␈↓ ∧β␈επ3␈↓ ∧∂␈ε
n
␈β
←␈↓ α⊃␈ε↓@␈↓ ∧ ␈ε↓A
␈β
a␈↓ ¬∪␈επ21
␈β
b␈↓ ε\␈ε¬.␈↓ 	∃␈ε¬.
␈β
j␈↓ α:␈ε¬.␈↓ α␈␈ε¬.␈↓ ∧ε␈ε¬.
␈β
m␈↓ ε\␈ε¬.␈↓ 	∃␈ε¬.
␈β
u␈↓ α:␈ε¬.␈↓ α␈␈ε¬.␈↓ ∧ε␈ε¬.
␈β∞␈↓ α:␈ε¬.␈↓ α␈␈ε¬.␈↓ ∧ε␈ε¬.
␈β∞
␈↓ ¬s␈εx␈↓ ε≤␈ε→␈␈ε¬(␈↓ εC␈εx␈↓ εl␈ε¬/␈↓ εz␈εx␈↓ π∨␈ε¬)␈↓ π(␈εx␈↓ πj␈ε¬.␈α¬.␈α¬.␈↓ λ(␈εx␈↓ λU␈ε→␈␈ε¬(␈↓ λ|␈εx␈↓ 	%␈ε¬/␈↓ 	3␈εx␈↓ 	X␈ε¬)␈↓ 	a␈εx
␈β∞⊗␈↓ εα␈ε
n␈↓ ε⊃␈επ2␈↓ εQ␈ε
n␈↓ ε`␈επ1␈↓ πλ␈επ2␈α↓1␈↓ π7␈επ22␈↓ λ7␈ε
n␈↓ λF␈ε
n␈↓ 	
␈ε
n␈↓ 	→␈επ1␈↓ 	A␈επ2␈α↓1␈↓ 	p␈επ2␈↓ 	{␈ε
n
␈β∞ ␈↓ α)␈εx␈↓ αo␈εx␈↓ β5␈ε¬.␈α∧.␈α¬.␈↓ βs␈εx
␈β∞)␈↓ α8␈ε
n␈↓ αG␈επ1␈↓ α⎇␈ε
n␈↓ β
␈επ2␈↓ ∧↓␈ε
n␈↓ ∧⊃␈ε
n
␈β∞m␈↓ ↓H␈εαHere␈α
the␈α
reduction␈α
to␈α
an␈α
(␈↓ ∧Z␈ελn␈↓ ∧u␈ε⊗␈␈εα␈αε1)␈ε⊗␈α¬α␈εα␈αε(␈↓ ¬x␈ελn␈↓ ε∪␈ε⊗␈␈εα␈α¬1)␈α
determinan␈α␈t␈α
sav␈α␈es␈↓ 		␈ελn␈↓ 	$␈ε⊗␈␈εα␈α¬1␈α
of␈α
the␈α
m␈α␈ulti-
␈β∂_␈↓ ↓H␈εαplications␈α	and␈↓ β+␈ελn␈↓ βE␈ε⊗␈␈εα␈α¬1␈α
of␈α	the␈α
additions␈α	used␈α
in␈α
(31),␈α
and␈α	this␈α
certainly␈α	compensates
␈β∂C␈↓ ↓H␈εαfor␈α∂the␈α∂additional␈α⊂bookk␈α␈eeping␈α∂required␈α⊂to␈α∂recognize␈α∂this␈α⊂case.␈α⊗Therefore␈α∂an␈α␈y
␈β∂i␈↓ π ␈ε¬3
␈β∂k␈↓ εx␈ε¬2
␈β∂n␈↓ ↓H␈εαdeterminan␈α␈t␈α
can␈α
be␈α
evaluated␈α
with␈α
roughly␈↓ π
␈ελn␈↓ π8␈εαarithmetic␈α
operations␈α
(including
␈β∂␈␈↓ εx␈∧∂␈εxα∂
␈β⊂↓␈↓ εx␈ε¬3
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαdivision);␈α	this␈αλis␈αλremarkable,␈α	since␈αλit␈αλis␈αλa␈α	polynomial␈αλwith␈↓ λ9␈ελn␈↓ λN␈εα!␈αλterms␈α	and␈↓ 
β␈ελn␈↓ 
 ␈εαvariables
␈β⊂E␈↓ ↓H␈εαin␈αeach␈αterm.
␈β⊂q␈↓ α␈εαIf␈α
w␈α␈e␈α∞wan␈α␈t␈α
to␈α∞evaluate␈α
the␈α∞determinan␈α␈t␈α
of␈α∞a␈α
matrix␈α∞with␈ε∂␈α
in␈α␈teger␈εα␈α
elemen␈α␈ts,
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαthe␈α	abo␈α␈v␈α␈e␈α
process␈α	appears␈α	to␈α
be␈α	unattractiv␈α␈e␈α
since␈α	it␈α
requires␈α	rational␈α	arithmetic.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.4␈ε∞␈↓ π∧EV␈α|AL␈α␈U␈α␈A␈α}T␈α␈ION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα463
␈βα(␈↓ ↓H␈εαHo␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α∂w␈α␈e␈α∂can␈α∂use␈α∂the␈α∂method␈α∞to␈α∂evaluate␈α∂the␈α∂determinan␈α␈t␈α∂mod␈↓ 

␈ελp␈↓ 
∨␈εα,␈α⊂for␈α∞an␈α␈y
␈βαS␈↓ ↓H␈εαprime␈↓ α/␈ελp␈↓ αB␈εα,␈α∞since␈α∞division␈α∞mod␈↓ ¬
␈ελp␈↓ ¬.␈εαis␈α
possible␈α∞(ex␈α␈ercise␈α∞4.5.2↑15).␈α⊃If␈α∞this␈α∞is␈α∞done␈α
for
␈βα}␈↓ ↓H␈εαsu}cien␈α␈tly␈αman␈α␈y␈α
primes␈↓ ∧U␈ελp␈↓ ∧h␈εα,␈αthe␈α
exact␈α
value␈αof␈α
the␈αdeterminan␈α␈t␈α
can␈αbe␈α
found␈αas
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαexplained␈α	in␈α
Section␈α
4.3.2,␈α
since␈α
Hadamard's␈α
inequality␈α	(4.6.1↑25)␈α
giv␈α␈es␈α
an␈α	upper
␈ββU␈↓ ↓H␈εαbound␈αon␈αthe␈αmagnitude.
␈β∧	␈↓ α␈εαThe␈α∞coe}cien␈α␈ts␈α∂of␈α∞the␈ε∂␈α∞characteristic␈α∂polynomial␈↓ λ→␈εαdet␈↓ λK␈εα(␈↓ λW␈ελx␈↓ λj␈ελI␈↓ 	∧␈ε⊗␈␈↓ 	1␈ελX␈↓ 	O␈εα)␈α∞of␈α∂an␈↓ 
J␈ελn␈↓ 
i␈ε⊗α␈↓ ↔␈ελn
␈β∧/␈↓ ε→␈ε¬3
␈β∧4␈↓ ↓H␈εαmatrix␈↓ α;␈ελX␈↓ αb␈εαcan␈α	also␈α	be␈α	computed␈α	in␈↓ ¬]␈ελO␈↓ ¬w␈εα(␈↓ εβ␈ελn␈↓ ε'␈εα)␈α	steps;␈α
cf.␈α
J.␈α	H.␈α	Wilkinson,␈ε∂␈α	The␈α	Algebraic
␈β∧←␈↓ ↓H␈ε∂Eigen␈α␈value␈αProblem␈εα␈α(Oxford:␈αClarendon␈αPress,␈α1965),␈α353↑355,␈α410↑411.
␈β¬∪␈↓ α␈εαThe␈ε∂␈α
permanen␈α␈t␈εα␈αof␈α
a␈αmatrix␈α
is␈αa␈α
polynomial␈αthat␈α
is␈αv␈α␈ery␈α
similar␈αto␈α
the␈α
deter-
␈β¬>␈↓ ↓H␈εαminan␈α␈t;␈αthe␈αonly␈αdi{erence␈αis␈αthat␈αall␈αof␈αits␈αnonzero␈αcoe}cien␈α␈ts␈αare␈α+1:
␈β¬i␈↓ ∧'␈ε↓0␈↓ ε↔␈ε↓1
␈β¬{␈↓ ∧?␈ελx␈↓ ¬∀␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬b␈ελx
␈βελ␈↓ ∧P␈ε¬11␈↓ ¬s␈ε¬1␈↓ ε↓␈εn
␈βε⊃␈↓ εg␈ε↓X
␈βε≥␈↓ ∧Q␈εα.␈↓ ¬t␈εα.
␈βε*␈↓ ∧'␈ε↓@␈↓ ε↔␈ε↓A
␈βε,␈↓ ∧Q␈εα.␈↓ ¬t␈εα.
␈βε4␈↓ βu␈εαper␈↓ ε9␈εα=␈↓ π!␈ελx␈↓ πV␈ελx␈↓ λ∩␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λB␈ελx␈↓ 
p␈εα(33)
␈βε:␈↓ ∧Q␈εα.␈↓ ¬t␈εα.
␈βεA␈↓ π1␈ε¬1␈↓ π@␈εj␈↓ πg␈ε¬2␈↓ πu␈εj␈↓ λR␈εn␈↓ λd␈εj
␈βεJ␈↓ πK␈επ1␈↓ λ␈επ2␈↓ λo␈ε
n
␈βεe␈↓ ∧?␈ελx␈↓ ¬∀␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬b␈ελx
␈βεs␈↓ ∧P␈εn␈↓ ∧b␈ε¬1␈↓ ¬s␈εn␈↓ ε¬␈εn
␈βπ+␈↓ ↓H␈εαsummed␈α
o␈α␈v␈α␈er␈α
all␈α
perm␈α␈utations␈↓ ¬)␈ελj␈↓ ¬J␈ελj␈↓ ¬l␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε≤␈ελj␈↓ εE␈εαof␈ε⊗␈α
f␈εα1,␈αε2,␈↓ πC␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πs␈εα,␈↓ λβ␈ελn␈↓ λ→␈ε⊗g␈εα.␈αNo␈α
way␈α
to␈α
evaluate␈α
the
␈βπ9␈↓ ¬6␈ε¬1␈↓ ¬W␈ε¬2␈↓ ε)␈εn
␈βπW␈↓ ↓H␈εαpermanen␈α␈t␈απas␈αλe}cien␈α␈tly␈αλas␈αλthe␈αλdeterminan␈α␈t␈απis␈αλkno␈α␈wn;␈α	ex␈α␈ercises␈αλ9␈αλand␈αλ10␈αλsho␈α␈w␈απthat
␈βλα␈↓ ↓H␈εαsubstan␈α␈tially␈α
less␈α∞than␈↓ ∧8␈ελn␈↓ ∧M␈εα!␈α∞operations␈α∞will␈α∞su}ce,␈α∞for␈α
large␈↓ λf␈ελn␈↓ λ|␈εα,␈α∞but␈α∞the␈α
ex␈α␈ecution
␈βλ-␈↓ ↓H␈εαtime␈αof␈αall␈αkno␈α␈wn␈αmethods␈αstill␈αgro␈α␈ws␈αexponen␈α␈tially␈αwith␈αthe␈αsize␈αof␈αthe␈αmatrix.
␈βλa␈↓ α␈εαAnother␈α
fundamen␈α␈tal␈α	operation␈α
in␈α␈v␈α␈olving␈α	matrices␈α	is,␈α
of␈α
course,␈ε∂␈α
matrix␈α	m␈α␈ul-
␈β	␈↓ ↓H␈ε∂tiplication:␈εα␈α_If␈↓ β-␈ελX␈↓ βU␈εα=␈α
(␈↓ ∧∂␈ελx␈↓ ∧8␈εα)␈αis␈αan␈↓ ¬%␈ελm␈↓ ¬L␈ε⊗α␈↓ ¬w␈ελn␈↓ ε_␈εαmatrix,␈↓ π_␈ελY␈↓ π=␈εα=␈α
(␈↓ πw␈ελy␈↓ λ$␈εα)␈αis␈αan␈↓ 	⊂␈ελn␈↓ 	-␈ε⊗α␈↓ 	X␈ελs␈↓ 	s␈εαmatrix,␈αand
␈β	→␈↓ ∧ ␈εi␈↓ ∧+␈εj␈↓ λλ␈εj␈↓ λ∃␈εk
␈β	7␈↓ ↓H␈ελZ␈↓ ↓k␈εα=␈α
(␈↓ α%␈ελz␈↓ αK␈εα)␈αis␈αan␈↓ β9␈ελm␈↓ βa␈ε⊗α␈↓ ∧
␈ελs␈↓ ∧(␈εαmatrix,␈αthen␈↓ ¬z␈ελZ␈↓ ε≥␈εα=␈↓ εK␈ελX␈↓ εi␈ελY␈↓ π⊂␈εαmeans␈αthat
␈β	E␈↓ α1␈εi␈↓ α<␈εk
␈β	a␈↓ ∧_␈ε↓X
␈β
∧␈↓ β!␈ελz␈↓ βQ␈εα=␈↓ ∧l␈ελx␈↓ ¬~␈ελy␈↓ ¬G␈εα,␈↓ ε∨1␈ε⊗␈α
∀␈↓ εi␈ελi␈↓ π↓␈ε⊗∀␈↓ π/␈ελm␈↓ πN␈εα,␈↓ λ&1␈ε⊗␈α
∀␈↓ λp␈ελk␈↓ 	␈ε⊗∀␈↓ 	:␈ελs␈↓ 	I␈εα.␈↓ 
p␈εα(34)
␈β
⊃␈↓ β-␈εi␈↓ β8␈εk␈↓ ∧⎇␈εi␈↓ ¬λ␈εj␈↓ ¬+␈εj␈↓ ¬8␈εk
␈β
5␈↓ β␈␈ε¬1␈ε→∀␈↓ ∧*␈εj␈↓ ∧7␈ε→∀␈↓ ∧T␈εn
␈β
b␈↓ ↓H␈εαThis␈αequation␈αmay␈αbe␈αregarded␈αas␈αthe␈αcomputation␈αof␈↓ λ%␈ελm␈↓ λE␈ελs␈↓ λ`␈εαsim␈α␈ultaneous␈αpolyno-
␈β
␈↓ ↓H␈εαmials␈α∞in␈↓ αT␈ελm␈↓ αt␈ελn␈↓ β∪␈εα+␈↓ β@␈ελn␈↓ βV␈ελs␈↓ βs␈εαvariables;␈α∂each␈α∞polynomial␈α∞is␈α∞the␈α∞\inner␈α∞product"␈α∂of␈α∞t␈α␈w␈α␈o␈↓ ␈ελn␈↓  ␈εα-
␈β8␈↓ ↓H␈εαplace␈α
v␈α␈ectors.␈α∂A␈α
brute-force␈α
calculation␈α∞w␈α␈ould␈α
in␈α␈v␈α␈olv␈α␈e␈↓ λ+␈ελm␈↓ λK␈ελn␈↓ λ`␈ελs␈↓ λ|␈εαm␈α␈ultiplications␈α
and
␈βd␈↓ ↓H␈ελm␈↓ ↓g␈ελs␈↓ ↓v␈εα(␈↓ αα␈ελn␈↓ α∨␈ε⊗␈␈εα␈απ1)␈αadditions;␈αbut␈αS.␈αWinograd␈αhas␈αdisco␈α␈v␈α␈ered␈αan␈αingenious␈αway␈αto␈αtrade
␈β∂␈↓ ↓H␈εαabout␈αhalf␈αof␈αthe␈αm␈α␈ultiplications␈αfor␈αadditions:
␈β:␈↓ βN␈ε↓X
␈β]␈↓ αH␈ελz␈↓ αx␈εα=␈↓ ∧*␈εα(␈↓ ∧6␈ελx␈↓ ∧⎇␈εα+␈↓ ¬)␈ελy␈↓ ε≥␈εα)(␈↓ ε5␈ελx␈↓ π'␈εα+␈↓ πS␈ελy␈↓ λ≠␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ λ[␈ελa␈↓ 	␈ε⊗␈␈↓ 	,␈ελb␈↓ 	O␈εα+␈↓ 	{␈ελc␈↓ 
"␈εα;
␈βj␈↓ αT␈εi␈↓ α←␈εk␈↓ ∧F␈εi␈↓ ∧R␈ε¬,2␈↓ ∧h␈εj␈↓ ¬?␈ε¬2␈↓ ¬N␈εj␈↓ ¬[␈ε→␈␈ε¬1,␈↓ ε∞␈εk␈↓ εE␈εi␈↓ εQ␈ε¬,2␈↓ εg␈εj␈↓ εt␈ε→␈␈ε¬1␈↓ πi␈ε¬2␈↓ πx␈εj␈↓ λ¬␈ε¬,␈↓ λ
␈εk␈↓ λl␈εi␈↓ 	9␈εk␈↓ 
λ␈εi␈↓ 
∀␈εk
␈β
∞␈↓ β&␈ε¬1␈ε→∀␈↓ βQ␈εj␈↓ β↑␈ε→∀␈↓ β{␈εn␈↓ ∧
␈ε¬/2
␈β
3␈↓ βp␈ε↓X␈↓ πU␈ε↓X
␈β
V␈↓ αt␈ελa␈↓ β~␈εα=␈↓ ∧R␈ελx␈↓ ¬⊗␈ελx␈↓ ε↓␈εα;␈↓ εY␈ελb␈↓ ε␈␈εα=␈↓ λ7␈ελy␈↓ 	/␈ελy␈↓ 	w␈εα;
␈β
d␈↓ β∧␈εi␈↓ ∧b␈εi␈↓ ∧n␈ε¬,2␈↓ ¬∧␈εj␈↓ ¬'␈εi␈↓ ¬2␈ε¬,2␈↓ ¬I␈εj␈↓ ¬V␈ε→␈␈ε¬1␈↓ εf␈εk␈↓ λL␈ε¬2␈↓ λ[␈εj␈↓ λh␈ε→␈␈ε¬1,␈↓ 	≠␈εk␈↓ 	D␈ε¬2␈↓ 	S␈εj␈↓ 	`␈ε¬,␈↓ 	h␈εk
␈β∞λ␈↓ βH␈ε¬1␈ε→∀␈↓ βs␈εj␈↓ ∧␈ε→∀␈↓ ∧≥␈εn␈↓ ∧/␈ε¬/2␈↓ π-␈ε¬1␈ε→∀␈↓ πX␈εj␈↓ πe␈ε→∀␈↓ λα␈εn␈↓ λ∀␈ε¬/2
␈β∞H␈↓ ¬K␈ε↓~
␈β∞K␈↓ π∩␈ελn␈↓ π4␈εαev␈α␈en;
␈β∞L␈↓ ¬a␈εα0,
␈β∞b␈↓ ∧k␈ελc␈↓ ¬≥␈εα=␈↓ 
p␈εα(35)
␈β∞o␈↓ ∧x␈εi␈↓ ¬∧␈εk
␈β∞w␈↓ π∩␈ελn␈↓ π4␈εαodd.
␈β∞x␈↓ ¬a␈ελx␈↓ ε∞␈ελy␈↓ ε@␈εα,
␈β∂¬␈↓ ¬q␈εi␈↓ ¬⎇␈εn␈↓ ε∨␈εn␈↓ ε1␈εk
␈β∂D␈↓ ↓H␈εαThis␈α⊂scheme␈α⊂uses␈ε⊗␈α⊂d␈↓ β|␈ελn␈↓ ∧∩␈εα/2␈ε⊗e␈↓ ∧D␈ελm␈↓ ∧d␈ελs␈↓ ∧⎇␈εα+␈ε⊗␈αb␈↓ ¬:␈ελn␈↓ ¬P␈εα/2␈ε⊗c␈εα(␈↓ ε∞␈ελm␈↓ ε8␈εα+␈↓ εg␈ελs␈↓ εv␈εα)␈α⊂m␈α␈ultiplications␈α⊃and␈α⊂(␈↓ 	b␈ελn␈↓ 
α␈εα+␈α2)␈↓ 
O␈ελm␈↓ 
o␈ελs␈↓ λ␈εα+
␈β∂o␈↓ ↓H␈εα(␈ε⊗b␈↓ ↓b␈ελn␈↓ ↓w␈εα/2␈ε⊗c␈αλ␈␈εα␈αλ1)␈↓ α{␈εα(␈↓ βπ␈ελm␈↓ β'␈ελs␈↓ β>␈εα+␈↓ βj␈ελm␈↓ ∧∩␈εα+␈↓ ∧>␈ελs␈↓ ∧M␈εα)␈↓ ∧a␈εαadditions;␈α
the␈αλtotal␈αλn␈α␈um␈α␈ber␈αλof␈α	operations␈αλhas␈αλincreased
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαsligh␈α␈tly,␈α
but␈α∞the␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α∞m␈α␈ultiplications␈α
has␈α
roughly␈α∞been␈α
halv␈α␈ed.␈α⊂This␈α
con-
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαstruction␈α∞led␈α∞man␈α␈y␈α∞people␈α∞to␈α∞look␈α∞more␈α∞closely␈α∞at␈α∞the␈α∞problem␈α∞of␈α∞matrix␈α∞m␈α␈ul-
␈β⊂l␈↓ 	↓␈ε¬3
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαtiplication,␈α⊂and␈α⊂for␈α⊂sev␈α␈eral␈α∂y␈α␈ears␈α⊂it␈α⊂was␈α∂conjectured␈α⊂that␈↓ λl␈ελn␈↓ 	⊂␈εα/2␈α∂m␈α␈ultiplications
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαw␈α␈ould␈αbe␈αnecessary␈αto␈αm␈α␈ultiply␈↓ ¬>␈ελn␈↓ ¬[␈ε⊗α␈↓ επ␈ελn␈↓ ε)␈εαmatrices.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα464␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.4
␈βα(␈↓ α␈εαAn␈αev␈α␈en␈α
better␈αscheme␈αfor␈α
large␈↓ επ␈ελn␈↓ ε≤␈εα,␈αdisco␈α␈v␈α␈ered␈αby␈αVolk␈α␈er␈α
Strassen␈αin␈α1968,␈α
is
␈βαS␈↓ ↓H␈εαbased␈α
on␈αthe␈αfact␈αthat␈αthe␈αproduct␈αof␈α
2␈ε⊗␈απα␈εα␈αε2␈αmatrices␈αcan␈αbe␈αevaluated␈αwith␈α
only
␈βα}␈↓ ↓H␈εα7␈α
m␈α␈ultiplications,␈α
without␈α
relying␈α
on␈α
the␈α
comm␈α␈utativity␈α
of␈α
m␈α␈ultiplication␈αas␈α
in
␈ββ*␈↓ ↓H␈εα(35).␈αTherefore␈αλ2␈↓ βK␈ελn␈↓ βe␈ε⊗α␈εα␈α∧2␈↓ ∧∨␈ελn␈↓ ∧=␈εαmatrices␈α	can␈α	be␈α	partitioned␈α	in␈α␈to␈αλfour␈↓ λ{␈ελn␈↓ 	∃␈ε⊗α␈↓ 	<␈ελn␈↓ 	[␈εαmatrices,␈α	and
␈ββP␈↓ λg␈εk␈↓ 	<␈εk
␈ββU␈↓ ↓H␈εαthe␈αidea␈αcan␈αbe␈αused␈αrecursiv␈α␈ely␈αto␈αobtain␈αthe␈αproduct␈αof␈↓ λU␈εα2␈↓ λ}␈ε⊗α␈↓ 	*␈εα2␈↓ 	V␈εαmatrices␈αwith
␈ββ{␈↓ α+␈εk␈↓ εβ␈εk␈↓ ε≥␈ε¬3␈↓ εy␈εk
␈β∧␈↓ ↓H␈εαonly␈↓ α→␈εα7␈↓ αF␈εαm␈α␈ultiplications␈α
instead␈α
of␈α∞(␈↓ ¬q␈εα2␈↓ ε⊃␈εα)␈↓ ε7␈εα=␈↓ εg␈εα8␈↓ πλ␈εα.␈α∂Strassen's␈α
original␈α
2␈ε⊗␈α	α␈εα␈αλ2␈α
iden␈α␈tity
␈β∧+␈↓ ↓H␈εα[␈ε∂Numer.␈α
Math.␈ε∩␈α∞13␈εα␈α∞(1969),␈α∂354↑356]␈α
used␈α∞7␈α∞m␈α␈ultiplications␈α∞and␈α∞18␈α∞additions;␈α∞S.
␈β∧V␈↓ ↓H␈εαWinograd␈αlater␈αdisco␈α␈v␈α␈ered␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αmore␈αeconomical␈αform␈α␈ula:
␈β¬→␈↓ ↓H␈ε↓∩␈↓ α#␈ε↓∪␈↓ α9␈ε↓∩␈↓ β"␈ε↓∪
␈β¬ ␈↓ ↓b␈ε	a␈↓ α∂␈ε	b␈↓ αS␈ε	A␈↓ ββ␈ε	C
␈β¬6␈↓ βB␈εβ=
␈β¬O␈↓ ↓c␈ε	c␈↓ α␈ε	d␈↓ αS␈ε	B␈↓ β∧␈ε	D
␈βε	␈↓ ↓O␈ε↓∩␈↓ 
T␈ε↓∪
␈βε␈↓ λ↓␈ε⊗␈␈↓ 	A␈ε⊗␈␈↓ 	r␈ε⊗␈
␈βε∂␈↓ βG␈ε	a␈↓ βW␈ε	A␈↓ βu␈εβ+␈↓ ∧∨␈ε	b␈↓ ∧,␈ε	B␈↓ ε:␈ε	w␈↓ εZ␈εβ+␈α	(␈↓ π∂␈ε	c␈↓ π≤␈εβ+␈↓ π=␈ε	d␈↓ πP␈εβ)(␈↓ πf␈ε	C␈↓ λ%␈ε	A␈↓ λ;␈εβ)␈αλ+␈αλ(␈↓ 	α␈ε	a␈↓ 	∪␈εβ+␈↓ 	4␈ε	b␈↓ 	e␈ε	c␈↓ 
⊗␈ε	d␈↓ 
)␈εβ)␈↓ 
7␈ε	D
␈βε#␈↓ 
p␈εα(36)
␈βε;␈↓ αO␈ε⊗␈␈↓ β/␈ε⊗␈␈↓ ∧↓␈ε⊗␈␈↓ ∧a␈ε⊗␈␈↓ ¬≠␈ε⊗␈␈↓ π)␈ε⊗␈␈↓ λ	␈ε⊗␈␈↓ 
↓␈ε⊗␈
␈βε>␈↓ ↓i␈ε	w␈↓ α
␈εβ+␈α	(␈↓ α?␈ε	a␈↓ αs␈ε	c␈↓ β␈εβ)(␈↓ β⊗␈ε	D␈↓ βS␈ε	C␈↓ βn␈εβ)␈↓ ∧-␈ε	d␈↓ ∧@␈εβ(␈↓ ∧K␈ε	A␈↓ ¬¬␈ε	B␈↓ ¬?␈ε	C␈↓ ¬Z␈εβ+␈↓ ¬|␈ε	D␈↓ ε∃␈εβ)␈↓ εC␈ε	w␈↓ εd␈εβ+␈αλ(␈↓ π→␈ε	a␈↓ πM␈ε	c␈↓ πZ␈εβ)(␈↓ πp␈ε	D␈↓ λ-␈ε	C␈↓ λH␈εβ)␈αλ+␈αλ(␈↓ 	⊂␈ε	c␈↓ 	≥␈εβ+␈↓ 	>␈ε	d␈↓ 	P␈εβ)(␈↓ 	g␈ε	C␈↓ 
%␈ε	A␈↓ 
<␈εβ)
␈βπα␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α/␈ελw␈↓ αT␈εα=␈↓ βα␈ελa␈↓ β∀␈ελA␈↓ β3␈ε⊗␈␈εα␈απ(␈↓ βj␈ελa␈↓ β|␈ε⊗␈␈↓ ∧ ␈ελc␈↓ ∧.␈ε⊗␈␈↓ ∧R␈ελd␈↓ ∧f␈εα)(␈↓ ∧}␈ελA␈↓ ¬⊗␈ε⊗␈␈↓ ¬:␈ελC␈↓ ¬W␈εα+␈↓ ¬{␈ελD␈↓ ε⊗␈εα).␈αIf␈αin␈α␈termediate␈αresults␈αare␈αappropriately
␈βπ-␈↓ ↓H␈εαsav␈α␈ed,␈α(36)␈α
in␈α␈v␈α␈olv␈α␈es␈α7␈α
m␈α␈ultiplications␈αand␈α
only␈α15␈α
additions;␈αby␈α
induction␈αon␈↓ ⊃␈ελk␈↓ "␈εα,
␈βπS␈↓ βX␈εk␈↓ ∧#␈εk␈↓ ε(␈εk␈↓ 	$␈εk␈↓ 	o␈εk
␈βπX␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αλcan␈α	m␈α␈ultiply␈↓ βF␈εα2␈↓ βj␈ε⊗α␈↓ ∧⊃␈εα2␈↓ ∧;␈εαmatrices␈αλwith␈↓ ε⊗␈εα7␈↓ ε?␈εαm␈α␈ultiplications␈α	and␈α	5(␈↓ 	∩␈εα7␈↓ 	6␈ε⊗␈␈↓ 	]␈εα4␈↓ 	}␈εα)␈αλadditions.
␈βλβ␈↓ ↓H␈εαThe␈α
total␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αoperations␈α
needed␈αto␈αm␈α␈ultiply␈↓ πl␈ελn␈↓ λλ␈ε⊗α␈↓ λ3␈ελn␈↓ λS␈εαmatrices␈αhas␈α
therefore
␈βλ*␈↓ ∧i␈ε¬3␈↓ ¬k␈ε¬lg␈↓ εε␈ε¬7␈↓ π∀␈ε¬2.8␈α↓07␈α↓4
␈βλ/␈↓ ↓H␈εαbeen␈αreduced␈αfrom␈αorder␈↓ ∧T␈ελn␈↓ ¬β␈εαto␈↓ ¬/␈ελO␈↓ ¬I␈εα(␈↓ ¬U␈ελn␈↓ ε∀␈εα)␈α
=␈↓ εX␈ελO␈↓ εr␈εα(␈↓ ε}␈ελn␈↓ πd␈εα).␈αA␈αsimilar␈αreduction␈αapplies
␈βλZ␈↓ ↓H␈εαalso␈αto␈αthe␈αevaluation␈αof␈αdeterminan␈α␈ts␈αand␈αmatrix␈αin␈α␈v␈α␈erses;␈αcf.␈αJ.␈αR.␈αBunch␈αand
␈β	¬␈↓ ↓H␈εαJ.␈αE.␈αHopcroft,␈ε∂␈αMath.␈αComp.␈ε∩␈α28␈εα␈α(1974),␈α231↑236.␈αEx␈α␈ercise␈α59␈αdiscusses␈αa␈αfurther
␈β	0␈↓ ↓H␈εαimpro␈α␈v␈α␈emen␈α␈t␈α∂by␈α⊂V.␈α⊂J.␈α⊂Pan,␈α⊃who␈α⊂disco␈α␈v␈α␈ered␈α∂in␈α⊂1978␈α⊂that␈α⊂the␈α⊂exponen␈α␈t␈α⊂in␈α∂the
␈β	[␈↓ ↓H␈εαrunning␈αtime␈αcan␈αbe␈αreduced␈αto␈αless␈αthan␈↓ εZ␈εαlg␈↓ ε|␈εα7.
␈β
π␈↓ α␈εαThese␈αtheoretical␈αresults␈αare␈αquite␈αstriking,␈αbut␈αfrom␈αa␈αpractical␈αstandpoin␈α␈t
␈β
2␈↓ ↓H␈εαthey␈α∂are␈α∂of␈α∂limited␈α∂use␈α∂because␈↓ ¬O␈ελn␈↓ ¬s␈εαm␈α␈ust␈α⊂be␈α∂v␈α␈ery␈α∂large␈α∂before␈α∂w␈α␈e␈α∂o␈α␈v␈α␈ercome␈α∂the
␈β
]␈↓ ↓H␈εαe{ect␈απof␈απadditional␈απbookk␈α␈eeping␈απcosts.␈αRichard␈απBren␈α␈t␈απ[Stanford␈απComputer␈απScience
␈βλ␈↓ ↓H␈εαreport␈απCS157␈απ(March,␈αλ1970),␈αλsee␈απalso␈ε∂␈απNumer.␈απMath.␈ε∩␈απ16␈εα␈αε(1970),␈αλ145↑156]␈απfound␈απthat
␈β3␈↓ ↓H␈εαa␈α∂careful␈α∂implemen␈α␈tation␈α∂of␈α∂Winograd's␈α∂scheme␈α∂(35),␈α∂with␈α∂appropriate␈α∂scaling
␈β←␈↓ ↓H␈εαfor␈αn␈α␈umerical␈α
stability,␈αbecame␈α
better␈αthan␈α
the␈αcon␈α␈v␈α␈en␈α␈tional␈α
scheme␈αonly␈αwhen
␈β
␈↓ ↓H␈ελn␈↓ ↓g␈ε⊗∃␈εα␈α
40,␈αand␈αit␈αsav␈α␈ed␈α7␈αpercen␈α␈t␈αof␈αthe␈αrunning␈αtime␈αwhen␈↓ λN␈ελn␈↓ λn␈εα=␈α
100.␈αFor␈αcomplex
␈β5␈↓ ↓H␈εαarithmetic␈αthe␈α
situation␈α
was␈α
somewhat␈αdi{eren␈α␈t;␈α
(35)␈α
became␈α
advan␈α␈tageous␈αfor
␈β`␈↓ ↓H␈ελn␈↓ ↓n␈εα>␈α⊃20,␈α⊃and␈α⊂sav␈α␈ed␈α⊂18␈α⊂percen␈α␈t␈α⊂when␈↓ ε,␈ελn␈↓ εR␈εα=␈α⊃100.␈α↔He␈α⊂estimated␈α⊂that␈α⊂Strassen's
␈β
␈↓ ↓H␈εαscheme␈α∞w␈α␈ould␈α∂not␈α∞begin␈α∂to␈α∞ex␈α␈cel␈α∂o␈α␈v␈α␈er␈α∞(35)␈α∂un␈α␈til␈↓ πS␈ελn␈↓ πw␈ε⊗→␈εα␈α∂250;␈α∂and␈α∂such␈α∞enormous
␈β
7␈↓ ↓H␈εαmatrices,␈α∂con␈α␈taining␈α∂more␈α∂than␈α∞60,000␈α∂en␈α␈tries,␈α∂rarely␈α∂occur␈α∂in␈α∂practice␈α∞(unless
␈β
b␈↓ ↓H␈εαthey␈αare␈αv␈α␈ery␈αsparse,␈αwhen␈αother␈αtechniques␈αapply).
␈β∞∃␈↓ α␈εαBy␈αcon␈α␈trast,␈αthe␈αmethods␈α
w␈α␈e␈αshall␈αdiscuss␈αnext␈αare␈αeminen␈α␈tly␈αpractical␈αand
␈β∞@␈↓ ↓H␈εαhav␈α␈e␈αλfound␈α	wide␈αλuse.␈αThe␈ε∂␈α	|nite␈αλFourier␈α	transform␈↓ πQ␈ελf␈↓ πk␈εαof␈αλa␈α	complex-valued␈αλfunction
␈β∞k␈↓ ↓H␈ελF␈↓ ↓l␈εαof␈↓ α⊗␈ελn␈↓ α7␈εαvariables,␈αo␈α␈v␈α␈er␈αrespectiv␈α␈e␈αdomains␈αof␈↓ π∧␈ελm␈↓ π1␈εα,␈↓ πG␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πw␈εα,␈↓ λ
␈ελm␈↓ λI␈εαelemen␈α␈ts,␈αis␈αde|ned␈αby
␈β∞y␈↓ π#␈ε¬1␈↓ λ+␈εn
␈β∂↔␈↓ ↓H␈εαthe␈αequation
␈β∂P␈↓ β←␈ε↓X
␈β∂Y␈↓ ¬¬␈ε↓∩␈↓ ¬O␈ε↓∩␈↓ πu␈ε↓∪␈↓ λ␈ε↓∪
␈β∂]␈↓ ¬i␈ελs␈↓ ε∧␈ελt␈↓ π7␈ελs␈↓ πU␈ελt
␈β∂j␈↓ ¬u␈ε¬1␈↓ ε∞␈ε¬1␈↓ πC␈εn␈↓ π`␈εn
␈β∂t␈↓ ↓H␈ελf␈↓ ↓Y␈εα(␈↓ ↓e␈ελs␈↓ ↓␈␈εα,␈↓ α∂␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ α?␈εα,␈↓ αO␈ελs␈↓ αm␈εα)␈α
=␈↓ ∧G␈εαexp␈↓ ¬≠␈εα2␈↓ ¬-␈ελ→␈↓ ¬A␈ελi␈↓ ε)␈εα+␈↓ εU␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ππ␈εα+␈↓ λ'␈ελF␈↓ λA␈εα(␈↓ λM␈ελt␈↓ λf␈εα,␈↓ λv␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	&␈εα,␈↓ 	6␈ελt␈↓ 	S␈εα)␈↓ 
p␈εα(37)
␈β⊂↓␈↓ ↓q␈ε¬1␈↓ α[␈εn␈↓ λW␈ε¬1␈↓ 	A␈εn
␈β⊂∧␈↓ ¬i␈∧⊂∧¬iα4␈↓ π7␈∧⊂∧π7α;
␈β⊂␈↓ ¬m␈ελm␈↓ π<␈ελm
␈β⊂→␈↓ ε␈ε¬1␈↓ πZ␈εn
␈β⊂#␈↓ β9␈ε¬0␈ε→∀␈↓ βd␈εt␈↓ βx␈ε¬<␈↓ ∧∃␈εm
␈β⊂,␈↓ βm␈επ1␈↓ ∧/␈επ1
␈β⊂8␈↓ βh␈ε→↓␈α¬↓␈α¬↓
␈β⊂N␈↓ β4␈ε¬0␈ε→␈α↓∀␈↓ β`␈εt␈↓ βx␈ε¬<␈↓ ∧∃␈εm
␈β⊂V␈↓ βi␈ε
n␈↓ ∧/␈ε
n
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαfor␈α0␈ε⊗␈α∀␈↓ αM␈ελs␈↓ αs␈εα<␈↓ β"␈ελm␈↓ βO␈εα,␈↓ βf␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧⊗␈εα,␈α
0␈ε⊗␈α∀␈↓ ∧z␈ελs␈↓ ¬#␈εα<␈↓ ¬S␈ελm␈↓ εβ␈εα;␈α
the␈α
name␈α
\transform"␈α
is␈α
justi|ed␈αbecause
␈β⊂|␈↓ αY␈ε¬1␈↓ βA␈ε¬1␈↓ ¬ε␈εn␈↓ ¬q␈εn
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αcan␈αreco␈α␈v␈α␈er␈αthe␈αvalues␈↓ ∧g␈ελF␈↓ ¬↓␈εα(␈↓ ¬
␈ελt␈↓ ¬&␈εα,␈↓ ¬6␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬f␈εα,␈↓ ¬v␈ελt␈↓ ε∪␈εα)␈αfrom␈αthe␈αvalues␈↓ λ-␈ελf␈↓ λ?␈εα(␈↓ λK␈ελs␈↓ λe␈εα,␈↓ λu␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	%␈εα,␈↓ 	5␈ελs␈↓ 	S␈εα),␈αas␈αsho␈α␈wn␈αin
␈β⊃(␈↓ ¬_␈ε¬1␈↓ ε↓␈εn␈↓ λW␈ε¬1␈↓ 	A␈εn
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.4␈ε∞␈↓ π∧EV␈α|AL␈α␈U␈α␈A␈α}T␈α␈ION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα465
␈βα%␈↓ ↓H␈εαex␈α␈ercise␈α13.␈αIn␈αthe␈αimportan␈α␈t␈αspecial␈αcase␈αthat␈αall␈↓ πZ␈ελm␈↓ λ∂␈εα=␈α
2,␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈βα2␈↓ πx␈εj
␈βαm␈↓ ¬;␈ε↓X
␈ββ␈↓ εy␈εs␈↓ π∂␈εt␈↓ π#␈ε¬+␈↓ π@␈ε→↓↓↓␈↓ πX␈ε¬+␈↓ πu␈εs␈↓ λ∂␈εt
␈ββ⊃␈↓ β⊗␈ελf␈↓ β'␈εα(␈↓ β3␈ελs␈↓ βM␈εα,␈↓ β]␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧
␈εα,␈↓ ∧≥␈ελs␈↓ ∧;␈εα)␈α
=␈↓ ε+␈εα(␈ε⊗␈␈εα1␈↓ εm␈εα)␈↓ λ'␈ελF␈↓ λA␈εα(␈↓ λM␈ελt␈↓ λf␈εα,␈↓ λv␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	&␈εα,␈↓ 	6␈ελt␈↓ 	R␈εα)␈↓ 
p␈εα(38)
␈ββ∪␈↓ πβ␈επ1␈↓ π_␈επ1␈↓ π␈␈ε
n␈↓ λ_␈ε
n
␈ββ≡␈↓ β?␈ε¬1␈↓ ∧)␈εn␈↓ λW␈ε¬1␈↓ 	A␈εn
␈ββB␈↓ ∧␈␈ε¬0␈ε→␈α↓∀␈↓ ¬*␈εt␈↓ ¬?␈ε¬,␈↓ ¬G␈ε¬...␈↓ ¬←␈ε¬,␈↓ ¬g␈εt␈↓ ε␈ε→∀␈ε¬1
␈ββK␈↓ ¬4␈επ1␈↓ ¬p␈ε
n
␈β∧∀␈↓ ↓H␈εαfor␈α
0␈ε⊗␈α∀␈↓ αO␈ελs␈↓ αj␈εα,␈↓ αz␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β*␈εα,␈↓ β:␈ελs␈↓ βd␈ε⊗∀␈εα␈α1,␈α
and␈α∞this␈α
may␈α
be␈α
regarded␈α∞as␈α
a␈α
sim␈α␈ultaneous␈α
evaluation
␈β∧"␈↓ α[␈ε¬1␈↓ βF␈εn
␈β∧:␈↓ απ␈εn␈↓ ¬~␈εn
␈β∧?␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓u␈εα2␈↓ α(␈εαlinear␈α⊂polynomials␈α∂in␈↓ ¬λ␈εα2␈↓ ¬;␈εαvariables␈↓ εW␈ελF␈↓ εp␈εα(␈↓ ε|␈ελt␈↓ π∃␈εα,␈↓ π%␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πU␈εα,␈↓ πe␈ελt␈↓ λα␈εα).␈α⊗A␈α∂w␈α␈ell-kno␈α␈wn␈α∂technique
␈β∧M␈↓ ππ␈ε¬1␈↓ πp␈εn
␈β∧k␈↓ ↓H␈εαdue␈α
to␈α
F.␈αYates␈α
[␈ε∂The␈α
Design␈αand␈α
Analysis␈α
of␈αFactorial␈α
Experimen␈α␈ts␈εα␈α
(Harpenden:
␈β¬⊗␈↓ ↓H␈εαImperial␈α
Bureau␈αof␈α
Soil␈αSciences,␈α1937)]␈αcan␈α
be␈αused␈α
to␈αreduce␈αthe␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈αof␈α
ad-
␈β¬<␈↓ ¬␈εn␈↓ ¬:␈εn␈↓ εr␈εn
␈β¬A␈↓ ↓H␈εαditions␈α	implied␈α	in␈α
(38)␈α	from␈↓ ∧y␈εα2␈↓ ¬≤␈εα(␈↓ ¬(␈εα2␈↓ ¬Q␈ε⊗␈␈εα␈α∧1)␈α
to␈↓ εJ␈ελn␈↓ ε`␈εα2␈↓ π∧␈εα.␈αYates's␈α	method␈α
can␈α	be␈α	understood
␈β¬l␈↓ ↓H␈εαby␈αconsidering␈αthe␈αcase␈↓ ∧B␈ελn␈↓ ∧a␈εα=␈α
3:␈αLet␈↓ ¬y␈ελx␈↓ εR␈εα=␈↓ π␈ελF␈↓ π→␈εα(␈↓ π%␈ελt␈↓ π>␈εα,␈↓ πN␈ελt␈↓ πg␈εα,␈↓ πw␈ελt␈↓ λ⊂␈εα).
␈β¬z␈↓ ε
␈εt␈↓ ε≡␈εt␈↓ ε3␈εt␈↓ π0␈ε¬1␈↓ πY␈ε¬2␈↓ λα␈ε¬3
␈βεα␈↓ ε∪␈επ1␈↓ ε(␈επ2␈↓ ε<␈επ3
␈βεM␈↓ ↓H␈εεG␈α␈iven␈↓ αQ␈εεFir␈α␈st␈αλstep␈↓ ∧R␈εεSe␈α↓co␈α␈nd␈α	st␈α␈e␈α↓p␈↓ λM␈εεT␈α↓hir␈α␈d␈α	st␈α␈e␈α↓p
␈βεw␈↓ ↓H␈εx␈↓ αH␈εx␈↓ αx␈ε¬+␈↓ β∀␈εx␈↓ ∧λ␈εx␈↓ ∧8␈ε¬+␈↓ ∧U␈εx␈↓ ¬¬␈ε¬+␈↓ ¬"␈εx␈↓ ¬R␈ε¬+␈↓ ¬o␈εx␈↓ εc␈εx␈↓ π∪␈ε¬+␈↓ π0␈εx␈↓ π`␈ε¬+␈↓ π|␈εx␈↓ λ,␈ε¬+␈↓ λI␈εx␈↓ λy␈ε¬+␈↓ 	⊗␈εx␈↓ 	F␈ε¬+␈↓ 	c␈εx␈↓ 
∪␈ε¬+␈↓ 
0␈εx␈↓ 
`␈ε¬+␈↓ 
|␈εx
␈βε␈␈↓ ↓V␈επ000␈↓ αV␈επ000␈↓ β#␈επ001␈↓ ∧↔␈επ000␈↓ ∧c␈επ0␈α↓01␈↓ ¬0␈επ01␈α↓0␈↓ ¬⎇␈επ01␈α↓1␈↓ εq␈επ000␈↓ π>␈επ001␈↓ λ␈επ010␈↓ λW␈επ0␈α↓11␈↓ 	$␈επ10␈α↓0␈↓ 	q␈επ10␈α↓1␈↓ 
>␈επ110␈↓ ␈επ111
␈βπ≠␈↓ ↓H␈εx␈↓ αH␈εx␈↓ αx␈ε¬+␈↓ β∀␈εx␈↓ ∧λ␈εx␈↓ ∧8␈ε¬+␈↓ ∧U␈εx␈↓ ¬¬␈ε¬+␈↓ ¬"␈εx␈↓ ¬R␈ε¬+␈↓ ¬o␈εx␈↓ εc␈εx␈↓ π∪␈ε→␈␈↓ π0␈εx␈↓ π`␈ε¬+␈↓ π|␈εx␈↓ λ,␈ε→␈␈↓ λI␈εx␈↓ λy␈ε¬+␈↓ 	⊗␈εx␈↓ 	F␈ε→␈␈↓ 	c␈εx␈↓ 
∪␈ε¬+␈↓ 
0␈εx␈↓ 
`␈ε→␈␈↓ 
|␈εx
␈βπ#␈↓ ↓V␈επ001␈↓ αV␈επ010␈↓ β#␈επ011␈↓ ∧↔␈επ100␈↓ ∧c␈επ1␈α↓01␈↓ ¬0␈επ11␈α↓0␈↓ ¬⎇␈επ11␈α↓1␈↓ εq␈επ000␈↓ π>␈επ001␈↓ λ␈επ010␈↓ λW␈επ0␈α↓11␈↓ 	$␈επ10␈α↓0␈↓ 	q␈επ10␈α↓1␈↓ 
>␈επ110␈↓ ␈επ111
␈βπ?␈↓ ↓H␈εx␈↓ αH␈εx␈↓ αx␈ε¬+␈↓ β∀␈εx␈↓ ∧λ␈εx␈↓ ∧8␈ε→␈␈↓ ∧U␈εx␈↓ ¬¬␈ε¬+␈↓ ¬"␈εx␈↓ ¬R␈ε→␈␈↓ ¬o␈εx␈↓ εc␈εx␈↓ π∪␈ε¬+␈↓ π0␈εx␈↓ π`␈ε→␈␈↓ π|␈εx␈↓ λ,␈ε→␈␈↓ λI␈εx␈↓ λy␈ε¬+␈↓ 	⊗␈εx␈↓ 	F␈ε¬+␈↓ 	c␈εx␈↓ 
∪␈ε→␈␈↓ 
0␈εx␈↓ 
`␈ε→␈␈↓ 
|␈εx
␈βπG␈↓ ↓V␈επ010␈↓ αV␈επ100␈↓ β#␈επ101␈↓ ∧↔␈επ000␈↓ ∧c␈επ0␈α↓01␈↓ ¬0␈επ01␈α↓0␈↓ ¬⎇␈επ01␈α↓1␈↓ εq␈επ000␈↓ π>␈επ001␈↓ λ␈επ010␈↓ λW␈επ0␈α↓11␈↓ 	$␈επ10␈α↓0␈↓ 	q␈επ10␈α↓1␈↓ 
>␈επ110␈↓ ␈επ111
␈βπc␈↓ ↓H␈εx␈↓ αH␈εx␈↓ αx␈ε¬+␈↓ β∀␈εx␈↓ ∧λ␈εx␈↓ ∧8␈ε→␈␈↓ ∧U␈εx␈↓ ¬¬␈ε¬+␈↓ ¬"␈εx␈↓ ¬R␈ε→␈␈↓ ¬o␈εx␈↓ εc␈εx␈↓ π∪␈ε→␈␈↓ π0␈εx␈↓ π`␈ε→␈␈↓ π|␈εx␈↓ λ,␈ε¬+␈↓ λI␈εx␈↓ λy␈ε¬+␈↓ 	⊗␈εx␈↓ 	F␈ε→␈␈↓ 	c␈εx␈↓ 
∪␈ε→␈␈↓ 
0␈εx␈↓ 
`␈ε¬+␈↓ 
|␈εx
␈βπk␈↓ ↓V␈επ011␈↓ αV␈επ110␈↓ β#␈επ111␈↓ ∧↔␈επ100␈↓ ∧c␈επ1␈α↓01␈↓ ¬0␈επ11␈α↓0␈↓ ¬⎇␈επ11␈α↓1␈↓ εq␈επ000␈↓ π>␈επ001␈↓ λ␈επ010␈↓ λW␈επ0␈α↓11␈↓ 	$␈επ10␈α↓0␈↓ 	q␈επ10␈α↓1␈↓ 
>␈επ110␈↓ ␈επ111
␈βλπ␈↓ ↓H␈εx␈↓ αH␈εx␈↓ αx␈ε→␈␈↓ β∀␈εx␈↓ ∧λ␈εx␈↓ ∧8␈ε¬+␈↓ ∧U␈εx␈↓ ¬¬␈ε→␈␈↓ ¬"␈εx␈↓ ¬R␈ε→␈␈↓ ¬o␈εx␈↓ εc␈εx␈↓ π∪␈ε¬+␈↓ π0␈εx␈↓ π`␈ε¬+␈↓ π|␈εx␈↓ λ,␈ε¬+␈↓ λI␈εx␈↓ λy␈ε→␈␈↓ 	⊗␈εx␈↓ 	F␈ε→␈␈↓ 	c␈εx␈↓ 
∪␈ε→␈␈↓ 
0␈εx␈↓ 
`␈ε→␈␈↓ 
|␈εx
␈βλ∂␈↓ ↓V␈επ100␈↓ αV␈επ000␈↓ β#␈επ001␈↓ ∧↔␈επ000␈↓ ∧c␈επ0␈α↓01␈↓ ¬0␈επ01␈α↓0␈↓ ¬⎇␈επ01␈α↓1␈↓ εq␈επ000␈↓ π>␈επ001␈↓ λ␈επ010␈↓ λW␈επ0␈α↓11␈↓ 	$␈επ10␈α↓0␈↓ 	q␈επ10␈α↓1␈↓ 
>␈επ110␈↓ ␈επ111
␈βλ+␈↓ ↓H␈εx␈↓ αH␈εx␈↓ αx␈ε→␈␈↓ β∀␈εx␈↓ ∧λ␈εx␈↓ ∧8␈ε¬+␈↓ ∧U␈εx␈↓ ¬¬␈ε→␈␈↓ ¬"␈εx␈↓ ¬R␈ε→␈␈↓ ¬o␈εx␈↓ εc␈εx␈↓ π∪␈ε→␈␈↓ π0␈εx␈↓ π`␈ε¬+␈↓ π|␈εx␈↓ λ,␈ε→␈␈↓ λI␈εx␈↓ λy␈ε→␈␈↓ 	⊗␈εx␈↓ 	F␈ε¬+␈↓ 	c␈εx␈↓ 
∪␈ε→␈␈↓ 
0␈εx␈↓ 
`␈ε¬+␈↓ 
|␈εx
␈βλ3␈↓ ↓V␈επ101␈↓ αV␈επ010␈↓ β#␈επ011␈↓ ∧↔␈επ100␈↓ ∧c␈επ1␈α↓01␈↓ ¬0␈επ11␈α↓0␈↓ ¬⎇␈επ11␈α↓1␈↓ εq␈επ000␈↓ π>␈επ001␈↓ λ␈επ010␈↓ λW␈επ0␈α↓11␈↓ 	$␈επ10␈α↓0␈↓ 	q␈επ10␈α↓1␈↓ 
>␈επ110␈↓ ␈επ111
␈βλO␈↓ ↓H␈εx␈↓ αH␈εx␈↓ αx␈ε→␈␈↓ β∀␈εx␈↓ ∧λ␈εx␈↓ ∧8␈ε→␈␈↓ ∧U␈εx␈↓ ¬¬␈ε→␈␈↓ ¬"␈εx␈↓ ¬R␈ε¬+␈↓ ¬o␈εx␈↓ εc␈εx␈↓ π∪␈ε¬+␈↓ π0␈εx␈↓ π`␈ε→␈␈↓ π|␈εx␈↓ λ,␈ε→␈␈↓ λI␈εx␈↓ λy␈ε→␈␈↓ 	⊗␈εx␈↓ 	F␈ε→␈␈↓ 	c␈εx␈↓ 
∪␈ε¬+␈↓ 
0␈εx␈↓ 
`␈ε¬+␈↓ 
|␈εx
␈βλW␈↓ ↓V␈επ110␈↓ αV␈επ100␈↓ β#␈επ101␈↓ ∧↔␈επ000␈↓ ∧c␈επ0␈α↓01␈↓ ¬0␈επ01␈α↓0␈↓ ¬⎇␈επ01␈α↓1␈↓ εq␈επ000␈↓ π>␈επ001␈↓ λ␈επ010␈↓ λW␈επ0␈α↓11␈↓ 	$␈επ10␈α↓0␈↓ 	q␈επ10␈α↓1␈↓ 
>␈επ110␈↓ ␈επ111
␈βλs␈↓ ↓H␈εx␈↓ αH␈εx␈↓ αx␈ε→␈␈↓ β∀␈εx␈↓ ∧λ␈εx␈↓ ∧8␈ε→␈␈↓ ∧U␈εx␈↓ ¬¬␈ε→␈␈↓ ¬"␈εx␈↓ ¬R␈ε¬+␈↓ ¬o␈εx␈↓ εc␈εx␈↓ π∪␈ε→␈␈↓ π0␈εx␈↓ π`␈ε→␈␈↓ π|␈εx␈↓ λ,␈ε¬+␈↓ λI␈εx␈↓ λy␈ε→␈␈↓ 	⊗␈εx␈↓ 	F␈ε¬+␈↓ 	c␈εx␈↓ 
∪␈ε¬+␈↓ 
0␈εx␈↓ 
`␈ε→␈␈↓ 
|␈εx
␈βλ{␈↓ ↓V␈επ111␈↓ αV␈επ110␈↓ β#␈επ111␈↓ ∧↔␈επ100␈↓ ∧c␈επ1␈α↓01␈↓ ¬0␈επ11␈α↓0␈↓ ¬⎇␈επ11␈α↓1␈↓ εq␈επ000␈↓ π>␈επ001␈↓ λ␈επ010␈↓ λW␈επ0␈α↓11␈↓ 	$␈επ10␈α↓0␈↓ 	q␈επ10␈α↓1␈↓ 
>␈επ110␈↓ ␈επ111
␈β	Q␈↓ ↓H␈εαTo␈α∂get␈α∂from␈α∂the␈α⊂\Giv␈α␈en"␈α∂to␈α∂the␈α∂\First␈α∂step"␈α⊂requires␈α∂four␈α∂additions␈α∂and␈α∂four
␈β	⎇␈↓ ↓H␈εαsubtractions;␈α∞and␈α∞the␈α∞in␈α␈teresting␈α∞feature␈α∞of␈α∞Yates's␈α∞method␈α∞is␈α∞that␈α∞exactly␈α
the
␈β
(␈↓ ↓H␈εαsame␈α⊂transformation␈α⊂that␈α⊂tak␈α␈es␈α⊂us␈α⊂from␈α⊂\Giv␈α␈en"␈α⊂to␈α⊂\First␈α∂step"␈α⊂will␈α⊂tak␈α␈e␈α⊂us
␈β
S␈↓ ↓H␈εαfrom␈α\First␈αstep"␈αto␈α\Second␈αstep"␈αand␈αfrom␈α\Second␈αstep"␈αto␈α\Third␈αstep."␈αIn
␈β
}␈↓ ↓H␈εαeach␈αcase␈αw␈α␈e␈αdo␈αfour␈αadditions,␈αthen␈αfour␈αsubtractions;␈αand␈αafter␈αthree␈αsteps␈αw␈α␈e
␈β)␈↓ ↓H␈εαhav␈α␈e␈α
the␈α
desired␈αFourier␈α
transform␈↓ ¬r␈ελf␈↓ εβ␈εα(␈↓ ε∂␈ελs␈↓ ε*␈εα,␈↓ ε:␈ελs␈↓ εT␈εα,␈↓ εd␈ελs␈↓ ε␈␈εα)␈α
in␈α
the␈αplace␈α
originally␈α
occupied␈α
by
␈β7␈↓ ε≠␈ε¬1␈↓ εF␈ε¬2␈↓ εp␈ε¬3
␈βU␈↓ ↓H␈ελF␈↓ ↓a␈εα(␈↓ ↓m␈ελs␈↓ απ␈εα,␈↓ α↔␈ελs␈↓ α2␈εα,␈↓ αB␈ελs␈↓ α\␈εα)!
␈βb␈↓ ↓y␈ε¬1␈↓ α#␈ε¬2␈↓ αN␈ε¬3
␈β␈↓ 	'␈εn
␈β¬␈↓ α␈εαThis␈α∞special␈α∞case␈α∞is␈α∂often␈α∞called␈α∞the␈ε∂␈α∞Walsh␈α∞transform␈εα␈α∞of␈↓ 	∃␈εα2␈↓ 	G␈εαdata␈α∞elemen␈α␈ts,
␈β1␈↓ ↓H␈εαsince␈α∞the␈α
corresponding␈α∞pattern␈α∞of␈α∞signs␈α∞was␈α∞studied␈α∞by␈α∞J.␈α∞L.␈α∞Walsh␈α∞[␈ε∂Amer.␈α
J.
␈β\␈↓ ↓H␈ε∂Math.␈ε∩␈α45␈εα␈α(1923),␈α5↑24].␈αNote␈αthat␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αsign␈αchanges␈αfrom␈αleft␈αto␈αrigh␈α␈t
␈β
π␈↓ ↓H␈εαin␈α∞the␈α∂\Third␈α∂step"␈α∞abo␈α␈v␈α␈e␈α∂assumes␈α∂the␈α∞respectiv␈α␈e␈α∂values␈α∂0,␈α∂7,␈α⊂3,␈α∂4,␈α∂1,␈α⊂6,␈α∂2,␈α∂5.
␈β
-␈↓ λε␈εn
␈β
2␈↓ ↓H␈εαWalsh␈αobserv␈α␈ed␈αthat␈αthere␈αwill␈αbe␈αexactly␈α0,␈α1,␈↓ π/␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π←␈εα,␈↓ πt␈εα2␈↓ λ∨␈ε⊗␈␈εα␈απ1␈αsign␈αchanges␈αin␈αsome
␈β
]␈↓ ↓H␈εαorder␈α
in␈αthe␈α
general␈α
case,␈α
so␈α
the␈α
coe}cien␈α␈ts␈α
pro␈α␈vide␈α
discrete␈α
appro␈α␈ximations␈αto
␈β∞	␈↓ ↓H␈εαsine␈αwav␈α␈es␈αwith␈αvarious␈αfrequencies.␈α_(See␈αH.␈αF.␈αHarm␈α␈uth,␈ε∂␈αIEEE␈αSpectrum␈ε∩␈α6␈εα,␈α11
␈β∞4␈↓ ↓H␈εα(No␈α␈v.␈α⊃1969),␈α∞82↑91,␈α∞for␈α∞applications␈α∞of␈α
this␈α∞property;␈α∂and␈α
see␈α∞Section␈α∞7.2.1␈α
for
␈β∞←␈↓ ↓H␈εαfurther␈αdiscussion␈αof␈αthe␈αWalsh␈αcoe}cien␈α␈ts.)
␈β∂⊂␈↓ α␈εαYates's␈α∂method␈α∞can␈α∂be␈α∂generalized␈α∞to␈α∂the␈α∂evaluation␈α∞of␈α∂an␈α␈y␈α∂|nite␈α∞Fourier
␈β∂;␈↓ ↓H␈εαtransform,␈αand,␈αin␈αfact,␈αto␈αthe␈αevaluation␈αof␈αan␈α␈y␈αsums␈αthat␈αcan␈αbe␈αwritten
␈β⊂"␈↓ ↓H␈ελf␈↓ ↓Y␈εα(␈↓ ↓e␈ελs␈↓ ↓␈␈εα,␈↓ α∂␈ελs␈↓ α*␈εα,␈↓ α:␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ αj␈εα,␈↓ αz␈ελs␈↓ β_␈εα)␈α
=
␈β⊂/␈↓ ↓q␈ε¬1␈↓ α≠␈ε¬2␈↓ βε␈εn
␈β⊂?␈↓ α`␈ε↓X
␈β⊂b␈↓ β=␈ελg␈↓ βZ␈εα(␈↓ βf␈ελs␈↓ ∧␈εα,␈↓ ∧⊂␈ελs␈↓ ∧+␈εα,␈↓ ∧;␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧k␈εα,␈↓ ∧{␈ελs␈↓ ¬→␈εα,␈↓ ¬)␈ελt␈↓ ¬B␈εα)␈↓ ¬N␈ελg␈↓ ¬j␈εα(␈↓ ¬v␈ελs␈↓ ε⊂␈εα,␈↓ ε ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εP␈εα,␈↓ ε`␈ελs␈↓ ε}␈εα,␈↓ π∞␈ελt␈↓ π(␈εα)␈↓ π:␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πj␈ελg␈↓ λ
␈εα(␈↓ λ⊗␈ελs␈↓ λ3␈εα,␈↓ λC␈ελt␈↓ λ`␈εα)␈↓ λl␈ελF␈↓ 	¬␈εα(␈↓ 	⊃␈ελt␈↓ 	+␈εα,␈↓ 	;␈ελt␈↓ 	T␈εα,␈↓ 	d␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
∀␈εα,␈↓ 
$␈ελt␈↓ 
@␈εα)␈α$(39)
␈β⊂p␈↓ βK␈ε¬1␈↓ βr␈ε¬1␈↓ ∧≤␈ε¬2␈↓ ¬π␈εn␈↓ ¬3␈ε¬1␈↓ ¬\␈ε¬2␈↓ εα␈ε¬2␈↓ εl␈εn␈↓ π→␈ε¬2␈↓ πx␈εn␈↓ λ"␈εn␈↓ λN␈εn␈↓ 	≤␈ε¬1␈↓ 	E␈ε¬2␈↓ 
/␈εn
␈β⊃∩␈↓ α:␈ε¬0␈ε→∀␈↓ αe␈εt␈↓ αy␈ε¬<␈↓ β⊗␈εm
␈β⊃≠␈↓ αn␈επ1␈↓ β0␈επ1
␈β⊃'␈↓ αi␈ε→↓␈α¬↓␈α¬↓
␈β⊃=␈↓ α5␈ε¬0␈ε→␈α↓∀␈↓ αa␈εt␈↓ αy␈ε¬<␈↓ β⊗␈εm
␈β⊃E␈↓ αj␈ε
n␈↓ β0␈ε
n
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα466␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.4
␈βα%␈↓ ↓H␈εαfor␈α0␈ε⊗␈α
∀␈↓ αJ␈ελs␈↓ αm␈εα<␈↓ β≠␈ελm␈↓ βG␈εα,␈αgiv␈α␈en␈αthe␈αfunctions␈↓ ε⊗␈ελg␈↓ ε1␈εα(␈↓ ε=␈ελs␈↓ εV␈εα,␈↓ εf␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π⊗␈εα,␈↓ π&␈ελs␈↓ πD␈εα,␈↓ πT␈ελt␈↓ πl␈εα).␈αWe␈αproceed␈αas␈αfollo␈α␈ws:
␈βα2␈↓ αV␈εj␈↓ β9␈εj␈↓ ε$␈εj␈↓ εI␈εj␈↓ π2␈εn␈↓ π←␈εj
␈βα|␈↓ α,␈ε¬[0]
␈ββα␈↓ α≠␈ελf␈↓ αJ␈εα(␈↓ αV␈ελt␈↓ αp␈εα,␈↓ β␈ελt␈↓ β→␈εα,␈↓ β)␈ελt␈↓ βB␈εα,␈↓ βR␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧α␈εα,␈↓ ∧∩␈ελt␈↓ ∧/␈εα)␈↓ ∧E␈εα=␈↓ ∧s␈ελF␈↓ ¬␈εα(␈↓ ¬_␈ελt␈↓ ¬1␈εα,␈↓ ¬A␈ελt␈↓ ¬Z␈εα,␈↓ ¬j␈ελt␈↓ εβ␈εα,␈↓ ε∪␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εC␈εα,␈↓ εS␈ελt␈↓ εp␈εα);
␈ββ⊂␈↓ αa␈ε¬1␈↓ β
␈ε¬2␈↓ β3␈ε¬3␈↓ ∧≥␈εn␈↓ ¬#␈ε¬1␈↓ ¬L␈ε¬2␈↓ ¬u␈ε¬3␈↓ ε↑␈εn
␈ββ'␈↓ ¬*␈ε↓X
␈ββD␈↓ ↓|␈ε¬[1]␈↓ π.␈ε¬[0␈α↓]
␈ββJ␈↓ ↓k␈ελf␈↓ α~␈εα(␈↓ α&␈ελs␈↓ αD␈εα,␈↓ αT␈ελt␈↓ αm␈εα,␈↓ α⎇␈ελt␈↓ β↔␈εα,␈↓ β'␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βW␈εα,␈↓ βg␈ελt␈↓ ∧/␈εα)␈↓ ∧E␈εα=␈↓ ε≠␈ελg␈↓ ε:␈εα(␈↓ εF␈ελs␈↓ εd␈εα,␈↓ εt␈ελt␈↓ π⊃␈εα)␈↓ π≥␈ελf␈↓ πM␈εα(␈↓ πY␈ελt␈↓ πr␈εα,␈↓ λα␈ελt␈↓ λ≠␈εα,␈↓ λ+␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ[␈εα,␈↓ λk␈ελt␈↓ 	λ␈εα);
␈ββX␈↓ α2␈εn␈↓ α←␈ε¬1␈↓ βλ␈ε¬2␈↓ βq␈εn␈↓ ∧β␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ε)␈εn␈↓ εR␈εn␈↓ ε␈␈εn␈↓ πd␈ε¬1␈↓ λ
␈ε¬2␈↓ λv␈εn
␈ββ|␈↓ ∧y␈ε¬0␈ε→∀␈↓ ¬$␈εt␈↓ ¬=␈ε¬<␈↓ ¬Y␈εm
␈β∧∧␈↓ ¬-␈ε
n␈↓ ¬s␈ε
n
␈β∧∨␈↓ ¬*␈ε↓X
␈β∧<␈↓ ↓L␈ε¬[2]␈↓ λ↑␈ε¬[1]
␈β∧B␈↓ ↓;␈ελf␈↓ ↓j␈εα(␈↓ ↓v␈ελs␈↓ α@␈εα,␈↓ αP␈ελs␈↓ αm␈εα,␈↓ α⎇␈ελt␈↓ β↔␈εα,␈↓ β'␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βW␈εα,␈↓ βg␈ελt␈↓ ∧/␈εα)␈↓ ∧E␈εα=␈↓ ε≠␈ελg␈↓ εf␈εα(␈↓ εr␈ελs␈↓ π;␈εα,␈↓ πK␈ελs␈↓ πi␈εα,␈↓ πy␈ελt␈↓ λA␈εα)␈↓ λM␈ελf␈↓ λ|␈εα(␈↓ 	λ␈ελs␈↓ 	&␈εα,␈↓ 	6␈ελt␈↓ 	O␈εα,␈↓ 	←␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
∂␈εα,␈↓ 
∨␈ελt␈↓ 
g␈εα);
␈β∧P␈↓ αα␈εn␈↓ α∀␈ε→␈␈ε¬1␈↓ α\␈εn␈↓ βλ␈ε¬1␈↓ βq␈εn␈↓ ∧β␈ε→␈␈ε¬2␈↓ ε)␈εn␈↓ ε:␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ε}␈εn␈↓ π⊂␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ πW␈εn␈↓ λ∧␈εn␈↓ λ∃␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 	∀␈εn␈↓ 	A␈ε¬1␈↓ 
*␈εn␈↓ 
<␈ε→␈␈ε¬1
␈β∧t␈↓ ∧W␈ε¬0␈ε→␈α↓∀␈↓ ¬α␈εt␈↓ ¬=␈ε¬<␈↓ ¬Z␈εm
␈β∧|␈↓ ¬␈ε
n␈↓ ¬≠␈ε≠␈␈επ1␈↓ ¬s␈ε
n␈↓ εβ␈ε≠␈␈επ␈α␈1
␈β¬1␈↓ ∧M␈εα.
␈β¬@␈↓ ∧M␈εα.
␈β¬N␈↓ ∧M␈εα.
␈β¬e␈↓ ¬*␈ε↓X
␈βεα␈↓ α$␈ε¬[␈↓ α,␈εn␈↓ α=␈ε¬]␈↓ λ∩␈ε¬[␈↓ λ~␈εn␈↓ λ,␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈α↓]
␈βελ␈↓ α∩␈ελf␈↓ αE␈εα(␈↓ αQ␈ελs␈↓ αl␈εα,␈↓ α|␈ελs␈↓ β⊗␈εα,␈↓ β&␈ελs␈↓ βA␈εα,␈↓ βQ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧↓␈εα,␈↓ ∧⊃␈ελs␈↓ ∧/␈εα)␈↓ ∧E␈εα=␈↓ ε≠␈ελg␈↓ ε7␈εα(␈↓ εC␈ελs␈↓ ε]␈εα,␈↓ εm␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π≥␈εα,␈↓ π-␈ελs␈↓ πK␈εα,␈↓ π[␈ελt␈↓ πt␈εα)␈↓ λ␈ελf␈↓ λ←␈εα(␈↓ λk␈ελs␈↓ 	¬␈εα,␈↓ 	∃␈ελs␈↓ 	0␈εα,␈↓ 	@␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	p␈εα,␈↓ 
␈ελs␈↓ 
≡␈εα,␈↓ 
.␈ελt␈↓ 
G␈εα);
␈βε∃␈↓ α]␈ε¬1␈↓ βλ␈ε¬2␈↓ β2␈ε¬3␈↓ ∧≥␈εn␈↓ ε)␈ε¬1␈↓ εO␈ε¬1␈↓ π9␈εn␈↓ πf␈ε¬1␈↓ λw␈ε¬2␈↓ 	!␈ε¬3␈↓ 
␈εn␈↓ 
8␈ε¬1
␈βε9␈↓ ∧⎇␈ε¬0␈ε→∀␈↓ ¬(␈εt␈↓ ¬=␈ε¬<␈↓ ¬Y␈εm
␈βεB␈↓ ¬1␈επ1␈↓ ¬s␈επ1
␈βεy␈↓ ¬∧␈ε¬[␈↓ ¬␈εn␈↓ ¬≡␈ε¬]
␈βε␈␈↓ α4␈ελf␈↓ αE␈εα(␈↓ αQ␈ελs␈↓ αl␈εα,␈↓ α|␈ελs␈↓ β⊗␈εα,␈↓ β&␈ελs␈↓ βA␈εα,␈↓ βQ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧↓␈εα,␈↓ ∧⊃␈ελs␈↓ ∧/␈εα)␈↓ ∧E␈εα=␈↓ ∧s␈ελf␈↓ ¬&␈εα(␈↓ ¬2␈ελs␈↓ ¬L␈εα,␈↓ ¬\␈ελs␈↓ ¬w␈εα,␈↓ επ␈ελs␈↓ ε!␈εα,␈↓ ε1␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εa␈εα,␈↓ εq␈ελs␈↓ π∂␈εα).␈↓ 
p␈εα(40)
␈βπ␈↓ α]␈ε¬1␈↓ βλ␈ε¬2␈↓ β2␈ε¬3␈↓ ∧≥␈εn␈↓ ¬>␈ε¬1␈↓ ¬h␈ε¬2␈↓ ε∪␈ε¬3␈↓ ε⎇␈εn
␈βπS␈↓ λq␈εs␈↓ 	π␈εt␈↓ 	B␈ε¬[0␈α↓]
␈βπX␈↓ ↓H␈εαFor␈α
Yates's␈α
method␈αas␈α
sho␈α␈wn␈α
abo␈α␈v␈α␈e,␈↓ ε	␈ελg␈↓ ε$␈εα(␈↓ ε0␈ελs␈↓ εI␈εα,␈↓ εY␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π	␈εα,␈↓ π→␈ελs␈↓ π7␈εα,␈↓ πG␈ελt␈↓ π←␈εα)␈α
=␈α
(␈ε⊗␈␈εα1␈↓ λe␈εα)␈↓ 	≤␈εα;␈↓ 	1␈ελf␈↓ 	a␈εα(␈↓ 	m␈ελt␈↓ 
ε␈εα,␈↓ 
⊗␈ελt␈↓ 
/␈εα,␈↓ 
?␈ελt␈↓ 
X␈εα)␈α
rep-
␈βπ\␈↓ λ|␈ε
j␈↓ 	⊃␈ε
j
␈βπf␈↓ ε↔␈εj␈↓ ε<␈εj␈↓ π%␈εn␈↓ πR␈εj␈↓ 	w␈ε¬1␈↓ 
!␈ε¬2␈↓ 
J␈ε¬3
␈βπ}␈↓ ∧→␈ε¬[1]
␈βλβ␈↓ ↓H␈εαresen␈α␈ts␈απthe␈αλ\Giv␈α␈en";␈↓ ∧λ␈ελf␈↓ ∧7␈εα(␈↓ ∧C␈ελs␈↓ ∧↑␈εα,␈↓ ∧n␈ελt␈↓ ¬π␈εα,␈↓ ¬↔␈ελt␈↓ ¬0␈εα)␈αλrepresen␈α␈ts␈απthe␈απ\First␈αλstep";␈α	etc.␈α
Whenev␈α␈er␈αλa␈απsum
␈βλ⊃␈↓ ∧O␈ε¬3␈↓ ∧x␈ε¬1␈↓ ¬"␈ε¬2
␈βλ/␈↓ ↓H␈εαcan␈αbe␈αput␈α
in␈α␈to␈αthe␈αform␈αof␈α(39),␈αfor␈αreasonably␈αsimple␈αfunctions␈↓ 	@␈ελg␈↓ 	[␈εα(␈↓ 	g␈ελs␈↓ 
↓␈εα,␈↓ 
⊃␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
A␈εα,␈↓ 
Q␈ελs␈↓ 
n␈εα,␈↓ 
}␈ελt␈↓ ⊗␈εα),
␈βλ<␈↓ 	N␈εj␈↓ 	s␈εj␈↓ 
]␈εn␈↓ 	␈εj
␈βλU␈↓ 
∀␈ε¬2
␈βλZ␈↓ ↓H␈εαthe␈αscheme␈α(40)␈αwill␈αreduce␈αthe␈αamoun␈α␈t␈α
of␈αcomputation␈αfrom␈αorder␈↓ 	r␈ελN␈↓ 
.␈εαto␈αorder
␈β	¬␈↓ ↓H␈ελN␈↓ ↓o␈εαlog␈↓ α#␈ελN␈↓ αM␈εαor␈απthereabouts,␈α	where␈↓ ¬#␈ελN␈↓ ¬N␈εα=␈↓ ¬|␈ελm␈↓ ε/␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε←␈ελm␈↓ π∃␈εα;␈α	furthermore␈απthis␈αλscheme␈αλis␈απideally
␈β	∩␈↓ ε≠␈ε¬1␈↓ ε}␈εn
␈β	0␈↓ ↓H␈εαsuited␈α∞to␈α∞parallel␈α∂computation.␈α∪The␈α∞importan␈α␈t␈α∞special␈α∂case␈α∞of␈α∞one-dimensional
␈β	[␈↓ ↓H␈εαFourier␈α∞transforms␈α
is␈α∞discussed␈α∞in␈α∞ex␈α␈ercises␈α∞14␈α∞and␈α∞53;␈α∂w␈α␈e␈α∞hav␈α␈e␈α∞considered␈α
the
␈β
π␈↓ ↓H␈εαone-dimensional␈αcase␈αalso␈αin␈αSection␈α4.3.3.
␈β
A␈↓ α␈εαLet␈αus␈αconsider␈αone␈αmore␈αspecial␈αcase␈αof␈αpolynomial␈αevaluation.␈ε∂␈αLagrange's
␈β
l␈↓ ↓H␈ε∂in␈α␈terpolation␈αpolynomial␈↓ ∧W␈εαof␈αorder␈↓ ¬←␈ελn␈↓ ¬t␈εα,␈αwhich␈αw␈α␈e␈αshall␈αwrite␈αas
␈β@␈↓ ∧O␈εα(␈↓ ∧[␈ελx␈↓ ∧u␈ε⊗␈␈↓ ¬!␈ελx␈↓ ¬@␈εα)(␈↓ ¬X␈ελx␈↓ ¬s␈ε⊗␈␈↓ ε∨␈ελx␈↓ ε>␈εα)␈↓ εP␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π␈εα(␈↓ π␈ελx␈↓ π'␈ε⊗␈␈↓ πS␈ελx␈↓ πu␈εα)
␈βM␈↓ ¬2␈ε¬1␈↓ ε0␈ε¬2␈↓ πc␈εn
␈βR␈↓ β∀␈ε¬[␈↓ β≤␈εn␈↓ β.␈ε¬]
␈βX␈↓ α}␈ελu␈↓ β6␈εα(␈↓ βB␈ελx␈↓ βU␈εα)␈↓ βk␈εα=␈↓ ∧→␈ελy
␈βf␈↓ ∧*␈ε¬0
␈βi␈↓ ∧<␈∧i∧<αβX
␈βq␈↓ ∧<␈εα(␈↓ ∧H␈ελx␈↓ ∧o␈ε⊗␈␈↓ ¬≠␈ελx␈↓ ¬:␈εα)(␈↓ ¬R␈ελx␈↓ ¬y␈ε⊗␈␈↓ ε%␈ελx␈↓ εD␈εα)␈↓ εV␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πε␈εα(␈↓ π∩␈ελx␈↓ π9␈ε⊗␈␈↓ πe␈ελx␈↓ λλ␈εα)
␈β}␈↓ ∧Y␈ε¬0␈↓ ¬,␈ε¬1␈↓ ¬c␈ε¬0␈↓ ε6␈ε¬2␈↓ π#␈ε¬0␈↓ πv␈εn
␈β'␈↓ ¬∪␈εα(␈↓ ¬∨␈ελx␈↓ ¬9␈ε⊗␈␈↓ ¬e␈ελx␈↓ ε∧␈εα)(␈↓ ε≤␈ελx␈↓ ε7␈ε⊗␈␈↓ εc␈ελx␈↓ πα␈εα)␈↓ π∀␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πD␈εα(␈↓ πP␈ελx␈↓ πk␈ε⊗␈␈↓ λ↔␈ελx␈↓ λ9␈εα)
␈β4␈↓ ¬v␈ε¬0␈↓ εt␈ε¬2␈↓ λ'␈εn
␈β?␈↓ ∧1␈εα+␈↓ ∧]␈ελy␈↓ λd␈εα+␈↓ 	⊂␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓
␈βM␈↓ ∧n␈ε¬1
␈βO␈↓ ¬␈∧O¬αβX
␈βX␈↓ ¬␈εα(␈↓ ¬␈ελx␈↓ ¬3␈ε⊗␈␈↓ ¬←␈ελx␈↓ ¬}␈εα)(␈↓ ε⊗␈ελx␈↓ ε=␈ε⊗␈␈↓ εi␈ελx␈↓ πλ␈εα)␈↓ π~␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πJ␈εα(␈↓ πV␈ελx␈↓ π⎇␈ε⊗␈␈↓ λ)␈ελx␈↓ λL␈εα)
␈βe␈↓ ¬≥␈ε¬1␈↓ ¬p␈ε¬0␈↓ ε'␈ε¬1␈↓ εz␈ε¬2␈↓ πg␈ε¬1␈↓ λ:␈εn
␈β
∞␈↓ ¬≠␈εα(␈↓ ¬'␈ελx␈↓ ¬B␈ε⊗␈␈↓ ¬n␈ελx␈↓ ε
␈εα)(␈↓ ε%␈ελx␈↓ ε@␈ε⊗␈␈↓ εl␈ελx␈↓ π␈εα)␈↓ π≥␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πM␈εα(␈↓ πY␈ελx␈↓ πt␈ε⊗␈␈↓ λ ␈ελx␈↓ λm␈εα)
␈β
≠␈↓ ¬␈␈ε¬0␈↓ ε|␈ε¬1␈↓ λ0␈εn␈↓ λB␈ε→␈␈ε¬1
␈β
&␈↓ ∧1␈εα+␈↓ ∧]␈ελy␈↓ 	∃␈εα,␈↓ 
p␈εα(41)
␈β
3␈↓ ∧n␈εn
␈β
6␈↓ ¬∧␈∧
6¬∧α∧∞
␈β
>␈↓ ¬∧␈εα(␈↓ ¬⊂␈ελx␈↓ ¬:␈ε⊗␈␈↓ ¬f␈ελx␈↓ ε¬␈εα)(␈↓ ε≥␈ελx␈↓ εH␈ε⊗␈␈↓ εt␈ελx␈↓ π∪␈εα)␈↓ π%␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πU␈εα(␈↓ πa␈ελx␈↓ λ␈ε⊗␈␈↓ λ7␈ελx␈↓ 	¬␈εα)
␈β
L␈↓ ¬ ␈εn␈↓ ¬w␈ε¬0␈↓ ε.␈εn␈↓ π∧␈ε¬1␈↓ πq␈εn␈↓ λH␈εn␈↓ λZ␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈β∞∩␈↓ ↓H␈εαis␈α
the␈αonly␈αpolynomial␈αof␈α
degree␈ε⊗␈α∀␈↓ ¬t␈ελn␈↓ ε∀␈εαin␈↓ ε=␈ελx␈↓ ε[␈εαthat␈α
tak␈α␈es␈αon␈αthe␈αrespectiv␈α␈e␈α
values␈↓ β␈ελy␈↓ "␈εα,
␈β∞≡␈↓ λR␈ε↓␈
␈β∞ ␈↓ ∀␈ε¬0
␈β∞=␈↓ ↓H␈ελy␈↓ ↓g␈εα,␈↓ ↓{␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ α+␈εα,␈↓ α@␈ελy␈↓ αm␈εαat␈α	the␈↓ βR␈ελn␈↓ βm␈εα+␈αε1␈α	distinct␈α
poin␈α␈ts␈↓ ε≠␈ελx␈↓ ε8␈εα=␈↓ εf␈ελx␈↓ π¬␈εα,␈↓ π→␈ελx␈↓ π8␈εα,␈↓ πM␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π⎇␈εα,␈↓ λ⊃␈ελx␈↓ λ4␈εα.␈↓ λ`␈εαFor␈α
it␈α
is␈α
eviden␈α␈t␈α	from
␈β∞K␈↓ ↓Y␈ε¬1␈↓ αQ␈εn␈↓ εw␈ε¬0␈↓ π*␈ε¬1␈↓ λ"␈εn
␈β∞i␈↓ αu␈ε¬[␈↓ α⎇␈εn␈↓ β∂␈ε¬]
␈β∞n␈↓ ↓H␈εα(41)␈α
that␈↓ α←␈ελu␈↓ β↔␈εα(␈↓ β#␈ελx␈↓ βB␈εα)␈α=␈↓ ∧	␈ελy␈↓ ∧6␈εαfor␈α
0␈ε⊗␈α∀␈↓ ¬<␈ελk␈↓ ¬Y␈ε⊗∀␈↓ ε	␈ελn␈↓ ε≡␈εα.␈α∂If␈↓ ε\␈ελf␈↓ εm␈εα(␈↓ εy␈ελx␈↓ π␈εα)␈α
is␈α
an␈α␈y␈α
such␈α
polynomial␈α
of␈αdegree
␈β∞{␈↓ β4␈εk␈↓ ∧~␈εk
␈β∂∀␈↓ ∧h␈ε¬[␈↓ ∧p␈εn␈↓ ¬α␈ε¬]
␈β∂→␈↓ ↓H␈ε⊗∀␈↓ ↓v␈ελn␈↓ α␈εα,␈αthen␈↓ αq␈ελg␈↓ ββ␈εα(␈↓ β∂␈ελx␈↓ β!␈εα)␈α
=␈↓ βe␈ελf␈↓ βw␈εα(␈↓ ∧β␈ελx␈↓ ∧∃␈εα)␈ε⊗␈απ␈␈↓ ∧S␈ελu␈↓ ¬
␈εα(␈↓ ¬⊗␈ελx␈↓ ¬)␈εα)␈αis␈αof␈αdegree␈ε⊗␈α∀␈↓ π)␈ελn␈↓ π?␈εα,␈αand␈↓ λ→␈ελg␈↓ λ*␈εα(␈↓ λ6␈ελx␈↓ λI␈εα)␈αis␈αzero␈αfor␈↓ 
¬␈ελx␈↓ 
!␈εα=␈↓ 
O␈ελx␈↓ 
n␈εα,␈↓ β␈ελx␈↓ "␈εα,
␈β∂&␈↓ 
`␈ε¬0␈↓ ∀␈ε¬1
␈β∂D␈↓ ↓H␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ↓x␈εα,␈↓ α␈ελx␈↓ α.␈εα;␈αtherefore␈↓ βY␈ελg␈↓ βj␈εα(␈↓ βv␈ελx␈↓ ∧λ␈εα)␈α
is␈α
a␈α
m␈α␈ultiple␈α	of␈α
the␈α
polynomial␈α
(␈↓ λ∞␈ελx␈↓ λ%␈ε⊗␈␈↓ λN␈ελx␈↓ λm␈εα)(␈↓ 	¬␈ελx␈↓ 	≥␈ε⊗␈␈↓ 	F␈ελx␈↓ 	e␈εα)␈↓ 	w␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
'␈εα(␈↓ 
3␈ελx␈↓ 
K␈ε⊗␈␈↓ 
t␈ελx␈↓ ⊗␈εα).
␈β∂P␈↓ 	F␈ε↓↓
␈β∂Q␈↓ α≤␈εn␈↓ λ←␈ε¬0␈↓ 	W␈ε¬1␈↓ ¬␈εn
␈β∂o␈↓ ↓H␈εαThe␈α	degree␈α
of␈α
the␈α	latter␈α
polynomial␈α
is␈α
greater␈α	than␈↓ πc␈ελn␈↓ πy␈εα,␈α
so␈↓ λ6␈ελg␈↓ λH␈εα(␈↓ λT␈ελx␈↓ λf␈εα)␈α
=␈α
0.␈↓ 	h␈εαIf␈α
w␈α␈e␈α	assume
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαthat␈απthe␈αλvalues␈αλof␈απa␈αλfunction␈απin␈αλsome␈αλtable␈απare␈αλw␈α␈ell␈αλappro␈α␈ximated␈απby␈αλa␈απpolynomial,
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαLagrange's␈α
form␈α␈ula␈α(41)␈αmay␈αtherefore␈α
be␈αused␈αto␈α\in␈α␈terpolate"␈α
for␈αvalues␈αof␈α
the
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαfunction␈αat␈αpoin␈α␈ts␈↓ βj␈ελx␈↓ ∧λ␈εαnot␈αappearing␈αin␈αthe␈αtable.␈αUnfortunately,␈αthere␈αseem␈αto␈αbe
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαquite␈αa␈αfew␈αadditions,␈αsubtractions,␈α
m␈α␈ultiplications,␈αand␈αdivisions␈αin␈αLagrange's
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.4␈ε∞␈↓ π∧EV␈α|AL␈α␈U␈α␈A␈α}T␈α␈ION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα467
␈βα#␈↓ εR␈ε¬2␈↓ 	+␈ε¬2
␈βα(␈↓ ↓H␈εαform␈α␈ula;␈αin␈αfact,␈αthere␈α
are␈↓ ∧e␈ελn␈↓ ¬ε␈εαadditions,␈α2␈↓ ε=␈ελn␈↓ εg␈εα+␈απ2␈α
subtractions,␈α2␈↓ 	∃␈ελn␈↓ 	@␈εα+␈↓ 	j␈ελn␈↓ 
ε␈ε⊗␈␈εα␈απ1␈α
m␈α␈ulti-
␈βαS␈↓ ↓H␈εαplications,␈α
and␈↓ β7␈ελn␈↓ βS␈εα+␈αε1␈α
divisions.␈αFortunately␈α
(as␈αw␈α␈e␈α
migh␈α␈t␈αsuspect),␈α
impro␈α␈v␈α␈emen␈α␈t
␈βα}␈↓ ↓H␈εαis␈αpossible.
␈ββ'␈↓ λn␈ε¬[␈↓ λv␈εn␈↓ 	λ␈ε¬]␈↓ 
␈ε¬[␈↓ 
∪␈εn␈↓ 
%␈ε→␈␈ε¬1]
␈ββ,␈↓ α␈εαThe␈α⊃basic␈α⊃idea␈α∩for␈α⊃simplifying␈α⊃(41)␈α⊃is␈α∩to␈α⊃note␈α⊃that␈↓ λX␈ελu␈↓ 	⊂␈εα(␈↓ 	≤␈ελx␈↓ 	/␈εα)␈ε⊗␈α␈␈↓ 	v␈ελu␈↓ 
X␈εα(␈↓ 
d␈ελx␈↓ 
w␈εα)␈α⊃is
␈ββR␈↓ ¬w␈ε¬[␈↓ ¬␈␈εn␈↓ ε⊂␈ε¬]␈↓ π⊃␈ε¬[␈↓ π→␈εn␈↓ π+␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈α↓]
␈ββW␈↓ ↓H␈εαzero␈α∞for␈↓ αQ␈ελx␈↓ αs␈εα=␈↓ β%␈ελx␈↓ βD␈εα,␈↓ β↑␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧∞␈εα,␈↓ ∧'␈ελx␈↓ ∧u␈εα;␈α⊂th␈α␈us␈↓ ¬a␈ελu␈↓ ε_␈εα(␈↓ ε$␈ελx␈↓ ε7␈εα)␈ε⊗␈α
␈␈↓ ε{␈ελu␈↓ π↑␈εα(␈↓ πj␈ελx␈↓ π⎇␈εα)␈α∞is␈α∂a␈α∂polynomial␈α∂of␈α∞degree
␈ββd␈↓ β6␈ε¬0␈↓ ∧8␈εn␈↓ ∧J␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈ββ⎇␈↓ 
*␈ε¬[␈↓ 
2␈εn␈↓ 
D␈ε¬]
␈β∧α␈↓ ↓H␈ε⊗∀␈↓ ↓}␈ελn␈↓ α$␈εαand␈α⊃a␈α⊃m␈α␈ultiple␈α⊂of␈α⊃(␈↓ ∧↑␈ελx␈↓ ∧|␈ε⊗␈␈↓ ¬+␈ελx␈↓ ¬J␈εα)␈↓ ¬\␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε␈εα(␈↓ ε_␈ελx␈↓ ε6␈ε⊗␈␈↓ εf␈ελx␈↓ π3␈εα).␈α≠We␈α⊂conclude␈α⊃that␈↓ 
∀␈ελu␈↓ 
L␈εα(␈↓ 
X␈ελx␈↓ 
j␈εα)␈α∩=
␈β∧⊂␈↓ ¬<␈ε¬0␈↓ εv␈εn␈↓ πλ␈ε→␈␈ε¬1
␈β∧(␈↓ ¬→␈ε¬[␈↓ ¬!␈εn␈↓ ¬3␈ε→␈␈ε¬1]
␈β∧-␈↓ ↓H␈ελ␈↓ ↓l␈εα(␈↓ ↓x␈ελx␈↓ α∪␈ε⊗␈␈↓ α?␈ελx␈↓ α↑␈εα)␈↓ αp␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β ␈εα(␈↓ β,␈ελx␈↓ βG␈ε⊗␈␈↓ βs␈ελx␈↓ ∧A␈εα)␈↓ ∧V␈εα+␈↓ ¬β␈ελu␈↓ ¬f␈εα(␈↓ ¬r␈ελx␈↓ ε¬␈εα),␈α∞where␈↓ π∪␈ελ␈↓ πF␈εαis␈α∞a␈α∞constan␈α␈t.␈α∩This␈α∞leads␈α
us␈α∞to
␈β∧;␈↓ ↓Z␈εn␈↓ αP␈ε¬0␈↓ ∧β␈εn␈↓ ∧∃␈ε→␈␈ε¬1␈↓ π&␈εn
␈β∧Y␈↓ ↓H␈ε∂Newton's␈αin␈α␈terpolation␈αform␈α␈ula
␈β¬0␈↓ β≠␈ε¬[␈↓ β#␈εn␈↓ β5␈ε¬]
␈β¬6␈↓ β¬␈ελu␈↓ β=␈εα(␈↓ βI␈ελx␈↓ β\␈εα)␈↓ βr␈εα=␈↓ ∧ ␈ελ␈↓ ∧E␈εα(␈↓ ∧Q␈ελx␈↓ ∧k␈ε⊗␈␈↓ ¬↔␈ελx␈↓ ¬6␈εα)(␈↓ ¬N␈ελx␈↓ ¬i␈ε⊗␈␈↓ ε∃␈ελx␈↓ ε4␈εα)␈↓ εF␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εv␈εα(␈↓ πα␈ελx␈↓ π≥␈ε⊗␈␈↓ πI␈ελx␈↓ λ⊗␈εα)␈αλ+␈↓ λV␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓
␈β¬C␈↓ ∧3␈εn␈↓ ¬(␈ε¬0␈↓ ε&␈ε¬1␈↓ πY␈εn␈↓ πk␈ε→␈␈ε¬1
␈β¬h␈↓ ∧8␈εα+␈↓ ∧d␈ελ␈↓ ¬¬␈εα(␈↓ ¬⊃␈ελx␈↓ ¬,␈ε⊗␈␈↓ ¬X␈ελx␈↓ ¬w␈εα)(␈↓ ε∂␈ελx␈↓ ε*␈ε⊗␈␈↓ εV␈ελx␈↓ εu␈εα)␈αλ+␈↓ π5␈ελ␈↓ πV␈εα(␈↓ πb␈ελx␈↓ π|␈ε⊗␈␈↓ λ(␈ελx␈↓ λG␈εα)␈αλ+␈↓ 	π␈ελ␈↓ 	)␈εα,␈↓ 
p␈εα(42)
␈β¬v␈↓ ∧w␈ε¬2␈↓ ¬h␈ε¬0␈↓ εf␈ε¬1␈↓ πG␈ε¬1␈↓ λ9␈ε¬0␈↓ 	~␈ε¬0
␈βεE␈↓ ↓H␈εαwhere␈α
the␈↓ αi␈ελ␈↓ α⎇␈εα's␈α
are␈α
some␈α
constan␈α␈ts␈α
w␈α␈e␈α
should␈α
lik␈α␈e␈α	to␈α
determine␈α
from␈↓ 	U␈ελx␈↓ 	t␈εα,␈↓ 
λ␈ελx␈↓ 
'␈εα,␈↓ 
<␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
l␈εα,␈↓ ␈ελx␈↓ "␈εα,
␈βεR␈↓ 	f␈ε¬0␈↓ 
→␈ε¬1␈↓ ⊃␈εn
␈βεp␈↓ ↓H␈ελy␈↓ ↓g␈εα,␈↓ ↓⎇␈ελy␈↓ α≤␈εα,␈↓ α2␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ αb␈εα,␈↓ αx␈ελy␈↓ β≠␈εα.␈αNote␈αthat␈αthis␈αform␈α␈ula␈αholds␈αfor␈αall␈↓ πj␈ελn␈↓ λ␈εα;␈αthe␈αcoe}cien␈α␈t␈↓ 	{␈ελ␈↓ 
(␈εαdoes␈αnot
␈βε}␈↓ ↓Y␈ε¬0␈↓ α∞␈ε¬1␈↓ β	␈εn␈↓ 
∞␈εk
␈βπ≠␈↓ ↓H␈εαdepend␈αon␈↓ αu␈ελx␈↓ β?␈εα,␈↓ βU␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧¬␈εα,␈↓ ∧~␈ελx␈↓ ∧=␈εα,␈↓ ∧R␈ελy␈↓ ¬≥␈εα,␈↓ ¬3␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬c␈εα,␈αor␈↓ ε$␈ελy␈↓ εG␈εα.␈αOnce␈αthe␈↓ πu␈ελ␈↓ λ	␈εα's␈αare␈αkno␈α␈wn,␈αNewton's␈αin-
␈βπ)␈↓ β¬␈εk␈↓ β∀␈ε¬+1␈↓ ∧+␈εn␈↓ ∧c␈εk␈↓ ∧r␈ε¬+1␈↓ ε5␈εn
␈βπG␈↓ ↓H␈εαterpolation␈απform␈α␈ula␈απis␈απcon␈α␈v␈α␈enien␈α␈t␈αλfor␈απcalculation,␈αλsince␈αλw␈α␈e␈απmay␈απgeneralize␈απHorner's
␈βπr␈↓ ↓H␈εαrule␈αonce␈αagain␈αand␈αwrite
␈βλ/␈↓ β*␈ε↓␈␈↓ 
&␈ε↓↓
␈βλI␈↓ α%␈ε¬[␈↓ α-␈εn␈↓ α?␈ε¬]
␈βλO␈↓ α⊂␈ελu␈↓ αG␈εα(␈↓ αS␈ελx␈↓ αf␈εα)␈α
=␈↓ β8␈εα(␈↓ βJ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βz␈εα(␈↓ ∧ε␈ελ␈↓ ∧+␈εα(␈↓ ∧7␈ελx␈↓ ∧I␈ε⊗␈␈↓ ∧m␈ελx␈↓ ¬;␈εα)␈αλ+␈↓ ¬{␈ελ␈↓ εK␈εα)(␈↓ εc␈ελx␈↓ εv␈ε⊗␈␈↓ π~␈ελx␈↓ πh␈εα)␈αλ+␈↓ λ(␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λX␈εα)(␈↓ λp␈ελx␈↓ 	α␈ε⊗␈␈↓ 	&␈ελx␈↓ 	E␈εα)␈αλ+␈↓ 
¬␈ελ␈↓ 
4␈εα.␈↓ 
p␈εα(43)
␈βλ\␈↓ ∧→␈εn␈↓ ∧}␈εn␈↓ ¬⊂␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ε∞␈εn␈↓ ε ␈ε→␈␈ε¬1␈↓ π*␈εn␈↓ π<␈ε→␈␈ε¬2␈↓ 	7␈ε¬0␈↓ 
_␈ε¬0
␈β	+␈↓ ↓H␈εαThis␈α	requires␈↓ β~␈ελn␈↓ β:␈εαm␈α␈ultiplications␈α	and␈α	2␈↓ ε↓␈ελn␈↓ ε!␈εαadditions.␈αAlternativ␈α␈ely,␈α
w␈α␈e␈α	may␈α	evaluate
␈β	W␈↓ ↓H␈εαeach␈α	of␈α	the␈α	individual␈α	terms␈α	of␈α	(42)␈α	from␈α	righ␈α␈t␈α	to␈α	left;␈α
with␈α
2␈↓ λg␈ελn␈↓ 	␈ε⊗␈␈εα␈α∧1␈α	m␈α␈ultiplications
␈β	⎇␈↓ λ-␈ε¬[0]␈↓ 	 ␈ε¬[1]␈↓ 
V␈ε¬[␈↓ 
↑␈εn␈↓ 
p␈ε¬]
␈β
α␈↓ ↓H␈εαand␈α	2␈↓ α≥␈ελn␈↓ α<␈εαadditions␈α	w␈α␈e␈α	thereby␈α	calculate␈α	all␈α	of␈α	the␈α	values␈↓ λ↔␈ελu␈↓ λK␈εα(␈↓ λW␈ελx␈↓ λj␈εα),␈↓ 	
␈ελu␈↓ 	>␈εα(␈↓ 	J␈ελx␈↓ 	]␈εα),␈↓ 	|␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
,␈εα,␈↓ 
@␈ελu␈↓ 
x␈εα(␈↓ ∧␈ελx␈↓ ⊗␈εα),
␈β
-␈↓ ↓H␈εαand␈αthis␈αindicates␈αwhether␈αor␈αnot␈αan␈αin␈α␈terpolation␈αprocess␈αis␈α\con␈α␈v␈α␈erging."
␈β
Z␈↓ α␈εαThe␈α⊂coe}cien␈α␈ts␈↓ ∧∪␈ελ␈↓ ∧D␈εαin␈α∂Newton's␈α⊂form␈α␈ula␈α⊂may␈α⊂be␈α∂found␈α⊂by␈α⊂computing␈α∂the
␈β
h␈↓ ∧%␈εk
␈βε␈↓ ↓H␈ε∂divided␈αdi{erences␈εα␈αin␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αtableau␈α(sho␈α␈wn␈αfor␈↓ λ*␈ελn␈↓ λI␈εα=␈α
3):
␈βT␈↓ ↓H␈ελy
␈βa␈↓ ↓Y␈ε¬0
␈βl␈↓ ∧k␈ε→0
␈βq␈↓ α⊂␈εα(␈↓ α≤␈ελy␈↓ α>␈ε⊗␈␈↓ αd␈ελy␈↓ ββ␈εα)/(␈↓ β-␈ελx␈↓ βN␈ε⊗␈␈↓ βt␈ελx␈↓ ∧∪␈εα)␈α
=␈↓ ∧W␈ελy
␈β}␈↓ α-␈ε¬1␈↓ αu␈ε¬0␈↓ β>␈ε¬1␈↓ ∧¬␈ε¬0
␈βα␈↓ ∧k␈ε¬1
␈βλ␈↓ ¬C␈ε→0␈↓ ε∞␈ε→0␈↓ λ∧␈ε→00
␈β
␈↓ ↓H␈ελy␈↓ ¬#␈εα(␈↓ ¬/␈ελy␈↓ ¬T␈ε⊗␈␈↓ ¬z␈ελy␈↓ ε≤␈εα)/(␈↓ εF␈ελx␈↓ εg␈ε⊗␈␈↓ π
␈ελx␈↓ π,␈εα)␈α
=␈↓ πp␈ελy
␈β≠␈↓ ↓Y␈ε¬1␈↓ εW␈ε¬2␈↓ π≡␈ε¬0
␈β∨␈↓ ¬C␈ε¬2␈↓ ε∞␈ε¬1␈↓ λ∧␈ε¬2
␈β%␈↓ ∧k␈ε→0␈↓ ↔␈ε→000
␈β*␈↓ α⊂␈εα(␈↓ α≤␈ελy␈↓ α>␈ε⊗␈␈↓ αd␈ελy␈↓ ββ␈εα)/(␈↓ β-␈ελx␈↓ βN␈ε⊗␈␈↓ βt␈ελx␈↓ ∧∪␈εα)␈α
=␈↓ ∧W␈ελy␈↓ λ<␈εα(␈↓ λH␈ελy␈↓ λi␈ε⊗␈␈↓ 	∂␈ελy␈↓ 	/␈εα)/(␈↓ 	Y␈ελx␈↓ 	z␈ε⊗␈␈↓ 
 ␈ελx␈↓ 
?␈εα)␈α
=␈↓ β␈ελy
␈β8␈↓ α-␈ε¬2␈↓ αu␈ε¬1␈↓ β>␈ε¬2␈↓ ∧¬␈ε¬1␈↓ λY␈ε¬3␈↓ 	 ␈ε¬2␈↓ 	i␈ε¬3␈↓ 
0␈ε¬0
␈β<␈↓ ∧k␈ε¬2␈↓ ↔␈ε¬3
␈βB␈↓ ¬C␈ε→0␈↓ ε∞␈ε→0␈↓ λ∧␈ε→00
␈βG␈↓ ↓H␈ελy␈↓ ¬#␈εα(␈↓ ¬/␈ελy␈↓ ¬T␈ε⊗␈␈↓ ¬z␈ελy␈↓ ε≤␈εα)/(␈↓ εF␈ελx␈↓ εg␈ε⊗␈␈↓ π
␈ελx␈↓ π,␈εα)␈α
=␈↓ πp␈ελy
␈βT␈↓ ↓Y␈ε¬2␈↓ εW␈ε¬3␈↓ π≡␈ε¬1
␈βY␈↓ ¬C␈ε¬3␈↓ ε∞␈ε¬2␈↓ λ∧␈ε¬3
␈β←␈↓ ∧k␈ε→0
␈βd␈↓ α⊂␈εα(␈↓ α≤␈ελy␈↓ α>␈ε⊗␈␈↓ αd␈ελy␈↓ ββ␈εα)/(␈↓ β-␈ελx␈↓ βN␈ε⊗␈␈↓ βt␈ελx␈↓ ∧∪␈εα)␈α
=␈↓ ∧W␈ελy
␈βq␈↓ α-␈ε¬3␈↓ αu␈ε¬2␈↓ β>␈ε¬3␈↓ ∧¬␈ε¬2
␈βv␈↓ ∧k␈ε¬3
␈β
↓␈↓ ↓H␈ελy␈↓ 
p␈εα(44)
␈β
∞␈↓ ↓Y␈ε¬3
␈β
X␈↓ π9␈ε→0␈↓ λc␈ε→00
␈β
]␈↓ ↓H␈εαIt␈α⊃is␈α⊃possible␈α∩to␈α⊃pro␈α␈v␈α␈e␈α⊃that␈↓ ¬∪␈ελ␈↓ ¬G␈εα=␈↓ ¬}␈ελy␈↓ ε≡␈εα,␈↓ ε:␈ελ␈↓ εn␈εα=␈↓ π%␈ελy␈↓ πH␈εα,␈↓ πd␈ελ␈↓ λ_␈εα=␈↓ λO␈ελy␈↓ λr␈εα,␈α∩etc.,␈α∪and␈α⊃to␈α⊃sho␈α␈w
␈β
k␈↓ ¬&␈ε¬0␈↓ ε∂␈ε¬0␈↓ εM␈ε¬1␈↓ πw␈ε¬2
␈β
o␈↓ π9␈ε¬1␈↓ λc␈ε¬2
␈β∞	␈↓ ↓H␈εαthat␈α∞the␈α∂divided␈α∞di{erences␈α∂hav␈α␈e␈α∞importan␈α␈t␈α∂relations␈α∞to␈α∂the␈α∞derivativ␈α␈es␈α∂of␈α∞the
␈β∞4␈↓ ↓H␈εαfunction␈αbeing␈α
in␈α␈terpolated;␈αsee␈α
ex␈α␈ercise␈α15.␈α∞Therefore␈αthe␈α
follo␈α␈wing␈αcalculation
␈β∞?␈↓ ↓H␈ε↓␈␈↓ ∧$␈ε↓↓
␈β∞←␈↓ ↓V␈εαcorresponding␈αto␈α(44)␈↓ ∧>␈εαmay␈αbe␈αused␈αto␈αobtain␈αthe␈↓ πj␈ελ␈↓ π}␈εα's:
␈β∂<␈↓ α␈εαStart␈α∞with␈α∞(␈↓ βJ␈ελ␈↓ βk␈εα,␈↓ β{␈ελ␈↓ ∧≤␈εα,␈↓ ∧,␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧\␈εα,␈↓ ∧l␈ελ␈↓ ¬⊃␈εα)␈ε⊗␈α
 ␈εα␈α
(␈↓ ¬g␈ελy␈↓ εε␈εα,␈↓ ε⊗␈ελy␈↓ ε6␈εα,␈↓ εF␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εv␈εα,␈↓ πε␈ελy␈↓ π)␈εα);␈α∞then,␈α∂for␈↓ λf␈ελk␈↓ 	∧␈εα=␈α
1,␈α∂2,␈↓ 

␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
:␈εα,␈↓ 
R␈ελn
␈β∂I␈↓ β]␈ε¬0␈↓ ∧∞␈ε¬1␈↓ ∧␈␈εn␈↓ ¬x␈ε¬0␈↓ ε'␈ε¬1␈↓ π↔␈εn
␈β∂g␈↓ α␈εα(in␈αthis␈αorder),␈αset␈↓ ∧3␈ελ␈↓ ∧]␈ε⊗ ␈εα␈α
(␈↓ ¬↔␈ελ␈↓ ¬?␈ε⊗␈␈↓ ¬j␈ελ␈↓ ε6␈εα)/(␈↓ ε`␈ελx␈↓ π¬␈ε⊗␈␈↓ π1␈ελx␈↓ πz␈εα)␈αfor␈↓ λI␈ελj␈↓ λd␈εα=␈↓ 	∩␈ελn␈↓ 	'␈εα,␈↓ 	=␈ελn␈↓ 	[␈ε⊗␈␈εα␈απ1,␈↓ 
.␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
↑␈εα,
␈β∂t␈↓ ∧F␈εj␈↓ ¬*␈εj␈↓ ¬⎇␈εj␈↓ ε
␈ε→␈␈ε¬1␈↓ εp␈εj␈↓ πA␈εj␈↓ πO␈ε→␈␈↓ πk␈εk
␈β⊂∩␈↓ α␈ελk␈↓ α*␈εα(in␈αthis␈αorder).
␈β⊂j␈↓ ∧J␈ε¬2␈↓ π_␈ε¬2
␈β⊂l␈↓ ∧⊗␈ε¬1
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαThis␈α	process␈αλrequires␈↓ ∧)␈εα(␈↓ ∧5␈ελn␈↓ ∧]␈εα+␈↓ ¬∧␈ελn␈↓ ¬~␈εα)␈α	divisions␈α	and␈↓ πβ␈ελn␈↓ π+␈εα+␈↓ πS␈ελn␈↓ πq␈εαsubtractions,␈α
so␈α	about␈αλthree-
␈β⊂␈␈↓ ∧⊗␈∧⊂␈∧⊗α∂
␈β⊃α␈↓ ∧⊗␈ε¬2
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαfourths␈αof␈αthe␈αw␈α␈ork␈αimplied␈αin␈α(41)␈αhas␈αbeen␈αsav␈α␈ed.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα468␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.4
␈βα!␈↓ λ∧␈ε¬3
␈βα$␈↓ α␈εαFor␈αexample,␈αsuppose␈αthat␈αw␈α␈e␈αwan␈α␈t␈αto␈αestimate␈↓ λ⊗␈εα!␈αfrom␈αthe␈αvalues␈αof␈α0!,␈α1!,
␈βα5␈↓ λ∧␈∧α5λ∧α∂
␈βα7␈↓ λ∧␈ε¬2
␈βαP␈↓ ↓H␈εα2!,␈αand␈α3!,␈αusing␈αa␈αcubic␈αpolynomial.␈αThe␈αdivided␈αdi{erences␈αare
␈ββ!␈↓ ¬O␈∧β!¬Oα∂α
␈ββ"␈↓ εA␈ε→0␈↓ π␈ε→00␈↓ πF␈ε→0␈α↓00
␈ββ'␈↓ ¬_␈ελx␈↓ ¬t␈ελy␈↓ ε,␈ελy␈↓ εl␈ελy␈↓ π2␈ελy
␈ββa␈↓ ¬→␈εα0␈↓ ¬u␈εα1
␈ββ⎇␈↓ ε1␈εα0
␈β∧↔␈↓ εv␈ε¬1
␈β∧~␈↓ ¬→␈εα1␈↓ ¬u␈εα1
␈β∧+␈↓ εv␈∧∧+εvα∂
␈β∧-␈↓ εv␈ε¬2
␈β∧4␈↓ π@␈ε¬1
␈β∧7␈↓ ε1␈εα1
␈β∧G␈↓ π@␈∧∧Gπ@α∂
␈β∧J␈↓ π@␈ε¬3
␈β∧Q␈↓ εv␈ε¬3
␈β∧T␈↓ ¬→␈εα2␈↓ ¬u␈εα2
␈β∧d␈↓ εv␈∧∧dεvα∂
␈β∧g␈↓ εv␈ε¬2
␈β∧q␈↓ ε1␈εα4
␈β¬
␈↓ ¬→␈εα3␈↓ ¬u␈εα6
␈β¬`␈↓ α
␈ε¬[0]␈↓ β"␈ε¬[1]␈↓ ∧b␈ε¬[2␈α↓]␈↓ πr␈ε¬[3]
␈β¬b␈↓ ¬i␈ε¬1␈↓ λx␈ε¬1
␈β¬e␈↓ ↓H␈εαso␈↓ ↓t␈ελu␈↓ α(␈εα(␈↓ α4␈ελx␈↓ αG␈εα)␈α=␈↓ β␈ελu␈↓ β@␈εα(␈↓ βL␈ελx␈↓ β←␈εα)␈α=␈α
1,␈↓ ∧M␈ελu␈↓ ¬↓␈εα(␈↓ ¬
␈ελx␈↓ ¬ ␈εα)␈α
=␈↓ ¬{␈ελx␈↓ ε∞␈εα(␈↓ ε~␈ελx␈↓ ε5␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈α	+␈αλ1,␈↓ π\␈ελu␈↓ λ⊂␈εα(␈↓ λ≤␈ελx␈↓ λ/␈εα)␈α=␈↓ 	␈ελx␈↓ 	≡␈εα(␈↓ 	*␈ελx␈↓ 	E␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)(␈↓ 
≠␈ελx␈↓ 
6␈ε⊗␈␈εα␈αλ2)␈αλ+
␈β¬u␈↓ ¬i␈∧¬u¬iα∂␈↓ λx␈∧¬uλxα∂
␈β¬x␈↓ ¬i␈ε¬2␈↓ λx␈ε¬3
␈βε
␈↓ ↓L␈ε¬1␈↓ ∧{␈ε¬3␈↓ 	∩␈ε¬1␈↓ 	W␈ε¬3
␈βε⊂␈↓ ↓↑␈ελx␈↓ ↓q␈εα(␈↓ ↓⎇␈ελx␈↓ α∃␈ε⊗␈␈εα␈α¬1)␈αε+␈α¬1.␈αSetting␈↓ ∧,␈ελx␈↓ ∧I␈εα=␈↓ ¬↔␈εαin␈α
the␈α
latter␈α
polynomial␈α
giv␈α␈es␈ε⊗␈α
␈␈↓ 	*␈εα+␈↓ 	o␈εα+␈α¬1␈α
=␈α
1.25;
␈βε!␈↓ ↓L␈∧ε!↓Lα∂␈↓ ∧{␈∧ε!∧{α∂␈↓ 	∩␈∧ε!	∩α∂␈↓ 	W␈∧ε!	Wα∂
␈βε#␈↓ ↓L␈ε¬2␈↓ ∧{␈ε¬2␈↓ 	∩␈ε¬8␈↓ 	W␈ε¬8
␈βε8␈↓ ε∞␈ε¬5␈↓ εh␈ε¬3
␈βε:␈↓ π≡␈∧ε:π≡α∃
␈βε;␈↓ ↓H␈εαpresumably␈αthe␈α\correct"␈αvalue␈αis␈α␈(␈↓ ε ␈εα)␈α
=␈↓ εz␈ε⊗p␈↓ π≡␈ελ→␈↓ π=␈ε⊗→␈εα␈α
1.33.
␈βεL␈↓ ε∞␈∧εLε∞α∂␈↓ εh␈∧εLεhα∂
␈βεN␈↓ ε∞␈ε¬2␈↓ εh␈ε¬4
␈βεg␈↓ α␈εαIt␈α∞is␈α∂instructiv␈α␈e␈α∞to␈α∂note␈α∞that␈α∞evaluation␈α∂of␈α∞the␈α∂in␈α␈terpolation␈α∞polynomial␈α∞is
␈βπ∩␈↓ ↓H␈εαjust␈α∂a␈α⊂special␈α⊂case␈α∂of␈α⊂the␈α⊂Chinese␈α∂remainder␈α⊂algorithm␈α⊂of␈α∂Section␈α⊂4.3.2,␈α⊂since
␈βπ8␈↓ ∧N␈ε¬[␈↓ ∧V␈εn␈↓ ∧h␈ε¬]
␈βπ=␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈α
kno␈α␈w␈α∞the␈α
values␈α
of␈↓ ∧9␈ελu␈↓ ∧p␈εα(␈↓ ∧|␈ελx␈↓ ¬∂␈εα)␈α∞modulo␈α
the␈α
relativ␈α␈ely␈α∞prime␈α
polynomials␈↓ 
;␈ελx␈↓ 
W␈ε⊗␈␈↓ β␈ελx␈↓ "␈εα,
␈βπI␈↓ β*␈ε↓␈␈↓ ≡␈ε↓↓
␈βπK␈↓ ∀␈ε¬0
␈βπi␈↓ ↓H␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ↓x␈εα,␈↓ α∩␈ελx␈↓ α/␈ε⊗␈␈↓ α↑␈ελx␈↓ β␈εα.␈↓ β8␈εαAs␈α⊂w␈α␈e␈α∂hav␈α␈e␈α⊂seen␈α∂in␈α⊂Section␈α⊂4.6.2,␈↓ πf␈ελf␈↓ πx␈εα(␈↓ λ∧␈ελx␈↓ λ⊗␈εα)␈α⊂mod␈α⊂(␈↓ 	∩␈ελx␈↓ 	/␈ε⊗␈␈↓ 	]␈ελx␈↓ 	|␈εα)␈α⊂=␈↓ 
L␈ελf␈↓ 
]␈εα(␈↓ 
i␈ελx␈↓ λ␈εα).
␈βπv␈↓ αn␈εn␈↓ 	n␈ε¬0␈↓ 
z␈ε¬0
␈βλ∀␈↓ ↓H␈εαUnder␈α∞this␈α∞in␈α␈terpretation,␈α∂Newton's␈α∞form␈α␈ula␈α∞(42)␈α∞is␈α∞precisely␈α∞the␈α∞\mix␈α␈ed-radix
␈βλ?␈↓ ↓H␈εαrepresen␈α␈tation"␈αof␈αEq.␈α4.3.2↑24;␈αand␈α4.3.2↑23␈αyields␈αanother␈αway␈αto␈αcompute␈↓ ↓␈ελ␈↓ "␈εα,
␈βλL␈↓ ∀␈ε¬0
␈βλj␈↓ ↓H␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ↓x␈εα,␈↓ α∞␈ελ␈↓ α>␈εαusing␈αthe␈αsame␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αoperations␈αas␈α(44).
␈βλx␈↓ α ␈εn
␈β	"␈↓ α␈εαBy␈α	applying␈α	fast␈αλFourier␈α	transforms,␈α
it␈α	is␈αλpossible␈α	to␈α	reduce␈α	the␈α	running␈αλtime
␈β	-␈↓ ∧ ␈ε↓␈␈↓ ¬9␈ε↓↓
␈β	H␈↓ ¬+␈ε¬2
␈β	M␈↓ ↓H␈εαfor␈α
in␈α␈terpolation␈α∞to␈↓ ∧ε␈ελO␈↓ ∧.␈ελn␈↓ ∧I␈εα(␈↓ ∧U␈εαlog␈↓ ¬	␈ελn␈↓ ¬∨␈εα)␈↓ ¬G␈εα,␈α∞and␈α∞a␈α∞similar␈α
reduction␈α∞can␈α∞also␈α
be␈α∞made␈α
for
␈β	x␈↓ ↓H␈εαrelated␈αλalgorithms␈α	such␈αλas␈α	the␈αλsolution␈α	to␈α	the␈αλChinese␈α	remainder␈αλproblem␈α	and␈αλthe
␈β
#␈↓ ↓H␈εαevaluation␈αof␈αan␈↓ βS␈ελn␈↓ βi␈εαth␈αdegree␈αpolynomial␈αat␈↓ εl␈ελn␈↓ π
␈εαdi{eren␈α␈t␈αpoin␈α␈ts.␈α→[See␈αE.␈αHoro␈α␈witz,
␈β
O␈↓ ↓H␈ε∂Inf.␈αProc.␈αLetters␈ε∩␈α1␈εα␈α(1972),␈α157↑163;␈αR.␈αMoenck␈αand␈αA.␈αBorodin,␈ε∂␈αJ.␈αComp.␈αSyst.
␈β
z␈↓ ↓H␈ε∂Sci.␈ε∩␈α∞8␈εα␈α∞(1974),␈α∞336↑385;␈α∂and␈α∞A.␈α∞Borodin,␈ε∂␈α∂Complexity␈α
of␈α∞Sequen␈α␈tial␈α∞and␈α∞Parallel
␈β%␈↓ ↓H␈ε∂Numerical␈α
Algorithms␈εα,␈α∂ed.␈α∞by␈α
J.␈α∞F.␈α∞Traub␈α∞(New␈α∞York:␈α∂Academic␈α∞Press,␈α∞1973),
␈βP␈↓ ↓H␈εα149↑180.]␈α→Ho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α
this␈αm␈α␈ust␈αbe␈α
regarded␈αas␈αa␈α
purely␈αtheoretical␈αpossibility␈αat
␈β{␈↓ ↓H␈εαpresen␈α␈t,␈α⊂since␈α⊂the␈α⊂kno␈α␈wn␈α∂algorithms␈α⊂hav␈α␈e␈α⊂a␈α⊂rather␈α∂large␈α⊂o␈α␈v␈α␈erhead␈α⊂factor␈α∂that
␈β'␈↓ ↓H␈εαmak␈α␈es␈αthem␈αunattractiv␈α␈e␈αunless␈↓ ¬H␈ελn␈↓ ¬i␈εαis␈αquite␈αlarge.
␈β↑␈↓ α␈εαA␈αλremarkable␈α	modi|cation␈αλof␈α	the␈αλmethod␈αλof␈α	divided␈αλdi{erences,␈α	an␈αλextension
␈β
	␈↓ ↓H␈εαthat␈α	applies␈α	to␈αλrational␈α	functions␈α	instead␈α	of␈α	to␈α	polynomials,␈α
was␈α	in␈α␈troduced␈α	by␈αλT.
␈β
5␈↓ ↓H␈εαN.␈α	Thiele␈α	in␈α	1909.␈αFor␈α
a␈α	discussion␈α	of␈α	Thiele's␈α
method␈α	of␈α	\reciprocal␈α	di{erences,"
␈β
`␈↓ ↓H␈εαsee␈αL.␈αM.␈αMilne-Thompson,␈ε∂␈αCalculus␈αof␈αFinite␈αDi{erences␈εα␈α(London:␈αMacMillan,
␈β∞␈↓ ↓H␈εα1933),␈αChapter␈α5;␈αR.␈αW.␈αFlo␈α␈yd,␈ε∂␈αCA␈α␈CM␈ε∩␈α3␈εα␈α(1960),␈α508.
␈β∞O␈↓ ↓6␈ε∩*␈↓ ↓H␈ε∩Bilinear␈α
forms.␈εα␈α≤Sev␈α␈eral␈α
of␈α∞the␈α
problems␈α∞w␈α␈e␈α
hav␈α␈e␈α∞considered␈α
in␈α∞this␈α
section␈α
are
␈β∞z␈↓ ↓H␈εαspecial␈αcases␈αof␈αthe␈αgeneral␈αproblem␈αof␈αevaluating␈αa␈αset␈αof␈ε∂␈αbilinear␈αforms
␈β∂.␈↓ ∧o␈ε↓X
␈β∂Q␈↓ β|␈ελz␈↓ ∧!␈εα=␈↓ ¬I␈ελa␈↓ ε↓␈ελx␈↓ ε≥␈ελy␈↓ ε;␈εα,␈↓ π∪␈εαfor␈↓ πK␈εα1␈ε⊗␈α
∀␈↓ λ∃␈ελk␈↓ λ1␈ε⊗∀␈↓ λ←␈ελs␈↓ λn␈εα,␈↓ 
p␈εα(45)
␈β∂←␈↓ ∧λ␈εk␈↓ ¬Y␈εi␈↓ ¬e␈εj␈↓ ¬r␈εk␈↓ ε⊃␈εi␈↓ ε.␈εj
␈β⊂↓␈↓ ∧R␈ε¬1␈ε→∀␈↓ ∧⎇␈εi␈↓ ¬	␈ε→∀␈↓ ¬&␈εm
␈β⊂≤␈↓ ∧U␈ε¬1␈ε→␈α↓∀␈↓ ¬␈εj␈↓ ¬∞␈ε→∀␈↓ ¬*␈εn
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαwhere␈αthe␈↓ αo␈ελa␈↓ β4␈εαare␈αspeci|c␈α
coe}cien␈α␈ts␈αbelonging␈α
to␈α
some␈αgiv␈α␈en␈α
|eld.␈α∞The␈αthree-
␈β⊂S␈↓ β␈εi␈↓ β␈εj␈↓ β_␈εk
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαdimensional␈αarray␈α(␈↓ βx␈ελa␈↓ ∧0␈εα)␈αis␈αcalled␈αan␈↓ εα␈ελm␈↓ ε(␈ε⊗α␈↓ εS␈ελn␈↓ εp␈ε⊗α␈↓ π≠␈ελs␈↓ π5␈ε∂tensor␈εα,␈αand␈αw␈α␈e␈αcan␈αdisplay␈αit␈αby
␈β⊂}␈↓ ∧	␈εi␈↓ ∧∃␈εj␈↓ ∧"␈εk
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαwriting␈α
do␈α␈wn␈↓ β∨␈ελs␈↓ β9␈εαmatrices␈α
of␈αsize␈↓ ¬2␈ελm␈↓ ¬X␈ε⊗α␈↓ εα␈ελn␈↓ ε↔␈εα,␈αone␈α
for␈αeach␈α
value␈αof␈↓ λz␈ελk␈↓ 	␈εα.␈αFor␈αexample,␈α
the
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.4␈ε∞␈↓ π∧EV␈α|AL␈α␈U␈α␈A␈α}T␈α␈ION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα469
␈βα(␈↓ ↓H␈εαproblem␈αof␈αm␈α␈ultiplying␈αcomplex␈αn␈α␈um␈α␈bers,␈αnamely␈αthe␈αproblem␈αof␈αevaluating
␈βα␈␈↓ αP␈ελz␈↓ αr␈εα+␈↓ β≡␈ελi␈↓ β,␈ελz␈↓ βP␈εα=␈α
(␈↓ ∧
␈ελx␈↓ ∧1␈εα+␈↓ ∧]␈ελi␈↓ ∧k␈ελx␈↓ ¬
␈εα)(␈↓ ¬"␈ελy␈↓ ¬J␈εα+␈↓ ¬v␈ελi␈↓ ε∧␈ελy␈↓ ε#␈εα)␈α
=␈α
(␈↓ εs␈ελx␈↓ π∩␈ελy␈↓ π1␈ε⊗␈␈↓ πU␈ελx␈↓ πt␈ελy␈↓ λ∀␈εα)␈αλ+␈↓ λT␈ελi␈↓ λb␈εα(␈↓ λn␈ελx␈↓ 	
␈ελy␈↓ 	,␈εα+␈↓ 	P␈ελx␈↓ 	o␈ελy␈↓ 
∞␈εα),␈↓ 
p␈εα(46)
␈ββ
␈↓ α\␈ε¬1␈↓ β8␈ε¬2␈↓ ∧≠␈ε¬1␈↓ ∧|␈ε¬2␈↓ ¬3␈ε¬1␈↓ ε∃␈ε¬2␈↓ π∧␈ε¬1␈↓ π#␈ε¬1␈↓ πf␈ε¬2␈↓ λ¬␈ε¬2␈↓ λ}␈ε¬1␈↓ 	≡␈ε¬2␈↓ 	a␈ε¬2␈↓ 
␈ε¬1
␈ββV␈↓ ↓H␈εαis␈αthe␈αproblem␈αof␈αcomputing␈αthe␈αbilinear␈αform␈αspeci|ed␈αby␈αthe␈α2␈ε⊗␈αλα␈εα␈απ2␈ε⊗␈απα␈εα␈αλ2␈αtensor
␈β∧'␈↓ ¬∨␈ε↓∩␈↓ ε∨␈ε↓∪␈↓ εY␈ε↓∩␈↓ π5␈ε↓∪
␈β∧*␈↓ ¬9␈εα1␈↓ ¬w␈εα0␈↓ εs␈εα0␈↓ π∨␈εα1
␈β∧A␈↓ πK␈εα.
␈β∧Y␈↓ ¬9␈εα0␈↓ ¬e␈ε⊗␈␈εα1␈↓ εs␈εα1␈↓ π∨␈εα0
␈β¬.␈↓ ↓H␈εαMatrix␈α∂m␈α␈ultiplication␈α⊂as␈α⊂de|ned␈α∂in␈α⊂(34)␈α⊂is␈α∂the␈α⊂problem␈α⊂of␈α∂evaluating␈α⊂a␈α⊂set␈α∂of
␈β¬Y␈↓ ↓H␈εαbilinear␈α	forms␈α	corresponding␈α	to␈α
a␈α	particular␈↓ εs␈ελm␈↓ π∪␈ελn␈↓ π-␈ε⊗α␈↓ πU␈ελn␈↓ πk␈ελs␈↓ π}␈ε⊗α␈↓ λ&␈ελm␈↓ λF␈ελs␈↓ λ↑␈εαtensor.␈αFourier␈α	trans-
␈βε∧␈↓ ↓H␈εαforms␈α
(37)␈αcan␈αalso␈αbe␈αcast␈αin␈α
this␈αmold,␈αif␈αw␈α␈e␈αlet␈αthe␈↓ λ¬␈ελx␈↓ λ_␈εα's␈αbe␈αconstan␈α␈t␈αrather␈α
than
␈βε/␈↓ ↓H␈εαvariable.
␈βε[␈↓ α␈εαThe␈α∂evaluation␈α∂of␈α∂bilinear␈α⊂forms␈α∂is␈α∂most␈α∂easily␈α∂studied␈α∂if␈α∂w␈α␈e␈α∂restrict␈α∂our-
␈βπε␈↓ ↓H␈εαselv␈α␈es␈α∂to␈α∂what␈α∂migh␈α␈t␈α∂be␈α∂called␈ε∂␈α⊂normal␈εα␈α∂evaluation␈α∂schemes,␈α⊂in␈α∂which␈α∂all␈α∂chain
␈βπ1␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiplications␈α
tak␈α␈e␈α
place␈α∞bet␈α␈w␈α␈een␈α
a␈α∞linear␈α
com␈α␈bination␈α∞of␈α
the␈↓ 	5␈ελx␈↓ 	H␈εα's␈α∞and␈α
a␈α
linear
␈βπ\␈↓ ↓H␈εαcom␈α␈bination␈αof␈αthe␈↓ β⎇␈ελy␈↓ ∧⊃␈εα's.␈αTh␈α␈us,␈αw␈α␈e␈αform␈↓ ε/␈ελt␈↓ εH␈εαproducts
␈βλ3␈↓ α⊂␈ελw␈↓ α:␈εα=␈α
(␈↓ αt␈ελ␈↓ β"␈ελx␈↓ βI␈εα+␈↓ βu␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧'␈εα+␈↓ ∧S␈ελ␈↓ ¬␈ελx␈↓ ¬7␈εα)(␈↓ ¬O␈ελ␈␈↓ ¬|␈ελy␈↓ ε$␈εα+␈↓ εP␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πα␈εα+␈↓ π.␈ελ␈␈↓ π↑␈ελy␈↓ λ↓␈εα)␈↓ λU␈εαfor␈↓ 	
␈εα1␈ε⊗␈α
∀␈↓ 	W␈ελl␈↓ 	l␈ε⊗∀␈↓ 
~␈ελt␈↓ 
'␈εα,␈↓ 
p␈εα(47)
␈βλA␈↓ α'␈εl␈↓ βε␈ε¬1␈↓ β∃␈εl␈↓ β2␈ε¬1␈↓ ∧e␈εm␈↓ ∧␈␈εl␈↓ ¬≥␈εm␈↓ ¬a␈ε¬1␈↓ ¬o␈εl␈↓ ε
␈ε¬1␈↓ π@␈εn␈↓ πR␈εl␈↓ πo␈εn
␈β	
␈↓ ↓H␈εαand␈αobtain␈αthe␈↓ β<␈ελz␈↓ βK␈εα's␈αas␈αlinear␈αcom␈α␈binations␈αof␈αthese␈αproducts,
␈β	a␈↓ βW␈ελz␈↓ β{␈εα=␈↓ ∧)␈ελ␈
␈↓ ∧W␈ελw␈↓ ¬¬␈εα+␈↓ ¬1␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬c␈εα+␈↓ ε∂␈ελ␈
␈↓ ε>␈ελw␈↓ εa␈εα,␈↓ π9␈εαfor␈↓ πq␈εα1␈ε⊗␈α
∀␈↓ λ;␈ελk␈↓ λV␈ε⊗∀␈↓ 	∧␈ελs␈↓ 	∪␈εα.␈↓ 
p␈εα(48)
␈β	o␈↓ βc␈εk␈↓ ∧:␈εk␈↓ ∧I␈ε¬1␈↓ ∧o␈ε¬1␈↓ ε ␈εk␈↓ ε/␈εt␈↓ εV␈εt
␈β
8␈↓ ↓H␈εαHere␈α
all␈αthe␈↓ βλ␈ελ␈↓ β≤␈εα's,␈↓ βI␈ελ␈␈↓ β←␈εα's,␈αand␈↓ ∧Q␈ελ␈
␈↓ ∧e␈εα's␈αbelong␈α
to␈αa␈αgiv␈α␈en␈α|eld␈α
of␈αcoe}cien␈α␈ts.␈αBy␈α
comparing
␈β
d␈↓ ↓H␈εα(48)␈α∂to␈α∂(45),␈α⊂w␈α␈e␈α∂see␈α∂that␈α∂a␈α∂normal␈α∂evaluation␈α∂scheme␈α∂is␈α∂correct␈α∂for␈α∂the␈α∂tensor
␈β∂␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελa␈↓ α␈εα)␈αif␈αand␈αonly␈αif
␈β≤␈↓ ↓d␈εi␈↓ ↓p␈εj␈↓ ↓⎇␈εk
␈βf␈↓ ∧/␈ελa␈↓ ∧q␈εα=␈↓ ¬∨␈ελ␈↓ ¬L␈ελ␈␈↓ ¬z␈ελ␈
␈↓ ε0␈εα+␈↓ ε\␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π∞␈εα+␈↓ π:␈ελ␈↓ πg␈ελ␈␈↓ λ⊗␈ελ␈
␈↓ 
p␈εα(49)
␈βs␈↓ ∧@␈εi␈↓ ∧L␈εj␈↓ ∧Y␈εk␈↓ ¬2␈εi␈↓ ¬>␈ε¬1␈↓ ¬↑␈εj␈↓ ¬k␈ε¬1␈↓ ε␈εk␈↓ ε→␈ε¬1␈↓ πL␈εi␈↓ πX␈εt␈↓ πy␈εj␈↓ λπ␈εt␈↓ λ'␈εk␈↓ λ5␈εt
␈β=␈↓ ↓H␈εαfor␈α1␈ε⊗␈α
∀␈↓ αJ␈ελi␈↓ αb␈ε⊗∀␈↓ β⊂␈ελm␈↓ β/␈εα,␈α1␈ε⊗␈α
∀␈↓ ∧∂␈ελj␈↓ ∧*␈ε⊗∀␈↓ ∧X␈ελn␈↓ ∧m␈εα,␈αand␈α1␈ε⊗␈α
∀␈↓ ε∪␈ελk␈↓ ε/␈ε⊗∀␈↓ ε]␈ελs␈↓ εl␈εα.
␈βh␈↓ α␈εαA␈α∞nonzero␈α∞tensor␈α∞(␈↓ ∧6␈ελa␈↓ ∧n␈εα)␈α∞is␈α∞said␈α∞to␈α∞be␈α∞of␈α∞rank␈α∞one␈α∞if␈α∞there␈α∞are␈α
three␈α∞v␈α␈ectors
␈βv␈↓ ∧G␈εi␈↓ ∧R␈εj␈↓ ∧←␈εk
␈β
∀␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελ␈↓ ↓u␈εα,␈↓ α¬␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ α5␈εα,␈↓ αE␈ελ␈↓ αr␈εα),␈α
(␈↓ β!␈ελ␈␈↓ βB␈εα,␈↓ βR␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧α␈εα,␈↓ ∧∩␈ελ␈␈↓ ∧6␈εα),␈α
(␈↓ ∧e␈ελ␈
␈↓ ¬¬␈εα,␈↓ ¬∃␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬E␈εα,␈↓ ¬U␈ελ␈
␈↓ ¬r␈εα)␈α∞such␈α
that␈↓ π/␈ελa␈↓ πs␈εα=␈↓ λ#␈ελ␈↓ λB␈ελ␈␈↓ λe␈ελ␈
␈↓ 	∩␈εαfor␈α
all␈↓ 	}␈ελi␈↓ 
␈εα,␈↓ 
$␈ελj␈↓ 
5␈εα,␈↓ 
L␈ελk␈↓ 
↑␈εα.␈α⊂We
␈β
!␈↓ ↓f␈ε¬1␈↓ αX␈εm␈↓ β3␈ε¬1␈↓ ∧$␈εn␈↓ ∧v␈ε¬1␈↓ ¬f␈εs␈↓ π?␈εi␈↓ πK␈εj␈↓ πX␈εk␈↓ λ6␈εi␈↓ λT␈εj␈↓ λv␈εk
␈β
?␈↓ ↓H␈εαcan␈α
extend␈α
this␈α
de|nition␈α
to␈α
all␈α
tensors␈α
by␈α
saying␈α
that␈ε∂␈αthe␈α
rank␈α
of␈εα␈α
(␈↓ 
∧␈ελa␈↓ 
<␈εα)␈ε∂␈α
is␈α
the
␈β
L␈↓ 
∃␈εi␈↓ 
!␈εj␈↓ 
.␈εk
␈β
j␈↓ ↓H␈ε∂minim␈α␈um␈αλn␈α␈um␈α␈ber␈↓ βd␈ελt␈↓ βz␈ε∂such␈αλthat␈εα␈α	(␈↓ ¬∨␈ελa␈↓ ¬W␈εα)␈ε∂␈α	is␈αλexpressible␈α	as␈αλthe␈α	sum␈α	of␈↓ 	⊗␈ελt␈↓ 	,␈ε∂rank-one␈αλtensors
␈β
w␈↓ ¬0␈εi␈↓ ¬;␈εj␈↓ ¬H␈εk
␈β∞∃␈↓ ↓H␈εαin␈α
the␈α
giv␈α␈en␈α
|eld.␈αComparing␈α
this␈α
de|nition␈α
with␈α
Eq.␈α
(49)␈α
sho␈α␈ws␈α
that␈α
the␈α	rank␈α
of
␈β∞@␈↓ ↓H␈εαa␈α
tensor␈αis␈αthe␈αminim␈α␈um␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αchain␈αm␈α␈ultiplications␈α
in␈αa␈αnormal␈α
evaluation
␈β∞l␈↓ ↓H␈εαof␈α
the␈α∞corresponding␈α∞bilinear␈α∞forms.␈α⊃Inciden␈α␈tally,␈α∞when␈↓ λC␈ελs␈↓ λ↑␈εα=␈α
1␈α∞the␈α∞tensor␈α
(␈↓ 
h␈ελa␈↓  ␈εα)
␈β∞y␈↓ 
y␈εi␈↓ ¬␈εj␈↓ ∩␈εk
␈β∂↔␈↓ ↓H␈εαis␈α
just␈α
an␈α
ordinary␈α
matrix,␈α
and␈α
the␈α∞rank␈α
of␈α
(␈↓ π⊂␈ελa␈↓ πH␈εα)␈α
as␈α
a␈α
tensor␈α
is␈α
the␈α
same␈α
as␈α
its
␈β∂$␈↓ π!␈εi␈↓ π,␈εj␈↓ π9␈ε¬1
␈β∂B␈↓ ↓H␈εαrank␈α
as␈α∞a␈α∞matrix␈α∞(see␈α∞ex␈α␈ercise␈α
49).␈α∩The␈α∞concept␈α
of␈α∞tensor␈α∞rank␈α∞was␈α
in␈α␈troduced
␈β∂m␈↓ ↓H␈εαby␈αF.␈αL.␈αHitchcock␈αin␈ε∂␈αJ.␈αMath.␈αand␈αPh␈α␈ysics␈ε∩␈α6␈εα␈α(1927),␈α164↑189;␈αits␈αapplication␈αto
␈β⊂_␈↓ ↓H␈εαthe␈αcomplexity␈αof␈αpolynomial␈αevaluation␈αwas␈αpoin␈α␈ted␈αout␈α
in␈αan␈αimportan␈α␈t␈αpaper
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαby␈αV.␈αStrassen,␈ε∂␈αJ.␈αf␈↓ βx␈ε∂u␈↓ βy␈ε∂∪␈↓ ∧␈ε∂r␈αdie␈αreine␈αund␈αangew.␈αMath.␈ε∩␈α264␈εα␈α(1973),␈α184↑202.
␈β⊂o␈↓ α␈εαWinograd's␈α
scheme␈α(35)␈α
for␈αmatrix␈α
m␈α␈ultiplication␈α
is␈α\abnormal"␈α
because␈αit
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαmix␈α␈es␈↓ α,␈ελx␈↓ α?␈εα's␈αand␈↓ β'␈ελy␈↓ β;␈εα's␈αbefore␈αm␈α␈ultiplying␈αthem.␈αThe␈αStrassen-Winograd␈αscheme␈α(36),
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα470␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.4
␈βα(␈↓ ↓H␈εαon␈αthe␈αother␈αhand,␈αdoes␈αnot␈αrely␈αon␈αthe␈αcomm␈α␈utativity␈αof␈αm␈α␈ultiplication,␈αso␈αit␈αis
␈βαS␈↓ ↓H␈εαnormal.␈αIn␈α
fact,␈α(36)␈α
corresponds␈αto␈α
the␈αfollo␈α␈wing␈α
way␈α
to␈αrepresen␈α␈t␈α
the␈α
4␈ε⊗␈αεα␈εα␈αε4␈ε⊗␈αεα␈εα␈α¬4
␈βαu␈↓ 
⊗␈εα∩
␈βα}␈↓ ↓H␈εαtensor␈αεfor␈αε2␈ε⊗␈α↓α␈εα2␈αεmatrix␈απm␈α␈ultiplication␈αεas␈αεa␈απsum␈αεof␈αεsev␈α␈en␈απrank-one␈αεtensors␈αε(␈↓ 
⊗␈εα1␈↓ 
2␈εα=␈ε⊗␈α
␈␈εα1):
␈ββ4␈↓ ↓U␈ε↓0␈↓ αD␈ε↓1␈↓ α\␈ε↓0␈↓ βJ␈ε↓1␈↓ βb␈ε↓0␈↓ ∧Q␈ε↓1␈↓ ∧i␈ε↓0␈↓ ¬W␈ε↓1␈↓ ε'␈ε↓0␈↓ π∃␈ε↓1␈↓ π-␈ε↓0␈↓ λ≤␈ε↓1␈↓ λ4␈ε↓0␈↓ 	"␈ε↓1␈↓ 	:␈ε↓0␈↓ 
)␈ε↓1
␈ββT␈↓ ↓m␈ε∧1␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ αt␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ βz␈ε∧0␈α	0␈α	1␈αλ0␈↓ ¬↓␈ε∧0␈αλ0␈α	0␈α	0␈↓ ε?␈ε∧1␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ πE␈ε∧1␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ λL␈ε∧1␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ 	R␈ε∧1␈α	0␈α	0␈αλ0
␈ββt␈↓ ↓U␈ε↓@␈↓ ↓m␈ε∧0␈α	1␈α	0␈α	0␈↓ αD␈ε↓A␈↓ α\␈ε↓@␈↓ αt␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ βJ␈ε↓A␈↓ βb␈ε↓@␈↓ βz␈ε∧0␈α	0␈α	0␈αλ1␈↓ ∧Q␈ε↓A␈↓ ∧i␈ε↓@␈↓ ¬↓␈ε∧0␈αλ0␈α	0␈α	0␈↓ ¬W␈ε↓A␈↓ ε'␈ε↓@␈↓ ε?␈ε∧1␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ π∃␈ε↓A␈↓ π-␈ε↓@␈↓ πE␈ε∧1␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ λ≤␈ε↓A␈↓ λ4␈ε↓@␈↓ λL␈ε∧1␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ 	"␈ε↓A␈↓ 	:␈ε↓@␈↓ 	R␈ε∧1␈α	0␈α	0␈αλ0␈↓ 
)␈ε↓A
␈ββ}␈↓ ¬y␈εα=
␈β∧∃␈↓ ↓m␈ε∧0␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ αt␈ε∧1␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ βz␈ε∧0␈α	0␈α	0␈αλ0␈↓ ¬↓␈ε∧0␈αλ0␈α	1␈α	0␈↓ ε?␈ε∧1␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ πE␈ε∧1␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ λL␈ε∧1␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ 	R␈ε∧1␈α	0␈α	0␈αλ0
␈β∧5␈↓ ↓m␈ε∧0␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ αt␈ε∧0␈α	1␈αλ0␈α	0␈↓ βz␈ε∧0␈α	0␈α	0␈αλ0␈↓ ¬↓␈ε∧0␈αλ0␈α	0␈α	1␈↓ ε?␈ε∧1␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ πE␈ε∧1␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ λL␈ε∧1␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ 	R␈ε∧1␈α	0␈α	0␈αλ0
␈β∧K␈↓ α-␈ε↓0␈↓ β≤␈ε↓1␈↓ β4␈ε↓0␈↓ ∧"␈ε↓1␈↓ ∧:␈ε↓0␈↓ ¬)␈ε↓1␈↓ ¬A␈ε↓0␈↓ ε/␈ε↓1␈↓ ε{␈ε↓0␈↓ πi␈ε↓1␈↓ λ↓␈ε↓0␈↓ λp␈ε↓1␈↓ 	λ␈ε↓0␈↓ 	v␈ε↓1␈↓ 
∞␈ε↓0␈↓ 
⎇␈ε↓1
␈β∧g␈↓ λI␈ε∧∩␈↓ λa␈ε∧∩␈↓ 
V␈ε∧∩␈↓ 
m␈ε∧∩
␈β∧k␈↓ αE␈ε∧0␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ βL␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ ∧R␈ε∧0␈α	0␈α	0␈αλ0␈↓ ¬Y␈ε∧0␈αλ0␈α	0␈α	0␈↓ π∪␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ 	 ␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0
␈β∧o␈↓ λ→␈ε∧0␈α	0␈↓ λI␈ε∧1␈↓ λa␈ε∧1␈↓ 
&␈ε∧0␈α	0␈↓ 
V␈ε∧1␈↓ 
m␈ε∧1
␈β¬␈↓ αE␈ε∧0␈α	1␈α	0␈α	0␈↓ βL␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ ∧R␈ε∧0␈α	0␈α	0␈αλ0␈↓ ¬Y␈ε∧0␈αλ0␈α	0␈α	0␈↓ π∪␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ 	 ␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0
␈β¬␈↓ α-␈ε↓@␈↓ β≤␈ε↓A␈↓ β4␈ε↓@␈↓ ∧"␈ε↓A␈↓ ∧:␈ε↓@␈↓ ¬)␈ε↓A␈↓ ¬A␈ε↓@␈↓ ε/␈ε↓A␈↓ ε{␈ε↓@␈↓ πi␈ε↓A␈↓ λ↓␈ε↓@␈↓ λp␈ε↓A␈↓ 	λ␈ε↓@␈↓ 	v␈ε↓A␈↓ 
∞␈ε↓@␈↓ 
⎇␈ε↓A
␈β¬∂␈↓ λ→␈ε∧0␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ 
&␈ε∧0␈α	0␈α	0␈αλ0
␈β¬⊗␈↓ α↓␈εα+␈↓ εO␈εα+
␈β¬,␈↓ αE␈ε∧0␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ βL␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ ∧R␈ε∧0␈α	0␈α	0␈αλ0␈↓ ¬Y␈ε∧0␈αλ0␈α	0␈α	0␈↓ π∪␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ 	 ␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0
␈β¬/␈↓ λ→␈ε∧0␈α	0␈α	1␈α	1␈↓ 
&␈ε∧0␈α	0␈α	1␈αλ1
␈β¬L␈↓ αE␈ε∧0␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ βL␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ ∧R␈ε∧0␈α	0␈α	0␈αλ0␈↓ ¬Y␈ε∧0␈αλ0␈α	0␈α	0␈↓ π∪␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ 	 ␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0
␈β¬P␈↓ λ→␈ε∧0␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ 
&␈ε∧0␈α	0␈α	0␈αλ0
␈β¬b␈↓ α-␈ε↓0␈↓ β≤␈ε↓1␈↓ β4␈ε↓0␈↓ ∧"␈ε↓1␈↓ ∧:␈ε↓0␈↓ ¬)␈ε↓1␈↓ ¬A␈ε↓0␈↓ ε/␈ε↓1␈↓ ε{␈ε↓0␈↓ πi␈ε↓1␈↓ λ↓␈ε↓0␈↓ λp␈ε↓1␈↓ 	λ␈ε↓0␈↓ 	v␈ε↓1␈↓ 
∞␈ε↓0␈↓ 
⎇␈ε↓1
␈βεα␈↓ αE␈ε∧0␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ βL␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ ∧R␈ε∧0␈α	0␈α	0␈αλ0␈↓ ¬Y␈ε∧0␈αλ0␈α	0␈α	0␈↓ π∪␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ λ→␈ε∧0␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ 	 ␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ 
&␈ε∧0␈α	0␈α	0␈αλ0
␈βε#␈↓ α-␈ε↓@␈↓ αE␈ε∧0␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ β≤␈ε↓A␈↓ β4␈ε↓@␈↓ βL␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ ∧"␈ε↓A␈↓ ∧:␈ε↓@␈↓ ∧R␈ε∧0␈α	0␈α	0␈αλ0␈↓ ¬)␈ε↓A␈↓ ¬A␈ε↓@␈↓ ¬Y␈ε∧0␈αλ0␈α	0␈α	0␈↓ ε/␈ε↓A␈↓ ε{␈ε↓@␈↓ π∪␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ πi␈ε↓A␈↓ λ↓␈ε↓@␈↓ λ→␈ε∧0␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ λp␈ε↓A␈↓ 	λ␈ε↓@␈↓ 	 ␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ 	v␈ε↓A␈↓ 
∞␈ε↓@␈↓ 
&␈ε∧0␈α	0␈α	0␈αλ0␈↓ 
⎇␈ε↓A
␈βε-␈↓ α↓␈εα+␈↓ εO␈εα+
␈βε<␈↓ 	 ␈ε∧∩␈↓ 
&␈ε∧∩
␈βεC␈↓ αE␈ε∧0␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ βL␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ ∧R␈ε∧0␈α	0␈α	0␈αλ0␈↓ ¬Y␈ε∧0␈αλ0␈α	0␈α	0␈↓ π∪␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ λ→␈ε∧0␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ 	 ␈ε∧1␈↓ 	8␈ε∧0␈αλ1␈α	0␈↓ 
&␈ε∧1␈↓ 
>␈ε∧0␈α	1␈αλ0
␈βε\␈↓ β{␈ε∧∩␈↓ ∧∪␈ε∧∩␈↓ 	O␈ε∧∩␈↓ 
V␈ε∧∩
␈βεc␈↓ αE␈ε∧0␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ βL␈ε∧1␈α	1␈↓ β{␈ε∧1␈↓ ∧∪␈ε∧1␈↓ ∧R␈ε∧0␈α	0␈α	0␈αλ0␈↓ ¬Y␈ε∧0␈αλ0␈α	0␈α	0␈↓ π∪␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ λ→␈ε∧0␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ 	 ␈ε∧1␈α	0␈↓ 	O␈ε∧1␈↓ 	g␈ε∧0␈↓ 
&␈ε∧1␈α	0␈↓ 
V␈ε∧1␈↓ 
m␈ε∧0
␈βεy␈↓ α-␈ε↓0␈↓ β≤␈ε↓1␈↓ β4␈ε↓0␈↓ ∧"␈ε↓1␈↓ ∧:␈ε↓0␈↓ ¬)␈ε↓1␈↓ ¬A␈ε↓0␈↓ ε/␈ε↓1␈↓ ε{␈ε↓0␈↓ πi␈ε↓1␈↓ λ↓␈ε↓0␈↓ λp␈ε↓1␈↓ 	λ␈ε↓0␈↓ 	v␈ε↓1␈↓ 
∞␈ε↓0␈↓ 
⎇␈ε↓1
␈βπ⊗␈↓ ¬→␈ε∧∩␈↓ λ→␈ε∧∩␈↓ 	 ␈ε∧∩␈↓ 
&␈ε∧∩
␈βπ→␈↓ αE␈ε∧0␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ βL␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ ¬Y␈ε∧0␈αλ0␈α	0␈α	0␈↓ π∪␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0
␈βπ≥␈↓ ∧R␈ε∧0␈α	0␈α	0␈↓ ¬→␈ε∧1␈↓ λ→␈ε∧1␈↓ λ1␈ε∧0␈α	1␈α	1␈↓ 	 ␈ε∧1␈↓ 	8␈ε∧0␈αλ1␈α	1␈↓ 
&␈ε∧1␈↓ 
>␈ε∧0␈α	1␈αλ1
␈βπ:␈↓ α-␈ε↓@␈↓ αE␈ε∧0␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ β≤␈ε↓A␈↓ β4␈ε↓@␈↓ βL␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ ∧"␈ε↓A␈↓ ∧:␈ε↓@␈↓ ¬)␈ε↓A␈↓ ¬A␈ε↓@␈↓ ¬Y␈ε∧0␈αλ0␈α	0␈α	0␈↓ ε/␈ε↓A␈↓ ε{␈ε↓@␈↓ π∪␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ πi␈ε↓A␈↓ λ↓␈ε↓@␈↓ λp␈ε↓A␈↓ 	λ␈ε↓@␈↓ 	v␈ε↓A␈↓ 
∞␈ε↓@␈↓ 
⎇␈ε↓A
␈βπ=␈↓ ∧R␈ε∧0␈α	0␈α	0␈αλ1␈↓ λ→␈ε∧0␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ 	 ␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ 
&␈ε∧0␈α	0␈α	0␈αλ0
␈βπD␈↓ α↓␈εα+␈↓ εO␈εα+␈↓ ∃␈εα.
␈βπW␈↓ λI␈ε∧∩␈↓ λa␈ε∧∩␈↓ 	O␈ε∧∩␈↓ 	g␈ε∧∩␈↓ 
V␈ε∧∩␈↓ 
m␈ε∧∩
␈βπZ␈↓ αE␈ε∧0␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ βL␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ ¬Y␈ε∧0␈αλ0␈α	0␈α	0␈↓ π∪␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0
␈βπ↑␈↓ ∧R␈ε∧0␈α	0␈α	0␈αλ1␈↓ λ→␈ε∧1␈α	0␈↓ λI␈ε∧1␈↓ λa␈ε∧1␈↓ 	 ␈ε∧1␈α	0␈↓ 	O␈ε∧1␈↓ 	g␈ε∧1␈↓ 
&␈ε∧1␈α	0␈↓ 
V␈ε∧1␈↓ 
m␈ε∧1
␈βπw␈↓ ¬→␈ε∧∩␈↓ λ→␈ε∧∩␈↓ 	 ␈ε∧∩␈↓ 
&␈ε∧∩
␈βπ{␈↓ αE␈ε∧0␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ βL␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ ¬Y␈ε∧0␈αλ0␈α	0␈α	0␈↓ π∪␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0
␈βπ}␈↓ ∧R␈ε∧0␈α	0␈α	0␈↓ ¬→␈ε∧1␈↓ λ→␈ε∧1␈↓ λ1␈ε∧0␈α	1␈α	1␈↓ 	 ␈ε∧1␈↓ 	8␈ε∧0␈αλ1␈α	1␈↓ 
&␈ε∧1␈↓ 
>␈ε∧0␈α	1␈αλ1
␈βλ2␈↓ 
p␈εα(50)
␈βλb␈↓ α␈εαThe␈α
fact␈α∞that␈α
(49)␈α
is␈α∞symmetric␈α
in␈↓ ε;␈ελi␈↓ εI␈εα,␈↓ εa␈ελj␈↓ εq␈εα,␈↓ π	␈ελk␈↓ π(␈εαand␈α
in␈α␈varian␈α␈t␈α∞under␈α
a␈α
variety␈α
of
␈β	∞␈↓ ↓H␈εαtransformations␈α	mak␈α␈es␈α
the␈α	study␈α
of␈α	tensor␈α
rank␈α	mathematically␈α
tractable,␈α
and␈α	it
␈β	9␈↓ ↓H␈εαalso␈α	leads␈α
to␈α	some␈α	surprising␈α
consequences␈α	about␈α
bilinear␈α	forms.␈αWe␈α	can␈α	perm␈α␈ute
␈β	d␈↓ ↓H␈εαthe␈αλindices␈↓ αs␈ελi␈↓ β↓␈εα,␈↓ β∀␈ελj␈↓ β$␈εα,␈↓ β7␈ελk␈↓ βQ␈εαto␈αλobtain␈απ\transposed"␈αλbilinear␈αλforms,␈α	and␈αλthe␈αλtransposed␈απtensor
␈β
∂␈↓ ↓H␈εαclearly␈α
has␈α
the␈α
same␈α
rank;␈αbut␈α
the␈αcorresponding␈α
bilinear␈α
forms␈α
are␈α
conceptually
␈β
:␈↓ ↓H␈εαquite␈αdi{eren␈α␈t.␈α
For␈α
example,␈αa␈α
normal␈αscheme␈α
for␈αevaluating␈α
an␈α(␈↓ 	V␈ελm␈↓ 	}␈ε⊗α␈↓ 
*␈ελn␈↓ 
@␈εα)␈αtimes
␈β
f␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελn␈↓ ↓q␈ε⊗α␈↓ α≤␈ελs␈↓ α+␈εα)␈αmatrix␈αproduct␈αimplies␈αthe␈αexistence␈αof␈αa␈αnormal␈αscheme␈αto␈αevaluate␈αan
␈β⊃␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελn␈↓ ↓s␈ε⊗α␈↓ α ␈ελs␈↓ α/␈εα)␈α∞times␈α∞(␈↓ β7␈ελs␈↓ βO␈ε⊗α␈↓ β|␈ελm␈↓ ∧≤␈εα)␈α∞matrix␈α∞product,␈α∞using␈α∞the␈α∞same␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α∞chain␈α
m␈α␈ulti-
␈β<␈↓ ↓H␈εαplications.␈αIn␈α
matrix␈α	terms␈α
these␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
problems␈α
hardly␈α	seem␈α
to␈α
be␈α
related␈α
to␈α	all←
␈βg␈↓ ↓H␈εαthey␈αin␈α␈v␈α␈olv␈α␈e␈αdi{eren␈α␈t␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αof␈αdot␈αproducts␈αon␈α
v␈α␈ectors␈αof␈αdi{eren␈α␈t␈αsizes←but
␈β∩␈↓ ↓H␈εαin␈αtensor␈αterms␈αthey␈αare␈αequivalen␈α␈t.␈α_(Cf.␈αJ.␈αE.␈αHopcroft␈αand␈αJ.␈αMusinski,␈ε∂␈αSIAM
␈β>␈↓ ↓H␈ε∂J.␈αComputing␈ε∩␈α2␈εα␈α(1973),␈α159↑173.)
␈βi␈↓ α␈εαWhen␈α	the␈α	tensor␈αλ(␈↓ ∧ ␈ελa␈↓ ∧X␈εα)␈α	can␈α	be␈α	represen␈α␈ted␈αλas␈α	a␈α	sum␈αλ(49)␈α	of␈↓ 	␈ελt␈↓ 	"␈εαrank-one␈αλtensors,
␈βv␈↓ ∧1␈εi␈↓ ∧=␈εj␈↓ ∧J␈εk
␈β
∀␈↓ ↓H␈εαlet␈↓ ↓z␈ελA␈↓ α∩␈εα,␈↓ α&␈ελB␈↓ α?␈εα,␈↓ αS␈ελC␈↓ αz␈εαbe␈αthe␈α
matrices␈α
(␈↓ ∧␈␈ελ␈↓ ¬%␈εα),␈α(␈↓ ¬R␈ελ␈␈↓ ¬y␈εα),␈α(␈↓ ε&␈ελ␈
␈↓ εM␈εα)␈α
of␈αrespectiv␈α␈e␈α
sizes␈↓ 	↓␈ελm␈↓ 	&␈ε⊗α␈↓ 	P␈ελt␈↓ 	]␈εα,␈↓ 	q␈ελn␈↓ 
␈ε⊗α␈↓ 
6␈ελt␈↓ 
C␈εα,␈↓ 
W␈ελs␈↓ 
l␈ε⊗α␈↓ ∃␈ελt␈↓ "␈εα;
␈β
!␈↓ ¬∩␈εi␈↓ ¬≥␈εl␈↓ ¬d␈εj␈↓ ¬q␈εl␈↓ ε7␈εk␈↓ εE␈εl
␈β
?␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αshall␈α
say␈α
that␈↓ βb␈ελA␈↓ βz␈εα,␈↓ ∧⊃␈ελB␈↓ ∧)␈εα,␈↓ ∧@␈ελC␈↓ ∧j␈εαis␈α
a␈ε∂␈αrealization␈εα␈α
of␈α
the␈α
tensor␈α(␈↓ λ@␈ελa␈↓ λx␈εα).␈α∂For␈αexample,␈α
the
␈β
M␈↓ λQ␈εi␈↓ λ]␈εj␈↓ λj␈εk
␈β
j␈↓ ↓H␈εαrealization␈α	of␈α
2␈ε⊗␈α¬α␈εα␈α¬2␈α
matrix␈α
m␈α␈ultiplication␈α
in␈α
(50)␈α	can␈α
be␈α
speci|ed␈α
by␈α
the␈α	matrices
␈β∞∨␈↓ α<␈ε↓0␈↓ ∧~␈ε↓1␈↓ ¬6␈ε↓0␈↓ π∀␈ε↓1␈↓ λ5␈ε↓0␈↓ 
∪␈ε↓1
␈β∞>␈↓ β⊂␈εα∩␈↓ βj␈εα∩␈↓ πα␈εα∩
␈β∞B␈↓ λM␈εα1␈α1␈α0␈α0␈α0␈α0␈α0
␈β∞G␈↓ αT␈εα1␈α0␈↓ β⊂␈εα1␈↓ β.␈εα0␈α0␈↓ βj␈εα1␈↓ ∧λ␈εα1␈↓ ¬N␈εα1␈α0␈α0␈α1␈α1␈α0␈↓ πα␈εα1
␈β∞`␈↓ α<␈ε↓B␈↓ ∧~␈ε↓C␈↓ ¬6␈ε↓B␈↓ π∀␈ε↓C␈↓ λ5␈ε↓B␈↓ 
∪␈ε↓C
␈β∞n␈↓ λM␈εα1␈α0␈α1␈α1␈α0␈α0␈α1
␈β∞r␈↓ αT␈εα0␈α1␈α0␈α0␈α0␈α1␈α0␈↓ ¬N␈εα0␈α1␈α0␈α1␈α0␈α0␈α0
␈β∞v␈↓ α<␈ε↓B␈↓ ∧~␈ε↓C␈↓ ¬6␈ε↓B␈↓ π∀␈ε↓C␈↓ λ5␈ε↓B␈↓ 
∪␈ε↓C
␈β∂␈↓ ↓l␈ελA␈↓ α∞␈εα=␈↓ ∧2␈εα,␈↓ ∧f␈ελB␈↓ ¬λ␈εα=␈↓ π,␈εα,␈↓ π`␈ελC␈↓ λπ␈εα=␈↓ 
+␈εα.␈↓ 
p␈εα(51)
␈β∂␈↓ α<␈ε↓@␈↓ ∧~␈ε↓A␈↓ ¬6␈ε↓@␈↓ π∀␈ε↓A␈↓ λ5␈ε↓@␈↓ 
∪␈ε↓A
␈β∂∀␈↓ βL␈εα∩␈↓ ∧λ␈εα∩␈↓ ε(␈εα∩␈↓ εF␈εα∩
␈β∂→␈↓ λM␈εα1␈α0␈α0␈α0␈α1␈α1␈α1
␈β∂≥␈↓ αT␈εα0␈α0␈α1␈α0␈↓ βL␈εα1␈↓ βj␈εα1␈↓ ∧λ␈εα1␈↓ ¬N␈εα0␈α0␈α1␈↓ ε(␈εα1␈↓ εF␈εα1␈↓ εd␈εα0␈α1
␈β∂@␈↓ βj␈εα∩␈↓ ε(␈εα∩
␈β∂D␈↓ λM␈εα1␈α0␈α1␈α0␈α1␈α0␈α1
␈β∂I␈↓ αT␈εα0␈α0␈α0␈α1␈α1␈↓ βj␈εα1␈↓ ∧λ␈εα1␈↓ ¬N␈εα0␈α0␈α1␈↓ ε(␈εα1␈↓ εF␈εα0␈α1␈α1
␈β⊂∃␈↓ α␈εαAn␈↓ αE␈ελm␈↓ αk␈ε⊗α␈↓ β⊗␈ελn␈↓ β2␈ε⊗α␈↓ β]␈ελs␈↓ βw␈εαtensor␈α(␈↓ ∧n␈ελa␈↓ ¬&␈εα)␈αcan␈αalso␈αbe␈αrepresen␈α␈ted␈αas␈αa␈αmatrix␈αby␈αgrouping
␈β⊂#␈↓ ∧␈␈εi␈↓ ¬
␈εj␈↓ ¬_␈εk
␈β⊂@␈↓ ↓H␈εαits␈αsubscripts␈αtogether.␈αWe␈αshall␈αwrite␈α(␈↓ ε0␈ελa␈↓ ε|␈εα)␈αfor␈αthe␈↓ λπ␈ελm␈↓ λ&␈ελn␈↓ λC␈ε⊗α␈↓ λm␈ελs␈↓ 	π␈εαmatrix␈αwhose␈αro␈α␈ws
␈β⊂O␈↓ εA␈ε¬(␈↓ εK␈εi␈↓ εV␈εj␈↓ εc␈ε¬)␈↓ εm␈εk
␈β⊂l␈↓ ↓H␈εαare␈αindex␈α␈ed␈αby␈αthe␈αpair␈αof␈αsubscripts␈ε⊗␈αh␈↓ ε≡␈ελi␈↓ ε,␈εα,␈↓ ε<␈ελj␈↓ εL␈ε⊗i␈εα␈αand␈αwhose␈αcolumns␈αare␈αindex␈α␈ed␈αby␈↓ ⊃␈ελk␈↓ "␈εα.
␈β⊃↔␈↓ ↓H␈εαSimilarly,␈α
(␈↓ αy␈ελa␈↓ βD␈εα)␈α
stands␈αfor␈α
the␈↓ ¬E␈ελs␈↓ ¬]␈ε⊗α␈↓ ε	␈ελm␈↓ ε)␈ελn␈↓ εK␈εαmatrix␈α
that␈α
con␈α␈tains␈↓ 	≡␈ελa␈↓ 	c␈εαin␈α
ro␈α␈w␈↓ 
T␈ελk␈↓ 
r␈εαand
␈β⊃$␈↓ 	/␈εi␈↓ 	;␈εj␈↓ 	H␈εk
␈β⊃%␈↓ β	␈εk␈↓ β_␈ε¬(␈↓ β"␈εi␈↓ β-␈εj␈↓ β:␈ε¬)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.4␈ε∞␈↓ π∧EV␈α|AL␈α␈U␈α␈A␈α}T␈α␈ION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα471
␈βα#␈↓ ↓H␈εαcolumn␈ε⊗␈α
h␈↓ αS␈ελi␈↓ αa␈εα,␈↓ αq␈ελj␈↓ β↓␈ε⊗i␈εα;␈α≠(␈↓ β>␈ελa␈↓ ∧
␈εα)␈α
is␈α
an␈↓ ∧{␈ελm␈↓ ¬≠␈ελs␈↓ ¬3␈ε⊗α␈↓ ¬←␈ελn␈↓ εα␈εαmatrix,␈α∞and␈α
so␈α
on.␈α⊂The␈α
indices␈α
of␈α
an␈α
array
␈βα1␈↓ βO␈ε¬(␈↓ βY␈εi␈↓ βd␈εk␈↓ βs␈ε¬)␈↓ β|␈εj
␈βαN␈↓ ↓H␈εαneed␈αnot␈αbe␈αin␈α␈tegers,␈αand␈αw␈α␈e␈αare␈αusing␈αordered␈αpairs␈αas␈αindices␈αhere.␈αWe␈αcan␈αuse
␈βαy␈↓ ↓H␈εαthis␈αnotation␈αto␈αderiv␈α␈e␈α
the␈αfollo␈α␈wing␈αsimple␈αbut␈αuseful␈α
lo␈α␈w␈α␈er␈αbound␈αon␈αthe␈αrank
␈ββ$␈↓ ↓H␈εαof␈αa␈αtensor.
␈ββe␈↓ ↓H␈ε∩Lemma␈α∞T.␈ε∂␈α≤Let␈↓ βP␈ελA␈↓ βh␈ε∂,␈↓ ∧↓␈ελB␈↓ ∧→␈ε∂,␈↓ ∧2␈ελC␈↓ ∧]␈ε∂be␈α∞a␈α∞realization␈α∞of␈α∞an␈↓ πA␈ελm␈↓ πj␈ε⊗α␈↓ λ↔␈ελn␈↓ λ6␈ε⊗α␈↓ λc␈ελs␈↓ 	␈ε∂tensor␈εα␈α∞(␈↓ 	z␈ελa␈↓ 
2␈εα)␈ε∂.␈α∩Then
␈ββr␈↓ 
␈εi␈↓ 
↔␈εj␈↓ 
$␈εk
␈β∧⊂␈↓ ↓H␈εαrank␈↓ α⊂␈εα(␈↓ α≤␈ελA␈↓ α4␈εα)␈ε⊗␈α
∃␈↓ αx␈εαrank␈↓ β@␈εα(␈↓ βL␈ελa␈↓ ∧_␈εα)␈ε∂,␈↓ ∧:␈εαrank␈↓ ¬α␈εα(␈↓ ¬∞␈ελB␈↓ ¬&␈εα)␈ε⊗␈α∃␈↓ ¬k␈εαrank␈↓ ε3␈εα(␈↓ ε?␈ελa␈↓ π
␈εα)␈ε∂,␈α
and␈↓ πs␈εαrank␈↓ λ;␈εα(␈↓ λG␈ελC␈↓ λd␈εα)␈ε⊗␈α
∃␈↓ 	)␈εαrank␈↓ 	q␈εα(␈↓ 	⎇␈ελa␈↓ 
H␈εα)␈ε∂;␈αcon-
␈β∧≡␈↓ β]␈εi␈↓ βi␈ε¬(␈↓ βr␈εj␈↓ ∧␈εk␈↓ ∧∞␈ε¬)␈↓ εP␈εj␈↓ ε]␈ε¬(␈↓ εg␈εi␈↓ εr␈εk␈↓ π↓␈ε¬)␈↓ 
∞␈εk␈↓ 
≤␈ε¬(␈↓ 
&␈εi␈↓ 
1␈εj␈↓ 
>␈ε¬)
␈β∧;␈↓ ↓H␈ε∂sequen␈α␈tly
␈β∧p␈↓ ¬ ␈ε↓␈␈↓ 	P␈ε↓↓
␈β¬⊂␈↓ β␈εαrank␈↓ βT␈εα(␈↓ β`␈ελa␈↓ ∧_␈εα)␈ε⊗␈α
∃␈↓ ∧\␈εαmax␈↓ ¬.␈εαrank␈↓ ¬v␈εα(␈↓ εα␈ελa␈↓ εM␈εα),␈↓ εi␈εαrank␈↓ π1␈εα(␈↓ π=␈ελa␈↓ λ	␈εα),␈↓ λ%␈εαrank␈↓ λm␈εα(␈↓ λy␈ελa␈↓ 	D␈εα)␈↓ 	↑␈εα.
␈β¬≥␈↓ βq␈εi␈↓ β|␈εj␈↓ ∧
␈εk
␈β¬≡␈↓ ε∪␈εi␈↓ ε≡␈ε¬(␈↓ ε(␈εj␈↓ ε5␈εk␈↓ εD␈ε¬)␈↓ πN␈εj␈↓ π[␈ε¬(␈↓ πe␈εi␈↓ πq␈εk␈↓ π␈␈ε¬)␈↓ 		␈εk␈↓ 	_␈ε¬(␈↓ 	"␈εi␈↓ 	-␈εj␈↓ 	:␈ε¬)
␈β¬e␈↓ ↓H␈ε∂Proof.␈εα␈α≠It␈α
su}ces␈α
by␈α
symmetry␈α
to␈α
sho␈α␈w␈α
that␈↓ π~␈ελt␈↓ π2␈ε⊗∃␈↓ πb␈εαrank␈↓ λ*␈εα(␈↓ λ6␈ελA␈↓ λN␈εα)␈ε⊗␈α∃␈↓ 	⊗␈εαrank␈↓ 	↑␈εα(␈↓ 	j␈ελa␈↓ 
5␈εα).␈α∂Since
␈β¬s␈↓ 	{␈εi␈↓ 
ε␈ε¬(␈↓ 
⊂␈εj␈↓ 
≥␈εk␈↓ 
,␈ε¬)
␈βε⊂␈↓ ↓H␈ελA␈↓ ↓o␈εαis␈α⊂an␈↓ αM␈ελm␈↓ αw␈ε⊗α␈↓ β%␈ελt␈↓ βB␈εαmatrix,␈α⊂it␈α⊂is␈α∂obvious␈α⊂that␈↓ εo␈ελA␈↓ π⊗␈εαcannot␈α⊂hav␈α␈e␈α⊂rank␈α∂greater␈α⊂than␈↓ ∃␈ελt␈↓ "␈εα.
␈βε;␈↓ ↓H␈εαFurthermore,␈α
according␈αto␈α
(49),␈αthe␈α
matrix␈α
(␈↓ ε|␈ελa␈↓ πG␈εα)␈αis␈α
equal␈α
to␈↓ 	π␈ελA␈↓ 	∨␈ελQ␈↓ 	9␈εα,␈α
where␈↓ 
4␈ελQ␈↓ 
X␈εαis␈α
the
␈βεI␈↓ π
␈εi␈↓ π_␈ε¬(␈↓ π"␈εj␈↓ π/␈εk␈↓ π>␈ε¬)
␈βεg␈↓ ↓H␈ελt␈↓ ↓Z␈ε⊗α␈↓ αα␈ελn␈↓ α_␈ελs␈↓ α1␈εαmatrix␈α	de|ned␈α
by␈↓ ∧P␈ελQ␈↓ ¬1␈εα=␈↓ ¬←␈ελ␈␈↓ ε␈ελ␈
␈↓ ε7␈εα.␈αIf␈↓ εn␈ελx␈↓ π␈εαis␈α	an␈α␈y␈α
ro␈α␈w␈α
v␈α␈ector␈α	such␈α
that␈↓ 
8␈ελx␈↓ 
J␈ελA␈↓ 
l␈εα=␈α
0
␈βεt␈↓ ¬q␈εj␈↓ ¬}␈εl␈↓ ε≤␈εk␈↓ ε+␈εl
␈βεu␈↓ ∧h␈εl␈↓ ∧p␈ε→h␈↓ ∧y␈εj␈↓ ¬π␈ε¬,␈↓ ¬∂␈εk␈↓ ¬≥␈ε→i
␈βπ∩␈↓ ↓H␈εαthen␈↓ α≤␈ελx␈↓ α.␈ελA␈↓ αF␈ελQ␈↓ αn␈εα=␈α
0,␈α∞hence␈α∞all␈α∞linear␈α∞dependencies␈α
in␈↓ πN␈ελA␈↓ πt␈εαoccur␈α∞also␈α∞in␈↓ 	L␈ελA␈↓ 	d␈ελQ␈↓ 	}␈εα.␈α∩It␈α
follo␈α␈ws
␈βπ=␈↓ ↓H␈εαthat␈↓ α⊗␈εαrank␈↓ α↑␈εα(␈↓ αj␈ελA␈↓ βα␈ελQ␈↓ β≤␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈↓ β`␈εαrank␈↓ ∧(␈εα(␈↓ ∧4␈ελA␈↓ ∧L␈εα).
␈βπB␈↓ ¬	␈∧πB¬	≠∂
␈βπ⎇␈↓ α␈εαAs␈α	an␈α	example␈α	of␈α	the␈α	use␈α	of␈αλLemma␈α	T␈↓ εS␈εα,␈α
let␈α	us␈α	consider␈α	the␈α	problem␈α	of␈αλpolyno-
␈βλ(␈↓ ↓H␈εαmial␈α
m␈α␈ultiplication.␈αSuppose␈α
w␈α␈e␈α
wan␈α␈t␈α
to␈α
m␈α␈ultiply␈α
a␈α
general␈α
polynomial␈α	of␈α
degree
␈βλS␈↓ ↓H␈εα2␈αby␈αa␈αgeneral␈αpolynomial␈αof␈αdegree␈α3,␈αobtaining␈αthe␈αcoe}cien␈α␈ts␈αof␈αthe␈αproduct:
␈β	"␈↓ βD␈ε¬2␈↓ ¬\␈ε¬2␈↓ εS␈ε¬3
␈β	(␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελx␈↓ ↓{␈εα+␈↓ α'␈ελx␈↓ αF␈ελu␈↓ αc␈εα+␈↓ β∂␈ελx␈↓ β.␈ελu␈↓ βR␈εα)(␈↓ βj␈ελy␈↓ ∧∩␈εα+␈↓ ∧>␈ελy␈↓ ∧]␈ελu␈↓ ∧{␈εα+␈↓ ¬'␈ελy␈↓ ¬F␈ελu␈↓ ¬r␈εα+␈↓ ε≡␈ελy␈↓ ε>␈ελu␈↓ εb␈εα)
␈β	6␈↓ ↓d␈ε¬0␈↓ α7␈ε¬1␈↓ β ␈ε¬2␈↓ β{␈ε¬0␈↓ ∧O␈ε¬1␈↓ ¬8␈ε¬2␈↓ ε/␈ε¬3
␈β	X␈↓ π9␈ε¬2␈↓ λ+␈ε¬3␈↓ 	≡␈ε¬4␈↓ 
⊂␈ε¬5
␈β	↑␈↓ ¬(␈εα=␈↓ ¬V␈ελz␈↓ ¬y␈εα+␈↓ ε%␈ελz␈↓ ε?␈ελu␈↓ ε]␈εα+␈↓ π	␈ελz␈↓ π#␈ελu␈↓ πO␈εα+␈↓ π{␈ελz␈↓ λ∃␈ελu␈↓ λB␈εα+␈↓ λn␈ελz␈↓ 	λ␈ελu␈↓ 	4␈εα+␈↓ 	`␈ελz␈↓ 	z␈ελu␈↓ 
≡␈εα.␈↓ 
p(52)
␈β	l␈↓ ¬b␈ε¬0␈↓ ε1␈ε¬1␈↓ π∃␈ε¬2␈↓ λπ␈ε¬3␈↓ λz␈ε¬4␈↓ 	l␈ε¬5
␈β
3␈↓ ↓H␈εαThis␈αλis␈αλthe␈αλproblem␈α	of␈αλevaluating␈αλsix␈αλbilinear␈α	forms␈αλcorresponding␈αλto␈αλthe␈α	3␈ε⊗␈ααα␈εα␈αβ4␈ε⊗␈αβα␈εα␈αβ6
␈β
←␈↓ ↓H␈εαtensor
␈β&␈↓ αg␈ε↓ ␈↓ βj␈ε↓!␈↓ ∧↓␈ε↓ ␈↓ ¬∧␈ε↓!␈↓ ¬≠␈ε↓ ␈↓ ε≡␈ε↓!␈↓ ε5␈ε↓ ␈↓ π8␈ε↓!␈↓ πO␈ε↓ ␈↓ λR␈ε↓!␈↓ λi␈ε↓ ␈↓ 	l␈ε↓!
␈β*␈↓ α}␈εα1␈α0␈α0␈α0␈↓ ∧_␈εα0␈α1␈α0␈α0␈↓ ¬2␈εα0␈α0␈α1␈α0␈↓ εL␈εα0␈α0␈α0␈α1␈↓ πf␈εα0␈α0␈α0␈α0␈↓ 	␈εα0␈α0␈α0␈α0
␈βK␈↓ 
β␈εα.␈↓ 
p␈εα(53)
␈βN␈↓ α}␈εα0␈α0␈α0␈α0␈↓ ∧_␈εα1␈α0␈α0␈α0␈↓ ¬2␈εα0␈α1␈α0␈α0␈↓ εL␈εα0␈α0␈α1␈α0␈↓ πf␈εα0␈α0␈α0␈α1␈↓ 	␈εα0␈α0␈α0␈α0
␈βr␈↓ α}␈εα0␈α0␈α0␈α0␈↓ ∧_␈εα0␈α0␈α0␈α0␈↓ ¬2␈εα1␈α0␈α0␈α0␈↓ εL␈εα0␈α1␈α0␈α0␈↓ πf␈εα0␈α0␈α1␈α0␈↓ 	␈εα0␈α0␈α0␈α1
␈β@␈↓ ↓H␈εαFor␈αbrevity,␈αw␈α␈e␈αmay␈αwrite␈α(52)␈αas␈↓ ¬c␈ελx␈↓ ¬v␈εα(␈↓ εα␈ελu␈↓ ε_␈εα)␈↓ ε$␈ελy␈↓ ε8␈εα(␈↓ εD␈ελu␈↓ εY␈εα)␈α
=␈↓ π≥␈ελz␈↓ π,␈εα(␈↓ π8␈ελu␈↓ πN␈εα),␈αletting␈↓ λ`␈ελx␈↓ λs␈εα(␈↓ λ␈␈ελu␈↓ 	∃␈εα)␈αdenote␈αthe␈αpoly-
␈βf␈↓ ∧#␈ε¬2
␈βl␈↓ ↓H␈εαnomial␈↓ α<␈ελx␈↓ αa␈εα+␈↓ β␈ελx␈↓ β*␈ελu␈↓ βE␈εα+␈↓ βo␈ελx␈↓ ∧∞␈ελu␈↓ ∧2␈εα,␈α
etc.␈αNote␈α
that␈αw␈α␈e␈α
hav␈α␈e␈α
come␈αfull␈α
circle␈α
from␈αthe␈α
way␈α
w␈α␈e
␈βy␈↓ αM␈ε¬0␈↓ β≠␈ε¬1␈↓ β␈␈ε¬2
␈β
↔␈↓ ↓H␈εαbegan␈α	this␈α
section,␈α	since␈α
Eq.␈α	(1)␈α
refers␈α	to␈↓ ε@␈ελu␈↓ εU␈εα(␈↓ εa␈ελx␈↓ εt␈εα),␈α
not␈↓ πQ␈ελx␈↓ πd␈εα(␈↓ πp␈ελu␈↓ λε␈εα);␈α
the␈α
notation␈α	has␈α	changed
␈β
B␈↓ ↓H␈εαbecause␈α	the␈ε∂␈α	coe}cien␈α␈ts␈εα␈α
of␈α	the␈α	polynomials␈α
are␈α	no␈α␈w␈α
the␈α	variables␈α	of␈α
in␈α␈terest␈α	to␈α	us.
␈β
m␈↓ α␈εαIf␈α
each␈α	of␈α
the␈α	six␈α
matrices␈α	in␈α
(53)␈α	is␈α
regarded␈α	as␈α
a␈α	v␈α␈ector␈α
of␈α	length␈α
12␈α	index␈α␈ed
␈β∞_␈↓ ↓H␈εαby␈ε⊗␈α⊃h␈↓ α
␈ελi␈↓ α~␈εα,␈↓ α*␈ελj␈↓ α;␈ε⊗i␈εα,␈α∩it␈α⊃is␈α⊃clear␈α⊃that␈α⊃the␈α⊃v␈α␈ectors␈α⊃are␈α⊂linearly␈α⊃independen␈α␈t,␈α∪since␈α⊃they␈α⊂are
␈β∞D␈↓ ↓H␈εαnonzero␈αin␈αdi{eren␈α␈t␈αpositions;␈αhence␈αthe␈αrank␈α
of␈α(53)␈αis␈αat␈αleast␈α6␈αby␈αLemma␈αT␈↓ "␈εα.
␈β∞o␈↓ ↓H␈εαCon␈α␈v␈α␈ersely,␈αit␈αis␈αpossible␈αto␈αobtain␈αthe␈αcoe}cien␈α␈ts␈↓ πh␈ελz␈↓ λα␈εα,␈↓ λ_␈ελz␈↓ λ3␈εα,␈↓ λH␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λx␈εα,␈↓ 	∞␈ελz␈↓ 	5␈εαby␈αmaking␈αonly
␈β∞|␈↓ πt␈ε¬0␈↓ λ$␈ε¬1␈↓ 	~␈ε¬5
␈β∂~␈↓ ↓H␈εαsix␈αchain␈αm␈α␈ultiplications,␈αfor␈αexample␈αby␈αcomputing
␈β∂o␈↓ ∧>␈ελx␈↓ ∧P␈εα(0)␈↓ ∧z␈ελy␈↓ ¬∂␈εα(0),␈↓ ¬S␈ελx␈↓ ¬e␈εα(1)␈↓ ε∂␈ελy␈↓ ε#␈εα(1),␈↓ εg␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π↔␈εα,␈↓ π1␈ελx␈↓ πD␈εα(5)␈↓ πn␈ελy␈↓ λα␈εα(5);␈↓ 
p␈εα(54)
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαthis␈α
giv␈α␈es␈αthe␈α
values␈αof␈↓ ∧5␈ελz␈↓ ∧D␈εα(0),␈↓ ¬β␈ελz␈↓ ¬∩␈εα(1),␈↓ ¬Q␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε↓␈εα,␈↓ ε⊗␈ελz␈↓ ε%␈εα(5),␈αand␈α
the␈αform␈α␈ulas␈α
dev␈α␈eloped␈αabo␈α␈v␈α␈e␈α
for
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαin␈α␈terpolation␈αλwill␈α	yield␈αλthe␈α	coe}cien␈α␈ts␈αλof␈↓ εA␈ελz␈↓ εP␈εα(␈↓ ε\␈ελu␈↓ εq␈εα).␈αThe␈αλevaluation␈α	of␈↓ 	+␈ελx␈↓ 	>␈εα(␈↓ 	J␈ελj␈↓ 	[␈εα)␈αλand␈↓ 
2␈ελy␈↓ 
F␈εα(␈↓ 
R␈ελj␈↓ 
b␈εα)␈αλcan
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαbe␈α
carried␈α∞out␈α
en␈α␈tirely␈α∞in␈α
terms␈α∞of␈α
additions␈α
and/or␈α∞parameter␈α
m␈α␈ultiplications,
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα472␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.4
␈βα(␈↓ ↓H␈εαand␈αthe␈αin␈α␈terpolation␈αform␈α␈ula␈α
merely␈αtak␈α␈es␈αlinear␈α
com␈α␈binations␈αof␈αthese␈αvalues.
␈βαS␈↓ ↓H␈εαTh␈α␈us,␈α⊂all␈α∂of␈α∂the␈α∂chain␈α∂m␈α␈ultiplications␈α∂are␈α⊂sho␈α␈wn␈α∂in␈α∂(54),␈α⊂and␈α∂the␈α∂rank␈α∂of␈α∂(53)
␈βα}␈↓ ↓H␈εαis␈α6.␈α~(We␈α
used␈αessen␈α␈tially␈α
this␈αsame␈α
technique␈αwhen␈α
m␈α␈ultiplying␈αhigh-precision
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈bers␈αin␈αAlgorithm␈α4.3.3C.)
␈ββU␈↓ α␈εαThe␈απrealization␈↓ β|␈ελA␈↓ ∧∀␈εα,␈↓ ∧%␈ελB␈↓ ∧>␈εα,␈↓ ∧P␈ελC␈↓ ∧t␈εαof␈αε(53)␈απsk␈α␈etched␈απin␈απthe␈απabo␈α␈v␈α␈e␈αεparagraph␈απturns␈απout␈απto␈αεbe
␈β∧ε␈↓ ε_␈ε↓0␈↓ 
3␈ε↓1
␈β∧&␈↓ εN␈ε∧12␈α↓0␈↓ πH␈ε∧0␈↓ λ#␈ε∧0␈↓ λ⎇␈ε∧0␈↓ 	X␈ε∧0␈↓ 
$␈ε∧0
␈β∧'␈↓ β↑␈ε↓0␈↓ ¬W␈ε↓1
␈β∧G␈↓ βv␈ε∧1␈↓ ∧∀␈ε∧1␈↓ ∧2␈ε∧1␈↓ ∧←␈ε∧1␈↓ ¬␈ε∧1␈↓ ¬H␈ε∧1␈↓ ε_␈ε↓B␈↓ ε0␈ε_␈␈ε∧␈α␈27␈α↓4␈↓ π)␈ε∧60␈α↓0␈↓ πe␈ε_␈␈ε∧60␈α↓0␈↓ λ←␈ε∧400␈↓ 	≠␈ε_␈␈ε∧150␈↓ 
∃␈ε∧24␈↓ 
3␈ε↓C
␈β∧W␈↓ ↓H␈ε↓∩␈↓ ↓↑␈ε∧1␈↓ ↓{␈ε∧1␈↓ α→␈ε∧1␈↓ α7␈ε∧1␈↓ αd␈ε∧1␈↓ β⊃␈ε∧1␈↓ β ␈ε↓∪
␈β∧]␈↓ ε_␈ε↓B␈↓ 
3␈ε↓C
␈β∧g␈↓ β↑␈ε↓@␈↓ βv␈ε∧0␈↓ ∧∀␈ε∧1␈↓ ∧2␈ε∧2␈↓ ∧←␈ε∧3␈↓ ¬␈ε∧4␈↓ ¬H␈ε∧5␈↓ ¬W␈ε↓A␈↓ εN␈ε∧22␈α↓5␈↓ π
␈ε_␈␈ε∧77␈α↓0␈↓ πu␈ε∧107␈α↓0␈↓ λ@␈ε_␈␈ε∧780␈↓ 	:␈ε∧305␈↓ 	v␈ε_␈␈ε∧50
␈β∧n␈↓ α␈ε¬1
␈β∧q␈↓ β6␈εα,␈↓ ¬o␈εα,␈↓ 
K␈ε⊗α␈↓ "␈εα.
␈β∧r␈↓ ε_␈ε↓B␈↓ 
3␈ε↓C
␈β∧w␈↓ ↓↑␈ε∧0␈↓ ↓{␈ε∧1␈↓ α→␈ε∧2␈↓ α7␈ε∧3␈↓ αd␈ε∧4␈↓ β⊃␈ε∧5
␈β¬α␈↓ 
s␈∧¬α
sα,
␈β¬∧␈↓ 
s␈ε¬1␈α↓20
␈β¬λ␈↓ βv␈ε∧0␈↓ ∧∀␈ε∧1␈↓ ∧2␈ε∧4␈↓ ∧←␈ε∧9␈↓ ∧|␈ε∧1␈α↓6␈↓ ¬9␈ε∧25␈↓ ε_␈ε↓@␈↓ ε?␈ε_␈␈ε∧␈α␈8␈α↓5␈↓ π)␈ε∧35␈α↓5␈↓ πe␈ε_␈␈ε∧59␈α↓0␈↓ λ←␈ε∧490␈↓ 	≠␈ε_␈␈ε∧205␈↓ 
∃␈ε∧35␈↓ 
3␈ε↓A
␈β¬_␈↓ ↓↑␈ε∧0␈↓ ↓{␈ε∧1␈↓ α→␈ε∧4␈↓ α7␈ε∧9␈↓ αT␈ε∧1␈α↓6␈↓ β↓␈ε∧2␈α↓5
␈β¬(␈↓ βv␈ε∧0␈↓ ∧∀␈ε∧1␈↓ ∧2␈ε∧8␈↓ ∧O␈ε∧2␈α↓7␈↓ ∧|␈ε∧6␈α↓4␈↓ ¬)␈ε∧1␈α↓25␈↓ ε]␈ε∧1␈α↓5␈↓ π~␈ε_␈␈ε∧␈α␈7␈α↓0␈↓ λ∧␈ε∧13␈α↓0␈↓ λ@␈ε_␈␈ε∧120␈↓ 	I␈ε∧55␈↓ 	v␈ε_␈␈ε∧10
␈β¬H␈↓ εN␈ε_␈␈ε∧1␈↓ πH␈ε∧5␈↓ πu␈ε_␈␈ε∧␈α␈1␈α↓0␈↓ λn␈ε∧10␈↓ 	:␈ε_␈␈ε∧␈α␈5␈↓ 
$␈ε∧1
␈β¬h␈↓ 
p␈εα(55)
␈βε∪␈↓ ↓H␈εαTh␈α␈us,␈αthe␈αscheme␈αdoes␈αindeed␈αrequire␈αthe␈αminim␈α␈um␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αchain␈αm␈α␈ultiplica-
␈βε?␈↓ ↓H␈εαtions,␈α∩but␈α⊃it␈α⊂is␈α⊃completely␈α⊃impractical␈α⊃because␈α⊃it␈α⊃in␈α␈v␈α␈olv␈α␈es␈α⊃so␈α⊃man␈α␈y␈α⊂additions
␈βεj␈↓ ↓H␈εαand␈αparameter␈αm␈α␈ultiplications.␈α
We␈α
shall␈αno␈α␈w␈α
study␈αa␈αpractical␈α
approach␈αto␈αthe
␈βπ∃␈↓ ↓H␈εαgeneration␈αof␈αmore␈αe}cien␈α␈t␈αschemes,␈αsuggested␈αby␈αS.␈αWinograd.
␈βπ@␈↓ α␈εαIn␈α
the␈α|rst␈α
place,␈α
to␈αevaluate␈α
the␈αcoe}cien␈α␈ts␈α
of␈↓ λ¬␈ελx␈↓ λ↔␈εα(␈↓ λ#␈ελu␈↓ λ9␈εα)␈↓ λE␈ελy␈↓ λY␈εα(␈↓ λe␈ελu␈↓ λ{␈εα)␈αwhen␈α
deg(␈↓ 
4␈ελx␈↓ 
G␈εα)␈α=␈↓ 
␈ελm
␈βπk␈↓ ↓H␈εαand␈αdeg(␈↓ αP␈ελy␈↓ αd␈εα)␈α
=␈↓ β(␈ελn␈↓ β=␈εα,␈αone␈αcan␈αuse␈αthe␈αiden␈α␈tity
␈βλ≥␈↓ ¬~␈ε↓␈␈↓ π;␈ε↓↓
␈βλ<␈↓ β`␈ελx␈↓ βs␈εα(␈↓ β␈␈ελu␈↓ ∧∃␈εα)␈↓ ∧!␈ελy␈↓ ∧5␈εα(␈↓ ∧A␈ελu␈↓ ∧V␈εα)␈α
=␈↓ ¬(␈ελx␈↓ ¬;␈εα(␈↓ ¬G␈ελu␈↓ ¬]␈εα)␈↓ ¬i␈ελy␈↓ ¬⎇␈εα(␈↓ ε	␈ελu␈↓ ε∨␈εα)␈↓ ε1␈εαmod␈↓ ε{␈ελp␈↓ π
␈εα(␈↓ π→␈ελu␈↓ π/␈εα)␈↓ πQ␈εα+␈↓ π⎇␈ελx␈↓ λ'␈ελy␈↓ λJ␈ελp␈↓ λ\␈εα(␈↓ λh␈ελu␈↓ λ}␈εα),␈↓ 
p␈εα(56)
␈βλJ␈↓ λ
␈εm␈↓ λ8␈εn
␈β	
␈↓ ↓H␈εαwhen␈↓ α#␈ελp␈↓ α6␈εα(␈↓ αB␈ελu␈↓ αW␈εα)␈α
is␈α	an␈α␈y␈α
monic␈α
polynomial␈α	of␈α
degree␈↓ π¬␈ελm␈↓ π*␈εα+␈↓ πS␈ελn␈↓ πh␈εα.␈αThe␈α	polynomial␈↓ 	⎇␈ελp␈↓ 
∂␈εα(␈↓ 
≠␈ελu␈↓ 
1␈εα)␈α	should
␈β	8␈↓ ↓H␈εαbe␈αchosen␈αso␈αthat␈αthe␈αcoe}cien␈α␈ts␈αof␈↓ εβ␈ελx␈↓ ε∃␈εα(␈↓ ε!␈ελu␈↓ ε7␈εα)␈↓ εC␈ελy␈↓ εW␈εα(␈↓ εc␈ελu␈↓ εy␈εα)␈↓ π␈εαmod␈↓ πU␈ελp␈↓ πg␈εα(␈↓ πs␈ελu␈↓ λ	␈εα)␈αare␈αeasy␈αto␈αevaluate.
␈β	d␈↓ α␈εαIn␈α
the␈α
second␈α
place,␈α
to␈α
evaluate␈αthe␈α
coe}cien␈α␈ts␈α
of␈↓ λ1␈ελx␈↓ λD␈εα(␈↓ λP␈ελu␈↓ λf␈εα)␈↓ λr␈ελy␈↓ 	ε␈εα(␈↓ 	∩␈ελu␈↓ 	'␈εα)␈↓ 	9␈εαmod␈↓ 
β␈ελp␈↓ 
⊗␈εα(␈↓ 
"␈ελu␈↓ 
7␈εα),␈α
when
␈β	o␈↓ λp␈ε↓␈␈↓ 
	␈ε↓↓
␈β
∂␈↓ ↓H␈εαthe␈αpolynomial␈↓ β>␈ελp␈↓ βP␈εα(␈↓ β\␈ελu␈↓ βr␈εα)␈αcan␈αbe␈αfactored␈αin␈α␈to␈↓ εL␈ελq␈↓ ε]␈εα(␈↓ εi␈ελu␈↓ ε}␈εα)␈↓ π
␈ελr␈↓ π~␈εα(␈↓ π&␈ελu␈↓ π<␈εα)␈αwhere␈↓ λ:␈εαgcd␈↓ λ}␈ελq␈↓ 	∞␈εα(␈↓ 	~␈ελu␈↓ 	0␈εα),␈↓ 	L␈ελr␈↓ 	[␈εα(␈↓ 	g␈ελu␈↓ 	⎇␈εα)␈↓ 
!␈εα=␈α
1,␈αone
␈β
:␈↓ ↓H␈εαcan␈αuse␈αthe␈αiden␈α␈tity
␈β
i␈↓ ∧M␈ε↓⊂
␈β
t␈↓ ¬\␈ε↓␈␈↓ πz␈ε↓↓
␈β∀␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓Z␈εα(␈↓ ↓f␈ελu␈↓ ↓|␈εα)␈↓ αλ␈ελy␈↓ α≤␈εα(␈↓ α(␈ελu␈↓ α>␈εα)␈↓ αP␈εαmod␈↓ β~␈ελq␈↓ β*␈εα(␈↓ β6␈ελu␈↓ βL␈εα)␈↓ βX␈ελr␈↓ βg␈εα(␈↓ βs␈ελu␈↓ ∧	␈εα)␈α
=␈↓ ∧←␈ελa␈↓ ∧q␈εα(␈↓ ∧⎇␈ελu␈↓ ¬∪␈εα)␈↓ ¬∨␈ελr␈↓ ¬.␈εα(␈↓ ¬:␈ελu␈↓ ¬P␈εα)␈↓ ¬j␈ελx␈↓ ¬⎇␈εα(␈↓ ε	␈ελu␈↓ ε∨␈εα)␈↓ ε+␈ελy␈↓ ε?␈εα(␈↓ εK␈ελu␈↓ ε`␈εα)␈↓ εr␈εαmod␈↓ π<␈ελq␈↓ πL␈εα(␈↓ πX␈ελu␈↓ πn␈εα)
␈β5␈↓ λK␈ε↓⊃
␈β@␈↓ ε ␈ε↓␈␈↓ λ=␈ε↓↓
␈β←␈↓ ∧z␈εα+␈↓ ¬&␈ελb␈↓ ¬4␈εα(␈↓ ¬@␈ελu␈↓ ¬V␈εα)␈↓ ¬b␈ελq␈↓ ¬r␈εα(␈↓ ¬}␈ελu␈↓ ε∀␈εα)␈↓ ε.␈ελx␈↓ ε@␈εα(␈↓ εL␈ελu␈↓ εb␈εα)␈↓ εn␈ελy␈↓ πα␈εα(␈↓ π∞␈ελu␈↓ π$␈εα)␈↓ π6␈εαmod␈↓ λ␈ελr␈↓ λ⊂␈εα(␈↓ λ≤␈ελu␈↓ λ1␈εα)␈↓ λc␈εαmod␈↓ 	-␈ελq␈↓ 	=␈εα(␈↓ 	I␈ελu␈↓ 	←␈εα)␈↓ 	k␈ελr␈↓ 	{␈εα(␈↓ 
π␈ελu␈↓ 
≤␈εα)␈↓ 
p(57)
␈β;␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α.␈ελa␈↓ α?␈εα(␈↓ αK␈ελu␈↓ αa␈εα)␈↓ αm␈ελr␈↓ α⎇␈εα(␈↓ β	␈ελu␈↓ β∨␈εα)␈α¬+␈↓ βY␈ελb␈↓ βh␈εα(␈↓ βt␈ελu␈↓ ∧	␈εα)␈↓ ∧∃␈ελq␈↓ ∧%␈εα(␈↓ ∧1␈ελu␈↓ ∧G␈εα)␈α
=␈α
1;␈αthis␈α
is␈α
essen␈α␈tially␈α
the␈α
Chinese␈α	remainder␈α
theorem
␈βf␈↓ ↓H␈εαapplied␈αto␈αpolynomials.
␈β
⊃␈↓ α␈εαIn␈α	the␈α	third␈α	place,␈α
to␈α	evaluate␈α	the␈α
coe}cien␈α␈ts␈α	of␈↓ πv␈ελx␈↓ λ	␈εα(␈↓ λ∃␈ελu␈↓ λ*␈εα)␈↓ λ6␈ελy␈↓ λJ␈εα(␈↓ λV␈ελu␈↓ λl␈εα)␈↓ λ}␈εαmod␈↓ 	H␈ελp␈↓ 	Z␈εα(␈↓ 	f␈ελu␈↓ 	|␈εα)␈α	when␈↓ 
l␈ελp␈↓ 
␈␈εα(␈↓ ␈ελu␈↓  ␈εα)
␈β
=␈↓ ↓H␈εαhas␈απonly␈απone␈απirreducible␈απfactor␈απo␈α␈v␈α␈er␈απthe␈απ|eld␈απof␈απcoe}cien␈α␈ts,␈απone␈απcan␈απuse␈απthe␈απiden␈α␈tity
␈β
n␈↓ ¬%␈ε↓␈␈↓ πβ␈ε↓↓␈↓ π⊃␈ε↓␈␈↓ λq␈ε↓↓
␈β∞
␈↓ α[␈ελx␈↓ αn␈εα(␈↓ αz␈ελu␈↓ β∂␈εα)␈↓ β≠␈ελy␈↓ β/␈εα(␈↓ β;␈ελu␈↓ βQ␈εα)␈↓ βc␈εαmod␈↓ ∧-␈ελp␈↓ ∧?␈εα(␈↓ ∧K␈ελu␈↓ ∧a␈εα)␈α
=␈↓ ¬3␈ελx␈↓ ¬F␈εα(␈↓ ¬R␈ελu␈↓ ¬g␈εα)␈↓ ¬y␈εαmod␈↓ εC␈ελp␈↓ εV␈εα(␈↓ εb␈ελu␈↓ εw␈εα)␈↓ π∨␈ελy␈↓ π4␈εα(␈↓ π@␈ελu␈↓ πU␈εα)␈↓ πg␈εαmod␈↓ λ1␈ελp␈↓ λD␈εα(␈↓ λP␈ελu␈↓ λe␈εα)␈↓ 	¬␈εαmod␈↓ 	O␈ελp␈↓ 	b␈εα(␈↓ 	n␈ελu␈↓ 
β␈εα).␈↓ 
p␈εα(58)
␈β∞↑␈↓ ↓H␈εαRepeated␈α
application␈α
of␈α∞(56),␈α
(57),␈α∞and␈α
(58)␈α
tends␈α∞to␈α
produce␈α
e}cien␈α␈t␈α
schemes,
␈β∂
␈↓ ↓H␈εαas␈αw␈α␈e␈αshall␈αsee.
␈β∂0␈↓ λ9␈ε¬5
␈β∂5␈↓ α␈εαFor␈απour␈αλexample␈απproblem␈απ(52),␈αλlet␈απus␈αλchoose␈↓ π+␈ελp␈↓ π=␈εα(␈↓ πI␈ελu␈↓ π←␈εα)␈α
=␈↓ λ#␈ελu␈↓ λI␈ε⊗␈␈↓ λn␈ελu␈↓ 	␈εαand␈απapply␈αλ(56);␈αλthe
␈β∂[␈↓ 
L␈ε¬4
␈β∂`␈↓ ↓H␈εαreason␈αλfor␈αλthis␈α	choice␈αλof␈↓ ∧9␈ελp␈↓ ∧K␈εα(␈↓ ∧W␈ελu␈↓ ∧m␈εα)␈αλwill␈α	appear␈αλas␈αλw␈α␈e␈α	proceed.␈α
Writing␈↓ 	≥␈ελp␈↓ 	/␈εα(␈↓ 	;␈ελu␈↓ 	Q␈εα)␈α
=␈↓ 
∃␈ελu␈↓ 
*␈εα(␈↓ 
6␈ελu␈↓ 
]␈ε⊗␈␈εα␈αβ1),
␈β⊂␈↓ ↓H␈εαrule␈α(57)␈αreduces␈αto
␈β⊂<␈↓ ∧j␈ε↓␈
␈β⊂V␈↓ βQ␈ε¬4␈↓ ¬=␈ε¬4
␈β⊂\␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓Z␈εα(␈↓ ↓f␈ελu␈↓ ↓|␈εα)␈↓ αλ␈ελy␈↓ α≤␈εα(␈↓ α(␈ελu␈↓ α>␈εα)␈↓ αP␈εαmod␈↓ β~␈ελu␈↓ β0␈εα(␈↓ β<␈ελu␈↓ βh␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈α
=␈↓ ∧x␈ε⊗␈␈εα(␈↓ ¬(␈ελu␈↓ ¬T␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈↓ ε≡␈ελx␈↓ ε=␈ελy
␈β⊂i␈↓ ε.␈ε¬0␈↓ εN␈ε¬0
␈β⊂w␈↓ ¬J␈ε↓␈␈↓ λ-␈ε↓↓␈↓ λ;␈ε↓↓
␈β⊃⊃␈↓ ¬<␈ε¬4␈↓ πL␈ε¬4␈↓ 	:␈ε¬5
␈β⊃↔␈↓ ∧z␈εα+␈↓ ¬&␈ελu␈↓ ¬X␈ελx␈↓ ¬k␈εα(␈↓ ¬w␈ελu␈↓ ε
␈εα)␈↓ ε→␈ελy␈↓ ε-␈εα(␈↓ ε9␈ελu␈↓ εO␈εα)␈↓ εa␈εαmod␈↓ π+␈εα(␈↓ π7␈ελu␈↓ πc␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈↓ λO␈εαmod␈↓ 	→␈εα(␈↓ 	%␈ελu␈↓ 	Q␈ε⊗␈␈↓ 	⎇␈ελu␈↓ 
∩␈εα).␈↓ 
p(59)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.4␈ε∞␈↓ π∧EV␈α|AL␈α␈U␈α␈A␈α}T␈α␈ION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα473
␈βα&␈↓ ↓H␈εαHere␈α
w␈α␈e␈α
hav␈α␈e␈α∞used␈α
the␈α
fact␈α∞that␈↓ ¬U␈ελx␈↓ ¬h␈εα(␈↓ ¬t␈ελu␈↓ ε	␈εα)␈↓ ε∃␈ελy␈↓ ε*␈εα(␈↓ ε6␈ελu␈↓ εK␈εα)␈↓ ε]␈εαmod␈↓ π'␈ελu␈↓ πI␈εα=␈↓ πy␈ελx␈↓ λ_␈ελy␈↓ λ8␈εα;␈α∞in␈α
general␈α
it␈α∞is␈α
a␈α
good
␈βα4␈↓ λ
␈ε¬0␈↓ λ)␈ε¬0
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαidea␈α	to␈α
choose␈↓ β*␈ελp␈↓ β<␈εα(␈↓ βH␈ελu␈↓ β↑␈εα)␈α
in␈α	such␈α	a␈α
way␈α	that␈↓ ε≠␈ελp␈↓ ε-␈εα(0)␈α
=␈α
0,␈α
so␈α
that␈α	this␈α
simpli|cation␈α	can␈α	be
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαused.␈αIf␈αw␈α␈e␈α
could␈αno␈α␈w␈α
determine␈αthe␈α
coe}cien␈α␈ts␈↓ π8␈ελw␈↓ π↑␈εα,␈↓ πs␈ελw␈↓ λ→␈εα,␈↓ λ.␈ελw␈↓ λT␈εα,␈↓ λi␈ελw␈↓ 	→␈εαof␈αthe␈α
polynomial
␈ββ
␈↓ πP␈ε¬0␈↓ λ␈ε¬1␈↓ λF␈ε¬2␈↓ 	↓␈ε¬3
␈ββ#␈↓ β<␈ε¬4␈↓ εI␈ε¬2␈↓ πB␈ε¬3
␈ββ(␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓Z␈εα(␈↓ ↓f␈ελu␈↓ ↓|␈εα)␈↓ αλ␈ελy␈↓ α≤␈εα(␈↓ α(␈ελu␈↓ α>␈εα)␈↓ αP␈εαmod␈↓ β~␈εα(␈↓ β&␈ελu␈↓ βO␈ε⊗␈␈εα␈α¬1)␈α
=␈↓ ∧N␈ελw␈↓ ∧z␈εα+␈↓ ¬#␈ελw␈↓ ¬I␈ελu␈↓ ¬d␈εα+␈↓ ε
␈ελw␈↓ ε4␈ελu␈↓ ε]␈εα+␈↓ πε␈ελw␈↓ π,␈ελu␈↓ πP␈εα,␈αour␈α
problem␈α
w␈α␈ould␈α
be␈α	solv␈α␈ed,
␈ββ5␈↓ ∧f␈ε¬0␈↓ ¬;␈ε¬1␈↓ ε%␈ε¬2␈↓ π≡␈ε¬3
␈ββS␈↓ ↓H␈εαsince
␈β∧π␈↓ α-␈ε↓␈␈↓ ¬∂␈ε↓↓
␈β∧!␈↓ α≡␈ε¬4␈↓ ∧/␈ε¬4␈↓ ε∂␈ε¬5␈↓ πg␈ε¬4␈↓ 	U␈ε¬2␈↓ 
S␈ε¬3
␈β∧'␈↓ α	␈ελu␈↓ α;␈ελx␈↓ αN␈εα(␈↓ αZ␈ελu␈↓ αo␈εα)␈↓ α{␈ελy␈↓ β∂␈εα(␈↓ β≠␈ελu␈↓ β1␈εα)␈↓ βC␈εαmod␈↓ ∧
␈εα(␈↓ ∧→␈ελu␈↓ ∧E␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈↓ ¬#␈εαmod␈↓ ¬m␈εα(␈↓ ¬y␈ελu␈↓ ε%␈ε⊗␈␈↓ εQ␈ελu␈↓ εg␈εα)␈α
=␈↓ π+␈ελw␈↓ πQ␈ελu␈↓ π⎇␈εα+␈↓ λ)␈ελw␈↓ λO␈ελu␈↓ λm␈εα+␈↓ 	→␈ελw␈↓ 	?␈ελu␈↓ 	k␈εα+␈↓ 
↔␈ελw␈↓ 
=␈ελu␈↓ 
a␈εα,
␈β∧4␈↓ πC␈ε¬0␈↓ λA␈ε¬1␈↓ 	1␈ε¬2␈↓ 
/␈ε¬3
␈β∧{␈↓ ↓H␈εαand␈αthe␈αcom␈α␈bination␈αof␈α(56)␈αand␈α(59)␈αw␈α␈ould␈αreduce␈αto
␈β¬I␈↓ ε"␈ε¬2␈↓ π≥␈ε¬3␈↓ 	 ␈ε¬4␈↓ 
4␈ε¬5
␈β¬O␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓Z␈εα(␈↓ ↓f␈ελu␈↓ ↓|␈εα)␈↓ αλ␈ελy␈↓ α≤␈εα(␈↓ α(␈ελu␈↓ α>␈εα)␈α
=␈↓ βα␈ελx␈↓ β!␈ελy␈↓ βG␈εα+␈αε(␈↓ β⎇␈ελw␈↓ ∧*␈ε⊗␈␈↓ ∧U␈ελx␈↓ ∧t␈ελy␈↓ ¬∪␈εα)␈↓ ¬∨␈ελu␈↓ ¬;␈εα+␈↓ ¬f␈ελw␈↓ ε␈ελu␈↓ ε7␈εα+␈↓ εb␈ελw␈↓ πλ␈ελu␈↓ π2␈εα+␈απ(␈↓ πi␈ελw␈↓ λ⊗␈ε⊗␈␈↓ λ@␈ελx␈↓ λ←␈ελy␈↓ λ␈␈εα)␈↓ 	␈ελu␈↓ 	5␈εα+␈↓ 	`␈ελx␈↓ 	␈␈ελy␈↓ 
≡␈ελu␈↓ 
B␈εα.␈↓ 
p␈εα(60)
␈β¬\␈↓ β∩␈ε¬0␈↓ β2␈ε¬0␈↓ ∧∃␈ε¬1␈↓ ∧e␈ε¬2␈↓ ¬¬␈ε¬3␈↓ ¬}␈ε¬2␈↓ εy␈ε¬3␈↓ λ↓␈ε¬0␈↓ λQ␈ε¬0␈↓ λp␈ε¬0␈↓ 	q␈ε¬2␈↓ 
⊂␈ε¬3
␈βε#␈↓ ↓H␈εα(This␈αform␈α␈ula␈αcan,␈αof␈αcourse,␈αbe␈αv␈α␈eri|ed␈αdirectly.)
␈βεI␈↓ 
?␈ε¬4
␈βεN␈↓ α␈εαThe␈α∞problem␈α∂remaining␈α∞to␈α∂be␈α∞solv␈α␈ed␈α∂is␈α∞to␈α∞compute␈↓ λK␈ελx␈↓ λ↑␈εα(␈↓ λj␈ελu␈↓ λ␈␈εα)␈↓ 	␈ελy␈↓ 	∨␈εα(␈↓ 	+␈ελu␈↓ 	A␈εα)␈↓ 	S␈εαmod␈↓ 
≥␈εα(␈↓ 
)␈ελu␈↓ 
W␈ε⊗␈␈εα␈α	1);
␈βεy␈↓ ↓H␈εαand␈αthis␈αsubproblem␈αis␈αin␈α␈teresting␈αin␈αitself.␈αLet␈αus␈αmomen␈α␈tarily␈αallo␈α␈w␈↓ 
⊃␈ελx␈↓ 
$␈εα(␈↓ 
0␈ελu␈↓ 
F␈εα)␈αto␈αbe
␈βπ∨␈↓ 
_␈ε¬4
␈βπ$␈↓ ↓H␈εαof␈α
degree␈α
3␈α
instead␈α
of␈α	degree␈α
2.␈αThen␈α
the␈α
coe}cien␈α␈ts␈α
of␈↓ λ$␈ελx␈↓ λ6␈εα(␈↓ λB␈ελu␈↓ λX␈εα)␈↓ λd␈ελy␈↓ λx␈εα(␈↓ 	∧␈ελu␈↓ 	~␈εα)␈↓ 	,␈εαmod␈↓ 	v␈εα(␈↓ 
α␈ελu␈↓ 
+␈ε⊗␈␈εα␈α¬1)␈α
are
␈βπP␈↓ ↓H␈εαrespectiv␈α␈ely
␈βλ#␈↓ ↓l␈ελx␈↓ α␈ελy␈↓ α2␈εα+␈↓ α↑␈ελx␈↓ α⎇␈ελy␈↓ β$␈εα+␈↓ βP␈ελx␈↓ βo␈ελy␈↓ ∧↔␈εα+␈↓ ∧C␈ελx␈↓ ∧b␈ελy␈↓ ¬↓␈εα,␈↓ ¬5␈ελx␈↓ ¬T␈ελy␈↓ ¬{␈εα+␈↓ ε'␈ελx␈↓ εF␈ελy␈↓ εn␈εα+␈↓ π~␈ελx␈↓ π9␈ελy␈↓ π`␈εα+␈↓ λ␈ελx␈↓ λ+␈ελy␈↓ λK␈εα,
␈βλ1␈↓ ↓|␈ε¬0␈↓ α≤␈ε¬0␈↓ αo␈ε¬1␈↓ β∞␈ε¬3␈↓ βa␈ε¬2␈↓ ∧␈ε¬2␈↓ ∧S␈ε¬3␈↓ ∧s␈ε¬1␈↓ ¬F␈ε¬0␈↓ ¬e␈ε¬1␈↓ ε8␈ε¬1␈↓ εW␈ε¬0␈↓ π*␈ε¬2␈↓ πJ␈ε¬3␈↓ λ≥␈ε¬3␈↓ λ<␈ε¬2
␈βλY␈↓ ∧ ␈ελx␈↓ ∧>␈ελy␈↓ ∧f␈εα+␈↓ ¬∩␈ελx␈↓ ¬1␈ελy␈↓ ¬X␈εα+␈↓ ε∧␈ελx␈↓ ε#␈ελy␈↓ εK␈εα+␈↓ εw␈ελx␈↓ π⊗␈ελy␈↓ π5␈εα,␈↓ πi␈ελx␈↓ λλ␈ελy␈↓ λ/␈εα+␈↓ λ[␈ελx␈↓ λz␈ελy␈↓ 	"␈εα+␈↓ 	N␈ελx␈↓ 	m␈ελy␈↓ 
∀␈εα+␈↓ 
@␈ελx␈↓ 
←␈ελy␈↓ 
}␈εα,
␈βλg␈↓ ∧0␈ε¬0␈↓ ∧O␈ε¬2␈↓ ¬"␈ε¬1␈↓ ¬B␈ε¬1␈↓ ε∃␈ε¬2␈↓ ε4␈ε¬0␈↓ ππ␈ε¬3␈↓ π'␈ε¬3␈↓ πz␈ε¬0␈↓ λ→␈ε¬3␈↓ λl␈ε¬1␈↓ 	␈ε¬2␈↓ 	↑␈ε¬2␈↓ 	}␈ε¬1␈↓ 
Q␈ε¬3␈↓ 
p␈ε¬0
␈β	-␈↓ ↓H␈εαand␈αthe␈αcorresponding␈αtensor␈αis
␈β	`␈↓ β⎇␈ε↓0␈↓ ¬↓␈ε↓1␈↓ ¬→␈ε↓0␈↓ ε≥␈ε↓1␈↓ ε5␈ε↓0␈↓ π9␈ε↓1␈↓ πQ␈ε↓0␈↓ λU␈ε↓1
␈β
β␈↓ ∧∃␈εα1␈α0␈α0␈α0␈↓ ¬1␈εα0␈α1␈α0␈α0␈↓ εM␈εα0␈α0␈α1␈α0␈↓ πi␈εα0␈α0␈α0␈α1
␈β
 ␈↓ β⎇␈ε↓B␈↓ ¬↓␈ε↓C␈↓ ¬→␈ε↓B␈↓ ε≥␈ε↓C␈↓ ε5␈ε↓B␈↓ π9␈ε↓C␈↓ πQ␈ε↓B␈↓ λU␈ε↓C
␈β
'␈↓ ∧∃␈εα0␈α0␈α0␈α1␈↓ ¬1␈εα1␈α0␈α0␈α0␈↓ εM␈εα0␈α1␈α0␈α0␈↓ πi␈εα0␈α0␈α1␈α0
␈β
5␈↓ λm␈εα.␈↓ 
p␈εα(61)
␈β
6␈↓ β⎇␈ε↓@␈↓ ¬↓␈ε↓A␈↓ ¬→␈ε↓@␈↓ ε≥␈ε↓A␈↓ ε5␈ε↓@␈↓ π9␈ε↓A␈↓ πQ␈ε↓@␈↓ λU␈ε↓A
␈β
K␈↓ ∧∃␈εα0␈α0␈α1␈α0␈↓ ¬1␈εα0␈α0␈α0␈α1␈↓ εM␈εα1␈α0␈α0␈α0␈↓ πi␈εα0␈α1␈α0␈α0
␈β
o␈↓ ∧∃␈εα0␈α1␈α0␈α0␈↓ ¬1␈εα0␈α0␈α1␈α0␈↓ εM␈εα0␈α0␈α0␈α1␈↓ πi␈εα1␈α0␈α0␈α0
␈β:␈↓ 
U␈εn
␈β?␈↓ ↓H␈εαIn␈απgeneral␈απwhen␈απdeg(␈↓ ∧↓␈ελx␈↓ ∧∀␈εα)␈α
=␈↓ ∧X␈εαdeg␈↓ ¬∞␈εα(␈↓ ¬~␈ελy␈↓ ¬.␈εα)␈α
=␈↓ ¬r␈ελn␈↓ ε	␈ε⊗␈␈εα␈αα1,␈αλthe␈απcoe}cien␈α␈ts␈απof␈↓ λb␈ελx␈↓ λt␈εα(␈↓ 	␈ελu␈↓ 	⊗␈εα)␈↓ 	"␈ελy␈↓ 	6␈εα(␈↓ 	B␈ελu␈↓ 	X␈εα)␈↓ 	j␈εαmod␈↓ 
4␈εα(␈↓ 
@␈ελu␈↓ 
i␈ε⊗␈␈εα␈α↓1)
␈βj␈↓ ↓H␈εαare␈αcalled␈α
the␈ε∂␈α
cy␈α␈clic␈αcon␈α␈v␈α␈olution␈εα␈α
of␈α
(␈↓ επ␈ελx␈↓ ε&␈εα,␈↓ ε6␈ελx␈↓ εU␈εα,␈↓ εe␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π∃␈εα,␈↓ π%␈ελx␈↓ πr␈εα)␈α
and␈α
(␈↓ λ↑␈ελy␈↓ λ⎇␈εα,␈↓ 	
␈ελy␈↓ 	,␈εα,␈↓ 	<␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	l␈εα,␈↓ 	|␈ελy␈↓ 
J␈εα).␈α∞The
␈βx␈↓ ε↔␈ε¬0␈↓ εF␈ε¬1␈↓ π5␈εn␈↓ πG␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λo␈ε¬0␈↓ 	≡␈ε¬1␈↓ 

␈εn␈↓ 
∨␈ε→␈␈ε¬1
␈βz␈↓ ε@␈ε↓P
␈β⊗␈↓ ↓H␈ελk␈↓ ↓Y␈εαth␈α∩coe}cien␈α␈t␈↓ β9␈ελw␈↓ βq␈εαis␈α⊃the␈α⊃bilinear␈α∩form␈↓ εl␈ελx␈↓ π
␈ελy␈↓ π<␈εαsummed␈α∩o␈α␈v␈α␈er␈α⊃all␈↓ 	Z␈ελi␈↓ 	y␈εαand␈↓ 
E␈ελj␈↓ 
f␈εαwith
␈β#␈↓ βQ␈εk␈↓ ε|␈εi␈↓ π≡␈εj
␈βA␈↓ ↓H␈ελi␈↓ ↓↑␈εα+␈↓ α
␈ελj␈↓ α$␈ε⊗⊃␈↓ αR␈ελk␈↓ αn␈εα(modulo␈↓ βz␈ελn␈↓ ∧∂␈εα).
␈βl␈↓ α␈εαThe␈α∞cy␈α␈clic␈α∂con␈α␈v␈α␈olution␈α∞of␈α∂degree␈α∞4␈α∂can␈α∞be␈α∂obtained␈α∞by␈α∂applying␈α∞rule␈α∞(57).
␈β
∩␈↓ εC␈ε¬4␈↓ 
@␈ε¬2
␈β
↔␈↓ ↓H␈εαThe␈α
|rst␈α∞step␈α∞is␈α∞to␈α
|nd␈α∞the␈α∞factors␈α∞of␈↓ ε.␈ελu␈↓ ε[␈ε⊗␈␈εα␈α	1,␈α∞namely␈α∞(␈↓ λ>␈ελu␈↓ λ]␈ε⊗␈␈εα␈α	1)(␈↓ 	4␈ελu␈↓ 	S␈εα+␈α	1)(␈↓ 
*␈ελu␈↓ 
W␈εα+␈α	1).
␈β
=␈↓ ∧O␈ε¬2␈↓ ¬L␈ε¬2
␈β
B␈↓ ↓H␈εαWe␈α
could␈α
write␈α
this␈αas␈α
(␈↓ ∧9␈ελu␈↓ ∧c␈ε⊗␈␈εα␈α¬1)(␈↓ ¬6␈ελu␈↓ ¬`␈εα+␈αε1),␈α
then␈αapply␈α
rule␈α
(57),␈αthen␈α
use␈α
(57)␈α
again
␈β
i␈↓ ∧5␈ε¬2
␈β
n␈↓ ↓H␈εαon␈α∂the␈α∂part␈α⊂modulo␈α∂(␈↓ ∧∨␈ελu␈↓ ∧M␈ε⊗␈␈εα␈α
1)␈α⊂=␈α⊂(␈↓ ¬i␈ελu␈↓ ελ␈εα+␈α1)(␈↓ εa␈ελu␈↓ π↓␈ε⊗␈␈εα␈α
1);␈α⊃but␈α∂it␈α∂is␈α⊂easier␈α∂to␈α∂generalize
␈β∞→␈↓ ↓H␈εαthe␈α
Chinese␈α
remainder␈α∞rule␈α
(57)␈α∞directly␈α
to␈α
the␈α∞case␈α
of␈α∞sev␈α␈eral␈α
relativ␈α␈ely␈α
prime
␈β∞D␈↓ ↓H␈εαfactors,␈αe.g.,
␈β∂∩␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓Z␈εα(␈↓ ↓f␈ελu␈↓ ↓|␈εα)␈↓ αλ␈ελy␈↓ α≤␈εα(␈↓ α(␈ελu␈↓ α>␈εα)␈↓ αP␈εαmod␈↓ β~␈ελq␈↓ β5␈εα(␈↓ βA␈ελu␈↓ βW␈εα)␈↓ βc␈ελq␈↓ β}␈εα(␈↓ ∧
␈ελu␈↓ ∧ ␈εα)␈↓ ∧,␈ελq␈↓ ∧G␈εα(␈↓ ∧S␈ελu␈↓ ∧i␈εα)
␈β∂≡␈↓ α~␈ε↓⊂
␈β∂ ␈↓ β'␈ε¬1␈↓ βp␈ε¬2␈↓ ∧9␈ε¬3
␈β∂)␈↓ ∧␈ε↓␈␈↓ ε4␈ε↓↓␈↓ λU␈ε↓␈␈↓ 
}␈ε↓↓
␈β∂H␈↓ ↓l␈εα=␈↓ α,␈ελa␈↓ αK␈εα(␈↓ αW␈ελu␈↓ αl␈εα)␈↓ αx␈ελq␈↓ β∀␈εα(␈↓ β ␈ελu␈↓ β6␈εα)␈↓ βB␈ελq␈↓ β]␈εα(␈↓ βi␈ελu␈↓ β␈␈εα)␈↓ ∧→␈ελx␈↓ ∧+␈εα(␈↓ ∧7␈ελu␈↓ ∧M␈εα)␈↓ ∧Y␈ελy␈↓ ∧m␈εα(␈↓ ∧y␈ελu␈↓ ¬∂␈εα)␈↓ ¬!␈εαmod␈↓ ¬k␈ελq␈↓ εε␈εα(␈↓ ε∩␈ελu␈↓ ε(␈εα)␈↓ εJ␈εα+␈↓ εv␈ελa␈↓ π∃␈εα(␈↓ π!␈ελu␈↓ π7␈εα)␈↓ πC␈ελq␈↓ π↑␈εα(␈↓ πj␈ελu␈↓ λ␈εα)␈↓ λ␈ελq␈↓ λ'␈εα(␈↓ λ3␈ελu␈↓ λI␈εα)␈↓ λc␈ελx␈↓ λv␈εα(␈↓ 	α␈ελu␈↓ 	↔␈εα)␈↓ 	#␈ελy␈↓ 	7␈εα(␈↓ 	C␈ελu␈↓ 	Y␈εα)␈↓ 	k␈εαmod␈↓ 
5␈ελq␈↓ 
Q␈εα(␈↓ 
]␈ελu␈↓ 
r␈εα)
␈β∂V␈↓ α<␈ε¬1␈↓ β¬␈ε¬2␈↓ βO␈ε¬3␈↓ ¬x␈ε¬1␈↓ ππ␈ε¬2␈↓ πP␈ε¬1␈↓ λ→␈ε¬3␈↓ 
B␈ε¬2
␈β∂b␈↓ π←␈ε↓⊃
␈β∂m␈↓ ¬(␈ε↓␈␈↓ πQ␈ε↓↓
␈β⊂
␈↓ β≥␈εα+␈↓ βI␈ελa␈↓ βh␈εα(␈↓ βt␈ελu␈↓ ∧
␈εα)␈↓ ∧⊗␈ελq␈↓ ∧1␈εα(␈↓ ∧=␈ελu␈↓ ∧S␈εα)␈↓ ∧←␈ελq␈↓ ∧z␈εα(␈↓ ¬ε␈ελu␈↓ ¬≤␈εα)␈↓ ¬6␈ελx␈↓ ¬H␈εα(␈↓ ¬T␈ελu␈↓ ¬j␈εα)␈↓ ¬v␈ελy␈↓ ε
␈εα(␈↓ ε⊗␈ελu␈↓ ε,␈εα)␈↓ ε>␈εαmod␈↓ πλ␈ελq␈↓ π#␈εα(␈↓ π/␈ελu␈↓ πE␈εα)␈↓ πw␈εαmod␈↓ λA␈ελq␈↓ λ\␈εα(␈↓ λh␈ελu␈↓ λ}␈εα)␈↓ 	
␈ελq␈↓ 	%␈εα(␈↓ 	1␈ελu␈↓ 	G␈εα)␈↓ 	S␈ελq␈↓ 	o␈εα(␈↓ 	{␈ελu␈↓ 
⊂␈εα),␈α*(62)
␈β⊂~␈↓ βY␈ε¬3␈↓ ∧#␈ε¬1␈↓ ∧l␈ε¬2␈↓ π∃␈ε¬3␈↓ λN␈ε¬1␈↓ 	↔␈ε¬2␈↓ 	`␈ε¬3
␈β⊂O␈↓ λv␈ε↓␈
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α+␈ελa␈↓ αJ␈εα(␈↓ αV␈ελu␈↓ αl␈εα)␈↓ αx␈ελq␈↓ β∪␈εα(␈↓ β∨␈ελu␈↓ β5␈εα)␈↓ βA␈ελq␈↓ β\␈εα(␈↓ βh␈ελu␈↓ β}␈εα)␈α↓+␈↓ ∧0␈ελa␈↓ ∧P␈εα(␈↓ ∧\␈ελu␈↓ ∧q␈εα)␈↓ ∧⎇␈ελq␈↓ ¬→␈εα(␈↓ ¬%␈ελu␈↓ ¬:␈εα)␈↓ ¬F␈ελq␈↓ ¬b␈εα(␈↓ ¬n␈ελu␈↓ εβ␈εα)␈αα+␈↓ ε6␈ελa␈↓ εU␈εα(␈↓ εa␈ελu␈↓ εw␈εα)␈↓ πβ␈ελq␈↓ π≡␈εα(␈↓ π*␈ελu␈↓ π@␈εα)␈↓ πL␈ελq␈↓ πg␈εα(␈↓ πs␈ελu␈↓ λ	␈εα)␈α
=␈α
1.␈↓ 	∧␈εαThe␈απlatter␈απequation
␈β⊂|␈↓ α;␈ε¬1␈↓ β¬␈ε¬2␈↓ βN␈ε¬3␈↓ ∧A␈ε¬2␈↓ ¬
␈ε¬1␈↓ ¬S␈ε¬3␈↓ εG␈ε¬3␈↓ π⊂␈ε¬1␈↓ πY␈ε¬2
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαcan␈α
be␈α∞understood␈α∞in␈α
another␈α∞way,␈α∞by␈α∞noting␈α∞that␈↓ πy␈ελa␈↓ λ_␈εα(␈↓ λ$␈ελu␈↓ λ:␈εα)/␈↓ λX␈ελq␈↓ λs␈εα(␈↓ λ␈␈ελu␈↓ 	∃␈εα)␈α	+␈↓ 	W␈ελa␈↓ 	w␈εα(␈↓ 
β␈ελu␈↓ 
_␈εα)/␈↓ 
6␈ελq␈↓ 
R␈εα(␈↓ 
↑␈ελu␈↓ 
s␈εα)␈α	+
␈β⊃(␈↓ λ
␈ε¬1␈↓ λe␈ε¬1␈↓ 	h␈ε¬2␈↓ 
C␈ε¬2
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα474␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.4
␈βα&␈↓ ↓H␈ελa␈↓ ↓g␈εα(␈↓ ↓s␈ελu␈↓ αλ␈εα)/␈↓ α&␈ελq␈↓ αB␈εα(␈↓ αN␈ελu␈↓ αd␈εα)␈α
is␈α∞the␈α∞partial␈α∞fraction␈α∞expansion␈α
of␈α∞1/␈↓ πZ␈ελq␈↓ πv␈εα(␈↓ λα␈ελu␈↓ λ↔␈εα)␈↓ λ#␈ελq␈↓ λ?␈εα(␈↓ λK␈ελu␈↓ λ`␈εα)␈↓ λl␈ελq␈↓ 	λ␈εα(␈↓ 	∀␈ελu␈↓ 	)␈εα).␈α∩When␈α∞each␈α
of
␈βα4␈↓ ↓X␈ε¬3␈↓ α3␈ε¬3␈↓ πg␈ε¬1␈↓ λ0␈ε¬2␈↓ λy␈ε¬3
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαthe␈↓ α	␈ελq␈↓ α→␈εα's␈α⊂is␈α⊂a␈α⊂linear␈α∂polynomial␈↓ ¬0␈ελu␈↓ ¬P␈ε⊗␈␈↓ ¬␈␈ελ␈↓ ε≥␈εα,␈α⊃the␈α∂generalized␈α⊂Chinese␈α⊂remainder␈α∂rule
␈βα]␈↓ ≡␈ε↓↓
␈βα←␈↓ ε⊃␈εi
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαreduces␈α
to␈α
ordinary␈α
in␈α␈terpolation␈α
as␈αin␈α
Eq.␈α
(41),␈αsince␈↓ λ␈ελf␈↓ λ≤␈εα(␈↓ λ(␈ελu␈↓ λ>␈εα)␈↓ λP␈εαmod␈↓ 	~␈εα(␈↓ 	&␈ελu␈↓ 	A␈ε⊗␈␈↓ 	k␈ελ␈↓ 
	␈εα)␈α
=␈↓ 
M␈ελf␈↓ 
↑␈εα(␈↓ 
j␈ελ␈↓ λ␈εα).
␈ββ
␈↓ 	⎇␈εi␈↓ 
⎇␈εi
␈ββ(␈↓ ↓H␈εαFrom␈α(62)␈αw␈α␈e␈αobtain
␈ββ]␈↓ ∧T␈ε↓⊂
␈ββ|␈↓ ∧|␈επ3␈↓ ¬6␈επ2␈↓ πd␈επ3␈↓ λ≡␈επ2
␈ββ␈␈↓ ∧j␈εu␈↓ ¬π␈ε¬+␈↓ ¬$␈εu␈↓ ¬A␈ε¬+␈↓ ¬↑␈εu␈↓ ¬p␈ε¬+1␈↓ πR␈εu␈↓ πo␈ε→␈␈↓ λ␈εu␈↓ λ)␈ε¬+␈↓ λF␈εu␈↓ λX␈ε→␈␈ε¬1
␈β∧α␈↓ β<␈ε¬4
␈β∧π␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓Z␈εα(␈↓ ↓f␈ελu␈↓ ↓|␈εα)␈↓ αλ␈ελy␈↓ α≤␈εα(␈↓ α(␈ελu␈↓ α>␈εα)␈↓ αP␈εαmod␈↓ β~␈εα(␈↓ β&␈ελu␈↓ βR␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈α
=␈↓ ε∨␈ελx␈↓ ε2␈εα(1)␈↓ ε\␈ελy␈↓ εp␈εα(1)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ 	π␈ελx␈↓ 	~␈εα(␈ε⊗␈␈εα1)␈↓ 	h␈ελy␈↓ 	|␈εα(␈ε⊗␈␈εα1)
␈β∧↔␈↓ ∧j␈∧∧↔∧jα↓2␈↓ πR␈∧∧↔πRα↓2
␈β∧~␈↓ ¬;␈ε¬4␈↓ λ#␈ε¬4
␈β∧0␈↓ λ↑␈ε↓⊃
␈β∧:␈↓ ¬n␈ε↓␈␈↓ λP␈ε↓↓
␈β∧S␈↓ ¬4␈επ2
␈β∧U␈↓ πp␈ε¬2␈↓ 	b␈ε¬4
␈β∧W␈↓ ¬"␈εu␈↓ ¬?␈ε→␈␈ε¬1
␈β∧Z␈↓ ∧r␈ε⊗␈␈↓ ¬|␈ελx␈↓ ε∂␈εα(␈↓ ε≠␈ελu␈↓ ε1␈εα)␈↓ ε=␈ελy␈↓ εQ␈εα(␈↓ ε]␈ελu␈↓ εr␈εα)␈↓ π∧␈εαmod␈↓ πN␈εα(␈↓ πZ␈ελu␈↓ λε␈εα+␈αλ1)␈↓ λv␈εαmod␈↓ 	@␈εα(␈↓ 	L␈ελu␈↓ 	x␈ε⊗␈␈εα␈αλ1).␈α$(63)
␈β∧j␈↓ ¬"␈∧∧j¬"αI
␈β∧m␈↓ ¬?␈ε¬2
␈β¬8␈↓ λL␈ε¬2
␈β¬=␈↓ α␈εαThe␈α	remaining␈α	problem␈α	is␈α	to␈α	evaluate␈↓ εX␈ελx␈↓ εk␈εα(␈↓ εw␈ελu␈↓ π
␈εα)␈↓ π→␈ελy␈↓ π-␈εα(␈↓ π9␈ελu␈↓ πN␈εα)␈↓ π`␈εαmod␈↓ λ*␈εα(␈↓ λ6␈ελu␈↓ λ←␈εα+␈α∧1),␈α	and␈α	it␈α	is␈α	time␈α	to
␈β¬c␈↓ λ∨␈ε¬2
␈β¬h␈↓ ↓H␈εαin␈α␈v␈α␈ok␈α␈e␈αrule␈α(58).␈αFirst␈αw␈α␈e␈αreduce␈↓ ¬O␈ελx␈↓ ¬b␈εα(␈↓ ¬n␈ελu␈↓ εβ␈εα)␈αand␈↓ ε`␈ελy␈↓ εt␈εα(␈↓ π␈ελu␈↓ π⊗␈εα)␈αmod␈α(␈↓ λ	␈ελu␈↓ λ4␈εα+␈αλ1),␈αobtaining␈↓ 
3␈ελX␈↓ 
Q␈εα(␈↓ 
]␈ελu␈↓ 
r␈εα)␈α
=
␈βε∪␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελx␈↓ ↓⎇␈ε⊗␈␈↓ α+␈ελx␈↓ αJ␈εα)␈α
+␈α
(␈↓ β~␈ελx␈↓ βC␈ε⊗␈␈↓ βq␈ελx␈↓ ∧⊂␈εα)␈↓ ∧≤␈ελu␈↓ ∧1␈εα,␈↓ ∧K␈ελY␈↓ ∧f␈εα(␈↓ ∧r␈ελu␈↓ ¬λ␈εα)␈α∂=␈α∂(␈↓ ¬b␈ελy␈↓ ε␈ε⊗␈␈↓ ε9␈ελy␈↓ εY␈εα)␈α
+␈α
(␈↓ π)␈ελy␈↓ πR␈ε⊗␈␈↓ λ␈ελy␈↓ λ ␈εα)␈↓ λ,␈ελu␈↓ λA␈εα.␈α∃Then␈α∂(58)␈α∂tells␈α∂us␈α∂to
␈βε!␈↓ ↓d␈ε¬0␈↓ α;␈ε¬2␈↓ β*␈ε¬1␈↓ ∧↓␈ε¬3␈↓ ¬s␈ε¬0␈↓ εJ␈ε¬2␈↓ π:␈ε¬1␈↓ λ⊃␈ε¬3
␈βε9␈↓ εα␈ε¬2␈↓ 
M␈ε¬2
␈βε>␈↓ ↓H␈εαevaluate␈↓ αT␈ελX␈↓ αr␈εα(␈↓ α}␈ελu␈↓ β∪␈εα)␈↓ β∨␈ελY␈↓ β:␈εα(␈↓ βF␈ελu␈↓ β\␈εα)␈α
=␈↓ ∧ ␈ελZ␈↓ ∧D␈εα+␈↓ ∧k␈ελZ␈↓ ¬␈ελu␈↓ ¬$␈εα+␈↓ ¬K␈ελZ␈↓ ¬l␈ελu␈↓ ε⊂␈εα,␈α	and␈αλto␈αλreduce␈αλthis␈αλin␈αλturn␈αλmodulo␈αλ(␈↓ 
7␈ελu␈↓ 
↑␈εα+␈αα1),
␈βεL␈↓ ∧3␈ε¬0␈↓ ∧}␈ε¬1␈↓ ¬↑␈ε¬2
␈βεj␈↓ ↓H␈εαobtaining␈α
(␈↓ αr␈ελZ␈↓ β~␈ε⊗␈␈↓ βD␈ελZ␈↓ βe␈εα)␈αε+␈↓ ∧!␈ελZ␈↓ ∧C␈ελu␈↓ ∧X␈εα.␈αThe␈α
job␈αof␈αcomputing␈↓ πL␈ελX␈↓ πj␈εα(␈↓ πv␈ελu␈↓ λ␈εα)␈↓ λ_␈ελY␈↓ λ3␈εα(␈↓ λ?␈ελu␈↓ λT␈εα)␈αis␈α
simple,␈αw␈α␈e␈αcan␈α
use
␈βεw␈↓ β¬␈ε¬0␈↓ βW␈ε¬2␈↓ ∧4␈ε¬1
␈βπ∃␈↓ ↓H␈εαrule␈α(56)␈αwith␈↓ β*␈ελp␈↓ β<␈εα(␈↓ βH␈ελu␈↓ β↑␈εα)␈α
=␈↓ ∧"␈ελu␈↓ ∧7␈εα(␈↓ ∧C␈ελu␈↓ ∧a␈εα+␈αλ1)␈αand␈αw␈α␈e␈αget
␈βπi␈↓ α+␈ελZ␈↓ αV␈εα=␈↓ β∧␈ελX␈↓ β+␈ελY␈↓ βO␈εα,␈↓ ∧β␈ελZ␈↓ ∧.␈εα=␈↓ ∧\␈ελX␈↓ ¬∧␈ελY␈↓ ¬/␈ε⊗␈␈εα␈αλ(␈↓ ¬g␈ελX␈↓ ε∞␈ε⊗␈␈↓ ε2␈ελX␈↓ εZ␈εα)(␈↓ εr␈ελY␈↓ π∃␈ε⊗␈␈↓ π9␈ελY␈↓ π]␈εα)␈αλ+␈↓ λ≥␈ελX␈↓ λD␈ελY␈↓ λg␈εα,␈↓ 	≠␈ελZ␈↓ 	G␈εα=␈↓ 	u␈ελX␈↓ 
≤␈ελY␈↓ 
@␈εα.
␈βπw␈↓ α>␈ε¬0␈↓ β≥␈ε¬0␈↓ β@␈ε¬0␈↓ ∧⊗␈ε¬1␈↓ ∧u␈ε¬0␈↓ ¬→␈ε¬0␈↓ ε␈ε¬0␈↓ εK␈ε¬1␈↓ ππ␈ε¬0␈↓ πN␈ε¬1␈↓ λ6␈ε¬1␈↓ λY␈ε¬1␈↓ 	.␈ε¬2␈↓ 
∞␈ε¬1␈↓ 
1␈ε¬1
␈βλ>␈↓ ↓H␈εα(We␈αλhav␈α␈e␈α	thereby␈αλredisco␈α␈v␈α␈ered␈αλthe␈α	trick␈αλof␈α	Eq.␈αλ4.3.3↑2␈α	in␈αλa␈α	more␈αλsystematic␈αλway.)
␈βλi␈↓ ↓H␈εαPutting␈αev␈α␈erything␈αtogether␈α
yields␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αrealization␈↓ λz␈ελA␈↓ 	∩␈εα,␈↓ 	(␈ελB␈↓ 	@␈εα,␈↓ 	W␈ελC␈↓ 
␈εαof␈αdegree-4
␈β	∀␈↓ ↓H␈εαcy␈α␈clic␈αcon␈α␈v␈α␈olution:
␈β	G␈↓ β!␈ε↓0␈↓ ∧C␈ε↓1␈↓ ¬3␈ε↓0␈↓ εU␈ε↓1␈↓ πE␈ε↓0␈↓ λg␈ε↓1
␈β	g␈↓ λ7␈εα∩
␈β	p␈↓ β9␈εα1␈α1␈α1␈α0␈α1␈↓ ¬K␈εα1␈α1␈α1␈α0␈α1␈↓ π]␈εα1␈α1␈α2␈↓ λ7␈εα2␈↓ λU␈εα0
␈β
λ␈↓ β!␈ε↓B␈↓ ∧C␈ε↓C␈↓ ¬3␈ε↓B␈↓ εU␈ε↓C␈↓ πE␈ε↓B␈↓ λg␈ε↓C
␈β
∩␈↓ βW␈εα∩␈↓ ∧1␈εα∩␈↓ ¬i␈εα∩␈↓ εC␈εα∩␈↓ π{␈εα∩␈↓ λU␈εα∩
␈β
≠␈↓ β9␈εα1␈↓ βW␈εα1␈↓ βu␈εα0␈α1␈↓ ∧1␈εα1␈↓ ¬K␈εα1␈↓ ¬i␈εα1␈↓ επ␈εα0␈α1␈↓ εC␈εα1␈↓ π]␈εα1␈↓ π{␈εα1␈↓ λ→␈εα2␈α2␈↓ λU␈εα2
␈β
≡␈↓ β!␈ε↓B␈↓ ∧C␈ε↓C␈↓ ¬3␈ε↓B␈↓ εU␈ε↓C␈↓ πE␈ε↓B␈↓ λg␈ε↓C
␈β
$␈↓ 	7␈ε¬1
␈β
(␈↓ ∧[␈εα,␈↓ εm␈εα,␈↓ 	π␈ε⊗α␈↓ 	I␈εα.␈↓ 
p␈εα(64)
␈β
3␈↓ β!␈ε↓@␈↓ ∧C␈ε↓A␈↓ ¬3␈ε↓@␈↓ εU␈ε↓A␈↓ πE␈ε↓@␈↓ λg␈ε↓A
␈β
8␈↓ 	7␈∧
8	7α∂
␈β
:␈↓ 	7␈ε¬4
␈β
=␈↓ βu␈εα∩␈↓ ∧1␈εα∩␈↓ επ␈εα∩␈↓ εC␈εα∩␈↓ λ→␈εα∩
␈β
F␈↓ β9␈εα1␈α1␈↓ βu␈εα1␈↓ ∧∪␈εα0␈↓ ∧1␈εα1␈↓ ¬K␈εα1␈α1␈↓ επ␈εα1␈↓ ε%␈εα0␈↓ εC␈εα1␈↓ π]␈εα1␈α1␈↓ λ→␈εα2␈↓ λ7␈εα2␈α0
␈β
h␈↓ βW␈εα∩␈↓ ∧∪␈εα∩␈↓ ¬i␈εα∩␈↓ ε%␈εα∩␈↓ π{␈εα∩␈↓ λ→␈εα∩␈↓ λ7␈εα∩
␈β
q␈↓ β9␈εα1␈↓ βW␈εα1␈↓ βu␈εα0␈↓ ∧∪␈εα1␈↓ ∧1␈εα1␈↓ ¬K␈εα1␈↓ ¬i␈εα1␈↓ επ␈εα0␈↓ ε%␈εα1␈↓ εC␈εα1␈↓ π]␈εα1␈↓ π{␈εα1␈↓ λ→␈εα2␈↓ λ7␈εα2␈↓ λU␈εα2
␈β;␈↓ α≤␈εα∩␈↓ ∧j␈εα∩
␈βD␈↓ ↓H␈εαHere␈↓ α≤␈εα1␈↓ α:␈εαstands␈αfor␈ε⊗␈α␈␈εα1␈αand␈↓ ∧j␈εα2␈↓ ¬λ␈εαfor␈ε⊗␈α␈␈εα2.
␈βo␈↓ α␈εαThe␈αtensor␈αfor␈αcy␈α␈clic␈αcon␈α␈v␈α␈olution␈αof␈αdegree␈↓ π9␈ελn␈↓ π[␈εαsatis|es
␈βD␈↓ ¬C␈ελa␈↓ ε∃␈εα=␈↓ εC␈ελa␈↓ π'␈εα,␈↓ 
p␈εα(65)
␈βQ␈↓ ¬S␈εi␈↓ ¬←␈ε¬,␈↓ ¬g␈εj␈↓ ¬t␈ε¬,␈↓ ¬|␈εk␈↓ εS␈εk␈↓ εb␈ε¬,␈ε→␈␈↓ ππ␈εj␈↓ π∀␈ε¬,␈↓ π≤␈εi
␈β
_␈↓ ↓H␈εαtreating␈α⊃the␈α∩subscripts␈α∩modulo␈↓ ¬M␈ελn␈↓ ¬b␈εα,␈α∀since␈↓ ε]␈ελa␈↓ π)␈εα=␈α∀1␈α⊃if␈α∩and␈α∩only␈α∩if␈↓ 	u␈ελi␈↓ 
∂␈εα+␈↓ 
?␈ελj␈↓ 
c␈ε⊗⊃␈↓ ≠␈ελk
␈β
&␈↓ εn␈εi␈↓ εz␈εj␈↓ ππ␈εk
␈β
C␈↓ ↓H␈εα(modulo␈↓ αT␈ελn␈↓ αi␈εα).␈α
Th␈α␈us␈α
if␈α(␈↓ ∧⊗␈ελ␈↓ ∧=␈εα),␈α(␈↓ ∧k␈ελ␈␈↓ ¬∩␈εα),␈α
(␈↓ ¬A␈ελ␈
␈↓ ¬h␈εα)␈α
is␈αa␈α
realization␈αof␈αthe␈α
cy␈α␈clic␈αcon␈α␈v␈α␈olution,␈αso
␈β
Q␈↓ ∧)␈εi␈↓ ∧4␈εl␈↓ ∧⎇␈εj␈↓ ¬
␈εl␈↓ ¬R␈εk␈↓ ¬`␈εl
␈β
o␈↓ ↓H␈εαis␈α(␈↓ ↓x␈ελ␈
␈↓ α∨␈εα),␈α(␈↓ αM␈ελ␈␈↓ β~␈εα),␈α(␈↓ βH␈ελ␈↓ βn␈εα);␈αin␈αparticular,␈αw␈α␈e␈αcan␈αrealize␈α(61)␈αby␈αtransforming␈α(64)␈αin␈α␈to
␈β
|␈↓ α	␈εk␈↓ α↔␈εl␈↓ α←␈ε→␈␈↓ α|␈εj␈↓ β	␈ε¬,␈↓ β⊃␈εl␈↓ βZ␈εi␈↓ βf␈εl
␈β∞%␈↓ β!␈ε↓0␈↓ ∧C␈ε↓1␈↓ ¬⎇␈ε↓0␈↓ π∨␈ε↓1␈↓ λ∂␈ε↓0␈↓ 	1␈ε↓1
␈β∞E␈↓ ∧∪␈εα∩
␈β∞N␈↓ β9␈εα1␈α1␈α2␈↓ ∧∪␈εα2␈↓ ∧1␈εα0␈↓ ε∃␈εα1␈α1␈α1␈α0␈α1␈↓ λ'␈εα1␈α1␈α1␈α0␈α1
␈β∞f␈↓ β!␈ε↓B␈↓ ∧C␈ε↓C␈↓ ¬⎇␈ε↓B␈↓ π∨␈ε↓C␈↓ λ∂␈ε↓B␈↓ 	1␈ε↓C
␈β∞p␈↓ βW␈εα∩␈↓ ∧1␈εα∩␈↓ ε3␈εα∩␈↓ εo␈εα∩␈↓ λE␈εα∩␈↓ 	∨␈εα∩
␈β∞y␈↓ β9␈εα1␈↓ βW␈εα1␈↓ βu␈εα2␈α2␈↓ ∧1␈εα2␈↓ ε∃␈εα1␈↓ ε3␈εα1␈↓ εQ␈εα0␈↓ εo␈εα1␈↓ π
␈εα1␈↓ λ'␈εα1␈↓ λE␈εα1␈↓ λc␈εα0␈α1␈↓ 	∨␈εα1
␈β∞{␈↓ β!␈ε↓B␈↓ ∧C␈ε↓C␈↓ ¬⎇␈ε↓B␈↓ π∨␈ε↓C␈↓ λ∂␈ε↓B␈↓ 	1␈ε↓C
␈β∂α␈↓ ¬∪␈ε¬1
␈β∂¬␈↓ ∧c␈ε⊗α␈↓ ¬%␈εα,␈↓ π7␈εα,␈↓ 	I␈εα.␈↓ 
p␈εα(66)
␈β∂⊃␈↓ β!␈ε↓@␈↓ ∧C␈ε↓A␈↓ ¬⎇␈ε↓@␈↓ π∨␈ε↓A␈↓ λ∂␈ε↓@␈↓ 	1␈ε↓A
␈β∂⊗␈↓ ¬∪␈∧∂⊗¬∪α∂
␈β∂_␈↓ ¬∪␈ε¬4
␈β∂≠␈↓ βu␈εα∩␈↓ εQ␈εα∩␈↓ π
␈εα∩␈↓ λc␈εα∩␈↓ 	∨␈εα∩
␈β∂$␈↓ β9␈εα1␈α1␈↓ βu␈εα2␈↓ ∧∪␈εα2␈α0␈↓ ε∃␈εα1␈α1␈↓ εQ␈εα1␈↓ εo␈εα0␈↓ π
␈εα1␈↓ λ'␈εα1␈α1␈↓ λc␈εα1␈↓ 	↓␈εα0␈↓ 	∨␈εα1
␈β∂F␈↓ βW␈εα∩␈↓ βu␈εα∩␈↓ ∧∪␈εα∩␈↓ ε3␈εα∩␈↓ π
␈εα∩␈↓ λE␈εα∩␈↓ 	↓␈εα∩
␈β∂O␈↓ β9␈εα1␈↓ βW␈εα1␈↓ βu␈εα2␈↓ ∧∪␈εα2␈↓ ∧1␈εα2␈↓ ε∃␈εα1␈↓ ε3␈εα1␈↓ εQ␈εα0␈α1␈↓ π
␈εα1␈↓ λ'␈εα1␈↓ λE␈εα1␈↓ λc␈εα0␈↓ 	↓␈εα1␈↓ 	∨␈εα1
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εαNo␈α␈w␈αall␈αof␈αthe␈αcomplicated␈αscalars␈αappear␈αin␈αthe␈↓ πL␈ελA␈↓ πp␈εαmatrix.␈αThis␈αis␈αimportan␈α␈t␈αin
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαpractice,␈αsince␈αw␈α␈e␈αoften␈αwan␈α␈t␈αto␈αcompute␈αthe␈αcon␈α␈v␈α␈olution␈αfor␈αman␈α␈y␈αvalues␈αof␈↓ β␈ελy␈↓ "␈εα,
␈β⊂Q␈↓ ∀␈ε¬0
␈β⊂o␈↓ ↓H␈ελy␈↓ ↓g␈εα,␈↓ ↓{␈ελy␈↓ α≠␈εα,␈↓ α/␈ελy␈↓ αX␈εαbut␈α	for␈α
a␈α
|x␈α␈ed␈α	choice␈α
of␈↓ ¬N␈ελx␈↓ ¬m␈εα,␈↓ εα␈ελx␈↓ ε ␈εα,␈↓ ε5␈ελx␈↓ εT␈εα,␈↓ εh␈ελx␈↓ ππ␈εα.␈αIn␈α	such␈α
a␈α
situation,␈α
the␈α	arithmetic
␈β⊂|␈↓ ↓Y␈ε¬1␈↓ α␈ε¬2␈↓ α@␈ε¬3␈↓ ¬←␈ε¬0␈↓ ε∩␈ε¬1␈↓ εE␈ε¬2␈↓ εx␈ε¬3
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαon␈↓ ↓x␈ελx␈↓ α␈εα's␈αcan␈αbe␈αdone␈α
once␈αand␈αfor␈αall,␈αand␈α
w␈α␈e␈αneed␈αnot␈αcoun␈α␈t␈αit.␈αTh␈α␈us␈α(66)␈αleads␈α
to
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.4␈ε∞␈↓ π∧EV␈α|AL␈α␈U␈α␈A␈α}T␈α␈ION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα475
␈βα(␈↓ ↓H␈εαthe␈α
follo␈α␈wing␈α
scheme␈α
for␈α
evaluating␈α
the␈α
cy␈α␈clic␈α
con␈α␈v␈α␈olution␈↓ λn␈ελw␈↓ 	∃␈εα,␈↓ 	,␈ελw␈↓ 	R␈εα,␈↓ 	j␈ελw␈↓ 
⊂␈εα,␈↓ 
'␈ελw␈↓ 
Z␈εαwhen
␈βα5␈↓ 	ε␈ε¬0␈↓ 	D␈ε¬1␈↓ 
↓␈ε¬2␈↓ 
?␈ε¬3
␈βαS␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓g␈εα,␈↓ ↓⎇␈ελx␈↓ α≤␈εα,␈↓ α2␈ελx␈↓ αQ␈εα,␈↓ αg␈ελx␈↓ β∩␈εαare␈αkno␈α␈wn␈αin␈αadvance:
␈βαa␈↓ ↓X␈ε¬0␈↓ α
␈ε¬1␈↓ αB␈ε¬2␈↓ αw␈ε¬3
␈ββ#␈↓ αW␈ελs␈↓ α}␈εα=␈↓ β/␈ελy␈↓ βX␈εα+␈↓ ∧¬␈ελy␈↓ ∧$␈εα,␈↓ ∧X␈ελs␈↓ ∧␈␈εα=␈↓ ¬0␈ελy␈↓ ¬Y␈εα+␈↓ εε␈ελy␈↓ ε%␈εα,␈↓ εY␈ελs␈↓ π␈εα=␈↓ π1␈ελs␈↓ πT␈εα+␈↓ λα␈ελs␈↓ λ≤␈εα,␈↓ λP␈ελs␈↓ λw␈εα=␈↓ 	(␈ελs␈↓ 	K␈ε⊗␈␈↓ 	x␈ελs␈↓ 
∪␈εα,
␈ββ0␈↓ αc␈ε¬1␈↓ β@␈ε¬0␈↓ ∧⊗␈ε¬2␈↓ ∧d␈ε¬2␈↓ ¬A␈ε¬1␈↓ ε↔␈ε¬3␈↓ εe␈ε¬3␈↓ π=␈ε¬1␈↓ λ∞␈ε¬2␈↓ λ\␈ε¬4␈↓ 	4␈ε¬1␈↓ 
∧␈ε¬2
␈ββY␈↓ βF␈ελs␈↓ βp␈εα=␈↓ ∧$␈ελy␈↓ ∧N␈ε⊗␈␈↓ ∧|␈ελy␈↓ ¬≠␈εα,␈↓ ¬O␈ελs␈↓ ¬z␈εα=␈↓ ε-␈ελy␈↓ εW␈ε⊗␈␈↓ π¬␈ελy␈↓ π%␈εα,␈↓ πY␈ελs␈↓ λβ␈εα=␈↓ λ7␈ελs␈↓ λ\␈ε⊗␈␈↓ 	
␈ελs␈↓ 	$␈εα;
␈ββf␈↓ βR␈ε¬5␈↓ ∧5␈ε¬0␈↓ ¬
␈ε¬2␈↓ ¬[␈ε¬6␈↓ ε>␈ε¬3␈↓ π⊗␈ε¬1␈↓ πe␈ε¬7␈↓ λC␈ε¬5␈↓ 	⊗␈ε¬6
␈β∧ε␈↓ α]␈εx␈↓ αw␈ε¬+␈↓ β∀␈εx␈↓ β-␈ε¬+␈↓ βJ␈εx␈↓ βc␈ε¬+␈↓ ∧␈εx␈↓ ¬o␈εx␈↓ ε	␈ε→␈␈↓ ε%␈εx␈↓ ε?␈ε¬+␈↓ ε\␈εx␈↓ εu␈ε→␈␈↓ π∩␈εx␈↓ 	↓␈εx␈↓ 	~␈ε¬+␈↓ 	7␈εx␈↓ 	Q␈ε→␈␈↓ 	n␈εx␈↓ 
π␈ε→␈␈↓ 
$␈εx
␈β∧∂␈↓ ↓t␈ελm␈↓ α+␈εα=␈↓ αl␈επ0␈↓ β"␈επ1␈↓ βX␈επ2␈↓ ∧∞␈επ3␈↓ ∧&␈ε⊗↓␈↓ ∧8␈ελs␈↓ ∧R␈εα,␈↓ ¬ε␈ελm␈↓ ¬=␈εα=␈↓ ¬⎇␈επ0␈↓ ε4␈επ1␈↓ εj␈επ2␈↓ π ␈επ3␈↓ π8␈ε⊗↓␈↓ πJ␈ελs␈↓ πd␈εα,␈↓ λ_␈ελm␈↓ λO␈εα=␈↓ 	∂␈επ0␈↓ 	F␈επ1␈↓ 	|␈επ2␈↓ 
2␈επ3␈↓ 
I␈ε⊗↓␈↓ 
[␈ελs␈↓ 
v␈εα,
␈β∧≤␈↓ α∪␈ε¬1␈↓ ∧D␈ε¬3␈↓ ¬%␈ε¬2␈↓ πV␈ε¬4␈↓ λ7␈ε¬3␈↓ 
g␈ε¬5
␈β∧∨␈↓ α]␈∧∧∨α]α↓=␈↓ ¬o␈∧∧∨¬oα↓=␈↓ 	↓␈∧∧∨	↓α↓=
␈β∧!␈↓ β4␈ε¬4␈↓ εF␈ε¬4␈↓ 	X␈ε¬2
␈β∧<␈↓ ∧I␈ε→␈␈↓ ∧f␈εx␈↓ ∧␈␈ε¬+␈↓ ¬≤␈εx␈↓ ¬6␈ε¬+␈↓ ¬S␈εx␈↓ ¬l␈ε→␈␈↓ ε	␈εx
␈β∧>␈↓ λ	␈εx␈↓ λ#␈ε→␈␈↓ λ?␈εx
␈β∧E␈↓ βT␈ελm␈↓ ∧⊃␈εα=␈↓ ∧t␈επ0␈↓ ¬+␈επ1␈↓ ¬a␈επ2␈↓ ε↔␈επ3␈↓ ε1␈ε⊗↓␈↓ εE␈ελs␈↓ ε`␈εα,␈↓ π∀␈ελm␈↓ πQ␈εα=␈↓ λg␈ε⊗↓␈↓ λ|␈ελs␈↓ 	⊗␈εα;
␈β∧F␈↓ λ↔␈επ3␈↓ λN␈επ1
␈β∧R␈↓ βr␈ε¬4␈↓ εQ␈ε¬6␈↓ π2␈ε¬5␈↓ 	λ␈ε¬7
␈β∧U␈↓ ∧I␈∧∧U∧Iα↓Z␈↓ λ	␈∧∧Uλ	αP
␈β∧W␈↓ ¬/␈ε¬2␈↓ λ*␈ε¬2
␈β∧{␈↓ α"␈ελt␈↓ αF␈εα=␈↓ αu␈ελm␈↓ β+␈εα+␈↓ βW␈ελm␈↓ ∧∧␈εα,␈↓ ∧8␈ελt␈↓ ∧]␈εα=␈↓ ¬␈ελm␈↓ ¬B␈εα+␈↓ ¬n␈ελm␈↓ ε≠␈εα,␈↓ εO␈ελt␈↓ εs␈εα=␈↓ π#␈ελm␈↓ πX␈ε⊗␈␈↓ λ¬␈ελm␈↓ λ2␈εα,␈↓ λf␈ελt␈↓ 	
␈εα=␈↓ 	9␈ελm␈↓ 	o␈ε⊗␈␈↓ 
≠␈ελm␈↓ 
H␈εα;
␈β¬λ␈↓ α-␈ε¬1␈↓ β∀␈ε¬1␈↓ βv␈ε¬2␈↓ ∧C␈ε¬2␈↓ ¬+␈ε¬3␈↓ ε
␈ε¬5␈↓ εZ␈ε¬3␈↓ πA␈ε¬1␈↓ λ#␈ε¬2␈↓ λp␈ε¬4␈↓ 	X␈ε¬4␈↓ 
:␈ε¬5
␈β¬1␈↓ αP␈ελw␈↓ βα␈εα=␈↓ β3␈ελt␈↓ βU␈εα+␈↓ ∧α␈ελt␈↓ ∧≠␈εα,␈↓ ∧O␈ελw␈↓ ¬α␈εα=␈↓ ¬3␈ελt␈↓ ¬U␈εα+␈↓ εα␈ελt␈↓ ε≠␈εα,␈↓ εO␈ελw␈↓ πα␈εα=␈↓ π2␈ελt␈↓ πU␈ε⊗␈␈↓ λα␈ελt␈↓ λ≠␈εα,␈↓ λO␈ελw␈↓ 	↓␈εα=␈↓ 	2␈ελt␈↓ 	T␈ε⊗␈␈↓ 
↓␈ελt␈↓ 
~␈εα.␈↓ 
p␈εα(67)
␈β¬>␈↓ αh␈ε¬0␈↓ β>␈ε¬1␈↓ ∧
␈ε¬2␈↓ ∧g␈ε¬1␈↓ ¬=␈ε¬3␈↓ ε
␈ε¬4␈↓ εg␈ε¬2␈↓ π=␈ε¬1␈↓ λ␈ε¬2␈↓ λf␈ε¬3␈↓ 	=␈ε¬3␈↓ 
␈ε¬4
␈βελ␈↓ ↓H␈εαThere␈αare␈α
5␈αm␈α␈ultiplications␈α
and␈α15␈α
additions,␈α
while␈αthe␈α
de|nition␈αof␈α
cy␈α␈clic␈αcon-
␈βε3␈↓ ↓H␈εαv␈α␈olution␈α
in␈α␈v␈α␈olv␈α␈es␈α
16␈α∞m␈α␈ultiplications␈α
and␈α
12␈α∞additions.␈α⊂We␈α
will␈α∞pro␈α␈v␈α␈e␈α
later␈α
that
␈βε↑␈↓ ↓H␈εα5␈αm␈α␈ultiplications␈αare␈αnecessary.
␈βπ
␈↓ α␈εαGoing␈αback␈αto␈αour␈αoriginal␈αm␈α␈ultiplication␈αproblem␈α(52),␈αusing␈α(60),␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈βπ5␈↓ ↓H␈εαderiv␈α␈ed␈αthe␈αrealization
␈βπc␈↓ λ-␈ε↓0␈↓ 
␈ε↓1
␈βλε␈↓ λE␈εα1␈α0␈α0␈α0␈α0␈α0␈α0
␈βλ∞␈↓ ¬←␈ε↓0␈↓ π=␈ε↓1
␈βλ$␈↓ αG␈ε↓0␈↓ ∧%␈ε↓1␈↓ λ-␈ε↓B␈↓ 
␈ε↓C
␈βλ(␈↓ λc␈εα∩␈↓ 	∨␈εα∩␈↓ 	y␈εα∩
␈βλ1␈↓ ¬w␈εα1␈α0␈α1␈α1␈α1␈α0␈α1␈↓ λE␈εα0␈↓ λc␈εα1␈↓ 	↓␈εα1␈↓ 	∨␈εα1␈↓ 	=␈εα0␈α1␈↓ 	y␈εα1
␈βλ:␈↓ λ-␈ε↓B␈↓ 
␈ε↓C
␈βλC␈↓ βu␈εα∩
␈βλL␈↓ α←␈εα4␈α0␈α1␈α1␈α2␈↓ βu␈εα2␈↓ ∧∪␈εα0
␈βλO␈↓ ¬←␈ε↓B␈↓ π=␈ε↓C␈↓ λ-␈ε↓B␈↓ 
␈ε↓C
␈βλT␈↓ εQ␈εα∩␈↓ π
␈εα∩␈↓ 	=␈εα∩␈↓ 	y␈εα∩
␈βλ]␈↓ ¬w␈εα0␈α0␈α1␈↓ εQ␈εα1␈↓ εo␈εα0␈↓ π
␈εα1␈↓ π+␈εα1␈↓ λE␈εα0␈α0␈α1␈α1␈↓ 	=␈εα1␈↓ 	[␈εα0␈↓ 	y␈εα1
␈βλe␈↓ αG␈ε↓@␈↓ ∧%␈ε↓A␈↓ ¬←␈ε↓B␈↓ π=␈ε↓C␈↓ λ-␈ε↓B␈↓ 
␈ε↓C
␈βλk␈↓ ∧u␈ε¬1
␈βλn␈↓ β9␈εα∩␈↓ ∧∪␈εα∩
␈βλo␈↓ ∧E␈ε⊗α␈↓ ¬π␈εα,␈↓ πU␈εα,␈↓ 
#␈εα.␈↓ 
p␈εα(68)
␈βλw␈↓ α←␈εα0␈α0␈α1␈↓ β9␈εα1␈↓ βW␈εα2␈α2␈↓ ∧∪␈εα2
␈βλz␈↓ ¬←␈ε↓@␈↓ π=␈ε↓A␈↓ λ-␈ε↓B␈↓ 
␈ε↓C
␈βλ␈␈↓ ∧u␈∧λ␈∧uα∂␈↓ εo␈εα∩␈↓ π+␈εα∩␈↓ 	∨␈εα∩␈↓ 	[␈εα∩
␈β	α␈↓ ∧u␈ε¬4
␈β	λ␈↓ ¬w␈εα0␈α0␈α1␈α1␈↓ εo␈εα1␈↓ π
␈εα0␈↓ π+␈εα1␈↓ λE␈εα0␈α0␈α1␈↓ 	∨␈εα1␈↓ 	=␈εα0␈↓ 	[␈εα1␈↓ 	y␈εα1
␈β	⊂␈↓ λ-␈ε↓B␈↓ 
␈ε↓C
␈β	→␈↓ βW␈εα∩
␈β	"␈↓ α←␈εα0␈α4␈α1␈α1␈↓ βW␈εα2␈↓ βu␈εα2␈α0
␈β	&␈↓ λ-␈ε↓@␈↓ 
␈ε↓A
␈β	*␈↓ εQ␈εα∩␈↓ π+␈εα∩␈↓ λE␈εα∩
␈β	3␈↓ ¬w␈εα0␈α1␈α1␈↓ εQ␈εα1␈↓ εo␈εα0␈α1␈↓ π+␈εα1␈↓ λE␈εα1␈↓ λc␈εα0␈α1␈α1␈α1␈α0␈α1
␈β	↑␈↓ λE␈εα0␈α1␈α0␈α0␈α0␈α0␈α0
␈β
0␈↓ ↓H␈εαThis␈αscheme␈αuses␈αone␈αmore␈αthan␈αthe␈αminim␈α␈um␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αchain␈αm␈α␈ultiplications,
␈β
[␈↓ ↓H␈εαbut␈αit␈αrequires␈αfar␈αfew␈α␈er␈αparameter␈αm␈α␈ultiplications␈αthan␈α(55).␈αOf␈αcourse,␈αit␈αm␈α␈ust
␈βε␈↓ ↓H␈εαbe␈αadmitted␈αthat␈αthe␈αscheme␈α
is␈αstill␈αrather␈αcomplicated:␈α
If␈αour␈αgoal␈αis␈αsimply␈αto
␈β1␈↓ ↓H␈εαcompute␈α∞the␈α∞coe}cien␈α␈ts␈↓ ∧S␈ελz␈↓ ∧m␈εα,␈↓ ¬ε␈ελz␈↓ ¬ ␈εα,␈↓ ¬8␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬h␈εα,␈↓ ε↓␈ελz␈↓ ε)␈εαof␈α∞the␈α∞product␈α∞of␈α∞t␈α␈w␈α␈o␈α∞giv␈α␈en␈α∞polynomials
␈β?␈↓ ∧←␈ε¬0␈↓ ¬∩␈ε¬1␈↓ ε
␈ε¬5
␈βW␈↓ βD␈ε¬2␈↓ ¬\␈ε¬2␈↓ εS␈ε¬3
␈β]␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελx␈↓ ↓{␈εα+␈↓ α'␈ελx␈↓ αF␈ελu␈↓ αc␈εα+␈↓ β∂␈ελx␈↓ β.␈ελu␈↓ βR␈εα)␈↓ β↑␈εα(␈↓ βj␈ελy␈↓ ∧∩␈εα+␈↓ ∧>␈ελy␈↓ ∧]␈ελu␈↓ ∧{␈εα+␈↓ ¬'␈ελy␈↓ ¬F␈ελu␈↓ ¬r␈εα+␈↓ ε≡␈ελy␈↓ ε>␈ελu␈↓ εb␈εα)␈↓ εn␈εα,␈αas␈αa␈αone-shot␈αproblem,␈αour␈αbest␈αbet
␈βj␈↓ ↓d␈ε¬0␈↓ α7␈ε¬1␈↓ β ␈ε¬2␈↓ β{␈ε¬0␈↓ ∧O␈ε¬1␈↓ ¬8␈ε¬2␈↓ ε/␈ε¬3
␈βλ␈↓ ↓H␈εαis␈αstill␈α
to␈αuse␈αthe␈αobvious␈αmethod␈αthat␈αdoes␈α12␈αm␈α␈ultiplications␈αand␈α6␈α
additions←
␈β3␈↓ ↓H␈εαunless␈α∞(say)␈α∂the␈↓ βO␈ελx␈↓ βb␈εα's␈α∞and␈↓ ∧Q␈ελy␈↓ ∧e␈εα's␈α∞are␈α∂matrices.␈α∪Note␈α∞that␈α∂if␈α∞the␈↓ λ{␈ελx␈↓ 	∞␈εα's␈α∞are␈α∂|x␈α␈ed␈α∞as␈α∞the
␈β↑␈↓ ↓H␈ελy␈↓ ↓\␈εα's␈αvary,␈αthe␈αnew␈αscheme␈αdoes␈αthe␈αevaluation␈αwith␈α7␈αm␈α␈ultiplications␈αand␈α17␈αad-
␈β
	␈↓ ↓H␈εαditions.␈αEv␈α␈en␈α
though␈α(68)␈αisn't␈α
especially␈αuseful␈αas␈αit␈α
stands,␈αour␈αderivation␈αhas
␈β
5␈↓ ↓H␈εαillustrated␈αimportan␈α␈t␈αtechniques␈αthat␈αare␈αuseful␈αin␈αa␈αvariety␈αof␈αother␈αsituations.
␈β
`␈↓ ↓H␈εαFor␈α
example,␈α
Winograd␈αhas␈α
used␈α
this␈α
approach␈α
to␈α
compute␈α
Fourier␈αtransforms
␈β∞␈↓ ↓H␈εαusing␈αfew␈α␈er␈αm␈α␈ultiplications␈αthan␈αan␈α␈y␈αother␈αkno␈α␈wn␈αscheme␈α(see␈αex␈α␈ercise␈α53).
␈β∞6␈↓ α␈εαLet␈α
us␈α
conclude␈α
this␈αsection␈α
by␈α
determining␈α
the␈α
exact␈α
rank␈α
of␈α
the␈↓ 

␈ελn␈↓ 
)␈ε⊗α␈↓ 
R␈ελn␈↓ 
m␈ε⊗α␈↓ ↔␈ελn
␈β∞b␈↓ ↓H␈εαtensor␈α
that␈α
corresponds␈α
to␈α
the␈α
m␈α␈ultiplication␈α
of␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α	polynomials␈α
modulo␈α
a␈α
third,
␈β∂3␈↓ ∧7␈εn␈↓ ∧I␈ε→␈␈ε¬1
␈β∂9␈↓ ↓H␈ελz␈↓ ↓j␈εα+␈↓ α⊗␈ελz␈↓ α0␈ελu␈↓ αN␈εα+␈↓ αz␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ β,␈εα+␈↓ βX␈ελz␈↓ ∧!␈ελu
␈β∂F␈↓ ↓T␈ε¬0␈↓ α"␈ε¬1␈↓ βd␈εn␈↓ βv␈ε→␈␈ε¬1
␈β∂i␈↓ ¬⊗␈εn␈↓ ¬(␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λi␈εn␈↓ λ{␈ε→␈␈ε¬1
␈β∂o␈↓ ↓←␈εα=␈α
(␈↓ α→␈ελx␈↓ α@␈εα+␈↓ αl␈ελx␈↓ β␈ελu␈↓ β)␈εα+␈↓ βU␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧π␈εα+␈↓ ∧3␈ελx␈↓ ¬␈ελu␈↓ ¬S␈εα)(␈↓ ¬k␈ελy␈↓ ε∩␈εα+␈↓ ε>␈ελy␈↓ ε↑␈ελu␈↓ ε|␈εα+␈↓ π(␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πZ␈εα+␈↓ λε␈ελy␈↓ λT␈ελu␈↓ 	&␈εα)␈↓ 	8␈εαmod␈↓ 
α␈ελp␈↓ 
∃␈εα(␈↓ 
!␈ελu␈↓ 
6␈εα).␈α$(69)
␈β∂|␈↓ α*␈ε¬0␈↓ α⎇␈ε¬1␈↓ ∧C␈εn␈↓ ∧U␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ¬|␈ε¬0␈↓ εO␈ε¬1␈↓ λ↔␈εn␈↓ λ(␈ε→␈␈ε¬1
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαHere␈↓ α≠␈ελp␈↓ α-␈εα(␈↓ α9␈ελu␈↓ αO␈εα)␈αstands␈αfor␈αan␈α␈y␈αgiv␈α␈en␈αmonic␈αpolynomial␈αof␈αdegree␈↓ λi␈ελn␈↓ λ␈␈εα;␈αin␈αparticular,␈↓ 
l␈ελp␈↓ 
␈␈εα(␈↓ ␈ελu␈↓  ␈εα)
␈β⊂l␈↓ αt␈εn
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαmigh␈α␈t␈αbe␈↓ α↑␈ελu␈↓ β
␈ε⊗␈␈εα␈αλ1,␈αso␈αone␈αof␈αthe␈αresults␈αof␈αour␈αin␈α␈v␈α␈estigation␈αwill␈αbe␈αto␈αdeduce␈αthe
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαrank␈α∂of␈α∂the␈α⊂tensor␈α∂corresponding␈α∂to␈α⊂cy␈α␈clic␈α∂con␈α␈v␈α␈olution␈α∂of␈α⊂degree␈↓ 	b␈ελn␈↓ 	x␈εα.␈α⊗It␈α∂will␈α∂be
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα476␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.4
␈βα&␈↓ ↓H␈εαcon␈α␈v␈α␈enien␈α␈t␈αto␈αwrite␈↓ ∧β␈ελp␈↓ ∧∃␈εα(␈↓ ∧!␈ελu␈↓ ∧7␈εα)␈αin␈αthe␈αform
␈βαh␈↓ ∧{␈εn␈↓ ε%␈εn␈↓ ε7␈ε→␈␈ε¬1
␈βαn␈↓ βn␈ελp␈↓ ∧␈εα(␈↓ ∧␈ελu␈↓ ∧"␈εα)␈α
=␈↓ ∧f␈ελu␈↓ ¬∃␈ε⊗␈␈↓ ¬A␈ελp␈↓ ε∂␈ελu␈↓ εj␈ε⊗␈␈↓ π⊗␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πH␈ε⊗␈␈↓ πt␈ελp␈↓ λ∪␈ελu␈↓ λ1␈ε⊗␈␈↓ λ]␈ελp␈↓ λ⎇␈εα,␈↓ 
p␈εα(70)
␈βα|␈↓ ¬R␈εn␈↓ ¬d␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λ¬␈ε¬1␈↓ λn␈ε¬0
␈ββ↔␈↓ ε⊗␈ε↓␈␈↓ πd␈ε↓↓
␈ββ1␈↓ αW␈εn
␈ββ6␈↓ ↓H␈εαso␈αthat␈↓ αB␈ελu␈↓ αs␈ε⊗⊃␈↓ β!␈ελp␈↓ βI␈εα+␈↓ βu␈ελp␈↓ ∧∀␈ελu␈↓ ∧2␈εα+␈↓ ∧↑␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬⊂␈εα+␈↓ ¬<␈ελp␈↓ ε$␈εαmodulo␈↓ π$␈ελp␈↓ π6␈εα(␈↓ πB␈ελu␈↓ πX␈εα)␈↓ πr␈εα.
␈ββD␈↓ β2␈ε¬0␈↓ ∧ε␈ε¬1␈↓ ¬M␈εn␈↓ ¬←␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈ββ]␈↓ πS␈εk␈↓ λ-␈εi␈↓ λ9␈ε¬+␈↓ λU␈εj
␈ββb␈↓ α␈εαThe␈αtensor␈αelemen␈α␈t␈↓ ∧G␈ελa␈↓ ¬␈εαis␈αthe␈αcoe}cien␈α␈t␈αof␈↓ π=␈ελu␈↓ πn␈εαin␈↓ λ↔␈ελu␈↓ λi␈εαmod␈↓ 	3␈ελp␈↓ 	E␈εα(␈↓ 	Q␈ελu␈↓ 	g␈εα);␈αand␈αthis␈αis
␈ββo␈↓ ∧X␈εi␈↓ ∧c␈εj␈↓ ∧p␈εk
␈β∧λ␈↓ π1␈εj
␈β∧
␈↓ ↓H␈εαthe␈αelemen␈α␈t␈αin␈αro␈α␈w␈↓ βz␈ελi␈↓ ∧λ␈εα,␈αcolumn␈↓ ¬≤␈ελk␈↓ ¬9␈εαof␈αthe␈αmatrix␈↓ π↔␈ελP␈↓ π>␈εα,␈αwhere
␈β∧3␈↓ ¬_␈ε↓0␈↓ λ⊗␈ε↓1
␈β∧S␈↓ ¬6␈εα0␈↓ ¬z␈εα1␈↓ ε=␈εα0␈↓ εz␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πf␈εα0
␈β∧t␈↓ ¬_␈ε↓B␈↓ λ⊗␈ε↓C
␈β¬¬␈↓ ¬6␈εα0␈↓ ¬z␈εα0␈↓ ε=␈εα1␈↓ εz␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πf␈εα0
␈β¬
␈↓ ¬_␈ε↓B␈↓ λ⊗␈ε↓C
␈β¬∨␈↓ ¬_␈ε↓B␈↓ λ⊗␈ε↓C
␈β¬"␈↓ ¬:␈εα.␈↓ ¬}␈εα.␈↓ εA␈εα.␈↓ πj␈εα.
␈β¬1␈↓ ¬:␈εα.␈↓ ¬}␈εα.␈↓ εA␈εα.␈↓ πj␈εα.
␈β¬4␈↓ ∧F␈ελP␈↓ ∧j␈εα=␈↓ 
p␈εα(71)
␈β¬5␈↓ ¬_␈ε↓B␈↓ λ⊗␈ε↓C
␈β¬?␈↓ ¬:␈εα.␈↓ ¬}␈εα.␈↓ εA␈εα.␈↓ πj␈εα.
␈β¬J␈↓ ¬_␈ε↓B␈↓ λ⊗␈ε↓C
␈β¬`␈↓ ¬_␈ε↓@␈↓ λ⊗␈ε↓A
␈β¬j␈↓ ¬6␈εα0␈↓ ¬z␈εα0␈↓ ε=␈εα0␈↓ εz␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πf␈εα1
␈βε∃␈↓ ¬0␈ελp␈↓ ¬s␈ελp␈↓ ε7␈ελp␈↓ εz␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πH␈ελp
␈βε#␈↓ ¬A␈ε¬0␈↓ ε∧␈ε¬1␈↓ εH␈ε¬2␈↓ πY␈εn␈↓ πk␈ε→␈␈ε¬1
␈βε]␈↓ ↓H␈εαis␈α	the␈α
so-called␈α	\companion␈α	matrix"␈α
of␈↓ ε&␈ελp␈↓ ε9␈εα(␈↓ εE␈ελu␈↓ εZ␈εα).␈α∪(The␈α
indices␈↓ λJ␈ελi␈↓ λX␈εα,␈↓ λl␈ελj␈↓ λ|␈εα,␈↓ 	⊂␈ελk␈↓ 	,␈εαin␈α	our␈α	discussion
␈βπ	␈↓ ↓H␈εαwill␈αrun␈α
from␈α
0␈α
to␈↓ βr␈ελn␈↓ ∧⊂␈ε⊗␈␈εα␈α	1␈αinstead␈α
of␈α
from␈α
1␈α
to␈↓ π&␈ελn␈↓ π;␈εα.)␈α≠It␈α
is␈α
con␈α␈v␈α␈enien␈α␈t␈α
to␈αtranspose
␈βπ4␈↓ ↓H␈εαthe␈α
tensor,␈α∞for␈α∞if␈↓ β\␈ελb␈↓ ∧≥␈εα=␈↓ ∧N␈ελa␈↓ ¬∪␈εαthe␈α∞individual␈α
lay␈α␈ers␈α∞of␈α
(␈↓ λ≡␈ελb␈↓ λS␈εα)␈α
for␈↓ 	&␈ελk␈↓ 	D␈εα=␈α
0,␈α∞1,␈α∞2,␈↓ 
r␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ "␈εα,
␈βπA␈↓ βi␈εi␈↓ βu␈εj␈↓ ∧α␈εk␈↓ ∧↑␈εi␈↓ ∧j␈εk␈↓ ∧x␈εj␈↓ λ+␈εi␈↓ λ7␈εj␈↓ λD␈εk
␈βπ←␈↓ ↓H␈ελn␈↓ ↓e␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈αare␈αsimply␈αgiv␈α␈en␈αby␈αthe␈αmatrices
␈βλ!␈↓ ε∂␈ε¬2␈↓ πq␈εn␈↓ λβ␈ε→␈␈ε¬1
␈βλ'␈↓ ∧<␈ελI␈↓ ¬∀␈ελP␈↓ ¬v␈ελP␈↓ εf␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πX␈ελP␈↓ λ.␈εα.␈↓ 
p␈εα(72)
␈βλo␈↓ α␈εαThe␈α∪|rst␈α∪ro␈α␈ws␈α∪of␈α∀the␈α∪matrices␈α∪in␈α∪(72)␈α∪are␈α∪respectiv␈α␈ely␈α∪the␈α∪unit␈α∪v␈α␈ectors
␈β	~␈↓ ↓H␈εα(1,␈αε0,␈αε0,␈↓ α:␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ αj␈εα,␈αε0),␈α∩(0,␈αε1,␈αε0,␈↓ ∧&␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧V␈εα,␈αε0),␈α∪(0,␈αε0,␈αε1,␈↓ ε∪␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εC␈εα,␈αε0),␈↓ π∞␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π>␈εα,␈α∪(0,␈αε0,␈αε0,␈↓ λM␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ⎇␈εα,␈αε1),␈α∪hence␈α⊃a␈α⊃linear
␈β	*␈↓ ∧λ␈ε↓P
␈β	@␈↓ ¬W␈εk
␈β	F␈↓ ↓H␈εαcom␈α␈bination␈αλsuch␈α	as␈↓ ¬≥␈ελc␈↓ ¬=␈ελP␈↓ ¬n␈εαwill␈α	be␈αλthe␈α	zero␈α	matrix␈αλif␈α	and␈αλonly␈α	if␈α	the␈↓ 
X␈ελc␈↓ 
|␈εαare
␈β	S␈↓ ¬*␈εk␈↓ 
e␈εk
␈β	X␈↓ ∧.␈ε¬0␈ε→␈α↓∀␈↓ ∧Z␈εk␈↓ ∧h␈ε¬<␈↓ ¬¬␈εn
␈β	q␈↓ ↓H␈εαall␈α	zero.␈αFurthermore,␈α
most␈α	of␈α	these␈α	linear␈α	com␈α␈binations␈α	are␈α	actually␈α	nonsingular
␈β
≤␈↓ ↓H␈εαmatrices,␈αfor␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈β
A␈↓ ∧⊂␈ε↓X
␈β
↑␈↓ ¬≡␈εk
␈β
d␈↓ ↓l␈εα(␈↓ ↓x␈ελd␈↓ α↔␈εα,␈↓ α'␈ελd␈↓ αF␈εα,␈↓ αV␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βε␈εα,␈↓ β⊗␈ελd␈↓ βd␈εα)␈↓ ∧d␈ελc␈↓ ¬¬␈ελP␈↓ ¬7␈εα=␈α
(0,␈αε0,␈↓ ε5␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εe␈εα,␈αε0)
␈β
q␈↓ αλ␈ε¬0␈↓ α8␈ε¬1␈↓ β'␈εn␈↓ β9␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ∧q␈εk
␈β∃␈↓ βv␈ε¬0␈ε→∀␈↓ ∧!␈εk␈↓ ∧0␈ε¬<␈↓ ∧L␈εn
␈β+␈↓ 	"␈ε↓␈␈↓ 
p␈ε↓↓
␈βJ␈↓ ¬!␈εαif␈αand␈αonly␈αif␈↓ π7␈ελc␈↓ πE␈εα(␈↓ πQ␈ελu␈↓ πg␈εα)␈↓ πs␈ελd␈↓ λπ␈εα(␈↓ λ∪␈ελu␈↓ λ(␈εα)␈ε⊗␈α
⊃␈εα␈α
0␈↓ 	0␈εαmodulo␈↓ 
0␈ελp␈↓ 
C␈εα(␈↓ 
O␈ελu␈↓ 
d␈εα)␈↓ 
}␈εα,
␈β
␈↓ ¬|␈εn␈↓ ε∞␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ 
e␈εn␈↓ 
w␈ε→␈␈ε¬1
␈β∩␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α-␈ελc␈↓ α;␈εα(␈↓ αG␈ελu␈↓ α]␈εα)␈α
=␈↓ β!␈ελc␈↓ β@␈εα+␈↓ βh␈ελc␈↓ ∧∧␈ελu␈↓ ∧≥␈εα+␈↓ ∧F␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧t␈εα+␈↓ ¬≤␈ελc␈↓ ¬f␈ελu␈↓ εB␈εαand␈↓ π¬␈ελd␈↓ π→␈εα(␈↓ π%␈ελu␈↓ π;␈εα)␈α
=␈↓ π␈␈ελd␈↓ λ"␈εα+␈↓ λJ␈ελd␈↓ λi␈ελu␈↓ 	β␈εα+␈↓ 	+␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	Z␈εα+␈↓ 
α␈ελd␈↓ 
P␈ελu␈↓ "␈εα.
␈β ␈↓ β.␈ε¬0␈↓ βu␈ε¬1␈↓ ¬)␈εn␈↓ ¬;␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λ⊂␈ε¬0␈↓ λ[␈ε¬1␈↓ 
∪␈εn␈↓ 
$␈ε→␈␈ε¬1
␈β!␈↓ α-␈ε↓P
␈β8␈↓ β|␈εk
␈β=␈↓ ↓H␈εαTh␈α␈us,␈↓ βB␈ελc␈↓ βb␈ελP␈↓ ∧↔␈εαis␈αa␈α
singular␈αmatrix␈α
if␈αand␈α
only␈αif␈α
the␈αpolynomial␈↓ 
.␈ελc␈↓ 
<␈εα(␈↓ 
H␈ελu␈↓ 
]␈εα)␈α
is␈αa
␈βK␈↓ βO␈εk
␈βP␈↓ αS␈ε¬0␈ε→␈α↓∀␈↓ α}␈εk␈↓ β
␈ε¬<␈↓ β*␈εn
␈βi␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiple␈αof␈αsome␈αfactor␈αof␈↓ ∧k␈ελp␈↓ ∧⎇␈εα(␈↓ ¬	␈ελu␈↓ ¬∨␈εα).␈αWe␈αare␈αno␈α␈w␈αready␈αto␈αpro␈α␈v␈α␈e␈αthe␈αdesired␈αresult.
␈β
#␈↓ ↓H␈ε∩Theorem␈α
W␈εα␈α
(S.␈α
Winograd,␈α
1975)␈ε∩.␈ε∂␈α≤Let␈↓ ε7␈ελp␈↓ εI␈εα(␈↓ εU␈ελu␈↓ εk␈εα)␈ε∂␈α
be␈α
a␈α
monic␈α
polynomial␈α∞of␈α
degree␈↓ ↔␈ελn
␈β
N␈↓ ↓H␈ε∂whose␈αcomplete␈αfactorization␈αo␈α␈v␈α␈er␈αa␈αgiv␈α␈en␈αin|nite␈α|eld␈αis
␈β∞⊂␈↓ εC␈εe␈↓ πU␈εe
␈β∞⊗␈↓ ∧}␈ελp␈↓ ¬⊂␈εα(␈↓ ¬≤␈ελu␈↓ ¬2␈εα)␈α
=␈↓ ¬v␈ελp␈↓ ε∃␈εα(␈↓ ε!␈ελu␈↓ ε7␈εα)␈↓ εY␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π	␈ελp␈↓ π(␈εα(␈↓ π4␈ελu␈↓ πI␈εα)␈↓ πl␈εα.␈↓ 
p␈εα(73)
␈β∞→␈↓ εN␈επ1␈↓ πa␈ε
r
␈β∞$␈↓ επ␈ε¬1␈↓ π~␈εr
␈β∞↑␈↓ ↓H␈ε∂Then␈αλthe␈α	rank␈α	of␈α	the␈α	tensor␈εα␈α	(72)␈ε∂␈α	corresponding␈αλto␈α	the␈α	bilinear␈α	forms␈εα␈α	(69)␈ε∂␈α	is␈εα␈αλ2␈↓ 
[␈ελn␈↓ 
u␈ε⊗␈␈↓ ≥␈ελr
␈β∂
␈↓ ↓H␈ε∂o␈α␈v␈α␈er␈αthis␈α|eld.
␈β∂D␈↓ ↓H␈ε∂Proof.␈εα␈α∂The␈α	bilinear␈αλforms␈αλcan␈αλbe␈αλevaluated␈αλwith␈αλonly␈αλ2␈↓ λ⊂␈ελn␈↓ λ)␈ε⊗␈␈↓ λO␈ελr␈↓ λg␈εαchain␈αλm␈α␈ultiplications
␈β∂o␈↓ ↓H␈εαby␈α
using␈αrules␈α
(56),␈α
(57),␈α
(58)␈α
in␈α
an␈α
appropriate␈α
fashion,␈α
so␈α
w␈α␈e␈α
m␈α␈ust␈α
pro␈α␈v␈α␈e␈αonly
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαthat␈αλthe␈α	rank␈α	is␈ε⊗␈α	∃␈εα␈α
2␈↓ β␈␈ελn␈↓ ∧→␈ε⊗␈␈↓ ∧@␈ελr␈↓ ∧P␈εα.␈αThe␈α	abo␈α␈v␈α␈e␈α	discussion␈α	establishes␈αλthat␈α	rank(␈↓ 
↓␈ελb␈↓ 
I␈εα)␈α
=␈↓ 
␈ελn␈↓ "␈εα;
␈β⊂)␈↓ 
∞␈ε¬(␈↓ 
_␈εi␈↓ 
#␈εj␈↓ 
1␈ε¬)␈↓ 
:␈εk
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαhence␈α	by␈α
Lemma␈α
T␈↓ βu␈εα,␈α
an␈α␈y␈↓ ∧L␈ελn␈↓ ∧f␈ε⊗α␈↓ ¬∂␈ελt␈↓ ¬&␈εαrealization␈↓ εS␈ελA␈↓ εk␈εα,␈↓ π␈ελB␈↓ π_␈εα,␈↓ π,␈ελC␈↓ πS␈εαof␈α
(␈↓ λπ␈ελb␈↓ λ;␈εα)␈α
has␈α	rank(␈↓ 	b␈ελC␈↓ 
␈εα)␈α
=␈↓ 
D␈ελn␈↓ 
Y␈εα.␈αOur
␈β⊂S␈↓ λ∀␈εi␈↓ λ∨␈εj␈↓ λ,␈εk
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαidea␈α
will␈αbe␈α
to␈αuse␈α
Lemma␈α
T␈αagain,␈αby␈α
|nding␈αa␈α
v␈α␈ector␈α(␈↓ λ5␈ελc␈↓ λP␈εα,␈↓ λ`␈ελc␈↓ λ{␈εα,␈↓ 	␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	;␈εα,␈↓ 	K␈ελc␈↓ 
⊗␈εα)␈α
that␈α
has
␈β⊂}␈↓ λB␈ε¬0␈↓ λm␈ε¬1␈↓ 	X␈εn␈↓ 	j␈ε→␈␈ε¬1
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαthe␈αfollo␈α␈wing␈αt␈α␈w␈α␈o␈αproperties:
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.4␈ε∞␈↓ π∧EV␈α|AL␈α␈U␈α␈A␈α}T␈α␈ION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα477
␈βα&␈↓ ↓b␈εαa)␈↓ α␈εαThe␈αv␈α␈ector␈α(␈↓ βO␈ελc␈↓ βj␈εα,␈↓ βz␈ελc␈↓ ∧⊗␈εα,␈↓ ∧&␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧V␈εα,␈↓ ∧f␈ελc␈↓ ¬0␈εα)␈↓ ¬<␈ελC␈↓ ¬e␈εαhas␈αat␈αmost␈↓ π)␈ελr␈↓ πA␈εα+␈↓ πm␈ελt␈↓ λα␈ε⊗␈␈↓ λ.␈ελn␈↓ λP␈εαnonzero␈αcoe}cien␈α␈ts.
␈βα4␈↓ β\␈ε¬0␈↓ ∧π␈ε¬1␈↓ ∧s␈εn␈↓ ¬¬␈ε→␈␈ε¬1
␈βα5␈↓ ∧D␈ε↓P
␈βαL␈↓ ε∩␈εk
␈βαQ␈↓ ↓`␈εαb)␈↓ α␈εαThe␈αmatrix␈↓ βL␈ελc␈↓ βZ␈εα(␈↓ βf␈ελP␈↓ ∧␈εα)␈α
=␈↓ ¬X␈ελc␈↓ ¬y␈ελP␈↓ ε-␈εαis␈αnonsingular.
␈βα←␈↓ ¬e␈εk
␈βαd␈↓ ∧j␈ε¬0␈ε→∀␈↓ ¬∃␈εk␈↓ ¬$␈ε¬<␈↓ ¬@␈εn
␈ββπ␈↓ ↓H␈εαThis␈αand␈αLemma␈αT␈αwill␈αpro␈α␈v␈α␈e␈αthat␈↓ ¬|␈ελr␈↓ ε∪␈εα+␈↓ ε?␈ελt␈↓ εT␈ε⊗␈␈↓ π␈ελn␈↓ π ␈ε⊗∃␈↓ πN␈ελn␈↓ πd␈εα,␈αsince␈αthe␈αiden␈α␈tity
␈ββK␈↓ ∧.␈ε↓X␈↓ εβ␈ε↓X
␈ββT␈↓ ¬S␈ε↓∩␈↓ π∨␈ε↓∪
␈ββn␈↓ ∧{␈ελ␈↓ ¬&␈ελ␈␈↓ εW␈ελc␈↓ εw␈ελ␈
␈↓ πI␈εα=␈↓ λ↓␈ελc␈↓ λ∂␈εα(␈↓ λ≠␈ελP␈↓ λ5␈εα)
␈ββ{␈↓ ¬∞␈εi␈↓ ¬→␈εl␈↓ ¬8␈εj␈↓ ¬F␈εl␈↓ εd␈εk␈↓ πλ␈εk␈↓ π↔␈εl␈↓ λA␈εi␈↓ λL␈εj
␈β∧∨␈↓ ∧~␈ε¬1␈ε→␈α↓∀␈↓ ∧F␈εl␈↓ ∧N␈ε→∀␈↓ ∧k␈εt␈↓ ¬i␈ε¬0␈ε→∀␈↓ ε∀␈εk␈↓ ε"␈ε¬<␈↓ ε?␈εn
␈β∧y␈↓ ↓H␈εαsho␈α␈ws␈αho␈α␈w␈αto␈αrealize␈αthe␈↓ ∧U␈ελn␈↓ ∧r␈ε⊗α␈↓ ¬∨␈ελn␈↓ ¬<␈ε⊗α␈εα␈αλ1␈α
tensor␈↓ εs␈ελc␈↓ π↓␈εα(␈↓ π
␈ελP␈↓ π'␈εα)␈αof␈αrank␈↓ λ=␈ελn␈↓ λ←␈εαwith␈↓ 	1␈ελr␈↓ 	I␈εα+␈↓ 	u␈ελt␈↓ 

␈ε⊗␈␈↓ 
7␈ελn␈↓ 
X␈εαchain
␈β¬$␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiplications.
␈β¬O␈↓ α␈εαWe␈α
may␈α
assume␈α
for␈α
con␈α␈v␈α␈enience␈α
that␈α
the␈α
|rst␈↓ πt␈ελn␈↓ λ↔␈εαcolumns␈α
of␈↓ 	O␈ελC␈↓ 	y␈εαare␈α
linearly
␈β¬z␈↓ ↓H␈εαindependen␈α␈t.␈α⊃Let␈↓ βf␈ελD␈↓ ∧∂␈εαbe␈α∞the␈↓ ¬␈ελn␈↓ ¬∨␈ε⊗α␈↓ ¬L␈ελn␈↓ ¬p␈εαmatrix␈α∞such␈α∞that␈α
the␈α∞|rst␈↓ 	↔␈ελn␈↓ 	:␈εαcolumns␈α∞of␈↓ 
t␈ελD␈↓ ∂␈ελC
␈βε%␈↓ ↓H␈εαare␈α∞equal␈α∞to␈α∞the␈α∞iden␈α␈tity␈α∞matrix.␈α∪Our␈α∞goal␈α∞will␈α∞be␈α∂achiev␈α␈ed␈α∞if␈α∞there␈α∞is␈α∞a␈α∞linear
␈βεQ␈↓ ↓H␈εαcom␈α␈bination␈αλ(␈↓ β≥␈ελc␈↓ β8␈εα,␈↓ βH␈ελc␈↓ βc␈εα,␈↓ βs␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧#␈εα,␈↓ ∧3␈ελc␈↓ ∧⎇␈εα)␈αλof␈αλat␈αλmost␈↓ ε3␈ελr␈↓ εK␈εαro␈α␈ws␈απof␈↓ π?␈ελD␈↓ πZ␈εα,␈α	such␈αλthat␈↓ 	¬␈ελc␈↓ 	∪␈εα(␈↓ 	∨␈ελP␈↓ 	9␈εα)␈αλis␈απnonsingular;
␈βε↑␈↓ β*␈ε¬0␈↓ βU␈ε¬1␈↓ ∧@␈εn␈↓ ∧R␈ε→␈␈ε¬1
␈βε|␈↓ ↓H␈εαsuch␈αa␈αv␈α␈ector␈αwill␈αsatisfy␈αconditions␈α(a)␈αand␈α(b).
␈βπ'␈↓ α␈εαSince␈αthe␈αro␈α␈ws␈αof␈↓ ∧"␈ελD␈↓ ∧I␈εαare␈αlinearly␈αindependen␈α␈t,␈αfor␈αeach␈↓ λb␈ελi␈↓ λ|␈εαthere␈αm␈α␈ust␈αbe␈αsome
␈βπR␈↓ ↓H␈εαro␈α␈w␈α
whose␈α∞corresponding␈α
polynomial␈α∞is␈α
not␈α
a␈α∞m␈α␈ultiple␈α
of␈↓ λ]␈ελp␈↓ λy␈εα(␈↓ 	¬␈ελu␈↓ 	≠␈εα).␈α⊂Giv␈α␈en␈α∞a␈α
v␈α␈ector
␈βπ`␈↓ λn␈εi
␈βπ⎇␈↓ ↓H␈ελd␈↓ ↓h␈εα=␈α(␈↓ α$␈ελd␈↓ αC␈εα,␈↓ αS␈ελd␈↓ αs␈εα,␈↓ ββ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β3␈εα,␈↓ βC␈ελd␈↓ ∧⊃␈εα),␈α
let␈α∞\co␈α␈v␈α␈ered(␈↓ ¬}␈ελd␈↓ ε∩␈εα)"␈α
be␈α
the␈α∞set␈α
of␈α∞all␈↓ λF␈ελi␈↓ λa␈εαsuch␈α∞that␈↓ 
∧␈ελd␈↓ 
_␈εα(␈↓ 
$␈ελu␈↓ 
:␈εα)␈α
is␈α
not
␈βλ␈↓ α5␈ε¬0␈↓ αd␈ε¬1␈↓ βS␈εn␈↓ βe␈ε→␈␈ε¬1
␈βλ)␈↓ ↓H␈εαa␈αm␈α␈ultiple␈α
of␈↓ β∨␈ελp␈↓ β;␈εα(␈↓ βG␈ελu␈↓ β]␈εα).␈α∞From␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
v␈α␈ectors␈↓ ε$␈ελc␈↓ ε?␈εαand␈↓ πε␈ελd␈↓ π'␈εαw␈α␈e␈α
can␈α|nd␈α
a␈α
linear␈αcom␈α␈bination
␈βλ6␈↓ β0␈εi
␈βλT␈↓ ↓H␈ελc␈↓ ↓↑␈εα+␈↓ α
␈ελ␈↓ α≡␈ελd␈↓ α>␈εαsuch␈αthat
␈β	'␈↓ βi␈εαco␈α␈v␈α␈ered␈↓ ∧←␈εα(␈↓ ∧k␈ελc␈↓ ¬↓␈εα+␈↓ ¬-␈ελ␈↓ ¬A␈ελd␈↓ ¬U␈εα)␈α
=␈↓ ε→␈εαco␈α␈v␈α␈ered␈↓ π∂␈εα(␈↓ π≠␈ελc␈↓ π)␈εα)␈ε⊗␈αλ[␈↓ π←␈εαco␈α␈v␈α␈ered␈↓ λU␈εα(␈↓ λa␈ελd␈↓ λu␈εα),␈↓ 
p␈εα(74)
␈β	{␈↓ ↓H␈εαfor␈αsome␈↓ αY␈ελ␈↓ αx␈εαin␈αthe␈α|eld.␈αThe␈αreason␈αis␈αthat␈αif␈↓ πβ␈ελi␈↓ π≤␈εαis␈αco␈α␈v␈α␈ered␈αby␈↓ λu␈ελc␈↓ 	∞␈εαor␈↓ 	:␈ελd␈↓ 	Y␈εαbut␈αnot␈αboth,
␈β
&␈↓ ↓H␈εαthen␈↓ α≤␈ελi␈↓ α8␈εαis␈α∂co␈α␈v␈α␈ered␈α∞by␈↓ ∧~␈ελc␈↓ ∧2␈εα+␈↓ ∧←␈ελ␈↓ ∧s␈ελd␈↓ ¬⊗␈εαfor␈α∞all␈α∂nonzero␈↓ π
␈ελ␈↓ π!␈εα;␈α⊂if␈↓ π←␈ελi␈↓ π{␈εαis␈α∂co␈α␈v␈α␈ered␈α∞by␈α∂both␈↓ 
3␈ελc␈↓ 
P␈εαand␈↓ _␈ελd
␈β
Q␈↓ ↓H␈εαand␈↓ α∂␈ελi␈↓ α+␈εαis␈α∞not␈α
co␈α␈v␈α␈ered␈α∞by␈↓ ∧L␈ελc␈↓ ∧c␈εα+␈↓ ¬⊂␈ελ␈↓ ¬$␈ελd␈↓ ¬F␈εαthen␈↓ ε→␈ελi␈↓ ε5␈εαis␈α∞co␈α␈v␈α␈ered␈α
by␈↓ λ∀␈ελc␈↓ λ+␈εα+␈↓ λX␈ελ␈␈↓ λo␈ελd␈↓ 	⊂␈εαfor␈α∞all␈↓ 	}␈ελ␈␈↓ 
!␈ε⊗≤␈↓ 
R␈ελ␈↓ 
e␈εα.␈α⊃By
␈β
|␈↓ ↓H␈εαtrying␈↓ α1␈ελr␈↓ αF␈εα+␈α¬1␈α
di{eren␈α␈t␈α
values␈α	of␈↓ ¬+␈ελ␈↓ ¬?␈εα,␈α
at␈α
least␈α
one␈α
m␈α␈ust␈α	yield␈α
(74).␈αIn␈α
this␈α
way␈α
w␈α␈e␈α	can
␈β(␈↓ ↓H␈εαsystematically␈α
construct␈α∞a␈α
linear␈α
com␈α␈bination␈α∞of␈α
at␈α∞most␈↓ λZ␈ελr␈↓ λx␈εαro␈α␈ws␈α
of␈↓ 	w␈ελD␈↓ 
∪␈εα,␈α
co␈α␈v␈α␈ering
␈βS␈↓ ↓H␈εαall␈↓ ↓z␈ελi␈↓ αλ␈εα.
␈βX␈↓ α9␈∧Xα9≠∂
␈β∩␈↓ α␈εαOne␈α
of␈α
the␈α
most␈α
importan␈α␈t␈α∞corollaries␈α
of␈α
Theorem␈α
W␈α
is␈α
that␈α
the␈α
rank␈α
of␈α
a
␈β=␈↓ ↓H␈εαtensor␈αcan␈αdepend␈α
on␈αthe␈α|eld␈α
from␈αwhich␈αw␈α␈e␈α
draw␈αthe␈αelemen␈α␈ts␈α
of␈αthe␈αrealiza-
␈βi␈↓ ↓H␈εαtion␈↓ α∩␈ελA␈↓ α*␈εα,␈↓ α@␈ελB␈↓ αX␈εα,␈↓ αn␈ελC␈↓ β␈εα.␈αFor␈αexample,␈αconsider␈αthe␈αtensor␈αcorresponding␈αto␈αcy␈α␈clic␈αcon␈α␈v␈α␈olu-
␈β
∀␈↓ ↓H␈εαtion␈αof␈αdegree␈α5;␈αthis␈αis␈αequivalen␈α␈t␈αto␈αm␈α␈ultiplication␈αof␈αpolynomials␈αmod␈↓ 
>␈ελp␈↓ 
Q␈εα(␈↓ 
]␈ελu␈↓ 
r␈εα)␈α
=
␈β
:␈↓ ↓]␈ε¬5
␈β
?␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓t␈ε⊗␈␈εα␈αλ1.␈αOv␈α␈er␈αthe␈α|eld␈αof␈αrational␈αn␈α␈um␈α␈bers,␈αthe␈αcomplete␈αfactorization␈αof␈↓ 
H␈ελp␈↓ 
[␈εα(␈↓ 
g␈ελu␈↓ 
|␈εα)␈αis
␈β
e␈↓ α]␈ε¬4␈↓ β5␈ε¬3␈↓ ∧
␈ε¬2
␈β
j␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελu␈↓ ↓q␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈↓ α;␈εα(␈↓ αG␈ελu␈↓ αs␈εα+␈↓ β∨␈ελu␈↓ βK␈εα+␈↓ βw␈ελu␈↓ ∧$␈εα+␈↓ ∧P␈ελu␈↓ ∧m␈εα+␈αλ1)␈↓ ¬B␈εαby␈α
ex␈α␈ercise␈α
4.6.2↑32,␈αso␈α
the␈αrank␈α
of␈αthe␈α
tensor␈α
is
␈β∞∃␈↓ ↓H␈εα10␈ε⊗␈α∧␈␈εα␈α¬2␈α
=␈α
8.␈αOn␈α
the␈α	other␈α
hand,␈α
the␈α
complete␈α	factorization␈α
o␈α␈v␈α␈er␈α	the␈α
real␈α	n␈α␈um␈α␈bers
␈β∞<␈↓ β¬␈ε¬2␈↓ ∧i␈ε¬2␈↓ ¬B␈ε→␈␈ε¬1
␈β∞A␈↓ ↓H␈εαis␈α
(␈↓ ↓y␈ελu␈↓ α_␈ε⊗␈␈εα␈α	1)(␈↓ αo␈ελu␈↓ β≤␈εα+␈↓ βI␈ελ≡␈↓ β↑␈ελu␈↓ β|␈εα+␈α
1)(␈↓ ∧T␈ελu␈↓ ¬↓␈ε⊗␈␈↓ ¬.␈ελ≡␈↓ ¬m␈ελu␈↓ ε␈εα+␈α	1);␈α∂th␈α␈us,␈α∞the␈α
rank␈α∞is␈α∞only␈α
7,␈α∞if␈α∞w␈α␈e␈α
allo␈α␈w
␈β∞l␈↓ ↓H␈εαarbitrary␈α	real␈α	n␈α␈um␈α␈bers␈α
to␈α	appear␈α
in␈↓ ¬t␈ελA␈↓ ε␈εα,␈↓ ε ␈ελB␈↓ ε8␈εα,␈↓ εL␈ελC␈↓ εi␈εα.␈αOv␈α␈er␈α
the␈α	complex␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈α	the␈α	rank
␈β∂↔␈↓ ↓H␈εαis␈α
5.␈αThis␈α
phenomenon␈α
does␈α
not␈αoccur␈α
in␈α
t␈α␈w␈α␈o-dimensional␈α
tensors␈α
(i.e.,␈α
matrices),
␈β∂B␈↓ ↓H␈εαwhere␈α∞the␈α∂rank␈α∂can␈α∂be␈α∂determined␈α∞by␈α∂evaluating␈α∂determinan␈α␈ts␈α∂of␈α∞submatrices
␈β∂m␈↓ ↓H␈εαand␈α	testing␈α	for␈α	0.␈αThe␈α	rank␈α
of␈α	a␈α	matrix␈α	does␈α	not␈α
change␈α	when␈α	the␈α	|eld␈α	con␈α␈taining
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εαits␈αelemen␈α␈ts␈αis␈αem␈α␈bedded␈αin␈αa␈αlarger␈α|eld,␈αbut␈αthe␈αrank␈αof␈αa␈αtensor␈ε∂␈αcan␈εα␈αdecrease
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαwhen␈αthe␈α|eld␈αgets␈αlarger.
␈β⊂o␈↓ α␈εαIn␈αthe␈α
paper␈αthat␈αin␈α␈troduced␈α
Theorem␈αW␈α[␈ε∂Math.␈α
Systems␈αTheory␈ε∩␈α10␈εα␈α
(1977),
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εα169↑180],␈α	Winograd␈α	pro␈α␈v␈α␈ed␈α
Theorem␈α	W␈α	and␈α	w␈α␈en␈α␈t␈α	on␈α	to␈α	sho␈α␈w␈α	that␈ε∂␈α	all␈↓ 	z␈εαrealizations
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα478␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.4
␈βα&␈↓ ↓H␈εαof␈α
(69)␈α
in␈α
2␈↓ αy␈ελn␈↓ β↔␈ε⊗␈␈↓ βD␈ελr␈↓ βa␈εαchain␈α
m␈α␈ultiplications␈α
correspond␈α
to␈α
the␈α
use␈α
of␈α
(57),␈α∞when␈↓ 
x␈ελr␈↓ ∀␈εαis
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαgreater␈α∞than␈α∂1.␈α∀Furthermore␈α∂he␈α∞has␈α∂sho␈α␈wn␈α∂that␈α∞the␈α∂only␈α∞way␈α∂to␈α∂evaluate␈α∞the
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαcoe}cien␈α␈ts␈αof␈↓ β&␈ελx␈↓ β8␈εα(␈↓ βD␈ελu␈↓ βZ␈εα)␈↓ βf␈ελy␈↓ βz␈εα(␈↓ ∧ε␈ελu␈↓ ∧≤␈εα)␈αin␈αdeg(␈↓ ¬∨␈ελx␈↓ ¬1␈εα)␈αλ+␈↓ ¬p␈εαdeg␈↓ ε&␈εα(␈↓ ε2␈ελy␈↓ εF␈εα)␈απ+␈αλ1␈αchain␈αm␈α␈ultiplications␈αis␈αto␈αuse␈αin-
␈ββ(␈↓ ↓H␈εαterpolation␈α	or␈α
to␈α	use␈α
(56)␈α	with␈α
a␈α	polynomial␈α
that␈α	splits␈α
in␈α␈to␈α	distinct␈α
linear␈α	factors
␈ββS␈↓ ↓H␈εαin␈απthe␈αλ|eld.␈αFinally␈αλhe␈αλhas␈απpro␈α␈v␈α␈ed␈αλthat␈αλthe␈αλonly␈αλway␈αλto␈απevaluate␈↓ 	~␈ελx␈↓ 	-␈εα(␈↓ 	9␈ελu␈↓ 	O␈εα)␈↓ 	[␈ελy␈↓ 	o␈εα(␈↓ 	{␈ελu␈↓ 
⊂␈εα)␈↓ 
"␈εαmod␈↓ 
l␈ελp␈↓ 
␈␈εα(␈↓ ␈ελu␈↓  ␈εα)
␈ββ}␈↓ ↓H␈εαin␈α∂2␈↓ απ␈ελn␈↓ α'␈ε⊗␈␈εα␈α1␈α∂chain␈α⊂m␈α␈ultiplications␈α∂when␈↓ ε5␈ελr␈↓ εU␈εα=␈α⊂1␈α∂is␈α⊂essen␈α␈tially␈α⊂to␈α∂use␈α⊂(58).␈α⊗These
␈β∧)␈↓ ↓H␈εαresults␈αhold␈αfor␈ε∂␈αall␈↓ βt␈εαpolynomial␈αchains,␈αnot␈αonly␈α\normal"␈αones.
␈β∧U␈↓ α␈εαThe␈α
tensor␈α
rank␈α
of␈α
an␈α
arbitrary␈↓ ε␈ελm␈↓ ε%␈ε⊗α␈↓ εN␈ελn␈↓ εi␈ε⊗α␈εα␈αε2␈α
tensor␈α
o␈α␈v␈α␈er␈α	an␈α
arbitrary␈α
|eld␈α
has
␈β¬␈↓ ↓H␈εαbeen␈αdetermined␈α
by␈αJoseph␈α
Ja'␈αJa',␈ε∂␈α
Proc.␈αA␈α␈CM␈α
Symp.␈αTheory␈α
of␈αComputation
␈β¬+␈↓ ↓H␈ε∩10␈εα␈α(1978),␈α173↑183.
␈β¬a␈↓ ↓H␈ε∩For␈α
further␈α∞reading.␈εα␈α≥In␈α∞this␈α∞section␈α
w␈α␈e␈α∞hav␈α␈e␈α∞barely␈α∞scratched␈α∞the␈α∞surface␈α∞of␈α
a
␈βε␈↓ ↓H␈εαv␈α␈ery␈α
large␈α
subject␈α
in␈α
which␈α
man␈α␈y␈α
beautiful␈α
theories␈α
are␈α
emerging;␈α
a␈α
considerably
␈βε7␈↓ ↓H␈εαmore␈αcomprehensiv␈α␈e␈αtreatmen␈α␈t␈αappears␈αin␈αthe␈αbook␈ε∂␈αComputational␈αComplexity
␈βεc␈↓ ↓H␈ε∂of␈α∂Algebraic␈α∂and␈α⊂Numeric␈α∂Problems␈εα␈α⊂by␈α∂A.␈α∂Borodin␈α⊂and␈α∂I.␈α⊂Munro␈α∂(New␈α∂York:
␈βπ∞␈↓ ↓H␈εαAmerican␈αElsevier,␈α1975).
␈βπ␈␈↓ ↓H␈ε≥E␈α␈XERCI␈α↓SE␈α␈S
␈βλA␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβ[␈ε	15␈↓ α;␈εβ]␈α⊗What␈αis␈αa␈αg␈α␈ood␈α
way␈αt␈α␈o␈αeva␈α␈luate␈α
an␈α\␈α␈od␈α␈d"␈αp␈α␈olyn␈α␈omia␈α␈l
␈βλu␈↓ ¬4␈εε2␈↓ ¬A␈εn␈↓ ¬Q␈εε+␈α↓1␈↓ π∞␈εε2␈↓ π≠␈εn␈↓ π+␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈βλ{␈↓ β↑␈ε	u␈↓ βr␈εβ(␈↓ β⎇␈ε	x␈↓ ∧∞␈εβ)␈α
=␈↓ ∧M␈ε	u␈↓ ¬#␈ε	x␈↓ ¬␈␈εβ+␈↓ ε'␈ε	u␈↓ ε⎇␈ε	x␈↓ πY␈εβ+␈↓ λ↓␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ/␈εβ+␈↓ λX␈ε	u␈↓ λx␈ε	x␈↓ 		␈εβ?
␈β	¬␈↓ ∧`␈εε2␈↓ ∧m␈εn␈↓ ∧⎇␈εε+1␈↓ ε:␈εε2␈↓ εG␈εn␈↓ εW␈ε~␈␈εε1␈↓ λk␈εε1
␈β	8␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β	<␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗In␈α␈stead␈α
of␈αc␈α␈omp␈α␈utin␈α␈g␈↓ ¬6␈ε	u␈↓ ¬J␈εβ(␈↓ ¬U␈ε	x␈↓ ¬m␈εβ+␈↓ ε⊗␈ε	x␈↓ ε2␈εβ)␈α
by␈α
step␈α␈s␈αH1␈αa␈α␈nd␈α
H2␈α
as␈αin␈α
the␈α
text␈α␈,␈αd␈α␈iscus␈α␈s
␈β	G␈↓ ε%␈εε0
␈β	d␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
ap␈α␈plicatio␈α␈n␈α
of␈α
Ho␈α␈rner's␈α
ru␈α␈l␈α↓e␈α
(2␈α␈)␈α
when␈ε⊂␈αpoly␈α␈no␈α␈mial␈εβ␈α
m␈α␈ultiplicatio␈α␈n␈α
an␈α␈d␈α
a␈α␈dd␈α␈i␈α↓tio␈α␈n␈α
are
␈β
␈↓ ↓H␈εβu␈α␈sed␈α␈,␈αin␈α␈stead␈α
of␈αarithm␈α␈etic␈αin␈αthe␈α
dom␈α␈ain␈αo␈α␈f␈αc␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓en␈α}ts.
␈β
;␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβ[␈ε	20␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Giv␈α␈e␈α∞a␈α∞m␈α␈etho␈α␈d␈α∞an␈α␈alog␈α␈ou␈α␈s␈α∞to␈α∞Horn␈α␈er's␈α∞rule,␈α∂for␈α∞ev␈α␈alua␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈α∞a␈α∞p␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α∂in
␈β
E␈↓ β⊂␈ε↓P
␈β
←␈↓ ∧P␈εi␈↓ ∧m␈εj
␈β
`␈↓ ¬↔␈εα(
␈β
c␈↓ ↓H␈εβt␈α␈w␈α␈o␈α	v␈α␈ariab␈α␈l␈α↓e␈α␈s␈↓ ∧∃␈ε	u␈↓ ∧>␈ε	x␈↓ ∧Z␈ε	y␈↓ ∧y␈εβ.␈↓ ¬#␈εβTh␈α␈i␈α↓s␈α	p␈α␈olyn␈α␈omia␈α␈l␈α
ha␈α␈s␈α	(␈↓ π\␈ε	n␈↓ πu␈εβ+␈α¬1)(␈↓ λB␈ε	n␈↓ λ[␈εβ+␈α¬2)/2␈α	c␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈ts,␈α
a␈α␈nd
␈β
m␈↓ ∧(␈εi␈↓ ∧2␈εj
␈β
u␈↓ β6␈εi␈↓ β@␈εε+␈↓ βY␈εj␈↓ βe␈ε~∀␈↓ β␈␈εn
␈β∞␈↓ β=␈εα)
␈β⊃␈↓ ↓H␈εβ\␈α␈tota␈α␈l␈αd␈α␈egree␈α␈"␈↓ β ␈ε	n␈↓ β4␈εβ.␈↓ βc␈εβC␈α␈oun␈α}t␈αthe␈αn␈α}um␈α}ber␈αo␈α␈f␈αa␈α␈dd␈α␈i␈α↓tio␈α␈ns␈αan␈α␈d␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α␈s␈αy␈α␈ou␈α
use␈α␈.
␈βA␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Th␈α␈e␈α
tex␈α␈t␈α
sho␈α␈ws␈α
th␈α␈at␈α
sc␈α␈hem␈α␈e␈α
(3)␈α
is␈α
sup␈α␈erior␈α
to␈α
Ho␈α␈rner␈α␈'␈α↓s␈α
ru␈α␈le␈α
when␈αw␈α␈e␈α
are
␈βh␈↓ ↓H␈εβe␈α␈valu␈α␈ating␈α
a␈α
po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈α∞with␈α
real␈α∞c␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈ts␈α∞a␈α␈t␈α∞a␈α
com␈α␈plex␈α
po␈α␈in␈α␈t␈↓ 	≡␈ε	z␈↓ 	+␈εβ.␈α∪Comp␈α␈are␈α
(3)␈α∞to
␈β⊂␈↓ ↓H␈εβHo␈α␈rner's␈αru␈α␈l␈α↓e␈αwh␈α␈en␈ε⊂␈αb␈α␈oth␈εβ␈α
the␈αco␈α␈e}cien␈α}ts␈αand␈α
the␈αv␈α␈ariab␈α␈l␈α↓e␈↓ λ⊂␈ε	z␈↓ λ)␈εβa␈α␈re␈αcom␈α␈plex␈αn␈α}um␈α}bers;␈αho␈α}w
␈β8␈↓ ↓H␈εβm␈α␈an␈α␈y␈α
(real)␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αa␈α␈nd␈αa␈α␈dd␈α␈iti␈α↓o␈α␈n-su␈α␈btra␈α␈ctions␈αa␈α␈re␈αreq␈α␈uired␈αb␈α␈y␈αe␈α␈ach␈αm␈α␈etho␈α␈d?
␈βg␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβ[␈ε	M15␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Co␈α␈un␈α}t␈α
t␈α␈he␈α	n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈α	of␈α	m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈α	an␈α␈d␈α	a␈α␈dd␈α␈i␈α↓tio␈α␈ns␈α	req␈α␈uired␈α	b␈α␈y␈α	th␈α␈e␈α	seco␈α␈nd␈α␈-
␈β
∂␈↓ ↓H␈εβo␈α␈rder␈αru␈α␈le␈α(4).
␈β
?␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβ[␈ε	22␈↓ α;␈εβ]␈α⊗(L.␈αd␈α␈e␈α
J␈α␈on␈α␈g␈α
an␈α␈d␈α	J.␈α
va␈α␈n␈α
Lee␈α␈uw␈α␈en␈α␈.␈α↓)␈α⊗S␈α␈ho␈α}w␈α
ho␈α}w␈α
to␈α
imp␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈α
on␈α	step␈α␈s␈α
S1␈α␈,␈↓ 
J␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 
v␈εβ,␈α
S4
␈β
c␈↓ ∧H␈εε1
␈β
f␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈αco␈α␈mp␈α␈uting␈α
only␈α
abo␈α␈ut␈↓ ∧Y␈ε	n␈↓ ∧x␈εβp␈α␈o␈α␈w␈α␈ers␈αof␈↓ ε␈ε	x␈↓ ε(␈εβ.
␈β
q␈↓ ε≠␈εε0
␈β
t␈↓ ∧H␈∧
t∧Hα
␈β
v␈↓ ∧H␈εε2
␈β∞⊗␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβ[␈ε	M24␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Ho␈α␈w␈απc␈α␈an␈↓ βv␈ε	␈␈↓ ∧∀␈εβ,␈↓ ∧%␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ∧Q␈εβ,␈↓ ∧b␈ε	␈␈↓ ¬
␈εβbe␈αεcalcu␈α␈l␈α↓a␈α␈ted␈αεso␈απth␈α␈at␈απ(6)␈απh␈α␈as␈απth␈α␈e␈απv␈α␈alue␈↓ 	"␈ε	u␈↓ 	7␈εβ(␈↓ 	B␈ε	x␈↓ 	←␈εβ+␈↓ 
β␈ε	k␈↓ 
∪␈ε	h␈↓ 
#␈εβ)␈απf␈α↓o␈α␈r␈απall␈↓ ∂␈ε	k␈↓ ∨␈εβ?
␈β∞!␈↓ ∧π␈εε0␈↓ ∧s␈εn␈↓ 	Q␈εε0
␈β∞$␈↓ π←␈ε↓␈␈↓ π{␈ε↓↓
␈β∞>␈↓ πm␈εx
␈β∞B␈↓ ¬8␈εk
␈β∞F␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Th␈α␈e␈α∞fa␈α␈ctorial␈α∞p␈α␈o␈α␈w␈α␈er␈↓ ¬&␈ε	x␈↓ ¬R␈εβi␈α↓s␈α
de␈α␈|n␈α␈ed␈α
to␈α
be␈↓ πE␈ε	k␈↓ πU␈εβ!␈↓ λ⊗␈εβ=␈↓ λE␈ε	x␈↓ λV␈εβ(␈↓ λa␈ε	x␈↓ λ|␈ε↔␈␈εβ␈α	1)␈↓ 	G␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	t␈εβ(␈↓ 	␈␈ε	x␈↓ 
→␈ε↔␈␈↓ 
D␈ε	k␈↓ 
]␈εβ+␈α	1).
␈β∞T␈↓ ¬8␈∧∞T¬8α∞
␈β∞V␈↓ πm␈εk
␈β∞i␈↓ ∧q␈εn␈↓ ε=␈εε1
␈β∞m␈↓ ↓H␈εβEx␈α␈plain␈αh␈α␈o␈α␈w␈α
to␈αev␈α␈alua␈α␈te␈↓ ∧<␈ε	u␈↓ ∧`␈ε	x␈↓ ¬
␈εβ+␈↓ ¬3␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬c␈εβ+␈↓ ε␈ε	u␈↓ ε,␈ε	x␈↓ εR␈εβ+␈↓ ε|␈ε	u␈↓ π(␈εβwith␈αat␈αmost␈↓ λr␈ε	n␈↓ 	∪␈εβm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α␈s␈α
a␈α␈nd
␈β∞x␈↓ ∧P␈εn␈↓ ε∨␈εε1␈↓ π∂␈εε0
␈β∞|␈↓ ∧q␈∧∞|∧qα⊃␈↓ ε=␈∧∞|ε=α
␈β∂∃␈↓ ↓H␈εβ2␈↓ ↓X␈ε	n␈↓ ↓t␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈αad␈α␈dition␈α␈s,␈αsta␈α␈rting␈αwith␈↓ ¬~␈ε	x␈↓ ¬6␈εβan␈α␈d␈αth␈α␈e␈↓ ε0␈ε	n␈↓ εL␈εβ+␈απ3␈αco␈α␈nsta␈α␈n␈α␈ts␈↓ λ#␈ε	u␈↓ λF␈εβ,␈↓ λ[␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 	π␈εβ,␈↓ 	≤␈ε	u␈↓ 	;␈εβ,␈α1␈α␈,␈↓ 	u␈ε	n␈↓ 
⊂␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈.
␈β∂∨␈↓ λ6␈εn␈↓ 	/␈εε0
␈β∂D␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβ[␈ε	M24␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(H.␈αJ.␈αRyser␈α␈.␈α↓)␈α→Sh␈α␈o␈α␈w␈αth␈α␈at␈αif␈↓ ε∃␈ε	X␈↓ ε9␈εβ=␈α
(␈↓ εo␈ε	x␈↓ π∃␈εβ)␈αis␈αa␈α␈n␈↓ π{␈ε	n␈↓ λ⊗␈ε↔α␈↓ λ?␈ε	n␈↓ λ↑␈εβma␈α␈tri␈α↓x␈α␈,␈αthen
␈β∂O␈↓ ε}␈εi␈↓ π	␈εj
␈β∂↑␈↓ ∧t␈ε↓X␈↓ π,␈ε↓Y␈↓ λ	␈ε↓X
␈β∂}␈↓ ¬p␈εn␈↓ ε␈ε~␈␈↓ ε→␈ε∂␈↓ ε/␈ε~␈␈↓ εH␈ε~↓↓↓␈↓ ε]␈ε~␈␈↓ εv␈ε∂
␈β⊂β␈↓ β`␈εβp␈α␈er␈↓ ∧∞␈εβ(␈↓ ∧→␈ε	X␈↓ ∧5␈εβ)␈α	=␈↓ ¬(␈εβ(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ¬e␈εβ)␈↓ λV␈ε	∂␈↓ λn␈ε	x
␈β⊂∧␈↓ π↓␈ε
n
␈β⊂¬␈↓ ε$␈επ1
␈β⊂∞␈↓ λb␈εj␈↓ λ⎇␈εi␈↓ 	λ␈εj
␈β⊂5␈↓ π⊗␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ π;␈εi␈↓ πF␈ε~∀␈↓ π←␈εn␈↓ πu␈εε1␈ε~∀␈↓ λ≠␈εj␈↓ λ'␈ε~∀␈↓ λ@␈εn
␈β⊂L␈↓ β\␈εn
␈β⊂P␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈mme␈α␈d␈α∞o␈α␈v␈α␈e␈α␈r␈α∂a␈α␈l␈α↓l␈↓ βK␈εβ2␈↓ β{␈εβc␈α␈ho␈α␈i␈α↓ce␈α␈s␈α∂o␈α␈f␈↓ ¬→␈ε	∂␈↓ ¬1␈εβ,␈↓ ¬J␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬v␈εβ,␈↓ ε∂␈ε	∂␈↓ ε9␈εβequ␈α␈al␈α∂to␈α∞0␈α∞o␈α␈r␈α∂1␈α∞in␈α␈dep␈α␈en␈α␈den␈α}tl␈α↓y␈α␈.␈α∃Cou␈α␈n␈α␈t␈α∞the
␈β⊂Z␈↓ ¬%␈εε1␈↓ ε≠␈εn
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αof␈αa␈α␈dd␈α␈i␈α↓tio␈α␈n␈αan␈α␈d␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈αope␈α␈ration␈α␈s␈αrequ␈α␈ired␈αto␈αe␈α␈va␈α␈l␈α↓u␈α␈ate␈αp␈α␈er(␈↓ 
∪␈ε	X␈↓ 
/␈εβ)␈αb␈α␈y␈αth␈α␈is
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈rm␈α␈ula.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.4␈ε∞␈↓ π∧EV␈α|AL␈α␈U␈α␈A␈α}T␈α␈ION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα479
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβ[␈ε	M21␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Th␈α␈e␈α	perm␈α␈ane␈α␈n␈α␈t␈α	of␈α	an␈↓ ¬/␈ε	n␈↓ ¬H␈ε↔α␈↓ ¬n␈ε	n␈↓ ε␈εβma␈α␈tri␈α↓x␈↓ εv␈ε	X␈↓ π≠␈εβ=␈α
(␈↓ πQ␈ε	x␈↓ πw␈εβ)␈α	may␈αλbe␈α	ca␈α␈l␈α↓c␈α␈ulated␈αλas␈α	follo␈α␈ws:
␈βα0␈↓ ␈ε↓␈␈↓ ≡␈ε↓↓
␈βα5␈↓ π`␈εi␈↓ πk␈εj
␈βαJ␈↓ ∞␈εn
␈βαR␈↓ ↓H␈εβS␈α␈tart␈α∞with␈α∞th␈α␈e␈↓ β+␈ε	n␈↓ βM␈εβqu␈α␈an␈α}ti␈α↓ties␈↓ ∧i␈ε	x␈↓ ¬⊃␈εβ,␈↓ ¬)␈ε	x␈↓ ¬R␈εβ,␈↓ ¬j␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε↔␈εβ,␈↓ ε/␈ε	x␈↓ ε[␈εβ.␈α∀F␈α↓o␈α␈r␈α∞1␈ε↔␈α∞∀␈↓ λ	␈ε	k␈↓ λ'␈εβ<␈↓ λW␈ε	n␈↓ λk␈εβ,␈α∂ass␈α␈ume␈α∞th␈α␈at␈α∞th␈α␈e
␈βα\␈↓ ∧x␈εε11␈↓ ¬9␈εε1␈α␈2␈↓ ε>␈εε1␈↓ εK␈εn
␈βαb␈↓ ⊂␈εk
␈βαy␈↓ ↓H␈εβq␈α␈ua␈α␈n␈α␈tities␈↓ αa␈ε	A␈↓ β∨␈εβh␈α␈av␈α}e␈αb␈α␈een␈αco␈α␈mpu␈α␈ted␈α␈,␈αfor␈αall␈↓ εB␈ε	k␈↓ εR␈εβ-elemen␈α}t␈αsu␈α␈bset␈α␈s␈↓ λL␈ε	S␈↓ λl␈εβo␈α␈f␈ε↔␈αf␈εβ1␈α␈,␈αε2,␈↓ 	c␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 
∂␈εβ,␈↓ 
≡␈ε	n␈↓ 
2␈ε↔g␈εβ,␈αwhere
␈βββ␈↓ α.␈ε↓P
␈ββ∧␈↓ αv␈εk␈↓ ββ␈εS
␈ββ!␈↓ ↓H␈ε	A␈↓ α∧␈εβ=␈↓ αZ␈ε	x␈↓ β⊃␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ β=␈ε	x␈↓ βy␈εβsu␈α␈mmed␈αλo␈α}v␈α␈er␈αλall␈↓ ¬k␈ε	k␈↓ ¬{␈εβ!␈α	p␈α␈erm␈α␈u␈α␈tation␈α␈s␈↓ πT␈ε	j␈↓ πs␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ λ∨␈ε	j␈↓ λA␈εβo␈α␈f␈α	th␈α␈e␈αλelemen␈α}ts␈α	o␈α␈f␈↓ 
E␈ε	S␈↓ 
Y␈εβ;␈α
th␈α␈en
␈ββ,␈↓ ↓]␈εk␈↓ ↓j␈εS␈↓ αi␈εε1␈↓ αv␈εj␈↓ βM␈εk␈↓ βZ␈εj␈↓ π`␈εε1␈↓ λ+␈εk
␈ββ3␈↓ β␈επ1␈↓ βd␈ε
k
␈ββI␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈rm␈αall␈αof␈αthe␈αsu␈α␈ms
␈ββP␈↓ ¬{␈ε↓X
␈ββv␈↓ ∧↑␈ε	A␈↓ ¬P␈εβ=␈↓ ε4␈ε	A␈↓ π.␈ε	x␈↓ λ
␈εβ.
␈β∧↓␈↓ ∧s␈εε(␈↓ ∧{␈εk␈↓ ¬	␈εε+1␈α␈)␈↓ ¬7␈εS␈↓ εJ␈εk␈↓ εW␈εε(␈↓ ε←␈εS␈↓ εo␈ε~∧f␈↓ π	␈εj␈↓ π∃␈ε~g␈εε␈α␈)␈↓ π=␈εε(␈↓ πF␈εk␈↓ πS␈εε+1)␈↓ λ↓␈εj
␈β∧'␈↓ ¬⎇␈εj␈↓ ε	␈ε~2␈↓ ε≥␈εS
␈β∧M␈↓ ↓H␈εβWe␈αh␈α␈av␈α␈e␈α
per(␈↓ β␈ε	X␈↓ β&␈εβ)␈α
=␈↓ βe␈ε	A␈↓ ∧d␈εβ.
␈β∧Y␈↓ βz␈εn␈↓ ∧␈ε~f␈εε␈α␈1,␈↓ ∧+␈εε...␈↓ ∧@␈εε,␈↓ ∧G␈εn␈↓ ∧W␈ε~g
␈β∧w␈↓ α␈εβHo␈α␈w␈α∂ma␈α␈n␈α␈y␈α∞ad␈α␈dition␈α␈s␈α∂an␈α␈d␈α∂m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α␈s␈α∂do␈α␈es␈α∂this␈α∂m␈α␈etho␈α␈d␈α∂re␈α␈quire?␈α⊗Ho␈α␈w␈α∂m␈α␈u␈α␈ch
␈β¬≡␈↓ ↓H␈εβte␈α␈mpo␈α␈rary␈α
storag␈α␈e␈αis␈αneed␈α␈ed␈α␈?
␈β¬X␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβ[␈ε	M50␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Is␈αλthere␈αλan␈α}y␈αλway␈αλto␈αλeva␈α␈l␈α↓u␈α␈ate␈αλthe␈αλp␈α␈erman␈α␈en␈α}t␈α	of␈αλa␈α	g␈α␈ene␈α␈ral␈↓ 	≤␈ε	n␈↓ 	4␈ε↔α␈↓ 	Y␈ε	n␈↓ 	v␈εβma␈α␈trix␈α	u␈α␈sing
␈βε␈↓ ↓H␈εβa␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈αo␈α␈f␈αope␈α␈ration␈α␈s␈αthat␈αd␈α␈oes␈αn␈α␈ot␈αg␈α␈ro␈α␈w␈αexp␈α␈on␈α␈en␈α␈tia␈α␈l␈α↓ly␈αwith␈↓ λ[␈ε	n␈↓ λo␈εβ?
␈βε9␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβ[␈ε	M50␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Wha␈α␈t␈αεis␈αεth␈α␈e␈αεm␈α␈i␈α↓n␈α␈im␈α␈um␈α¬n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈αεo␈α␈f␈αεm␈α␈ultip␈α␈l␈α↓ica␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈α¬requ␈α␈i␈α↓r␈α␈ed␈α¬to␈αεfo␈α␈rm␈αεth␈α␈e␈αεp␈α␈rod␈α␈uc␈α␈t
␈βε]␈↓ 	2␈ε
␈βεa␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α	t␈α␈w␈α␈o␈↓ α)␈ε	n␈↓ αA␈ε↔α␈↓ αg␈ε	n␈↓ β∧␈εβma␈α␈tri␈α↓c␈α␈es?␈α
W␈α↓h␈α␈at␈α	is␈α	th␈α␈e␈α	sma␈α␈ll␈α↓e␈α␈st␈α	exp␈α␈on␈α␈en␈α␈t␈↓ πP␈ε	␈↓ πl␈εβs␈α␈uch␈αλtha␈α␈t␈↓ λ{␈ε	O␈↓ 	∪␈εβ(␈↓ 	≡␈ε	n␈↓ 	A␈εβ)␈α	m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α␈s
␈βπλ␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈αsu}␈α␈cien␈α␈t?
␈βπB␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβ[␈ε	M23␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Find␈α	the␈α	i␈α↓n␈α}v␈α␈erse␈α	of␈α
the␈α	gen␈α␈eral␈α
|␈α␈nite␈α
Fou␈α␈rier␈α
tran␈α␈sform␈α
(3␈α␈7),␈αb␈α␈y␈α
e␈α␈xp␈α␈ressing
␈βπj␈↓ ↓H␈ε	F␈↓ ↓←␈εβ(␈↓ ↓j␈ε	t␈↓ α↓␈εβ,␈↓ α∂␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ α<␈εβ,␈↓ αK␈ε	t␈↓ αe␈εβ)␈αin␈αterm␈α␈s␈αof␈αthe␈αv␈α␈alu␈α␈es␈αof␈↓ ¬k␈ε	f␈↓ ¬{␈εβ(␈↓ εε␈ε	s␈↓ ε≡␈εβ,␈↓ ε-␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ εY␈εβ,␈↓ εh␈ε	s␈↓ πβ␈εβ).␈α~[␈ε⊂Hin␈α␈t:␈εβ␈αSe␈α␈e␈αE␈α↓q␈α␈.␈α1␈α␈.2.9↑1␈α␈3.]
␈βπt␈↓ ↓t␈εε1␈↓ αT␈εn␈↓ ε⊃␈εε1␈↓ εs␈εn
␈βλ ␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βλ$␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈28␈↓ αm␈εβ]␈α⊗(␈ε⊂\Fast␈αFourier␈αtran␈α␈sforms."␈εβ)␈α~Sh␈α␈o␈α␈w␈αt␈α␈hat␈αthe␈αsch␈α␈eme␈α(4␈α␈0)␈αca␈α␈n␈αbe␈αused␈αto
␈βλK␈↓ ↓H␈εβe␈α␈valu␈α␈ate␈αth␈α␈e␈αon␈α␈e-dimen␈α␈sion␈α␈al␈αF␈α↓o␈α␈urier␈αtra␈α␈nsfor␈α␈m
␈βλ{␈↓ ∧≠␈ε↓X
␈β	⊗␈↓ πB␈ε
n
␈β	~␈↓ ¬A␈εs␈↓ ¬L␈εt␈↓ πβ␈εε2␈↓ π⊂␈ε→␈↓ π≡␈εi␈↓ π)␈εε/␈↓ π6␈εε2␈↓ 	?␈εn
␈β	 ␈↓ β≠␈ε	f␈↓ β+␈εβ(␈↓ β6␈ε	s␈↓ βD␈εβ)␈α	=␈↓ ∧m␈ε	F␈↓ ¬∧␈εβ(␈↓ ¬∂␈ε	t␈↓ ¬≠␈εβ)␈↓ ¬,␈ε	|␈↓ ¬V␈εβ,␈↓ ε-␈ε	|␈↓ εK␈εβ=␈↓ εv␈ε	e␈↓ πR␈εβ,␈↓ λ(0␈ε↔␈α	∀␈↓ λm␈ε	s␈↓ 	∧␈εβ<␈↓ 	.␈εβ2␈↓ 	O␈εβ,
␈β	N␈↓ ∧X␈ε
n
␈β	Q␈↓ ∧β␈εε0␈ε~∀␈↓ ∧)␈εt␈↓ ∧2␈εε<␈↓ ∧L␈εε2
␈β
+␈↓ ↓H␈εβu␈α␈sing␈αarith␈α␈metic␈αon␈αco␈α␈mplex␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers.␈α⊂Estima␈α␈te␈α
t␈α␈he␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α
of␈αarithm␈α␈etic␈α
o␈α␈per␈α␈ation␈α␈s
␈β
S␈↓ ↓H␈εβp␈α␈erform␈α␈ed.
␈β	␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β
␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈28␈↓ αm␈εβ]␈α⊗The␈↓ βT␈ε	n␈↓ βh␈εβth␈ε⊂␈α∞divid␈α␈ed␈α∂d␈α␈i{␈α↓e␈α␈renc␈α␈e␈↓ ε*␈ε	f␈↓ ε:␈εβ(␈↓ εE␈ε	x␈↓ εa␈εβ,␈↓ εp␈ε	x␈↓ π␈εβ,␈↓ π≠␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ πG␈εβ,␈↓ πV␈ε	x␈↓ πu␈εβ)␈α∂of␈α∂a␈α∞fun␈α␈ction␈↓ 	`␈ε	f␈↓ 	p␈εβ(␈↓ 	{␈ε	x␈↓ 

␈εβ)␈α∞at␈↓ 
S␈ε	n␈↓ 
q␈εβ+␈α
1
␈β↔␈↓ εT␈εε0␈↓ ε␈␈εε1␈↓ πe␈εn
␈β4␈↓ ↓H␈εβd␈α␈isti␈α↓n␈α␈ct␈αp␈α␈oin␈α␈ts␈↓ β#␈ε	x␈↓ β?␈εβ,␈↓ βS␈ε	x␈↓ βo␈εβ,␈↓ ∧∧␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ∧0␈εβ,␈↓ ∧D␈ε	x␈↓ ∧o␈εβis␈αde|␈α␈ned␈α
by␈α
the␈αfo␈α␈rm␈α␈ula
␈β?␈↓ β2␈εε0␈↓ βc␈εε1␈↓ ∧T␈εn
␈βε␈↓ ∧O␈εα(␈↓ 	λ␈εα)
␈β	␈↓ αE␈ε	f␈↓ αT␈εβ(␈↓ α`␈ε	x␈↓ α|␈εβ,␈↓ β
␈ε	x␈↓ β&␈εβ,␈↓ β5␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βb␈εβ,␈↓ βp␈ε	x␈↓ ∧⊂␈εβ)␈α	=␈↓ ∧[␈ε	f␈↓ ∧k␈εβ(␈↓ ∧v␈ε	x␈↓ ¬∩␈εβ,␈↓ ¬!␈ε	x␈↓ ¬=␈εβ,␈↓ ¬L␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬x␈εβ,␈↓ επ␈ε	x␈↓ εL␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ ππ␈ε	f␈↓ π↔␈εβ(␈↓ π"␈ε	x␈↓ π>␈εβ,␈↓ πM␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ πz␈εβ,␈↓ λλ␈ε	x␈↓ λN␈εβ,␈↓ λ]␈ε	x␈↓ λ|␈εβ)␈↓ 	∀␈εβ/␈α␈(␈↓ 	/␈ε	x␈↓ 	S␈ε↔␈␈↓ 	{␈ε	x␈↓ 
≠␈εβ),
␈β∀␈↓ αo␈εε0␈↓ β~␈εε1␈↓ ∧␈εn␈↓ ¬¬␈εε0␈↓ ¬0␈εε1␈↓ ε⊗␈εn␈↓ ε&␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ π2␈εε1␈↓ λ_␈εn␈↓ λ(␈ε~␈␈εε1␈↓ λl␈εn␈↓ 	?␈εε0␈↓ 
␈εn
␈β@␈↓ ¬A␈ε↓P␈↓ π"␈ε↓Q
␈β↑␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈↓ ↓y␈ε	n␈↓ α⊗␈εβ>␈α
0␈α␈.␈αTh␈α}us␈↓ β6␈ε	f␈↓ βF␈εβ(␈↓ βQ␈ε	x␈↓ βm␈εβ,␈↓ β|␈ε	x␈↓ ∧_␈εβ,␈↓ ∧'␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧S␈εβ,␈↓ ∧b␈ε	x␈↓ ¬α␈εβ)␈α	=␈↓ εI␈ε	f␈↓ εY␈εβ(␈↓ εd␈ε	x␈↓ π␈εβ)␈α↓/␈↓ λ]␈εβ(␈↓ λh␈ε	x␈↓ 	λ␈ε↔␈␈↓ 	.␈ε	x␈↓ 	I␈εβ)␈α	is␈α	a␈αλsy␈α␈mme␈α␈tri␈α↓c
␈βh␈↓ βa␈εε0␈↓ ∧␈εε1␈↓ ∧r␈εn␈↓ εs␈εk␈↓ λw␈εk␈↓ 	=␈εj
␈βp␈↓ ¬g␈εε0␈ε~␈α␈∀␈↓ ε
␈εk␈↓ ε~␈ε~∀␈↓ ε3␈εn␈↓ πD␈εε0␈ε~␈α␈∀␈↓ πj␈εj␈↓ πv␈ε~∀␈↓ λ∂␈εn␈↓ λ∨␈εε,␈↓ λ*␈εj␈↓ λ6␈ε~≤␈↓ λP␈εk
␈β
␈↓ 	␈εε(␈↓ 	∃␈εn␈↓ 	%␈εε)
␈β
∞␈↓ ↓H␈εβfu␈α␈nct␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αof␈αits␈↓ β#␈ε	n␈↓ β?␈εβ+␈αλ1␈αarg␈α␈ume␈α␈n␈α␈ts.␈α≠(a)␈αPro␈α␈v␈α␈e␈αth␈α␈at␈↓ π~␈ε	f␈↓ π)␈εβ(␈↓ π5␈ε	x␈↓ πQ␈εβ,␈↓ π←␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ␈εβ,␈↓ λ≠␈ε	x␈↓ λ:␈εβ)␈α=␈↓ λ|␈ε	f␈↓ 	-␈εβ(␈↓ 	8␈ε	∩␈↓ 	G␈εβ)/␈↓ 	b␈ε	n␈↓ 	v␈εβ!␈α↓,␈αfor␈αsom␈α␈e␈↓ ≡␈ε	∩
␈β
_␈↓ πD␈εε0␈↓ λ*␈εn
␈β
1␈↓ 	"␈εε(␈↓ 	*␈εn␈↓ 	;␈εε)
␈β
5␈↓ ↓H␈εβb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈↓ αH␈εβmin␈↓ β␈εβ(␈↓ β␈ε	x␈↓ β'␈εβ,␈↓ β6␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ βb␈εβ,␈↓ βq␈ε	x␈↓ ∧⊃␈εβ)␈αan␈α␈d␈↓ ∧j␈εβma␈α␈x␈↓ ¬)␈εβ(␈↓ ¬4␈ε	x␈↓ ¬P␈εβ,␈↓ ¬←␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ε␈εβ,␈↓ ε~␈ε	x␈↓ ε:␈εβ),␈αi␈α↓f␈αth␈α␈e␈↓ π5␈ε	n␈↓ πI␈εβth␈αd␈α␈erivat␈α␈i␈α↓v␈α}e␈↓ 	∩␈ε	f␈↓ 	C␈εβ(␈↓ 	N␈ε	x␈↓ 	`␈εβ)␈αex␈α␈ists␈αand␈αis
␈β
@␈↓ β~␈εε0␈↓ ∧␈εn␈↓ ¬C␈εε0␈↓ ε)␈εn
␈β
]␈↓ ↓H␈εβc␈α␈on␈α␈tin␈α}uou␈α␈s.␈α→[␈ε⊂␈α↓Hin␈α␈t:␈εβ␈αPro␈α␈v␈α␈e␈α
the␈αide␈α␈n␈α␈tity
␈β∞2␈↓ ↓E␈ε	f␈↓ ↓U␈εβ(␈↓ ↓`␈ε	x␈↓ ↓|␈εβ,␈↓ α␈ε	x␈↓ α'␈εβ,␈↓ α5␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ αb␈εβ,␈↓ αq␈ε	x␈↓ β⊂␈εβ)␈α
=
␈β∞<␈↓ ↓o␈εε0␈↓ α~␈εε1␈↓ β␈εn
␈β∞Y␈↓ ↓O␈ε↓Z␈↓ α)␈ε↓Z␈↓ β1␈ε↓Z
␈β∞b␈↓ ↓s␈εε1␈↓ αM␈εt␈↓ βU␈εt
␈β∞i␈↓ αU␈επ1␈↓ β↑␈ε
n␈↓ βm␈ε≠␈␈επ1
␈β∂α␈↓ ∧1␈εε(␈↓ ∧9␈εn␈↓ ∧I␈εε)
␈β∂¬␈↓ ∧R␈εα(␈↓ ~␈εα)
␈β∂λ␈↓ ↓z␈ε	d␈↓ α
␈ε	t␈↓ αX␈ε	d␈↓ αj␈ε	t␈↓ βε␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βt␈ε	d␈↓ ∧π␈ε	t␈↓ ∧!␈ε	f␈↓ ∧↑␈ε	x␈↓ ∧z␈εβ(1␈ε↔␈α␈␈␈↓ ¬7␈ε	t␈↓ ¬M␈εβ)␈αλ+␈↓ ε	␈ε	x␈↓ ε%␈εβ(␈↓ ε0␈ε	t␈↓ εF␈ε↔␈␈↓ εh␈ε	t␈↓ ε}␈εβ)␈αλ+␈↓ π9␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πh␈εβ+␈↓ λ⊂␈ε	x␈↓ λV␈εβ(␈↓ λa␈ε	t␈↓ 	!␈ε↔␈␈↓ 	B␈ε	t␈↓ 	]␈εβ)␈απ+␈↓ 
_␈ε	x␈↓ 
7␈εβ(␈↓ 
C␈ε	t␈↓ 
]␈ε↔␈␈εβ0)␈↓ &␈εβ.
␈β∂∪␈↓ α⊗␈εε1␈↓ αt␈εε2␈↓ ∧⊂␈εn␈↓ ∧m␈εε0␈↓ ¬A␈εε1␈↓ ε_␈εε1␈↓ ε:␈εε1␈↓ εr␈εε2␈↓ λ ␈εn␈↓ λ0␈ε~␈␈εε1␈↓ λk␈εn␈↓ λ{␈ε~␈␈εε1␈↓ 	L␈εn␈↓ 
'␈εn␈↓ 
M␈εn
␈β∂,␈↓ ↓c␈εε0␈↓ α=␈εε0␈↓ βE␈εε0
␈β∂n␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈is␈αλfo␈α␈rm␈α␈ula␈απa␈α␈lso␈απde␈α␈|n␈α␈es␈↓ ∧.␈ε	f␈↓ ∧>␈εβ(␈↓ ∧I␈ε	x␈↓ ∧e␈εβ,␈↓ ∧t␈ε	x␈↓ ¬⊂␈εβ,␈↓ ¬∨␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬K␈εβ,␈↓ ¬Z␈ε	x␈↓ ¬z␈εβ)␈απin␈απa␈απu␈α␈seful␈απma␈α␈nn␈α␈er␈απwhe␈α␈n␈απthe␈↓ 	∨␈ε	x␈↓ 	B␈εβare␈απn␈α␈ot␈απd␈α␈i␈α↓s␈α␈ti␈α↓n␈α␈ct.]
␈β∂x␈↓ ∧Y␈εε0␈↓ ¬β␈εε1␈↓ ¬j␈εn␈↓ 	/␈εj
␈β⊂∃␈↓ ↓H␈εβ(b␈α␈)␈αλIf␈↓ α⊗␈ε	y␈↓ α;␈εβ=␈↓ αf␈ε	f␈↓ αv␈εβ(␈↓ β↓␈ε	x␈↓ β≤␈εβ)␈α↓,␈αλsho␈α␈w␈αλt␈α␈hat␈↓ ∧N␈ε	␈↓ ∧t␈εβ=␈↓ ¬∨␈ε	f␈↓ ¬/␈εβ(␈↓ ¬:␈ε	x␈↓ ¬V␈εβ,␈↓ ¬d␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε⊃␈εβ,␈↓ ε ␈ε	x␈↓ ε;␈εβ)␈αλin␈αλNewto␈α␈n's␈αλin␈α␈te␈α␈rpola␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αλp␈α␈olyn␈α␈omia␈α␈l␈α	(4␈α␈2).
␈β⊂ ␈↓ α&␈εj␈↓ β⊂␈εj␈↓ ∧←␈εj␈↓ ¬I␈εε0␈↓ ε/␈εj
␈β⊂K␈↓ λ?␈εε[␈↓ λF␈εn␈↓ λV␈εε]␈↓ 	n␈εn
␈β⊂O␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβ[␈ε	M22␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Ho␈α␈w␈α
can␈α
w␈α␈e␈αrea␈α␈dily␈αc␈α␈omp␈α␈ute␈α
the␈α
coe}␈α␈ci␈α↓e␈α␈n␈α␈ts␈αo␈α␈f␈↓ λ+␈ε	u␈↓ λ]␈εβ(␈↓ λi␈ε	x␈↓ λz␈εβ)␈α	=␈↓ 	9␈ε	u␈↓ 	\␈ε	x␈↓ 
¬␈εβ+␈↓ 
-␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 
[␈εβ+␈↓ β␈ε	u␈↓ #␈εβ,
␈β⊂Z␈↓ 	L␈εn␈↓ ↔␈εε0
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβif␈αw␈α␈e␈αare␈α
giv␈α␈en␈α
the␈α
valu␈α␈es␈αof␈↓ ∧m␈ε	x␈↓ ¬	␈εβ,␈↓ ¬≥␈ε	x␈↓ ¬9␈εβ,␈↓ ¬M␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬z␈εβ,␈↓ ε∞␈ε	x␈↓ εT␈εβ,␈↓ εh␈ε	␈↓ πε␈εβ,␈↓ π~␈ε	␈↓ π8␈εβ,␈↓ πL␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ πy␈εβ,␈↓ λ
␈ε	␈↓ λ:␈εβin␈α
Newton␈α␈'␈α↓s␈αin␈α}terpo␈α␈lation
␈β⊃↓␈↓ ∧|␈εε0␈↓ ¬-␈εε1␈↓ ε≥␈εn␈↓ ε.␈ε~␈␈εε1␈↓ εy␈εε0␈↓ π+␈εε1␈↓ λ≡␈εn
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α(4␈α␈2)?
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα480␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.4
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβ[␈ε	M46␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Is␈αth␈α␈ere␈αa␈αway␈α
to␈αev␈α␈alua␈α␈te␈αth␈α␈e␈αpoly␈α␈no␈α␈mial
␈βαT␈↓ ∧V␈ε↓X
␈βαy␈↓ ¬6␈ε	x␈↓ ¬P␈ε	x␈↓ ¬t␈εβ=␈↓ ε∨␈ε	x␈↓ ε;␈ε	x␈↓ ε↑␈εβ+␈↓ ππ␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π5␈εβ+␈↓ π↑␈ε	x␈↓ λ$␈ε	x
␈βββ␈↓ ¬E␈εi␈↓ ¬←␈εj␈↓ ε.␈εε1␈↓ εJ␈εε2␈↓ πm␈εn␈↓ π}␈ε~␈␈εε1␈↓ λ3␈εn
␈ββ*␈↓ ∧1␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ ∧W␈εi␈↓ ∧a␈εε<␈↓ ∧z␈εj␈↓ ¬π␈ε~∀␈↓ ¬ ␈εn
␈ββ;␈↓ 	{␈ε↓␈␈↓ 
→␈ε↓↓
␈ββU␈↓ 
	␈εn
␈ββ\␈↓ ↓H␈εβwith␈α
f␈α↓e␈α␈we␈α␈r␈αtha␈α␈n␈↓ β9␈ε	n␈↓ βT␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓t␈α␈i␈α↓p␈α␈li␈α↓ca␈α␈tions␈αa␈α␈nd␈α
2␈↓ εM␈ε	n␈↓ εh␈ε↔␈␈εβ␈αλ4␈αa␈α␈dd␈α␈i␈α↓tion␈α␈s?␈α→(There␈α
are␈↓ 
2␈εβterms.)
␈ββl␈↓ 
␈εε2
␈β∧∞␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗If␈αthe␈α
f␈α↓o␈α␈urth␈α␈-deg␈α␈ree␈αsch␈α␈eme␈α(9␈α␈)␈αwe␈α␈re␈αcha␈α␈ng␈α␈ed␈αto
␈β∧T␈↓ ε␈␈εα(␈↓ 	$␈εα)
␈β∧W␈↓ β≥␈ε	y␈↓ β9␈εβ=␈α
(␈↓ βo␈ε	x␈↓ ∧π␈εβ+␈↓ ∧0␈ε	␈↓ ∧N␈εβ)␈↓ ∧Y␈ε	x␈↓ ∧r␈εβ+␈↓ ¬≠␈ε	␈↓ ¬9␈εβ,␈↓ ε∂␈ε	u␈↓ ε#␈εβ(␈↓ ε/␈ε	x␈↓ ε@␈εβ)␈α	=␈↓ π␈εβ(␈↓ π⊗␈ε	y␈↓ π0␈ε↔␈␈↓ πY␈ε	x␈↓ πq␈εβ+␈↓ λ~␈ε	␈↓ λ8␈εβ)␈↓ λC␈ε	y␈↓ λ]␈εβ+␈↓ 	ε␈ε	␈↓ 	0␈ε	␈↓ 	N␈εβ,
␈β∧b␈↓ ∧A␈εε0␈↓ ¬,␈εε1␈↓ λ+␈εε2␈↓ 	↔␈εε3␈↓ 	A␈εε4
␈β¬!␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈at␈α
form␈α}ulas␈α
for␈α
c␈α␈omp␈α␈uting␈α	the␈↓ ¬0␈ε	␈↓ ¬M␈εβ's␈α
i␈α↓n␈α	terms␈α
o␈α␈f␈αt␈α␈he␈↓ πM␈ε	u␈↓ πm␈εβ's␈αw␈α␈o␈α␈uld␈α
ta␈α␈k␈α␈e␈α
th␈α␈e␈α
pla␈α␈ce␈α
of␈α
(10␈α␈)?
␈β¬+␈↓ ¬A␈εj␈↓ π`␈εk
␈β¬N␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β¬R␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈εβ[␈ε	M24␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Exp␈α␈lain␈α∞h␈α␈o␈α␈w␈α∞to␈α
de␈α␈termine␈α
the␈α
ad␈α␈apte␈α␈d␈α∞c␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓en␈α}ts␈↓ λp␈ε	␈↓ 	∞␈εβ,␈↓ 	&␈ε	␈↓ 	D␈εβ,␈↓ 	[␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
λ␈εβ,␈↓ 
 ␈ε	␈↓ 
K␈εβi␈α↓n␈α
(11␈α␈)
␈β¬]␈↓ 	↓␈εε0␈↓ 	7␈εε1␈↓ 
1␈εε5
␈β¬z␈↓ ↓H␈εβfro␈α␈m␈αλthe␈απcoe}␈α␈ci␈α↓e␈α␈n␈α␈ts␈↓ βo␈ε	u␈↓ ∧∂␈εβ,␈↓ ∧!␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ∧M␈εβ,␈↓ ∧←␈ε	u␈↓ ∧␈␈εβ,␈↓ ¬⊃␈ε	u␈↓ ¬8␈εβof␈↓ ¬\␈ε	u␈↓ ¬p␈εβ(␈↓ ¬{␈ε	x␈↓ ε
␈εβ),␈α	a␈α␈nd␈απ|n␈α␈d␈αλth␈α␈e␈↓ π]␈ε	␈↓ πp␈εβ's␈αλfor␈αλth␈α␈e␈αλp␈α␈articula␈α␈r␈αλpoly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l
␈βε∧␈↓ ∧α␈εε5␈↓ ∧r␈εε1␈↓ ¬$␈εε0
␈βε≥␈↓ αH␈εε5␈↓ β'␈εε4␈↓ ∧↔␈εε3␈↓ ¬ε␈εε2
␈βε!␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓\␈εβ(␈↓ ↓g␈ε	x␈↓ ↓x␈εβ)␈α	=␈↓ α7␈ε	x␈↓ α\␈εβ+␈αλ5␈↓ β⊗␈ε	x␈↓ β;␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈0␈↓ ∧¬␈ε	x␈↓ ∧+␈ε↔␈␈εβ␈απ50␈↓ ∧u␈ε	x␈↓ ¬~␈εβ+␈αλ1␈α␈3␈↓ ¬d␈ε	x␈↓ ¬⎇␈εβ+␈απ60.
␈βεO␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βεP␈↓ β↑␈ε∃MIX
␈βεS␈↓ ↓V␈ε∪20.␈↓ α␈εβ[␈ε	21␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Wri␈α↓te␈α⊂a␈↓ ∧-␈εβp␈α␈rog␈α␈ram␈α⊂th␈α␈at␈α⊂ev␈α␈alua␈α␈tes␈α⊂a␈α⊂|␈α␈fth-d␈α␈egree␈α⊂p␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α⊃a␈α␈ccord␈α␈ing
␈βε{␈↓ ↓H␈εβto␈α∂sc␈α␈hem␈α␈e␈α⊂(1␈α␈1);␈α∩try␈α∂to␈α∂ma␈α␈k␈α␈e␈α∂the␈α∂p␈α␈rogra␈α␈m␈α∂as␈α⊂e␈α␈}cien␈α␈t␈α∂as␈α∂p␈α␈ossible,␈α⊃b␈α␈y␈α∂ma␈α␈king␈α∂sligh␈α}t
␈βπ∨␈↓ ∧G␈ε∃M␈α␈IX
␈βπ"␈↓ ↓H␈εβm␈α␈odi|␈α␈cation␈α␈s␈αto␈α(11␈α␈).␈αUse␈↓ ¬¬␈εβ's␈α⎇␈α␈oatin␈α␈g-po␈α␈i␈α↓n␈α}t␈αarithm␈α␈etic␈αop␈α␈erato␈α␈rs.
␈βπP␈↓ λ/␈εε6␈↓ 	≥␈εε5␈↓ 

␈εε4␈↓ 
x␈εε3
␈βπT␈↓ ↓V␈ε∪21.␈↓ α␈εβ[␈ε	20␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Fi␈α↓n␈α␈d␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
more␈α
way␈α␈s␈αto␈α
e␈α␈valu␈α␈ate␈α
the␈α
po␈α␈lyn␈α␈omial␈↓ λ≥␈ε	x␈↓ λB␈εβ+␈απ13␈↓ 	␈ε	x␈↓ 	0␈εβ+␈απ4␈α␈9␈↓ 	y␈ε	x␈↓ 
≥␈εβ+␈απ33␈↓ 
g␈ε	x␈↓ ␈ε↔␈
␈βπw␈↓ ↓z␈εε2
␈βπ|␈↓ ↓H␈εβ6␈α␈1␈↓ ↓i␈ε	x␈↓ α
␈ε↔␈␈εβ␈αε37␈↓ αV␈ε	x␈↓ αm␈εβ+␈απ3␈α	by␈α
sc␈α␈hem␈α␈e␈α
(12),␈α
using␈α	the␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
ro␈α␈ots␈α
of␈α
(15␈α␈)␈αth␈α␈at␈α
w␈α␈ere␈α
n␈α␈ot␈α
co␈α␈nsid␈α␈ered␈α
in
␈βλ#␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αtex␈α␈t.
␈βλQ␈↓ εe␈εε6␈↓ πA␈εε5␈↓ λ␈εε4␈↓ λh␈εε3␈↓ 	3␈εε2
␈βλU␈↓ ↓V␈ε∪22.␈↓ α␈εβ[␈ε	18␈↓ α;␈εβ]␈α⊗What␈α
is␈α
th␈α␈e␈α
sch␈α␈eme␈α
fo␈α␈r␈α
eva␈α␈l␈α↓u␈α␈atin␈α␈g␈↓ εT␈ε	x␈↓ εx␈ε↔␈␈εβ␈αε3␈↓ π0␈ε	x␈↓ πT␈εβ+␈↓ π{␈ε	x␈↓ λ∨␈ε↔␈␈εβ␈αε2␈↓ λW␈ε	x␈↓ λ{␈εβ+␈↓ 	"␈ε	x␈↓ 	F␈ε↔␈␈εβ␈αε3␈↓ 	}␈ε	x␈↓ 
∃␈ε↔␈␈εβ␈αε1,␈αu␈α␈sing
␈βλ|␈↓ ↓H␈εβPan␈α␈'s␈αmeth␈α␈od␈α(1␈α␈6)?
␈β	*␈↓ ε
␈εn␈↓ π"␈εn␈↓ π3␈ε~␈␈εε1
␈β	.␈↓ ↓V␈ε∪23.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈30␈↓ αm␈εβ]␈α⊗(J.␈α∞E␈α↓v␈α}e.)␈α Let␈↓ ∧j␈ε	f␈↓ ∧z␈εβ(␈↓ ¬¬␈ε	z␈↓ ¬∪␈εβ)␈α∂=␈↓ ¬]␈ε	a␈↓ ¬|␈ε	z␈↓ ε$␈εβ+␈↓ εO␈ε	a␈↓ π∃␈ε	z␈↓ πb␈εβ+␈↓ λ
␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ=␈εβ+␈↓ λh␈ε	a␈↓ 	∪␈εβb␈α␈e␈α∞a␈α∞poly␈α␈no␈α␈mial␈α∂o␈α␈f
␈β	9␈↓ ¬l␈εn␈↓ ε←␈εn␈↓ εo␈ε~␈␈εε1␈↓ λx␈εε0
␈β	V␈↓ ↓H␈εβd␈α␈egre␈α␈e␈↓ α*␈ε	n␈↓ αC␈εβw␈α↓ith␈α¬rea␈α␈l␈αεcoe␈α␈}cien␈α␈ts,␈αεhav␈α␈ing␈α¬at␈α¬l␈α↓ea␈α␈st␈↓ εE␈ε	n␈↓ εY␈ε↔␈␈εβ1␈αεro␈α␈ots␈α¬wi␈α↓th␈α¬a␈α¬no␈α␈nn␈α␈ega␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈αεre␈α␈al␈αεp␈α␈art.␈α	L␈α↓e␈α␈t
␈β
↔␈↓ ∧⊗␈εn␈↓ ¬*␈εn␈↓ ¬:␈ε~␈␈εε2␈↓ π]␈εn␈↓ πr␈εεmo␈α␈d␈↓ λ%␈εε2
␈β
≥␈↓ β↓␈ε	g␈↓ β⊂␈εβ(␈↓ β≤␈ε	z␈↓ β)␈εβ)␈↓ β>␈εβ=␈↓ βh␈ε	a␈↓ ∧λ␈ε	z␈↓ ∧-␈εβ+␈↓ ∧V␈ε	a␈↓ ¬≤␈ε	z␈↓ ¬g␈εβ+␈↓ ε⊂␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ ε>␈εβ+␈↓ εg␈ε	a␈↓ πO␈ε	z␈↓ λ2␈εβ,
␈β
(␈↓ βx␈εn␈↓ ∧f␈εn␈↓ ∧v␈ε~␈␈εε2␈↓ εv␈εn␈↓ π␈εεmo␈α␈d␈↓ π?␈εε2
␈β
J␈↓ ∧<␈εn␈↓ ∧L␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬u␈εn␈↓ ε¬␈ε~␈␈εε␈α↓3␈↓ λ←␈εε(␈↓ λh␈εn␈↓ λx␈ε~␈␈εε1)␈↓ 	*␈εεmod␈↓ 	↑␈εε2
␈β
P␈↓ β␈ε	h␈↓ β⊂␈εβ(␈↓ β≤␈ε	z␈↓ β)␈εβ)␈↓ β>␈εβ=␈↓ βh␈ε	a␈↓ ∧.␈ε	z␈↓ ∧y␈εβ+␈↓ ¬"␈ε	a␈↓ ¬g␈ε	z␈↓ ε3␈εβ+␈↓ ε[␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π
␈εβ+␈↓ π2␈ε	a␈↓ λR␈ε	z␈↓ 	k␈εβ.
␈β
Z␈↓ βx␈εn␈↓ ∧λ␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬1␈εn␈↓ ¬B␈ε~␈␈εε3
␈β
[␈↓ πB␈εε(␈↓ πJ␈εn␈↓ π[␈ε~␈␈εε1␈α␈)␈↓ λ
␈εεmod␈↓ λA␈εε2
␈β↔␈↓ ↓H␈εβAssu␈α␈me␈αth␈α␈at␈↓ β
␈ε	h␈↓ β~␈εβ(␈↓ β%␈ε	z␈↓ β3␈εβ)␈αi␈α↓s␈αn␈α␈ot␈αide␈α␈n␈α␈tically␈αze␈α␈ro.
␈βH␈↓ ↓e␈εβa)␈↓ α␈εβSh␈α␈o␈α␈w␈α
th␈α␈at␈↓ β0␈ε	g␈↓ β@␈εβ(␈↓ βK␈ε	z␈↓ βY␈εβ)␈α
ha␈α␈s␈α∞a␈α␈t␈α
l␈α↓e␈α␈ast␈↓ ¬)␈ε	n␈↓ ¬F␈ε↔␈␈εβ␈α	2␈α
imag␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈αroots␈α
(i.e.,␈α∂r␈α␈oots␈α
wh␈α␈ose␈α
rea␈α␈l␈α∞p␈α␈art␈α
is
␈βp␈↓ α␈εβzero␈α␈),␈αan␈α␈d␈↓ β&␈ε	h␈↓ β7␈εβ(␈↓ βB␈ε	z␈↓ βP␈εβ)␈α
ha␈α␈s␈αa␈α␈t␈αlea␈α␈st␈↓ ¬∃␈ε	n␈↓ ¬/␈ε↔␈␈εβ␈απ3␈α
imag␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈α
ro␈α␈ots.␈α↔[␈ε⊂␈α↓Hin␈α␈t:␈εβ␈αC␈α␈onsid␈α␈er␈α
the␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αo␈α␈f
␈β↔␈↓ α␈εβtimes␈αthe␈αpath␈↓ βn␈ε	f␈↓ β}␈εβ(␈↓ ∧	␈ε	z␈↓ ∧⊗␈εβ)␈αcircles␈αth␈α␈e␈αo␈α␈ri␈α↓g␈α␈in␈αa␈α␈s␈↓ εT␈ε	z␈↓ εm␈εβgoes␈αaro␈α␈un␈α␈d␈αth␈α␈e␈αp␈α␈ath␈αsh␈α␈o␈α␈wn␈αi␈α↓n␈αFig.␈α15␈α␈,
␈β?␈↓ α␈εβfor␈αa␈αsu␈α␈}cien␈α}tly␈αlarge␈α
radiu␈α␈s␈ε	␈αR␈εβ.␈α↓]
␈βg␈↓ ↓c␈εβb)␈↓ α␈εβPro␈α␈v␈α␈e␈αt␈α␈hat␈αth␈α␈e␈αsqu␈α␈ares␈αo␈α␈f␈αthe␈αro␈α␈ots␈αof␈↓ ε9␈ε	g␈↓ εI␈εβ(␈↓ εT␈ε	z␈↓ εa␈εβ)␈α
=␈α	0␈αan␈α␈d␈↓ π⎇␈ε	h␈↓ λ
␈εβ(␈↓ λ_␈ε	z␈↓ λ&␈εβ)␈α
=␈α	0␈αa␈α␈re␈αall␈αre␈α␈al.
␈β∂|␈↓ ∧m␈ε∪Fig.␈α15␈α␈.␈εβ␈α~Proo␈α␈f␈αo␈α␈f␈αE␈α↓v␈α}e's␈αtheo␈α␈rem.
␈β⊂L␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β⊂P␈↓ ↓V␈ε∪24.␈↓ α␈εβ[␈ε	M24␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Find␈α
v␈α␈alue␈α␈s␈αo␈α␈f␈↓ ∧Q␈ε	c␈↓ ∧h␈εβan␈α␈d␈↓ ¬(␈ε	␈↓ ¬G␈εβ,␈↓ ¬[␈ε	␈␈↓ εβ␈εβsa␈α␈ti␈α↓sfy␈α␈ing␈α
th␈α␈e␈αc␈α␈ond␈α␈iti␈α↓o␈α␈ns␈α
of␈α
Theo␈α␈rem␈α
E␈↓ 
7␈εβ,␈αfor␈α
the
␈β⊂Z␈↓ ¬:␈εk␈↓ ¬k␈εk
␈β⊂s␈↓ ∧g␈εε2␈↓ ε<␈εε2
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈↓ αs␈ε	u␈↓ βπ␈εβ(␈↓ β∩␈ε	x␈↓ β$␈εβ)␈α	=␈α
(␈↓ βn␈ε	x␈↓ ∧ε␈εβ+␈απ7)(␈↓ ∧U␈ε	x␈↓ ∧z␈εβ+␈απ6␈↓ ¬3␈ε	x␈↓ ¬K␈εβ+␈απ10)(␈↓ ε+␈ε	x␈↓ εP␈εβ+␈απ4␈↓ π	␈ε	x␈↓ π!␈εβ+␈απ5)(␈↓ πp␈ε	x␈↓ λλ␈εβ+␈αλ1␈α␈).␈αC␈α␈hoo␈α␈se␈αth␈α␈ese␈α
valu␈α␈es␈αso
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α⊂␈ε	␈␈↓ α6␈εβ=␈α
0␈α␈.␈αGiv␈α␈e␈α
t␈α␈wo␈α
di{eren␈α␈t␈αso␈α␈lution␈α␈s␈αto␈αthis␈αp␈α␈rob␈α␈l␈α↓e␈α␈m!
␈β⊃*␈↓ α ␈εε2
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.4␈ε∞␈↓ π∧EV␈α|AL␈α␈U␈α␈A␈α}T␈α␈ION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα481
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪25.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Whe␈α␈n␈α
the␈α
co␈α␈nstru␈α␈ction␈α
in␈α
th␈α␈e␈α
pro␈α␈of␈α
of␈α
Theo␈α␈rem␈α
M␈α
is␈αa␈α␈pp␈α␈l␈α↓ied␈α	to␈α
the␈α
(ine}␈α␈-
␈βαR␈↓ ↓H␈εβc␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈t)␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈αcha␈α␈in
␈ββ∩␈↓ α!␈ε	∃␈↓ αJ␈εβ=␈↓ αt␈ε	␈↓ β~␈εβ+␈↓ βB␈ε	∃␈↓ βa␈εβ,␈↓ ∧8␈ε	∃␈↓ ∧a␈εβ=␈ε↔␈α	␈␈↓ ¬,␈ε	∃␈↓ ¬S␈ε↔␈␈↓ ¬|␈ε	∃␈↓ ε≠␈εβ,␈↓ εq␈ε	∃␈↓ π~␈εβ=␈↓ πD␈ε	∃␈↓ πk␈εβ+␈↓ λ∀␈ε	∃␈↓ λ3␈εβ,␈↓ 		␈ε	∃␈↓ 	2␈εβ=␈↓ 	\␈ε	␈↓ 
α␈ε↔α␈↓ 
*␈ε	∃␈↓ 
J␈εβ,
␈ββ≥␈↓ α4␈εε1␈↓ βε␈εε1␈↓ βU␈εε0␈↓ ∧K␈εε2␈↓ ¬?␈εε0␈↓ ε∞␈εε0␈↓ π∧␈εε3␈↓ πW␈εε1␈↓ λ&␈εε1␈↓ 	≤␈εε4␈↓ 	n␈εε2␈↓ 
=␈εε3
␈ββE␈↓ α2␈ε	∃␈↓ αZ␈εβ=␈↓ β¬␈ε	∃␈↓ β+␈ε↔␈␈↓ βT␈ε	∃␈↓ βs␈εβ,␈↓ ∧J␈ε	∃␈↓ ∧r␈εβ=␈↓ ¬≥␈ε	␈↓ ¬B␈ε↔␈␈↓ ¬k␈ε	∃␈↓ ε
␈εβ,␈↓ εa␈ε	∃␈↓ π	␈εβ=␈↓ π4␈ε	␈↓ πY␈εβ+␈↓ λα␈ε	∃␈↓ λ!␈εβ,␈↓ λx␈ε	∃␈↓ 	 ␈εβ=␈↓ 	K␈ε	∃␈↓ 	q␈ε↔α␈↓ 
~␈ε	∃␈↓ 
9␈εβ,
␈ββO␈↓ αD␈εε5␈↓ β↔␈εε0␈↓ βg␈εε0␈↓ ∧\␈εε6␈↓ ¬.␈εε6␈↓ ¬⎇␈εε5␈↓ εs␈εε7␈↓ πE␈εε7␈↓ λ∀␈εε6␈↓ 	
␈εε8␈↓ 	]␈εε7␈↓ 
,␈εε7
␈ββw␈↓ β*␈ε	∃␈↓ βS␈εβ=␈↓ β⎇␈ε	∃␈↓ ∧$␈ε↔α␈↓ ∧M␈ε	∃␈↓ ∧l␈εβ,␈↓ ¬B␈ε	∃␈↓ ¬w␈εβ=␈↓ ε"␈ε	␈↓ εG␈ε↔␈␈↓ εp␈ε	∃␈↓ π∂␈εβ,␈↓ πf␈ε	∃␈↓ λ≠␈εβ=␈↓ λE␈ε	∃␈↓ λl␈ε↔␈␈↓ 	∃␈ε	∃␈↓ 	@␈εβ,
␈β∧α␈↓ β=␈εε9␈↓ ∧⊂␈εε1␈↓ ∧←␈εε4␈↓ ¬U␈εε10␈↓ ε3␈εε8␈↓ πβ␈εε9␈↓ πx␈εε11␈↓ λX␈εε3␈↓ 	'␈εε10
␈β∧6␈↓ ↓H␈εβh␈α␈o␈α␈w␈αca␈α␈n␈↓ αJ␈ε	␈␈↓ αg␈εβ,␈↓ α|␈ε	␈␈↓ β→␈εβ,␈↓ β-␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βZ␈εβ,␈↓ βn␈ε	␈␈↓ ∧⊗␈εβbe␈αex␈α␈pre␈α␈ssed␈αin␈α
terms␈αof␈↓ πβ␈ε	␈↓ π!␈εβ,␈↓ π5␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ πb␈εβ,␈↓ πv␈ε	␈↓ λ∀␈εβ?
␈β∧@␈↓ α[␈εε1␈↓ β␈εε2␈↓ β␈␈εε9␈↓ π∀␈εε1␈↓ λπ␈εε8
␈β∧c␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∧g␈↓ ↓V␈ε∪26.␈↓ α␈εβ[␈ε	M21␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(a)␈αλGiv␈α␈e␈αλthe␈αλp␈α␈olyn␈α␈omial␈αλcha␈α␈i␈α↓n␈αλc␈α␈orresp␈α␈on␈α␈ding␈αλto␈αλHorn␈α␈er's␈α	r␈α␈ule␈α	fo␈α␈r␈α	ev␈α␈alu␈α␈ating
␈β¬∞␈↓ ↓H␈εβp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈α
of␈α
deg␈α␈ree␈↓ ∧⊗␈ε	n␈↓ ∧7␈εβ=␈α∞3␈α␈.␈α∨(b␈α␈)␈α∞Usin␈α␈g␈α∞t␈α␈he␈α
con␈α␈struc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
tha␈α␈t␈α∞a␈α␈pp␈α␈ears␈α
in␈α
the␈α
tex␈α␈t's
␈β¬6␈↓ ↓H␈εβp␈α␈roo␈α␈f␈αof␈αThe␈α␈orem␈αA␈↓ βm␈εβ,␈αex␈α␈pre␈α␈ss␈↓ ∧w␈ε	∀␈↓ ¬∪␈εβ,␈↓ ¬)␈ε	∀␈↓ ¬E␈εβ,␈↓ ¬Z␈ε	∀␈↓ ¬v␈εβ,␈α
a␈α␈nd␈αthe␈αre␈α␈sult␈αp␈α␈olyn␈α␈omial␈↓ 	∩␈ε	u␈↓ 	&␈εβ(␈↓ 	1␈ε	x␈↓ 	B␈εβ)␈αi␈α↓n␈αterm␈α␈s␈αof␈↓ ε␈ε	␈␈↓ #␈εβ,
␈β¬A␈↓ ¬π␈εε1␈↓ ¬8␈εε2␈↓ ¬j␈εε3␈↓ ↔␈εε1
␈β¬↑␈↓ ↓H␈ε	␈␈↓ ↓e␈εβ,␈↓ ↓⎇␈ε	␈␈↓ α~␈εβ,␈↓ α1␈ε	␈␈↓ αO␈εβ,␈α∞and␈↓ β*␈ε	x␈↓ β;␈εβ.␈α∨(c)␈α
Sh␈α␈o␈α␈w␈α∞th␈α␈at␈α∞th␈α␈e␈α∞res␈α␈ult␈α∞set␈α
obt␈α␈ained␈α
in␈α
(b),␈α∂a␈α␈s␈↓ 	-␈ε	␈␈↓ 	J␈εβ,␈↓ 	b␈ε	␈␈↓ 	␈␈εβ,␈↓ 
↔␈ε	␈␈↓ 
4␈εβ,␈α∂a␈α␈nd␈↓ ∂␈ε	␈
␈β¬h␈↓ ↓X␈εε2␈↓ α
␈εε3␈↓ αB␈εε4␈↓ 	>␈εε1␈↓ 	s␈εε2␈↓ 
(␈εε3␈↓  ␈εε4
␈βε¬␈↓ ↓H␈εβin␈α␈dep␈α␈en␈α␈den␈α}tl␈α↓y␈α
assu␈α␈me␈αall␈αreal␈αv␈α␈alues,␈αom␈α␈i␈α↓t␈α␈s␈αc␈α␈ertain␈αv␈α}ecto␈α␈rs␈αi␈α↓n␈α
the␈α
result␈αset␈αo␈α␈f␈α(a␈α␈).
␈βε6␈↓ ↓V␈ε∪27.␈↓ α␈εβ[␈ε	M22␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈ε	␈α	R␈εβ␈α	be␈α	a␈αλset␈α	tha␈α␈t␈α	i␈α↓n␈α␈clud␈α␈es␈α	all␈α	(␈↓ εC␈ε	n␈↓ ε\␈εβ+␈α¬1)-tu␈α␈ples␈α	(␈↓ λ∀␈ε	q␈↓ λ0␈εβ,␈↓ λ?␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λl␈εβ,␈↓ λz␈ε	q␈↓ 	∪␈εβ,␈↓ 	"␈ε	q␈↓ 	;␈εβ)␈α	o␈α␈f␈α
re␈α␈al␈α	n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α␈s
␈βεA␈↓ λ ␈εn␈↓ 	ε␈εε1␈↓ 	.␈εε0
␈βε↑␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈ch␈α
that␈↓ α\␈ε	q␈↓ β↓␈ε↔≤␈εβ␈α
0␈α␈;␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α
that␈ε	␈αR␈εβ␈αd␈α␈oes␈αn␈α␈ot␈αh␈α␈av␈α␈e␈αa␈α␈t␈αmost␈↓ πd␈ε	n␈↓ λβ␈εβd␈α␈egree␈α␈s␈αof␈αfreed␈α␈om.
␈βεi␈↓ αh␈εn
␈βπ∂␈↓ ↓V␈ε∪28.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈20␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Sh␈α␈o␈α␈w␈α
that␈α
if␈↓ ∧J␈ε	f␈↓ ∧a␈εβ(␈↓ ∧l␈ε	␈↓ ¬
␈εβ,␈↓ ¬→␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬E␈εβ,␈↓ ¬T␈ε	␈↓ ¬p␈εβ),␈↓ ε∂␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε<␈εβ,␈↓ εP␈ε	f␈↓ εe␈εβ(␈↓ εp␈ε	␈↓ π∞␈εβ,␈↓ π≥␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ πI␈εβ,␈↓ πX␈ε	␈↓ πu␈εβ)␈αa␈α␈re␈α
m␈α␈ultiva␈α␈ri␈α↓a␈α␈te␈αp␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈ls
␈βπ~␈↓ ∧T␈εε0␈↓ ∧⎇␈εε1␈↓ ¬e␈εs␈↓ εZ␈εs␈↓ πα␈εε1␈↓ πj␈εs
␈βπ7␈↓ ↓H␈εβwith␈αin␈α␈teg␈α␈er␈α
coe␈α␈}cien␈α}ts,␈α∞th␈α␈en␈α
t␈α␈here␈αi␈α↓s␈αa␈α
n␈α␈onz␈α␈ero␈α
p␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈↓ λH␈ε	g␈↓ λX␈εβ(␈↓ λc␈ε	x␈↓ λ␈␈εβ,␈↓ 	∞␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	:␈εβ,␈↓ 	I␈ε	x␈↓ 	d␈εβ)␈α
with␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈r
␈βπA␈↓ λs␈εε0␈↓ 	Y␈εs
␈βπ[␈↓ ∧ε␈εα(␈↓ π>␈εα)
␈βπ↑␈↓ ↓H␈εβc␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈ts␈απsu␈α␈ch␈αεtha␈α␈t␈↓ βv␈ε	g␈↓ ∧∩␈ε	f␈↓ ∧(␈εβ(␈↓ ∧4␈ε	␈↓ ∧R␈εβ,␈↓ ∧`␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬
␈εβ,␈↓ ¬≤␈ε	␈↓ ¬8␈εβ),␈↓ ¬R␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬}␈εβ,␈↓ ε
␈ε	f␈↓ ε#␈εβ(␈↓ ε.␈ε	␈↓ εL␈εβ,␈↓ ε[␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ππ␈εβ,␈↓ π⊗␈ε	␈↓ π3␈εβ)␈↓ πS␈εβ=␈α	0␈απfor␈αεall␈απreal␈↓ 	+␈ε	␈↓ 	H␈εβ,␈↓ 	Y␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
ε␈εβ,␈↓ 
↔␈ε	␈↓ 
3␈εβ.␈α∞(H␈α↓e␈α␈nce
␈βπi␈↓ ∧≤␈εε0␈↓ ∧E␈εε1␈↓ ¬-␈εs␈↓ ε↔␈εs␈↓ ε?␈εε1␈↓ π'␈εs␈↓ 	<␈εε1␈↓ 
(␈εs
␈βλε␈↓ ↓H␈εβa␈α␈n␈α␈y␈α	p␈α␈olyn␈α␈omia␈α␈l␈α↓s␈α	ch␈α␈ain␈α	with␈↓ ∧↑␈ε	s␈↓ ∧u␈εβpa␈α␈ramet␈α␈ers␈α
h␈α␈as␈α	at␈α	mo␈α␈st␈↓ πP␈ε	s␈↓ πg␈εβd␈α␈egre␈α␈es␈α	of␈α
fre␈α␈edo␈α␈m.)␈α∃[␈ε⊂Hi␈α↓n␈α}t:␈εβ␈αUse
␈βλ.␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αtheo␈α␈rems␈αab␈α␈out␈α\a␈α␈l␈α↓g␈α␈ebra␈α␈ic␈αd␈α␈epe␈α␈nd␈α␈enc␈α␈e"␈αthat␈αare␈αfou␈α␈nd␈α␈,␈αfor␈αexa␈α␈mple,␈αin␈αB.␈αL.␈αv␈α␈an
␈βλU␈↓ ↓H␈εβd␈α␈er␈αλWae␈α␈rden␈α␈'s␈ε⊂␈αλMo␈α␈dern␈απAlge␈α␈bra␈εβ,␈αλtr.␈αλby␈απFred␈απBlum␈απ(New␈αλYork␈α␈:␈α
Un␈α␈gar,␈αλ19␈α␈49),␈αλSectio␈α␈n␈αλ6␈α␈4.]
␈β	α␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β	ε␈↓ ↓V␈ε∪29.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β4␈ε	R␈↓ βW␈εβ,␈↓ βl␈ε	R␈↓ ∧∂␈εβ,␈↓ ∧#␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧P␈εβ,␈↓ ∧d␈ε	R␈↓ ¬≥␈εβall␈αbe␈α
sets␈αof␈α(␈↓ εj␈ε	n␈↓ π¬␈εβ+␈απ1)-tu␈α␈ples␈αo␈α␈f␈αreal␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ers␈αh␈α␈avin␈α␈g␈αa␈α␈t
␈β	⊃␈↓ βK␈εε1␈↓ ∧β␈εε2␈↓ ∧{␈εm
␈β	.␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ost␈↓ α→␈ε	t␈↓ α0␈εβdeg␈α␈rees␈αof␈αfreed␈α␈om␈α␈.␈αSh␈α␈o␈α␈w␈αth␈α␈at␈αthe␈αu␈α␈nion␈↓ π␈ε	R␈↓ π7␈ε↔[␈↓ πV␈ε	R␈↓ λ↓␈ε↔[␈↓ λ!␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ λO␈ε↔[␈↓ λo␈ε	R␈↓ 	(␈εβalso␈αh␈α␈as␈αat␈αmo␈α␈st␈↓ !␈ε	t
␈β	9␈↓ π"␈εε1␈↓ πm␈εε2␈↓ 	ε␈εm
␈β	V␈↓ ↓H␈εβd␈α␈egre␈α␈es␈αof␈αfreed␈α␈om.
␈β
β␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β
π␈↓ ↓V␈ε∪30.␈↓ α␈εβ[␈ε	M28␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈αλth␈α␈at␈απa␈αλp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈αλch␈α␈ain␈απwi␈α↓th␈↓ εs␈ε	m␈↓ π!␈εβcha␈α␈i␈α↓n␈απm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α␈s␈αλa␈α␈nd␈↓ 
∪␈ε	m␈↓ 
E␈εβp␈α␈aram␈α␈-
␈β
⊃␈↓ π∂␈εc␈↓ 
/␈εp
␈β
.␈↓ ↓H␈εβe␈α␈ter␈α	m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈tions␈αλhas␈αλat␈α	mo␈α␈st␈α	2␈↓ ¬(␈ε	m␈↓ ¬S␈εβ+␈↓ ¬y␈ε	m␈↓ ε(␈εβ+␈↓ εM␈ε	∞␈↓ π⊂␈εβdeg␈α␈rees␈α	o␈α␈f␈α	freed␈α␈om.␈α∪[␈ε⊂␈α↓Hin␈α␈t:␈εβ␈α
Ge␈α␈nera␈α␈l␈α↓ize
␈β
9␈↓ ¬D␈εc␈↓ ε∃␈εp␈↓ εY␈εε0␈↓ εf␈εm
␈β
@␈↓ ε⎇␈ε
c
␈β
V␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈eore␈α␈m␈α	M␈↓ αp␈εβ,␈α
sh␈α␈o␈α␈wing␈αλthat␈α	th␈α␈e␈α	|rst␈α	c␈α␈hain␈αλm␈α␈ultiplication␈αλan␈α␈d␈α	ea␈α␈ch␈α	p␈α␈aram␈α␈eter␈α	m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈-
␈β
}␈↓ ↓H␈εβtio␈α␈n␈αcan␈α
essen␈α}tiall␈α↓y␈α
in␈α␈trod␈α␈uc␈α␈e␈αon␈α␈l␈α↓y␈α
on␈α␈e␈αnew␈αp␈α␈ara␈α␈meter␈αin␈α␈to␈α
the␈αre␈α␈sult␈αset.]
␈β/␈↓ ↓V␈ε∪31.␈↓ α␈εβ[␈ε	M23␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈α
th␈α␈at␈α	a␈α	p␈α␈olyn␈α␈omial␈α	cha␈α␈in␈α	cap␈α␈ab␈α␈l␈α↓e␈α	o␈α␈f␈α
co␈α␈mpu␈α␈ting␈α	a␈α␈l␈α↓l␈ε⊂␈α	mon␈α␈ic␈εβ␈α
p␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈ls
␈βV␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αdeg␈α␈ree␈↓ αV␈ε	n␈↓ αu␈εβha␈α␈s␈αat␈αleast␈ε↔␈αb␈↓ ∧4␈ε	n␈↓ ∧H␈εβ/␈α␈2␈ε↔c␈εβ␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αa␈α␈nd␈αa␈α␈t␈αleast␈↓ λ≠␈ε	n␈↓ λ:␈εβad␈α␈dition␈α␈-sub␈α␈traction␈α␈s.
␈βλ␈↓ ↓V␈ε∪32.␈↓ α␈εβ[␈ε	M24␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Find␈α
a␈α
p␈α␈olyn␈α␈omia␈α␈l␈αch␈α␈ain␈α
of␈α
minim␈α␈um␈α
p␈α␈ossible␈α
leng␈α␈th␈α
tha␈α␈t␈αc␈α␈an␈α
co␈α␈mpu␈α␈te␈α
all
␈β+␈↓ ∧a␈εε4␈↓ ¬O␈εε2
␈β/␈↓ ↓H␈εβp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈αo␈α␈f␈αthe␈αform␈↓ ∧0␈ε	u␈↓ ∧P␈ε	x␈↓ ∧u␈εβ+␈↓ ¬≡␈ε	u␈↓ ¬>␈ε	x␈↓ ¬c␈εβ+␈↓ ε␈ε	u␈↓ ε,␈εβ;␈αan␈α␈d␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α
that␈αits␈αlen␈α␈gth␈αis␈αmin␈α␈i␈α↓m␈α␈al.
␈β:␈↓ ∧D␈εε4␈↓ ¬1␈εε2␈↓ ε∨␈εε0
␈β\␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β`␈↓ ↓V␈ε∪33.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β5␈ε	n␈↓ βU␈ε↔∃␈εβ␈α3␈αbe␈αodd␈α␈.␈α⊂Pro␈α␈v␈α}e␈α
th␈α␈at␈α
a␈αp␈α␈olyn␈α␈omia␈α␈l␈α
cha␈α␈i␈α↓n␈αwith␈ε↔␈αb␈↓ 	C␈ε	n␈↓ 	W␈εβ/2␈ε↔␈α␈c␈εβ␈α	+␈αλ1␈α
m␈α}ulti-
␈β
λ␈↓ ↓H␈εβp␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α
step␈α␈s␈αc␈α␈ann␈α␈ot␈α
com␈α␈pu␈α␈te␈αa␈α␈ll␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials␈αo␈α␈f␈αd␈α␈egree␈↓ λ	␈ε	n␈↓ λ'␈εβun␈α␈l␈α↓e␈α␈ss␈αit␈αh␈α␈as␈α
at␈α
least␈↓ 
Y␈ε	n␈↓ 
t␈εβ+␈απ2
␈β
0␈↓ ↓H␈εβa␈α␈dd␈α␈i␈α↓t␈α␈i␈α↓o␈α␈n-su␈α␈btra␈α␈ction␈αste␈α␈ps.␈α→[␈ε⊂␈α↓Hin␈α}t:␈εβ␈αS␈α␈ee␈αex␈α}ercise␈α30␈α␈.␈α↓]
␈β
a␈↓ ↓V␈ε∪34.␈↓ α␈εβ[␈ε	M26␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β/␈ε	∃␈↓ βN␈εβ,␈↓ β↑␈ε	∃␈↓ β⎇␈εβ,␈↓ ∧∞␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ∧:␈εβ,␈↓ ∧J␈ε	∃␈↓ ∧o␈εβbe␈α¬a␈αεpo␈α␈lyn␈α␈omial␈αεch␈α␈ain␈αεin␈αεwh␈α␈ich␈αεa␈α␈l␈α↓l␈αεa␈α␈dd␈α␈i␈α↓tion␈α¬an␈α␈d␈αεsu␈α␈btra␈α␈ction
␈β
l␈↓ βA␈εε0␈↓ βq␈εε1␈↓ ∧]␈εr
␈β∞	␈↓ ↓H␈εβste␈α␈ps␈α
are␈α
para␈α␈mete␈α␈r␈αstep␈α␈s,␈αan␈α␈d␈α
i␈α↓n␈α
wh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈αt␈α␈here␈α
is␈αat␈α
least␈α
one␈α
p␈α␈aram␈α␈eter␈αm␈α}ultiplication␈α␈.
␈β∞0␈↓ ↓H␈εβAssu␈α␈me␈αth␈α␈at␈αth␈α␈is␈αsche␈α␈me␈αh␈α␈as␈↓ ∧x␈ε	m␈↓ ¬ ␈εβm␈α␈ultiplica␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αa␈α␈nd␈↓ πC␈ε	k␈↓ π]␈εβ=␈↓ λλ␈ε	r␈↓ λ≥␈ε↔␈␈↓ λF␈ε	m␈↓ λn␈εβad␈α␈dition␈α␈-␈α↓su␈α␈bt␈α␈raction␈α␈s,
␈β∞X␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈αtha␈α␈t␈α
th␈α␈e␈α
po␈α␈lyn␈α␈omial␈α
co␈α␈mp␈α␈uted␈αby␈αth␈α␈e␈α
ch␈α␈ain␈αhas␈αmax␈α␈im␈α␈um␈αdeg␈α␈ree␈↓ 	d␈ε	n␈↓ 	x␈εβ.␈α⊂P␈α↓r␈α␈o␈α␈v␈α␈e␈αtha␈α␈t
␈β∞{␈↓ 	j␈εn
␈β∞␈␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓l␈α
p␈α␈olyn␈α␈omia␈α␈l␈α↓s␈α
c␈α␈omp␈α␈uta␈α␈ble␈α
b␈α␈y␈α
th␈α␈i␈α↓s␈α
c␈α␈hain␈α␈,␈α∞for␈α
wh␈α␈ich␈α
th␈α␈e␈α
co␈α␈e}cien␈α}t␈α
of␈↓ 	Y␈ε	x␈↓ 
λ␈εβis␈α
n␈α␈ot␈α
zero␈α␈,
␈β∂'␈↓ ↓H␈εβc␈α␈an␈αbe␈αc␈α␈omp␈α␈uted␈αb␈α␈y␈αa␈α␈not␈α␈her␈αc␈α␈hain␈αtha␈α␈t␈αh␈α␈as␈αat␈αmost␈↓ πS␈ε	m␈↓ π|␈εβm␈α}ultiplication␈α␈s␈αan␈α␈d␈αa␈α␈t␈αmo␈α␈st␈↓ ≤␈ε	k
␈β∂O␈↓ ↓H␈εβa␈α␈dd␈α␈i␈α↓t␈α␈i␈α↓o␈α␈ns,␈αλan␈α␈d␈απno␈απsub␈α␈trac␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns;␈α	a␈α␈nd␈απwh␈α␈ose␈απl␈α↓a␈α␈st␈αλst␈α␈ep␈απi␈α↓s␈απth␈α␈e␈αλo␈α␈nly␈απpa␈α␈rame␈α␈ter␈αλm␈α}ultiplication␈α␈.
␈β∂|␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β⊂␈↓ ↓V␈ε∪35.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗S␈α␈ho␈α␈w␈α∞tha␈α␈t␈α∂an␈α}y␈α∞poly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α∂ch␈α␈ain␈α∂th␈α␈at␈α∞comp␈α␈ut␈α␈es␈α∂a␈α∞gen␈α␈eral␈α∂fo␈α␈urth␈α∞d␈α␈egree
␈β⊂'␈↓ ↓H␈εβp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈απu␈α␈sing␈α¬only␈α¬thre␈α␈e␈αεm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αεm␈α}ust␈αεh␈α␈av␈α␈e␈α¬at␈αεleast␈α¬|v␈α}e␈αεad␈α␈dition␈α␈-␈α↓su␈α␈bt␈α␈raction␈α␈s.
␈β⊂O␈↓ ↓H␈εβ[␈ε⊂Hin␈α␈t:␈εβ␈α∞Assum␈α␈e␈α
th␈α␈at␈α
th␈α␈ere␈αare␈α
o␈α␈nly␈αfou␈α␈r␈α
ad␈α␈dition␈α␈-sub␈α␈traction␈α␈s,␈α
and␈αsh␈α␈o␈α␈w␈α
th␈α␈at␈α
e␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβ3␈α␈4␈α∞ap␈α␈plies;␈α⊂this␈α∞mea␈α␈ns␈α∞the␈α∞sch␈α␈eme␈α∞m␈α␈u␈α␈st␈α∞ha␈α␈v␈α␈e␈α∞a␈α∞pa␈α␈rticular␈α∞form␈α∞th␈α␈at␈α∞is␈α∞i␈α↓n␈α␈cap␈α␈ab␈α␈l␈α↓e␈α∞o␈α␈f
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβre␈α␈prese␈α␈n␈α␈ting␈α
all␈αfo␈α␈urth␈α
deg␈α␈ree␈αpo␈α␈lyn␈α␈omials.]
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα482␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.4
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪36.␈↓ α␈εβ[␈ε	M27␈↓ αX␈εβ]␈α⊗S␈α␈ho␈α␈w␈αλth␈α␈at␈αλa␈α␈n␈α␈y␈αλp␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α	c␈α␈ha␈α␈i␈α↓n␈απtha␈α␈t␈αλcomp␈α␈ute␈α␈s␈αλa␈αλge␈α␈nera␈α␈l␈α	six␈α␈th-d␈α␈egree␈απpoly␈α␈-
␈βαR␈↓ ↓H␈εβn␈α␈omia␈α␈l␈αu␈α␈sing␈α
only␈α
four␈α
m␈α␈ultiplication␈α␈s␈αm␈α␈u␈α␈st␈αha␈α␈v␈α␈e␈αa␈α␈t␈αleast␈αse␈α␈v␈α␈en␈α
ad␈α␈dition␈α␈-␈α↓su␈α␈bt␈α␈raction␈α␈s.
␈βαy␈↓ ↓H␈εβ(Cf.␈αex␈α}ercise␈α35␈α␈.␈α↓)
␈ββ7␈↓ ↓V␈ε∪37.␈↓ α␈εβ[␈ε	M21␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(T.␈αS.␈αMo␈α␈tzkin␈α␈.␈α↓)␈α→S␈α␈ho␈α␈w␈αth␈α␈at␈α\a␈α␈l␈α↓m␈α␈ost␈αall"␈αra␈α␈ti␈α↓o␈α␈na␈α␈l␈αfu␈α␈nction␈α␈s␈αof␈αth␈α␈e␈αform
␈β∧λ␈↓ αa␈εn␈↓ β|␈εn␈↓ ∧
␈ε~␈␈εε1␈↓ εs␈εn␈↓ λ	␈εn␈↓ λ→␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β∧∞␈↓ α!␈εβ(␈↓ α,␈ε	u␈↓ αP␈ε	x␈↓ αy␈εβ+␈↓ β"␈ε	u␈↓ βk␈ε	x␈↓ ∧:␈εβ+␈↓ ∧b␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬⊃␈εβ+␈↓ ¬9␈ε	u␈↓ ¬Y␈ε	x␈↓ ¬r␈εβ+␈↓ ε≠␈ε	u␈↓ ε:␈εβ)/(␈↓ εa␈ε	x␈↓ π
␈εβ+␈↓ π3␈ε	v␈↓ πx␈ε	x␈↓ λG␈εβ+␈↓ λo␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	≡␈εβ+␈↓ 	F␈ε	v␈↓ 	b␈ε	x␈↓ 	z␈εβ+␈↓ 
#␈ε	v␈↓ 
>␈εβ),
␈β∧_␈↓ α@␈εn␈↓ β5␈εn␈↓ βE␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬M␈εε1␈↓ ε.␈εε0␈↓ πB␈εn␈↓ πR␈ε~␈␈εε1␈↓ 	U␈εε1␈↓ 
2␈εε0
␈β∧e␈↓ ↓H␈εβwith␈α
coe}␈α␈ci␈α↓e␈α␈n␈α␈ts␈αin␈αa␈α|␈α␈eld␈↓ ∧F␈ε	S␈↓ ∧Z␈εβ,␈αcan␈α
be␈αev␈α␈alua␈α␈ted␈αu␈α␈sing␈αt␈α␈he␈αsch␈α␈eme
␈β¬9␈↓ ∧0␈εα(␈↓ 	+␈εα)
␈β¬<␈↓ β4␈ε	␈↓ βY␈εβ+␈↓ ∧α␈ε	␈␈↓ ∧∨␈εβ/␈↓ ∧<␈ε	x␈↓ ∧U␈εβ+␈↓ ∧⎇␈ε	␈↓ ¬#␈εβ+␈↓ ¬L␈ε	␈␈↓ ¬i␈εβ/␈α␈(␈↓ ε¬␈ε	x␈↓ ε≥␈εβ+␈↓ εF␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εt␈εβ+␈↓ π≥␈ε	␈␈↓ π>␈εβ/(␈↓ πZ␈ε	x␈↓ πr␈εβ+␈↓ λ≠␈ε	␈↓ λc␈εβ)␈↓ λs␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	 ␈εβ)␈↓ 	7␈εβ,
␈β¬G␈↓ βE␈εε1␈↓ ∧∪␈εε1␈↓ ¬∂␈εε2␈↓ ¬\␈εε2␈↓ π.␈εn␈↓ λ-␈εn␈↓ λ=␈εε+1
␈βε∀␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈αsu␈α␈itab␈α␈l␈α↓e␈↓ αx␈ε	␈↓ β∃␈εβ,␈↓ β*␈ε	␈␈↓ βR␈εβin␈↓ βy␈ε	S␈↓ ∧
␈εβ.␈α~(This␈αco␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed␈αfrac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αsch␈α␈eme␈αh␈α␈as␈↓ λI␈ε	n␈↓ λi␈εβd␈α␈ivision␈α␈s␈αa␈α␈nd␈α
2␈↓ 
C␈ε	n␈↓ 
b␈εβadd␈α␈i-
␈βε≡␈↓ β	␈εj␈↓ β:␈εj
␈βε;␈↓ ↓H␈εβtio␈α␈ns;␈α∂b␈α␈y␈α
\a␈α␈l␈α↓m␈α␈ost␈α
all␈α↓"␈α
ra␈α␈tiona␈α␈l␈α∞fun␈α␈ction␈α␈s␈α∞w␈α␈e␈α
me␈α␈an␈α
all␈α∞e␈α␈x␈α␈cep␈α␈t␈α
those␈α
wh␈α␈ose␈α
coe␈α␈}cien␈α␈t␈α␈s
␈βεc␈↓ ↓H␈εβsa␈α␈tisfy␈αλsom␈α␈e␈αλno␈α␈n␈α␈triv␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α	p␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α	e␈α␈qua␈α␈tion.)␈α⊃Dete␈α␈rmine␈αλth␈α␈e␈↓ λ4␈ε	␈↓ λF␈εβ's␈αλand␈↓ 	"␈ε	␈␈↓ 	6␈εβ'␈α↓s␈αλfo␈α␈r␈αλthe␈αλra␈α␈tiona␈α␈l
␈βπε␈↓ αg␈εε2␈↓ ∧`␈εε2
␈βπ␈↓ ↓H␈εβfu␈α␈nct␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α(␈↓ αV␈ε	x␈↓ α{␈εβ+␈αλ10␈↓ βE␈ε	x␈↓ β↑␈εβ+␈αλ29␈α␈)/(␈↓ ∧O␈ε	x␈↓ ∧t␈εβ+␈αλ8␈↓ ¬.␈ε	x␈↓ ¬G␈εβ+␈απ19).
␈βπD␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βπH␈↓ ↓V␈ε∪38.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈32␈↓ αm␈εβ]␈α⊗(V.␈αJ.␈αP␈α↓a␈α␈n,␈α19␈α␈62.)␈α→Th␈α␈e␈αpu␈α␈rpo␈α␈se␈αof␈αth␈α␈is␈αex␈α␈e␈α␈rcise␈αis␈αto␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α
tha␈α␈t␈αHorn␈α␈er's
␈βπo␈↓ ↓H␈εβru␈α␈le␈α
is␈α
really␈α
op␈α␈timal␈α
if␈α
no␈α
p␈α␈reliminar␈α␈y␈α
ad␈α␈ap␈α␈tation␈αof␈α
coe␈α␈}cien␈α␈ts␈α
is␈α
ma␈α␈de␈α␈;␈α∂w␈α␈e␈α
n␈α␈eed␈↓ _␈ε	n
␈βλ∪␈↓ εy␈εn
␈βλ↔␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultiplication␈α␈s␈α
an␈α␈d␈↓ βi␈ε	n␈↓ ∧π␈εβad␈α␈dition␈α␈s␈αto␈α	com␈α␈pu␈α␈te␈↓ εD␈ε	u␈↓ εh␈ε	x␈↓ π⊂␈εβ+␈↓ π7␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πd␈εβ+␈↓ λ␈ε	u␈↓ λ+␈ε	x␈↓ λC␈εβ+␈↓ λj␈ε	u␈↓ 	
␈εβ,␈α
i␈α↓f␈α
th␈α␈e␈α
va␈α␈riables␈↓ ␈ε	u␈↓ #␈εβ,
␈βλ"␈↓ εX␈εn␈↓ λ≡␈εε1␈↓ λ⎇␈εε0␈↓ ∪␈εn
␈βλ?␈↓ ↓H␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ↓t␈εβ,␈↓ α␈ε	u␈↓ α+␈εβ,␈↓ αB␈ε	u␈↓ αb␈εβ,␈↓ αy␈ε	x␈↓ β␈εβ,␈α∞an␈α␈d␈α
arb␈α␈itrary␈α
co␈α␈nsta␈α␈n␈α␈ts␈α
are␈α
giv␈α␈e␈α␈n.␈α∩Con␈α␈sider␈α
ch␈α␈ains␈α
tha␈α␈t␈α∞a␈α␈re␈α∞a␈α␈s␈α∞b␈α␈efore
␈βλI␈↓ α≡␈εε1␈↓ αU␈εε0
␈βλf␈↓ ↓H␈εβe␈α␈x␈α␈cep␈α␈t␈α∂th␈α␈at␈↓ α␈␈ε	u␈↓ β#␈εβ,␈↓ β;␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βh␈εβ,␈↓ ∧␈ε	u␈↓ ∧ ␈εβ,␈↓ ∧9␈ε	u␈↓ ∧Y␈εβ,␈↓ ∧q␈ε	x␈↓ ¬⊃␈εβare␈α∞each␈α∞c␈α␈ons␈α␈i␈α↓d␈α␈ered␈α∞to␈α∞be␈α∞v␈α␈ariab␈α␈l␈α↓e␈α␈s;␈α⊃w␈α␈e␈α∞may␈α∞say␈α␈,␈α⊂fo␈α␈r
␈βλq␈↓ β∩␈εn␈↓ ∧∀␈εε1␈↓ ∧L␈εε0
␈β	∞␈↓ ↓H␈εβe␈α␈xam␈α␈ple,␈α
th␈α␈at␈↓ β∨␈ε	∃␈↓ ∧λ␈εβ=␈↓ ∧5␈ε	u␈↓ ∧T␈εβ,␈↓ ∧j␈ε	∃␈↓ ¬∃␈εβ=␈↓ ¬B␈ε	x␈↓ ¬S␈εβ.␈α⊂In␈αo␈α␈rder␈αto␈αsh␈α␈o␈α␈w␈α
th␈α␈at␈αHorn␈α␈er's␈α
ru␈α␈le␈α
is␈αbest,␈α
it␈αis
␈β	_␈↓ β2␈ε~␈␈↓ βK␈εj␈↓ βW␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧H␈εj␈↓ ∧⎇␈εε0
␈β	5␈↓ ↓H␈εβc␈α␈on␈α␈v␈α}enien␈α}t␈α∞t␈α␈o␈α
pro␈α␈v␈α}e␈α
a␈α
somewh␈α␈at␈α
more␈α
g␈α␈ene␈α␈ral␈α∞th␈α␈eore␈α␈m:␈α⊂Let␈↓ λL␈ε	A␈↓ λp␈εβ=␈α
(␈↓ 	)␈ε	a␈↓ 	O␈εβ),␈α∂0␈ε↔␈α∀␈↓ 
>␈ε	i␈↓ 
X␈ε↔∀␈↓ ε␈ε	m␈↓ #␈εβ,
␈β	@␈↓ 	9␈εi␈↓ 	C␈εj
␈β	]␈↓ ↓H␈εβ0␈ε↔␈α
∀␈↓ α∂␈ε	j␈↓ α)␈ε↔∀␈↓ αV␈ε	n␈↓ αj␈εβ,␈αbe␈αa␈α␈n␈α(␈↓ βg␈ε	m␈↓ ∧␈εβ+␈α	1␈α␈)␈ε↔␈α	α␈εβ␈αλ(␈↓ ¬∞␈ε	n␈↓ ¬*␈εβ+␈α	1␈α␈)␈α
m␈α␈atrix␈αo␈α␈f␈α
re␈α␈al␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α␈s,␈α
of␈αran␈α␈k␈↓ 	Z␈ε	n␈↓ 	v␈εβ+␈αλ1;␈α
a␈α␈nd␈αl␈α↓e␈α␈t
␈β
¬␈↓ ↓H␈ε	B␈↓ ↓k␈εβ=␈α∞(␈↓ α%␈ε	b␈↓ α>␈εβ,␈↓ αL␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ αy␈εβ,␈↓ βλ␈ε	b␈↓ β+␈εβ)␈α
be␈α
a␈α
v␈α␈ecto␈α␈r␈α∞o␈α␈f␈α∞rea␈α␈l␈α∞n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs.␈α∪Pro␈α␈v␈α␈e␈α
th␈α␈at␈ε⊂␈α
an␈α␈y␈α
p␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α∞ch␈α␈ain␈α
tha␈α␈t
␈β
∂␈↓ α1␈εε0␈↓ β∀␈εm
␈β
,␈↓ ↓H␈ε⊂c␈α␈omp␈α␈utes
␈β
7␈↓ ¬]␈ε↓X
␈β
V␈↓ 	2␈εi
␈β
\␈↓ β8␈ε	P␈↓ βP␈εβ(␈↓ β[␈ε	x␈↓ βl␈εβ;␈↓ β{␈ε	u␈↓ ∧≠␈εβ,␈↓ ∧)␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧V␈εβ,␈↓ ∧e␈ε	u␈↓ ¬λ␈εβ)␈α	=␈↓ ε(␈εβ(␈↓ ε3␈ε	a␈↓ εZ␈ε	u␈↓ π↓␈εβ+␈↓ π)␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πX␈εβ+␈↓ λ␈ε	a␈↓ λ+␈ε	u␈↓ λV␈εβ+␈↓ λ}␈ε	b␈↓ 	∃␈εβ)␈↓ 	 ␈ε	x
␈β
f␈↓ ∧∞␈εε0␈↓ ∧x␈εn␈↓ εB␈εi␈↓ εM␈εε0␈↓ εm␈εε0␈↓ λ⊂␈εi␈↓ λ≠␈εn␈↓ λ>␈εn␈↓ 	
␈εi
␈β
␈↓ ¬G␈εε0␈ε~␈α␈∀␈↓ ¬m␈εi␈↓ ¬w␈ε~∀␈↓ ε⊂␈εm
␈β=␈↓ ↓H␈ε⊂in␈α}v␈α␈olv␈α␈e␈α␈s␈αλat␈αλlea␈α␈st␈↓ β3␈ε	n␈↓ βO␈ε⊂ch␈α␈ain␈αλm␈α}ultiplication␈α␈s.␈εβ␈α⊃(Note␈αλth␈α␈at␈αλth␈α␈is␈αλdo␈α␈es␈αλn␈α␈ot␈αλme␈α␈an␈απonly␈απtha␈α␈t␈αλw␈α␈e␈αλare
␈βe␈↓ ↓H␈εβc␈α␈onsid␈α␈ering␈α	some␈α	|x␈α}ed␈α	cha␈α␈i␈α↓n␈α	in␈α
wh␈α␈ich␈α
t␈α␈he␈α
p␈α␈ara␈α␈meters␈↓ πT␈ε	␈↓ π|␈εβa␈α␈re␈α
as␈α␈si␈α↓g␈α␈ned␈α	v␈α␈alues␈α	dep␈α␈end␈α␈ing
␈βo␈↓ πf␈εj
␈β␈↓ ↓H␈εβo␈α␈n␈↓ ↓u␈ε	A␈↓ α∃␈εβan␈α␈d␈↓ αU␈ε	B␈↓ αk␈εβ;␈αit␈α
mean␈α␈s␈α
tha␈α␈t␈α
bo␈α␈th␈α
the␈α	cha␈α␈i␈α↓n␈ε⊂␈α	an␈α␈d␈εβ␈α
the␈α	valu␈α␈es␈α
of␈α
the␈↓ λd␈ε	␈↓ λv␈εβ's␈α
may␈α	de␈α␈pen␈α␈d␈α
on␈α	the
␈β4␈↓ ↓H␈εβg␈α␈i␈α↓v␈α}en␈α	m␈α␈atrix␈↓ β	␈ε	A␈↓ β(␈εβan␈α␈d␈α	v␈α␈e␈α␈ctor␈↓ ∧J␈ε	B␈↓ ∧`␈εβ.␈αNo␈α	m␈α␈atter␈α	h␈α␈o␈α␈w␈↓ εV␈ε	A␈↓ εm␈εβ,␈↓ ε␈␈ε	B␈↓ π⊗␈εβ,␈α
a␈α␈nd␈αλthe␈α	v␈α␈alues␈α	o␈α␈f␈↓ 	(␈ε	␈↓ 	N␈εβare␈α	ch␈α␈osen␈α␈,␈α
it␈α	is
␈β>␈↓ 	9␈εj
␈β[␈↓ ↓H␈εβimp␈α␈ossib␈α␈l␈α↓e␈αto␈αcom␈α␈pu␈α␈te␈↓ ∧≥␈ε	P␈↓ ∧4␈εβ(␈↓ ∧@␈ε	x␈↓ ∧Q␈εβ;␈↓ ∧`␈ε	u␈↓ ∧␈␈εβ,␈↓ ¬∞␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬;␈εβ,␈↓ ¬I␈ε	u␈↓ ¬m␈εβ)␈α
with␈α␈ou␈α␈t␈α
d␈α␈oing␈↓ π↑␈ε	n␈↓ π␈␈εβ\␈α␈cha␈α␈i␈α↓n␈α␈-step␈α␈"␈α
m␈α}ultiplication␈α␈s.)
␈βf␈↓ ∧s␈εε0␈↓ ¬]␈εn
␈β
β␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈α
a␈α␈ssum␈α␈ption␈αth␈α␈at␈↓ ∧λ␈ε	A␈↓ ∧+␈εβh␈α␈as␈α
ra␈α␈nk␈↓ ¬7␈ε	n␈↓ ¬S␈εβ+␈α	1␈αimp␈α␈l␈α↓ies␈αtha␈α␈t␈↓ πV␈ε	m␈↓ π␈␈ε↔∃␈↓ λ,␈ε	n␈↓ λ@␈εβ.␈α≤[␈ε⊂Hin␈α␈t:␈εβ␈α∞Sh␈α␈o␈α␈w␈αthat␈αfrom
␈β
+␈↓ ↓H␈εβa␈α␈n␈α␈y␈αsu␈α␈ch␈αsche␈α␈me␈αw␈α␈e␈αcan␈αd␈α␈eriv␈α␈e␈αan␈α␈oth␈α␈er␈αth␈α␈at␈αh␈α␈as␈αfew␈α␈er␈αc␈α␈hain␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓t␈α␈i␈α↓p␈α␈li␈α↓ca␈α␈tions␈αan␈α␈d␈αtha␈α␈t
␈β
R␈↓ ↓H␈εβh␈α␈as␈↓ αβ␈ε	n␈↓ α"␈εβd␈α␈ecrea␈α␈sed␈αb␈α␈y␈αon␈α␈e.]
␈β∞∂␈↓ ↓V␈ε∪39.␈↓ α␈εβ[␈ε	M29␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(T.␈α	S␈α␈.␈α	Mot␈α␈zkin,␈α	19␈α␈54␈α␈.␈α↓)␈α∪S␈α␈ho␈α}w␈α	tha␈α␈t␈α	sch␈α␈eme␈α␈s␈α	of␈αλthe␈αλform␈↓ 	¬␈ε	w␈↓ 	1␈εβ=␈↓ 	\␈ε	x␈↓ 	m␈εβ(␈↓ 	x␈ε	x␈↓ 
∞␈εβ+␈↓ 
3␈ε	␈↓ 
Q␈εβ)␈α¬+␈↓ ε␈ε	␈␈↓ #␈εβ,
␈β∞~␈↓ 	≠␈εε1␈↓ 
E␈εε1␈↓ ↔␈εε1
␈β∞7␈↓ ↓H␈ε	w␈↓ ↓v␈εβ=␈↓ α"␈ε	w␈↓ αk␈εβ(␈↓ αv␈ε	w␈↓ β!␈εβ+␈↓ βK␈ε	␈
␈↓ βg␈ε	x␈↓ ∧↓␈εβ+␈↓ ∧*␈ε	␈↓ ∧I␈εβ)␈αλ+␈↓ ¬¬␈ε	∞␈↓ ¬∨␈ε	x␈↓ ¬8␈εβ+␈↓ ¬b␈ε	␈␈↓ ε␈εβfo␈α␈r␈α1␈α<␈↓ πλ␈ε	k␈↓ π$␈ε↔∀␈↓ πP␈ε	m␈↓ πm␈εβ,␈α
wh␈α␈ere␈αth␈α␈e␈↓ 	≡␈ε	␈↓ 	=␈εβ,␈↓ 	S␈ε	␈␈↓ 	|␈εβare␈αrea␈α␈l␈α
a␈α␈nd
␈β∞B␈↓ ↓↑␈εk␈↓ α8␈εk␈↓ αE␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ β␈εε1␈↓ βZ␈εk␈↓ ∧<␈εk␈↓ ¬⊃␈εk␈↓ ¬r␈εk␈↓ 	0␈εk␈↓ 	c␈εk
␈β∞←␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈↓ α␈ε	␈
␈↓ α≤␈εβ,␈↓ α0␈ε	∞␈↓ αR␈εβare␈α
in␈α}teger␈α␈s,␈αc␈α␈an␈α	be␈α	use␈α␈d␈α	to␈α
ev␈α␈alu␈α␈ate␈α	all␈α
mon␈α␈ic␈α
p␈α␈olyn␈α␈omials␈α	of␈α
d␈α␈egre␈α␈e␈α
2␈↓ 
H␈ε	m␈↓ 
o␈εβo␈α␈v␈α␈e␈α␈r
␈β∞i␈↓ α∂␈εk␈↓ α<␈εk
␈β∂ε␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αreal␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs.␈α≤(W␈α↓e␈αm␈α␈ay␈αh␈α␈av␈α␈e␈αto␈αch␈α␈oo␈α␈se␈↓ εZ␈ε	␈↓ εy␈εβ,␈↓ π∂␈ε	␈␈↓ π-␈εβ,␈↓ πC␈ε	␈
␈↓ π`␈εβ,␈αand␈↓ λ7␈ε	∞␈↓ λ]␈εβd␈α␈i␈α↓{eren␈α}tly␈αfor␈αdi{eren␈α}t
␈β∂⊃␈↓ εl␈εk␈↓ π ␈εk␈↓ πR␈εk␈↓ λC␈εk
␈β∂.␈↓ ↓H␈εβp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s.)␈α→Try␈αto␈α
l␈α↓e␈α␈t␈↓ ∧>␈ε	∞␈↓ ∧a␈εβ=␈α
0␈α
when␈α␈ev␈α}er␈αpo␈α␈ssi␈α↓b␈α␈le.
␈β∂8␈↓ ∧K␈εk
␈β∂k␈↓ ↓V␈ε∪40.␈↓ α␈εβ[␈ε	M46␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Ca␈α␈n␈α
the␈α
lo␈α␈w␈α␈er␈α
bo␈α␈un␈α␈d␈α
i␈α↓n␈αthe␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈α∞o␈α␈f␈α∞m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α␈s␈α∞in␈α
Th␈α␈eorem␈α
C␈α
be
␈β⊂∪␈↓ ↓H␈εβra␈α␈ised␈αfrom␈ε↔␈α
b␈↓ β∧␈ε	n␈↓ β_␈εβ/2␈ε↔c␈εβ␈απ+␈αλ1␈α
to␈ε↔␈αd␈↓ ∧H␈ε	n␈↓ ∧\␈εβ/2␈ε↔␈α␈e␈εβ␈αλ+␈απ1?␈α→(Cf.␈αex␈α}ercise␈α3␈α␈3.)
␈β⊂P␈↓ ↓V␈ε∪41.␈↓ α␈εβ[␈ε	22␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Sh␈α␈o␈α␈w␈αth␈α␈at␈αthe␈αreal␈αa␈α␈nd␈αimag␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈αpa␈α␈rts␈αo␈α␈f␈α(␈↓ π↑␈ε	a␈↓ πw␈εβ+␈↓ λ ␈ε	b␈↓ λ-␈ε	i␈↓ λ:␈εβ)(␈↓ λP␈ε	c␈↓ λe␈εβ+␈↓ 	∞␈ε	d␈↓ 	 ␈ε	i␈↓ 	-␈εβ)␈αca␈α␈n␈αb␈α␈e␈αo␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈α␈ed
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈α
d␈α␈oing␈α
3␈α
m␈α}ultiplication␈α␈s␈α
and␈α	5␈α
ad␈α␈dition␈α␈s␈αo␈α␈f␈αre␈α␈al␈αn␈α}um␈α}bers,␈α
where␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
o␈α␈f␈αth␈α␈e␈α
ad␈α␈dition␈α␈s
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβin␈α}v␈α␈olv␈α␈e␈↓ α9␈ε	a␈↓ αU␈εβan␈α␈d␈↓ β⊗␈ε	b␈↓ β.␈εβon␈α␈ly.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.4␈ε∞␈↓ π∧EV␈α|AL␈α␈U␈α␈A␈α}T␈α␈ION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα483
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪42.␈↓ α␈εβ[␈ε	36␈↓ α;␈εβ]␈α⊗(M.␈α
Pate␈α␈rson␈αan␈α␈d␈αL␈α↓.␈α
S␈α␈toc␈α␈kme␈α␈y␈α␈er.)␈α≤(a)␈α
Pro␈α␈v␈α}e␈α
th␈α␈at␈α
a␈αp␈α␈olyn␈α␈omia␈α␈l␈α
cha␈α␈i␈α↓n␈αwith
␈βαN␈↓ ε8␈εε2
␈βαR␈↓ ↓H␈ε	m␈↓ ↓n␈ε↔∃␈εβ␈α
2␈α	ch␈α␈ain␈α	m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α␈s␈α
h␈α␈as␈α	at␈α	most␈↓ ε≠␈ε	m␈↓ εJ␈εβ+␈α¬1␈α	deg␈α␈rees␈α	of␈α	f␈α↓r␈α␈eedo␈α␈m.␈α∃(b)␈α	Sh␈α␈o␈α␈w␈α	tha␈α␈t␈α
fo␈α␈r
␈βαy␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓l␈↓ ↓v␈ε	n␈↓ α∪␈ε↔∃␈εβ␈α
2␈αth␈α␈ere␈αex␈α␈i␈α↓st␈αp␈α␈olyn␈α␈omials␈αof␈αd␈α␈egree␈↓ εG␈ε	n␈↓ ε[␈εβ,␈αall␈αof␈αwhose␈αc␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈ts␈αare␈α0␈α
or␈α1,␈αtha␈α␈t
␈ββ∨␈↓ 	α␈∧β∨	αα∃
␈ββ ␈↓ λa␈ε↔p
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ann␈α␈ot␈α
b␈α␈e␈α
ev␈α␈alua␈α␈ted␈α
b␈α␈y␈α
a␈α␈n␈α␈y␈α	po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈α
ch␈α␈ain␈α
with␈α
fe␈α␈we␈α␈r␈α
tha␈α␈n␈ε↔␈α
b␈↓ 	α␈ε	n␈↓ 	⊗␈ε↔c␈εβ␈α
m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns,␈α
if
␈ββI␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈α
requ␈α␈i␈α↓re␈α
all␈αpa␈α␈rame␈α␈ters␈↓ ∧A␈ε	␈↓ ∧i␈εβto␈αb␈α␈e␈αin␈α␈te␈α␈gers.␈α→(c)␈αS␈α␈ho␈α}w␈αtha␈α␈t␈αan␈α}y␈αp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈αof␈αde␈α␈gree␈↓ _␈ε	n
␈ββS␈↓ ∧R␈εj
␈ββp␈↓ ↓H␈εβwith␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈r␈αcoe}␈α␈ci␈α↓e␈α␈n␈α␈ts␈αca␈α␈n␈αb␈α␈e␈αeva␈α␈luate␈α␈d␈αb␈α␈y␈αan␈α
all-i␈α↓n␈α}tege␈α␈r␈αalgorith␈α␈m␈αth␈α␈at␈αpe␈α␈rforms␈αa␈α␈t
␈β∧⊗␈↓ αX␈∧∧⊗αXα∃
␈β∧↔␈↓ α7␈ε↔p
␈β∧_␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ost␈α2␈ε↔b␈↓ αX␈ε	n␈↓ αl␈ε↔c␈εβ␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈tions,␈αif␈αw␈α␈e␈αdon␈α␈'t␈αcare␈αh␈α␈o␈α␈w␈αma␈α␈n␈α␈y␈αa␈α␈dd␈α␈iti␈α↓o␈α␈ns␈αw␈α␈e␈αd␈α␈o.
␈β∧N␈↓ ¬V␈εn
␈β∧R␈↓ ↓V␈ε∪43.␈↓ α␈εβ[␈ε	22␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Exp␈α␈l␈α↓a␈α␈in␈α
h␈α␈o␈α␈w␈α
to␈α
ev␈α␈alu␈α␈ate␈↓ ¬E␈ε	x␈↓ ¬l␈εβ+␈↓ ε∀␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ε@␈εβ+␈↓ εh␈ε	x␈↓ ε␈␈εβ+␈αε1␈α
with␈α	2␈↓ λ≤␈ε	l␈↓ λ%␈εβ(␈↓ λ0␈ε	n␈↓ λJ␈εβ+␈αε1)␈ε↔␈αε␈␈εβ␈αε2␈α
m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α␈s
␈β∧z␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ απ␈ε	l␈↓ α⊃␈εβ(␈↓ α≤␈ε	n␈↓ α6␈εβ+␈αε1)␈α
ad␈α␈dition␈α␈s␈α(n␈α␈o␈α
div␈α␈i␈α↓s␈α␈i␈α↓o␈α␈ns␈α
or␈α
su␈α␈btra␈α␈ction␈α␈s),␈αwhe␈α␈re␈↓ λ*␈ε	l␈↓ λ3␈εβ(␈↓ λ?␈ε	n␈↓ λS␈εβ)␈α
is␈α
the␈α
fu␈α␈nc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
stu␈α␈died
␈β¬!␈↓ ↓H␈εβin␈α
Sectio␈α␈n␈α4.6.3␈α␈.
␈β¬X␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β¬\␈↓ ↓V␈ε∪44.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈22␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Let␈α	(␈↓ βR␈ε	a␈↓ ∧¬␈εβ)␈α	b␈α␈e␈α	a␈α␈n␈↓ ∧n␈ε	m␈↓ ¬∂␈ε↔α␈↓ ¬5␈ε	n␈↓ ¬M␈ε↔α␈↓ ¬r␈ε	s␈↓ ελ␈εβtenso␈α␈r,␈α	and␈αλlet␈↓ π←␈ε	F␈↓ πv␈εβ,␈↓ λ	␈ε	G␈↓ λ"␈εβ,␈↓ λ4␈ε	H␈↓ λX␈εβb␈α␈e␈αλnon␈α␈sing␈α␈ular␈αλmatrice␈α␈s
␈β¬f␈↓ βa␈εi␈↓ βl␈εj␈↓ βx␈εk
␈βεβ␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αrespe␈α␈ctiv␈α␈e␈αsizes␈↓ βU␈ε	m␈↓ βy␈ε↔α␈↓ ∧"␈ε	m␈↓ ∧?␈εβ,␈↓ ∧T␈ε	n␈↓ ∧o␈ε↔α␈↓ ¬_␈ε	n␈↓ ¬,␈εβ,␈↓ ¬@␈ε	s␈↓ ¬U␈ε↔α␈↓ ¬}␈ε	s␈↓ ε␈εβ.␈αIf
␈βε:␈↓ ∧:␈ε↓P␈↓ ¬J␈ε↓P␈↓ εQ␈ε↓P
␈βεX␈↓ βW␈ε	b␈↓ ∧⊂␈εβ=␈↓ πS␈ε	F␈↓ λα␈ε	G␈↓ λ5␈ε	H␈↓ λh␈ε	a
␈βεc␈↓ βc␈εi␈↓ βm␈εj␈↓ βy␈εk␈↓ πf␈εi␈↓ πp␈εp␈↓ λ→␈εj␈↓ λ%␈εq␈↓ λJ␈εk␈↓ λW␈εr␈↓ λw␈εp␈↓ 	¬␈εq␈↓ 	⊃␈εr
␈βεk␈↓ ∧`␈εε1␈ε~∀␈↓ ¬ε␈εp␈↓ ¬∀␈ε~∀␈↓ ¬-␈εm␈↓ ¬p␈εε1␈ε~∀␈↓ ε⊗␈εq␈↓ ε"␈ε~∀␈↓ ε;␈εn␈↓ εw␈εε1␈ε~∀␈↓ π≥␈εr␈↓ π)␈ε~∀␈↓ πB␈εs
␈βπ2␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈αall␈↓ α*␈ε	i␈↓ α6␈εβ,␈↓ αK␈ε	j␈↓ αZ␈εβ,␈↓ αn␈ε	k␈↓ α}␈εβ,␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈αtha␈α␈t␈αthe␈αte␈α␈nso␈α␈r␈α(␈↓ ¬↑␈ε	b␈↓ ε
␈εβ)␈αh␈α␈as␈αth␈α␈e␈αsam␈α␈e␈αran␈α␈k␈αas␈α(␈↓ λm␈ε	a␈↓ 	 ␈εβ).␈α~[␈ε⊂Hin␈α␈t:␈εβ␈αCo␈α␈nside␈α␈r
␈βπ<␈↓ ¬j␈εi␈↓ ¬t␈εj␈↓ ε␈εk␈↓ λ|␈εi␈↓ 	π␈εj␈↓ 	∪␈εk
␈βπU␈↓ ¬?␈ε~␈␈εε1␈↓ ε⊃␈ε~␈␈εε1␈↓ εd␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈βπY␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈at␈α	h␈α␈app␈α␈en␈α␈s␈α	when␈αλthe␈α	m␈α␈atrices␈↓ ¬(␈ε	F␈↓ ¬e␈εβ,␈↓ ¬x␈ε	G␈↓ ε6␈εβ,␈↓ εI␈ε	H␈↓ π∪␈εβare␈α	a␈α␈pp␈α␈l␈α↓ied␈αλi␈α↓n␈αλthe␈α	sa␈α␈me␈α	way␈αλto␈α	(␈↓ 
←␈ε	b␈↓ ∂␈εβ).]
␈βπd␈↓ 
k␈εi␈↓ 
v␈εj␈↓ α␈εk
␈βλ∪␈↓ ↓V␈ε∪45.␈↓ α␈εβ[␈ε	M28␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈α∞th␈α␈at␈α
all␈α∞p␈α␈airs␈α∞(␈↓ ¬0␈ε	z␈↓ ¬H␈εβ,␈↓ ¬V␈ε	z␈↓ ¬n␈εβ)␈α∞o␈α␈f␈α∞b␈α␈i␈α↓line␈α␈ar␈α∞fo␈α␈rms␈α∞in␈α
(␈↓ λ>␈ε	x␈↓ λZ␈εβ,␈↓ λi␈ε	x␈↓ 	¬␈εβ)␈α
and␈α
(␈↓ 	l␈ε	y␈↓ 
λ␈εβ,␈↓ 
↔␈ε	y␈↓ 
3␈εβ)␈α∞c␈α␈an␈α
be
␈βλ≡␈↓ ¬;␈εε1␈↓ ¬a␈εε2␈↓ λM␈εε1␈↓ λx␈εε2␈↓ 	{␈εε1␈↓ 
&␈εε2
␈βλ;␈↓ ↓H␈εβe␈α␈valu␈α␈ated␈αwi␈α↓th␈αat␈α
mo␈α␈st␈α
thre␈α␈e␈α
cha␈α␈in␈α
m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈tions.␈α⊃In␈αothe␈α␈r␈α
wo␈α␈rds,␈α
sho␈α␈w␈α
th␈α␈at␈α
ev␈α}ery
␈βλc␈↓ ↓H␈εβ2␈ε↔␈απα␈εβ␈απ2␈ε↔␈απα␈εβ␈αλ2␈αten␈α␈sor␈αh␈α␈as␈αran␈α␈k␈ε↔␈α∀␈εβ␈α	3.
␈β	≥␈↓ ↓V␈ε∪46.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈α
tha␈α␈t␈α
for␈α
a␈α␈ll␈↓ ∧y␈ε	m␈↓ ¬⊗␈εβ,␈↓ ¬)␈ε	n␈↓ ¬=␈εβ,␈αa␈α␈nd␈↓ ε⊂␈ε	s␈↓ ε(␈εβth␈α␈ere␈α
e␈α␈xists␈α
a␈α␈n␈↓ λ∧␈ε	m␈↓ λ'␈ε↔α␈↓ λN␈ε	n␈↓ λh␈ε↔α␈↓ 	∂␈ε	s␈↓ 	&␈εβtenso␈α␈r␈α
who␈α␈se␈α
ra␈α␈nk
␈β	E␈↓ ↓H␈εβis␈α
a␈α␈t␈α
least␈ε↔␈α	d␈↓ αh␈ε	m␈↓ βε␈ε	n␈↓ β~␈ε	s␈↓ β'␈εβ/(␈↓ βC␈ε	m␈↓ βf␈εβ+␈↓ ∧
␈ε	n␈↓ ∧'␈εβ+␈↓ ∧M␈ε	s␈↓ ∧[␈εβ)␈ε↔e␈εβ.␈αCon␈α}v␈α␈erse␈α␈l␈α↓y␈α␈,␈α
sho␈α␈w␈α	tha␈α␈t␈α
ev␈α␈e␈α␈ry␈↓ λ,␈ε	m␈↓ λN␈ε↔α␈↓ λu␈ε	n␈↓ 	∂␈ε↔α␈↓ 	6␈ε	s␈↓ 	M␈εβtenso␈α␈r␈α
h␈α␈as␈α
ra␈α␈nk
␈β	l␈↓ ↓H␈εβa␈α␈t␈αmost␈↓ αB␈ε	m␈↓ α←␈ε	n␈↓ αs␈ε	s␈↓ β↓␈εβ/␈↓ β⊃␈εβmax␈↓ βP␈εβ(␈↓ β[␈ε	m␈↓ βy␈εβ,␈↓ ∧λ␈ε	n␈↓ ∧≤␈εβ,␈↓ ∧*␈ε	s␈↓ ∧8␈εβ).
␈β
&␈↓ ↓V␈ε∪47.␈↓ α␈εβ[␈ε	M48␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Is␈α
it␈α
p␈α␈ossible␈α	to␈α
d␈α␈etermin␈α␈e␈α
th␈α␈e␈α
ran␈α␈k␈α
o␈α␈f␈α
an␈α}y␈α
g␈α␈i␈α↓v␈α}en␈α	tens␈α␈or␈α
(␈↓ 	"␈ε	a␈↓ 	U␈εβ)␈α
o␈α␈v␈α␈e␈α␈r,␈αsa␈α␈y,␈α
the
␈β
1␈↓ 	2␈εi␈↓ 	<␈εj␈↓ 	H␈εk
␈β
N␈↓ ↓H␈εβ|␈α␈eld␈α	of␈α	rat␈α␈i␈α↓o␈α␈nal␈α	n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ers,␈α
in␈α	a␈α	|␈α␈nite␈α	n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α
o␈α␈f␈α
s␈α␈teps?␈α∀[There␈α	is␈α	a␈α	|␈α␈nite␈α	way␈α	to␈αλcomp␈α␈ute
␈β
v␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α	tenso␈α␈r␈α
ra␈α␈nk␈α	o␈α␈v␈α}er␈α
a␈α␈l␈α↓g␈α␈ebr␈α␈aically␈α	closed␈α	|␈α␈elds␈α
lik␈α␈e␈α	th␈α␈e␈α
co␈α␈mplex␈α	n␈α}um␈α␈b␈α␈ers,␈α
sinc␈α␈e␈α
th␈α␈is␈α
is␈α
a
␈β≥␈↓ ↓H␈εβsp␈α␈ecial␈α
ca␈α␈se␈α
o␈α␈f␈α
the␈α
re␈α␈sults␈α
of␈α
Alfred␈α	Tarsk␈α␈i,␈ε⊂␈αA␈α
De␈α␈ci␈α↓s␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α
M␈α␈etho␈α␈d␈α
fo␈α␈r␈α
El␈α↓em␈α␈en␈α␈ta␈α␈ry␈α
Alge␈α␈bra
␈βE␈↓ ↓H␈ε⊂a␈α␈nd␈α
Geo␈α␈metry␈εβ␈α␈,␈α2n␈α␈d␈αe␈α␈d.␈α(Berk␈α}eley,␈αCa␈α␈l␈α↓iforn␈α␈ia:␈αUniv␈α␈.␈αo␈α␈f␈αCaliforn␈α␈ia␈αPress,␈α1␈α␈951␈α␈)␈α↓;␈αb␈α␈ut␈α
the
␈βl␈↓ ↓H␈εβk␈α␈no␈α}wn␈αalgo␈α␈rithms␈αd␈α␈o␈αn␈α␈ot␈αma␈α␈k␈α␈e␈αth␈α␈is␈αcomp␈α␈uta␈α␈tion␈αre␈α␈all␈α↓y␈αfeasib␈α␈l␈α↓e␈αex␈α␈ce␈α␈pt␈αfor␈αv␈α}ery␈αsm␈α␈all
␈β∀␈↓ ↓H␈εβte␈α␈nso␈α␈rs.␈αOv␈α}er␈α	th␈α␈e␈α	|␈α␈eld␈αλof␈α	ra␈α␈ti␈α↓o␈α␈na␈α␈l␈α	n␈α␈u␈α␈m␈α␈bers␈α␈,␈α
th␈α␈e␈α	p␈α␈rob␈α␈l␈α↓e␈α␈m␈α	isn't␈αλev␈α␈en␈αλk␈α␈no␈α}w␈α↓n␈αλto␈αλb␈α␈e␈α	so␈α␈l␈α↓v␈α␈ab␈α␈l␈α↓e
␈β<␈↓ ↓H␈εβin␈α
|n␈α␈i␈α↓te␈αtime␈α␈.␈α↓]
␈βr␈↓ πW␈ε~0
␈βv␈↓ ↓V␈ε∪48.␈↓ α␈εβ[␈ε	M49␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(V.␈αλStra␈α␈ssen,␈α	S␈α␈.␈αλW␈α↓in␈α␈ogra␈α␈d.)␈α∩If␈αλ(␈↓ ε7␈ε	a␈↓ εj␈εβ)␈α	a␈α␈nd␈απ(␈↓ πG␈ε	a␈↓ π{␈εβ)␈αλare␈αλte␈α␈nso␈α␈rs␈αλof␈αλsizes␈↓ 
≥␈ε	m␈↓ 
>␈ε↔α␈↓ 
c␈ε	n␈↓ 
z␈ε↔α␈↓ ∨␈ε	s
␈β
↓␈↓ εG␈εi␈↓ εQ␈εj␈↓ ε]␈εk
␈β
¬␈↓ πW␈εi␈↓ πb␈εj␈↓ πn␈εk
␈β
→␈↓ α!␈ε~0␈↓ α`␈ε~0␈↓ β_␈ε~0␈↓ ε∨␈ε~0␈↓ π≥␈ε~00␈↓ 	∞␈ε~0␈↓ 
≠␈ε~0␈↓ ≠␈ε~0
␈β
≡␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ α∧␈ε	m␈↓ α)␈ε↔α␈↓ αL␈ε	n␈↓ αg␈ε↔α␈↓ β
␈ε	s␈↓ β≡␈εβ,␈αλth␈α␈eir␈ε⊂␈απd␈α␈i␈α↓re␈α␈ct␈απsu␈α␈m␈εβ␈αε(␈↓ ¬!␈ε	a␈↓ ¬T␈εβ)␈ε↔␈ααλ␈εβ␈α↓(␈↓ ε∞␈ε	a␈↓ εC␈εβ)␈α	=␈α
(␈↓ π
␈ε	a␈↓ πA␈εβ)␈απis␈αεthe␈αε(␈↓ λ/␈ε	m␈↓ λN␈εβ+␈↓ λq␈ε	m␈↓ 	∀␈εβ)␈ε↔␈ααα␈εβ␈αα(␈↓ 	O␈ε	n␈↓ 	d␈εβ+␈↓ 
π␈ε	n␈↓ 
!␈εβ)␈ε↔␈ααα␈εβ␈α↓(␈↓ 
[␈ε	s␈↓ 
k␈εβ+␈↓ 
␈ε	s␈↓ !␈εβ)
␈β
(␈↓ ¬0␈εi␈↓ ¬;␈εj␈↓ ¬G␈εk
␈β
-␈↓ ε∨␈εi␈↓ ε)␈εj␈↓ ε5␈εk␈↓ π≥␈εi␈↓ π(␈εj␈↓ π4␈εk
␈β
A␈↓ β`␈ε~00␈↓ π␈␈ε~00␈↓ λh␈ε~0
␈β
E␈↓ ↓H␈εβte␈α␈nso␈α␈r␈αd␈α␈e|n␈α␈ed␈αb␈α␈y␈↓ βO␈ε	a␈↓ ∧∞␈εβ=␈↓ ∧9␈ε	a␈↓ ∧x␈εβif␈↓ ¬_␈ε	i␈↓ ¬.␈ε↔∀␈↓ ¬Y␈ε	m␈↓ ¬w␈εβ,␈↓ ε␈ε	j␈↓ ε$␈ε↔∀␈↓ εO␈ε	n␈↓ εc␈εβ,␈↓ εx␈ε	k␈↓ π∩␈ε↔∀␈↓ π>␈ε	s␈↓ πK␈εβ;␈↓ πo␈ε	a␈↓ λ-␈εβ=␈↓ λX␈ε	a␈↓ 
$␈εβi␈α↓f␈↓ 
D␈ε	i␈↓ 
[␈εβ>␈↓ ε␈ε	m␈↓ #␈εβ,
␈β
P␈↓ ∧H␈εi␈↓ ∧S␈εj␈↓ ∧←␈εk
␈β
T␈↓ β`␈εi␈↓ βk␈εj␈↓ βw␈εk␈↓ π␈␈εi␈↓ λ
␈εj␈↓ λ⊗␈εk␈↓ λh␈εi␈↓ λs␈ε~␈␈↓ 	␈εm␈↓ 	$␈εε,␈↓ 	+␈εj␈↓ 	7␈ε~␈␈↓ 	P␈εn␈↓ 	`␈εε,␈↓ 	g␈εk␈↓ 	t␈ε~␈␈↓ 

␈εs
␈β
i␈↓ βu␈ε~0␈α↓0␈↓ 
[␈ε~00
␈β
m␈↓ ↓H␈ε	j␈↓ ↓b␈εβ>␈↓ α∞␈ε	n␈↓ α"␈εβ,␈↓ α8␈ε	k␈↓ αS␈εβ>␈↓ α␈␈ε	s␈↓ β
␈εβ;␈α
an␈α␈d␈↓ βe␈ε	a␈↓ ∧$␈εβ=␈α0␈αothe␈α␈rwi␈α↓se␈α␈.␈α∂Pro␈α␈v␈α}e␈αor␈αdisp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈αth␈α␈at␈α(i)␈αthe␈αra␈α␈nk␈αo␈α␈f␈α
(␈↓ 
K␈ε	a␈↓ 
␈␈εβ)␈αis
␈β
|␈↓ βu␈εi␈↓ ∧␈εj␈↓ ∧␈εk␈↓ 
[␈εi␈↓ 
f␈εj␈↓ 
r␈εk
␈β∞⊂␈↓ α⊂␈ε~0␈↓ εA␈ε~0␈↓ 
←␈ε~00␈↓ ↔␈ε~00
␈β∞∀␈↓ ↓H␈ε	t␈↓ ↓[␈εβ+␈↓ α∧␈ε	t␈↓ α⊗␈εβ,␈αthe␈αsum␈αof␈αthe␈αran␈α␈ks␈αof␈α(␈↓ ¬~␈ε	a␈↓ ¬N␈εβ)␈αa␈α␈nd␈α(␈↓ ε1␈ε	a␈↓ εe␈εβ);␈αan␈α␈d␈αi␈α↓n␈αfac␈α␈t␈α(ii)␈αan␈α}y␈αrealization␈↓ 
I␈ε	A␈↓ 
k␈εβ,␈↓ ␈ε	B␈↓ #␈εβ,
␈β∞∨␈↓ ¬*␈εi␈↓ ¬5␈εj␈↓ ¬A␈εk
␈β∞#␈↓ εA␈εi␈↓ εL␈εj␈↓ εX␈εk
␈β∞8␈↓ ↓c␈ε~00␈↓ α<␈ε~00␈↓ ¬␈ε~0
␈β∞<␈↓ ↓H␈ε	C␈↓ ↓z␈εβof␈α(␈↓ α,␈ε	a␈↓ α`␈εβ)␈αas␈α
the␈αsu␈α␈m␈αo␈α␈f␈↓ ∧D␈ε	t␈↓ ∧W␈εβ+␈↓ ¬␈ε	t␈↓ ¬≥␈εβra␈α␈nk␈α␈-one␈α
tens␈α␈ors␈αca␈α␈n␈αb␈α␈e␈αco␈α␈n␈α␈v␈α}erted␈α
(by␈α
perm␈α}uta␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αo␈α␈f
␈β∞K␈↓ α<␈εi␈↓ αG␈εj␈↓ αS␈εk
␈β∞←␈↓ ∧7␈ε~0␈α↓0␈↓ ¬U␈ε~0␈↓ εε␈ε~00␈↓ π$␈ε~0␈↓ πY␈ε~0␈α↓0␈↓ 	␈ε~0
␈β∞d␈↓ ↓H␈εβc␈α␈olumn␈α␈s)␈αi␈α↓n␈α}to␈αth␈α␈e␈αf␈α↓o␈α␈rm␈↓ ∧!␈ε	A␈↓ ∧M␈εβ=␈↓ ∧x␈ε	A␈↓ ¬⊗␈ε↔λ␈↓ ¬?␈ε	A␈↓ ¬[␈εβ,␈↓ ¬p␈ε	B␈↓ ε≤␈εβ=␈↓ εG␈ε	B␈↓ εd␈ε↔λ␈↓ π
␈ε	B␈↓ π*␈εβ,␈↓ π>␈ε	C␈↓ πo␈εβ=␈↓ λ~␈ε	C␈↓ λ<␈ε↔λ␈↓ λe␈ε	C␈↓ 	ε␈εβ,␈αwh␈α␈ere␈↓ 	{␈ε	A␈↓ 
⊃␈εβ,␈↓ 
&␈ε	B␈↓ 
<␈εβ,␈↓ 
Q␈ε	C␈↓ 
w␈εβa␈α␈nd
␈β∂π␈↓ ↓↑␈ε~0␈↓ α∂␈ε~0␈↓ αD␈ε~0␈↓ ε∃␈ε~0
␈β∂␈↓ ↓H␈ε	A␈↓ ↓d␈εβ,␈↓ ↓x␈ε	B␈↓ α∃␈εβ,␈↓ α)␈ε	C␈↓ αV␈εβa␈α␈re␈αrealizatio␈α␈ns␈αof␈α(␈↓ ∧o␈ε	a␈↓ ¬"␈εβ)␈αa␈α␈nd␈α
(␈↓ ε∧␈ε	a␈↓ ε9␈εβ),␈αresp␈α␈ectiv␈α␈ely␈α␈.
␈β∂⊗␈↓ ∧}␈εi␈↓ ¬	␈εj␈↓ ¬∃␈εk
␈β∂~␈↓ ε∃␈εi␈↓ ε∨␈εj␈↓ ε,␈εk
␈β∂A␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∂E␈↓ ↓V␈ε∪49.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈22␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Sh␈α␈o␈α␈w␈α
that␈α
the␈α
ran␈α␈k␈α
of␈αa␈α␈n␈↓ ε¬␈ε	m␈↓ ε)␈ε↔α␈↓ εR␈ε	n␈↓ εl␈ε↔α␈εβ␈απ1␈αte␈α␈nsor␈α
(␈↓ λ≡␈ε	a␈↓ λR␈εβ)␈α
i␈α↓s␈α
the␈α
sam␈α␈e␈αa␈α␈s␈αits␈αra␈α␈nk
␈β∂P␈↓ λ.␈εi␈↓ λ8␈εj␈↓ λD␈εk
␈β∂m␈↓ ↓H␈εβa␈α␈s␈α
an␈↓ α≤␈ε	m␈↓ α@␈ε↔α␈↓ αg␈ε	n␈↓ β¬␈εβma␈α␈trix␈α
(␈↓ β|␈ε	a␈↓ ∧/␈εβ),␈α
acco␈α␈rdin␈α␈g␈α
to␈α
th␈α␈e␈α
tra␈α␈dition␈α␈al␈α
de|␈α␈nition␈α	of␈α
ma␈α␈tri␈α↓x␈α	ran␈α␈k␈α
a␈α␈s␈α
the
␈β∂x␈↓ ∧␈εi␈↓ ∧⊗␈εj␈↓ ∧"␈εε1
␈β⊂∃␈↓ ↓H␈εβm␈α␈axim␈α␈u␈α␈m␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈αof␈αli␈α↓n␈α␈ear␈α␈l␈α↓y␈α
i␈α↓n␈α␈de␈α␈pen␈α␈de␈α␈n␈α␈t␈αro␈α␈ws.
␈β⊂O␈↓ ↓V␈ε∪50.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈20␈↓ αm␈εβ]␈α⊗(S.␈α
Winog␈α␈rad␈α␈.␈α↓)␈α≤L␈α↓e␈α␈t␈α
(␈↓ ¬I␈ε	a␈↓ ¬⎇␈εβ)␈α
b␈α␈e␈α
th␈α␈e␈↓ ε}␈ε	m␈↓ π≠␈ε	n␈↓ π8␈ε↔α␈↓ πb␈ε	n␈↓ π␈␈ε↔α␈↓ λ(␈ε	m␈↓ λS␈εβte␈α␈nso␈α␈r␈α
corre␈α␈spon␈α␈din␈α␈g␈α
to
␈β⊂Z␈↓ ¬Y␈εi␈↓ ¬c␈εj␈↓ ¬p␈εk
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultiplication␈α
of␈α
an␈↓ βq␈ε	m␈↓ ∧∃␈ε↔α␈↓ ∧=␈ε	n␈↓ ∧\␈εβma␈α␈tri␈α↓x␈α
b␈α␈y␈α
an␈↓ ε&␈ε	n␈↓ εA␈ε↔α␈εβ␈απ1␈αc␈α␈olumn␈α
v␈α}ector␈α␈.␈αPro␈α␈v␈α}e␈αth␈α␈at␈α
the␈α
rank␈α
o␈α␈f
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	a␈↓ αε␈εβ)␈αi␈α↓s␈↓ α>␈ε	m␈↓ α[␈ε	n␈↓ αo␈εβ.
␈β⊃)␈↓ ↓b␈εi␈↓ ↓m␈εj␈↓ ↓y␈εk
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα484␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.4
␈βα&␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪51.␈↓ α␈εβ[␈ε	M24␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(S␈α␈.␈α
W␈α↓in␈α␈ogra␈α␈d.)␈α∃Dev␈α␈i␈α↓se␈α	an␈α	a␈α␈lgorith␈α␈m␈α
fo␈α␈r␈α
cy␈α}cli␈α↓c␈α	co␈α␈n␈α␈v␈α␈o␈α␈lution␈α	of␈α	de␈α␈gree␈α	2␈α	tha␈α␈t
␈βαR␈↓ ↓H␈εβu␈α␈ses␈α
2␈α∞m␈α}ultiplication␈α␈s␈α∞a␈α␈nd␈α
4␈α
ad␈α␈dition␈α␈s,␈α∂n␈α␈ot␈α∞c␈α␈ou␈α␈n␈α␈ting␈α
op␈α␈erat␈α␈i␈α↓o␈α␈ns␈α
on␈α
the␈↓ 	j␈ε	x␈↓ 
∧␈εβ.␈α∪S␈α␈i␈α↓m␈α␈i␈α↓la␈α␈rl␈α↓y␈α␈,
␈βα\␈↓ 	y␈εi
␈βαv␈↓ 
&␈εα(
␈βαy␈↓ ↓H␈εβd␈α␈ev␈α␈i␈α↓se␈αan␈αalgo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈αfo␈α␈r␈αdeg␈α␈ree␈α3␈α␈,␈αusing␈α4␈αm␈α}ultiplication␈α␈s␈αan␈α␈d␈α11␈αa␈α␈dd␈α␈iti␈α↓o␈α␈ns.␈↓ 
2␈εβCf.␈α(6␈α␈7),
␈ββ≡␈↓ π⊃␈εα)
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ich␈αso␈α␈l␈α↓v␈α}es␈αthe␈α
ana␈α␈l␈α↓o␈α␈go␈α␈us␈αpr␈α␈oblem␈αfo␈α␈r␈αdeg␈α␈ree␈α4.
␈ββM␈↓ ¬s␈ε~0␈↓ ε
␈ε~0␈α↓0␈↓ πR␈ε~0␈↓ π{␈ε~00
␈ββQ␈↓ ↓V␈ε∪52.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(S␈α␈.␈α	W␈α↓ino␈α␈gra␈α␈d.)␈α∪L␈α↓e␈α␈t␈↓ ¬↔␈ε	n␈↓ ¬4␈εβ=␈↓ ¬←␈ε	n␈↓ ¬y␈ε	n␈↓ ε#␈εβwh␈α␈ere␈↓ π↓␈εβg␈α␈cd␈↓ π3␈εβ(␈↓ π>␈ε	n␈↓ πX␈εβ,␈↓ πg␈ε	n␈↓ λπ␈εβ)␈α
=␈α	1.␈αG␈α␈i␈α↓v␈α}en␈αλnor␈α␈mal␈α	sch␈α␈eme␈α␈s
␈ββu␈↓ ¬9␈ε~0␈↓ ε→␈ε~0␈α↓0␈↓ λh␈ε~0␈↓ 	~␈ε~00
␈ββy␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α	c␈α␈y␈α␈clic␈αλcon␈α}v␈α␈olu␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αλof␈αλd␈α␈egree␈α␈s␈↓ ¬%␈ε	n␈↓ ¬G␈εβan␈α␈d␈↓ ε¬␈ε	n␈↓ ε&␈εβ,␈α	u␈α␈si␈α↓n␈α␈g␈αλresp␈α␈ectiv␈α␈e␈α␈l␈α↓y␈απ(␈↓ λK␈ε	m␈↓ λn␈εβ,␈↓ λ⎇␈ε	m␈↓ 	'␈εβ)␈αλch␈α␈ain␈αλm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈-
␈β∧≤␈↓ αA␈ε~0␈↓ αg␈ε~00␈↓ εy␈ε~0␈↓ π∨␈ε~00
␈β∧ ␈↓ ↓H␈εβtio␈α␈ns,␈α∞(␈↓ α0␈ε	p␈↓ αG␈εβ,␈↓ αV␈ε	p␈↓ αs␈εβ)␈α
para␈α␈meter␈α
m␈α}ultiplication␈α␈s,␈α∞a␈α␈nd␈α(␈↓ εi␈ε	a␈↓ ε␈␈εβ,␈↓ π∞␈ε	a␈↓ π+␈εβ)␈α
ad␈α␈dition␈α␈s,␈α∞sho␈α}w␈α
ho␈α␈w␈α
to␈αcon␈α␈struc␈α␈t
␈β∧D␈↓ λ6␈ε~0␈↓ λY␈ε~00
␈β∧H␈↓ ↓H␈εβa␈αnor␈α␈mal␈αsch␈α␈eme␈αfor␈αcy␈α}clic␈αcon␈α}v␈α␈olu␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αo␈α␈f␈α
d␈α␈egre␈α␈e␈↓ π ␈ε	n␈↓ π@␈εβusing␈↓ λ_␈ε	m␈↓ λ<␈ε	m␈↓ λr␈εβch␈α␈ain␈αm␈α}ultiplication␈α␈s,
␈β∧k␈↓ ↓Y␈ε~0␈↓ ↓s␈ε~00␈↓ αM␈ε~0␈↓ αd␈ε~00␈↓ εX␈ε~0␈↓ εr␈ε~0␈α↓0␈↓ πL␈ε~0␈↓ πc␈ε~00
␈β∧o␈↓ ↓H␈ε	p␈↓ ↓←␈ε	n␈↓ απ␈εβ+␈↓ α0␈ε	m␈↓ αS␈ε	p␈↓ α|␈εβp␈α␈aram␈α␈eter␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α␈s,␈αa␈α␈nd␈↓ εH␈ε	a␈↓ ε↑␈ε	n␈↓ πε␈εβ+␈↓ π/␈ε	m␈↓ πS␈ε	a␈↓ π{␈εβa␈α␈dd␈α␈i␈α↓tio␈α␈ns.
␈β¬ ␈↓ ↓V␈ε∪53.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈35␈↓ αm␈εβ]␈α⊗(S.␈αWi␈α↓n␈α␈ogr␈α␈ad.)␈α→L␈α↓e␈α␈t␈↓ ¬8␈ε	|␈↓ ¬X␈εβbe␈αa␈αc␈α␈omp␈α␈lex␈↓ π$␈ε	m␈↓ πA␈εβth␈αroo␈α␈t␈αof␈αun␈α␈i␈α↓ty␈α␈,␈αa␈α␈nd␈αc␈α␈on␈α␈si␈α↓d␈α␈er␈αthe
␈β¬G␈↓ ↓H␈εβo␈α␈ne-d␈α␈imen␈α␈si␈α↓o␈α␈na␈α␈l␈αFou␈α␈rier␈αtran␈α␈sform
␈β¬←␈↓ ¬∧␈ε↓X
␈β¬}␈↓ ε"␈εs␈↓ ε-␈εt
␈βε∧␈↓ ∧ε␈ε	f␈↓ ∧⊗␈εβ(␈↓ ∧!␈ε	s␈↓ ∧/␈εβ)␈α	=␈↓ ¬S␈ε	F␈↓ ¬j␈εβ(␈↓ ¬v␈ε	t␈↓ ε↓␈εβ)␈↓ ε
␈ε	|␈↓ ε7␈εβ,␈↓ π∞␈εβfo␈α␈r␈↓ πA␈εβ1␈ε↔␈α	∀␈↓ λε␈ε	s␈↓ λ≥␈ε↔∀␈↓ λG␈ε	m␈↓ λe␈εβ.
␈βε5␈↓ ∧n␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ ¬∀␈εt␈↓ ¬≥␈ε~∀␈↓ ¬6␈εm
␈βεR␈↓ βA␈εe
␈βεV␈↓ ↓H␈εβ(a␈α␈)␈α
Wh␈α␈en␈↓ α\␈ε	m␈↓ β∧␈εβ=␈↓ β0␈ε	p␈↓ βX␈εβis␈αa␈αp␈α␈o␈α␈w␈α␈er␈αo␈α␈f␈αan␈αo␈α␈dd␈αprime,␈αsho␈α}w␈αtha␈α␈t␈αe}cien␈α}t␈αnor␈α␈mal␈αsch␈α␈emes␈αfo␈α␈r
␈βεy␈↓ π∃␈εk
␈βε⎇␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omp␈α␈uting␈α	cy␈α␈c␈α␈l␈α↓ic␈α
co␈α␈n␈α␈v␈α}olution␈α␈s␈α
of␈α
de␈α␈grees␈α
(␈↓ ε*␈ε	p␈↓ εA␈ε↔␈␈εβ␈αε1)␈↓ π∧␈ε	p␈↓ π"␈εβ,␈αfo␈α␈r␈α
0␈ε↔␈α	∀␈↓ λ-␈ε	k␈↓ λF␈εβ<␈↓ λq␈ε	e␈↓ λ}␈εβ,␈αwill␈α
l␈α↓ea␈α␈d␈α
to␈α
e␈α␈}cien␈α}t
␈βπ%␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓g␈α␈orith␈α␈ms␈α	for␈α	com␈α␈pu␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈α	th␈α␈e␈α	Four␈α␈i␈α↓er␈α	tr␈α␈ansfo␈α␈rm␈α	on␈↓ π.␈ε	m␈↓ πU␈εβco␈α␈mplex␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs.␈αGiv␈α␈e␈α	a␈αλsi␈α↓m␈α␈i␈α↓la␈α␈r
␈βπH␈↓ π)␈ε~0␈↓ πL␈ε~0␈α↓0␈↓ λ⎇␈ε~0␈↓ 	/␈ε~00
␈βπL␈↓ ↓H␈εβc␈α␈onst␈α␈ruction␈α	for␈α	the␈α	case␈↓ ∧4␈ε	p␈↓ ∧O␈εβ=␈α	2.␈α⊗(b)␈α	W␈α↓h␈α␈en␈↓ ε:␈ε	m␈↓ εa␈εβ=␈↓ π␈ε	m␈↓ π/␈ε	m␈↓ πc␈εβa␈α␈nd␈↓ λ"␈εβgcd␈↓ λT␈εβ(␈↓ λ←␈ε	m␈↓ 	β␈εβ,␈↓ 	∩␈ε	m␈↓ 	;␈εβ)␈α
=␈α	1,␈α
sho␈α␈w␈α	tha␈α␈t
␈βπp␈↓ ε≤␈ε~0␈↓ π
␈ε~0␈α↓0
␈βπt␈↓ ↓H␈εβFo␈α␈urier␈αtran␈α␈sforma␈α␈tion␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α␈s␈α
fo␈α␈r␈↓ ¬}␈ε	m␈↓ ε.␈εβan␈α␈d␈↓ εp␈ε	m␈↓ π&␈εβcan␈αbe␈αco␈α␈m␈α␈bin␈α␈ed␈αto␈αy␈α␈i␈α↓e␈α␈l␈α↓d␈αa␈αFou␈α␈ri␈α↓e␈α␈r
␈βλ≤␈↓ ↓H␈εβtra␈α␈nsfo␈α␈rmation␈α
algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈αfor␈↓ ∧w␈ε	m␈↓ ¬∨␈εβeleme␈α␈n␈α␈ts.
␈βλL␈↓ ↓V␈ε∪54.␈↓ α␈εβ[␈ε	M21␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Th␈α␈eorem␈α
W␈α∞re␈α␈f␈α↓e␈α␈rs␈α∞to␈α
an␈α
in␈α␈|n␈α␈i␈α↓te␈α
|␈α␈eld.␈α∪Ho␈α}w␈α∞ma␈α␈n␈α␈y␈α
eleme␈α␈n␈α␈ts␈α
m␈α␈ust␈α
a␈α
|n␈α␈i␈α↓te
␈βλs␈↓ ↓H␈εβ|␈α␈eld␈αh␈α␈av␈α␈e␈α
i␈α↓n␈α
ord␈α␈er␈αfor␈αth␈α␈e␈αpro␈α␈of␈αof␈αTheo␈α␈rem␈αW␈αto␈αb␈α␈e␈αva␈α␈l␈α↓id␈α␈?
␈β	#␈↓ ↓V␈ε∪55.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈22␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Deter␈α␈mine␈αth␈α␈e␈αran␈α␈k␈αof␈αten␈α␈sor␈α(7␈α␈2)␈αwhen␈↓ πZ␈ε	P␈↓ π⎇␈εβis␈αan␈ε⊂␈αa␈α␈rbitra␈α␈ry␈↓ 	[␈ε	n␈↓ 	v␈ε↔α␈↓ 
∨␈ε	n␈↓ 
>␈εβmatrix␈α␈.
␈β	T␈↓ ↓V␈ε∪56.␈↓ α␈εβ[␈ε	M32␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(V.␈α∂Stra␈α␈ssen␈α␈.␈α↓)␈α Sh␈α␈o␈α␈w␈α∂tha␈α␈t␈α∂an␈α}y␈α∂p␈α␈olyn␈α␈omial␈α∂ch␈α␈ain␈α∞that␈α∞eva␈α␈l␈α↓u␈α␈ates␈α∞a␈α∂set␈α∂o␈α␈f
␈β	]␈↓ β;␈ε↓P
␈β	x␈↓ 	2␈εε1
␈β	{␈↓ ↓H␈ε⊂q␈α␈ua␈α␈drat␈α␈i␈α↓c␈αform␈α␈s␈↓ ∧S␈ε	c␈↓ ¬β␈ε	x␈↓ ¬≥␈ε	x␈↓ ¬F␈εβfor␈α1␈ε↔␈α∀␈↓ εD␈ε	k␈↓ ε`␈ε↔∀␈↓ π
␈ε	s␈↓ π'␈εβm␈α␈u␈α␈st␈αuse␈αat␈αleast␈↓ 	B␈εβran␈α␈k␈↓ 
¬␈εβ(␈↓ 
⊂␈ε	c␈↓ 
H␈εβ+␈↓ 
q␈ε	c␈↓ !␈εβ)
␈β
ε␈↓ ∧←␈εi␈↓ ∧j␈εj␈↓ ∧v␈εk␈↓ ¬∪␈εi␈↓ ¬-␈εk␈↓ 
≤␈εi␈↓ 
&␈εj␈↓ 
2␈εk␈↓ 
⎇␈εj␈↓ 	␈εi␈↓ ∀␈εk
␈β
	␈↓ 	2␈∧
		2α
␈β
␈↓ 	2␈εε2
␈β
∞␈↓ βa␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ ∧π␈εi␈↓ ∧⊃␈εε,␈↓ ∧_␈εj␈↓ ∧$␈ε~∀␈↓ ∧=␈εn
␈β
'␈↓ ↓H␈εβc␈α␈hain␈α	m␈α}ultiplication␈α␈s.␈α [␈ε⊂Hin␈α␈t:␈εβ␈α
Sh␈α␈o␈α␈w␈α	tha␈α␈t␈α
th␈α␈e␈α	minim␈α␈u␈α␈m␈α	n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α	o␈α␈f␈α
ch␈α␈ain␈α	m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α␈s
␈β
N␈↓ ↓H␈εβis␈απth␈α␈e␈απmin␈α␈i␈α↓m␈α␈u␈α␈m␈απra␈α␈nk␈αεof␈απ(␈↓ ∧"␈ε	b␈↓ ∧R␈εβ)␈απtak␈α}en␈αεo␈α␈v␈α␈er␈αεall␈αλt␈α␈enso␈α␈rs␈απ(␈↓ π!␈ε	b␈↓ πQ␈εβ)␈απsuch␈αεth␈α␈at␈↓ λo␈ε	b␈↓ 	!␈εβ+␈↓ 	D␈ε	b␈↓ 	⎇␈εβ=␈↓ 
(␈ε	c␈↓ 
Y␈εβ+␈↓ 
⎇␈ε	c
␈β
Y␈↓ ∧.␈εi␈↓ ∧9␈εj␈↓ ∧E␈εk␈↓ π-␈εi␈↓ π8␈εj␈↓ πD␈εk␈↓ λ{␈εi␈↓ 	ε␈εj␈↓ 	∩␈εk␈↓ 	P␈εj␈↓ 	\␈εi␈↓ 	g␈εk␈↓ 
4␈εi␈↓ 
>␈εj␈↓ 
J␈εk␈↓ 	␈εj␈↓ ∃␈εi␈↓ ∨␈εk
␈β
v␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α∞all␈↓ α/␈ε	i␈↓ α;␈εβ,␈↓ αS␈ε	j␈↓ αb␈εβ,␈↓ αy␈ε	k␈↓ β	␈εβ.␈α↓]␈α≡Use␈α
this␈α
to␈α
pro␈α␈v␈α}e␈α∞th␈α␈at␈α
an␈α}y␈α
poly␈α␈no␈α␈mial␈α∞ch␈α␈ain␈α
tha␈α␈t␈α∞ev␈α␈alu␈α␈ates␈α
a␈α
set␈α∞o␈α␈f
␈β≡␈↓ ↓H␈εβb␈α␈il␈α↓in␈α␈ear␈α
form␈α␈s␈α
(␈α↓4␈α␈5)␈α
cor␈α␈respo␈α␈nd␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
to␈α
a␈α	tenso␈α␈r␈α
(␈↓ ε`␈ε	a␈↓ π∀␈εβ),␈α
w␈α↓h␈α␈eth␈α␈er␈α
no␈α␈rmal␈α
or␈α
a␈α␈bn␈α␈orma␈α␈l␈α↓,␈α
m␈α␈us␈α␈t
␈β(␈↓ εp␈εi␈↓ ε{␈εj␈↓ ππ␈εk
␈βB␈↓ α{␈εε1
␈βE␈↓ ↓H␈εβu␈α␈se␈αat␈αlea␈α␈st␈↓ β␈εβran␈α␈k␈↓ βN␈εβ(␈↓ βY␈ε	a␈↓ ∧
␈εβ)␈αch␈α␈ain␈αm␈α}ultiplication␈α␈s.
␈βP␈↓ βi␈εi␈↓ βs␈εj␈↓ β␈␈εk
␈βS␈↓ α{␈∧Sα{α
␈βU␈↓ α{␈εε2
␈βu␈↓ ↓V␈ε∪57.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗S␈α␈ho␈α␈w␈α
that␈α
fast␈αFou␈α␈rier␈αtran␈α␈sform␈α␈s␈αcan␈α
be␈α
use␈α␈d␈αto␈α
com␈α␈pu␈α␈te␈αth␈α␈e␈αcoe␈α␈}cien␈α␈t␈α␈s
␈β≥␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αλth␈α␈e␈αλp␈α␈rodu␈α␈ct␈↓ β→␈ε	x␈↓ β+␈εβ(␈↓ β6␈ε	u␈↓ βJ␈εβ)␈↓ βU␈ε	y␈↓ βh␈εβ(␈↓ βs␈ε	u␈↓ ∧π␈εβ)␈απof␈αλt␈α␈w␈α␈o␈απgiv␈α␈en␈απp␈α␈olyn␈α␈omia␈α␈l␈α↓s␈απof␈αλd␈α␈egre␈α␈e␈↓ λ
␈ε	n␈↓ λ≡␈εβ,␈αλusing␈↓ 	β␈ε	O␈↓ 	≠␈εβ(␈↓ 	&␈ε	n␈↓ 	@␈εβlog␈↓ 	p␈ε	n␈↓ 
∧␈εβ)␈αλo␈α␈per␈α␈ation␈α␈s
␈βE␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αλ(exa␈α␈ct)␈αλad␈α␈dition␈απand␈απm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αλo␈α␈f␈αλcomp␈α␈lex␈αλn␈α}um␈α}bers.␈α⊃[␈ε⊂Hi␈α↓n␈α}t:␈εβ␈α
Co␈α␈nside␈α␈r␈αλthe␈αλp␈α␈rod␈α␈uc␈α␈t
␈βl␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αF␈α↓o␈α␈urier␈αtra␈α␈nsform␈α␈s␈αof␈αthe␈αc␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈ts.]
␈β
≤␈↓ ↓V␈ε∪58.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈28␈↓ αm␈εβ]␈α⊗(a)␈α
Sh␈α␈o␈α␈w␈α
tha␈α␈t␈α∞a␈α␈n␈α␈y␈α
rea␈α␈li␈α↓za␈α␈tion␈↓ εL␈ε	A␈↓ εb␈εβ,␈↓ εy␈ε	B␈↓ π⊂␈εβ,␈↓ π'␈ε	C␈↓ πO␈εβof␈α
th␈α␈e␈α∞p␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α∞m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation
␈β
D␈↓ ↓H␈εβte␈α␈nso␈α␈r␈α∞(␈α↓5␈α␈3)␈α∞m␈α␈u␈α␈st␈α∞ha␈α␈v␈α␈e␈α∞h␈α␈av␈α␈e␈α∞t␈α␈he␈α∞follo␈α␈wing␈α
pro␈α␈perty␈α␈:␈α⊃An␈α␈y␈α∞n␈α␈on␈α␈zero␈α
l␈α↓in␈α␈ear␈α∞co␈α␈m␈α␈bin␈α␈ation
␈β
k␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αthe␈αth␈α␈ree␈αro␈α}ws␈αof␈↓ βu␈ε	A␈↓ ∧↔␈εβm␈α␈ust␈αb␈α␈e␈αa␈αv␈α}ecto␈α␈r␈αwi␈α↓th␈αat␈αlea␈α␈st␈αfour␈αn␈α␈on␈α␈zero␈αelemen␈α}ts;␈α
an␈α␈d␈αa␈α␈n␈α␈y
␈β∞∪␈↓ ↓H␈εβn␈α␈on␈α␈zero␈α∞l␈α↓in␈α␈ear␈α∂co␈α␈m␈α␈bin␈α␈ation␈α∞of␈α∂th␈α␈e␈α∂fou␈α␈r␈α∂ro␈α␈ws␈α∂of␈↓ π↔␈ε	B␈↓ π<␈εβm␈α␈u␈α␈st␈α∂ha␈α␈v␈α␈e␈α∂a␈α␈t␈α∂least␈α∂th␈α␈ree␈α∂n␈α␈on␈α␈zero
␈β∞;␈↓ ↓H␈εβe␈α␈l␈α↓e␈α␈men␈α␈ts.␈α∃(b)␈α
Fin␈α␈d␈α
a␈α	rea␈α␈l␈α↓iza␈α␈tion␈↓ ¬∨␈ε	A␈↓ ¬5␈εβ,␈↓ ¬I␈ε	B␈↓ ¬←␈εβ,␈↓ ¬r␈ε	C␈↓ ε↔␈εβo␈α␈f␈α
(53␈α␈)␈α
usin␈α␈g␈α
o␈α␈nly␈α	0,␈α
+1,␈α
an␈α␈d␈ε↔␈α	␈␈εβ␈α↓1␈α	as␈α	elemen␈α}ts,
␈β∞b␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α(␈ε	t␈↓ α=␈εβ=␈α
8␈α␈.␈αTry␈α
to␈αu␈α␈se␈αas␈αma␈α␈n␈α␈y␈α
0's␈αas␈αpo␈α␈ssible.
␈β∂∩␈↓ ↓V␈ε∪59.␈↓ α␈εβ[␈ε	M27␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(V.␈αJ.␈αP␈α↓a␈α␈n.)␈α~Th␈α␈e␈αpro␈α␈blem␈αo␈α␈f␈α(␈↓ ε1␈ε	m␈↓ εU␈ε↔α␈↓ ε}␈ε	n␈↓ π∩␈εβ)␈αti␈α↓m␈α␈es␈α(␈↓ λ␈ε	n␈↓ λ(␈ε↔α␈↓ λQ␈ε	s␈↓ λ↑␈εβ)␈αm␈α␈atrix␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation
␈β∂:␈↓ ↓H␈εβc␈α␈orresp␈α␈on␈α␈ds␈αto␈αan␈↓ βU␈ε	m␈↓ βr␈ε	n␈↓ ∧∞␈ε↔α␈↓ ∧7␈ε	n␈↓ ∧K␈ε	s␈↓ ∧`␈ε↔α␈↓ ¬	␈ε	s␈↓ ¬↔␈ε	m␈↓ ¬@␈εβten␈α␈sor␈α(␈↓ ε/␈ε	a␈↓ π←␈εβ)␈αwh␈α␈ere␈↓ λV␈ε	a␈↓ 
⊂␈εβ=␈α
1␈αif␈αa␈α␈nd
␈β∂B␈↓ εd␈ε≠0␈↓ π→␈ε≠0␈↓ πQ␈ε≠0␈↓ 	
␈ε≠0␈↓ 	@␈ε≠0␈↓ 	x␈ε≠0
␈β∂F␈↓ ε?␈ε~h␈↓ εG␈εi␈↓ εR␈εε,␈↓ εY␈εi␈↓ εi␈ε~i␈α↓h␈↓ εz␈εj␈↓ πε␈εε,␈↓ π
␈εj␈↓ π∨␈ε~ih␈↓ π0␈εk␈↓ π=␈εε,␈↓ πD␈εk␈↓ πW␈ε~i␈↓ λf␈ε~h␈↓ λn␈εi␈↓ λy␈εε,␈↓ 	␈εi␈↓ 	⊂␈ε~ih␈↓ 	!␈εj␈↓ 	-␈εε,␈↓ 	4␈εj␈↓ 	E␈ε~i␈α↓h␈↓ 	V␈εk␈↓ 	c␈εε,␈↓ 	j␈εk␈↓ 	⎇␈ε~i
␈β∂]␈↓ α∨␈ε~0␈↓ βC␈ε~0␈↓ ∧k␈ε~0
␈β∂b␈↓ ↓H␈εβo␈α␈nly␈↓ α∩␈ε	i␈↓ α.␈εβ=␈↓ αY␈ε	j␈↓ αs␈εβand␈↓ β4␈ε	j␈↓ βS␈εβ=␈↓ β}␈ε	k␈↓ ∧→␈εβand␈↓ ∧Z␈ε	k␈↓ ∧z␈εβ=␈↓ ¬%␈ε	i␈↓ ¬2␈εβ.␈αTh␈α␈e␈αran␈α␈k␈↓ εY␈ε	M␈↓ ε|␈εβ(␈↓ ππ␈ε	m␈↓ π$␈εβ,␈↓ π3␈ε	n␈↓ πG␈εβ,␈↓ πV␈ε	s␈↓ πd␈εβ)␈αof␈αth␈α␈i␈α↓s␈αten␈α␈sor␈αis␈αthe␈αsm␈α␈all␈α↓e␈α␈st␈↓ !␈ε	t
␈β⊂	␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈ch␈α
that␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈↓ βa␈ε	␈↓ ∧∃␈εβ,␈↓ ∧)␈ε	␈␈↓ ∧←␈εβ,␈↓ ∧t␈ε	␈
␈↓ ¬6␈εβex␈α␈i␈α↓st␈αsa␈α␈tisfying
␈β⊂∩␈↓ ∧λ␈ε≠0␈↓ ∧R␈ε≠0␈↓ ¬≡␈ε≠0
␈β⊂∃␈↓ βr␈εi␈↓ β⎇␈εi␈↓ ∧
␈εl␈↓ ∧:␈εj␈↓ ∧F␈εj␈↓ ∧X␈εl␈↓ ¬β␈εk␈↓ ¬⊂␈εk␈↓ ¬#␈εl
␈β⊂9␈↓ α∃␈ε↓X␈↓ ∧'␈ε↓X␈↓ ¬"␈ε↓X␈↓ π~␈ε↓X␈↓ 	≤␈ε↓X
␈β⊂B␈↓ ∧r␈ε↓∩␈↓ εW␈ε↓∪␈↓ εm␈ε↓∩␈↓ λS␈ε↓∪␈↓ λi␈ε↓∩␈↓ 
[␈ε↓∪
␈β⊂↑␈↓ αk␈ε	x␈↓ β∃␈ε	y␈↓ βB␈ε	z␈↓ βn␈εβ=␈↓ ¬u␈ε	␈↓ ε-␈ε	x␈↓ πj␈ε	␈↓ λ%␈ε	y␈↓ 	s␈ε	␈↓ 
0␈ε	z␈↓ 
q␈εβ.
␈β⊂g␈↓ ε≠␈ε≠0␈↓ εQ␈ε≠0␈↓ λ∀␈ε≠0␈↓ λM␈ε≠0␈↓ 
∨␈ε≠0␈↓ 
V␈ε≠0
␈β⊂i␈↓ αz␈εi␈↓ β¬␈εj␈↓ β%␈εj␈↓ β1␈εk␈↓ βM␈εk␈↓ βZ␈εi
␈β⊂j␈↓ εε␈εi␈↓ ε⊃␈εi␈↓ ε!␈εl␈↓ ε<␈εi␈↓ εG␈εi␈↓ π|␈εj␈↓ λλ␈εj␈↓ λ→␈εl␈↓ λ5␈εj␈↓ λA␈εj␈↓ 
∧␈εk␈↓ 
⊃␈εk␈↓ 
$␈εl␈↓ 
;␈εk␈↓ 
H␈εk
␈β⊃␈↓ ↓␈␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ α%␈εi␈↓ α/␈ε~∀␈↓ αI␈εm␈↓ ¬␈εε1␈ε~∀␈↓ ¬1␈εi␈↓ ¬<␈ε~∀␈↓ ¬U␈εm␈↓ πε␈εε1␈ε~∀␈↓ π,␈εj␈↓ π8␈ε~∀␈↓ πQ␈εn␈↓ 	
␈εε1␈ε~∀␈↓ 	3␈εl␈↓ 	:␈ε~∀␈↓ 	T␈εs
␈β⊃⊂␈↓ ∧→␈εε1␈ε~∀␈↓ ∧?␈εl␈↓ ∧F␈ε~∀␈↓ ∧`␈εt
␈β⊃!␈↓ ¬<␈ε≠0␈↓ π8␈ε≠0␈↓ 	4␈ε≠0
␈β⊃#␈↓ αα␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ α'␈εj␈↓ α4␈ε~∀␈↓ αM␈εn
␈β⊃%␈↓ ¬␈εε1␈ε~∀␈↓ ¬2␈εi␈↓ ¬B␈ε~∀␈↓ ¬[␈εn␈↓ πε␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ π,␈εj␈↓ π=␈ε~∀␈↓ πW␈εs␈↓ 	↓␈εε1␈ε~∀␈↓ 	'␈εk␈↓ 	:␈ε~∀␈↓ 	S␈εm
␈β⊃;␈↓ α∧␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ α)␈εk␈↓ α7␈ε~∀␈↓ αP␈εs
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.4␈ε∞␈↓ π∧EV␈α|AL␈α␈U␈α␈A␈α}T␈α␈ION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα485
␈βα+␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈απpu␈α␈rpos␈α␈e␈αλo␈α␈f␈αλth␈α␈i␈α↓s␈απex␈α}ercise␈απi␈α↓s␈απto␈απex␈α␈ploit␈απthe␈απsy␈α␈mmetry␈απo␈α␈f␈αλsu␈α␈ch␈απa␈απtrili␈α↓n␈α␈ear␈απrep␈α␈resen␈α}tation␈α␈,
␈βαS␈↓ ↓H␈εβo␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈α␈ing␈α
e}cien␈α}t␈α∞realization␈α␈s␈α∞of␈α∞m␈α␈atrix␈α∞m␈α}ultiplication␈α
o␈α␈v␈α}er␈α∞the␈α
i␈α↓n␈α}teg␈α␈ers␈α∞whe␈α␈n␈↓ 
`␈ε	m␈↓ ␈εβ=
␈βαz␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓h␈εβ=␈↓ α∃␈ε	s␈↓ α/␈εβ=␈α2␈↓ αl␈ε	↔␈↓ α|␈εβ.␈α⊂For␈α
co␈α␈n␈α␈v␈α}enien␈α␈ce␈α
w␈α␈e␈αdiv␈α␈i␈α↓d␈α␈e␈α
th␈α␈e␈α
in␈α␈dices␈ε↔␈αf␈εβ1,␈↓ λ↓␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ λ-␈εβ,␈↓ λ<␈ε	n␈↓ λP␈ε↔g␈εβ␈αin␈α␈to␈αt␈α␈w␈α␈o␈α
su␈α␈bse␈α␈ts␈↓ 
g␈ε	O␈↓ ␈εβ=
␈ββ"␈↓ ↓H␈ε↔f␈εβ␈α␈1,␈αε3␈α␈,␈↓ α↔␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ αD␈εβ,␈↓ αR␈ε	n␈↓ αm␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈ε↔␈α␈g␈εβ␈αa␈α␈nd␈↓ ∧α␈ε	E␈↓ ∧#␈εβ=␈ε↔␈α	f␈εβ2,␈α¬4,␈↓ ¬≥␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬I␈εβ,␈↓ ¬X␈ε	n␈↓ ¬l␈ε↔g␈εβ␈α
of␈↓ ε.␈ε	↔␈↓ εH␈εβelemen␈α}ts␈αea␈α␈ch,␈αan␈α␈d␈α
w␈α␈e␈αset␈αu␈α␈p␈α
a␈αo␈α␈ne-to␈α␈-one
␈ββI␈↓ ↓H␈εβc␈α␈orresp␈α␈on␈α␈den␈α␈ce␈αbet␈α␈w␈α␈een␈↓ ∧0␈ε	O␈↓ ∧S␈εβand␈↓ ¬∃␈ε	E␈↓ ¬8␈εβb␈α␈y␈αthe␈αrule␈↓ εb␈εβ∀␈↓ εe␈ε	 ␈↓ εz␈εβ=␈↓ π&␈ε	i␈↓ π:␈εβ+␈αλ1␈αif␈↓ λ ␈ε	i␈↓ λ7␈ε↔2␈↓ λ[␈ε	O␈↓ λs␈εβ;␈↓ 	∀␈εβ∀␈↓ 	⊗␈ε	 ␈↓ 	+␈εβ=␈↓ 	W␈ε	i␈↓ 	l␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈αif␈↓ 
Q␈ε	i␈↓ 
h␈ε↔2␈↓ ␈ε	E␈↓ #␈εβ.
␈ββi␈↓ β→␈εβ∀
␈ββq␈↓ ↓H␈εβTh␈α}us␈αw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α␈e␈↓ β→␈εβ∀␈↓ β≠␈ε	 ␈↓ β/␈εβ=␈↓ βZ␈ε	i␈↓ βr␈εβfor␈αa␈α␈l␈α↓l␈αind␈α␈ices␈↓ ¬A␈ε	i␈↓ ¬N␈εβ.
␈β∧#␈↓ ↓e␈εβa)␈↓ α␈εβThe␈α
|rst␈αco␈α␈nstru␈α␈ction␈α
i␈α↓s␈αb␈α␈ased␈α
on␈αt␈α␈he␈αide␈α␈n␈α␈tity
␈β∧s␈↓ α'␈ε	a␈↓ α7␈ε	b␈↓ αD␈ε	c␈↓ αY␈εβ+␈↓ β↓␈ε	A␈↓ β_␈ε	B␈↓ β.␈ε	C␈↓ βR␈εβ=␈α
(␈↓ ∧λ␈ε	a␈↓ ∧∨␈εβ+␈↓ ∧H␈ε	A␈↓ ∧↑␈εβ)(␈↓ ∧u␈ε	b␈↓ ¬	␈εβ+␈↓ ¬2␈ε	B␈↓ ¬H␈εβ)(␈↓ ¬↑␈ε	c␈↓ ¬s␈εβ+␈↓ ε≠␈ε	C␈↓ ε6␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ εr␈εβ(␈↓ ε⎇␈ε	a␈↓ π∀␈εβ+␈↓ π=␈ε	A␈↓ πS␈εβ)␈↓ π↑␈ε	b␈↓ πl␈ε	C␈↓ λ∞␈ε↔␈␈↓ λ7␈ε	A␈↓ λM␈εβ(␈↓ λX␈ε	b␈↓ λm␈εβ+␈↓ 	∃␈ε	B␈↓ 	,␈εβ)␈↓ 	7␈ε	c␈↓ 	K␈ε↔␈␈↓ 	t␈ε	a␈↓ 
∧␈ε	B␈↓ 
~␈εβ(␈↓ 
&␈ε	c␈↓ 
:␈εβ+␈↓ 
c␈ε	C␈↓ 
}␈εβ)␈↓ 	␈εβ.
␈β¬B␈↓ α␈εβIt␈αfollo␈α␈ws␈αtha␈α␈t
␈β¬l␈↓ αX␈ε↓X␈↓ ¬␈ε↓X
␈βε⊃␈↓ β8␈ε	x␈↓ βc␈ε	y␈↓ ∧⊂␈ε	z␈↓ ∧<␈εβ=␈↓ ¬M␈εβ(␈↓ ¬X␈ε	x␈↓ εε␈εβ+␈↓ ε.␈ε	x␈↓ εT␈εβ)(␈↓ εk␈ε	y␈↓ π≠␈εβ+␈↓ πD␈ε	y␈↓ πh␈εβ)(␈↓ π}␈ε	z␈↓ λ(␈εβ+␈↓ λQ␈ε	z␈↓ λt␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ 	/␈εβε␈↓ 	[␈ε↔␈␈↓ 
∧␈εβε␈↓ 
0␈ε↔␈␈↓ 
Y␈εβε␈↓ 
}␈εβ,
␈βε≤␈↓ βH␈εi␈↓ βR␈εj␈↓ βr␈εj␈↓ β␈␈εk␈↓ ∧≠␈εk␈↓ ∧(␈εi␈↓ ¬h␈εi␈↓ ¬r␈εj␈↓ ε>␈εε∀␈↓ εz␈εj␈↓ πε␈εk␈↓ πR␈εε∀␈↓ πS␈ε ␈↓ π\␈εε∀␈↓ π]␈ε@␈↓ λ	␈εk␈↓ λ⊗␈εi␈↓ λg␈εε∀␈↓ 	G␈εε1␈↓ 
≤␈εε2␈↓ 
q␈εε3
␈βε!␈↓ ε>␈εk␈↓ εI␈εε∀␈↓ εK␈ε ␈↓ λ[␈εε∀␈↓ λ\␈ε@␈↓ λg␈εk
␈βεB␈↓ α2␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ αW␈εi␈↓ αb␈εε,␈↓ αi␈εj␈↓ αu␈εε,␈↓ α|␈εk␈↓ β	␈ε~∀␈↓ β#␈εn␈↓ ∧g␈εε(␈↓ ∧o␈εi␈↓ ∧z␈εε,␈↓ ¬↓␈εj␈↓ ¬
␈εε,␈↓ ¬∀␈εk␈↓ ¬!␈εε)␈ε~2␈↓ ¬=␈εS
␈βεs␈↓ α␈εβwhe␈α␈re␈↓ αn␈ε	S␈↓ β∞␈εβ=␈↓ β;␈ε	E␈↓ βS␈ε↔α␈↓ βt␈ε	E␈↓ ∧␈ε↔α␈↓ ∧,␈ε	E␈↓ ∧L␈ε↔[␈↓ ∧l␈ε	E␈↓ ¬∧␈ε↔α␈↓ ¬%␈ε	E␈↓ ¬<␈ε↔α␈↓ ¬]␈ε	O␈↓ ¬}␈ε↔[␈↓ ε∨␈ε	E␈↓ ε6␈ε↔α␈↓ εW␈ε	O␈↓ εo␈ε↔α␈↓ π⊂␈ε	E␈↓ π0␈ε↔[␈↓ πQ␈ε	O␈↓ πi␈ε↔α␈↓ λ
␈ε	E␈↓ λ!␈ε↔α␈↓ λB␈ε	E␈↓ λf␈εβi␈α↓s␈αthe␈αset␈α
o␈α␈f␈α
all␈α
trip␈α␈l␈α↓e␈α␈s
␈βπ≠␈↓ α␈εβof␈α∞ind␈α␈i␈α↓ce␈α␈s␈α∂co␈α␈n␈α␈ta␈α␈i␈α↓n␈α␈ing␈α∞at␈α∞mo␈α␈st␈α∂o␈α␈ne␈α∞od␈α␈d␈α∞i␈α↓n␈α␈de␈α␈x;␈↓ π:␈εβε␈↓ πm␈εβi␈α↓s␈α∞th␈α␈e␈α∂su␈α␈m␈α∞of␈α∂a␈α␈ll␈α∂terms␈α∞of␈α∞the
␈βπ%␈↓ πR␈εε1
␈βπB␈↓ α␈εβform␈α(␈↓ αg␈ε	x␈↓ β∃␈εβ+␈↓ β>␈ε	x␈↓ βd␈εβ)␈↓ βo␈ε	y␈↓ ∧≥␈ε	z␈↓ ∧L␈εβfo␈α␈r␈α(␈↓ ¬␈ε	i␈↓ ¬_␈εβ,␈↓ ¬'␈ε	j␈↓ ¬6␈εβ,␈↓ ¬E␈ε	k␈↓ ¬U␈εβ)␈ε↔␈α
2␈↓ ε∂␈ε	S␈↓ ε#␈εβ;␈αan␈α␈d␈↓ εz␈εβε␈↓ π≡␈εβ,␈↓ π4␈εβε␈↓ πd␈εβsimilarly␈αare␈αsu␈α␈ms␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈αterm␈α␈s
␈βπM␈↓ αw␈εi␈↓ β↓␈εj␈↓ βN␈εε∀␈↓ β␈␈εj␈↓ ∧␈εk␈↓ ∧3␈εε∀␈↓ π∩␈εε2␈↓ πL␈εε3
␈βπR␈↓ βN␈εk␈↓ βY␈εε∀␈↓ β[␈ε ␈↓ ∧'␈εε∀␈↓ ∧(␈ε@␈↓ ∧3␈εk
␈βπf␈↓ πb␈εε3␈↓ λL␈εε3
␈βπg␈↓ λ'␈εε1
␈βπj␈↓ α␈ε	x␈↓ α2␈εβ(␈↓ α=␈ε	y␈↓ αn␈εβ+␈↓ β↔␈ε	y␈↓ β;␈εβ)␈↓ βF␈ε	z␈↓ βi␈εβ,␈↓ β}␈ε	x␈↓ ∧(␈ε	y␈↓ ∧L␈εβ(␈↓ ∧W␈ε	z␈↓ ¬α␈εβ+␈↓ ¬+␈ε	z␈↓ ¬N␈εβ).␈α
Clea␈α␈rl␈α↓y␈↓ εf␈ε	S␈↓ πε␈εβh␈α␈as␈α4␈↓ πR␈ε	↔␈↓ πx␈εβ=␈↓ λ8␈ε	n␈↓ λd␈εβte␈α␈rms.␈α
S␈α␈ho␈α␈w␈αtha␈α␈t␈αe␈α␈ach
␈βπt␈↓ α≤␈εε∀␈↓ ¬A␈εε∀
␈βπu␈↓ αM␈εj␈↓ αY␈εk␈↓ β%␈εε∀␈↓ β&␈ε ␈↓ β/␈εε∀␈↓ β0␈ε@␈↓ βQ␈εk␈↓ β↑␈εi␈↓ ∧
␈εi␈↓ ∧_␈εj␈↓ ∧6␈εε∀␈↓ ∧8␈ε ␈↓ ∧@␈εε∀␈↓ ∧A␈ε@␈↓ ∧b␈εk␈↓ ∧o␈εi
␈βπx␈↓ λ'␈∧πxλ'α
␈βπz␈↓ α≠␈εk␈↓ α'␈εε∀␈↓ α)␈ε ␈↓ ¬5␈εε∀␈↓ ¬6␈ε@␈↓ ¬A␈εk␈↓ λ'␈εε2
␈βλ
␈↓ π"␈εε2
␈βλ∩␈↓ α␈εβof␈↓ α2␈εβε␈↓ αW␈εβ,␈↓ αk␈εβε␈↓ β⊂␈εβ,␈↓ β#␈εβε␈↓ βS␈εβc␈α␈an␈α
be␈α
rea␈α␈l␈α↓ized␈α
a␈α␈s␈αth␈α␈e␈αs␈α␈um␈α
of␈α3␈↓ π∩␈ε	↔␈↓ π9␈εβtrili␈α↓n␈α␈ear␈α
terms␈α␈;␈αf␈α↓u␈α␈rth␈α␈ermore␈α␈,␈αi␈α↓f␈α
the
␈βλ≤␈↓ αJ␈εε1␈↓ ββ␈εε2␈↓ β<␈εε3
␈βλ9␈↓ α␈εβ3␈↓ α≥␈ε	↔␈↓ α8␈εβtri␈α↓p␈α␈les␈αof␈αth␈α␈e␈αforms␈α(␈↓ ∧j␈ε	i␈↓ ∧w␈εβ,␈↓ ¬ε␈ε	i␈↓ ¬∩␈εβ,␈↓ ¬≡␈εβ∀␈↓ ¬!␈ε	 ␈↓ ¬,␈εβ)␈αan␈α␈d␈α(␈↓ ε⊂␈ε	i␈↓ ε≥␈εβ,␈↓ ε)␈εβ∀␈↓ ε,␈ε	 ␈↓ ε6␈εβ,␈↓ εE␈ε	i␈↓ εR␈εβ)␈αan␈α␈d␈α(␈↓ π3␈εβ∀␈↓ π6␈ε	 ␈↓ πA␈εβ,␈↓ πP␈ε	i␈↓ π\␈εβ,␈↓ πk␈ε	i␈↓ πx␈εβ)␈αare␈αre␈α␈mo␈α␈v␈α}ed␈αfrom␈↓ 
≡␈ε	S␈↓ 
3␈εβ,␈αwe␈αcan
␈βλa␈↓ α␈εβmo␈α␈dify␈↓ α{␈εβε␈↓ β∨␈εβ,␈↓ β2␈εβε␈↓ βV␈εβ,␈α
an␈α␈d␈↓ ∧(␈εβε␈↓ ∧U␈εβin␈α	su␈α␈ch␈αλa␈α	wa␈α␈y␈α	th␈α␈at␈α	th␈α␈e␈α	ide␈α␈n␈α␈tity␈αλi␈α↓s␈αλsti␈α↓ll␈α	v␈α␈ali␈α↓d␈α␈,␈α
with␈α␈out␈αλadd␈α␈ing
␈βλk␈↓ β∪␈εε1␈↓ βJ␈εε2␈↓ ∧@␈εε3
␈β	∧␈↓ π8␈εε3␈↓ λu␈εε2
␈β	¬␈↓ π∀␈εε1␈↓ πy␈εε3␈↓ λQ␈εε9
␈β	λ␈↓ α␈εβan␈α}y␈αn␈α␈ew␈αtril␈α↓in␈α␈ear␈αterm␈α␈s.␈αTh␈α}us␈↓ ¬J␈ε	M␈↓ ¬l␈εβ(␈↓ ¬x␈ε	n␈↓ ε␈εβ,␈↓ ε~␈ε	n␈↓ ε.␈εβ,␈↓ ε=␈ε	n␈↓ εQ␈εβ)␈ε↔␈α
∀␈↓ π$␈ε	n␈↓ πL␈ε↔␈␈↓ λ	␈ε	n␈↓ λ$␈εβ+␈↓ λa␈ε	n␈↓ 	α␈εβ.
␈β	↔␈↓ π∀␈∧	↔π∀α
␈↓ πy␈∧	↔πyα
␈↓ λQ␈∧	↔λQα
␈β	→␈↓ π∀␈εε2␈↓ πy␈εε2␈↓ λQ␈εε4
␈β	0␈↓ ↓c␈εβb)␈↓ α␈εβThe␈α
secon␈α␈d␈αco␈α␈nstru␈α␈ction␈α
i␈α↓s␈αb␈α␈ased␈α
on␈α
the␈αid␈α␈en␈α␈tity
␈β	|␈↓ α∩␈ε	a␈↓ α"␈ε	b␈↓ α/␈ε	c␈↓ αD␈εβ+␈↓ αl␈ε	A␈↓ βα␈ε	B␈↓ β→␈ε	C␈↓ β;␈εβ+␈ε↔␈αλABC␈↓ ∧1␈εβ=␈α
(␈↓ ∧g␈ε	a␈↓ ∧␈␈εβ+␈↓ ¬(␈ε	A␈↓ ¬E␈εβ+␈ε↔␈αλA␈εβ)(␈↓ ε≡␈ε	b␈↓ ε3␈εβ+␈↓ ε[␈ε	B␈↓ εy␈εβ+␈ε↔␈αλB␈εβ)(␈↓ πP␈ε	c␈↓ πd␈εβ+␈↓ λ
␈ε	C␈↓ λ/␈εβ+␈ε↔␈αλC␈εβ)
␈β
 ␈↓ ¬ ␈εα(␈↓ ≠␈εα)
␈β
#␈↓ ∧x␈ε↔␈␈↓ ¬,␈ε	a␈↓ ¬=␈ε↔B␈εβ(␈↓ ¬`␈ε	c␈↓ ¬t␈εβ+␈↓ ε≥␈ε	C␈↓ ε?␈εβ+␈ε↔␈αλC␈εβ␈α␈)␈αλ+␈↓ π6␈ε	A␈↓ πL␈ε	b␈↓ πY␈εβ(␈↓ πd␈ε	c␈↓ πy␈εβ+␈↓ λ!␈ε	C␈↓ λD␈εβ+␈ε↔␈απC␈εβ)␈απ+␈ε↔␈αλA␈↓ 	T␈ε	B␈↓ 	j␈εβ(␈↓ 	u␈ε	c␈↓ 

␈εβ+␈↓ 
2␈ε	C␈↓ 
U␈εβ+␈ε↔␈απC␈εβ)
␈β
H␈↓ ¬ ␈εα(␈↓ 	Q␈εα)
␈β
K␈↓ ∧x␈ε↔␈␈↓ ¬,␈ε	a␈↓ ¬=␈εβ(␈↓ ¬H␈ε	b␈↓ ¬\␈εβ+␈↓ ε¬␈ε	B␈↓ ε≠␈εβ)␈↓ ε'␈ε	C␈↓ εI␈εβ+␈↓ εr␈ε	A␈↓ πλ␈εβ(␈↓ π∪␈ε	B␈↓ π1␈εβ+␈ε↔␈απB␈εβ)␈ε↔C␈εβ␈απ+␈ε↔␈αλA␈εβ(␈ε↔B␈εβ␈απ+␈↓ 	,␈ε	b␈↓ 	9␈εβ)␈↓ 	D␈ε	c
␈β
o␈↓ ¬ ␈εα(␈↓ 	V␈εα)
␈β
r␈↓ ∧x␈ε↔␈␈↓ ¬,␈εβ(␈↓ ¬7␈ε	a␈↓ ¬O␈εβ+␈ε↔␈αλA␈εβ)␈↓ ε≥␈ε	b␈↓ ε*␈ε↔C␈εβ␈απ+␈αλ(␈↓ εx␈ε	A␈↓ π∃␈εβ+␈↓ π>␈ε	a␈↓ πO␈εβ)␈↓ πZ␈ε	B␈↓ πp␈ε	c␈↓ λ∧␈εβ+␈αλ(␈ε↔A␈εβ␈απ+␈↓ 	α␈ε	A␈↓ 	_␈εβ)␈ε↔B␈↓ 	;␈ε	C
␈β↔␈↓ ¬ ␈εα(␈↓ πC␈εα)
␈β~␈↓ ∧x␈ε↔␈␈↓ ¬,␈ε	a␈↓ ¬=␈ε	B␈↓ ¬S␈ε↔C␈εβ␈απ+␈↓ ε⊗␈ε	A␈↓ ε,␈ε↔B␈↓ εD␈ε	c␈↓ εX␈εβ+␈ε↔␈αλA␈↓ π≠␈ε	b␈↓ π(␈ε	C␈↓ πO␈εβ.
␈βe␈↓ α␈εβSh␈α␈o␈α␈w␈αth␈α␈at
␈β∂␈↓ β>␈ε↓X␈↓ ¬t␈ε↓X
␈β4␈↓ ∧≡␈ε	x␈↓ ∧H␈ε	y␈↓ ∧u␈ε	z␈↓ ¬"␈εβ=␈↓ εU␈ε	t␈↓ εa␈εβ(␈↓ εl␈ε	i␈↓ εy␈εβ,␈↓ πλ␈ε	j␈↓ π↔␈εβ,␈↓ π&␈ε	k␈↓ π6␈εβ;␈↓ πE␈ε	∂␈↓ πR␈εβ,␈↓ πa␈ε	⊂␈↓ πn␈εβ,␈↓ π⎇␈ε	⊃␈↓ λ∂␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ λJ␈εβε␈↓ λv␈ε↔␈␈↓ 	∨␈εβε␈↓ 	K␈ε↔␈␈↓ 	s␈εβε␈↓ 
_␈εβ,
␈β>␈↓ ∧-␈εi␈↓ ∧8␈εj␈↓ ∧X␈εj␈↓ ∧d␈εk␈↓ ¬␈εk␈↓ ¬∞␈εi␈↓ λb␈εε1␈↓ 	7␈εε2␈↓ 
␈εε3
␈βb␈↓ ¬[␈εε(␈↓ ¬c␈εi␈↓ ¬n␈εε,␈↓ ¬u␈εj␈↓ ε↓␈εε,␈↓ ελ␈εk␈↓ ε∃␈εε)␈ε~2␈↓ ε1␈εS
␈βe␈↓ β↔␈εε1␈ε~∀␈↓ β=␈εi␈↓ βH␈εε,␈↓ βO␈εj␈↓ β[␈εε,␈↓ βb␈εk␈↓ βo␈ε~∀␈↓ ∧λ␈εn
␈β{␈↓ ¬O␈εε0␈ε~∀␈↓ ¬u␈ε∂␈↓ ε␈εε,␈↓ επ␈ε⊂␈↓ ε∩␈εε,␈↓ ε→␈ε⊃␈↓ ε'␈ε~∀␈εε1
␈β
,␈↓ ¬5␈ε⊂␈↓ ¬A␈εε+␈↓ ¬Z␈ε⊃␈↓ πM␈ε∂␈↓ πX␈εε+␈↓ πr␈ε⊂␈↓ 	h␈ε⊃␈↓ 	v␈εε+␈↓ 
∂␈ε∂
␈β
-␈↓ ∧a␈εα(␈↓ ∀␈εα)
␈β
0␈↓ α␈εβwhe␈α␈re␈↓ αi␈ε	t␈↓ αu␈εβ(␈↓ β␈ε	i␈↓ β
␈εβ,␈↓ β≤␈ε	j␈↓ β*␈εβ,␈↓ β9␈ε	k␈↓ βJ␈εβ;␈↓ βX␈ε	∂␈↓ βe␈εβ,␈↓ βt␈ε	⊂␈↓ ∧α␈εβ,␈↓ ∧⊃␈ε	⊃␈↓ ∧"␈εβ)␈α
=␈↓ ∧m␈εβ(␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ ¬*␈εβ)␈↓ ¬h␈ε	x␈↓ εa␈εβ+␈αβ(␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ πB␈εβ)␈↓ π⎇␈ε	x␈↓ λ{␈εβ+␈αβ(␈ε↔␈α↓␈␈εβ1␈↓ 	]␈εβ)␈↓ 
~␈ε	x␈↓ #␈ε↔↓
␈β
;␈↓ ¬w␈εi␈↓ εα␈εε+␈↓ ε≠␈ε∂␈↓ ε&␈εε,␈↓ ε-␈εj␈↓ ε9␈εε+␈↓ εS␈ε⊂␈↓ λ␈εj␈↓ λ_␈εε+␈↓ λ2␈ε⊃␈↓ λ@␈εε,␈↓ λG␈εk␈↓ λT␈εε+␈↓ λm␈ε∂␈↓ 
)␈εk␈↓ 
7␈εε+␈↓ 
P␈ε⊂␈↓ 
[␈εε,␈↓ 
b␈εi␈↓ 
m␈εε+␈↓ ε␈ε⊃
␈β
T␈↓ α`␈ε⊃␈↓ αn␈εε+␈↓ βλ␈ε∂␈↓ ¬
␈ε⊂␈↓ ¬_␈εε+␈↓ ¬1␈ε⊃␈↓ π5␈ε∂␈↓ π@␈εε+␈↓ πY␈ε⊂␈↓ 	\␈ε∂␈↓ 	g␈εε+␈↓ 
␈ε⊂
␈β
U␈↓ α␈εα(␈↓ λ]␈εα)␈↓ 	λ␈εα(
␈β
X␈↓ α_␈εβ(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ αU␈εβ)␈↓ β∪␈ε	y␈↓ ∧→␈εβ+␈α(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ¬α␈εβ)␈↓ ¬?␈ε	y␈↓ εA␈εβ+␈α(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ π*␈εβ)␈↓ πd␈ε	y␈↓ λt␈ε↔↓␈↓ 	∀␈εβ(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ 	Q␈εβ)␈↓ 
␈ε	z␈↓ ␈εβ+
␈β
b␈↓ β"␈εj␈↓ β.␈εε+␈↓ βH␈ε⊂␈↓ βS␈εε,␈↓ βZ␈εk␈↓ βg␈εε+␈↓ ∧␈ε⊃␈↓ ¬O␈εk␈↓ ¬\␈εε+␈↓ ¬v␈ε∂␈↓ ε↓␈εε,␈↓ ελ␈εi␈↓ ε∩␈εε+␈↓ ε+␈ε⊂␈↓ πt␈εi␈↓ π␈␈εε+␈↓ λ_␈ε⊃␈↓ λ&␈εε,␈↓ λ-␈εj␈↓ λ9␈εε+␈↓ λR␈ε∂␈↓ 
⊗␈εk␈↓ 
#␈εε+␈↓ 
=␈ε⊃␈↓ 
K␈εε,␈↓ 
R␈εi␈↓ 
]␈εε+␈↓ 
v␈ε∂
␈β
{␈↓ αT␈ε⊃␈↓ αb␈εε+␈↓ α|␈ε∂␈↓ ∧w␈ε⊂␈↓ ¬α␈εε+␈↓ ¬≠␈ε⊃
␈β
|␈↓ ε≡␈εα)
␈β
␈␈↓ α␈εβ(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ αI␈εβ)␈↓ βπ␈ε	z␈↓ ∧∧␈εβ+␈α
(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ∧l␈εβ)␈↓ ¬*␈ε	z␈↓ ε7␈εβcorre␈α␈spon␈α␈ds␈α
to␈α
the␈α
|rst␈α
term␈α
on␈α
the␈α
righ␈α}t-
␈β∞
␈↓ β∩␈εi␈↓ β≤␈εε+␈↓ β6␈ε⊂␈↓ βA␈εε,␈↓ βH␈εj␈↓ βT␈εε+␈↓ βm␈ε⊃␈↓ ¬5␈εj␈↓ ¬A␈εε+␈↓ ¬Z␈ε∂␈↓ ¬e␈εε,␈↓ ¬l␈εk␈↓ ¬y␈εε+␈↓ ε∩␈ε⊂
␈β∞'␈↓ α␈εβha␈α␈nd␈α∞si␈α↓d␈α␈e␈α∂of␈α∂th␈α␈e␈α∂abo␈α}v␈α␈e␈α∂ide␈α␈n␈α␈tity␈α∂a␈α␈nd␈↓ ε;␈εβε␈↓ ε←␈εβ,␈↓ εy␈εβε␈↓ π≥␈εβ,␈↓ π7␈εβε␈↓ πk␈εβc␈α␈orresp␈α␈on␈α␈d␈α∂resp␈α␈ectiv␈α␈e␈α␈l␈α↓y␈α∞to␈α∂the
␈β∞1␈↓ εS␈εε1␈↓ π⊃␈εε2␈↓ πO␈εε3
␈β∞N␈↓ α␈εβne␈α␈xt␈αthr␈α␈ee␈αgrou␈α␈ps␈αo␈α␈f␈α
ter␈α␈ms;␈α
the␈αrem␈α␈ainin␈α␈g␈αterms␈α(na␈α␈mely␈αth␈α␈ose␈αco␈α␈rrespo␈α␈nd␈α␈ing␈αto
␈β∞v␈↓ α␈ε	a␈↓ α≤␈ε	B␈↓ α3␈ε↔C␈εβ␈αε+␈↓ αt␈ε	A␈↓ β
␈ε↔B␈↓ β"␈ε	c␈↓ β6␈εβ+␈ε↔␈απA␈↓ βw␈ε	b␈↓ ∧¬␈ε	C␈↓ ∧ ␈εβ)␈α
can␈α␈cel␈α
out␈α
of␈α
the␈α
sum␈α␈.␈αT␈α↓h␈α␈e␈α
set␈↓ πy␈ε	S␈↓ λ↔␈εβi␈α↓n␈α
th␈α␈is␈αca␈α␈se␈αis␈α
di{eren␈α␈t␈α
from
␈β∂≡␈↓ α␈εβth␈α␈e␈↓ αE␈ε	S␈↓ αe␈εβin␈αp␈α␈art␈α(a);␈αi␈α↓t␈αc␈α␈onsists␈αo␈α␈f␈αa␈α␈l␈α↓l␈α(␈↓ ε␈ε	i␈↓ ε_␈εβ,␈↓ ε'␈ε	j␈↓ ε6␈εβ,␈↓ εD␈ε	k␈↓ εU␈εβ)␈ε↔␈α	2␈↓ π␈ε	O␈↓ π%␈ε↔α␈↓ πF␈ε	O␈↓ π↑␈ε↔α␈↓ π␈␈ε	O␈↓ λ"␈εβsuch␈α
tha␈α␈t␈↓ 	7␈ε	i␈↓ 	M␈ε↔∀␈↓ 	w␈ε	j␈↓ 
⊃␈εβan␈α␈d␈↓ 
R␈ε	i␈↓ 
h␈εβ<␈↓ ∪␈ε	k␈↓ #␈εβ.
␈β∂A␈↓ λH␈εε3␈↓ 
∀␈εε2
␈β∂B␈↓ π}␈εε8␈↓ λ∂␈εα(␈↓ λ)␈εn␈↓ 	∀␈εn␈↓ 	3␈εα)
␈β∂E␈↓ α␈εβIt␈αfollo␈α␈ws␈αfrom␈αth␈α␈i␈α↓s␈αc␈α␈ons␈α␈truction␈α
tha␈α␈t␈↓ ε4␈ε	M␈↓ εW␈εβ(␈↓ εb␈ε	n␈↓ εv␈εβ,␈↓ π¬␈ε	n␈↓ π→␈εβ,␈↓ π(␈ε	n␈↓ π<␈εβ)␈ε↔␈α	∀␈↓ λ≠␈εβ(␈↓ λ=␈εβ)␈↓ λ\␈ε↔␈␈εβ␈αλ(␈↓ 	(␈εβ)␈↓ 	F␈εβ+␈αλ6␈↓ 
␈ε	n␈↓ 
 ␈εβ.
␈β∂S␈↓ π}␈∧∂Sπ}α
␈↓ λ)␈∧∂Sλ)α⊃␈↓ 	∀␈∧∂S	∀α⊃
␈β∂U␈↓ π}␈εε3␈↓ λ+␈εε2␈↓ 	⊗␈εε2
␈β∪(/FONT#1=cmathx[XGP,SYS]=↓⊂⊃∩∪~≠ !0189:;<=@ABCPQTXYZapxx/FONT#2=cmr10[XGP,SYS]=
∞∂⊂∩∪⊗!"'()+,-./0123456789:;<=>?ABCDEFGHIJKLMNOPRSTUVWXYZ[\]↑←abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|⎇}}/FONT#3=cmr9[XGP,SYS]=ε	∩∪∀!"'()+,-./0123456789:;<=>?ABCDEFGHIJKLMNOPRSTUVWXY[\]↑abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|⎇}}/FONT#4=cmr8[XGP,SYS]=∩0123456789CEHINQSTUU/FONT#5=cmr7[XGP,SYS]=()*+,./0123456789<=[]degltt/FONT#6=cmr6[XGP,SYS]=∀()*+,./0123456789<=FGST[]cdeghilmnoprstvv/FONT#7=cmr5[XGP,SYS]=+/012344/FONT#8=cmi10[XGP,SYS]=
∞∂∩∀∃⊗↔→≡#1234ABCDFIJMNOPQRSTUVXYZabcdefghijklmnpqrstuvwxyzz/FONT#9=cmi9[XGP,SYS]=
∞∂⊂⊃∩∀∃⊗↔_~ #0123456789ABCDEFGHJMNOPQRSUVWXYZabcdefghijklmnpqrstuvwxyz||/FONT#11=cmi7[XGP,SYS]=∞∂∩∃→ABCDMNSabcdefghijklmnpqrstuvxyy/FONT#12=cmi6[XGP,SYS]=∂⊂⊃∃⊗→ @BFNSTbcdehijklmnpqrstvxyy/FONT#13=cmi5[XGP,SYS]=cdhijkmnqrtuvv/FONT#14=cmsc10[XGP,SYS]=.ABCDEFHILMNOPRSTUVWYZZ/FONT#15=cms10[XGP,SYS]=∞∪~≥≡"',-.:;ABCDEFGHIJKLMNPQRSTUVWZ\abcdefghiklmnopqrstuvwxyz{|}}/FONT#16=cms9[XGP,SYS]=∪"'-.:ACDEFGHJLMNPS\abcdefghilmnopqrstuvwyz{{/FONT#18=cmb10[XGP,SYS]='*.0123456789ABCDEFGHKLMNPRSTUVWabcdefghijlmnopqrstuvwyz}}/FONT#19=cmb9[XGP,SYS]=.0123456789Fgii/FONT#21=cmtt[XGP,SYS]=ABDEIJKLMNRSTUXX/FONT#22=cmsy10[XGP,SYS]=↓α¬ε⊃∩∀∃→≤ !123[]bcdefghijp⎇⎇/FONT#23=cmsy9[XGP,SYS]=↓αελ⊃∩∀∃≤ !12ABC[\]bcdefgjprr/FONT#24=cmsy8[XGP,SYS]=/FONT#25=cmsy7[XGP,SYS]=↓ε∀!012bcdehii/FONT#26=cmsy6[XGP,SYS]=↓∧∀∃≤!012fghii/FONT#27=cmsy5[XGP,SYS]=00/FONT#29=cmssb[XGP,SYS]=*.12346ACDEFHILMNOPRSTXYabcefilmnorstuvwyzz